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Aufgabe 4

Aufgaben
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Aufgabe IV: Leitidee von Daten und Zufall

Bluffen bei Poker
Große Poker-Turniere werden oft im Fernsehen übertragen. Dabei werden die verdeckten Karten der Spieler mit Hilfe einer Kamera für den TV-Zuschauer sichtbar gemacht. Der Pokerspieler Tom nimmt an solch einem Poker-Turnier teil. Um seine Chancen zu verbessern, schaut er sich später die TV-Aufzeichnung der Vorrunden an. Er möchte das Bluffverhalten von männlichen und weiblichen Pokerspielern studieren.
Anmerkung: Das Bluffen ist ein Verhalten beim Kartenspielen mit dem Zweck, die Gegner zum eigenen Vorteil in die Irre zu führen. Der Bluffer erweckt durch sein Verhalten den Eindruck, seine Karten seien besser, als es tatsächlich der Fall ist.
Quelle: Wikipedia, leicht verändert
Anmerkung: Das Bluffen ist ein Verhalten beim Kartenspielen mit dem Zweck, die Gegner zum eigenen Vorteil in die Irre zu führen. Der Bluffer erweckt durch sein Verhalten den Eindruck, seine Karten seien besser, als es tatsächlich der Fall ist.
Quelle: Wikipedia, leicht verändert
In den folgenden Aufgaben werden die relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten betrachtet.
a)
  • Vervollständige die Vierfeldertafel in der Tabelle in der Anlage mit den fehlenden absoluten Häufigkeiten sowie das Baumdiagramm in der Anlage mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.
  • Nenne die Bedeutung des Wertes $0,008$ (siehe Anlage) im Sachkontext der Aufgabe.
b)
Bestätige anhand der gegebenen Daten, dass ein zufällig ausgewählter Spieler
  • …mit der Wahrscheinlichkeit von $6,3\;\%$ weiblich ist.
  • …mit der Wahscheinlichkeit von $8,4\;\%$ männlich ist und blufft.
Tom hat die Endrunde des Tuniers erreicht. Er sitzt nun an einem Pokertisch, an dem sechs Männer im Spiel sind. Er selbst ist einer von ihnen. Im Folgenden geht er davon aus, dass er die Informationen der Vorrunde auf die Endrunde übertragen kann und versucht damit das Verhalten der anderen fünf Spieler vorherzusagen.
c)
Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit von fünf zufällig ausgewählten Pokerspielern…
  • …keiner blufft.
  • …mindestens einer blufft.
  • …genau vier nicht bluffen.
Bei einem späteren Spiel sitzt Tom nur noch mit einem Mann und einer Frau am Pokertisch. Er erinnert sich an seine Untersuchungen und sagt sich:
„Frauen sind beim Pokern ehrlicher als Männer, da viel weniger Frauen bluffen.“
Er erinnert sich allerdings auch an eine Aussage seiner Freundin Lilly, die ebenfalls Pokerspielerin ist und sich viele Pokerspiele im Fernsehen angesehen hat. Sie behauptet:
„Wenn ich hier einen Bluff sehe, so ist es wahrscheinlich die Frau, die blufft“
d)
Entscheide begründet, ob die jeweiligen Behauptungen richtig sind.
#wahrscheinlichkeit#pfadregeln

