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B2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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1.   Eine Fabrikhalle soll in einen gleichmäßig ansteigenden Hang hinein gebaut werden. Dazu wird aus dem Hang Erde abgetragen. Der entstehende Einschnitt in den Hang wird im Folgenden als Baugrube bezeichnet. Das Gelände vor der Baugrube ist eben und liegt in der $x$-$y$-Ebene.
Der Übergang von der $x$-$y$-Ebene in den Hang wird von der Geraden $g$ beschrieben, die durch die Punkte $A\,(–10\mid 30\mid0)$ und $B\,(–30\mid90\mid0)$ verläuft (Material). Diese Punkte sind gleichzeitig die beiden vorderen Eckpunkte der rechteckigen Grundfläche der Baugrube. Der Punkt $D\,(–40\mid20\mid0)$ ist ein weiterer Eckpunkt dieser Grundfläche.
Modellhaft kann angenommen werden, dass der Hang in einer Ebene $H$ liegt. In dieser Ebene liegen auch die beiden oberen Eckpunkte $E$ und $F\,(–45\mid5\mid15)$ der Baugrube.
Alle Angaben erfolgen in Metern.
1.1   Berechne den fehlenden Eckpunkt $C$ der Grundfläche $ABCD$ der Baugrube.
Bestätige durch Rechnung, dass diese Grundfläche bei $A$ einen rechten Winkel besitzt.
(4P)
1.2   Gib eine Gleichung der Hangebene $H$ in Parameterform an und bestimme eine Koordinatengleichung dieser Ebene.
[zur Kontrolle: $H: 9x + 3y + 26z = 0$]
(6P)
1.3   Von einem festen Messpunkt $P\,(30 \mid 20 \mid 5)$ außerhalb der Baustelle wird der obere Eckpunkt $E$ der Baugrube über den Vektor $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}-21\\15\\2\end{pmatrix}$ anvisiert.
Bestimme die Koordinaten des Punktes $E$.
(4P)
1.4   Die Punkte $D$, $C$, $E$ und $F$ sind die Eckpunkte der „hinteren Wand“ der Baugrube. Sie liegen in der steil abfallenden Ebene $J$.
Eine Koordinatengleichung dieser Ebene lautet $J: 3x + y + 2z = –100$.
Nach Bauvorschrift darf eine solche Ebene gegenüber der Grundfläche höchstens einen Steigungswinkel von $60°$ besitzen.
Untersuche, ob die Ebene $J$ die Vorgabe der Bauvorschrift erfüllt.
(3P)
2.   Zwei Meter unterhalb des Mittelpunktes der Grundfläche $ABCD$ beginnt die Entwässerungsleitung des gesamten Bauvorhabens. Sie hat ein gleichmäßiges Gefälle von 2%.
Die Gerade, die sich durch die Projektion der Entwässerungsleitung in die $x$-$y$-Ebene ergibt, hat den Richtungsvektor $\overrightarrow{v}_{xy}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$.
2.1   Bestimme für den dreidimensionalen Raum die Gleichung der Geraden $g_E$, die den Verlauf der Entwässerungsleitung beschreibt.
[zur Kontrolle: $g_E: \overrightarrow{x}= \begin{pmatrix}-35\\55\\-2\end{pmatrix} +s \begin{pmatrix}4\\3\\-0,1\end{pmatrix}$]
(5P)
2.2   Der öffentliche Hauptkanal, an den die Entwässerungsleitung angeschlossen werden soll, lässt sich mithilfe folgender Geradengleichung modellhaft beschreiben:
$g_H:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}65\\20\\-3,5\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-2\\4\\-0,01\end{pmatrix}$
Da sich die Entwässerungsleitung und der Hauptkanal nicht schneiden, ist ein vertikaler, in Richtung der $z$-Achse verlaufender Fallschacht einzubauen, der die Entwässerungsleitung mit dem Hauptkanal verbindet. Ermittle die Höhe dieses Fallschachtes.
(4P)
3.   Entwickle eine Lösungsstrategie, mit der das Volumen des Erdaushubs für die Baugrube berechnet werden kann. Erläutere die einzelnen Schritte deines Lösungsweges.
Eine Durchführung der entsprechenden Rechnungen ist nicht erforderlich.
(4P)

Material

Hang und Baugrube
B2 - Analytische Geometrie
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Tipps
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1.
1.1 $\blacktriangleright$  Koordinaten des fehlenden Eckpunkts berechnen
Aus der Aufgabenstellung kannst du ablesen, dass die Grundfläche rechteckig ist. Somit gilt, dass die jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang sind. In Vektorschreibweise bedeutet dies für die gegenüberliegenden Seiten $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{BC}$ (du kannst auch die Seiten $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{DC}$ wählen):
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$
$\blacktriangleright$  Rechten Winkel überprüfen
Hier musst du überprüfen, ob die Grundfläche bei $A$ einen rechten Winkel besitzt. Der Winkel bei $A$ ist gerade der Winkel zwischen den Verbindungsvektoren zu $B$ und $D$. Mit dem Skalarprodukt kannst du überprüfen ob es sich um einen rechten Winkel handelt. Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich Null, so stehen diese beiden senkrecht aufeinander. Berechne also das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$.
1.2 $\blacktriangleright$  Hangebene $\boldsymbol{H}$ in Parameterform angeben
Aus dem Material erkennst du, dass die gegebenen Punkte $A$, $B$ und $F$ in der Hangebene $H$ und nicht auf einer Geraden liegen. Also kannst du mit diesen drei Punkten eine Gleichung der Ebene in Parameterform aufstellen. Du benötigst dazu einen Stützvektor und zwei Spannvektoren. Als Stützvektor kannst du einen Ortsvektor der drei Punkte auswählen, als Spannvektoren zwei Verbindungsvektoren der drei Punkte. Eine mögliche Gleichung in Parameterform ist:
$H:\, \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA} + s \cdot \overrightarrow{AB} + t \cdot \overrightarrow{AF}; \; s,t \in \mathbb{R}$
$\blacktriangleright$  Hangebene $\boldsymbol{H}$ in Koordinatenform angeben
Hier sollst du eine Ebenengleichung in Koordinatenform angeben. Dafür benötigst du einen Normalenvektor der Ebene $H$. Hast du einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene gegeben, so lautet eine Gleichung in Koordinatenform:
$H:\, n_1 \cdot x_1 + n_1 \cdot x_1 + n_1 \cdot x_1 = d; \quad d\in \mathbb{R}$.
