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A1 - Analysis

Aufgaben
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1.   Die Bestimmung von Enzymaktivitäten in Serum, Plasma oder Harn hat in der medizinischen Diagnostik eine wichtige Bedeutung. Beispielsweise ist bei einem Herzinfarktpatienten die Serum-Enzymaktivität bestimmter Enzyme auch Tage nach dem Infarkt noch erhöht, sodass eine Spätdiagnose über die Messung der Enzymaktivität möglich ist.
Der Verlauf einer bestimmten Enzymaktivitätskurve lässt sich durch den Graphen einer Exponentialfunktion der Schar $f_{a,b,c}$ mit $f_{a,b,c}(t)=a+b\cdot t^2\cdot\mathrm e^{c\cdot t}$ ($a,\;b>0$ und $c<0$) approximieren. Dabei steht $t$ für die Zeit in Tagen seit Beginn einer Erkrankung und $f(t)$ für die Enzymaktivität in Units (Substratumsatz pro Tag).
Bestimme die Parameter $a$, $b$ und $c$ unter Berücksichtigung der folgenden Angaben:
  • Die Enzymaktivität beträgt zu Beginn $80$ Units.
  • Bereits nach einem Tag ist die Enzymaktivität auf den Wert $740$ Units gestiegen.
  • Drei Tage nach Beginn hat sich die Enzymaktivität wieder weitgehend normalisiert und beträgt nur noch $120$ Units.
(9P)
2.   Um einen Herzinfarkt zu diagnostizieren, misst man beispielsweise die Aktivität des Enzyms Creatin-Kinase. Bei einem bestimmten Patienten kann die Aktivitätskurve für dieses Enzym für $0\leq t\leq5$ durch den Graphen der Exponentialfunktion $f$ mit $f(t)=100+4.600\cdot t^2\cdot\mathrm e^{-2\cdot t}$ angenähert werden, wobei $t$ für die Zeit in Tagen nach dem Infarkt steht und $f(t)$ für die Enzymaktivität in Units. Ca. $3$ Tage nach einem Herzinfarkt befindet sich die Aktivität dieses Enzyms wieder im Normalbereich.
2.1   Zeige rechnerisch, dass gilt: $f''(t)=9.200\cdot \mathrm{e}^{-2\cdot t}\cdot (2t^2-4t+1)$
(6P)
2.2   Berechne die Zeitpunkte, zu denen die Aktivitätskurve für das Enzym Creatin-Kinase am stärksten ansteigt bzw. am stärksten fällt, sowie jeweils die zugehörigen Änderungsraten.
Hinweis: Die Überprüfung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.
(6P)
2.3   Im Material wird die Ermittlung einer Stammfunktion von $f$ durch eine bestimmte Integrationsmethode angedeutet.
2.3.1  Gib die Integrationsmethode an und leite durch Vervollständigung der Rechnung eine Stammfunktion $F$ von $f$ her.
(5P)
2.3.2  Bestimme das Integral $\dfrac{1}{3}\cdot \displaystyle\int_{0}^{3} f(t)\mathrm dt$ und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.
(4P)
2.4   Die Entscheidung für die Diagnose Herzinfarkt liege bei einer Enzymaktivität des Enzyms Creatin-Kinase von mindestens $192$ Units. Zeige, dass der Ansatz $100+4.600\cdot t^2\cdot\mathrm e^{-2\cdot t}=192$ zu der Gleichung $\ln\left(t^2\right)=2\cdot t-3,91202$ führt. Diese Gleichung lässt sich nicht algebraisch lösen.
Untersuche mithilfe geeigneter Graphen näherungsweise, in welcher Zeitspanne die Diagnose Herzinfarkt gestellt werden kann.
(10P)

Material

$\begin{array}[t]{rll} \int\; (100+4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2\cdot t})\;\mathrm dt &=& 100 \cdot t + \int\; 4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2\cdot t}\;\mathrm dt \\ \int\; \underbrace{4.600\cdot t^2}_{u}\cdot \underbrace{\mathrm{e}^{-2\cdot t}}_{v'}\;\mathrm dt &=& \underbrace{4.600\cdot t^2}_{u}\cdot \underbrace{\left(-\dfrac{1}{2}\right)\cdot \mathrm{e}^{-2\cdot t}}_{v} - \int\; \underbrace{9.200\cdot t}_{u'}\cdot \underbrace{\left(-\dfrac{1}{2}\right)\ \mathrm{e}^{-2\cdot t}}_{v}\;\mathrm dt\\ &=& -2.300 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} + \int\; 4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2\cdot t}\;\mathrm dt \end{array}$
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1. $\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen
Die gegebene Funktion $f_{a,b,c}$ mit Funktionsgleichung $f_{a,b,c}(t)=a+b \cdot t^2\cdot \mathrm{e}^{c\cdot t}$ beschreibt die Enzymaktivität in Units nach $t$ Tagen. Deine Aufgabe ist es nun die Parameter $a$,$b$ und $c$ zu bestimmen.
Du hast hier drei gesuchte Parameter, deswegen musst du 3 Bedingungen an $f$ formulieren. Setze dazu dir bekannte Werte in den Funktionsterm ein.
Du erhältst ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Parametern, welches du durch das Einsetzungsverfahren lösen kannst.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Ableitungen bestimmen
Leite die Funktion $f$ zweimal ab, um die Behauptung zu zeigen. Der Funktionsterm von $f$ lautet dabei:
$f(t)=100+4.600\cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t}$
Mit der Produkt- und Kettenregel kannst du die ersten beiden Ableitungen berechnen:
Produktregel für $f(x)=u(x) \cdot v(x)$:
$f'(x)= u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)$
Kettenregel für $f(x)=u(v(x))$:
$f'(x)= v'(x)\cdot u'\left(v(x)\right)$
2.2 $\blacktriangleright$ Zeitpunkt des stärksten Anstiegs (bzw. Abstiegs) berechnen
Hier ist nach den Zeitpunkten gefragt, zu denen die Aktivitätskurve für das Enzym am stärksten ansteigt bzw. am stärksten fällt. Dies entspricht gerade den Extremstellen der ersten Ableitung (bzw. den Wendestellen der Funktion). Die gesuchten Änderungsraten entsprechen dann den Steigungen an diesen Stellen. Diese kannst du mit deinem GTR oder per Hand bestimmen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem GTR
Speichere den Funktionsterm in deinem GTR und bestimme die Extremstellen mit den dazugehörigen Befehlen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Nach Aufgabenstellung reicht es die notwendige Bedingung zu überprüfen. Die notwendige Bedingung für Extremstellen der ersten Ableitung besagt, dass die zweite Ableitung an einer Extremstelle $t_E$ gleich Null ist:
$f''(t_E)=0$
Setze also den Funktionsterm der zweiten Ableitung gleich Null, um die Extremstellen der ersten Ableitung zu berechnen. Diese Werte kannst du dann in die Funktionsgleichung einsetzen, um die Änderungsraten zu bestimmen. Die Ableitungen hast du oben schon bestimmt.
