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B2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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In Rom am Piazzale Ostiense steht nach ägyptischem Vorbild die $40\,\text{m}$ hohe Cestius-Pyramide (Material 1 und 2). Die Seitenlängen der quadratischen Grundfläche $ABCD$ betragen $30\,\text{m}$. Die Spitze der Pyramide liegt in $S\ (\ 15\ |\ 15\ |\ 40)$ (alle Angaben in Metern).
#pyramide
1.
Gib die Skalierung der Achsen des Koordinatensystems in Material 2 und die Koordinaten der Eckpunkte $A$, $B$, $C$ und $D$ an.
(5P)
2.
Ermittle eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene $E$, in der die Pyramidenfläche $CDS$ liegt.
[zur Kontrolle: $8y+3z=240$ ist eine mögliche Koordinatengleichung von $E$.]
(5P)
#parameterform#ebenengleichung#koordinatenform
3.
Zur Säuberung der teilweise mit Moos und Unkraut bewachsenen Pyramide muss ein Gebäudereiniger an den Seitenflächen hochsteigen. Bei Gebäudeflächen mit einer Neigung von mehr als 60° darf er diese nur mit Sicherung besteigen.
Entscheide durch eine geeignete Rechnung, ob hier eine solche Sicherung notwendig ist.
(4P)
#neigungswinkel
4.
Die Strahlen der Vormittagssonne fallen zu einem bestimmten Zeitpunkt in Richtung des Vektors $\vec{s_v}=\begin{pmatrix}1\\2\\-4 \end{pmatrix}$ auf die Pyramide. Eine Touristin sitzt zu diesem Zeitpunkt gegenüber der Pyramide in einem Café. Eines ihrer Augen befindet sich im Punkt $T\ (\ 24,75\ |\ 34,5\ |\ 1)$.
Bestätige durch eine geeignete Rechnung, dass der Schatten der Pyramidenspitze genau in dieses Auge fällt.
(4P)
5.
Um die Mittagszeit fallen die Sonnenstrahlen nun in Richtung des Vektors $\vec{s_M}=\begin{pmatrix}2\\1\\-20 \end{pmatrix}$ auf die Cestius-Pyramide. Zeige rechnerisch, dass zu diesem Zeitpunkt die Pyramide keinen Schatten spenden kann.
(6P)
6.
Zur Überprüfung der Stabilität des Gesteins der Pyramide wird eine Probebohrung angeordnet. Dazu wird senkrecht zur Seitenfläche $CDS$ eine Bohrung bis zum Mittelpunkt der quadratischen Grundfläche durchgeführt. Berechne den Punkt $P$ auf der Seitenfläche $CDS$, in dem die Bohrung beginnen muss.
Bestimme die Länge des entstehenden Bohrkanals.
[zur Kontrolle: Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich $P\ (\ 15\ |\ 28,15\ |\ 4,93)$].
(6P)

Material

B2 - Analytische Geometrie
Material 1: Cestius-Pyramide, Piazzale Ostiense, Rom
Bildnachweise [nach oben]
[1]
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:2012-07-04_Piazzale_Ostiense.jpg – Piazzale Ostiense in Rome; on the left the Pyramid of Caius Cestius, on the right Porta San Paolo, Blackcat, CC BY-SA 3.0.
[2]
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1.
$\blacktriangleright$  Skalierung der Achsen und Koordinaten der Eckpunkte
Wie du der Aufgabenstellung entnehmen kannst, ist eine Seite der Pyramide 30 Meter lang. Auf der $y$ und der $z$-Achse wird die Pyramide mit sechs, auf der $x$-Achse mit drei Kästschen gemessen. Damit kannst du die Skalierung der Achsen und die Koordinaten der Eckpunkte bestimmen.
Die $z$-Koordinate ist hierbei jeweils Null, da sich die Eckpunkte alle in der $x$-$y$-Ebene befinden.
2.
$\blacktriangleright$  Ermitteln einer Gleichung in Parameterform der CDS-Ebene
Für die Gleichung in Parameterform der Ebene benötigst du den Ortsvektor eines Punktes $P$ auf der Ebene und zwei linearunabhängige Vektoren innerhalb dieser Ebene die du als Spannvektoren verwendest.
Hierfür bietet es sich an den Punkt $D$ und die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{DS}$ zu verwenden.
$\blacktriangleright$  Ermitteln einer Gleichung in Koordinatenform der CDS-Ebene
Um die Gleichung in Koordinatenform zu ermitteln kannst du die Normalenform verwenden.
$(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{n}=0$
$(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{n}=0$
Hierbei beschreibt $\overrightarrow{p}$ einen Ortsvektor eines beliebigen, bekannten Punktes auf der Ebene und $\overrightarrow{n}$ einen Normalenvektor, der senkrecht zur Ebene steht.
Einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ kannst du aus dem Kreuzprodukt der Vektoren $\overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{DS}$ berechnen. Das Kreuzprodukt aus den beiden Vektoren ergibt einen Vektor, der zu diesen beiden senkrecht steht.
Tipp
Zum Überprüfen, ob die Gleichung stimmt kannst du die Koordinaten eines Punktes der Ebene probeweise einsetzen. Beispielsweise die Koordinaten von $S:$ $$\begin{array}[t]{rll} 8 \cdot 15 + 3 \cdot 40 &=& 240\\[5pt] 240 &=& 240 \end{array}$$
Tipp
Zum Überprüfen, ob die Gleichung stimmt kannst du die Koordinaten eines Punktes der Ebene probeweise einsetzen. Beispielsweise die Koordinaten von $S$: $$\begin{array}[t]{rll} 8 \cdot 15 + 3 \cdot 40 &=& 240\\[5pt] 240 &=& 240 \end{array}$$
3.
$\blacktriangleright$  Neigung der Pyramidenseiten ermitteln
In dieser Aufgabe sollst du entscheiden, ob die Seitenfläche der Pyramide flach genug ist um sie ungesichert reinigen zu können. Hierzu musst du den Neigungswinkel einer Pyramidenseite bestimmen. Ist dieser kleiner als 60°, kann die Pyramide ungesichert gereinigt werden.
