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B1 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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Drei Punkte $A_t$, $B_t$ und $C_t$ bewegen sich jeweils entlang einer Geraden:
$\begin{array}{rll} A_t \text{ auf der Geraden } g_a:&\vec{a}_t=&\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\text{,} \\ B_t \text{ auf der Geraden } g_b:&\vec{b}_t=&\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \text{ und} \\ C_t \text{ auf der Geraden } g_c:&\vec{c}_t=&\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\text{.} \end{array}$
$\begin{array}{rl} A_t \text{ auf der Geraden } g_a: \\ \vec{a}_t=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\text{,} \\ B_t \text{ auf der Geraden } g_b: \\ \vec{b}_t=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \text{ und} \\ C_t \text{ auf der Geraden } g_c: \\ \vec{c}_t=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\text{.} \end{array}$
Die Punkte $A_t$, $B_t$ und $C_t$ bilden für alle $t\in\mathbb{R}$ ein Dreieck $\Delta_t$.
1.
1.1 Zeichnen Sie in das Koordinatensystem (Material 1) die drei Geraden sowie die Dreiecke $\Delta_0$, $\Delta_1$ und $\Delta_2$ ein.
(4P)
1.2 Untersuchen Sie, ob die Dreiecke $\Delta_t$ gleichseitig sind.
(3P)
1.3 Die Punkte $A_t$, $B_t$ und $C_t$ legen für jedes $t$ eine Ebene $E_t$ fest.
Bestimmen Sie eine Ebenengleichung der Ebene $E_t$ in Parameterform.
Zeigen Sie, dass $\vec{n}=\begin{pmatrix}t^{2}-t+1\\t^{2}-t+1\\t^{2}-t+1\end{pmatrix}$ ein Normalenvektor von $E_t$ ist, und begründen Sie damit die Parallelität der Ebenen.
Bestimmen Sie den Abstand zweier beliebiger dieser Ebenen $E_t$ und $E_{t+k}$ mit $k\in\mathbb{R}$.
(11P)
1.4 Erläutern Sie die in Material 2 durchgeführten Rechenschritte und das Ergebnis im Sachzusammenhang.
(4P)
2. Es sei $\varphi(t)$ der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{u}_{0}=\vec{b}_{0}-\vec{a}_{0}$ und $\vec{u}_{t}=\vec{b}_{t}-\vec{a}_{t}$.
Bestätigen Sie, dass $f(t)=\cos\left(\varphi(t)\right)=\dfrac{2-t}{2\cdot\sqrt{t^{2}-t+1}}$ gilt.
Beschreiben Sie mithilfe des Graphen der Funktion $f$ sowie der in Aufgabe 1.3 untersuchten Eigenschaften die Bewegung der Dreiecke. Untersuchen Sie in diesem Zusammenhang auch das Verhalten für betragsmäßig große $t$-Werte.
(8P)
Material 1
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Material 2
$\begin{array}{rllll} (1)&\overline{AB}&=&\begin{pmatrix}t-1\\1\\-t\end{pmatrix}; \\ &\overline{AC}&=&\begin{pmatrix}-1\\t\\1-t\end{pmatrix} \\ \\ (2)&A(t)&=&\dfrac{1}{2}\left|\begin{pmatrix}t-1\\1\\-t\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\t\\1-t\end{pmatrix}\right| \\ \\ (3)&A(t)&=&\dfrac{\sqrt{3}\cdot\left(t^{2}-t+1\right)}{2} \\ \\ (4)&A'(t)&=&\dfrac{\sqrt{3}\cdot(2\cdot t-1)}{2}; \\ &A''(t)&=&\sqrt{3} \\ \\ (5)&\dfrac{\sqrt{3}\cdot(2\cdot t-1)}{2}&=&0 \\ &\Rightarrow \qquad t&=&\dfrac{1}{2} \\ \\ (6)&A''\left(\dfrac{1}{2}\right)&=&\sqrt{3} \qquad >0 \\ &\Rightarrow \text{ Minimum} \end{array}$
