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Aufgabe 4

Aufgaben
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Staffelmeisterschaft

Bei einer Staffelmeisterschaft einer Stadtteilschule waren $652$ Schülerinnen und $788$ Schüler als jugendliche Zuschauer anwesend.
a)
  • Bestätige, dass insgesamt $1~440$ Schülerinnen und Schüler als jugendliche Zuschauer bei der Staffelmeisterschaft waren.
  • Berechne den prozentualen Anteil der Mädchen bei den jugendlichen Zuschauern.
(4 P)
#prozent
b)
Aufgabe 4
Abb. 1: Kreisdiagramm
Aufgabe 4
Abb. 1: Kreisdiagramm
#diagramm
c)
Vier Läuferinnen der 10f liefen unterschiedliche Zeiten zwischen $13,5$ Sekunden und $16$ Sekunden.
Ihre durchschnittliche Zeit lag bei $14,8$ Sekunden.
Gib eine mögliche Verteilung der Zeiten für die vier Läuferinnen an.
Läuferin 1Läuferin 2Läuferin 3Läuferin 4
$13,8$ Sekunden______ Sekunden______ Sekunden______ Sekunden
Läuferin 1$13,8$ Sekunden
Läuferin 2______ Sekunde
Läuferin 3______ Sekunde
Läuferin 4______ Sekunde
(3 P)
#durchschnitt
Zusätzlich wird die „$4$-mal-$100~\text{m}$-Staffel“ glaufen und die Klasse 10b gewinnt.
Bei der Siegerehrung stellen sich die $4$ Läufer der Klasse 10b in zufälliger Reihenfolge nebeneinander auf ihr Siegerpodest.
d)
  • Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der Läufer $3$ ganz rechts steht als Bruch, Dezimalzahl und in Prozent.
  • Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Läufer $1$ an der zweiten oder drittel Stelle von links auf dem Siegerpodest steht.
(6 P)
#wahrscheinlichkeit#prozent
e)
Florian behauptet: „Die Wahrscheinlichkeit, dass die $4$ Läufer von links nach rechts nicht in der Reihenfolge ihrer Startposition auf dem Siegerpodest nebeneinander stehen, liegt bei über $90~\%$.“
Beurteile seine Aussage.
(5 P)
#wahrscheinlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Anzahl bestätigen
Addiere die Anzahl der Schülerinnen und Schüler, um die Gesamtzahl zu erhalten:
$652+788=1 ~440$
Damit hast du die Geamtzahl bestätigt.
$\blacktriangleright$  Anteil der Mädchen berechnen
Du kannst den Anteil der Mädchen mithilfe eines Dreisatzes berechnen:
$:1440$
Aufgabe 4
$\begin{array}{rrcll} &1~440&\mathrel{\widehat{=}}&100~\%\\[5pt] &1&\mathrel{\widehat{=}}&0,0694…~\%\\[5pt] &652&\mathrel{\widehat{\approx}}&45,28~\%& \end{array}$ Aufgabe 4
$:1440$
$\cdot 652$
Aufgabe 4
Aufgabe 4
$\cdot 652$
$ \begin{array}{rrcll} &1~440&\mathrel{\widehat{=}}&100~\%\\[5pt] &652&\mathrel{\widehat{\approx}}&45,28~\%& \end{array} $
Etwa $45,28~\%$ der Jugendlichen sind Mädchen.
#dreisatz
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl Erwachsener bestimmen
Messe mit deinem Geodreieck den Winkel für die Erwachsenen aus. Hir solltest du in etwa $63^{\circ}$ erhalten. Für den Kreissektor der Jugendlichen gilt dann:
$360^{\circ}-63^{\circ}=297^{\circ}$
Da du die Gesamtzahl der Jugendlichen kennst, kannst du mit einem Dreisatz die Anzahl der Erwachsenen berechnen:
$:297$
Aufgabe 4
$\begin{array}{rrcll} &297^{\circ}&\mathrel{\widehat{=}}&1440\\[5pt] &1^{\circ}&\mathrel{\widehat{=}}&4,84…\\[5pt] &63^{\circ}&\mathrel{\widehat{\approx}}&305& \end{array}$ Aufgabe 4
$:297$
$\cdot 63$
Aufgabe 4
Aufgabe 4
$\cdot 63$
$ \begin{array}{rrcll} &297^{\circ}&\mathrel{\widehat{=}}&1440\\[5pt] &63^{\circ}&\mathrel{\widehat{\approx}}&305& \end{array} $
Es waren ca. $305$ Erwachsene anwesend.