Es reicht aus nur die Neigung einer der Seitenflächen zu berechnen, da die Pyramide symmetrisch ist. Alle Seitenflächen haben die selbe Neigung.
Um den Winkel der Neigung zu berechnen, kannst du den Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{M_{AB}S}$ und $\overrightarrow{AD}$ bestimmen. Der Punkt $M_{AB}$ ist hierbei der Streckenmittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$.
4.
$\blacktriangleright$  Schattenwurfs der Pyramidenspitze bestätigen
In dieser Aufgabe sollst du überprüfen, ob die Pyramidenspitze einen Schatten in das Auge der Touristin wirft. Beides kann durch Punkte im Koordiantensystem abgebildet werden. Um zu prüfen, ob der Schatten der Pyramidenspitze genau in das Auge der Touristin fällt, musst du zunächst eine Geradengleichung $g$ aufstellen, die den Verlauf des Schattens beschreibt. Stelle zunächst eine solche Geradengleichung mit dem Ortsvektor der Pyramidenspitze $\overrightarrow{OS}$ als Stützvektor und $\overrightarrow{s_v}$ als Richtungsvektor auf.
Danach überprüfst du mit Hilfe einer Punktprobe ob der Punkt T auf dieser Geraden liegt.
5.
$\blacktriangleright$  Schattenwurfs der Pyramide bestimmen
Hier geht es darum, eine Aussage darüber zu treffen, ob die Pyramide zur Mittagszeit überhaupt einen Schatten wirft. Ähnlich wie in Aufgabe 4 musst du auch in dieser Aufgabe eine Geradengleichung aufstellen, die einen möglichen Schattenwurf der Pyramidenspitze beschreibt. Wirft die Pyramidenspitze keinen Schatten, wirft die gesamte Pyramide keinen Schatten.
Deshalb suchst du den Durchstoßpunkt dieser Geraden mit der $x$-$y$-Ebene (Die Ebene, auf der die Pyramide steht). Dieser Punkt ist der Schattenpunkt der Pyramidenspitze.
Befindet sich dieser Durchstoßpunkt innerhalb des Rechtecks der Grundfläche der Pyramide, wirft die Pyramidenspitze keinen Schatten.
Zusammengefasst gehst du folgendermaßen vor:
  • Geradengleichung aufstellen
  • $x$-$y$-Ebene bestimmen
  • Durchstoßpunkt der Geraden mit der $x$-$y$-Ebene bestimmen
6.
$\blacktriangleright$  Bestimmung des Bohrkanals
In dieser Aufgabe wird ein Bohrkanal beschrieben, der an der CDS-Seite der Pyramide beginnen, senkrecht auf der CDS-Ebene stehen und am Mittelpunkt der Stellfläche der Pyramide enden soll.
Zur Bestimmung des Punktes, an dem der Bohrkanal beginnt, musst du zunächst eine Geradengleichung ermitteln, die den Verlauf dieses Bohrkanals beschreibt. Wie du weißt, liegt der Mittelpunkt der quadratischen Pyramide auf der gesuchten Gerade. Der Richtungsvektor muss so gewählt werden, dass er senkrecht zur CDS-Ebene steht. Hast du die Geradengleichung bestimmt, kannst du damit den Durchstoßpunkt zur CDS-Ebene bestimmen. Die Gleichung in Koordinatenform der CDS-Ebene hast du schon in Aufgabe 2 erstellt.
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1.
$\blacktriangleright$  Skalierung der Achsen und Koordinaten der Eckpunkte
Wie du der Aufgabenstellung entnehmen kannst, ist eine Seite der Pyramide 30 Meter lang. Da auf der $y$ und der $z$-Achse die Pyramide mit sechs Kästschen gemessen wird, geben zwei Kästschen 10 Meter an. Auf der $x$-Achse umfasst die 30 Meter lange Seite drei Kästschen. Also gibt ein Kästschen 10 Meter an. Damit lassen sich die Koordinaten der Eckpunkte ablesen. Die $z$-Koordinate ist hierbei jeweils Null, da sich die Eckpunkte alle in der $x$-$y$-Ebene befinden.
$A (0 \mid 0 \mid 0)$, $B (30 \mid 0 \mid 0)$, $C (30 \mid 30 \mid 0)$ und $D (0 \mid 30 \mid 0)$
2.
$\blacktriangleright$  Ermitteln einer Gleichung in Parameterform der CDS-Ebene
Für die Gleichung in Parameterform der Ebene benötigst du den Ortsvektor eines Punktes $P$ auf der Ebene und zwei linearunabhängige Vektoren innerhalb dieser Ebene die du als Spannvektoren verwendest.
Hierfür bietet es sich an den Punkt $D$ und die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{DS}$ zu verwenden.
$\overrightarrow{OD} =$ $\begin{pmatrix} 0\\ 30\\ 0 \end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{DC} =$ $\begin{pmatrix} 30 - 0\\ 30 - 30\\ 0 - 0 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 30\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{DS} =$ $\begin{pmatrix} 15 - 0\\ 15 - 30\\ 40 - 0 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 15\\ -15\\ 40 \end{pmatrix}$ .
Daraus ergibt sich nun eine Gleichung in Parameterform:
$\overrightarrow{x} = \overrightarrow{OP} + s \cdot \overrightarrow{DC}+t \cdot \overrightarrow{DS} = \begin{pmatrix} 0\\ 30\\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 30\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 15\\ -15\\ 40 \end{pmatrix}$
$ \overrightarrow{x} = … $
$\blacktriangleright$  Ermitteln einer Gleichung in Koordinatenform der CDS-Ebene
Um die Gleichung in Koordinatenform zu ermitteln kannst du die Normalenform verwenden.
$(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{n}=0$
$(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{n}=0$
Hierbei beschreibt $\overrightarrow{p}$ einen Ortsvektor eines beliebigen, bekannten Punktes auf der Ebene und $\overrightarrow{n}$ einen Normalenvektor, der senkrecht zur Ebene steht.
Einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ kannst du aus dem Kreuzprodukt der Vektoren $\overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{DS}$ berechnen. Das Kreuzprodukt aus den beiden Vektoren ergibt einen Vektor, der zu diesen beiden senkrecht steht. \begin{align} \overrightarrow{n}&=\overrightarrow{DC}\times \overrightarrow{DS}\\ \overrightarrow{n}&= \begin{pmatrix} 30\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 15\\ -15\\ 40 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0 \cdot 40-0 \cdot (-15)\\ 0 \cdot 15-30 \cdot 40\\ 30 \cdot (-15)-0 \cdot 15 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0\\ -1.200\\ -450 \end{pmatrix} \end{align} Einsetzen der Ergebnisse in die Normalenform ergibt nun: \begin{align} (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{OD})\cdot \overrightarrow{n}&=0\\ \left( \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 0\\30\\0 \end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix} 0\\ -1.200\\ -450 \end{pmatrix}&=0\\ \begin{pmatrix} x \\ y -30\\ z \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 0\\ -1.200\\ -450 \end{pmatrix}&=0\\ -1.200 \cdot (y-30)-450 \cdot z &=0 \\ -1.200y-450z &=-36.000 \\ 8y + 3z &=240 \\ \end{align}
Tipp
Zum Überprüfen, ob die Gleichung stimmt kannst du die Koordinaten eines Punktes der Ebene probeweise einsetzen. Beispielsweise die Koordinaten von $S$: $$\begin{array}[t]{rll} 8 \cdot 15 + 3 \cdot 40 &=& 240\\[5pt] 240 &=& 240 \end{array}$$
Tipp
Zum Überprüfen, ob die Gleichung stimmt kannst du die Koordinaten eines Punktes der Ebene probeweise einsetzen. Beispielsweise die Koordinaten von $S$: $$\begin{array}[t]{rll} 8 \cdot 15 + 3 \cdot 40 &=& 240\\[5pt] 240 &=& 240 \end{array}$$
#kreuzprodukt#normalenvektor#ortsvektor
3.
$\blacktriangleright$  Neigung der Pyramidenseiten ermitteln
In dieser Aufgabe sollst du entscheiden, ob die Seitenfläche der Pyramide flach genug ist um sie ungesichert reinigen zu können. Hierzu musst du den Neigungswinkel einer Pyramidenseite bestimmen. Ist dieser kleiner als 60°, kann die Pyramide ungesichert gereinigt werden.
Es reicht aus nur die Neigung einer der Seitenflächen zu berechnen, da die Pyramide symmetrisch ist. Alle Seitenflächen haben die selbe Neigung.
Um den Winkel der Neigung zu berechnen, kannst du den Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{M_{AB}S}$ und $\overrightarrow{AD}$ bestimmen. Der Punkt $M_{AB}$ ist hierbei der Streckenmittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$.
Den Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\overrightarrow{M_{AB}S}$ und $\overrightarrow{AD}$ bestimmst du mit folgender Formel:
$\cos(\alpha) = \dfrac{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|}$
$\cos(\alpha) = \dfrac{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|}$
Um den Streckenmittelpunkt $M_{AB}$ zu bestimmen multipliziere den Vektor zwischen $A$ und $B$ mit $0,5$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM_{\overline{AB}}} &= 0,5 \cdot \overrightarrow{AB} &=0,5 \cdot \left( \begin{pmatrix} 30\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\right) =\begin{pmatrix} 15\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \end{array}$
$ \overrightarrow{OM_{\overline{AB}}} = \begin{pmatrix} 15\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} $
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{M_{AB}S} &= \begin{pmatrix} 15\\ 15\\ 40 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 15\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 15\\ 40 \end{pmatrix} \end{array}$
Jetzt bestimmst du den Winkel zwischen $\overrightarrow{M_{\overline{AB}}S}$ und $\overrightarrow{AD}$ mit der zuvor erwähnten Formel:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\sphericalangle \overrightarrow{M_{\overline{AB}}S}\overrightarrow{AD}) &=& \dfrac{\overrightarrow{M_{\overline{AB}}S} \circ \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{M_{AB}S}| \cdot |\overrightarrow{AD}|} \\[5pt] \cos(\sphericalangle \overrightarrow{M_{AB}S}\overrightarrow{AD}) &=& \dfrac{0 \cdot 0 + 15 \cdot 30 + 40 \cdot 0 }{\sqrt{0²+15²+40²} \cdot \sqrt{0²+30²+0²}} \\[5pt] \cos(\sphericalangle \overrightarrow{M_{AB}S}\overrightarrow{AD}) &=& \dfrac{450}{\sqrt{1.825} \cdot \sqrt{900}} \\[5pt] \cos(\sphericalangle \overrightarrow{M_{AB}S}\overrightarrow{AD}) &\approx& 0,3511 \quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \sphericalangle \overrightarrow{M_{AB}S}\overrightarrow{AD} &\approx& \cos^{-1}(0,3511) \\[5pt] \sphericalangle \overrightarrow{M_{AB}S}\overrightarrow{AD} &\approx& 69,44^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ \cos(\sphericalangle \overrightarrow{M_{AB}S}\overrightarrow{AD}) \approx 69,44^{\circ} $
Es ergibt sich ein Neigungswinkel von $69,44°$. Da der Neigungswinkel größer als $60°$ ist, muss der Gebäudereiniger bei seiner Arbeit gesichert werden.
4.
$\blacktriangleright$  Schattenwurfs der Pyramidenspitze bestätigen
In dieser Aufgabe sollst du überprüfen, ob die Pyramidenspitze einen Schatten in das Auge der Touristin wirft. Beides kann durch Punkte im Koordiantensystem abgebildet werden. Um zu prüfen, ob der Schatten der Pyramidenspitze genau in das Auge der Touristin fällt, musst du zunächst eine Geradengleichung $g$ aufstellen, die den Verlauf des Schattens beschreibt. Stelle zunächst eine solche Geradengleichung mit dem Ortsvektor der Pyramidenspitze $\overrightarrow{OS}$ als Stützvektor und $\overrightarrow{s_v}$ als Richtungsvektor auf.
