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C1 - Stochastik

Aufgaben
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Jedes Jahr im Frühjahr gibt der DRV (Deutscher ReiseVerband e. V.) in einer Broschüre einen Kurzüberblick über die wichtigsten Daten der Tourismusbranche. Sofern nicht anders angegeben, beziehen sich die Zahlen dieser Aufgabe auf die von Deutschen durchgeführten Reisen im Jahr 2012.
1.   Für die Reiseziele der Reisen ab fünf Tagen Dauer hat der DRV folgende Zahlen ermittelt: $31\,\%$ der Reiseziele lagen in Deutschland, $7,2\,\%$ der Reisen waren Fernreisen. Der Rest verteilte sich auf Nah- und Mittelstreckenziele.
Gehe im Folgenden davon aus, dass die angegebenen Zahlen auch für das Jahr 2015 gleich bleiben.
Es werden 100 von Deutschen durchgeführte Reisen ab fünf Tagen Dauer für das Jahr 2015 zufällig ausgewählt.
1.1   Bestimme jeweils unter Angabe einer Zufallsgröße $X$ die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
Unter den 100 Reisen
  • führen genau 31 zu einem Reiseziel innerhalb Deutschlands,
  • führen mindestens 31 zu einem Reiseziel innerhalb Deutschlands,
  • sind mindestens sechs, aber höchstens acht Fernreisen.
(8P)
1.2   Erläutere die Bedeutung der folgenden Gleichung im Sachzusammenhang.
$P(X=62) = \begin{pmatrix}100\\62 \end{pmatrix} \cdot (0,618)^{62}\cdot (0,382)^{38}=0,0819$
(3P)
2.   Der DRV erfasst gesondert Kurzurlaube. Kurzurlaube sind Urlaube, deren Reisedauer unter fünf Tagen liegt.
$76\,\%$ aller Kurzurlaube gingen ins Inland. $42,6\,\%$ aller Kurzurlaube ins Inland waren Städtereisen.
$8\,\%$ aller Kurzurlaube waren Städtereisen ins Ausland.
2.1   Stelle den Sachverhalt mit Hilfe eines Baumdiagramms oder einer Vierfeldertafel dar.
(5P)
2.2   Es wurden insgesamt 74,5 Mio. Kurzreisen angetreten. Ermittle die Gesamtzahl der Städtereisen.
(2P)
2.3   Bei den Kurzurlauben geht ein Reiseanbieter davon aus, dass sich das Reiseverhalten der Deutschen in den folgenden Jahren nicht ändert. Die ermittelten Zahlen aus dem Jahr 2012 werden daher übernommen.
Dem Reiseanbieter liegt im Jahr 2015 eine Buchung einer Städtereise vor. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Auslandsreise handelt.
(3P)
3.   Der DRV stellt in seiner Broschüre außerdem fest, dass im Jahr 2012 $8\,\%$ der Pauschalreisen online gebucht wurden.
Eine Reisebürokette vermutete, dass sich der Anteil der online gebuchten Pauschalreisen im Jahr 2013 erhöht habe. Um dies zu überprüfen, wurden 100 von Deutschen durchgeführte Pauschalreisen des Jahres 2013 zufällig ausgewählt und die betroffenen Reisenden nach ihrem Buchungsverhalten befragt.
3.1  Die Reisebürokette testete die Nullhypothese:
$H_0:p\leq 0,08$
Entwickle im Sachzusammenhang eine Entscheidungsregel auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$.
(5P)
3.2   Solltest du in Aufgabe 3.1 zu keiner Lösung gekommen sein, so verwenden als kritische Zahl, d.h. als kleinsten Wert im Ablehnungsbereich der Nullhypothese, $k = 13$.
3.2.1   Erläutere den Fehler 1. Art und den Fehler 2. Art im Sachzusammenhang.
(2P)
3.2.2   Im Frühjahr 2014 gab der DRV bekannt, dass $15\,\%$ der von Deutschen im Jahr 2013 durchgeführten Pauschalreisen online gebucht wurden. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Reisebürokette bei ihrem Hypothesentest einen Fehler 2. Art beging.
(2P)

Material

Binomialsummenfunktion $F_{n;p}(k)=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}\begin{pmatrix}n\\ i\end{pmatrix}\cdot p^i \cdot (1-p)^{n-1}$ für $n = 100$
p= 0,072 0,08 0,1 0,15 0,31
k=
0 0,0006 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000
1 0,0050 0,0023 0,0003 0,0000 0,0000
2 0,0219 0,0113 0,0019 0,0000 0,0000
3 0,0649 0,0367 0,0078 0,0001 0,0000
4 0,1457 0,0903 0,0237 0,0004 0,0000
5 0,2660 0,1799 0,0576 0,0016 0,0000
6 0,4138 0,3032 0,1172 0,0047 0,0000
7 0,5679 0,4471 0,2061 0,0122 0,0000
8 0,7068 0,5926 0,3209 0,0275 0,0000
9 0,8170 0,7220 0,4513 0,0551 0,0000
10 0,8948 0,8243 0,5832 0,0994 0,0000
11 0,9442 0,8972 0,7030 0,1635 0,0000
12 0,9726 0,9441 0,8018 0,2473 0,0000
13 0,9875 0,9718 0,8761 0,3474 0,0000
14 0,9947 0,9867 0,9274 0,4572 0,0001
15 0,9979 0,9942 0,9601 0,5683 0,0002
16 0,9992 0,9976 0,9794 0,6725 0,0005
17 0,9997 0,9991 0,9900 0,7633 0,0011
18 0,9999 0,9997 0,9954 0,8372 0,0024
19 1,0000 0,9999 0,9980 0,8935 0,0050
20 1,0000 1,0000 0,9992 0,9337 0,0096
21 1,0000 1,0000 0,9997 0,9607 0,0175
22 1,0000 1,0000 0,9999 0,9779 0,0302
23 1,0000 1,0000 1,0000 0,9881 0,0496
24 1,0000 1,0000 1,0000 0,9939 0,0776
25 1,0000 1,0000 1,0000 0,9970 0,1159
26 1,0000 1,0000 1,0000 0,9986 0,1654
27 1,0000 1,0000 1,0000 0,9994 0,2264
28 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,2979
29 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,3776
30 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,4624
31 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,5484
32 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,6317
33 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,7088
34 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,7771
35 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,8350
36 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,8819
37 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9184
Die Werte 1,0000 und 0,0000 bedeuten: Die angegebenen Wahrscheinlichkeiten sind auf vier Stellen gerundet 1,0000 bzw. 0,0000.
