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Aufgabe 2

Aufgaben
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Trampolin

Aufgabe 2
Abb. 1: Trampolin
Abbildung nicht maßstabsgetreu
Aufgabe 2
Abb. 1: Trampolin
Abbildung nicht maßstabsgetreu
a)
Bestätige, dass das Sprungtuch in etwa einen Flächeninhalt von $11~\text{m}^2$ hat.
(3 P)
#flächeninhalt
b)
Berechne die Breite $b$ der Randabdeckung.
(2 P)
Aufgabe 2
Abb. 2: Trampolin
Abbildung nicht maßstabsgerecht
Aufgabe 2
Abb. 2: Trampolin
Abbildung nicht maßstabsgerecht
#flächeninhalt
d)
Es wird ein Sicherheitsnetz um den Rand des Trampolins mit dem kreisförmigen Sprungtuch gespannt (siehe Abbildung 2).
Der äußere Durchmesser des Trampolins beträgt $3,66~\text{m}$.
Das Sicherheitsnetz hat eine Größe von $20,7~\text{m}^2$.
Berechne die Höhe des Sicherheitsnetzes. Runde das Ergebnis sinnvoll.
Hinweis: Die Verzerrung durch die senkrechten Stangen wird vernachlässigt.
(4 P)
e)
Das Trampolin ist auf einem $90~\text{cm}$ hohem Gestell befestigt (siehe Abbildung 2).
Herr Hain möchte eine passende Leiter kaufen.
Empfolen wird, dass der Anstellwinkel $\alpha$ zwischen $60^{\circ}$ und $75^{\circ}$ liegt.
  • Entscheide, ob eine $100~\text{cm}$ lange Leiter der Empfelung entsprechen würde.
  • Begründe, warum der Winkel $\alpha$ niemals den Wert Null Grad annehmen kann.
(5 P)
f)
Frau Hain möchte mithilfe einer Peilung die Höhe $h$ eines Sprunges ermitteln (sihe Abbildung 3).
Bestimme die Höhe $h$ des Sprunges.
Aufgabe 2
Abb. 3: Trampolinsprung
Abbildung nicht maßstabsgetreu
Aufgabe 2
Abb. 3: Trampolinsprung
Abbildung nicht maßstabsgetreu
(4 P)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
[2]
Public Domain.
[3]
© – SchulLV.
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestätigen
Das Sprungtuch hat die Form eines Quadrates. Du kannnst mit $\text{cm}$ rechnen und dein Ergebnis am Ende in $\text{m}^2$ umrechnen oder du benutzt gleich die Einheit $\text{m}$. Für den Flächeninhalt gilt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&a\cdot b \\[5pt] &=&2,63~\text{m} \cdot 4,15~\text{m} \\[5pt] &\approx& 10,91 ~\text{m}^3 \\[5pt] &\approx& 11~\text{m}^3 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Sprungtuchs ist in etwa $11~\text{m}^2$.
#rechteck
b)
$\blacktriangleright$  Breite der Randabdeckung berechnen
In der Differenz von der Gesamtlänge des Trampolins und der Länge des Sprungtuchs ist die Randbreite doppelt entahlten. Für die Randbreite gilt deshalb:
$b=\dfrac{457~\text{cm}-415~\text{cm}}{2}=21~\text{cm}$
oder
$b=\dfrac{305~\text{cm}-263~\text{cm}}{2}=21~\text{cm}$
Die Randabdeckung ist $21~\text{cm}$ breit.
c)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt des Sprungtuchs berechnen
Das Sprungtuch hat die Form eines Kreises mit Durchmesser $d=3,24~\text{m}$. Für den Radius gilt damit
$r=\dfrac{d}{2}=1,62~\text{m}$
Jetzt kannst du den Flächeninhalt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\pi\cdot r^2 \\[5pt] &=&\pi\cdot (1,62~\text{m})^2 \\[5pt] &\approx&8,24~\text{m}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Sprungtuchs ist $8,24~\text{m}^2$.
$\blacktriangleright$  Größen vergleichen
Der Flächeninhalt des Sprungtuch des kreisförmigen Trampolins ist kleiner als der Flächeninhalt des rechteckigen Trampolins. Du kannst das Verhältnis berechnen:
$\dfrac{11~\text{m}^2}{8,24~\text{m}^2}\approx 1,33$
Das rechteckige Sprungtuch ist $1,33$ Mal so groß wie das kreisförmige Sprungtuch.
#kreis
d)
$\blacktriangleright$  Höhe des Sicherheitsnetztes berechnen
Das Netz des Trampolins ist wie der Mantel eines Zylinders. Die Fläche berechnest du über
$A= \pi \cdot d \cdot h$
Setze nun die gegeben Maße ein und forme nach $h$ um, um die Höhe des Netztes zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} 20,7~\text{m}^2&=& \pi \cdot 3,66~\text{m} \cdot h &\quad \scriptsize \mid\; :( \pi \cdot 3,66~\text{m}) \\[5pt] 1,80~\text{m}&\approx& h \end{array}$
$ h=1,80~\text{m} $
Die Höhe des Netzes ist $1,80~\text{m}$.
e)
$\blacktriangleright$  Über Leiter entscheiden
Aufgabe 2
Abb. 1: Skizze des Dreiecks
Aufgabe 2
Abb. 1: Skizze des Dreiecks
$\blacktriangleright$  Begründen
Der Winkel $\alpha$ würde nur dann Null grad annehmen, wenn wenn die Leiter flach auf dem Boden liegt. Da das Trampolin aber $90~\text{cm}$ hoch ist, ist $\alpha$ immer größer als Null Grad, egal wie lang die Leiter ist.
#sinus
f)
$\blacktriangleright$  sprunghöhe bestimmen
Bestimme zuerst den fehlenden Winkel $\alpha$ bei Frau Hain über die Winkelinnensumme:
$\alpha=180^{\circ}-82^{\circ}-83^{\circ}=15^{\circ}$
Jetzt kannst du mithilfe des Sinussatzes die Höhe $h$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{h}{\sin(15^{\circ})}&=&\dfrac{5,5~\text{m}}{\sin(82^{\circ})} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \sin(15^{\circ}) \\[5pt] h&=&\dfrac{5,5~\text{m}\cdot \sin(15^{\circ})}{\sin(82^{\circ})} \\[5pt] &\approx&1,44~\text{m} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \dfrac{h}{\sin(15^{\circ})}&=&\dfrac{5,5~\text{m}}{\sin(82^{\circ})} \\[5pt] h&\approx&1,44~\text{m} \end{array} $
Der Sprung ist $1,44~\text{m}$ hoch.
#sinussatz
Bildnachweise [nach oben]
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