Des Weiteren musst du noch die Randwerte zu den Zeitpunkten $t=0$ und $t=5$ überprüfen.
2.3
2.3.1 $\blacktriangleright$ Integrationsmethode
Hier ist es deine Aufgabe die Integrationsmethode anzugeben, die hier verwendet wurde. Im Material erkennst du, dass auf der linken Seite der Gleichung ein Integral steht, welches nicht ohne Weiteres integriert werden kann. Es handelt sich hierbei um ein Produkt eines Polynoms und einer $\mathrm{e}$- Funktion. Auf der rechten Seite siehst du zwei Terme, wobei einer der beiden ein Integral ist. Diese Terme hängen folgendermaßen zusammen:
Definierst du $u(t)=4.600 \cdot t^2$ und $v(t)=\left( -\dfrac{1}{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-2t}$ wie im Material, dann sind die ersten Ableitungen $u'$ und $v'$ durch folgende Gleichungen gegeben: $u'(t)=9.200 \cdot t$ und $v'(t)=\mathrm{e}^{-2t}$.
Somit ist die Integralgleichung in Material 2 von der Form:
$\displaystyle\int_{}^{} u(t) \cdot v'(t) \mathrm dt =u(t) \cdot v(t) - \displaystyle\int_{}^{} u'(t) \cdot v(t) \mathrm dt$
$\blacktriangleright$ Vervollständigung der Rechnung
Deine Aufgabe ist es nun die Rechnung zu vervollständigen. In Material wurde bereits die partielle Integration einmal angewandt. Dabei ist dir nun folgende Gleichung gegeben:
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{}^{}f(t)\;\mathrm dt=&100 \cdot t +\displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \;\mathrm dx \\[5pt] =&100 \cdot t -2.300 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t} + \displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \mathrm dt \end{array}$
1. Schritt: Integral $\boldsymbol{\displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \mathrm dt}$ bestimmen
Bestimme nun das Integral $\displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \mathrm dt$ in einer Nebenrechnung. Hier ist ein Produkt unter dem Integral gegeben, somit benötigst du auch hier die partielle Integration.
2. Schritt: Ergebnis einsetzen
Dieses Ergebnis kannst du nun in die obere Funktionsgleichung einsetzen.
2.3.2 $\blacktriangleright$ Berechnung des Integrals
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A
Speichere den Funktionsterm von $f$ ein und berechne dann mit dem GTR das Integral mit den dazugehörigen Grenzen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Berechne das Integral nach dem Hauptsatz der Integralrechnung. In 2.3.1 hast du eine dazugehörige Stammfunktion bestimmt:
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm dt=\left[ F(b)-F(a)\right]$
$\blacktriangleright$ Deuten des Ergebnisses im Sachzusammenhang
Nach Aufgabenstellung beschreibt die Funktion $f$ die Enzymaktivität in Units. $t$ steht hierbei für die Tage, die seit dem Infarkt vergangen sind. Der durchschnittliche Funktionswert einer Funktion $f$ im Intervall $[a,b]$ ist durch folgende Formel gegeben:
$\dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm dt$
2.4 $\blacktriangleright$ Zeigen der Gleichheit
Hier sollst du zeigen, dass der gegebene Ansatz $100+4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t}=192$ zur Gleichung $\ln{(t^2)}=2t - 3,91202$ führt. Du erkennst, dass auf der linken Seite der gewünschten Gleichung $\ln{(t^2)}$ steht. Somit musst du zuerst $t^2$ alleine auf eine Seite bringen, indem du die Gleichung umformst. Danach musst du noch die Gleichung logarithmieren.
$\blacktriangleright$ Zeitspanne für Diagnose Herzinfarkt bestimmen
Deine Aufgabe ist nun mit Hilfe geeigneter Graphen zu zeigen, in welcher Zeitspanne die Diagnose Herzinfarkt gestellt werden kann. Dies ist nach Aufgabenstellung der Fall, wenn die Enzymaktivität mindestens 192 beträgt. Also wird zu jedem $t$ mit $0\leq t \leq 5$, das die Ungleichung $100+4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t}\geq 192$ erfüllt, die Diagnose Herzinfarkt gestellt.
Diese Ungleichung ist wie oben gezeigt äquivalent zu $h(t)=\ln{(t^2)}\geq 2t - 3,91202=g(t)$ (Ersetze „$=$“ durch „$\geq$“ es wird nicht mit „$-$“ multipliziert, daher dreht sich das $\geq$ nicht um). Das heißt, dass alle $t$, die die erste Ungleichung erfüllen, auch die zweite erfüllen. Gesucht ist also die Zeitspanne, in der $h(t) \geq g(t)$ gilt. Diese kannst du mit deinem GTR bestimmen.
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1. $\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen
Die gegebene Funktion $f_{a,b,c}$ mit Funktionsgleichung $f_{a,b,c}(t)=a+b \cdot t^2\cdot \mathrm{e}^{c\cdot t}$ beschreibt die Enzymaktivität in Units nach $t$ Tagen. Deine Aufgabe ist es nun die Parameter $a$,$b$ und $c$ zu bestimmen.
Du hast hier drei gesuchte Parameter, deswegen musst du 3 Bedingungen an $f$ formulieren. Setze dazu dir bekannte Werte in den Funktionsterm ein.