$\begin{array}{rl} (1)&\overline{AB} \\ &= \\ &\begin{pmatrix}t-1\\1\\-t\end{pmatrix}; \\ \\ &\overline{AC} \\ &= \\ &\begin{pmatrix}-1\\t\\1-t\end{pmatrix} \\ \\ (2)&A(t) \\ &= \\ &\dfrac{1}{2}\left|\begin{pmatrix}t-1\\1\\-t\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\t\\1-t\end{pmatrix}\right| \\ \\ (3)&A(t) \\ &= \\ &\dfrac{\sqrt{3}\cdot\left(t^{2}-t+1\right)}{2} \\ \\ (4)&A'(t) \\ &= \\ &\dfrac{\sqrt{3}\cdot(2\cdot t-1)}{2}; \\ \\ &A''(t) \\ &= \\ &\sqrt{3} \\ \\ (5)&\dfrac{\sqrt{3}\cdot(2\cdot t-1)}{2} \\ &= \\ &0 \\ &\Rightarrow \\ &t \\ &= \\ &\dfrac{1}{2} \\ \\ (6)&A''\left(\dfrac{1}{2}\right) \\ &= \\ &\sqrt{3} \qquad >0 \\ &\Rightarrow \\ &\text{Minimum} \end{array}$
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Geraden und Dreiecke in Koordinatensystem einzeichnen
Du hast drei Geraden $g_a$, $g_b$ und $g_c$ gegeben. Gleichzeitig stellen die einzelnen Geraden die Koordinaten von den Punkten $A_t$, $B_t$ und $C_t$ dar, die sich durch unterschiedliche Werte für den Parameter $t$ ändern.
  • $g_a$:$\quad$$\vec{a}_t=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_b$:$\quad$$\vec{b}_t=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_c$:$\quad$$\vec{c}_t=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
$A_t$, $B_t$ und $C_t$ bilden Dreiecke $\Delta_t$.
Für diese Aufgabe sollst du die Geraden in das Koordinatensystem aus Material 1 einzeichnen. Dabei stellt bei z.B. $g_a$ der Vektor $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ den Stützvektor der Geraden $g_a$ dar, seine Koordinaten bilden somit einen Punkt auf der Geraden, von der aus der Richtungsvektor $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ die Richtung der Geraden angibt.
Zeichne dir so die drei Geraden in das Koordinatensystem ein.
Weiterhin sollen die Dreiecke $\Delta_0$, $\Delta_1$ und $\Delta_2$ eingezeichnet werden.
Diese bilden sich aus den Punkten $A_t$, $B_t$ und $C_t$.
Die Indizes, also 0, 1, 2 geben den Parameter $t$ der Geraden an, der die Punkte bildet.
1.2 $\blacktriangleright$ Dreieck $\boldsymbol \Delta_t$ auf Gleichseitigkeit untersuchen
Da in einem gleichseitigen Dreieck alle Seiten gleich lang sind, musst du hier prüfen, ob die Seitenlängen $\left|\overrightarrow{A_tB_t}\right|$, $\left|\overrightarrow{B_tC_t}\right|$ und $\left|\overrightarrow{A_tC_t}\right|$ die gleiche Länge haben, also ihr Betrag identisch ist.
Der Betrag eines Vektors $\vec{v}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$ berechnet sich mit folgender Formel:
$|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$
Berechne im 1. Schritt die Verbindungsvektoren $\left|\overrightarrow{A_tB_t}\right|$, $\left|\overrightarrow{B_tC_t}\right|$ und $\left|\overrightarrow{A_tC_t}\right|$, um dann anschließend im 2. Schritt deren Beträge berechnen zu können.
1.3 $\blacktriangleright$ Ebenengleichung aufstellen und anschließend auf Eigenschaften untersuchen
Bei dieser Aufgabe sollst du eine Ebenengleichung aus den Punkten $A_t$, $B_t$ und $C_t$ in Parameterform aufstellen. Anschließend soll gezeigt werden, dass der gegebene Normalenvektor ein Normalenvektor der Ebene ist. Damit wird dann die Parallelität der Ebenen untersucht. Zum Schluss sollst du den Abstand zweier beliebiger Ebenen berechnen.