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Tipps
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Gesuchte Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Beschreibe zunächst dein stochastisches Modell:
Du hast Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Arten der Reisen gegeben und sollst nun anhand dieser die Eintrittswahrscheinlichkeit bestimmter Ereignisse in einer zufällig ausgewählten Menge von $100$ Reisen bestimmen.
  • Da die einzelnen Reisen voneinander unabhängig sind (es spielt für eine Reise keine Rolle, welche Art von Reise davor durchgeführt wurde), kannst du die $100$ Reisen als Wiederholung $100$ einzelner Zufallsexperimente betrachten.
  • Die Wahrscheinlichkeiten für die Art einer Reise in jedem einzelnen Zufallsexperiment gleich.
Damit sind die ersten beiden Kriterien für die Annahme einer Binomialverteilung erfüllt. Nun kannst du eine Zufallsgröße $X$ anhand der gesuchten Wahrscheinlichkeit so definieren, dass auch das dritte Kriterium für eine Binomialverteilung erfüllt ist, also es nur zwei mögliche Ereignisse gibt. Definiere dir dazu eine weitere Zufallsvariable $Y$, die den Ausgang eines einzelnen Experiments beschreibt.
Nutze dann die Formeln einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ für Einzelwahrscheinlichkeiten und kumulierte Wahrscheinlichkeiten, um die gesuchten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.
1.2 $\blacktriangleright$ Bedeutung der Gleichung erläutern
Stelle zuerst fest, dass die Gleichung folgende allgemeine Form besitzt, die du wahrscheinlich schon im letzten Aufgabenteil verwendet hast:
$P(X=k)=\binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$
Daran erkennst du, dass du mit Hilfe des Terms die Wahrscheinlichkeit berechnest, dass die Zufallsgröße $X$ gleich $k$ ist. Zudem siehst du, dass die Wahrscheinlichkeit mit der Formel für eine Binomialverteilung berechnet wird. Interpretiere nun die einzelnen Parameter in dieser Formel.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Baumdiagramm zeichnen
Trage zunächst alle bekannten Werte in das Baumdiagramm ein und vervollständige nach und nach mit dem Prinzip des Gegenereignisses und den Pfadregeln. Folgende Werte kannst du direkt aus der Aufgabenstellung in das Baumdiagramm einzeichnen.
$\blacktriangleright$ Vierfeldertafel zeichnen
Trage wieder zunächst die gegeben Information aus der Aufgabenstellung direkt ein. Anhand von Gegenwahrscheinlichkeiten und Rechenregeln für die Vierfeldertafel kannst du diese vervollständigen.
2.2 $\blacktriangleright$ Gesamtanzahl der Städtereisen ermitteln
Da die Gesamtanzahl der angetretenen Kurzreisen in der Aufgabenstellung gegeben ist, benötigst du noch die Wahrscheinlichkeit, dass eine Reise eine Städtereise ist, um die Gesamtanzahl der Städtereisen zu ermitteln. Diese kannst du entweder direkt aus der Vierfeldertafel ablesen oder anhand des Baumdiagramms berechnen.
2.3 $\blacktriangleright$ Gesuchte Wahrscheinlichkeit ermitteln
Du weißt, dass es sich um eine Städtereise handelt und sollst nun die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Auslandsreise handelt, berechnen. Dazu nutzt du die bedingte Wahrscheinlichkeit.
3.
3.1 $\blacktriangleright$ Entscheidungsregel entwickeln
Die Nullhypothese $H_0: p\leq 0,08$ liefert dir, dass der Test rechtsseitig ist. Die zugehörige Alternative lautet $H_1: p >0,08$. Zudem kannst du folgende Informationen aus der Aufgabenstellung entnehmen:
  • Der Stichprobenumfang beträgt $n=100$.
  • Das Signifikanzniveau ist $\alpha = 0,05$.
  • Die Testgröße (Zufallsvariable) $X$ ist binomialverteilt.
Stelle nun einen Ablehnbereich $\overline{A}$ auf und leite daraus eine Entscheidungsregel im Sachzusammenhang ab.
$\overline{A}=[c+1;100]$.
Also ist $c$ als Grenze für die Entscheidungsregel gesucht. Das Signifikanzniveau soll die maximale Wahrscheinlichkeit sein, so dass die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl sie gilt. Daraus entsteht eine Ungleichung, mit der du $c$ berechnen kannst.
3.2
3.2.1 $\blacktriangleright$ Fehler 1. Art erläutern
Der Fehler 1. Art tritt ein, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl diese in Wahrheit zutrifft. Beziehe diese Definition auf den Sachzusammenhang.
$\blacktriangleright$ Fehler 2. Art erläutern
Der Fehler 2.Art tritt ein, wenn die Nullhypothese angenommen wird, obwohl in Wahrheit die Alternative gilt. Beziehe diese Definition auf den Sachzusammenhang.
3.2.2 $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ermitteln
Du kannst der Aufgabenstellung die alternative Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0,15$ entnehmen. Um die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art zu erhalten, berechnest du die Wahrscheinlichkeit, dass deine Testgröße $X$ im Annahmebereich $A$ liegt, wenn die alternative Wahrscheinlichkeit $p_0=0,15$ gilt. Nimm also die Wahrscheinlichkeit einer online gebuchten Reise als $15 \%$ an.
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Stochastisches Modell beschreiben
Beschreibe zunächst dein stochastisches Modell:
Du hast Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Arten der Reisen gegeben und sollst nun anhand dieser die Eintrittswahrscheinlichkeit bestimmter Ereignisse in einer zufällig ausgewählten Menge von $100$ Reisen bestimmen.
  • Da die einzelnen Reisen voneinander unabhängig sind (es spielt für eine Reise keine Rolle, welche Art von Reise davor durchgeführt wurde), kannst du die $100$ Reisen als Wiederholung $100$ einzelner Zufallsexperimente betrachten.
  • Die Wahrscheinlichkeiten für die Art einer Reise bleibt in jedem einzelnen Zufallsexperiment gleich.