  1. „Die Enzymaktivität beträgt zu Beginn 80 Units“
    $\Rightarrow$ Zeitpunkt $t=0$ mit Enzymaktivität $f_{a,b,c}(0)=80$
    $(Ⅰ):\;80=f_{a,b,c}(0)=a+b \cdot 0^2\cdot \mathrm{e}^{c\cdot 0}=a+0=a$
  2. „Bereits nach einem Tag ist die Enzymaktivität auf den Wert 740 Units gestiegen.“
    $\Rightarrow$ Zeitpunkt $t=1$ mit Enzymaktivität $f_{a,b,c}(1)=740$
    $(Ⅱ):\;740=f_{a,b,c}(1)=a+b \cdot 1^2\cdot \mathrm{e}^{c\cdot 1}=a+b\cdot \mathrm{e}^c$
  3. „Drei Tage nach Beginn hat sich die Enzymaktivität wieder weitgehend normalisiert und beträgt nur noch 120 Units.“
    $\Rightarrow$ Zeitpunkt $t=3$ mit Enzymaktivität $f_{a,b,c}(3)=120$
    $(Ⅲ):\;120=f_{a,b,c}(3)=a+b \cdot 3^2\cdot \mathrm{e}^{c\cdot 3}=a+9 \cdot b\cdot \mathrm{e}^{3c}$
Aus Bedingung (Ⅰ) folgt direkt $a=80$.
Setzt du nun $a=80$ in die Gleichungen (Ⅱ) und (Ⅲ) ein, erhältst du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses kannst du mit dem Einsetzungsverfahren lösen. Das Gleichungssystem lautet:
$\begin{array}[t]{lrll} \text{IIa}\quad&80+b\cdot \mathrm{e}^c&=&740&\quad \scriptsize \mid\; - 80 &\scriptsize \left(\text{nach } b \text{ umformen} \right) \\[5pt] & b\cdot \mathrm{e}^c&=&660&\quad\scriptsize \mid\; \cdot \mathrm{e}^{-c}\\[5pt] &b&=&660\cdot \mathrm{e}^{-c}& \\[5pt] \text{IIIa}\quad&80 + 9\cdot b \cdot \mathrm{e}^{3c}&=&120\\[5pt] \hline \text{IIb}\quad&b&=&660\cdot \mathrm{e}^{-c} \\[5pt] \text{IIIa}\quad&80 + 9\cdot b \cdot \mathrm{e}^{3c}&=&120&\quad \scriptsize \mid\; \text{IIb in IIIa} \\[5pt] &80 + 9\cdot 660\cdot \mathrm{e}^{-c} \cdot \mathrm{e}^{3c}&=&120&\quad\scriptsize\mid\; -80 \\[5pt] &5.940 \cdot \mathrm{e}^{2c}&=&40&\quad\scriptsize\mid\; \cdot \frac{1}{5.940} \\[5pt] &\mathrm{e}^{2c}&=&\frac{2}{297}&\quad\scriptsize\mid\; \ln \\[5pt] &2c&=&\ln\left(\frac{2}{297}\right)&\quad\scriptsize\mid\; :2\\[5pt] &c&=&\dfrac{1}{2} \cdot \ln\left(\frac{2}{297}\right)\\[5pt] \hline \text{IIb}\quad&b&=&660\cdot \mathrm{e}^{-c}&\quad \scriptsize\mid\; \text{IIIb in IIb} \\[5pt] \text{IIIb}& c&=&\frac{1}{2} \cdot \ln\left(\frac{2}{297}\right) \\[5pt] \hline \text{IIc}\quad&b&=& 660\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \ln\left(\frac{2}{297}\right)} \\[5pt] &&\approx&8.042,80\\[5pt] \text{IIIb}& c&=&\frac{1}{2} \cdot \ln\left(\frac{2}{297}\right) \\[5pt] &&\approx&-2,50\\[5pt] \end{array}$
Somit sind die gesuchten Parameter $a=80$, $b=8.042,8$ und $c=-2,5$. Die Funktionsgleichung lautet $f_{80;\,8042,8;\,-2,5}(t)=80+8.042,8 \cdot t^2\cdot e^{-2,5 \cdot t}$.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Ableitungen bestimmen
Leite die Funktion $f$ zweimal ab, um die Behauptung zu zeigen. Der Funktionsterm von $f$ lautet dabei:
$f(t)=100+4.600\cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t}$
Mit der Produkt- und Kettenregel kannst du die ersten beiden Ableitungen berechnen:
$\begin{array}{rll} f'(t)=&4.600\cdot (2t\cdot \mathrm{e}^{-2t} + t^2 \cdot (-2\cdot \mathrm{e}^{-2t})) \\[5pt] =&4.600\cdot (2t\cdot \mathrm{e}^{-2t} -2t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t})\\[5pt] =&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot (t-t^2) \end{array}$
$\begin{array}{rll} f''(t)=&9.200\cdot ((1-2t)\cdot \mathrm{e}^{-2t} + (t-t^2) \cdot (-2\cdot \mathrm{e}^{-2t})) \\[5pt] =&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot (1-2t-2t+2t^2)\\[5pt] =&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot (2t^2-4t+1) \end{array}$
Die Funktionsgleichung der ersten Ableitung $f'$ lautet somit: $f'(t)=9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot (t-t^2)$.
Die Funktionsgleichung der zweiten Ableitung $f''$ lautet somit: $f''(t)=9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot (2t^2-4t+1)$.
2.2 $\blacktriangleright$ Zeitpunkt des stärksten Anstiegs (bzw. Abstiegs) berechnen
Hier ist nach den Zeitpunkten gefragt, zu denen die Aktivitätskurve für das Enzym am stärksten ansteigt bzw. am stärksten fällt. Dies entspricht gerade den Extremstellen der ersten Ableitung (bzw. den Wendestellen der Funktion). Die gesuchten Änderungsraten entsprechen dann den Steigungen an diesen Stellen. Diese kannst du mit deinem GTR oder per Hand bestimmen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem GTR
Wechsle mit deinem GTR in das Y=-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $f'$. Hast du diesen dort gespeichert, dann lass dir den zugehörigen Graphen über GRAPH anzeigen.
Wähle dann unter
2nd $\to$ CALC (TRACE) $\to$ 3:minimum bzw. 4:maximum
den Befehl zum Bestimmen des Minimums bzw. Maximums aus und bestätige mit Enter.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Du erhältst die Minimalstelle $t_1 \approx 1,71$ mit Minimalwert $-365,39$ und die Maximalstelle $t_2 \approx 0,29$ mit Maximalwert $1060,67$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Nach Aufgabenstellung reicht es die notwendige Bedingung zu überprüfen. Die notwendige Bedingung für Extremstellen der ersten Ableitung besagt, dass die zweite Ableitung an einer Extremstelle gleich Null ist. Setze also den Funktionsterm der zweiten Ableitung gleich Null, um die Extremstellen der ersten Ableitung zu berechnen. Diese Werte kannst du dann in die Funktionsgleichung einsetzen, um die Änderungsraten zu bestimmen. Die Ableitungen hast du oben schon bestimmt.