Um aus den Punkten eine Ebenengleichung aufzustellen, musst du im 1. Schritt einen der Punkte als Stützpunkt der Ebene auswählen, um mit diesem und den anderen Punkten dann die Richtungsvektoren berechnen zu können:
$E_t:\quad \vec{x}=\overrightarrow{OA_t}+r\cdot(\overrightarrow{b_t}-\overrightarrow{a_t})+s\cdot(\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{a_t})$
Im 2. Schritt, wird dann der Normalenvektor der Ebene berechnet und geprüft, ob dieser mit dem Normalenvektor aus der Aufgabe übereinstimmt, bzw. ein Vielfaches davon ist. Berechne dazu das Kreuzprodukt aus den Richtungsvektoren.
Anhand des Normalenvektors kann dann im 3. Schritt gezeigt werden, dass die Ebenen parallel sind. Zwei Ebenen sind dann parallel, wenn ihre Normalenvektoren Vielfache voneinander sind.
Im 4. Schritt wird dann mit der Hesse'schen Normalenform der Abstand zweier Ebenen berechnet.
1.4 $\blacktriangleright$ Rechenschritte im Sachzusammenhang erläutern
Bei dieser Aufgabe sollst du die Rechenschritte aus Material 2 im Sachzusammenhang erläutern, d.h. erläutern, was genau bei den Schritten berechnet wurde und was damit erreicht wird.
2. $\blacktriangleright$ $\boldsymbol{f(t)}$ bestätigen
Bei dieser Aufgabe hast du die Funktion $f$ gegeben, mit:
$f(t)$$=\cos(\phi(t))$$=\dfrac{2-t}{2\cdot\sqrt{t^2-t+1}}$
Hier sollst du bestätigen, dass sich die Funktion $f$ für den Winkel zwischen $u_0$ und $u_t$ ergibt.
Dafür hast du zwei Vektoren gegeben:
  • $u_0=b_0-a_0$ und
  • $u_t=b_t-a_t$.
Die allgemeine Formel zum Berechnen eines Winkels zwischen zwei Vektoren lautet hier:
$\cos(\phi(t))=\dfrac{\vec{u}_0\cdot\vec{u}_t}{|\vec{u}_0|\cdot|\vec{u}_t|}$
$\blacktriangleright$ Bewegung der Dreiecke beschreiben
Zum Schluss sollst du die Bewegung der Dreiecke mit Hilfe des Graphen $f$ und der in Aufgabe 1.3 untersuchten Eigenschaften der Dreiecke beschreiben.
Hier kannst du dabei so vorgehen:
  • Erstellen einer Zeichnung des Graphen von $f$, mithilfe deines GTR
  • Interpretieren des Graphen von $f$ im Sachzusammenhang, gehe hierbei insbesondere auf betragsmäßig große Werte für $t$ ein
  • Ergebnisse aus der Aufgabe 1.3 zusammenfassen
  • Ergebnisse aus 1.3 für die Beschreibung verwenden
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Geraden und Dreiecke in Koordinatensystem einzeichnen
Du hast drei Geraden $g_a$, $g_b$ und $g_c$ gegeben. Gleichzeitig stellen die einzelnen Geraden die Koordinaten von den Punkten $A_t$, $B_t$ und $C_t$ dar, die sich durch unterschiedliche Werte für den Parameter $t$ ändern.
  • $g_a$:$\quad$$\vec{a}_t=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_b$:$\quad$$\vec{b}_t=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_c$:$\quad$$\vec{c}_t=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
$A_t$, $B_t$ und $C_t$ bilden Dreiecke $\Delta_t$.
Für diese Aufgabe sollst du die Geraden in das Koordinatensystem aus Material 1 einzeichnen. Dabei stellt bei z.B. $g_a$ der Vektor $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ den Stützvektor der Geraden $g_a$ dar, seine Koordinaten bilden somit einen Punkt auf der Geraden, von der aus der Richtungsvektor $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ die Richtung der Geraden angibt.
Zeichne dir so die drei Geraden in das Koordinatensystem ein.
Weiterhin sollen die Dreiecke $\Delta_0$, $\Delta_1$ und $\Delta_2$ eingezeichnet werden.