Damit sind die ersten beiden Kriterien für die Annahme einer Binomialverteilung erfüllt. Nun kannst du eine Zufallsgröße $X$ anhand der gesuchten Wahrscheinlichkeit definieren.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses bestimmen
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau $31$ Reisen zu einem Ziel innerhalb Deutschlands führen. Ist $X$ die Zufallsvariable, die die Anzahl beschreibt, ob eine Reise zu einem Ziel innerhalb Deutschlands führt, so ist diese nach den obigen Kriterien binomialverteilt.
Nutze die Formel einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$:
$P(X=k)=\binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$
Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit Hilfe des GTR berechnen. Wahle dazu unter
DISTR $\to$ binompdf
den passenden Befehl aus und gib $k=31$, $n=100$ sowie $p=0,31$ an.
C1 - Stochastik
C1 - Stochastik
Damit erhältst du für die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit $n=100$ Reisen und der in der Aufgabenstellung gegebenen Wahrscheinlichkeit von $p=0,31$ für eine Reise mit Reiseziel innerhalb Deutschlands:
$P(X=31)=\binom{100}{31} \cdot (0,31)^{31} \cdot (1-0,31)^{100-31}=\binom{100}{31} \cdot (0,31)^{31} \cdot (0,69)^{69}$$ \approx 0,0860$
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den $100$ Reisen genau $31$ ein Reiseziel innerhalb Deutschlands haben, beträgt ca. $\boldsymbol{8,6 \%}$.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses bestimmen
Da du hier die Wahrscheinlichkeit, dass unter den $100$ Reisen mindestens $31$ zu einem Reiseziel innerhalb Deutschlands führen, betrachten sollst, kannst du deine vorherige Definition von $X$ weiterhin verwenden. Diesmal musst du allerdings die kumulierte Wahrscheinlichkeit betrachten: $\boldsymbol{P(X \geq 31)=1-P(X<31)=1-P(X\leq 30)}$. Verwende auch hier deinen GTR. Den passenden Befehl findest du unter:
DISTR $\to$ binomcdf
C1 - Stochastik
C1 - Stochastik
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den $100$ Reisen mindestens $31$ ein Reiseziel innerhalb Deutschlands haben, beträgt ca. $\boldsymbol{53,76 \%}$.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit des dritten Ereignisses bestimmen
Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit betrachten, dass unter den $100$ Reisen mindestens $6$, aber höchstens $8$ Fernreisen sind. Sei $Y$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der Fernreisen unter den $100$ betrachteten Reisen angibt. Diese Zufallsvariable erfüllt ebenfalls die Kriterien für eine Binomialverteilung. Es gilt:
$P(6\leq Y \leq 8)=P(Y=6)+P(Y=7)+P(Y=8)$
Die Wahrscheinlichkeit, dass $Y$ eine Fernreise ist, kannst du der Aufgabenstellung entnehmen: $p=0,072$. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhältst du dann mit deinem GTR:
C1 - Stochastik
C1 - Stochastik
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den $100$ Reisen mindestens sechs, aber höchstens acht Fernreisen sind, beträgt also ca. $\boldsymbol{44,07 \%}$.
1.2 $\blacktriangleright$ Bedeutung der Gleichung erläutern
Betrachte die angeführte Gleichung:
$P(X=62)=\binom{100}{62} \cdot (0,618)^{62} \cdot (0,382)^{38}$
Du erkennst, dass die Gleichung folgende allgemeine Form besitzt, die du wahrscheinlich schon im letzten Aufgabenteil verwendet hast:
$P(X=k)=\binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$
Daran erkennst du, dass du mit Hilfe des Terms die Wahrscheinlichkeit berechnest, dass die Zufallsgröße $X$ gleich $k$ ist. Zudem siehst du, dass die Wahrscheinlichkeit mit der Formel für eine Binomialverteilung berechnet wird. Interpretiere nun die einzelnen Parameter in dieser Formel:
Paramaterabgeleitete Bedeutung
$n=100$:Es werden wie in Aufgabe $100$ zufällig ausgewählte Reisen betrachtet.
$p=0,618$:Die Wahrscheinlichkeit, dass das untersuchte Ereignis eintritt, beträgt $61,8 \%$. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Gegenereignis eintritt, beträgt $100 \% -61,8\%= 38,2 \%$.
$P(X=k=62)$:Es wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass das untersuchte Ereignis genau $62$-mal eintritt.
Nun erkennst du mit Hilfe der Aufgabenstellung, dass $38,2 \%$ gerade die Summe aus $31 \%$ und $7,2 \%$ ist. Somit lässt sich das Gegenereignis als Reise mit Reiseziel in Deutschland und/oder Fernreise interpretieren. Das betrachtete Ereignis ist folglich: Es wird eine Reise mit Nah- und Mittelstreckenziel durchgeführt.
Insgesamt berechnest du mit $P(X=62)$ die Wahrscheinlichkeit, dass unter den $100$ zufällig ausgewählten Reisen genau $62$ Reisen mit Nah- und Mittelstreckenziel sind. Diese beträgt also $8,19 \%$.
2. Betrachte nun in Aufgabe 2 die Kurzurlaube. Bezeichne daher mit einer „Reise“ einen Kurzurlaub.
2.1 $\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Baumdiagramm zeichnen
Trage zunächst alle bekannten Werte in das Baumdiagramm ein und vervollständige nach und nach mit dem Prinzip des Gegenereignisses und den Pfadregeln. Folgende Werte kannst du direkt aus der Aufgabenstellung in das Baumdiagramm einzeichnen:
C1 - Stochastik
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Da Kurzurlaube, die nicht ins Inland gingen, gerade ins Ausland gehen, erhältst du:
$P(\text{„Auslandsreise“}) = 1 - P (\text{„Inlandsreise“}) = 1 - 0,76 = 0,24$.
Analog ergibt sich für Städtereisen ins Inland:
$P_{\text{Inlandsreise}}(\text{„keine Städtereise“}) = 1 - P_{\text{Inlandsreise}} (\text{„Städtereise“}) = 1 - 0,426 = 0,574$.