Vereinfache hier zunächst die oben in Parameterform erhaltene Gleichung. Berechne daraufhin mit dem Vektorprodukt einen Normalenvektor $\overrightarrow{n_H}$ der Ebene $H$. Mit diesem kannst du dann eine Gleichung der Hangebene $H$ in Koordinatenform angeben und den Parameter $d$ mit einer Punktprobe bestimmen.
1.3 $\blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{E}$ berechnen
Der Punkt $E$ befindet sich auf der Geraden $g$, die durch $P$ entlang des Vektors $\overrightarrow{v}$ verläuft. Die Geradengleichung von $g$ lautet:
$g: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP} + s \cdot \overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}30\\ 20\\ 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}21\\ 15\\ 2\end{pmatrix} \cdot s=\begin{pmatrix}30 -21 \cdot s\\ 20 + 15 \cdot s\\ 5 + 2 \cdot s\end{pmatrix}$.
Der Punkt $E$ befindet sich auch in der Ebene $H$. Somit ist $E$ der Schnittpunkt der Geraden $g$ und der Ebene $H$. Diesen kannst du berechnen, indem du den allgemeinen Punkt der Gerade $g$ in eine Ebenengleichung von $H$ in Koordinatenform einsetzt und nach $s$ auflöst.
1.4 $\blacktriangleright$  Steigungswinkel $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen
Der gesuchte Winkel $\alpha$ ist der Winkel zwischen der $x$-$y$-Ebene und der Ebene $J$. Der Winkel zwischen zwei Ebenen ist der Schnittwinkel zwischen ihren Normalenvektoren. Ein Normalenvektor $\overrightarrow{n_xy}$ der $x$-$y$-Ebene ist ein Vektor in $z$-Richtung, einen Normalenvektor $\overrightarrow{n_J}$ der Ebene $J$ kannst du direkt aus der gegebenen Koordinatengleichung ablesen. Wähle $\overrightarrow{n_{xy}}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$ und lese $\overrightarrow{n_J}=\begin{pmatrix}3\\ 1\\ 2\end{pmatrix}$ ab. Den Schnittwinkel $\alpha$ kannst du mit der Formel für die Schnittwinkel zweier Vektoren berechnen. Diese lautet für zwei beliebige Vektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ und deren Schnittwinkel $\alpha$:
$\cos(\alpha) = \dfrac{\left|\, \overrightarrow{v} \circ \overrightarrow{w} \,\right|}{ \left|\, \overrightarrow{v} \,\right| \cdot \left|\,\overrightarrow{w} \, \right|}$
2.
2.1 $\blacktriangleright$  Gleichung der Geraden $\boldsymbol{g_E}$ bestimmen
Um die Gleichung der Geraden $g_E$ zu bestimmen, benötigst du einen Punkt auf der Geraden und die Richtung der Geraden.
Zuerst berechnest du die Koordinaten des Punktes $P$ der sich 2 Meter unter dem Mittelpunkt $M$ des Rechtecks und auf der Geraden $g_E$ befindet. Dafür benötigst du zuerst den Mittelpunkt des Rechtecks. Danach berechnest du den Richtungsvektor der Geraden $g_E$. Nach Aufgabenstellung sind bereits die $x$- und $y$-Komponenten gegeben, die $z$-Komponente lässt sich mit Hilfe des Gefälles der Leitung berechnen.
1. Schritt: Punkt $\boldsymbol{P}$ auf der Geraden $\boldsymbol{g_E}$ berechnen
Der Mittelpunkt eines Rechteck liegt in der Mitte der Diagonalen. Eine Diagonale des Rechtecks ist die Verbindungsstrecke $\overline{AC}$. Um zum Punkt $M$ zu gelangen, gehst du also zuerst zum Eckpunkt $A$ und von dort dann zur Mitte der Diagonalen $\overline{AC}$. Den Ortsvektor des Mittelpunktes $M$ kannst du nun folgendermaßen berechnen:
$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA} + \dfrac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC}$
Nach Aufgabenstellung befindet sich der Punkt $P$, der 2 Meter unter dem Mittelpunkt $M$ liegt, auf der Geraden $g_E$.
2. Schritt: Richtung der Geraden bestimmen
Die $x$- und $y$-Komponenten sind bereits durch $\overrightarrow{v_{xy}}$ gegeben. Damit lautet der Richtungsvektor $\overrightarrow{v}$ der Geraden $g_E$: $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}4\\ 3\\ v_z\end{pmatrix}; \, v_z \in \mathbb{R}$.
Nun musst du noch die $z$-Komponente $v_z$ berechnen. Dazu ist in der Aufgabenstellung gegeben, dass die Leitung ein gleichmäßiges Gefälle von 2% hat. Dies bedeutet, dass die Leitung auf einer Länge von 100 Metern (in der $x$-$y$-Ebene) 2 Meter nach unten (in der $z$-Ebene) geht. Berechne die Länge des Richtungsvektor in der $x$-$y$-Ebene.
Berechne damit das Gefälle des Richtungsvektors, um die $z$-Komponente zu berechnen.