Diese bilden sich aus den Punkten $A_t$, $B_t$ und $C_t$.
Die Indizes, also 0, 1, 2 geben den Parameter $t$ der Geraden an, der die Punkte bildet.
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Um die Punkte zu erhalten, die die Dreiecke bilden, musst du die gegebenen Parameter in die Geradengleichungen einsetzen. $A_t$ bildet sich aus $g_a$, $B_t$ aus $g_b$ und $C_t$ aus $g_c$.
Für $\Delta_0$ ergeben sich so die Punkte:
  • $\overrightarrow{OA_0}:\quad\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $\overrightarrow{OB_0}:\quad\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $\overrightarrow{OC_0}:\quad\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\\[5pt]$
Für $\Delta_1$ und $\Delta_2$ ergeben sich nach gleichem Vorgehen:
$\Delta_1$: $\qquad$ $\Delta_2$:
  • $\overrightarrow{OA_1}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $\overrightarrow{OB_1}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $\overrightarrow{OC_1}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$
  • $\overrightarrow{OA_2}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $\overrightarrow{OB_2}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $\overrightarrow{OC_2}=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$
$\Delta_1$:
  • $\overrightarrow{OA_1}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $\overrightarrow{OB_1}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $\overrightarrow{OC_1}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$
$\Delta_2$:
  • $\overrightarrow{OA_2}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $\overrightarrow{OB_2}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $\overrightarrow{OC_2}=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$
Trage diese Punkte nun in das Koordinatensystem ein, damit du die Dreiecke erhältst.
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
1.2 $\blacktriangleright$ Dreieck $\boldsymbol \Delta_t$ auf Gleichseitigkeit untersuchen
Da in einem gleichseitigen Dreieck alle Seiten gleich lang sind, musst du hier prüfen, ob die Seitenlängen $\left|\overrightarrow{A_tB_t}\right|$, $\left|\overrightarrow{B_tC_t}\right|$ und $\left|\overrightarrow{A_tC_t}\right|$ die gleiche Länge haben, also ihr Betrag identisch ist.
Der Betrag eines Vektors $\vec{v}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$ berechnet sich mit folgender Formel:
$|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$
Berechne im 1. Schritt die Verbindungsvektoren $\left|\overrightarrow{A_tB_t}\right|$, $\left|\overrightarrow{B_tC_t}\right|$ und $\left|\overrightarrow{A_tC_t}\right|$, um dann anschließend im 2. Schritt deren Beträge berechnen zu können.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Verbindungsvektoren berechnen
$\begin{array}{rlll} \overrightarrow{A_tB_t}=&\overrightarrow{b_t}-\overrightarrow{a_t}&=&\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) \\ &&=&\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} \\ \\ \overrightarrow{A_tC_t}=&\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{a_t}&=&\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) \\ &&=&\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} \\ \\ \overrightarrow{B_tC_t}=&\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{b_t}&=&\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right) \\ &&=&\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{rl} \overrightarrow{A_tB_t}=&\overrightarrow{b_t}-\overrightarrow{a_t} \\ =&\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) \\ =&\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} \\ \overrightarrow{A_tC_t}=&\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{a_t} \\ =&\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) \\ =&\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} \\ \overrightarrow{B_tC_t}=&\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{b_t} \\ =&\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right) \\ =&\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} \end{array}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Beträge der Verbindungsvektoren berechnen
$\begin{array}{rlll} \left|\overrightarrow{A_tB_t}\right|=&\left|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\right|&=&\sqrt{(-1+t)^2+1^2+(-t)^2} \\ &&=&\sqrt{1-2t+t^2+1+t^2} \\ &&=&\sqrt{2t^2-2t+2} \\ \left|\overrightarrow{A_tC_t}\right|=&\left|\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\right|&=&\sqrt{(-1)^2+t^2+(1-t)^2} \\ &&=&\sqrt{1+t^2+1-2t+t^2} \\ &&=&\sqrt{2t^2-2t+2} \\ \left|\overrightarrow{B_tC_t}\right|=&\left|\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|&=&\sqrt{(-t)^2+(-1+t)^2+1^2} \\ &&=&\sqrt{t^2+1-2t+t^2+1} \\ &&=&\sqrt{2t^2-2t+2} \end{array}$
$\begin{array}{rl} \left|\overrightarrow{A_tB_t}\right|=&\left|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\right| \\ =&\sqrt{(-1+t)^2+1^2+(-t)^2} \\ =&\sqrt{1-2t+t^2+1+t^2} \\ =&\sqrt{2t^2-2t+2} \\ \left|\overrightarrow{A_tC_t}\right|=&\left|\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\right| \\ =&\sqrt{(-1)^2+t^2+(1-t)^2} \\ =&\sqrt{1+t^2+1-2t+t^2} \\ =&\sqrt{2t^2-2t+2} \\ \left|\overrightarrow{B_tC_t}\right|=&\left|\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right| \\ =&\sqrt{(-t)^2+(-1+t)^2+1^2} \\ =&\sqrt{t^2+1-2t+t^2+1} \\ =&\sqrt{2t^2-2t+2} \end{array}$
Wie du erkennen kannst sind alle Seitenlängen gleichlang. Damit ist bewiesen, dass die Dreiecke $\Delta_t$ gleichseitig sind.
