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Aufgabe 1

Aufgaben
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AufgabeABCD
a)$165\;\text{s}=$$1,65\;\text{min}$$2,45\;\text{min}$$2,75\;\text{min}$$2,85\;\text{min}$
b)$7,6\;\text{m}=$$7,6\cdot10^0\;\text{mm}$$7,6\cdot10^3\;\text{mm}$$7,6\cdot10^6\;\text{mm}$$7,6\cdot10^9\;\text{mm}$
c)$0,006\cdot 5.000=$$0,3$$3$$30$$300$
d)$\frac{11}{6}-\frac{1}{4}=$$\frac{10}{2}$$\frac{19}{12}$$\frac{17}{12}$$\frac{31}{24}$
e)$(7x+8)(3x-4)=$$21x^2-4x-32$$21x^2+4x-32$$21x^2-4x+32$$21x^2-32$
f)$4^{-3}=$$64$$\frac{1}{64}$$\frac{-1}{64}$$-64$
g)Ein Preis von $100\;\,€$ wird zweimal nacheinander um $10\;\%$ des jeweils aktuellen Preises erhöht. Am Ende beträgt der Preis…$119\;\,€$$120\;\,€$$121\;\,€$$130\;\,€$
h)Es wird mit einem fairen sechsseitigen Spielwürfel gewürfelt. Die Wahrscheinlichkeit, dass dreimal dieselbe Zahl gewürfelt wird, beträgt…$\frac{6}{6+6+6}$$\frac{1}{6+6+6}$$\frac{6}{6\cdot 6\cdot 6}$$\frac{1}{6\cdot 6\cdot 6}$
i)Das Volumen eines Zylinders beträgt $V=\pi \cdot r^2 \cdot h$, wobei $r$ der Radius und $h$ die Höhe des Zylinders ist. Um welchen Faktor verändert sich das Volumen des Zylinders, wenn man den Radius verdoppelt und die Höhe halbiert?$0,5$$1$$2$$4$
j)In einem Säckchen befinden sich $6$ verschiedenfarbige Kugeln. Es wird dreimal nacheinander ohne Zurücklegen gezogen und die Farbfolge notiert. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es?$15$$18$$95$$120$
k)Die Funktion $f$ mit $f(x)=2^x-4$ hat…nur die Nullstelle $2$.nur die Nullstelle $-2$.die Nullstellen $-2$ und $2$.keine Nullstellen.
l)Ein Computer kostet einschließlich Mehrwertsteuer $297,50\;\,€$. Die Mehrwertsteuer in Höhe von $19\;\%$ lässt sich durch den folgenden Term berechnen:$297,5\cdot \frac{19}{119}$$297,5\cdot \frac{119}{19}$$297,5\cdot \frac{100}{81}$$297,5\cdot \frac{81}{100}$
m)
Der Winkel $\alpha$ hat die Größe $144°$. Welcher prozentuale Anteil der Kreisfläche wird durch den grauen Kreissektor beschrieben?
$35\;\%$$37,5\;\%$$38\;\%$$40\;\%$
n)Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=-(x-2)^2+2,\;x\in \mathbb{R}$ hat seinen Scheitelpunkt in……$(2\;|\;-2)$$(2\;|\;2)$$(-2\;|\;-2)$$(-2\;|\;2)$
#volumen#mehrwertsteuer#prozent#nullstelle#scheitelpunkt
2.
Bestimme jeweils alle Lösungen der folgenden Gleichungen und notiere deinen Lösungsweg.
a)
$2x^2-8x-120=0$
(4 P)
b)
$(x-5)(x^2-9)(x^2+4)=0$
(3 P)
c)
$\frac{16}{x}=x^3$
(3 P)
#gleichungen#nullstelle
3.
Gib zu den Graphen mit den Buchstaben $a$ und $b$ jeweils eine passende Funktionsgleichung an.
(4 P)
#sinusfunktion#kosinusfunktion
4.
In der folgenden Zeichnung sind einem Quadrat Kreise und Halbkreise einbeschrieben.
Weise nach, dass der Anteil der grau markierten Fläche am gesamten Quadrat $\frac{\pi}{4}$ beträgt.
#flächeninhalt
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.
a)
$\blacktriangleright$ Umrechnung
Eine Minute dauert $60$ Sekunden.