Damit kannst du dein Baumdiagramm weiter vervollständigen:
C1 - Stochastik
C1 - Stochastik
Die fehlenden Wahrscheinlichkeiten erhältst du mit der Information aus der Aufgabenstellung, dass $8\%$ aller Kurzurlaube Städtereisen ins Ausland waren. Mit der $1.$ Pfadregel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{„Städtereise ins Ausland“})=& P(\text{„Auslandsreise“}) \cdot P_{\text{Auslandsreise}}(„\text{Städtereise“})& \scriptsize \; \text{einsetzen} \\[5pt] 0,08 =& 0,24 \cdot P_{\text{Auslandsreise}}(„\text{Städtereise“})& \scriptsize \mid\; : 0,24 \\[5pt] \dfrac{1}{3}=& P_{\text{Auslandsreise}}(„ \text{Städtereise“}) \end{array}$
Für Kurzurlaube ins Ausland, die keine Städtereisen waren, ergibt sich:
$P_{\text{Auslandsreise}}(\text{„keine Städtereise“}) = 1 - P_{\text{Auslandsreise}} (\text{„Städtereise“}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
Damit ist dein Baumdiagramm nun vollständig:
C1 - Stochastik
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$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Vierfeldertafel zeichnen
Trage wieder zunächst alle bekannten Werte in die Vierfeldertafel ein und vervollständige nach und nach mit dem Prinzip des Gegenereignisses und den Rechenregeln für die Vierfeldertafel. Folgende Werte kannst du direkt aus der Aufgabenstellung in die Vierfeldertafel einzeichnen:
Städtereisekeine Städtereise
Auslandsreise$0,08$
Inlandsreise$0,76$
1
Die Wahrscheinlichkeit für eine Reise ins Ausland ergibt sich durch:
$P(\text{„Auslandsreise“}) = 1 - P (\text{„Inlandsreise“}) = 1 - 0,76 = 0,24$.
Die Wahrscheinlichkeit für eine Reise ins Ausland, die keine Städtereise ist, erhältst du durch Anwenden der Rechenregeln für die Vierfeldertafel:
$\begin{array}[t]{rl} P (\text{„Auslandsreise“ $\cap$ „keine Städtereise“}) =& P(\text{„Auslandsreise“}) - P (\text{„Auslandsreise“ $\cap$ „Städtereise“}) \\[5pt] =& 0,24 - 0,08 \\[5pt] =&0,16 \end{array}$
Nun nutzt du dein Wissen aus der Aufgabenstellung über die Wahrscheinlichkeit für eine Städtereise unter der Bedingung, dass der Kurzurlaub ins Inland ging, $P_{\text{Inlandsreise}} (\text{„Städtereise“})=0,426$. Damit ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rl} P (\text{„Inlandsreise“ $\cap$ „Städtereise“})=& P (\text{„Inlandsreise“}) \cdot P_{\text{Inlandsreise}} (\text{„Städtereise“}) \\[5pt] =& 0,76 \cdot 0,426 \\[5pt] =&0,3238 \end{array}$
Mit den Rechenregeln für die Vierfeldertafel kannst du nun die noch fehlenden Wahrscheinlichkeiten berechnen: $\begin{array}[t]{rll} P (\text{„Inlandsreise“ $\cap$ „keine Städtereise“})=& P (\text{„Inlandsreise“}) - P (\text{„Inlandsreise“ $\cap$ „Städtereise“}) \\[5pt] =& 0,76 - 0,3238 \\[5pt] =&0,4362 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P (\text{„Städtereise“})=& P (\text{„Auslandsreise“ $\cap$ „Städtereise“}) + P (\text{„Inlandsreise“ $\cap$ „Städtereise“}) \\[5pt] =& 0,08 + 0,3238 \\[5pt] =&0,4038 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P (\text{„keine Städtereise“})=& P (\text{„Auslandsreise“ $\cap$ „keine Städtereise“}) + P (\text{„Inlandsreise“ $\cap$ „keine Städtereise“}) \\[5pt] =& 0,16 + 0,4362 \\[5pt] =&0,5962 \end{array}$
Eintragen liefert die vollständige Vierfeldertafel:
Städtereisekeine Städtereise
Auslandsreise$0,08$$0,16$$0,24$
Inlandsreise$0,3238$$0,4362$$0,76$
$0,4038$$0,5962$1
2.2 $\blacktriangleright$ Gesamtanzahl der Städtereisen ermitteln
Da die Gesamtanzahl der angetretenen Kurzreisen in der Aufgabenstellung gegeben ist, benötigst du noch die Wahrscheinlichkeit, dass eine Reise eine Städtereise ist, um die Gesamtanzahl der Städtereisen zu ermitteln. Diese kannst du entweder direkt aus der Vierfeldertafel ablesen oder anhand des Baumdiagramms berechnen.
1. Schritt: Wahrscheinlichkeit für Städtereise ermitteln
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Aus der Vierfeldertafel ablesen
$P(\text{„Städtereise“}) = 0,4038$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Mit dem Baumdiagramm berechnen
Mit der 1. Pfadregel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{„Städtereise“}) =& P_{\text{Auslandsreise}}(„\text{Städtereise“}) \cdot P(„\text{Auslandsreise“}) \\[5pt] &+P_{\text{Inlandsreise}}(„\text{Städtereise“}) \cdot P(„\text{Inlandsreise“}) \\[5pt] =&0,24 \cdot \dfrac{1}{3} + 0,76 \cdot 0,426 \\[5pt] =&0,4038 \end{array}$
2. Schritt: Gesamtanzahl der Städtereisen berechnen
Die Gesamtanzahl der Städtereisen kannst du nun mit dem Produkt aus der Gesamtanzahl der angetretenen Reisen und dem Anteil, dass eine Reise eine Städtereise war, berechnen:
$74.500.000 \cdot 0,4038 = 30.083.100$
Also wurden insgesamt ca. $30,1$ Millionen Städtereisen angetreten.
2.3 $\blacktriangleright$ Gesuchte Wahrscheinlichkeit ermitteln
Du weißt, dass es sich um eine Städtereise handelt und sollst nun die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Auslandsreise handelt, berechnen. Dazu nutzt du die bedingte Wahrscheinlichkeit.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Vierfeldertafel nutzen
Nutze die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit und deine in Aufgabe 2.1 aufgestellte Vierfeldertafel:
$\begin{array}[t]{rll} P_{\text{Städtereise}}(\text{„Auslandsreise“})=& \dfrac{P(\text{„Städtereise“ $\cap$ „Auslandsreise“})}{P(\text{„Städtereise“})}& \scriptsize \; \text{ aus Vierfeldertafel ablesen} \\[5pt] =&\dfrac{0,08}{0,4038} \\[5pt] \approx&0,1981 \end{array}$
Damit handelt es sich zu ca. $19,81 \%$ um eine Auslandsreise.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Baumdiagramm nutzen
Nutze den Satz von Bayes und die Wahrscheinlichkeiten deines Baumdiagramms aus Aufgabe 2.1.