1.3 $\blacktriangleright$ Ebenengleichung aufstellen und anschließend auf Eigenschaften untersuchen
Bei dieser Aufgabe sollst du eine Ebenengleichung aus den Punkten $A_t$, $B_t$ und $C_t$ in Parameterform aufstellen. Anschließend soll gezeigt werden, dass der gegebene Normalenvektor ein Normalenvektor der Ebene ist. Damit wird dann die Parallelität der Ebenen untersucht. Zum Schluss sollst du den Abstand zweier beliebiger Ebenen berechnen.
Um aus den Punkten eine Ebenengleichung aufzustellen, musst du im 1. Schritt einen der Punkte als Stützpunkt der Ebene auswählen, um mit diesem und den anderen Punkten dann die Richtungsvektoren berechnen zu können:
$E_t:\quad \vec{x}=\overrightarrow{OA_t}+r\cdot(\overrightarrow{b_t}-\overrightarrow{a_t})+s\cdot(\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{a_t})$
Im 2. Schritt, wird dann der Normalenvektor der Ebene berechnet und geprüft, ob dieser mit dem Normalenvektor aus der Aufgabe übereinstimmt, bzw. ein Vielfaches davon ist. Berechne dazu das Kreuzprodukt aus den Richtungsvektoren.
Anhand des Normalenvektors kann dann im 3. Schritt gezeigt werden, dass die Ebenen parallel sind. Zwei Ebenen sind dann parallel, wenn ihre Normalenvektoren Vielfache voneinander sind.
Im 4. Schritt wird dann mit der Hesse'schen Normalenform der Abstand zweier Ebenen berechnet.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Ebenengleichung aufstellen
$E_t:\quad\vec{x}=\overrightarrow{OA_t}+r\cdot(\overrightarrow{b_t}-\overrightarrow{a_t})+s\cdot(\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{a_t})=\begin{pmatrix}1\\0\\t\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1+t\\1\\-t\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\t\\1-t\end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Normalenvektor berechnen
Berechne nun das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren, um einen Normalenvektor $\vec{m}$ zu erhalten.
$\vec{m}=\begin{pmatrix}-1+t\\1\\-t\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\t\\1-t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t^2-t+1\\t^2-t+1\\t^2-t+1\end{pmatrix}$
$\vec{m}=\vec{n}\qquad$
Der berechnete Normalenvektor ist identisch mit $\vec{n}$ aus der Aufgabe, sodass $\vec{n}$ ein Normalenvektor von $E_t$ ist.
$\blacktriangleright$ 3. Schritt: Parallelität beweisen
Die $x$-,$y$- und $z$-Koordinaten des Normalenvektors sind für alle eingesetzten Parameter identisch. Die Normalenvektoren $\vec{n}_t$ sind somit Vielfache voneinander.
Daraus folgt:
Die Ebenen sind parallel.
$\blacktriangleright$ 4. Schritt: Abstand zweier Ebenen berechnen
Stelle zunächst die Koordinatenform der Ebene $E_t$ auf.