2.2 $\blacktriangleright$  Höhe des Fallschachts bestimmen
Der Fallschacht verläuft in $z$-Richtung, hat somit feste $x$- und $y$-Koordinaten. Somit müssen die Berührungspunkte $S_E$ bzw. $S_H$ der Geraden $g_E$ bzw. $g_H$ mit dem Fallschacht die selben $x$- und $y$-Koordinaten besitzen. Berechne also zuerst die Lage des Fallschachts in der $x$-$y$-Ebene. Die untenstehende Skizze beschreibt die Lage der Geraden in der $x$-$y$-Ebene, wobei $S$ der Projektionspunkt des Fallschachts ist:
B2 - Analytische Geometrie
B2 - Analytische Geometrie
Mit der Lage des Fallschachts in der $x$-$y$-Ebene können wir die Berührungspunkte $S_E$ und $S_H$ auf den Geraden $g_E$ und $g_H$ bestimmen. Damit kannst du dann die Höhe des Fallschachts bestimmen. Betrachte dazu die untenstehende Skizze:
B2 - Analytische Geometrie
B2 - Analytische Geometrie
3. $\blacktriangleright$  Lösungsstrategie zur Berechnung des Volumens des Erdaushubs
B2 - Analytische Geometrie
B2 - Analytische Geometrie
Du kannst den Erdaushub in 3 Teilbereiche aufteilen und jeweils die Volumina der Teilbereiche bestimmen. Die äußeren Teilbereiche entsprechen einer Pyramide, der mittlere Teilbereich einem Prisma. Die Volumen dieser Körper kannst du mit Hilfe ihrer Volumenfomeln berechnen.
1. Schritt: Aufteilen der Baugrube in drei Teilbereiche
Definiere dazu zuerst zwei Punkte $E'$ und $F'$. Diese liegen auf der Verbindungsstrecke $\overline{EF}$ und projizierst du sie in die $x$-$y$-Ebene, so liegen sie auf einer Geraden mit $B$ und $C$ (für $F'$) und mit $A$ und $D$ (für $E'$). Auf der nebenstehende Skizze kannst du die Lage der Punkte $E'$ und $F'$ nachvollziehen.
In der $z$-Ebene bilden sich nun zwei Dreiecke $ADF'$ und $BCE'$. Diese Dreiecke teilen den Erdaushub in die drei Teilstücke. Die Flächen der Dreiecke sind gleich groß. Die Fläche eines Dreiecks $A$ mit Grundseite $g$ und Höhe $h$ lautet:
$A=\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h$
2. Schritt: Volumen $\boldsymbol{V_M}$ des mittleren Teilstücks bestimmen
Stellst du das mittlere Teilstück auf die Dreiecksfläche, erkennst du, dass es sich hierbei um ein Prisma handelt. Grund- und Deckfläche sind die beiden Dreiecksflächen, die parallel und kongruent sind. Das Volumen $V_M$ des mittleren Teilstücks berechnet sich nun mit der Formel für das Volumen eines Prisma. Diese lautet für die Grundfläche $A_G$ und die Höhe $h$:
$V= A_G \cdot h$
3. Schritt: Volumen der äußeren Teilstücke bestimmen
Nun musst du noch die Volumina der äußeren Teilstücke bestimmen. Betrachte dazu das Teilstück am Eckpunkt $F$. Drehst du dieses Teilstück auf die Dreiecksfläche $ADF'$, so erhältst du eine Pyramide mit dem Dreieck als Grundfläche und dem Punkt $F'$ als Spitze. Die Spitze $F'$ liegt über dem Punkt $F$, somit beträgt die Höhe der Pyramide $\left|\overrightarrow{FF'}\right|$. Also kannst du mit der Formel für das Volumen einer Pyramide das Volumen $V_F$ des Teilstücks bestimmen. Diese lautet bei einer Grundfläche $A_G$ und einer Höhe $h$:
$V=\dfrac{1}{3} \cdot A_G \cdot h$
Analog erhältst du $V_E$.
4. Schritt: Gesamtvolumen $\boldsymbol{V}$ bestimmen
Für das Volumen $V$ des gesamten Erdaushubs erhältst du somit:
$\begin{array}{rll} V&= V_M+V_E+V_F \end{array}$
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Lösungen TI
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1.
1.1 $\blacktriangleright$  Koordinaten des fehlenden Eckpunkts berechnen
Aus der Aufgabenstellung kannst du ablesen, dass die Grundfläche rechteckig ist. Somit gilt, dass die jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang sind. In Vektorschreibweise bedeutet dies für die gegenüberliegenden Seiten $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{BC}$ (du kannst auch die Seiten $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{DC}$ wählen):
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AD}&=&\overrightarrow{BC} \\[5pt] \overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}& =& \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} &\quad\mid\; +\overrightarrow{OB} \end{array}$
$\quad \Longrightarrow \; \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix}-40\\ 20\\ 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-10\\ 30\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-30\\ 90\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-60\\ 80\\ 0\end{pmatrix}$
Damit ist der fehlende Eckpunkt $C(-60 \mid 80 \mid 0)$.
$\blacktriangleright$  Rechten Winkel überprüfen
Hier musst du überprüfen, ob die Grundfläche bei $A$ einen rechten Winkel besitzt. Der Winkel bei $A$ ist gerade der Winkel zwischen den Verbindungsvektoren zu $B$ und $D$. Mit dem Skalarprodukt kannst du überprüfen ob es sich um einen rechten Winkel handelt. Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich Null, so stehen diese beiden senkrecht aufeinander. Berechne also das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$:
$\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}-20\\ 60\\ 0\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}-30\\ -10\\ 0 \end{pmatrix}= \left(-20\right) \cdot \left(-30\right) + 60 \cdot \left(-10\right) + 0=600 - 600 = 0$
Damit ist gezeigt, dass die Grundfläche bei $A$ einen rechten Winkel besitzt.