$165\;\text{s}:60=2,75\;\text{min}$
Die $165$ Sekunden entsprechen $2,75$ Minuten. Die Antwort $C$ ist also richtig.
b)
$\blacktriangleright$ Umrechnung
$7,6\;\text{m}=7,6\cdot 10^2\;\text{cm}=7,6\cdot 10^3 \;\text{mm}$
Die $7,6\;\text{m}$ entsprechen $7,6\cdot 10^3 \;\text{mm}$. Die richtige Antwort ist $B$.
c)
$\blacktriangleright$ Berechnung
$0,006\cdot 5.000=30$
Die richtige Antwort ist $C$.
d)
$\blacktriangleright$ Berechnung
$\frac{11}{6}-\frac{1}{4}=\frac{44}{24}-\frac{6}{24}=\frac{38}{24}=\frac{19}{12}$
Die richtige Antwort ist $B$.
e)
$\blacktriangleright$ Umformung
$\begin{array}[t]{rll} (7x+8)(3x-4)&=& 21x^2-28x+24x-32 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 21x^2-4x-32 \end{array}$
Der Term lässt sich zu dem Term $A$ umformen.
f)
$\blacktriangleright$ Umformung
$4^{-3}=\frac{1}{4^3}=\frac{1}{64}$
Die Antwort $B$ ist richtig.
g)
$\blacktriangleright$ Preis berechnen
1. Erhöhung:
$W=G\cdot p%$
$W=100\;\,€\cdot 0,1 =10\,€$
Der Preis wird um $10\;\,€$, also auf $110\;\,€$ erhöht.
2. Erhöhung:
$W=110\;\,€\cdot 0,1 =11\;\,€$
Der Preis wird nun nochmal um $11\;\,€$, also auf $121\;\,€$ erhöht. Die Antwort $C$ ist also richtig.
h)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl dreimal gezogen wird, lässt sich mit der Pfadmultiplikationsregel berechnen: $p=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}= \frac{1}{6\cdot 6 \cdot 6}$
Es gibt $6$ verschiedene Zahlen, die dreimal nacheinander gezogen werden können, deswegen muss außerdem noch die Pfadadditionsregel verwendet werden:
$p=\frac{1}{6\cdot 6\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 6\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 6\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 6\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 6\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 6\cdot 6}=\frac{6}{6\cdot 6\cdot 6}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür dreimal in Folge eine gleiche Zahl zu würfeln beträgt $\frac{6}{6\cdot 6\cdot 6}$, also ist Antwort $C$ richtig.
i)
$\blacktriangleright$ Faktor bestimmen, um den sich das Volumen des Zylinders ändert
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \pi \cdot (2r)^2 \cdot \frac{h}{2}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\pi \cdot 4 r^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot h\\[5pt] &=& \pi \cdot 2 r^2 \cdot h \end{array}$
Das Volumen des Zylinders verdoppelt sich bei doppeltem Radius und halber Höhe. Die Antwort $C$ ist richtig.
j)
$\blacktriangleright$ Möglichkeiten notieren
Beim ersten Zug gibt es $6$ verschiedene Zugmöglichkeiten, beim zweiten Zug nur noch $5$ und beim dritten Zug noch $4$ Zugmöglichkeiten.
$\Omega = 6 \cdot 5 \cdot 4= 120$
Es gibt also $120$ Zugmöglichkeiten. Die Antwort $D$ ist richtig.
k)
$\blacktriangleright$ Nullstellen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 2^x-4&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +4\\[5pt] 2^x&=& 4 \end{array}$
Die Gleichung ist für $x=2$ erfüllt, da $2^2=4$. Die Antwort $A$ ist richtig.
l)
$\blacktriangleright$ Mehrwertsteuer berechnen
Die Mehrwertsteuer lässt sich mit dem Dreisatz berechnen:
$:119\;\%$
$\begin{array}{rrcll} &297,5\,€&\mathrel{\widehat{=}}&119\;\%\\[5pt] &2,5\,€&\mathrel{\widehat{=}}&1\;\%\\[5pt] &47,5\,€&\mathrel{\widehat{=}}&19\,\%& \end{array}$
$:119$
$\cdot 19$
$\cdot 19$
Die Mehrwertsteuer lässt sich durch den Term $297,5\cdot \frac{19}{119}$ berechnen. Die Antwort $A$ ist richtig.
m)
$\blacktriangleright$ Prozentualen Anteil berechnen
$\frac{144°}{360°}=0,4$
Der prozentuale Anteil des grauen Abschnitts beträgt $40\;\%$. Die Antwort $D$ ist also richtig.
n)
$\blacktriangleright$ Scheitelpunkt angeben
Eine Parabel lässt sich allgemein durch die Funktionsgleichung $f(x)=a(x-d)^2+e$ beschreiben. Der zugehörige Scheitelpunkt hat die Form $S(d\;|\;e)$. Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich als Scheitelpunkt der angegebenen Funktionsgleichung $S(2\;|\;2)$. Somit ist die Antwort $B$ richtig.