$\begin{array}{rlll} E_t:&(t^2-t+1)x_1+(t^2-t+1)x_2+(t^2-t+1)x_3&=&d \\ &\Longleftrightarrow \\ &(t^2-t+1)\cdot(x_1+x_2+x_3)&=&d \end{array}$
$\begin{array}{rl} E_t:&(t^2-t+1)x_1+(t^2-t+1)x_2+(t^2-t+1)x_3 \\ =&d \\ &\Longleftrightarrow \\ &(t^2-t+1)\cdot(x_1+x_2+x_3) \\ =&d \end{array}$
Um $d$ zu erhalten, setzt du nun die Koordinaten eines Punktes, der in der Ebene liegt, in die Koordinatengleichung ein.
Einsetzen von $\begin{pmatrix}1\\0\\t\end{pmatrix}$ liefert:
$E_t:\quad (t^2-t+1)\cdot(x_1+x_2+x_3)=t^3+1$
$\begin{array}{rl} E_t:& (t^2-t+1)\cdot(x_1+x_2+x_3) \\ &=t^3+1 \end{array}$
Berechne nun den Betrag des Normalenvektors $\vec{n}$:
$|\vec{n}|=\sqrt{3\cdot(t^2-t+1)^2}=\sqrt{3}\cdot(t^2-t+1)$
Daraus ergibt sich nun die Hesse'sche Normalenform:
$\begin{array}{rl} d(E_t,P)=&\left|\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3-d}{|\vec{n}|}\right| \\ =&\left|\dfrac{(t^2-t+1)\cdot(x_1+x_2+x_3)-(t^3+1)}{\sqrt{3}\cdot(t^2-t+1)}\right| \end{array}$
Um den Abstand zweier Ebenen $E_t$ und $E_{t+k}$ zu berechnen, musst du jetzt einen Punkt, der auf $E_{t+k}$ liegt, in die HNF von $E_t$ einsetzen. Ein solcher Punkt bildet sich aus den Koordinaten des Stützvektors von $E_{t+k}$.
Einsetzen von $P(1\mid0\mid t+k)$ ergibt:
$\begin{array}{rl} d(E_t,P)=&\left|\dfrac{(t^2-t+1)\cdot(1+t+k)-(t^3+1)}{\sqrt{3}\cdot(t^2-t+1)}\right| \\ =&\left|\dfrac{t^2+t^3+kt^2-t-t^2-tk+1+t+k-t^3-1}{\sqrt{3}\cdot(t^2-t+1)}\right| \\ =&\left|\dfrac{kt^2-tk+k}{\sqrt{3}\cdot(t^2-t+1)}\right| \\ =&\left|\dfrac{k\cdot(t^2-t+1)}{\sqrt{3}\cdot(t^2-t+1)}\right| \\ d(E_t,P)=&\left|\dfrac{k}{\sqrt{3}}\right| \end{array}$
Der Abstand zwischen zwei Ebenen $E_t$ und $E_{t+k}$ beträgt $\left| \frac{k}{\sqrt{3}}\right|$ Längeneinheiten.
1.4 $\blacktriangleright$ Rechenschritte im Sachzusammenhang erläutern
Bei dieser Aufgabe sollst du die Rechenschritte aus Material 2 im Sachzusammenhang erläutern, d.h. erläutern, was genau bei den Schritten berechnet wurde und was damit erreicht wird.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt:
Im 1. Schritt werden die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ berechnet (siehe auch Aufgabe 1.3).
$\blacktriangleright$ 2. Schritt:
Anschließend wird ein Ansatz gestartet, um den Flächeninhalt eines Dreiecks $\Delta_t$ abhängig von $t$ zu bestimmen. Das kannst du daran sehen, dass sich der Flächeninhalt eines Dreiecks mit folgender Formel berechnen lässt:
$A=\dfrac{1}{2}\cdot|\vec{n}|$
Der Normalenvektor ist dabei das Vektorprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$.
Die Formel stammt aus der Definition des Vektorprodukts. Der Betrag des Kreuzprodukts zweier Vektoren bildet den Flächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms.