Des Weiteren musst du noch die Randwerte zu den Zeitpunkten $t=0$ und $t=5$ überprüfen.
1. Schritt: Extremstellen der ersten Ableitung bestimmen
$\begin{array}{rll} 0 \stackrel{!}{=} &f''(t)\\[5pt] 0=&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot (2t^2-4t+1) \end{array}$
Hier reicht es die Gleichung $0=2t^2-4t+1$ zu betrachten, da $9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2t}>0$ ist und somit nach dem Satz über das Nullprodukt weggelassen werden kann. Diese kannst du mit deinem GTR bestimmen.
Wechsle mit deinem GTR in das Y=-Menü und speichere dort den Funktionsterm $2t^2-4t+1$. Hast du diesen dort gespeichert, dann lass dir den zugehörigen Graphen über GRAPH anzeigen.
Wähle dann unter
2nd $\to$ CALC (TRACE) $\to$ 2:zero
den Befehl zum Bestimmen der Nullstellen aus und bestätige mit Enter.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Die Extremstellen sind somit $t_1 \approx 1,71$ und $t_2 \approx 0,29$.
2. Schritt: Änderungsraten berechnen
Nun kannst du die Änderungsraten bestimmen, indem du die Extremstellen in $f'$ einsetzt:
$t_1$: $\quad$ $\begin{array}[t]{rll} f'(t_1)=&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot 1,71} \cdot \left(1,71 - 1,71^2\right) \approx-365,39 \end{array}$
$t_2$: $\quad$ $\begin{array}[t]{rll} f'(t_2)=&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot 0,29} \cdot \left(0,29 - 0,29^2\right) \approx1.060,6 \end{array}$
3. Schritt: Randwerte überprüfen
Betrachte nun die Änderungsraten an den Randstellen und überprüfe, ob dort eine höhere bzw. niedrigere Änderungsrate vorliegt. Die Randstellen sind $t=0$ und $t=5$:
$t=0$: $\quad$ $\begin{array}[t]{rll} f'(0)=&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot 0} \cdot \left(0 - 0\right) \\[5pt] =&9.200 \cdot1 \cdot 0\\[5pt] =&0 \end{array}$
$t=5$: $\quad$ $\begin{array}[t]{rll} f'(5)=&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot 5} \cdot \left(5 - 5^2\right) \\[5pt] =&9.200 \cdot\mathrm{e}^{-10} \cdot \left(-20\right)\\[5pt] \approx& -8,35 \end{array}$
Damit befinden sich am Rand keine Extremstellen der ersten Abeitung.
Die Aktivitätskurve fällt zum Zeitpunkt $t_1$ am stärksten und die Änderungsrate ist $-365,39$. Zum Zeitpunkt $t_2$ steigt die Aktivitätskurve am stärksten und die Änderungsrate ist $1.060,6$.
2.3
2.3.1 $\blacktriangleright$ Integrationsmethode
Hier ist es deine Aufgabe die Integrationsmethode anzugeben, die hier verwendet wurde. Im Material erkennst du, dass auf der linken Seite der Gleichung ein Integral steht, welches nicht ohne Weiteres integriert werden kann. Es handelt sich hierbei um ein Produkt eines Polynoms und einer $\mathrm{e}$- Funktion. Auf der rechten Seite siehst du zwei Terme, wobei einer der beiden ein Integral ist. Diese Terme hängen folgendermaßen zusammen:
Definierst du $u(t)=4.600 \cdot t^2$ und $v(t)=\left( -\dfrac{1}{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-2t}$ wie im Material, dann sind die ersten Ableitungen $u'$ und $v'$ durch folgende Gleichungen gegeben: $u'(t)=9.200 \cdot t$ und $v'(t)=\mathrm{e}^{-2t}$.
Somit ist die Integralgleichung in Material 2 von der Form:
$\displaystyle\int_{}^{} u(t) \cdot v'(t) \mathrm dt =u(t) \cdot v(t) - \displaystyle\int_{}^{} u'(t) \cdot v(t) \mathrm dt$
Diese Methode der Integration ist die partielle Integration.
$\blacktriangleright$ Vervollständigung der Rechnung
Deine Aufgabe ist es nun die Rechnung zu vervollständigen. In Material wurde bereits die partielle Integration einmal angewandt. Dabei ist dir nun folgende Gleichung gegeben:
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{}^{}f(t)\;\mathrm dt=&100 \cdot t +\displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \;\mathrm dx \\[5pt] =&100 \cdot t -2.300 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t} + \displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \mathrm dt \end{array}$
1. Schritt: Integral $\boldsymbol{\displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \mathrm dt}$ bestimmen
Bestimme nun das Integral $\displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \mathrm dt$ in einer Nebenrechnung. Hier ist ein Produkt unter dem Integral gegeben, somit benötigst du auch hier die partielle Integration:
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \mathrm dt = &4.600 \cdot t \cdot \left( -\dfrac{1}{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-2t} - \displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot \left( -\dfrac{1}{2}\right)\cdot \mathrm{e}^{-2t} \mathrm dt \\[5pt] =&-2.300 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2t} + 2.300 \cdot \displaystyle\int_{}^{}\mathrm{e}^{-2t} \mathrm dt \\[5pt] =&-2.300 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2t} + 2.300 \cdot \left( -\dfrac{1}{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-2t} \\[5pt] =&-2.300 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2t} -1.150 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Ergebnis einsetzen
Dieses Ergebnis kannst du nun in die obere Funktionsgleichung einsetzen:
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{}^{}f(t)\;\mathrm dt=&100 \cdot t -2.300 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t} + \displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \mathrm dt\\[5pt] = &100 \cdot t - 2.300 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t} -2.300 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2t} -1.150 \cdot \mathrm{e}^{-2t} +c\\[5pt] =&100t - 1.150 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot \left(2t^2+2t+1\right) + c \end{array}$
Setze die Integrationskonstante $c=0$. Damit erhältst du eine Stammfunktion $F$ von $f$ mit der Funktionsgleichung $F(t)=100t - 1.150 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot \left(2t^2+2t+1\right)$.
2.3.2 $\blacktriangleright$ Bestimmen des Integrals
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem GTR
Das Integral kannst du mit deinem GTR berechnen. Wechsle dazu mit deinem GTR in das Y=-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $f$. Hast du diesen dort gespeichert, dann lass dir den zugehörigen Graph über GRAPH anzeigen.
