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Aufgabe 3

Aufgaben
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Entwicklung eines Pferdehof-Spiels

Die Firma Sgames stellt Computerspiele her. Zurzeit entwickeln sie ein neues Pferdehof-Spiel. Bei diesem Spiel sollen Pferde durch sammeln von Erfahrungspunkten ihren Wert steigern und entsprechend höhere Spielstufen erreichen. Die Entwickler diskutieren nun verschiedene Modelle zur Berechnung der Spielstufen. In den folgenden Teilaugaben steht $x$ jeweils für Anzahl der Erfahrungspunkte eines Pferdes, die Funktionswerte stehen jeweils für die Spielstufe. Im Spiel wird die Stufe immer als natürliche Zahl angezeigt, wobei immer abgerundet wird. Der Funktionswert $4,87$ bedeutet also, dass das Pferd noch in der Stufe $4$ ist. Sobald der Funktionswert $5$ ist, ist die fünfte Spielstufe erreicht.
Der erste Vorschlag orientiert sich an der folgenden Funktion:
$f(x)=2^{0,0025x}, \qquad x\geq 0$
a)
Berechne, in welcher Stufe ein Pferd nach diesem Modell wäre, wenn es $300$, $500$ bzw. $700$ Erfahrungspunkte hätte.
3 P.
#funktionswert
b)
Bestimme, auf einen Erfahrungspunkt genau, die Anzahl der Erfahrungspunkte, die ein Pferd mindestens braucht, um die sechste Stufe zu erreichen.
4 P.
Der zweite Vorschlag orientiert sich an einer anderen Funktion:
$g(x)=9-2^{-0,0025x+3}$
c)
Interpretiere die Zahl $9$ im Funktionsterm der Funktion $g$ im Sachkontext.
3 P.
Die Modelle $f$ und $g$ unterschieden sich deutlich. Pferde benötigen in beiden Modellen unterschiedlich viele Erfahrungspunkte, um eine bestimmte Stufe zu erreichen (siehe Abbildung 1 in der Anlage).
d)
Bestimme graphisch die Schnittpunkte der Funktionen $f$ und $g$.
Interpretiere das Ergebnis im Sachkontext der Aufgabe.
4 P.
#schnittpunkt
Es gibt noch einen dritten Vorschlag der Entwickler:
$h(x)=0,25\cdot x^{0,5}+1, \qquad x \geq 0$
e)
Skizziere den Graphen der Funktion $h$ in die Abbildung 1 in der Anlage.
3 P.
#graph
Die Spieleentwickler dieskutieren die drei Vorschläge. Dem Team ist wichtig, dass das Spiel zwei Dinke berücksichtigt:
  • Anfangs führt das lernen schneller zum Erfolg, d.h. zu Beginn werden weniger Erfahrungspunkte für einen Stufenaufstieg benötigt als nach dem Erreichen höherer Stufen.
  • Die Anzahl der Stufen soll nach oben nicht begrenzt sein.
f)
Entscheide begründet, welches der drei Modelle gemessen an den Vorgaben der Spieledesigner das geeignetste ist.
5 P.