Danach überprüfst du mit Hilfe einer Punktprobe ob der Punkt T auf dieser Geraden liegt.
1. Schritt: Geradengleichung von $\boldsymbol{g}$ aufstellen
Mit $\overrightarrow{OS}$ als Stützvektor und $\overrightarrow{s_v}$ als Richtungsvektor erhältst du:
$g: \, \overrightarrow{OS} + t \cdot \overrightarrow{s_v} = \begin{pmatrix}15\\15\\40\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-4\end{pmatrix}$
2. Schritt: Punktproben durchführen
Jetzt prüfst du, ob das Auge der Touristin ($T$) ein Punkt auf dieser Geraden ist. Dies kannst du mit einer Punktprobe tun. Dazu muss es einen Parameter $t$ geben, sodass du $T$ aus der Funktionsgleichung der Geraden $g$ erhältst:
$\begin{pmatrix}24,75\\34,5\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}15\\15\\40\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-4\end{pmatrix} $
Daraus erhältst du drei Gleichungen, die du nach dem Parameter $t$ auflöst:
$\begin{array}[t]{lrll} \text{I} & 24,75&=& 15 + 1 \cdot t & \quad \scriptsize \mid\; -15 \\[5pt] & 9,75 &=& t \end{array}$
$\begin{array}[t]{lrll} \text{II} & 34,5 &=& 15 + 2\cdot t & \quad \scriptsize \mid\; -15 \\[5pt] & 19,5 &=& 2 \cdot t & \quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] & 9,75 &=& t \end{array}$
$\begin{array}[t]{lrll} \text{III} & 1 &=& 40 - 4 \cdot t & \quad \scriptsize \mid\; -40 \\[5pt] & - 39 &=& - 4 \cdot t & \quad \scriptsize \mid\; :(-4) \\[5pt] & 9,75 &=& t \end{array}$
Für $t=9,75$ sind alle drei Gleichungen erfüllt, das heißt, es existiert ein Parameterwert für $t$ und der Punkt $T$ liegt auf der Geraden $g$. Damit fällt der Schatten der Pyramidenspitze in das Auge der Touristin.
#geradengleichung#punktprobe
5.
$\blacktriangleright$  Schattenwurfs der Pyramide bestimmen
Hier geht es darum, eine Aussage darüber zu treffen, ob die Pyramide zur Mittagszeit überhaupt einen Schatten wirft. Ähnlich wie in Aufgabe 4 musst du auch in dieser Aufgabe eine Geradengleichung aufstellen, die einen möglichen Schattenwurf der Pyramidenspitze beschreibt. Wirft die Pyramidenspitze keinen Schatten, wirft die gesamte Pyramide keinen Schatten.
Deshalb suchst du den Durchstoßpunkt dieser Geraden mit der $x$-$y$-Ebene (Die Ebene, auf der die Pyramide steht). Dieser Punkt ist der Schattenpunkt der Pyramidenspitze.
Befindet sich dieser Durchstoßpunkt innerhalb des Rechtecks der Grundfläche der Pyramide, wirft die Pyramidenspitze keinen Schatten.
Zusammengefasst gehst du folgendermaßen vor:
  • Geradengleichung aufstellen
  • $x$-$y$-Ebene bestimmen
  • Durchstoßpunkt der Geraden mit der $x$-$y$-Ebene bestimmen
1.Schritt: Geradengleichung aufstellen
Mit $\overrightarrow{OS}$ als Stützvektor und $\overrightarrow{s_M}$ als Richtungsvektor erhältst du:
$g: \, \overrightarrow{OS} + t \cdot \overrightarrow{s_M} = \begin{pmatrix}15\\15\\40\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-20\end{pmatrix}$
2.Schritt: Gleichnug der $\boldsymbol{x\text{-}y}$-Ebene bestimmen
Um den Durchstoßpunkt mit der $x$-$y$-Ebene bestimmen, musst du zunächst eine Gleichung in Parameterform der $x$-$y$-Ebene bestimmen. Wie auch schon in Aufgabe 2 benötigst du hierfür einen Punkt der Ebene und zwei Spannvektoren innerhalb der Ebene. Hierfür kommt grundsätzlich jeder Punkt und jeder Vektor in Frage dessen $z$-Koordinate gleich null ist.
Somit bieten sich folgende Punkte und Vektoren an:
$\overrightarrow{O} =$ $\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{a} =$ $\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{b} =$ $\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$
Daraus ergibt sich nun die Gleichung in Parameterform:
$\overrightarrow{x} = \overrightarrow{O} +s \cdot \overrightarrow{a}+r \cdot \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$
$ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} $
3.Schritt: Durchstoßpunkt der Geraden mit der $\boldsymbol{x}$-$\boldsymbol{y}$-Ebene bestimmen
Um den Durchstoßpunkt zu bestimmen, setzt du nun die Geraden- und die Ebenengleichung gleich:
$ \begin{pmatrix}15\\15\\40\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-20\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$
$ $
Daraus ergeben sich folgende Gleichungen:
$\begin{array}[t]{lrll} \text{I} & 15 + 2 \cdot t &=& s & \quad \scriptsize \\[5pt] \text{II} & 15 + t &=& r & \quad \scriptsize \\[5pt] \text{III} & 40 - 20 \cdot t &=& 0 & \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Aus $\text{III}$ ergibt sich $t=2$. Setzt du dies in $\text{I}$ und $\text{II}$ ein, erhältst du für $s=19$ und $r=17$.
Setzt du nun $t=2$ in die Geradengleichung oder $s=19$ und $r=17$ in die Ebenengleichung ein, erhältst du als Durchstoßpunkt: $P_D (19 \mid 17 \mid 0)$
Dieser Punkt liegt innerhalb des $30 \times 30$ Quadrats, auf dem die Pyramide steht. Somit wirft die Pyramidenspitze keinen Schatten und damit wirft auch der Rest der Pyramide keinen Schatten.