1.2 $\blacktriangleright$  Hangebene $\boldsymbol{H}$ in Parameterform angeben
Aus dem Material erkennst du, dass die gegebenen Punkte $A$, $B$ und $F$ in der Hangebene $H$ und nicht auf einer Geraden liegen. Also kannst du mit diesen drei Punkten eine Gleichung der Ebene in Parameterform aufstellen. Du benötigst dazu einen Stützvektor und zwei Spannvektoren. Als Stützvektor kannst du einen Ortsvektor der drei Punkte auswählen, als Spannvektoren zwei Verbindungsvektoren der drei Punkte. Eine mögliche Gleichung in Parameterform ist:
$H:\, \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA} + s \cdot \overrightarrow{AB} + t \cdot \overrightarrow{AF}; \; s,t \in \mathbb{R}$
Die Vektoren $\overrightarrow{OA}$ und $\overrightarrow{AB}$ hast du bereits in 1.1 berechnet. Berechne noch den fehlenden Vektor $\overrightarrow{AF}$:
$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}-45\\ 5\\ 15\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-10\\ 30\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-35\\ -25\\ 15\end{pmatrix}$
Damit lautet eine mögliche Gleichung:
$H:\, \overrightarrow{x}= \begin{pmatrix}-10\\ 30\\ 0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-20\\ 60\\ 0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-35\\ -25\\ 15\end{pmatrix}; \; s,t \in \mathbb{R}$
$\blacktriangleright$  Hangebene $\boldsymbol{H}$ in Koordinatenform angeben
Hier sollst du eine Ebenengleichung in Koordinatenform angeben. Dafür benötigst du einen Normalenvektor der Ebene $H$. Hast du einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene gegeben, so lautet eine Gleichung in Koordinatenform:
$H:\, n_1 \cdot x_1 + n_1 \cdot x_1 + n_1 \cdot x_1 = d; \quad d\in \mathbb{R}$.
Vereinfache hier zunächst die oben in Parameterform erhaltene Gleichung. Berechne daraufhin mit dem Vektorprodukt einen Normalenvektor $\overrightarrow{n_H}$ der Ebene $H$. Mit diesem kannst du dann eine Gleichung der Hangebene $H$ in Koordinatenform angeben und den Parameter $d$ mit einer Punktprobe bestimmen.
1. Schritt: Ebenengleichung vereinfachen
Die Ebene verläuft durch den Ursprung ($s=0,5; \, t=0$), somit kannst du den Stützvektor weglassen. Auch die Richtungsvektoren $\overrightarrow{AB}=20 \cdot \begin{pmatrix}-1\\ 3\\ 0 \end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{AF}=5 \cdot \begin{pmatrix}-7\\ -5\\ 3 \end{pmatrix}$ kannst du vereinfachen. Somit lautet eine vereinfachte Gleichung in Parameterform:
$H:\, \overrightarrow{x}= s \cdot \begin{pmatrix}-1\\ 3\\ 0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-7\\ -5\\ 3\end{pmatrix}; \; s,t \in \mathbb{R}$
2. Schritt: Normalenvektor der Ebene $\boldsymbol{H}$
Du kannst mit dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene $H$ einen Normalenvektor $\overrightarrow{n_H}$ berechnen:
$\overrightarrow{n_H}=\begin{pmatrix}-1\\ 3\\ 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-7\\ -5\\ 3\end{pmatrix}= \left(\begin{array}{ccc} 3 \cdot 3&-&0\\ 0&-&(-1)\cdot3\\ (-1) \cdot (-5)&-& (-7)\cdot 3\\ \end{array}\right) = \begin{pmatrix}9\\ 3\\ 5 + 21\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\ 3\\ 26\end{pmatrix}$
3. Schritt: Ebenengleichung in Koordinatenform bestimmen
Eine Gleichung in Koordinatenform lautet für den Normalenvektor $\overrightarrow{n_H}$:
$H:\, 9x+3y+26z=d$
Nun musst du nur noch $d$ bestimmen. Da die Ebene durch den Ursprung läuft, ist der Parameter $d$ gleich Null. Somit lautet eine Ebenengleichung in Koordinatenform:
$H:\, 9x+3y+26z=0$
1.3 $\blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{E}$ berechnen
Der Punkt $E$ befindet sich auf der Geraden $g$, die durch $P$ entlang des Vektors $\overrightarrow{v}$ verläuft. Die Geradengleichung von $g$ lautet:
$g: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP} + s \cdot \overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}30\\ 20\\ 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}21\\ 15\\ 2\end{pmatrix} \cdot s=\begin{pmatrix}30 -21 \cdot s\\ 20 + 15 \cdot s\\ 5 + 2 \cdot s\end{pmatrix}$.
Der Punkt $E$ befindet sich auch in der Ebene $H$. Somit ist $E$ der Schnittpunkt der Geraden $g$ und der Ebene $H$. Diesen kannst du berechnen, indem du den allgemeinen Punkt der Gerade $g$ in eine Ebenengleichung von $H$ in Koordinatenform einsetzt und nach $s$ auflöst:
$\begin{array}[t]{rll} 9\cdot \left(30 - 21s\right) + 3 \cdot \left(20 +15s\right)+ 26 \cdot \left(5 +2s\right)&=0\\[5pt] 270 - 189s + 60 +45s +130 + 52s&=0\\[5pt] 460-92s&=0&\quad \mid\; +92s\\[5pt] 460&=92s&\quad \mid\; :92\\[5pt] 5&=s \end{array}$
Setzt du $s=5$ in die Geradengleichung von $g$ ein, so erhältst du den Ortvektor von $E$:
$\overrightarrow{OE} = \begin{pmatrix}30 -21 \cdot 5\\ 20 + 15 \cdot 5\\ 5 + 2 \cdot 5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}30 -105\\ 20 + 75\\ 5 + 10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-75\\ 95\\ 15\end{pmatrix}$
Der gesuchte Punkt ist $E( -75 \mid 95 \mid 15)$.