Wähle dann unter
2nd $\to$ CALC (TRACE) $\to$ 7: $\displaystyle\int_{}^{}f(x)\;\mathrm dx$
den Befehl zum Bestimmen des Integrals aus und bestätige mit Enter. Gib anschließend die untere Grenze $x=0$ und die obere Grenze $x=3$ ein.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Du erhältst somit:
$\dfrac{1}{3} \displaystyle\int_{0}^{3} f(t) \mathrm dt \approx \dfrac{1}{3} \cdot 1.378,74 =459,58$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Berechne das Integral nach dem Hauptsatz der Integralrechnung. In 2.3.1 hast du eine dazugehörige Stammfunktion bestimmt:
$\begin{array}{rll} \dfrac{1}{3} \displaystyle\int_{0}^{3} f(t) \mathrm dt=&\dfrac{1}{3} \displaystyle\int_{0}^{3} \left(100+4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \right) \mathrm dt \\[5pt] =&\dfrac{1}{3} \cdot \left[ 100t - 1.150 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot \left(2t^2+2t+1\right) \right]_{0}^{3}\\[5pt] =& \scriptsize \dfrac{1}{3} \cdot \left[ \left(100\cdot 3 - 1150 \cdot \mathrm{e}^{-2\cdot 3} \cdot \left(2\cdot 3^2+2\cdot 3+1\right)\right) - \left( 0 - 1.150 \cdot \mathrm{e}^{0} \cdot \left( 0+0+1\right)\right)\right]\\[5pt] =&\dfrac{1}{3} \cdot \left(\left(300 - 1.150 \cdot \mathrm{e}^{-6} \cdot 25 \right)+1.150\right)\\[5pt] =&\dfrac{1}{3} \cdot \left(1.450 - 28.750 \cdot \mathrm{e}^{-6}\right) \approx 459,58 \end{array}$
$\blacktriangleright$ Deuten des Ergebnisses im Sachzusammenhang
Nach Aufgabenstellung beschreibt die Funktion $f$ die Enzymaktivität in Units. $t$ steht hierbei für die Tage, die seit dem Infarkt vergangen sind. Das Integral $\displaystyle\int_{0}^{3} f(t) \mathrm dt$ beschreibt damit die insgesamte Menge an Enzymaktivität in Units die 3 Tage nach dem Infarkt insgesamt ausgeschüttet wurde. Teilt man dies durch 3, so erhält man die durschnittliche Enzymaktivität der ersten 3 Tage in Units pro Tag. Also lag die durchschnittliche Enzymaktivität während der ersten drei Tage nach dem Infarkt bei 459,58 Units pro Tag.
2.4 $\blacktriangleright$ Zeigen der Gleichheit
Hier sollst du zeigen, dass der gegebene Ansatz $100+4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t}=192$ zur Gleichung $\ln{(t^2)}=2t - 3,91202$ führt. Du erkennst, dass auf der linken Seite der gewünschten Gleichung $\ln{(t^2)}$ steht. Somit musst du zuerst $t^2$ alleine auf eine Seite bringen, indem du die Gleichung umformst. Danach musst du nun noch die Gleichung logarithmieren.
$\begin{array}{rll} 100+4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t}=&192 &\quad\scriptsize \mid\; -100\\[5pt] 4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t}=&92 &\quad\scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{1}{4.600} \cdot \mathrm{e}^{2t} \\[5pt] t^2=&\mathrm{e}^{2t}\cdot \dfrac{1}{50} &\quad\scriptsize \mid\; \ln\\[5pt] \ln{(t^2)}=&2t + \ln{\left(\dfrac{1}{50}\right)} \\[5pt] \ln{(t^2)}=&2t - 3,91202 \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$ Zeitspanne für Diagnose Herzinfarkt bestimmen
Deine Aufgabe ist nun mit Hilfe geeigneter Graphen zu zeigen, in welcher Zeitspanne die Diagnose Herzinfarkt gestellt werden kann. Dies ist nach Aufgabenstellung der Fall, wenn die Enzymaktivität mindestens 192 beträgt. Also wird zu jedem $t$ mit $0\leq t \leq 5$, das die Ungleichung $100+4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t}\geq 192$ erfüllt, die Diagnose Herzinfarkt gestellt.
Diese Ungleichung ist wie oben gezeigt äquivalent zu $h(t)=\ln{(t^2)}\geq 2t - 3,91202=g(t)$ (Ersetze „$=$“ durch „$\geq$“ es wird nicht mit „$-$“ multipliziert, daher dreht sich das $\geq$ nicht um). Das heißt, dass alle $t$, die die erste Ungleichung erfüllen, auch die zweite erfüllen. Gesucht ist also die Zeitspanne, in der $h(t) \geq g(t)$ gilt. Diese kannst du mit deinem GTR bestimmen.
Wechsle dazu mit deinem GTR in das Y=-Menü und speichere dort die Funktionsterme von $g$ und $h$. Hast du diese dort gespeichert, dann lass dir die zugehörigen Graphen über GRAPH anzeigen.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Du erkennst, dass die Ungleichung für das Intervall zwischen den beiden Schnittstellen erfüllt ist. Bestimme diese nun mit deinem GTR.
Wähle dann unter
2nd $\to$ CALC (TRACE) $\to$ 5: intersect
den Befehl zum Bestimmen einer Schnittstelle aus und bestätige mit Enter. Bestimme damit die beiden Schnittstellen:
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Du erhältst $t_1 \approx 0,17$ und $t_2\approx 3,08$ als Schnittstellen.
Ungefähr im Intervall $\left[0,17;\, 3,08\right]$ ist die Enzymaktivität somit größer oder gleich 192 und somit kann die Diagnose Herzinfarkt gestellt werden.
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1. $\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen
Die gegebene Funktion $f_{a,b,c}$ mit Funktionsgleichung $f_{a,b,c}(t)=a+b \cdot t^2\cdot \mathrm{e}^{c\cdot t}$ beschreibt die Enzymaktivität in Units nach $t$ Tagen. Deine Aufgabe ist es nun die Parameter $a$,$b$ und $c$ zu bestimmen.
Du hast hier drei gesuchte Parameter, deswegen musst du 3 Bedingungen an $f$ formulieren. Setze dazu dir bekannte Werte in den Funktionsterm ein.