#geradengleichung
6.
$\blacktriangleright$  Bestimmung des Bohrkanals
In dieser Aufgabe wird ein Bohrkanal beschrieben, der an der CDS-Seite der Pyramide beginnen, senkrecht auf der CDS-Ebene stehen und am Mittelpunkt der Stellfläche der Pyramide enden soll.
Zur Bestimmung des Punktes, an dem der Bohrkanal beginnt, musst du zunächst eine Geradengleichung ermitteln, die den Verlauf dieses Bohrkanals beschreibt. Wie du weißt, liegt der Mittelpunkt der quadratischen Pyramide auf der gesuchten Gerade. Der Richtungsvektor muss so gewählt werden, dass er senkrecht zur CDS-Ebene steht. Hast du die Geradengleichung bestimmt, kannst du damit den Durchstoßpunkt zur CDS-Ebene bestimmen. Die Gleichung in Koordinatenform der CDS-Ebene hast du schon in Aufgabe 2 erstellt.
1.Schritt: Geradengleichung des Bohrkanals bestimmen
Als Stützpunkt kommt hier nur der Mittelpunkt $P_D (15 \mid 15 \mid 0)$ der quadratischen Pyramide in Frage, da dies der einzige Punkt ist, von dem du weist, dass er auf der Geraden liegen muss. Als Richtungsvektor bietet es sich an den Normalenvektor zu benutzen, den du schon in Aufgabe 2 berechnet hast. So ergibt sich folgende Geradengleichung:
$\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \overrightarrow{OM} +s \cdot \overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 15\\ 15\\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0\\ -1.200\\ -450 \end{pmatrix} $
$ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 15\\ 15\\ 0 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0\\ -1.200\\ -450 \end{pmatrix} $
2.Schritt: Durchstoßpunkt des Bohrkanals mit der CDS-Ebene bestimmen
Aus Aufgabe 2 hast du die Gleichung in Koordinatenform mit $0 x + 8 y + 3 z = 240$ gegeben.
Aus der zuvor bestimmten Geradengleichung erhältst du ein lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}[t]{lrll} \text{I} & x &=& 15 & \quad \scriptsize \\[5pt] \text{II} & y &=& 15 - 1.200 \cdot s & \quad \scriptsize \\[5pt] \text{III} & z &=& - 450 \cdot s & \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Diese Gleichungen für $x$, $y$ und $z$ setzt du nun in die Gleichung in Koordinatenform ein.
$\begin{array}[t]{rll} 0 \cdot 15 + 8 \cdot (15 - 1.200 \cdot s) + 3 \cdot (- 450 \cdot s) &=& 240 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] 120 - 9.600 \cdot s - 1.350 \cdot s &=& 240 \quad \scriptsize \mid\; -120 \\[5pt] - 10.950 \cdot s &=& 120 \quad \scriptsize \mid\; :(-10.950) \\[5pt] s &=& -\dfrac{12}{1.095} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ s=-\dfrac{12}{1.095} $
Mit dem so bestimmten Wert für $s$ kannst du nun die Koordinaten des Durchstoßpunkts und damit den Punkt $P$ an dem die Bohrung beginnen soll, bestimmen.
$ \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15\\ 15\\ 0 \end{pmatrix}-\dfrac{12}{1.095} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ -1.200\\ -450 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 15\\ 28,15\\ 4,93 \end{pmatrix} $
$ \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 15\\ 28,15\\ 4,93 \end{pmatrix} $
Somit muss die Bohrung im Punkt $P(15\mid 28,15 \mid 4,93)$ beginnen.
$\blacktriangleright$  Bohrkanallänge bestimmen
Du hast die Koordinaten des Mittelpunkts $M(15 \mid 15 \mid 0)$ und des Bohrpunkts $P(15\mid 28,15 \mid 4,93)$ gegeben. Der Abstand zwischen zwei Punkten lässt sich mit folgender Formel bestimmen:
$l=\sqrt{(x_1-x_2)²+(y_1-y_2)²+(z_1-z_2)²}$
$l=$ $\sqrt{(x_1-x_2)²+(y_1-y_2)²+(z_1-z_2)²}$
$\begin{array}[t]{rll} l &=& \sqrt{(15-15)²+(15-28,15)²+(0-4,93)²} \\[5pt] l &=& \sqrt{0²+(-13,15)²+(-4,93)²} \\[5pt] l &\approx& \sqrt{197,2274} \\[5pt] l &\approx& 14,04 \end{array}$
$ l \approx 14,04 $
Der Bohrkanal wird ca. 14,04 Meter lang.
#geradengleichung
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1.
$\blacktriangleright$  Skalierung der Achsen und Koordinaten der Eckpunkte
Wie du der Aufgabenstellung entnehmen kannst, ist eine Seite der Pyramide 30 Meter lang. Da auf der $y$ und der $z$-Achse die Pyramide mit sechs Kästschen gemessen wird, geben zwei Kästschen 10 Meter an. Auf der $x$-Achse umfasst die 30 Meter lange Seite drei Kästschen. Also gibt ein Kästschen 10 Meter an. Damit lassen sich die Koordinaten der Eckpunkte ablesen. Die $z$-Koordinate ist hierbei jeweils Null, da sich die Eckpunkte alle in der $x$-$y$-Ebene befinden.
$A (0 \mid 0 \mid 0)$, $B (30 \mid 0 \mid 0)$, $C (30 \mid 30 \mid 0)$ und $D (0 \mid 30 \mid 0)$
2.
$\blacktriangleright$  Ermitteln einer Gleichung in Parameterform der CDS-Ebene
Für die Gleichung in Parameterform der Ebene benötigst du den Ortsvektor eines Punktes $P$ auf der Ebene und zwei linearunabhängige Vektoren innerhalb dieser Ebene die du als Spannvektoren verwendest.