$\blacktriangleright$ 3. Schritt:
Der 3. Schritt zeigt die ausformulierte Form des 2. Schritts. Der Betrag von $\vec{n}$ wird halbiert, um die Fläche des Dreiecks zu berechnen. Da es sich um eine Schar von Dreiecken handelt, stellt dieser Schritt nun die Funktion des Flächeninhalts abhängig von $t$ dar.
$\blacktriangleright$ 4. Schritt:
Im 4. Schritt werden die erste und die zweite Ableitung dieser Funktion $A(t)$ gebildet, um die Funktion auf Extremstellen zu untersuchen.
$\blacktriangleright$ 5. Schritt:
Hier wird eine Nullstelle der ersten Ableitungsfunktion berechnet.
Das notwendige Kriterium für Extremstellen kommt zum Einsatz:
$A'(t)=0$
Die Ableitung der Funktion wird dabei mit 0 gleichgesetzt. Die Stelle $t=\dfrac{1}{2}$ stellt nun die Stelle eines möglichen Extrempunktes dar.
$\blacktriangleright$ 6. Schritt:
Da es sich auch um einen Sattelpunkt handeln könnte, wird nun die hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüft:
$A''(t)\neq 0$
Die zweite Ableitung, mit $t=\dfrac{1}{2}$ eingesetzt, ist größer 0, daher handelt es sich bei dem Extremum um ein Minimum, d.h. beim Parameterwert $t=\dfrac{1}{2}$ nimmt das Dreieck $\Delta_t$ den minimalen Flächeninhalt an.
2. $\blacktriangleright$ $\boldsymbol{f(t)}$ bestätigen
Bei dieser Aufgabe hast du die Funktion $f$ gegeben, mit:
$f(t)$$=\cos(\phi(t))$$=\dfrac{2-t}{2\cdot\sqrt{t^2-t+1}}$
Hier sollst du bestätigen, dass sich die Funktion $f$ für den Winkel zwischen $u_0$ und $u_t$ ergibt.
Dafür hast du zwei Vektoren gegeben:
  • $u_0=b_0-a_0$ und
  • $u_t=b_t-a_t$.
Die allgemeine Formel zum Berechnen eines Winkels zwischen zwei Vektoren lautet hier:
$\cos(\phi(t))=\dfrac{\vec{u}_0\cdot\vec{u}_t}{|\vec{u}_0|\cdot|\vec{u}_t|}$
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: $\boldsymbol{u_o}$ und $\boldsymbol{u_t}$ berechnen
Um $u_0$ zu berechnen, kannst du in die Gleichung der Geraden $g_a$ und $g_b$ für $t$ den Wert 0 einsetzen und danach $b_0-a_0$ berechnen:
$\begin{array}{rl} \vec{u}_0=&b_0-a_0 \\[5pt] = &\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) \\[5pt] =&\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} \end{array}$
Um den Vektor $u_t$ zu berechnen kannst du ähnlich vorgehen. Subtrahiere dafür die Vektoren, die sich für $t = 1$ aus Gerade $g_a$ und Gerade $g_b$ ergeben:
$\begin{array}{rl} \vec{u}_t=&\vec{b}_t-\vec{a}_t \quad = \quad g_b-g_a \\[5pt] =&\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) \\[5pt] =&\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} \\[5pt] =&\begin{pmatrix}-1+t\\1\\-t\end{pmatrix} \end{array}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: $\boldsymbol{f(t)}$ aufstellen
Da du die Vektoren $\vec{u}_0$ und $\vec{u}_t$ berechnet hast, kannst du sie in die allgemeine Formel der Winkelfunktion einsetzen:
$\begin{array}{rl} f(t)=&\cos(\phi(t)) \\[5pt] =&\dfrac{\vec{u}_0\cdot\vec{u}_t}{\left|\vec{u}_0\right|\cdot\left|\vec{u}_t\right|} \\[5pt] =&\dfrac{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1+t\\1\\-t\end{pmatrix}}{\sqrt{(-1)^2+1^2}\cdot\sqrt{(-1+t)^2+1^2+(-t)^2}} \\[5pt] =&\dfrac{2-t}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2t^2-2t+2}} \\[5pt] =&\dfrac{2-t}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{t^2-t+1}} \\[5pt] =&\dfrac{2-t}{2\cdot\sqrt{t^2-t+1}} \end{array}$
Damit hast du $f(t)$ bestätigt.