$\begin{array}[t]{rll} P_{\text{Städtereise}}(\text{„Auslandsreise“})=& \dfrac{P_{\text{Auslandsreise}}(\text{„Städtereise“}) \cdot P(\text{„Auslandsreise“})}{P(\text{„Städtereise“})}& \scriptsize \; \text{ aus Baumdiagramm ablesen} \\[5pt] =&\dfrac{\dfrac{1}{3} \cdot 0,24}{0,24 \cdot \dfrac{1}{3} + 0,76 \cdot 0,426} \\[5pt] =&\dfrac{0,08}{0,4038} \\[5pt] \approx&0,1981 \end{array}$
Damit handelt es sich zu ca. $19,81 \%$ um eine Auslandsreise.
3.
3.1 $\blacktriangleright$ Entscheidungsregel entwickeln
Die Nullhypothese $H_0: p\leq 0,08$ liefert dir, dass der Test rechtsseitig ist. Die zugehörige Alternative lautet $H_1: p >0,08$. Zudem kannst du folgende Informationen aus der Aufgabenstellung entnehmen:
  • Der Stichprobenumfang beträgt $n=100$.
  • Das Signifikanzniveau ist $\alpha = 0,05$.
  • Die Testgröße (Zufallsvariable) $X$ ist binomialverteilt.
Stelle nun einen Ablehnbereich $\overline{A}$ auf und leite daraus eine Entscheidungsregel im Sachzusammenhang ab.
$\overline{A}=[c+1;100]$.
Also ist $c$ als Grenze für die Entscheidungsregel gesucht. Das Signifikanzniveau soll die maximale Wahrscheinlichkeit sein, sodass die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl sie gilt. Daraus entsteht folgende Ungleichung, mit der du $c$ berechnen kannst:
$\begin{array}[t]{rll} P(X \geq c+1) \leq& 0,05 \\[5pt] 1- P(X \leq c) \leq& 0,05 & \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] - P(X \leq c)\leq& 0,05 -1 & \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] P(X \leq c)\geq& 1-0,05 \\[5pt] P(X \leq c)\geq& 0,95 \end{array}$
Nun kannst du der Tabelle der Binomialsummenfunktion in der Spalte für deine zu testende Wahrscheinlichkeit $p_1=0,08$ entnehmen:
$P(X \leq 13)= 0,9718 \geq 0,95 \Rightarrow c=13$
Für den Ablehnbereich gilt $\overline{A}=[c+1;100]= [13+1;100]= [14;100]$.
Der Annahmebereich ist $A=[0;13]$.
Die Entscheidungsregel im Sachzusammenhang lautet:
Sind mindestens $14$ der $100$ Reisen online gebucht worden, so kann die Nullhypothese $H_0: p\leq 0,08$ auf dem Signifikanzniveau $5 \%$ verworfen werden, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens $8 \%$ der Reisen online gebucht wurden, kann man auf dem Signifikanzniveau $5 \%$ verwerfen. Also geht die Reisebürokette in diesem Fall davon aus, dass sich der Anteil der Online-Buchungen erhöht hat.
Bei höchstens $13$ online gebuchten Reisen, kann die Nullhypothese angenommen werden, d.h. man nimmt auf dem Signifikanzniveau $5 \%$ an, dass höchstens $8 \%$ der Reisen online gebucht wurden. In diesem Fall geht die Reisebürokette davon aus, dass sich der Anteil der Online-Buchungen nicht erhöht hat.
3.2
3.2.1 $\blacktriangleright$ Fehler 1. Art erläutern
Der Fehler 1. Art tritt ein, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl diese in Wahrheit zutrifft. Beziehe diese Definition auf den Sachzusammenhang:
Du begehst einen Fehler 1. Art, wenn du aufgrund deines Testergebnisses behauptest, dass die Wahrscheinlichkeit online gebuchter Reisen mehr als $8 \%$ beträgt, obwohl in der Realität die Wahrscheinlichkeit höchstens $8 \%$ beträgt. Dieser Fehler kann also nur auftreten, falls mindestens $14$ der $100$ Reisen online gebucht wurden.
$\blacktriangleright$ Fehler 2. Art erläutern
Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn die Nullhypothese angenommen wird, obwohl in Wahrheit die Alternative gilt. Beziehe diese Definition auf den Sachzusammenhang:
Du begehst einen Fehler 2. Art, wenn du aufgrund deines Testergebnisses behauptest, dass die Wahrscheinlichkeit online gebuchter Reisen höchstens $8 \%$ beträgt, obwohl diese tatsächlich größer als $8 \%$ ist. Dieser Fehler kann nur auftreten, falls höchstens $13$ der $100$ Reisen online gebucht wurden.
3.2.2 $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ermitteln
Du kannst der Aufgabenstellung die alternative Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0,15$ entnehmen. Um die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art zu erhalten, berechnest du die Wahrscheinlichkeit, dass deine Testgröße $X$ im Annahmebereich $A$ liegt, wenn die alternative Wahrscheinlichkeit $p_0=0,15$ gilt. Nimm also die Wahrscheinlichkeit einer online gebuchten Reise als $15 \%$ an:
C1 - Stochastik
C1 - Stochastik
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{„Fehler 2. Art“})=& P(X \in A) \\[5pt] =&P(X \leq 13)& \\[5pt] =&0,3474 \end{array}$
Damit liegt die Wahrscheinlichkeit, dass die Reisebürokette bei ihrem Hypothesentest einen Fehler 2. Art beging, bei $\boldsymbol{34,74 \%}$.
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Stochastisches Modell beschreiben
Beschreibe zunächst dein stochastisches Modell:
Du hast Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Arten der Reisen gegeben und sollst nun anhand dieser die Eintrittswahrscheinlichkeit bestimmter Ereignisse in einer zufällig ausgewählten Menge von $100$ Reisen bestimmen.