Anlage

WeiblichMännlichGesamt
Bluff$549$$601$
kein Bluff$359$
Gesamt$411$$6109$$6520$
Aufgabe 4
Abb. 1: Baumdiagramm zum Bluffverhalten weiblicher und männlicher Teilnehmer.
Aufgabe 4
Abb. 1: Baumdiagramm zum Bluffverhalten weiblicher und männlicher Teilnehmer.
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Lösungen
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4.
a)
$\blacktriangleright$ Vierfeldertafel vervollständigen
Die Wahrscheinlichkeiten in einer Spalte addiert, ergeben die Gesamtwahrscheinlichkeiten der jeweiligen Spalte. Dies wird in der untersten Zeile eingetragen. Die Wahrscheinlichkeiten einer Zeile, werden ebenfalls addiert und ganz rechts eingetragen.
WeiblichMännlichGesamt
Bluff$52$$549$$601$
kein Bluff$359$$5.560$$5.919$
Gesamt$411$$6.109$$6.520$
$\blacktriangleright$ Baumdiagramm vervollständigen
Die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade müssen in jedem Schritt in der Summe $1$ ergeben. Die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades ergibt sich durch Multiplikation.
Aufgabe 4
Abb. 1: Baumdiagramm
Aufgabe 4
Abb. 1: Baumdiagramm
$\blacktriangleright$ Bedeutung des Wertes $\boldsymbol{0,008}$ nennen
Die Wahrscheinlichkeit $p=0,008$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass wenn ein Bluff begangen wird, die Person weiblich ist.
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten bestätigen
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler weiblich ist $P(W)$, kann mithilfe der Vierfeldertafel bestimmt werden. Dazu wird die Anzahl aller Frauen $(411)$ im Verhältnis zu den Spielern insgesammt $(6.520)$ betrachtet:
$\begin{array}[t]{rll} P(W)&=&\frac{411}{6.520} &\quad \scriptsize \\[5pt] P(W)&\approx&0,063 &\quad \scriptsize \\[5pt] P(W)&=&6,3\;\% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Spieler männlich ist und blufft, kann direkt im Baumdiagramm abgelesen werden. Die Wahrscheinlichkeit beträgt, wie vorgegeben, $8,4\;\%$.
c)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen, dass keiner blufft
Die Wahrscheinlichkeit, dass geblufft wird (B) unter der Bedingung, dass es sich um einen Mann handelt (M), lässt sich mit dem Satz von Bayes bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} P(B|M)&=&\frac{P(M|B)\cdot P(B)}{P(M)} &\quad \scriptsize \\[5pt] P(B|M)&=&\dfrac{0,913\cdot 0,092}{\frac{6.109}{6.520}} &\quad \scriptsize \\[5pt] P(B|M)&=&\frac{0,913\cdot 0,092}{0,9369} &\quad \scriptsize \\[5pt] P(B|M)&\approx&0,08965\\[5pt] P(B|M)&\approx&8,97\;\%\\[5pt] \end{array}$
Die berechnete Wahrscheinlichkeit gibt nun die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein Mann blufft. Das Gegenereignis gibt nun die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein Mann nicht blufft:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{B}|M)&=&1-0,0897 &\quad \scriptsize \\[5pt] P(\overline{B}|M)&\approx&0,9103\\[5pt] P(\overline{B}|M)&=&91,03\;\%\\[5pt] \end{array}$
Da insgesamt $5$ Männer am Tisch betrachtet werden, muss die Pfadmultiplikaitonsregel noch verwendet werden:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{B}|M)_5&=&0,9103^5 &\quad \scriptsize \\[5pt] P(\overline{B}|M)_5&\approx&0,6251 \\[5pt] P(\overline{B}|M)_5&=&62,51\;\% \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass keiner blufft beträgt ca. $62,5\;\%$.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen, dass mindestens einer blufft
Das Ereignis „mindestens einer blufft“ ist das Gegenereignis dazu, dass keiner blufft. Daraus ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(B|M)_{\geq 1}&=& 1-P(\overline{B}|M)_5 &\quad \scriptsize \\[5pt] P(B|M)_{\geq 1}&=& 1-62,51\;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] P(B|M)_{\geq 1}&=&37,49\;\% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einer blufft, beträgt ca. $37,49\;\%$.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen, dass genau vier nicht bluffen
Es gibt 5 Möglichkeiten, dass genau vier Männer nicht bluffen. Entweder der erste Mann blufft, der zweite, der dritte, der vierte oder der fünfte. Es gibt demnach 5 Pfade, die betrachtet werden müssen.Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mann nicht blufft wurde bereits berechnet $(P(\overline{B}|M)=0,9103)$. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau vier Männer nicht bluffen berechnet sich nach der Pfadmultiplikationsregel:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{B}|M)_4&=&5\cdot 0,9103^{4}\cdot 0,0897 &\quad \scriptsize \\[5pt] P(\overline{B}|M)_4&\approx&0,06159\\[5pt] P(\overline{B}|M)_4&\approx&6,16\;\%\\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau $4$ Männer nicht bluffen, beträgt ca. $6,16\;\%$.
d)
$\blacktriangleright$ Entscheidungen begründen
Die Aussage: „Frauen (F) sind beim Pokern ehrlicher als Männer, da viel weniger Frauen bluffen“, lässt sich mithilfe des Satz von Bayes überprüfen. Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(B|F)$ muss höher liegen als $P(B|M)$, damit die Aussage zutrifft.
$\begin{array}[t]{rll} P(B|F)&=&\frac{P(F|B)\cdot P(B)}{P(F)} &\quad \scriptsize \\[5pt] P(B|F)&=&\dfrac{0,087\cdot 0,092}{\frac{411}{6.520}} &\quad \scriptsize \\[5pt] P(B|F)&=&\frac{0,087\cdot 0,092}{0,0630} &\quad \scriptsize \\[5pt] P(B|F)&\approx& 0,1270 \\[5pt] P(B|F)&\approx& 12,70\;\% \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau blufft beträgt $P(B|F)=12,7\;\%$ und ist somit höher als die für Männer mit $P(B|M)=8,97\;\%$.
Die Aussage: „Wenn ich hier einen Bluff sehe, so ist es wahrscheinlich die Frau, die blufft“, kann überprüft werden, indem die Wahrscheinlichkeiten $P(F|B)$ und $P(M|B)$ im Baumdiagramm abgelesen und verglichen werden. Die Wahrscheinlichkeit $P(F|B)=0,087$ ist kleiner als $P(M|B)=0,913$. Somit ist die Aussage falsch.
#satzvonbayes#wahrscheinlichkeit#pfadregeln#vierfeldertafel
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