#dreisatz
c)
$\blacktriangleright$  Verteilung angeben
Da die Zeiten der Läuferinnen zwischen $13,5$ und $16$ Sekunden liegen, muss eine der Zeiten $16$ Sekunden sein.
Jetzt musst du noch $2$ Zeiten bestimmen. Eine davon kannst du frei wählen. Dabei muss die Zeit nur zwischen $13,5$ und $16$ Sekunden liegen, zum Beispiel $14,8$ Sekunden.
Für die vierte Zeit musst du eine Variable $x$ einführen. Stelle jetzt eine Formel für den Durchschnitt auf und löse nach $x$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 14,8&=&\dfrac{13,5+14,8+16+x}{4} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot~ 4 \\[5pt] 59,2&=&13,5+14,8+16+x &\quad \scriptsize \mid\; -(13,5+14,8+16)\\[5pt] 14,9&=&x \end{array}$
$ x=14,9 $
Damit hast du deine vierte Zeit so gewählt, dass der Durchschnitt stimmt. Auch diese Zeit muss zwischen $13,5$ ud $16$ Sekunden liegen. Ist dies nicht der Fall, musst du deine frei gewählte Zeit anpassen.
Trage zum Schluss alle Zeiten in die Tabelle ein. Die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle.
Läuferin 1Läuferin 2Läuferin 3Läuferin 4
$13,8$ Sekunden$16$ Sekunden$14,8$ Sekunden$14,9$ Sekunden
Läuferin 1$13,8$ Sekunden
Läuferin 2$16$ Sekunde
Läuferin 3$14,8$ Sekunde
Läuferin 4$14,9$ Sekunde
d)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für „Läufer 3 ganz rechts“ bestimmen
Der Läufer 3 hat insgesamt $4$ Möglicheiten auf dem Podest zu stehen. Ganz rechts ist genau $1$ Fall. Die Wahrscheinlichkeit ist dann:
$P(\text{ganz rechts})=\dfrac{1}{4}=0,25=25~\%$
$ P=\dfrac{1}{4}=0,25=25~\% $
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Läufer 3 ganz rechts steht, liegt bie $25~\%$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für „Läufer 1 an zweiter oder dritter Stelle“ bestimmen
Der Läufer 1 hat insgesamt auch $4$ Möglicheiten auf dem Podest zu stehen. Die zweite oder dritte Stelle von links sind $2$ Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist dann:
$P(\text{an 2. oder 3. Stelle})=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}=0,5=50~%$
$ P_2\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}=0,5=50~% $
Die Wahrscheinlichkeit dass der Läufer 1 an zweiter oder dritter Stelle steht ist $50~\%$.
e)
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Berechne zunächst die Wahrscheinlichkeit, dass die Läufer in der Reihenfolge ihrer Startposition auf dem podest stehen. Florian redet genau vom Gegenereignis, welches du mit der Gegenwahrscheinlichkeit berechnen kannst.
Mithilfe der Pfadmultiplikationsregel kannst du die Wahrscheinlichkeit berechnen. Nachdem der erste Läufer auf seinem Platz steht, gibt es nur noch $3$ Möglichkeiten für den zweiten Läufer, danach nur noch $2$ Möglichkeiten für den dritten Läufer und der vierte Läufer hat keine Auswahl mehr. Dies kennst du vom Ziehen ohne Zurücklegen.
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{in Reihenfolge})&=& \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{1} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{24}\\[5pt] &=&0,0417 \\[5pt] &=&4,17~\% \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} P&=& \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{1} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{24}\\[5pt] &=&0,0417 \\[5pt] &=&4,17~\% \end{array} $
Jetzt kannst du die Gegenwahrscheinllichkeit berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{nicht in Reihenfolge})&=&1-0,0417 \\[5pt] &=&0,9583 \\[5pt] &=&95,83~\% \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} P_{geg}&=&1-0,0417 \\[5pt] &=&0,9583 \\[5pt] &=&95,83~\% \end{array} $
Damit hat Florian recht.
#gegenereignis#pfadregeln
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