Hierfür bietet es sich an den Punkt $D$ und die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{DS}$ zu verwenden.
$\overrightarrow{OD} =$ $\begin{pmatrix} 0\\ 30\\ 0 \end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{DC} =$ $\begin{pmatrix} 30 - 0\\ 30 - 30\\ 0 - 0 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 30\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{DS} =$ $\begin{pmatrix} 15 - 0\\ 15 - 30\\ 40 - 0 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 15\\ -15\\ 40 \end{pmatrix}$ .
Daraus ergibt sich nun eine Gleichung in Parameterform:
$\overrightarrow{x} = \overrightarrow{OP} + s \cdot \overrightarrow{DC}+t \cdot \overrightarrow{DS} = \begin{pmatrix} 0\\ 30\\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 30\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 15\\ -15\\ 40 \end{pmatrix}$
$ \overrightarrow{x} = … $
$\blacktriangleright$  Ermitteln einer Gleichung in Koordinatenform der CDS-Ebene
Um die Gleichung in Koordinatenform zu ermitteln kannst du die Normalenform verwenden.
$(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{n}=0$
$(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{n}=0$
Hierbei beschreibt $\overrightarrow{p}$ einen Ortsvektor eines beliebigen, bekannten Punktes auf der Ebene und $\overrightarrow{n}$ einen Normalenvektor, der senkrecht zur Ebene steht.
Einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ kannst du aus dem Kreuzprodukt der Vektoren $\overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{DS}$ berechnen. Das Kreuzprodukt aus den beiden Vektoren ergibt einen Vektor, der zu diesen beiden senkrecht steht. \begin{align} \overrightarrow{n}&=\overrightarrow{DC}\times \overrightarrow{DS}\\ \overrightarrow{n}&= \begin{pmatrix} 30\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 15\\ -15\\ 40 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0 \cdot 40-0 \cdot (-15)\\ 0 \cdot 15-30 \cdot 40\\ 30 \cdot (-15)-0 \cdot 15 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0\\ -1.200\\ -450 \end{pmatrix} \end{align} Einsetzen der Ergebnisse in die Normalenform ergibt nun: \begin{align} (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{OD})\cdot \overrightarrow{n}&=0\\ \left( \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 0\\30\\0 \end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix} 0\\ -1.200\\ -450 \end{pmatrix}&=0\\ \begin{pmatrix} x \\ y -30\\ z \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 0\\ -1.200\\ -450 \end{pmatrix}&=0\\ -1.200 \cdot (y-30)-450 \cdot z &=0 \\ -1.200y-450z &=-36.000 \\ 8y + 3z &=240 \\ \end{align}
Tipp
Zum Überprüfen, ob die Gleichung stimmt kannst du die Koordinaten eines Punktes der Ebene probeweise einsetzen. Beispielsweise die Koordinaten von $S$: $$\begin{array}[t]{rll} 8 \cdot 15 + 3 \cdot 40 &=& 240\\[5pt] 240 &=& 240 \end{array}$$
Tipp
Zum Überprüfen, ob die Gleichung stimmt kannst du die Koordinaten eines Punktes der Ebene probeweise einsetzen. Beispielsweise die Koordinaten von $S$: $$\begin{array}[t]{rll} 8 \cdot 15 + 3 \cdot 40 &=& 240\\[5pt] 240 &=& 240 \end{array}$$
#ortsvektor#kreuzprodukt#normalenvektor
3.
$\blacktriangleright$  Neigung der Pyramidenseiten ermitteln
In dieser Aufgabe sollst du entscheiden, ob die Seitenfläche der Pyramide flach genug ist um sie ungesichert reinigen zu können. Hierzu musst du den Neigungswinkel einer Pyramidenseite bestimmen. Ist dieser kleiner als 60°, kann die Pyramide ungesichert gereinigt werden.
Es reicht aus nur die Neigung einer der Seitenflächen zu berechnen, da die Pyramide symmetrisch ist. Alle Seitenflächen haben die selbe Neigung.
Um den Winkel der Neigung zu berechnen, kannst du den Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{M_{AB}S}$ und $\overrightarrow{AD}$ bestimmen. Der Punkt $M_{AB}$ ist hierbei der Streckenmittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$.
Den Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\overrightarrow{M_{AB}S}$ und $\overrightarrow{AD}$ bestimmst du mit folgender Formel:
$\cos(\alpha) = \dfrac{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|}$
$\cos(\alpha) = \dfrac{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|}$
Um den Streckenmittelpunkt $M_{AB}$ zu bestimmen multipliziere den Vektor zwischen $A$ und $B$ mit $0,5$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM_{\overline{AB}}} &= 0,5 \cdot \overrightarrow{AB} &=0,5 \cdot \left( \begin{pmatrix} 30\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\right) =\begin{pmatrix} 15\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \end{array}$
$ \overrightarrow{OM_{\overline{AB}}} = \begin{pmatrix} 15\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} $
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{M_{AB}S} &= \begin{pmatrix} 15\\ 15\\ 40 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 15\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 15\\ 40 \end{pmatrix} \end{array}$
Jetzt bestimmst du den Winkel zwischen $\overrightarrow{M_{\overline{AB}}S}$ und $\overrightarrow{AD}$ mit der zuvor erwähnten Formel:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\sphericalangle \overrightarrow{M_{\overline{AB}}S}\overrightarrow{AD}) &=& \dfrac{\overrightarrow{M_{\overline{AB}}S} \circ \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{M_{AB}S}| \cdot |\overrightarrow{AD}|} \\[5pt] \cos(\sphericalangle \overrightarrow{M_{AB}S}\overrightarrow{AD}) &=& \dfrac{0 \cdot 0 + 15 \cdot 30 + 40 \cdot 0 }{\sqrt{0²+15²+40²} \cdot \sqrt{0²+30²+0²}} \\[5pt] \cos(\sphericalangle \overrightarrow{M_{AB}S}\overrightarrow{AD}) &=& \dfrac{450}{\sqrt{1.825} \cdot \sqrt{900}} \\[5pt] \cos(\sphericalangle \overrightarrow{M_{AB}S}\overrightarrow{AD}) &\approx& 0,3511 \quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \sphericalangle \overrightarrow{M_{AB}S}\overrightarrow{AD} &\approx& \cos^{-1}(0,3511) \\[5pt] \sphericalangle \overrightarrow{M_{AB}S}\overrightarrow{AD} &\approx& 69,44^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ \cos(\sphericalangle \overrightarrow{M_{AB}S}\overrightarrow{AD}) \approx 69,44^{\circ} $
Es ergibt sich ein Neigungswinkel von $69,44°$. Da der Neigungswinkel größer als $60°$ ist, muss der Gebäudereiniger bei seiner Arbeit gesichert werden.
