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Aufgabe 3

Aufgaben
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Elbphilharmonie

a)
Aufgabe 3
Abb. 1: Elbphilharmonie
Aufgabe 3
Abb. 1: Elbphilharmonie
#durchschnitt
b)
Anfangs wurden die Kosten für den Bau der Elbphilharmonie auf $186$ Millionen Euro geschätzt.
Die tatsächlichen Kosten betrugen dann jedoch etwa $789$ Millionen Euro.
  • Bestätige, dass der Bau $603$ Millionen Euro teurer war als geplant.
  • Berechne die Kostensteigerung in Prozent.
(3 P)
#prozent
c)
Der Weg zur Aussichtsplattform führt unter anderem über eine $82$ Meter lange Rolltreppe.
Für die Fahrt auf dieser Rolltreppe benötigt man $2,5$ Minuten.
Berechne die Geschwindigkeit der Rolltreppe in Metern pro Sekunde.
(3 P)
#geschwindigkeit
d)
Ein Teil des Daches der Aussichtsplattform ist parabelförmig über einem Balkon gebogen (siehe Abbildung 1 und 2).
Aufgabe 3
Abb. 2: Balkon Elbphilharmonie
Abbildung nicht maßstabsgerecht
Aufgabe 3
Abb. 2: Balkon Elbphilharmonie
Abbildung nicht maßstabsgerecht
Eine der folgenden Funktionsgleichungen beschreibt modellhaft den Verlauf des Daches.
$f(x)$ steht für die Höhe des Daches; $x$ steht für die Breite des Balkons.
$f_1(x)=-0,1x^2-5\qquad$ $f_2(x)=0,1x^2+5\qquad$ $f_3(x)=-0,1x^2+5$
$\begin{array}[t]{rll} f_1(x)&=&-0,1x^2-5 \\[5pt] f_2(x)&=&0,1x^2+5 \\[5pt] f_3(x)&=&-0,1x^2+5 \end{array}$
  • Begründe, warum nur die dritte Funktionsgleichung infrage kommt.
  • Bestimme die maximale Höhe vom Boden des Balkons bis zum höchsten Punkt des Daches.
  • Ermittle die Balkonbreite unter dem parabelförmigen Dach.
(9 P)
#parabel
e)
Aufgabe 3
Abb. 3: Graph
Aufgabe 3
Abb. 3: Graph
#parabel
Bildnachweise [nach oben]
[1]
Public Domain.
[2],[3]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Besucherzahl berechnen
Um den Durchschnitt zu berechnen musst du die Gesamtzahl der Besucher durch die Anzahl der Tage teilen. $16$ Wochen haben $16\cdot 7=112$ Tage. Damit gilt für die durchschnittliche Besucherzahl:
$\dfrac{1~000~000}{112}\approx 8929$
Im Durchschnitt kamen $8929$ Besucher am Tag.
b)
$\blacktriangleright$  Mehrkosten bestätigen
Berechne die Differenz der tatsächlichen und der geplanten Kosten:
$789~\text{Mio}~€-186~\text{Mio}~€=603~\text{Mio}$
Der Bau war tatsächlich $603$ Millionen Euro teurer.
$\blacktriangleright$  Kostensteigerung berechnen
Du kannst die Kostensteigerung mithilfe eines Dreisatzes berechnen:
$:186$
Aufgabe 3
$\begin{array}{rrcll} &186~\text{Mio}~€&\mathrel{\widehat{=}}&100~\%\\[5pt] &1~\text{Mio}~€&\mathrel{\widehat{=}}&0,53~…~\%\\[5pt] &603~\text{Mio}~€&\mathrel{\widehat{\approx}}&324,19~\%& \end{array}$ Aufgabe 3
$:186$
$\cdot 603$
Aufgabe 3
Aufgabe 3
$\cdot 603$
$ \begin{array}{rrcll} &186~\text{Mio}~€&\mathrel{\widehat{=}}&100~\%\\[5pt] &603~\text{Mio}~€&\mathrel{\widehat{\approx}}&324~\% \end{array} $
Die Kostensteigerung beträgt etwa $324~\%$.
#dreisatz
c)
$\blacktriangleright$  Gschwindigkeit berechnen
Für die Geschwindigkeit gilt:
$v=\dfrac{s}{t}$
Wobei $v$ die Geschwindigkeit, $s$ die Strecke und $t$ die Zeit ist. Da du die Geschwindigkeit in Metren pro Sekunde angeben sollst, kannst du die Geschwindigkeit zunächst in Metern pro Minute berechnen und danach umformen oder du formst zuerst die Minuten in Sekunden um.
Da $1~\text{min}=60~\text{s}$ ist, gilt:
$2,5~\text{min}=2,5~\text{min}\cdot 60~\dfrac{\text{s}}{\text{min}}=150~\text{s}$
$ 2,5~\text{min}=150~\text{s} $
Jetzt kannst du die Geschwindigkeit berechnen:
$v=\dfrac{82~\text{m}}{150~\text{s}}\approx 0,55~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$
die Rolltreppe bewegt sich mit $ 0,55~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
d)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung begründen
Die Parabl ist nach unten geöffnet, es muss also ein Minus vor dem $x^2$ stehen. Dies ist nur bei $f_1$ und $f_2$ der Fall.
Außerdem ist die Parabel nach oben verschoben. Somit kommt nur die Funktionsgleichung $f_3=-0,1x+5$ in Frage.
$\blacktriangleright$  Maximale Höhe bestimmen
Die maximale Höhe der Parabel kannst du an der Funktionsgleichung ablesen. Diese ist um $5$ nach oben verschoben. Da der Scheitel gleichzeitig der höchste Punkt ist, ist der größte abstand zwischen $x$-Achse und Parabel $5~\text{m}$.
Zusätzlich liegen zwischen der $x$-Achse und dem Boden $4,5~\text{m}$. Für den maximalen Abstand gilt damit:
$h_{max}=5~\text{m}+4,5~\text{m}=9~\text{m}$
$\blacktriangleright$  Balkonbreite ermitteln
Die Balkonbreite ist der Abstand zwischen den beiden Nullstellen der Funktion. Berechne also zunächst die Nullstellen:
$\begin{array}[t]{rll} -0,1x^2+5&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-5 \\[5pt] -0,1x^2&=&-5 &\quad \scriptsize \mid\;:(-0,1) \\[5pt] x^2&=&50 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{} \\[5pt] x&\approx&\pm 7,07 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} -0,1x^2+5&=&0 \\[5pt] x&\approx&\pm 7,07 \end{array} $
Für die Balkonbreite gilt dann:
$b=7,07~\text{m}-(-7,07~\text{m})=14,14~\text{m}$
$ 2\cdot 7,07~\text{m}=14,14~\text{m} $
Der Balkon ist unter dem Dach etwa $14,14~\text{m}$ breit.
#nullstelle
e)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Im Graphen ist eine nach unten geöffnete, nach oben verschobene Parabel zu sehen. Die Verschiebung nach oben kannst du direkt ablesen mit $c=18$.
Suche dir einen weiteren Punkt wie $(5|0)$ und setze diesen zusammen mit $c$ in die Funktionsgleichung ein, um $a$ zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&a\cdot 5^2+18 \\[5pt] 0&=&25a+18 &\quad \scriptsize \mid\;-18 \\[5pt] -18&=&25a &\quad \scriptsize \mid\;:25 \\[5pt] -\dfrac{18}{25}&=&a \end{array}$
Damit gilt für die Funktionsgleichung
$p(x)=-\dfrac{18}{25}x^2+18$
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