  1. „Die Enzymaktivität beträgt zu Beginn 80 Units“
    $\Rightarrow$ Zeitpunkt $t=0$ mit Enzymaktivität $f_{a,b,c}(0)=80$
    $(Ⅰ):\;80=f_{a,b,c}(0)=a+b \cdot 0^2\cdot \mathrm{e}^{c\cdot 0}=a+0=a$
  2. „Bereits nach einem Tag ist die Enzymaktivität auf den Wert 740 Units gestiegen.“
    $\Rightarrow$ Zeitpunkt $t=1$ mit Enzymaktivität $f_{a,b,c}(1)=740$
    $(Ⅱ):\;740=f_{a,b,c}(1)=a+b \cdot 1^2\cdot \mathrm{e}^{c\cdot 1}=a+b\cdot \mathrm{e}^c$
  3. „Drei Tage nach Beginn hat sich die Enzymaktivität wieder weitgehend normalisiert und beträgt nur noch 120 Units.“
    $\Rightarrow$ Zeitpunkt $t=3$ mit Enzymaktivität $f_{a,b,c}(3)=120$
    $(Ⅲ):\;120=f_{a,b,c}(3)=a+b \cdot 3^2\cdot \mathrm{e}^{c\cdot 3}=a+9 \cdot b\cdot \mathrm{e}^{3c}$
Aus Bedingung (Ⅰ) folgt direkt $a=80$.
Setzt du nun $a=80$ in die Gleichungen (Ⅱ) und (Ⅲ) ein, erhältst du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses kannst du mit dem Einsetzungsverfahren lösen. Das Gleichungssystem lautet:
$\begin{array}[t]{lrll} \text{IIa}\quad&80+b\cdot \mathrm{e}^c&=&740&\quad \scriptsize \mid\; - 80 &\scriptsize \left(\text{nach } b \text{ umformen} \right) \\[5pt] & b\cdot \mathrm{e}^c&=&660&\quad\scriptsize \mid\; \cdot \mathrm{e}^{-c}\\[5pt] &b&=&660\cdot \mathrm{e}^{-c}& \\[5pt] \text{IIIa}\quad&80 + 9\cdot b \cdot \mathrm{e}^{3c}&=&120\\[5pt] \hline \text{IIb}\quad&b&=&660\cdot \mathrm{e}^{-c} \\[5pt] \text{IIIa}\quad&80 + 9\cdot b \cdot \mathrm{e}^{3c}&=&120&\quad \scriptsize \mid\; \text{IIb in IIIa} \\[5pt] &80 + 9\cdot 660\cdot \mathrm{e}^{-c} \cdot \mathrm{e}^{3c}&=&120&\quad\scriptsize\mid\; -80 \\[5pt] &5.940 \cdot \mathrm{e}^{2c}&=&40&\quad\scriptsize\mid\; \cdot \frac{1}{5.940} \\[5pt] &\mathrm{e}^{2c}&=&\frac{2}{297}&\quad\scriptsize\mid\; \ln \\[5pt] &2c&=&\ln\left(\frac{2}{297}\right)&\quad\scriptsize\mid\; :2\\[5pt] &c&=&\dfrac{1}{2} \cdot \ln\left(\frac{2}{297}\right)\\[5pt] \hline \text{IIb}\quad&b&=&660\cdot \mathrm{e}^{-c}&\quad \scriptsize\mid\; \text{IIIb in IIb} \\[5pt] \text{IIIb}& c&=&\frac{1}{2} \cdot \ln\left(\frac{2}{297}\right) \\[5pt] \hline \text{IIc}\quad&b&=& 660\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \ln\left(\frac{2}{297}\right)} \\[5pt] &&\approx&8.042,80\\[5pt] \text{IIIb}& c&=&\frac{1}{2} \cdot \ln\left(\frac{2}{297}\right) \\[5pt] &&\approx&-2,50\\[5pt] \end{array}$
Somit sind die gesuchten Parameter $a=80$, $b=8.042,8$ und $c=-2,5$. Die Funktionsgleichung lautet $f_{80;\,8042,8;\,-2,5}(t)=80+8.042,8 \cdot t^2\cdot e^{-2,5 \cdot t}$.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Ableitungen bestimmen
Leite die Funktion $f$ zweimal ab, um die Behauptung zu zeigen. Der Funktionsterm von $f$ lautet dabei:
$f(t)=100+4.600\cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t}$
Mit der Produkt- und Kettenregel kannst du die ersten beiden Ableitungen berechnen:
$\begin{array}{rll} f'(t)=&4.600\cdot (2t\cdot \mathrm{e}^{-2t} + t^2 \cdot (-2\cdot \mathrm{e}^{-2t})) \\[5pt] =&4.600\cdot (2t\cdot \mathrm{e}^{-2t} -2t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t})\\[5pt] =&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot (t-t^2) \end{array}$
$\begin{array}{rll} f''(t)=&9.200\cdot ((1-2t)\cdot \mathrm{e}^{-2t} + (t-t^2) \cdot (-2\cdot \mathrm{e}^{-2t})) \\[5pt] =&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot (1-2t-2t+2t^2)\\[5pt] =&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot (2t^2-4t+1) \end{array}$
Die Funktionsgleichung der ersten Ableitung $f'$ lautet somit: $f'(t)=9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot (t-t^2)$.
Die Funktionsgleichung der zweiten Ableitung $f''$ lautet somit: $f''(t)=9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot (2t^2-4t+1)$.
2.2 $\blacktriangleright$ Zeitpunkt des stärksten Anstiegs (bzw. Abstiegs) berechnen
Hier ist nach den Zeitpunkten gefragt, zu denen die Aktivitätskurve für das Enzym am stärksten ansteigt bzw. am stärksten fällt. Dies entspricht gerade den Extremstellen der ersten Ableitung (bzw. den Wendestellen der Funktion). Die gesuchten Änderungsraten entsprechen dann den Steigungen an diesen Stellen. Diese kannst du mit deinem GTR oder per Hand bestimmen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem GTR
Wechsle mit deinem GTR in das Graph-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $f'$. Hast du diesen dort gespeichert, dann lass dir den zugehörigen Graphen über DRAW anzeigen.