1.4 $\blacktriangleright$  Steigungswinkel $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen
Der gesuchte Winkel $\alpha$ ist der Winkel zwischen der $x$-$y$-Ebene und der Ebene $J$. Der Winkel zwischen zwei Ebenen ist der Schnittwinkel zwischen ihren Normalenvektoren. Ein Normalenvektor $\overrightarrow{n_{xy}}$ der $x$-$y$-Ebene ist ein Vektor in $z$-Richtung, einen Normalenvektor $\overrightarrow{n_J}$ der Ebene $J$ kannst du direkt aus der gegebenen Koordinatengleichung ablesen. Wähle $\overrightarrow{n_{xy}}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$ und lese $\overrightarrow{n_J}=\begin{pmatrix}3\\ 1\\ 2\end{pmatrix}$ ab. Den Schnittwinkel $\alpha$ kannst du mit der Formel für die Schnittwinkel zweier Vektoren berechnen:
$\begin{array}{} \cos(\alpha) = \dfrac{\left| \overrightarrow{n_J} \circ \overrightarrow{n_{xy}} \right|}{ \left| \overrightarrow{n_J} \right| \cdot \left| \overrightarrow{n_{xy}} \right|} = \dfrac{\left| \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right) \right|}{ \left|\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right) \right| \cdot \left|\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right) \right|} = \dfrac{2}{\sqrt{14}} \\[5pt] \Rightarrow \; \alpha=\cos^{-1}\left(\dfrac{2}{\sqrt{14}}\right) \approx 57,69 \end{array}$
Der Steigungswinkel beträgt ca. 57,69° und überschreitet somit die Bauvorschrift von 60° nicht.
2.
2.1 $\blacktriangleright$  Gleichung der Geraden $\boldsymbol{g_E}$ bestimmen
Um die Gleichung der Geraden $g_E$ zu bestimmen, benötigst du einen Punkt auf der Geraden und die Richtung der Geraden.
Zuerst berechnest du die Koordinaten des Punktes $P$ der sich 2 Meter unter dem Mittelpunkt $M$ des Rechtecks und auf der Geraden $g_E$ befindet. Dafür benötigst du zuerst den Mittelpunkt des Rechtecks. Danach berechnest du den Richtungsvektor der Geraden $g_E$. Nach Aufgabenstellung sind bereits die $x$- und $y$-Komponenten gegeben, die $z$-Komponente lässt sich mit Hilfe des Gefälles der Leitung berechnen.
1. Schritt: Punkt $P$ auf der Geraden $\boldsymbol{g_E}$ berechnen
Der Mittelpunkt eines Rechteck liegt in der Mitte der Diagonalen. Eine Diagonale des Rechtecks ist die Verbindungsstrecke $\overline{AC}$. Um zum Punkt $M$ zu gelangen, gehst du also zuerst zum Eckpunkt $A$ und von dort dann zur Mitte der Diagonalen $\overline{AC}$. Den Ortsvektor des Mittelpunktes $M$ kannst du nun folgendermaßen berechnen:
$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA} + \dfrac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC} =\begin{pmatrix}-10\\ 30\\ 0\end{pmatrix} + \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}-50\\ 50\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10\\ 30\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-25\\25\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-35\\55\\0\end{pmatrix}$
Nach Aufgabenstellung befindet sich der Punkt $P$ 2 Meter unter dem Mittelpunkt $M$ liegt. $P$ ist somit gegeben durch:
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}-\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-35\\ 55\\ -2\end{pmatrix}$
2. Schritt: Richtung der Geraden bestimmen
Die $x$- und $y$-Komponenten sind bereits durch $\overrightarrow{v_{xy}}$ gegeben. Damit lautet der Richtungsvektor $\overrightarrow{v}$ der Geraden $g_E$: $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}4\\ 3\\ v_z\end{pmatrix}; \, v_z \in \mathbb{R}$.
Nun musst du noch die $z$-Komponente $v_z$ berechnen. Dazu ist in der Aufgabenstellung gegeben, dass die Leitung ein gleichmäßiges Gefälle von 2% hat. Dies bedeutet, dass die Leitung auf einer Länge von 100 Metern (in der $x$-$y$-Ebene) 2 Meter nach unten (in der $z$-Ebene) geht. Die Länge des Richtungsvektor in der $x$-$y$-Ebene ist die Länge von $\overrightarrow{v_{xy}}$:
$\left|\overrightarrow{v_{xy}}\right|=\sqrt{3²+4²}=\sqrt{25}=5$
Auf einer Länge von 5 Metern geht die Leitung bei einem Gefälle von 2% somit um 0,1 Meter nach unten ($100:5=20$ und $2:0,1=20$).
Damit lautet der Richtungsvektor $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}4\\ 3\\ -0,1\end{pmatrix}$.
Insgesamt ist die Gleichung der Geraden:
$g_E:\, \overrightarrow{x}= \begin{pmatrix}-35\\55\\-2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}4\\ 3\\ -0,1\end{pmatrix}; \; s \in \mathbb{R} $
2.2 $\blacktriangleright$  Höhe des Fallschachts bestimmen
Der Fallschacht verläuft in $z$-Richtung, hat somit feste $x$- und $y$-Koordinaten. Somit müssen die Berührungspunkte $S_E$ bzw. $S_H$ der Geraden $g_E$ bzw. $g_H$ mit dem Fallschacht die selben $x$- und $y$-Koordinaten besitzen. Berechne also zuerst die Lage des Fallschachts in der $x$-$y$-Ebene. Die untenstehende Skizze beschreibt die Lage der Geraden in der $x$-$y$-Ebene, wobei $S$ der Projektionspunkt des Fallschachts ist:
B2 - Analytische Geometrie
B2 - Analytische Geometrie
Mit der Lage des Fallschachts in der $x$-$y$-Ebene können wir die Berührungspunkte $S_E$ und $S_H$ auf den Geraden $g_E$ und $g_H$ bestimmen. Damit kannst du dann die Höhe des Fallschachts bestimmen. Betrachte dazu die untenstehende Skizze (nicht maßstabsgetreu):
B2 - Analytische Geometrie
B2 - Analytische Geometrie
1. Schritt: Lage des Fallschachts in der $\boldsymbol{x}$-$\boldsymbol{y}$-Ebene
Setze die $x$- und $y$-Komponenten der Geraden $g_E$ und $g_H$ gleich und ermittle so den Projektionspunkt $S$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-35 +4s&=65 -2r&\quad \mid\; +2r + 35\\[5pt] \text{II}\quad&55 +3s&=20+4r&\quad \mid\; -4r -55\\[5pt] \hline \text{Ia}\quad&2r+4s&=100&\quad \\[5pt] \text{IIa}\quad&-4r+3s&=-35&\quad \mid\; \text{IIb}=\text{IIa}+2\text{Ia} \\[5pt] \hline \text{Ia}\quad&2r+4s&=100&\quad \mid\; :2 \\[5pt] \text{IIb}\quad&11s&=165&\quad \mid\; :11 \\[5pt] \hline \text{Ib}\quad&r+2s&=50&& \Rightarrow r+30=50 \Rightarrow r=20 \\[5pt] \text{IIc}\quad&s&=15&\quad \\[5pt] \end{array}$
Setze nun $r$ bzw. $s$ in die Gleichungen $\text{I}$ und $\text{II}$ ein, um die $x$- und $y$-Koordinaten des Projektionspunktes zu bestimmen.