#potenz#scheitelpunkt#bruch#wahrscheinlichkeit#nullstelle
2.
a)
$\blacktriangleright$ Lösung der Gleichung bestimmen
Eine quadratische Gleichung lässt sich mithilfe der $pq$-Formel lösen.
$\begin{array}[t]{rll} 2x^2&=&-8x-120 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x^2&=&-4x-60\\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{(-4)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-4)}{2}\right)^2-(-60)} \\[5pt] x_{1,2}&=& 2 \pm \sqrt{4+60} \\[5pt] x_{1,2}&=& 2 \pm \sqrt{64} \\[5pt] x_{1}&\approx& 10 \\[5pt] x_{2}&\approx& 6 \\[5pt] \end{array}$
Die Lösungen der Gleichung sind $x_1=10$ und $x_2=6$.
b)
$\blacktriangleright$ Lösung der Gleichung bestimmen
Der Satz vom Nullprodukt sagt aus, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist. Deswegen lassen sich die einzelnen Terme separat betrachten und Null setzen.
$\begin{array}[t]{rll} x-5&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+5 \\[5pt] x_1&=&5 \end{array}$
Eine Lösung der Gleichung ist $x_1=5$.
$\begin{array}[t]{rll} x^2-9&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +9\\[5pt] x^2&=&9&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_{2,3}&=&\pm 3\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung ist ebenfalls für $x_2=-3$ und $x_3=3$ gelöst.
$\begin{array}[t]{rll} x^2+4&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt] x^2&=& -4 \end{array}$
Eine Potenz mit geraden Exponent, kann nicht negativ sein. Somit gibt es für diesen Term keine Lösung.
Die Lösungen der Gleichung sind $x_1=5$, $x_2=-3$ und $x_3=3$.
c)
$\blacktriangleright$ Lösung der Gleichung bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \frac{16}{x}&=&x^3 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot x \\[5pt] 16&=&x^4\quad \scriptsize \sqrt[4]{\;} \\[5pt] x_{1,2}&=&\pm 2 \end{array}$
Die Gleichung ist für $x_1=-2$ und $x_2=2$ gelöst.
#pq-formel#nullstelle
3.
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung angeben
Der Graph $a$ ist der Graph einer Kosinusfunktion, die nicht verschoben ist und in $y$ Richtung nicht gestreckt ist. Die Periodendauer ist von $2\pi$ auf $0,5\pi$ verkürzt. Dieser Faktor kann berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} T&=&\frac{2\pi}{b} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot b :T \\[5pt] b&=&\frac{2\pi}{T}\\[5pt] b&=&\frac{2\pi}{0,5 \pi}\\[5pt] b&=&4 \end{array}$
Es ergibt sich eine Funktionsgleichung der Form $y=\cos(b\;x)$.
Die Funktionsgleichung des Graphen $a$ lautet $y=\cos(4x)$.
Der Graph von $b$ ist in $y$-Richtung um den Faktor $a=2$ gestreckt, der Ausschlag der Amplitude ist also doppelt so groß. Der Graph ist in $x$- Richtung nicht gestreckt oder gestaucht und auch nicht verschoben. Es ergibt sich eine Funktionsgleichung der Form $y=a \cdot \sin(x)$. Die Funktionsgleichung, die den Graphen $b$ beschreibt lautet $y=2\sin(x)$.
#sinusfunktion#kosinusfunktion
4.
$\blacktriangleright$ Anteil der grau markierten Fläche bestimmen
Der Flächeninhalt des gesamten Quadrates kann mithilfe der Radien der Kreise berechnet werden. Das Quadrat hat die Seitenlänge $a=4r$.
$\begin{array}[t]{rll} A_Q&=& (4r)^2&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&16r^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Quadrates beträgt $16\;r^2$.
In dem Quadrat befinden sich zwei Kreise und vier Halbkreise, deshalb kann der Flächeninhalt aller Kreise mit folgender Formel berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A_K&=& 2\cdot A + 4 \cdot \frac{A}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&4\cdot A&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&4 \cdot \pi \cdot r^2&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Das Verhältnis der beiden Flächeninhalte lässt sich über den Quotienten berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{A_Q}{A_K}&=& \frac{4\cdot \pi r^2}{16r^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\frac{\pi}{4} \end{array}$
Der Anteil der grau markierten Fläche am gesamten Quadrat beträgt $\frac{\pi}{4}$.
#flächeninhalt
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