$\blacktriangleright$ Bewegung der Dreiecke beschreiben
Zum Schluss sollst du die Bewegung der Dreiecke mit Hilfe des Graphen $f$ und der in Aufgabe 1.3 untersuchten Eigenschaften der Dreiecke beschreiben.
Hier kannst du dabei so vorgehen:
  • Erstelle eine Zeichnung des Graphen von $\boldsymbol{f}$, mithilfe deines GTR
  • Interpretiere den Graphen von $\boldsymbol{f}$ im Sachzusammenhang, gehe hierbei insbesondere auf betragsmäßig große Werte für $\boldsymbol{t}$ ein
  • Fasse die Ergebnisse aus der Aufgabe 1.3 zusammen
  • Verwende die Ergebnisse aus 1.3 für die Beschreibung
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Graph der Funktion $\boldsymbol{f}$ interpretieren
Um den Graphen von $f$ zu interpretieren, solltest du eine Zeichnung des Graphen von $f$ erstellen. Als Hilfe kannst du deinen GTR benutzen. Gib bei $\texttt{Y=}$ den Funktionsterm $f(t)$ ein.
Achte darauf, dass du in $\texttt{MODE}$ nicht $\texttt{RADIAN}$ sonder $\texttt{DEGREE}$ eingestellt hast, da du bei dieser Aufgabe Winkel berechnest.
Du siehst, dass sich der Graph zwei Grenzwerten annähert. Mithilfe der Wertetabelle kannst du die Grenzwerte des Graphen von $f$ näherungsweise bestimmen.
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Jetzt kannst du dir eine Skizze des Graphen von $f$ zeichnen.
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Für große, negative $\boldsymbol{t}$-Werte nähert sich der Graph von $f$ dem Wert 60 an. Das bedeutet im Sachzusammenhang, dass für negative $t$-Werte der Winkel zwischen den beiden Vektoren $\vec{u}_0$ und $\vec{u}_t$ nicht größer als 60° wird.
Für große, positive $\boldsymbol{t}$-Werte nähert sich der Graph von $f$ dem Wert 120 an. Das bedeutet, dass für positive $t$-Werte der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{u}_0$ und $\vec{u}_t$ nicht größer als 120° wird.
Wenn du dir nun die Bewegung der Dreiecke anschaust, so kannst du erkennen, dass die Dreiecke im Uhrzeigersinn rotieren. Dies kannst du auch gut in dem Schaubild der Aufgabe 1.2 erkennen. Der Vektor $\vec{u}_0$ liegt in der $x_1x_2$-Ebene. Der Vektor $\vec{u}_1$ ist im Vergleich zum Vektor $\vec{u}_0$ nach rechts gedreht.
Für größer werdende negative $t$-Werte rotieren die Dreiecke im Uhrzeigersinn und der Rotationswinkel nähert sich 60° an.
Für größer werdende positive $t$-Werte rotieren die Dreiecke ebenfalls im Uhrzeigersinn und der Rotationswinkel nähert sich 120° an.
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Ergebnisse der Aufgabe 1.3 zur Beschreibung verwenden
In der Aufgabe 1.3 hast du über die Bewegung der Dreiecke folgendes herausgefunden:
  • Die Dreiecke $\Delta_t$ sind alle parallel zueinander
  • Der Abstand zwischen den Dreiecken wird immer größer: $d=\left|\dfrac{k}{\sqrt{3}}\right|$
Für die Bewegung der Dreieck kannst du dann folgendes annehmen:
Die Dreiecke rotieren für größer werdende $t$ im Uhrzeigersinn um den Vektor $\vec{u_0}$, sind parallel und der Abstand zwischen den Dreiecken wird für größer werdende $t$ ebenfalls immer größer. Außerdem wird der Rotationswinkel für größer werdende negative $t$-Werte größer und nähert sich 60° an und für größer werdende positive $t$-Werte wird er ebenfalls größer und nähert sich 120° an.
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