Wähle dann unter
SHIFT $\to$ F5: G-Solv $\to$ F2: MAX bzw. F3: MIN
den Befehl zum Bestimmen des Maximums bzw. Minimums aus und führe diesen aus.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Du erhältst die Minimalstelle $t_1 \approx 1,71$ mit Minimalwert $-365,39$ und die Maximalstelle $t_2 \approx 0,29$ mit Maximalwert $1060,67$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Nach Aufgabenstellung reicht es die notwendige Bedingung zu überprüfen. Die notwendige Bedingung für Extremstellen der ersten Ableitung besagt, dass die zweite Ableitung an einer Extremstelle gleich Null ist. Setze also den Funktionsterm der zweiten Ableitung gleich Null, um die Extremstellen der ersten Ableitung zu berechnen. Diese Werte kannst du dann in die Funktionsgleichung einsetzen, um die Änderungsraten zu bestimmen. Die Ableitungen hast du oben schon bestimmt.
Des Weiteren musst du noch die Randwerte zu den Zeitpunkten $t=0$ und $t=5$ überprüfen.
1. Schritt: Extremstellen der ersten Ableitung bestimmen
$\begin{array}{rll} 0 \stackrel{!}{=} &f''(t)\\[5pt] 0=&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot (2t^2-4t+1) \end{array}$
Hier reicht es die Gleichung $0=2t^2-4t+1$ zu betrachten, da $9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2t}>0$ ist und somit nach dem Satz über das Nullprodukt weggelassen werden kann. Diese kannst du mit deinem GTR bestimmen.
Wechsle mit deinem GTR in das GRAPH-Menü und speichere dort den Funktionsterm $2t^2-4t+1$. Hast du diesen dort gespeichert, dann lass dir den zugehörigen Graphen über DRAW anzeigen.
Wähle dann unter
SHIFT $\to$ F5: G-Solv $\to$ F1: ROOT
den Befehl zum Bestimmen der Nullstellen aus und führe diesen aus.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Die Extremstellen sind somit $t_1 \approx 1,71$ und $t_2 \approx 0,29$.
2. Schritt: Änderungsraten berechnen
Nun kannst du die Änderungsraten bestimmen, indem du die Extremstellen in $f'$ einsetzt:
$t_1$: $\quad$ $\begin{array}[t]{rll} f'(t_1)=&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot 1,71} \cdot \left(1,71 - 1,71^2\right) \approx-365,39 \end{array}$
$t_2$: $\quad$ $\begin{array}[t]{rll} f'(t_2)=&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot 0,29} \cdot \left(0,29 - 0,29^2\right) \approx1.060,6 \end{array}$
3. Schritt: Randwerte überprüfen
Betrachte nun die Änderungsraten an den Randstellen und überprüfe, ob dort eine höhere bzw. niedrigere Änderungsrate vorliegt. Die Randstellen sind $t=0$ und $t=5$:
$t=0$: $\quad$ $\begin{array}[t]{rll} f'(0)=&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot 0} \cdot \left(0 - 0\right) \\[5pt] =&9.200 \cdot1 \cdot 0\\[5pt] =&0 \end{array}$
$t=5$: $\quad$ $\begin{array}[t]{rll} f'(5)=&9.200 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot 5} \cdot \left(5 - 5^2\right) \\[5pt] =&9.200 \cdot\mathrm{e}^{-10} \cdot \left(-20\right)\\[5pt] \approx& -8,35 \end{array}$
Damit befinden sich am Rand keine Extremstellen der ersten Abeitung.
Die Aktivitätskurve fällt zum Zeitpunkt $t_1$ am stärksten und die Änderungsrate ist $-365,39$. Zum Zeitpunkt $t_2$ steigt die Aktivitätskurve am stärksten und die Änderungsrate ist $1.060,6$.
2.3
2.3.1 $\blacktriangleright$ Integrationsmethode
Hier ist es deine Aufgabe die Integrationsmethode anzugeben, die hier verwendet wurde. Im Material erkennst du, dass auf der linken Seite der Gleichung ein Integral steht, welches nicht ohne Weiteres integriert werden kann. Es handelt sich hierbei um ein Produkt eines Polynoms und einer $\mathrm{e}$- Funktion. Auf der rechten Seite siehst du zwei Terme, wobei einer der beiden ein Integral ist. Diese Terme hängen folgendermaßen zusammen:
Definierst du $u(t)=4.600 \cdot t^2$ und $v(t)=\left( -\dfrac{1}{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-2t}$ wie im Material, dann sind die ersten Ableitungen $u'$ und $v'$ durch folgende Gleichungen gegeben: $u'(t)=9.200 \cdot t$ und $v'(t)=\mathrm{e}^{-2t}$.
Somit ist die Integralgleichung in Material 2 von der Form:
$\displaystyle\int_{}^{} u(t) \cdot v'(t) \mathrm dt =u(t) \cdot v(t) - \displaystyle\int_{}^{} u'(t) \cdot v(t) \mathrm dt$
Diese Methode der Integration ist die partielle Integration.
$\blacktriangleright$ Vervollständigung der Rechnung
Deine Aufgabe ist es nun die Rechnung zu vervollständigen. In Material wurde bereits die partielle Integration einmal angewandt. Dabei ist dir nun folgende Gleichung gegeben:
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{}^{}f(t)\;\mathrm dt=&100 \cdot t +\displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \;\mathrm dx \\[5pt] =&100 \cdot t -2.300 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t} + \displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \mathrm dt \end{array}$
1. Schritt: Integral $\boldsymbol{\displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \mathrm dt}$ bestimmen
Bestimme nun das Integral $\displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \mathrm dt$ in einer Nebenrechnung. Hier ist ein Produkt unter dem Integral gegeben, somit benötigst du auch hier die partielle Integration:
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \mathrm dt = &4.600 \cdot t \cdot \left( -\dfrac{1}{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-2t} - \displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot \left( -\dfrac{1}{2}\right)\cdot \mathrm{e}^{-2t} \mathrm dt \\[5pt] =&-2.300 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2t} + 2.300 \cdot \displaystyle\int_{}^{}\mathrm{e}^{-2t} \mathrm dt \\[5pt] =&-2.300 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2t} + 2.300 \cdot \left( -\dfrac{1}{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-2t} \\[5pt] =&-2.300 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2t} -1.150 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Ergebnis einsetzen
Dieses Ergebnis kannst du nun in die obere Funktionsgleichung einsetzen:
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{}^{}f(t)\;\mathrm dt=&100 \cdot t -2.300 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t} + \displaystyle\int_{}^{}4.600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \mathrm dt\\[5pt] = &100 \cdot t - 2.300 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t} -2.300 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2t} -1.150 \cdot \mathrm{e}^{-2t} +c\\[5pt] =&100t - 1.150 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot \left(2t^2+2t+1\right) + c \end{array}$
Setze die Integrationskonstante $c=0$. Damit erhältst du eine Stammfunktion $F$ von $f$ mit der Funktionsgleichung $F(t)=100t - 1.150 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot \left(2t^2+2t+1\right)$.