4.
$\blacktriangleright$  Schattenwurfs der Pyramidenspitze bestätigen
In dieser Aufgabe sollst du überprüfen, ob die Pyramidenspitze einen Schatten in das Auge der Touristin wirft. Beides kann durch Punkte im Koordiantensystem abgebildet werden. Um zu prüfen, ob der Schatten der Pyramidenspitze genau in das Auge der Touristin fällt, musst du zunächst eine Geradengleichung $g$ aufstellen, die den Verlauf des Schattens beschreibt. Stelle zunächst eine solche Geradengleichung mit dem Ortsvektor der Pyramidenspitze $\overrightarrow{OS}$ als Stützvektor und $\overrightarrow{s_v}$ als Richtungsvektor auf.
Danach überprüfst du mit Hilfe einer Punktprobe ob der Punkt T auf dieser Geraden liegt.
1. Schritt: Geradengleichung von $\boldsymbol{g}$ aufstellen
Mit $\overrightarrow{OS}$ als Stützvektor und $\overrightarrow{s_v}$ als Richtungsvektor erhältst du:
$g: \, \overrightarrow{OS} + t \cdot \overrightarrow{s_v} = \begin{pmatrix}15\\15\\40\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-4\end{pmatrix}$
2. Schritt: Punktproben durchführen
Jetzt prüfst du, ob das Auge der Touristin ($T$) ein Punkt auf dieser Geraden ist. Dies kannst du mit einer Punktprobe tun. Dazu muss es einen Parameter $t$ geben, sodass du $T$ aus der Funktionsgleichung der Geraden $g$ erhältst:
$\begin{pmatrix}24,75\\34,5\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}15\\15\\40\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-4\end{pmatrix} $
Daraus erhältst du drei Gleichungen, die du nach dem Parameter $t$ auflöst:
$\begin{array}[t]{lrll} \text{I} & 24,75&=& 15 + 1 \cdot t & \quad \scriptsize \mid\; -15 \\[5pt] & 9,75 &=& t \end{array}$
$\begin{array}[t]{lrll} \text{II} & 34,5 &=& 15 + 2\cdot t & \quad \scriptsize \mid\; -15 \\[5pt] & 19,5 &=& 2 \cdot t & \quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] & 9,75 &=& t \end{array}$
$\begin{array}[t]{lrll} \text{III} & 1 &=& 40 - 4 \cdot t & \quad \scriptsize \mid\; -40 \\[5pt] & - 39 &=& - 4 \cdot t & \quad \scriptsize \mid\; :(-4) \\[5pt] & 9,75 &=& t \end{array}$
Für $t=9,75$ sind alle drei Gleichungen erfüllt, das heißt, es existiert ein Parameterwert für $t$ und der Punkt $T$ liegt auf der Geraden $g$. Damit fällt der Schatten der Pyramidenspitze in das Auge der Touristin.
#punktprobe#geradengleichung
5.
$\blacktriangleright$  Schattenwurfs der Pyramide bestimmen
Hier geht es darum, eine Aussage darüber zu treffen, ob die Pyramide zur Mittagszeit überhaupt einen Schatten wirft. Ähnlich wie in Aufgabe 4 musst du auch in dieser Aufgabe eine Geradengleichung aufstellen, die einen möglichen Schattenwurf der Pyramidenspitze beschreibt. Wirft die Pyramidenspitze keinen Schatten, wirft die gesamte Pyramide keinen Schatten.
Deshalb suchst du den Durchstoßpunkt dieser Geraden mit der $x$-$y$-Ebene (Die Ebene, auf der die Pyramide steht). Dieser Punkt ist der Schattenpunkt der Pyramidenspitze.
Befindet sich dieser Durchstoßpunkt innerhalb des Rechtecks der Grundfläche der Pyramide, wirft die Pyramidenspitze keinen Schatten.
Zusammengefasst gehst du folgendermaßen vor:
  • Geradengleichung aufstellen
  • $x$-$y$-Ebene bestimmen
  • Durchstoßpunkt der Geraden mit der $x$-$y$-Ebene bestimmen
1.Schritt: Geradengleichung aufstellen
Mit $\overrightarrow{OS}$ als Stützvektor und $\overrightarrow{s_M}$ als Richtungsvektor erhältst du:
$g: \, \overrightarrow{OS} + t \cdot \overrightarrow{s_M} = \begin{pmatrix}15\\15\\40\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-20\end{pmatrix}$
2.Schritt: Gleichnug der $\boldsymbol{x\text{-}y}$-Ebene bestimmen
Um den Durchstoßpunkt mit der $x$-$y$-Ebene bestimmen, musst du zunächst eine Gleichung in Parameterform der $x$-$y$-Ebene bestimmen. Wie auch schon in Aufgabe 2 benötigst du hierfür einen Punkt der Ebene und zwei Spannvektoren innerhalb der Ebene. Hierfür kommt grundsätzlich jeder Punkt und jeder Vektor in Frage dessen $z$-Koordinate gleich null ist.