$\begin{array}{lrcccl} \text{I}\quad&-35 +4\cdot 15&=&25&=&65 -2\cdot 20\\[5pt] \text{II}\quad&55 +3\cdot 15&=&100&=&20+4\cdot 20 \end{array}$
Damit lautet der Projektionspunkt $P(25 \mid 100 \mid 0)$.
2. Schritt: Berührungspunkte der Geraden und des Fallschachts
Die Ortsvektoren der Berührungspunkte $S_E$ bzw. $S_H$ der Geraden $g_E$ bzw. $g_H$ mit dem Fallschacht lauten:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS_E}&=&\begin{pmatrix}-35 + 4 \cdot 15\\ 55 + 3 \cdot 15\\ -2 -0,1 \cdot 15\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}25\\ 100\\ -3,5\end{pmatrix}\\[5pt] \overrightarrow{OS_H}&=&\begin{pmatrix}65 - 2 \cdot 20\\ 20 + 4 \cdot 20\\ -3,5 - 0,01 \cdot 20\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}25\\ 100\\ -3,7\end{pmatrix} \end{array}$
3. Schritt: Höhe des Fallschachts berechnen
Die Höhe des Fallschachts ist nun die Länge der Verbindungsstrecke $\overrightarrow{S_ES_H}$:
$\left|\overrightarrow{S_ES_H}\right|=\left|\begin{pmatrix}25\\ 100\\ -3,5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}25\\ 100\\ -3,7\end{pmatrix} \right|= \left|\begin{pmatrix}0\\ 0\\ -0,2\end{pmatrix}\right|=0,2$
Der Fallschacht ist also 0,2 Meter hoch.
3. $\blacktriangleright$  Lösungsstrategie zur Berechnung des Volumens des Erdaushubs
B2 - Analytische Geometrie
B2 - Analytische Geometrie
Du kannst den Erdaushub in 3 Teilbereiche aufteilen und jeweils die Volumina der Teilbereiche bestimmen. Die äußeren Teilbereiche entsprechen einer Pyramide, der mittlere Teilbereich einem Prisma. Die Volumen dieser Körper kannst du mit Hilfe ihrer Volumenfomeln berechnen.
1. Schritt: Aufteilen der Baugrube in drei Teilbereiche
Definiere dazu zuerst zwei Punkte $E'$ und $F'$. Diese liegen auf der Verbindungsstrecke $\overline{EF}$ und projizierst du sie in die $x$-$y$-Ebene, so liegen sie auf einer Geraden mit $B$ und $C$ (für $F'$) und mit $A$ und $D$ (für $E'$). Auf der nebenstehende Skizze kannst du die Lage der Punkte $E'$ und $F'$ nachvollziehen.
In der $z$-Ebene bilden sich nun zwei Dreiecke $ADF'$ und $BCE'$. Diese Dreiecke teilen den Erdaushub in die drei Teilstücke. Die Flächen der Dreiecke sind gleich groß und können einfach berechnet werden, wobei $h$ die Höhe der Dreiecke ist:
$A_{\triangle}=A_{BCE'}=A_{ADF'}=\dfrac{1}{2} \cdot h \cdot \left|\overrightarrow{AD}\right|$
2. Schritt: Volumen $\boldsymbol{V_M}$ des mittleren Teilstücks bestimmen
Stellst du das mittlere Teilstück auf die Dreiecksfläche, erkennst du, dass es sich hierbei um ein Prisma handelt. Grund- und Deckfläche sind die beiden Dreiecksflächen, die parallel und kongruent sind. Das Volumen $V_M$ des mittleren Teilstücks berechnet sich nun mit der Grundläche, also der Fläche des Dreiecks, und der „Höhe“ des Prismas, also der Grundseite $\overrightarrow{AB}$: ($=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{F'E'}$) multipliziert:
$V_{M}=A_{\triangle} \cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|$
3. Schritt: Volumen der äußeren Teilstücke bestimmen
Nun musst du noch die Volumina der äußeren Teilstücke bestimmen. Betrachte dazu das Teilstück am Eckpunkt $F$. Drehst du dieses Teilstück auf die Dreiecksfläche $ADF'$, so erhältst du eine Pyramide mit dem Dreieck als Grundfläche und dem Punkt $F'$ als Spitze. Die Spitze $F'$ liegt über dem Punkt $F$, somit beträgt die Höhe der Pyramide $\left|\overrightarrow{FF'}\right|$. Also kannst du mit der Formel für das Volumen einer Pyramide das Volumen $V_F$ des Teilstücks bestimmen:
$V_F=\dfrac{1}{3} \cdot A_{\triangle} \cdot \left|\overrightarrow{FF'}\right|$
Analog erhältst du $V_E=\dfrac{1}{3} \cdot A_{\triangle} \cdot \left|\overrightarrow{EE'}\right|$.