  • Da die einzelnen Reisen voneinander unabhängig sind (es spielt für eine Reise keine Rolle, welche Art von Reise davor durchgeführt wurde), kannst du die $100$ Reisen als Wiederholung $100$ einzelner Zufallsexperimente betrachten.
  • Die Wahrscheinlichkeiten für die Art einer Reise bleibt in jedem einzelnen Zufallsexperiment gleich.
Damit sind die ersten beiden Kriterien für die Annahme einer Binomialverteilung erfüllt. Nun kannst du eine Zufallsgröße $X$ anhand der gesuchten Wahrscheinlichkeit definieren.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses bestimmen
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau $31$ Reisen zu einem Ziel innerhalb Deutschlands führen. Ist $X$ die Zufallsvariable, die die Anzahl beschreibt, ob eine Reise zu einem Ziel innerhalb Deutschlands führt, so ist diese nach den obigen Kriterien binomialverteilt.
Nutze die Formel einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$:
$P(X=k)=\binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$
Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit Hilfe des GTR berechnen. Wahle dazu unter
OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ Binomial $\to$ Bpd
den passenden Befehl aus und gib $k=31$, $n=100$ sowie $p=0,31$ in dieser Reihenfolge an.
C1 - Stochastik
C1 - Stochastik
Damit erhältst du für die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit $n=100$ Reisen und der in der Aufgabenstellung gegebenen Wahrscheinlichkeit von $p=0,31$ für eine Reise mit Reiseziel innerhalb Deutschlands:
$P(X=31)=\binom{100}{31} \cdot (0,31)^{31} \cdot (1-0,31)^{100-31}=\binom{100}{31} \cdot (0,31)^{31} \cdot (0,69)^{69}$$ \approx 0,0860$
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den $100$ Reisen genau $31$ ein Reiseziel innerhalb Deutschlands haben, beträgt ca. $\boldsymbol{8,6 \%}$.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses bestimmen
Da du hier die Wahrscheinlichkeit, dass unter den $100$ Reisen mindestens $31$ zu einem Reiseziel innerhalb Deutschlands führen, betrachten sollst, kannst du deine vorherige Definition von $X$ weiterhin verwenden. Diesmal musst du allerdings die kumulierte Wahrscheinlichkeit betrachten. Verwende auch hier deinen GTR; den passenden Befehl findest du unter:
OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ Binomial $\to$ Bcd
C1 - Stochastik
C1 - Stochastik
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den $100$ Reisen mindestens $31$ ein Reiseziel innerhalb Deutschlands haben, beträgt ca. $\boldsymbol{53,76 \%}$.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit des dritten Ereignisses bestimmen
Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit betrachten, dass unter den $100$ Reisen mindestens $6$, aber höchstens $8$ Fernreisen sind. Sei $Y$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der Fernreisen unter den $100$ betrachteten Reisen angibt. Diese Zufallsvariable erfüllt ebenfalls die Kriterien für eine Binomialverteilung.
Die Wahrscheinlichkeit, dass $Y$ eine Fernreise ist, kannst du der Aufgabenstellung entnehmen: $p=0,072$. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhältst du dann mit deinem GTR:
C1 - Stochastik
C1 - Stochastik
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den $100$ Reisen mindestens sechs, aber höchstens acht Fernreisen sind, beträgt also ca. $\boldsymbol{44,08 \%}$.
1.2 $\blacktriangleright$ Bedeutung der Gleichung erläutern
Betrachte die angeführte Gleichung:
$P(X=62)=\binom{100}{62} \cdot (0,618)^{62} \cdot (0,382)^{38}$
Du erkennst, dass die Gleichung folgende allgemeine Form besitzt, die du wahrscheinlich schon im letzten Aufgabenteil verwendet hast:
$P(X=k)=\binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$
Daran erkennst du, dass du mit Hilfe des Terms die Wahrscheinlichkeit berechnest, dass die Zufallsgröße $X$ gleich $k$ ist. Zudem siehst du, dass die Wahrscheinlichkeit mit der Formel für eine Binomialverteilung berechnet wird. Interpretiere nun die einzelnen Parameter in dieser Formel:
Paramaterabgeleitete Bedeutung
$n=100$:Es werden wie in Aufgabe $100$ zufällig ausgewählte Reisen betrachtet.
$p=0,618$:Die Wahrscheinlichkeit, dass das untersuchte Ereignis eintritt, beträgt $61,8 \%$. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Gegenereignis eintritt, beträgt $100 \% -61,8\%= 38,2 \%$.
$P(X=k=62)$:Es wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass das untersuchte Ereignis genau $62$-mal eintritt.
Nun erkennst du mit Hilfe der Aufgabenstellung, dass $38,2 \%$ gerade die Summe aus $31 \%$ und $7,2 \%$ ist. Somit lässt sich das Gegenereignis als Reise mit Reiseziel in Deutschland und/oder Fernreise interpretieren. Das betrachtete Ereignis ist folglich: Es wird eine Reise mit Nah- und Mittelstreckenziel durchgeführt.
Insgesamt berechnest du mit $P(X=62)$ die Wahrscheinlichkeit, dass unter den $100$ zufällig ausgewählten Reisen genau $62$ Reisen mit Nah- und Mittelstreckenziel sind. Diese beträgt also $8,19 \%$.
2. Betrachte nun in Aufgabe 2 die Kurzurlaube. Bezeichne daher mit einer „Reise“ einen Kurzurlaub.
2.1 $\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Baumdiagramm zeichnen
Trage zunächst alle bekannten Werte in das Baumdiagramm ein und vervollständige nach und nach mit dem Prinzip des Gegenereignisses und den Pfadregeln. Folgende Werte kannst du direkt aus der Aufgabenstellung in das Baumdiagramm einzeichnen:
C1 - Stochastik
C1 - Stochastik
Da Kurzurlaube, die nicht ins Inland gingen, gerade ins Ausland gehen, erhältst du:
$P(\text{„Auslandsreise“}) = 1 - P (\text{„Inlandsreise“}) = 1 - 0,76 = 0,24$.
Analog ergibt sich für Städtereisen ins Inland:
$P_{\text{Inlandsreise}}(\text{„keine Städtereise“}) = 1 - P_{\text{Inlandsreise}} (\text{„Städtereise“}) = 1 - 0,426 = 0,574$.