2.3.2 $\blacktriangleright$ Bestimmen des Integrals
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem GTR
Das Integral kannst du mit deinem GTR berechnen. Wechsle mit deinem GTR in das GRAPH-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $f$. Hast du diesen dort gespeichert, dann lass dir den zugehörigen Graphen über DRAW anzeigen.
Wähle dann unter
SHIFT $\to$ F5: G-Solv $\to$ F6 $\to$ F3: $\displaystyle\int\;\mathrm dx$ $\to$ F1: $\displaystyle\int\;\mathrm dx$
den Befehl zum Bestimmen der Integrals aus und gib die untere Grenze $x=0$ und obere Grenze $x=3$ ein.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Du erhältst somit:
$\dfrac{1}{3} \displaystyle\int_{0}^{3} f(t) \mathrm dt \approx \dfrac{1}{3} \cdot 1.378,74 =459,58$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Berechne das Integral nach dem Hauptsatz der Integralrechnung. In 2.3.1 hast du eine dazugehörige Stammfunktion bestimmt:
$\begin{array}{rll} \dfrac{1}{3} \displaystyle\int_{0}^{3} f(t) \mathrm dt=&\dfrac{1}{3} \displaystyle\int_{0}^{3} \left(100+4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \right) \mathrm dt \\[5pt] =&\dfrac{1}{3} \cdot \left[ 100t - 1.150 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot \left(2t^2+2t+1\right) \right]_{0}^{3}\\[5pt] =& \scriptsize /\dfrac{1}{3} \cdot \left[ \left(100\cdot 3 - 1150 \cdot \mathrm{e}^{-2\cdot 3} \cdot \left(2\cdot 3^2+2\cdot 3+1\right)\right) - \left( 0 - 1.150 \cdot \mathrm{e}^{0} \cdot \left( 0+0+1\right)\right)\right]\\[5pt] =&\dfrac{1}{3} \cdot \left(\left(300 - 1.150 \cdot \mathrm{e}^{-6} \cdot 25 \right)+1.150\right)\\[5pt] =&\dfrac{1}{3} \cdot \left(1.450 - 28.750 \cdot \mathrm{e}^{-6}\right) \approx 459,58 \end{array}$
$\blacktriangleright$ Deuten des Ergebnisses im Sachzusammenhang
Nach Aufgabenstellung beschreibt die Funktion $f$ die Enzymaktivität in Units. $t$ steht hierbei für die Tage, die seit dem Infarkt vergangen sind. Das Integral $\displaystyle\int_{0}^{3} f(t) \mathrm dt$ beschreibt damit die insgesamte Menge an Enzymaktivität in Units die 3 Tage nach dem Infarkt insgesamt ausgeschüttet wurde. Teilt man dies durch 3, so erhält man die durschnittliche Enzymaktivität der ersten 3 Tage in Units pro Tag. Also lag die durchschnittliche Enzymaktivität während der ersten drei Tage nach dem Infarkt bei 459,58 Units pro Tag.
2.4 $\blacktriangleright$ Zeigen der Gleichheit
Hier sollst du zeigen, dass der gegebene Ansatz $100+4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t}=192$ zur Gleichung $\ln{(t^2)}=2t - 3,91202$ führt. Du erkennst, dass auf der linken Seite der gewünschten Gleichung $\ln{(t^2)}$ steht. Somit musst du zuerst $t^2$ alleine auf eine Seite bringen, indem du die Gleichung umformst. Danach musst du nun noch die Gleichung logarithmieren.
$\begin{array}{rll} 100+4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t}=&192 &\quad\scriptsize \mid\; -100\\[5pt] 4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t}=&92 &\quad\scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{1}{4.600} \cdot \mathrm{e}^{2t} \\[5pt] t^2=&\mathrm{e}^{2t}\cdot \dfrac{1}{50} &\quad\scriptsize \mid\; \ln\\[5pt] \ln{(t^2)}=&2t + \ln{\left(\dfrac{1}{50}\right)} \\[5pt] \ln{(t^2)}=&2t - 3,91202 \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$ Zeitspanne für Diagnose Herzinfarkt bestimmen
Deine Aufgabe ist nun mit Hilfe geeigneter Graphen zu zeigen, in welcher Zeitspanne die Diagnose Herzinfarkt gestellt werden kann. Dies ist nach Aufgabenstellung der Fall, wenn die Enzymaktivität mindestens 192 beträgt. Also wird zu jedem $t$ mit $0\leq t \leq 5$, das die Ungleichung $100+4.600 \cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2t}\geq 192$ erfüllt, die Diagnose Herzinfarkt gestellt.
Diese Ungleichung ist wie oben gezeigt äquivalent zu $h(t)=\ln{(t^2)}\geq 2t - 3,91202=g(t)$ (Ersetze „$=$“ durch „$\geq$“ es wird nicht mit „$-$“ multipliziert, daher dreht sich das $\geq$ nicht um). Das heißt, dass alle $t$, die die erste Ungleichung erfüllen, auch die zweite erfüllen. Gesucht ist also die Zeitspanne, in der $h(t) \geq g(t)$ gilt. Diese kannst du mit deinem GTR bestimmen.
Wechsle dazu mit deinem GTR in das GRAPH-Menü und speichere dort die Funktionsterme von $g$ und $h$. Hast du diese dort gespeichert, dann lass dir die zugehörigen Graphen über DRAW anzeigen.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Du erkennst, dass die Ungleichung für das Intervall zwischen den beiden Schnittstellen erfüllt ist. Bestimme diese nun mit deinem GTR.
Wähle dann unter
SHIFT $\to$ F5: G-Solv $\to$ F5: INTSECT
den Befehl zum Bestimmen einer Schnittstelle aus und führe diesen aus. Bestimme damit die beiden Schnittstellen:
A1 - Analysis
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Du erhältst $t_1 \approx 0,17$ und $t_2\approx 3,08$ als Schnittstellen.
Ungefähr im Intervall $\left[0,17;\, 3,08\right]$ ist die Enzymaktivität somit größer oder gleich 192 und somit kann die Diagnose Herzinfarkt gestellt werden.
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