4. Schritt: Gesamtvolumen $\boldsymbol{V}$ bestimmen
Für das Volumen $V$ des gesamten Erdaushubs erhältst du somit:
$\begin{array}{rll} V&= V_M+V_E+V_F\\[5pt] &= A_{\triangle} \cdot \left|\overrightarrow{AB}\right| + \dfrac{1}{3} \cdot A_{\triangle} \cdot \left|\overrightarrow{EE'}\right| + \dfrac{1}{3} \cdot A_{\triangle} \cdot \left|\overrightarrow{FF'}\right| \\[5pt] &= A_{\triangle}\cdot \left(\left|\overrightarrow{AB}\right|+\dfrac{1}{3} \cdot \left|\overrightarrow{EE'}\right| + \dfrac{1}{3} \cdot \left|\overrightarrow{FF'}\right| \right) \\[5pt] &=\dfrac{1}{3} \cdot h \cdot \left|\overrightarrow{AD}\right| \cdot \left(\left|\overrightarrow{AB}\right|+\dfrac{1}{3} \cdot \left|\overrightarrow{EE'}\right| + \dfrac{1}{3} \cdot \left|\overrightarrow{FF'}\right| \right) \end{array}$
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1.
1.1 $\blacktriangleright$  Koordinaten des fehlenden Eckpunkts berechnen
Aus der Aufgabenstellung kannst du ablesen, dass die Grundfläche rechteckig ist. Somit gilt, dass die jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang sind. In Vektorschreibweise bedeutet dies für die gegenüberliegenden Seiten $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{BC}$ (du kannst auch die Seiten $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{DC}$ wählen):
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AD}&=&\overrightarrow{BC} \\[5pt] \overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}& =& \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} &\quad\mid\; +\overrightarrow{OB} \end{array}$
$\quad \Longrightarrow \; \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix}-40\\ 20\\ 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-10\\ 30\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-30\\ 90\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-60\\ 80\\ 0\end{pmatrix}$
Damit ist der fehlende Eckpunkt $C(-60 \mid 80 \mid 0)$.
$\blacktriangleright$  Rechten Winkel überprüfen
Hier musst du überprüfen, ob die Grundfläche bei $A$ einen rechten Winkel besitzt. Der Winkel bei $A$ ist gerade der Winkel zwischen den Verbindungsvektoren zu $B$ und $D$. Mit dem Skalarprodukt kannst du überprüfen ob es sich um einen rechten Winkel handelt. Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich Null, so stehen diese beiden senkrecht aufeinander. Berechne also das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$:
$\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}-20\\ 60\\ 0\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}-30\\ -10\\ 0 \end{pmatrix}= \left(-20\right) \cdot \left(-30\right) + 60 \cdot \left(-10\right) + 0=600 - 600 = 0$
Damit ist gezeigt, dass die Grundfläche bei $A$ einen rechten Winkel besitzt.
1.2 $\blacktriangleright$  Hangebene $\boldsymbol{H}$ in Parameterform angeben
Aus dem Material erkennst du, dass die gegebenen Punkte $A$, $B$ und $F$ in der Hangebene $H$ und nicht auf einer Geraden liegen. Also kannst du mit diesen drei Punkten eine Gleichung der Ebene in Parameterform aufstellen. Du benötigst dazu einen Stützvektor und zwei Spannvektoren. Als Stützvektor kannst du einen Ortsvektor der drei Punkte auswählen, als Spannvektoren zwei Verbindungsvektoren der drei Punkte. Eine mögliche Gleichung in Parameterform ist:
$H:\, \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA} + s \cdot \overrightarrow{AB} + t \cdot \overrightarrow{AF}; \; s,t \in \mathbb{R}$
Die Vektoren $\overrightarrow{OA}$ und $\overrightarrow{AB}$ hast du bereits in 1.1 berechnet. Berechne noch den fehlenden Vektor $\overrightarrow{AF}$:
$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}-45\\ 5\\ 15\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-10\\ 30\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-35\\ -25\\ 15\end{pmatrix}$
Damit lautet eine mögliche Gleichung:
$H:\, \overrightarrow{x}= \begin{pmatrix}-10\\ 30\\ 0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-20\\ 60\\ 0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-35\\ -25\\ 15\end{pmatrix}; \; s,t \in \mathbb{R}$
$\blacktriangleright$  Hangebene $\boldsymbol{H}$ in Koordinatenform angeben
Hier sollst du eine Ebenengleichung in Koordinatenform angeben. Dafür benötigst du einen Normalenvektor der Ebene $H$. Hast du einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene gegeben, so lautet eine Gleichung in Koordinatenform:
$H:\, n_1 \cdot x_1 + n_1 \cdot x_1 + n_1 \cdot x_1 = d; \quad d\in \mathbb{R}$.
Vereinfache hier zunächst die oben in Parameterform erhaltene Gleichung. Berechne daraufhin mit dem Vektorprodukt einen Normalenvektor $\overrightarrow{n_H}$ der Ebene $H$. Mit diesem kannst du dann eine Gleichung der Hangebene $H$ in Koordinatenform angeben und den Parameter $d$ mit einer Punktprobe bestimmen.