Somit bieten sich folgende Punkte und Vektoren an:
$\overrightarrow{O} =$ $\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{a} =$ $\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{b} =$ $\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$
Daraus ergibt sich nun die Gleichung in Parameterform:
$\overrightarrow{x} = \overrightarrow{O} +s \cdot \overrightarrow{a}+r \cdot \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$
$ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} $
3.Schritt: Durchstoßpunkt der Geraden mit der $\boldsymbol{x}$-$\boldsymbol{y}$-Ebene bestimmen
Um den Durchstoßpunkt zu bestimmen, setzt du nun die Geraden- und die Ebenengleichung gleich:
$ \begin{pmatrix}15\\15\\40\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-20\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$
$ $
Daraus ergeben sich folgende Gleichungen:
$\begin{array}[t]{lrll} \text{I} & 15 + 2 \cdot t &=& s & \quad \scriptsize \\[5pt] \text{II} & 15 + t &=& r & \quad \scriptsize \\[5pt] \text{III} & 40 - 20 \cdot t &=& 0 & \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Aus $\text{III}$ ergibt sich $t=2$. Setzt du dies in $\text{I}$ und $\text{II}$ ein, erhältst du für $s=19$ und $r=17$.
Setzt du nun $t=2$ in die Geradengleichung oder $s=19$ und $r=17$ in die Ebenengleichung ein, erhältst du als Durchstoßpunkt: $P_D (19 \mid 17 \mid 0)$
Dieser Punkt liegt innerhalb des $30 \times 30$ Quadrats, auf dem die Pyramide steht. Somit wirft die Pyramidenspitze keinen Schatten und damit wirft auch der Rest der Pyramide keinen Schatten.
#geradengleichung
6.
$\blacktriangleright$  Bestimmung des Bohrkanals
In dieser Aufgabe wird ein Bohrkanal beschrieben, der an der CDS-Seite der Pyramide beginnen, senkrecht auf der CDS-Ebene stehen und am Mittelpunkt der Stellfläche der Pyramide enden soll.
Zur Bestimmung des Punktes, an dem der Bohrkanal beginnt, musst du zunächst eine Geradengleichung ermitteln, die den Verlauf dieses Bohrkanals beschreibt. Wie du weißt, liegt der Mittelpunkt der quadratischen Pyramide auf der gesuchten Gerade. Der Richtungsvektor muss so gewählt werden, dass er senkrecht zur CDS-Ebene steht. Hast du die Geradengleichung bestimmt, kannst du damit den Durchstoßpunkt zur CDS-Ebene bestimmen. Die Gleichung in Koordinatenform der CDS-Ebene hast du schon in Aufgabe 2 erstellt.
1.Schritt: Geradengleichung des Bohrkanals bestimmen
Als Stützpunkt kommt hier nur der Mittelpunkt $P_D (15 \mid 15 \mid 0)$ der quadratischen Pyramide in Frage, da dies der einzige Punkt ist, von dem du weist, dass er auf der Geraden liegen muss. Als Richtungsvektor bietet es sich an den Normalenvektor zu benutzen, den du schon in Aufgabe 2 berechnet hast. So ergibt sich folgende Geradengleichung:
$\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \overrightarrow{OM} +s \cdot \overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 15\\ 15\\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0\\ -1.200\\ -450 \end{pmatrix} $
$ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 15\\ 15\\ 0 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0\\ -1.200\\ -450 \end{pmatrix} $
2.Schritt: Durchstoßpunkt des Bohrkanals mit der CDS-Ebene bestimmen
Aus Aufgabe 2 hast du die Gleichung in Koordinatenform mit $0 x + 8 y + 3 z = 240$ gegeben.
Aus der zuvor bestimmten Geradengleichung erhältst du ein lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}[t]{lrll} \text{I} & x &=& 15 & \quad \scriptsize \\[5pt] \text{II} & y &=& 15 - 1.200 \cdot s & \quad \scriptsize \\[5pt] \text{III} & z &=& - 450 \cdot s & \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Diese Gleichungen für $x$, $y$ und $z$ setzt du nun in die Gleichung in Koordinatenform ein.
$\begin{array}[t]{rll} 0 \cdot 15 + 8 \cdot (15 - 1.200 \cdot s) + 3 \cdot (- 450 \cdot s) &=& 240 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] 120 - 9.600 \cdot s - 1.350 \cdot s &=& 240 \quad \scriptsize \mid\; -120 \\[5pt] - 10.950 \cdot s &=& 120 \quad \scriptsize \mid\; :(-10.950) \\[5pt] s &=& -\dfrac{12}{1.095} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ s=-\dfrac{12}{1.095} $
Mit dem so bestimmten Wert für $s$ kannst du nun die Koordinaten des Durchstoßpunkts und damit den Punkt $P$ an dem die Bohrung beginnen soll, bestimmen.
$ \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15\\ 15\\ 0 \end{pmatrix}-\dfrac{12}{1.095} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ -1.200\\ -450 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 15\\ 28,15\\ 4,93 \end{pmatrix} $
$ \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 15\\ 28,15\\ 4,93 \end{pmatrix} $
Somit muss die Bohrung im Punkt $P(15\mid 28,15 \mid 4,93)$ beginnen.
$\blacktriangleright$  Bohrkanallänge bestimmen
Du hast die Koordinaten des Mittelpunkts $M(15 \mid 15 \mid 0)$ und des Bohrpunkts $P(15\mid 28,15 \mid 4,93)$ gegeben. Der Abstand zwischen zwei Punkten lässt sich mit folgender Formel bestimmen:
$l=\sqrt{(x_1-x_2)²+(y_1-y_2)²+(z_1-z_2)²}$
$l=$ $\sqrt{(x_1-x_2)²+(y_1-y_2)²+(z_1-z_2)²}$
$\begin{array}[t]{rll} l &=& \sqrt{(15-15)²+(15-28,15)²+(0-4,93)²} \\[5pt] l &=& \sqrt{0²+(-13,15)²+(-4,93)²} \\[5pt] l &\approx& \sqrt{197,2274} \\[5pt] l &\approx& 14,04 \end{array}$
$ l \approx 14,04 $
Der Bohrkanal wird ca. 14,04 Meter lang.
#geradengleichung
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