Damit kannst du dein Baumdiagramm weiter vervollständigen:
C1 - Stochastik
C1 - Stochastik
Die fehlenden Wahrscheinlichkeiten erhältst du mit der Information aus der Aufgabenstellung, dass $8\%$ aller Kurzurlaube Städtereisen ins Ausland waren. Mit der $1.$ Pfadregel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{„Städtereise ins Ausland“})=& P(\text{„Auslandsreise“}) \cdot P_{\text{Auslandsreise}}(„\text{Städtereise“})& \scriptsize \; \text{einsetzen} \\[5pt] 0,08 =& 0,24 \cdot P_{\text{Auslandsreise}}(„\text{Städtereise“})& \scriptsize \mid\; : 0,24 \\[5pt] \dfrac{1}{3}=& P_{\text{Auslandsreise}}(„ \text{Städtereise“}) \end{array}$
Für Kurzurlaube ins Ausland, die keine Städtereisen waren, ergibt sich:
$P_{\text{Auslandsreise}}(\text{„keine Städtereise“}) = 1 - P_{\text{Auslandsreise}} (\text{„Städtereise“}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
Damit ist dein Baumdiagramm nun vollständig:
C1 - Stochastik
C1 - Stochastik
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Vierfeldertafel zeichnen
Trage wieder zunächst alle bekannten Werte in die Vierfeldertafel ein und vervollständige nach und nach mit dem Prinzip des Gegenereignisses und den Rechenregeln für die Vierfeldertafel. Folgende Werte kannst du direkt aus der Aufgabenstellung in die Vierfeldertafel einzeichnen:
Städtereisekeine Städtereise
Auslandsreise$0,08$
Inlandsreise$0,76$
1
Die Wahrscheinlichkeit für eine Reise ins Ausland ergibt sich durch:
$P(\text{„Auslandsreise“}) = 1 - P (\text{„Inlandsreise“}) = 1 - 0,76 = 0,24$.
Die Wahrscheinlichkeit für eine Reise ins Ausland, die keine Städtereise ist, erhältst du durch Anwenden der Rechenregeln für die Vierfeldertafel:
$\begin{array}[t]{rl} P (\text{„Auslandsreise“ $\cap$ „keine Städtereise“}) =& P(\text{„Auslandsreise“}) - P (\text{„Auslandsreise“ $\cap$ „Städtereise“}) \\[5pt] =& 0,24 - 0,08 \\[5pt] =&0,16 \end{array}$
Nun nutzt du dein Wissen aus der Aufgabenstellung über die Wahrscheinlichkeit für eine Städtereise unter der Bedingung, dass der Kurzurlaub ins Inland ging, $P_{\text{Inlandsreise}} (\text{„Städtereise“})=0,426$. Damit ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rl} P (\text{„Inlandsreise“ $\cap$ „Städtereise“})=& P (\text{„Inlandsreise“}) \cdot P_{\text{Inlandsreise}} (\text{„Städtereise“}) \\[5pt] =& 0,76 \cdot 0,426 \\[5pt] =&0,3238 \end{array}$
Mit den Rechenregeln für die Vierfeldertafel kannst du nun die noch fehlenden Wahrscheinlichkeiten berechnen: $\begin{array}[t]{rll} P (\text{„Inlandsreise“ $\cap$ „keine Städtereise“})=& P (\text{„Inlandsreise“}) - P (\text{„Inlandsreise“ $\cap$ „Städtereise“}) \\[5pt] =& 0,76 - 0,3238 \\[5pt] =&0,4362 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P (\text{„Städtereise“})=& P (\text{„Auslandsreise“ $\cap$ „Städtereise“}) + P (\text{„Inlandsreise“ $\cap$ „Städtereise“}) \\[5pt] =& 0,08 + 0,3238 \\[5pt] =&0,4038 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P (\text{„keine Städtereise“})=& P (\text{„Auslandsreise“ $\cap$ „keine Städtereise“}) + P (\text{„Inlandsreise“ $\cap$ „keine Städtereise“}) \\[5pt] =& 0,16 + 0,4362 \\[5pt] =&0,5962 \end{array}$
Eintragen liefert die vollständige Vierfeldertafel:
Städtereisekeine Städtereise
Auslandsreise$0,08$$0,16$$0,24$
Inlandsreise$0,3238$$0,4362$$0,76$
$0,4038$$0,5962$1
2.2 $\blacktriangleright$ Gesamtanzahl der Städtereisen ermitteln
Da die Gesamtanzahl der angetretenen Kurzreisen in der Aufgabenstellung gegeben ist, benötigst du noch die Wahrscheinlichkeit, dass eine Reise eine Städtereise ist, um die Gesamtanzahl der Städtereisen zu ermitteln. Diese kannst du entweder direkt aus der Vierfeldertafel ablesen oder anhand des Baumdiagramms berechnen.
1. Schritt: Wahrscheinlichkeit für Städtereise ermitteln
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Aus der Vierfeldertafel ablesen
$P(\text{„Städtereise“}) = 0,4038$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Mit dem Baumdiagramm berechnen
Mit der 1. Pfadregel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{„Städtereise“}) =& P_{\text{Auslandsreise}}(„\text{Städtereise“}) \cdot P(„\text{Auslandsreise“}) \\[5pt] &+P_{\text{Inlandsreise}}(„\text{Städtereise“}) \cdot P(„\text{Inlandsreise“}) \\[5pt] =&0,24 \cdot \dfrac{1}{3} + 0,76 \cdot 0,426 \\[5pt] =&0,4038 \end{array}$
2. Schritt: Gesamtanzahl der Städtereisen berechnen
Die Gesamtanzahl der Städtereisen kannst du nun mit dem Produkt aus der Gesamtanzahl der angetretenen Reisen und dem Anteil, dass eine Reise eine Städtereise war, berechnen:
$74.500.000 \cdot 0,4038 = 30.083.100$
Also wurden insgesamt ca. $30,1$ Millionen Städtereisen angetreten.