Anlage zur Aufgabe „Entwicklung eines Pferdehof-Spiels“

Aufgabe 3
Abb. 1: Graphen de Funktionen $f$ und $g$
Aufgabe 3
Abb. 1: Graphen de Funktionen $f$ und $g$
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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a)
$\blacktriangleright$  Stufe des Pferdes berechnen
Setze die Erfahrungspunkte für $x$ ein und berechne damit die Stufe des Pferdes. Wichtig ist, dass du für die Stufe immer abrundest.
$\begin{array}[t]{rll} f(300)&=&2^{0,0025\cdot 300}&\approx& 1,68 \qquad &\Rightarrow \qquad \text{Stufe 1} \\[5pt] f(500)&=&2^{0,0025\cdot 500}&\approx& 2,38 \qquad &\Rightarrow \qquad \text{Stufe 2} \\[5pt] f(700)&=&2^{0,0025\cdot 700}&\approx& 3,36 \qquad &\Rightarrow \qquad \text{Stufe 3} \end{array}$
$f(300)=2^{0,0025\cdot 300}\approx 1,68$ $\qquad \Rightarrow \qquad \text{Stufe 1}$
$f(500)=2^{0,0025\cdot 500}\approx 2,38$ $\qquad \Rightarrow \qquad \text{Stufe 2}$
$f(700)=2^{0,0025\cdot 700}\approx 3,36$ $\qquad \Rightarrow \qquad \text{Stufe 3}$
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl Erfahrungspunkte bestimmen
1. Möglichkeit: Ausprobieren
Du kannst diese Aufgabe durch Ausprobieren lösen, dann solltest du folgende Werte erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} f(1033)&\approx&5,99 \\[5pt] f(1034)&\approx&6,00 \end{array}$
Ein Pferd braucht also mindestens $1034$ Erfahrungspunkte, um die sechste Stufe zu erreichen.
2. Möglichkeit: Rechnen
Setze $f(x)=6$ und löse nach $x$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 6&=&2^{0,0025x} &\quad \scriptsize \mid\; \log_{2} \\[5pt] \log_2(6)&=&0,0025x &\quad \scriptsize \mid\; :0,0025 \\[5pt] \dfrac{\log_2(6)}{0,0025}&=&x \\[5pt] 1033,99&\approx& x \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} 6&=&2^{0,0025x} \\[5pt] 1033,99&\approx& x \end{array} $
Da es nur ganze Punkte gibt, musst du auf den nächsten Erfahrungspunkt aufrunden.
Ein Pferd braucht also mindestens $1034$ Erfahrungspunkte, um die sechste Stufe zu erreichen.
#logarithmus
c)
$\blacktriangleright$  Zahl 9 interpretieren
Die Funktion $g(x)$ ist ein eine begrenzete Funktion. Die Zahl $9$ entspricht der Schranke. Das heißt, dass sich die Funktion immer mehr an die $9$ annähert, aber nie erreichen wird.
Im Sachkontext bedeutet dies, dass ein Pferd niemals die $9.$ Stufe erreichen kann. Die größtmögliche Stufe wäre damit also Stufe $8$.
d)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt bestimmen und interpretieren
Du kannst die Schnittpunkte in der Abbildung in der Anlage ablesen. Diese liegen bei $S_1(0|0)$ und $S_2(1200|8)$.
Im Sachkontext sind die Schnittpunkte die Punkte, an denen die Pferde mit gleichen Erfahrungspunkten, die gleiche Stufe besitzen. Bei $0$ Erfahrungspunkten starten beide Modelle bei Stufe $1$. Die Entwicklung von Pferden mit Modell $g$ geht zunächst schneller als Pferde aus dem Modell $f$. Ab dem zweiten Schnittpunkt, also ab Stufe $8$ entwickeln sich Pferde im Modell $f$ sehr schnell weiter. Pferde im Modell $g$ verbleiben jedoch auf Stufe $8$ und haben keine Möglichkeit zur Weiterentwicklung.
e)
$\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Setze verschiedene Zahlen für $x$ ein, um Punkte auf dem Grapgen zu erhalten. Zeichne diese Punkte in das Koordinatensystem und verbinde sie zum Graphen $h$:
Aufgabe 3
Abb. 1: Grapen $f$, $g$ und $h$
Aufgabe 3
Abb. 1: Grapen $f$, $g$ und $h$
f)
$\blacktriangleright$  Über Modell entscheiden
  • Die Anzahl der Stufen ist in Modell $g$ nach oben begrenzt, weshalb es nicht in Frage kommt.
  • In Modell $f$ führt das Lernen am Anfang sehr langsam zum Erfolg und wird im Verlauf des Spieles schneller. Auch dies ist nicht gewollt, weshalb $f$ ebenso falsch ist.
  • Das Modell $h$ entspricht den Wünschen des Teams. Zu Beginn führt das Lernen schnell zum Erfolg. Später werden mehr Erfahrungspunkte für einen Stufenaufstieg benötigt, jedoch ist die Stufenanzahl nicht begrenzt.
Das Modell $h$ ist am besten geeignet.
Bildnachweise [nach oben]
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