2.3 $\blacktriangleright$ Gesuchte Wahrscheinlichkeit ermitteln
Du weißt, dass es sich um eine Städtereise handelt und sollst nun die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Auslandsreise handelt, berechnen. Dazu nutzt du die bedingte Wahrscheinlichkeit.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Vierfeldertafel nutzen
Nutze die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit und deine in Aufgabe 2.1 aufgestellte Vierfeldertafel:
$\begin{array}[t]{rll} P_{\text{Städtereise}}(\text{„Auslandsreise“})=& \dfrac{P(\text{„Städtereise“ $\cap$ „Auslandsreise“})}{P(\text{„Städtereise“})}& \scriptsize \; \text{ aus Vierfeldertafel ablesen} \\[5pt] =&\dfrac{0,08}{0,4038} \\[5pt] \approx&0,1981 \end{array}$
Damit handelt es sich zu ca. $19,81 \%$ um eine Auslandsreise.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Baumdiagramm nutzen
Nutze den Satz von Bayes und die Wahrscheinlichkeiten deines Baumdiagramms aus Aufgabe 2.1.
$\begin{array}[t]{rll} P_{\text{Städtereise}}(\text{„Auslandsreise“})=& \dfrac{P_{\text{Auslandsreise}}(\text{„Städtereise“}) \cdot P(\text{„Auslandsreise“})}{P(\text{„Städtereise“})}& \scriptsize \; \text{ aus Baumdiagramm ablesen} \\[5pt] =&\dfrac{\dfrac{1}{3} \cdot 0,24}{0,24 \cdot \dfrac{1}{3} + 0,76 \cdot 0,426} \\[5pt] =&\dfrac{0,08}{0,4038} \\[5pt] \approx&0,1981 \end{array}$
Damit handelt es sich zu ca. $19,81 \%$ um eine Auslandsreise.
3.
3.1 $\blacktriangleright$ Entscheidungsregel entwickeln
Die Nullhypothese $H_0: p\leq 0,08$ liefert dir, dass der Test rechtsseitig ist. Die zugehörige Alternative lautet $H_1: p >0,08$. Zudem kannst du folgende Informationen aus der Aufgabenstellung entnehmen:
  • Der Stichprobenumfang beträgt $n=100$.
  • Das Signifikanzniveau ist $\alpha = 0,05$.
  • Die Testgröße (Zufallsvariable) $X$ ist binomialverteilt.
Stelle nun einen Ablehnbereich $\overline{A}$ auf und leite daraus eine Entscheidungsregel im Sachzusammenhang ab.
$\overline{A}=[c+1;100]$.
Also ist $c$ als Grenze für die Entscheidungsregel gesucht. Das Signifikanzniveau soll die maximale Wahrscheinlichkeit sein, sodass die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl sie gilt. Daraus entsteht folgende Ungleichung, mit der du $c$ berechnen kannst:
$\begin{array}[t]{rll} P(X \geq c+1) \leq& 0,05 \\[5pt] 1- P(X \leq c) \leq& 0,05 & \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] - P(X \leq c)\leq& 0,05 -1 & \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] P(X \leq c)\geq& 1-0,05 \\[5pt] P(X \leq c)\geq& 0,95 \end{array}$
Nun kannst du der Tabelle der Binomialsummenfunktion in der Spalte für deine zu testende Wahrscheinlichkeit $p_1=0,08$ entnehmen:
$P(X \leq 13)= 0,9718 \geq 0,95 \Rightarrow c=13$
Für den Ablehnbereich gilt $\overline{A}=[c+1;100]= [13+1;100]= [14;100]$.
Der Annahmebereich ist $A=[0;13]$.
Die Entscheidungsregel im Sachzusammenhang lautet:
Sind mindestens $14$ der $100$ Reisen online gebucht worden, so kann die Nullhypothese $H_0: p\leq 0,08$ auf dem Signifikanzniveau $5 \%$ verworfen werden, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens $8 \%$ der Reisen online gebucht wurden, kann man auf dem Signifikanzniveau $5 \%$ verwerfen. Also geht die Reisebürokette in diesem Fall davon aus, dass sich der Anteil der Online-Buchungen erhöht hat.
Bei höchstens $13$ online gebuchten Reisen, kann die Nullhypothese angenommen werden, d.h. man nimmt auf dem Signifikanzniveau $5 \%$ an, dass höchstens $8 \%$ der Reisen online gebucht wurden. In diesem Fall geht die Reisebürokette davon aus, dass sich der Anteil der Online-Buchungen nicht erhöht hat.
3.2
3.2.1 $\blacktriangleright$ Fehler 1. Art erläutern
Der Fehler 1. Art tritt ein, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl diese in Wahrheit zutrifft. Beziehe diese Definition auf den Sachzusammenhang:
Du begehst einen Fehler 1. Art, wenn du aufgrund deines Testergebnisses behauptest, dass die Wahrscheinlichkeit online gebuchter Reisen mehr als $8 \%$ beträgt, obwohl in der Realität die Wahrscheinlichkeit höchstens $8 \%$ beträgt. Dieser Fehler kann also nur auftreten, falls mindestens $14$ der $100$ Reisen online gebucht wurden.
$\blacktriangleright$ Fehler 2. Art erläutern
Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn die Nullhypothese angenommen wird, obwohl in Wahrheit die Alternative gilt. Beziehe diese Definition auf den Sachzusammenhang:
Du begehst einen Fehler 2. Art, wenn du aufgrund deines Testergebnisses behauptest, dass die Wahrscheinlichkeit online gebuchter Reisen höchstens $8 \%$ beträgt, obwohl diese tatsächlich größer als $8 \%$ ist. Dieser Fehler kann nur auftreten, falls höchstens $13$ der $100$ Reisen online gebucht wurden.
3.2.2 $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ermitteln
Du kannst der Aufgabenstellung die alternative Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0,15$ entnehmen. Um die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art zu erhalten, berechnest du die Wahrscheinlichkeit, dass deine Testgröße $X$ im Annahmebereich $A$ liegt, wenn die alternative Wahrscheinlichkeit $p_0=0,15$ gilt. Nimm also die Wahrscheinlichkeit einer online gebuchten Reise als $15 \%$ an:
C1 - Stochastik
C1 - Stochastik
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{„Fehler 2. Art“})=& P(X \in A) \\[5pt] =&P(X \leq 13)& \\[5pt] =&0,3474 \end{array}$
Damit liegt die Wahrscheinlichkeit, dass die Reisebürokette bei ihrem Hypothesentest einen Fehler 2. Art beging, bei $\boldsymbol{34,74 \%}$.
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