1. Schritt: Ebenengleichung vereinfachen
Die Ebene verläuft durch den Ursprung ($s=0,5; \, t=0$), somit kannst du den Stützvektor weglassen. Auch die Richtungsvektoren $\overrightarrow{AB}=20 \cdot \begin{pmatrix}-1\\ 3\\ 0 \end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{AF}=5 \cdot \begin{pmatrix}-7\\ -5\\ 3 \end{pmatrix}$ kannst du vereinfachen. Somit lautet eine vereinfachte Gleichung in Parameterform:
$H:\, \overrightarrow{x}= s \cdot \begin{pmatrix}-1\\ 3\\ 0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-7\\ -5\\ 3\end{pmatrix}; \; s,t \in \mathbb{R}$
2. Schritt: Normalenvektor der Ebene $\boldsymbol{H}$
Du kannst mit dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene $H$ einen Normalenvektor $\overrightarrow{n_H}$ berechnen:
$\overrightarrow{n_H}=\begin{pmatrix}-1\\ 3\\ 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-7\\ -5\\ 3\end{pmatrix}= \left(\begin{array}{ccc} 3 \cdot 3&-&0\\ 0&-&(-1)\cdot3\\ (-1) \cdot (-5)&-& (-7)\cdot 3\\ \end{array}\right) = \begin{pmatrix}9\\ 3\\ 5 + 21\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\ 3\\ 26\end{pmatrix}$
3. Schritt: Ebenengleichung in Koordinatenform bestimmen
Eine Gleichung in Koordinatenform lautet für den Normalenvektor $\overrightarrow{n_H}$:
$H:\, 9x+3y+26z=d$
Nun musst du nur noch $d$ bestimmen. Da die Ebene durch den Ursprung läuft, ist der Parameter $d$ gleich Null. Somit lautet eine Ebenengleichung in Koordinatenform:
$H:\, 9x+3y+26z=0$
1.3 $\blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{E}$ berechnen
Der Punkt $E$ befindet sich auf der Geraden $g$, die durch $P$ entlang des Vektors $\overrightarrow{v}$ verläuft. Die Geradengleichung von $g$ lautet:
$g: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP} + s \cdot \overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}30\\ 20\\ 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}21\\ 15\\ 2\end{pmatrix} \cdot s=\begin{pmatrix}30 -21 \cdot s\\ 20 + 15 \cdot s\\ 5 + 2 \cdot s\end{pmatrix}$.
Der Punkt $E$ befindet sich auch in der Ebene $H$. Somit ist $E$ der Schnittpunkt der Geraden $g$ und der Ebene $H$. Diesen kannst du berechnen, indem du den allgemeinen Punkt der Gerade $g$ in eine Ebenengleichung von $H$ in Koordinatenform einsetzt und nach $s$ auflöst:
$\begin{array}[t]{rll} 9\cdot \left(30 - 21s\right) + 3 \cdot \left(20 +15s\right)+ 26 \cdot \left(5 +2s\right)&=0\\[5pt] 270 - 189s + 60 +45s +130 + 52s&=0\\[5pt] 460-92s&=0&\quad \mid\; +92s\\[5pt] 460&=92s&\quad \mid\; :92\\[5pt] 5&=s \end{array}$
Setzt du $s=5$ in die Geradengleichung von $g$ ein, so erhältst du den Ortvektor von $E$:
$\overrightarrow{OE} = \begin{pmatrix}30 -21 \cdot 5\\ 20 + 15 \cdot 5\\ 5 + 2 \cdot 5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}30 -105\\ 20 + 75\\ 5 + 10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-75\\ 95\\ 15\end{pmatrix}$
Der gesuchte Punkt ist $E( -75 \mid 95 \mid 15)$.
1.4 $\blacktriangleright$  Steigungswinkel $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen
Der gesuchte Winkel $\alpha$ ist der Winkel zwischen der $x$-$y$-Ebene und der Ebene $J$. Der Winkel zwischen zwei Ebenen ist der Schnittwinkel zwischen ihren Normalenvektoren. Ein Normalenvektor $\overrightarrow{n_{xy}}$ der $x$-$y$-Ebene ist ein Vektor in $z$-Richtung, einen Normalenvektor $\overrightarrow{n_J}$ der Ebene $J$ kannst du direkt aus der gegebenen Koordinatengleichung ablesen. Wähle $\overrightarrow{n_{xy}}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$ und lese $\overrightarrow{n_J}=\begin{pmatrix}3\\ 1\\ 2\end{pmatrix}$ ab. Den Schnittwinkel $\alpha$ kannst du mit der Formel für die Schnittwinkel zweier Vektoren berechnen:
$\begin{array}{} \cos(\alpha) = \dfrac{\left| \overrightarrow{n_J} \circ \overrightarrow{n_{xy}} \right|}{ \left| \overrightarrow{n_J} \right| \cdot \left| \overrightarrow{n_{xy}} \right|} = \dfrac{\left| \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right) \right|}{ \left|\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right) \right| \cdot \left|\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right) \right|} = \dfrac{2}{\sqrt{14}} \\[5pt] \Rightarrow \; \alpha=\cos^{-1}\left(\dfrac{2}{\sqrt{14}}\right) \approx 57,69 \end{array}$
Der Steigungswinkel beträgt ca. 57,69° und überschreitet somit die Bauvorschrift von 60° nicht.
2.
2.1 $\blacktriangleright$  Gleichung der Geraden $\boldsymbol{g_E}$ bestimmen
Um die Gleichung der Geraden $g_E$ zu bestimmen, benötigst du einen Punkt auf der Geraden und die Richtung der Geraden.
Zuerst berechnest du die Koordinaten des Punktes $P$ der sich 2 Meter unter dem Mittelpunkt $M$ des Rechtecks und auf der Geraden $g_E$ befindet. Dafür benötigst du zuerst den Mittelpunkt des Rechtecks. Danach berechnest du den Richtungsvektor der Geraden $g_E$. Nach Aufgabenstellung sind bereits die $x$- und $y$-Komponenten gegeben, die $z$-Komponente lässt sich mit Hilfe des Gefälles der Leitung berechnen.
1. Schritt: Punkt $P$ auf der Geraden $\boldsymbol{g_E}$ berechnen
Der Mittelpunkt eines Rechteck liegt in der Mitte der Diagonalen. Eine Diagonale des Rechtecks ist die Verbindungsstrecke $\overline{AC}$. Um zum Punkt $M$ zu gelangen, gehst du also zuerst zum Eckpunkt $A$ und von dort dann zur Mitte der Diagonalen $\overline{AC}$. Den Ortsvektor des Mittelpunktes $M$ kannst du nun folgendermaßen berechnen:
$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA} + \dfrac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC} =\begin{pmatrix}-10\\ 30\\ 0\end{pmatrix} + \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}-50\\ 50\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10\\ 30\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-25\\25\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-35\\55\\0\end{pmatrix}$
Nach Aufgabenstellung befindet sich der Punkt $P$ 2 Meter unter dem Mittelpunkt $M$ liegt. $P$ ist somit gegeben durch:
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}-\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-35\\ 55\\ -2\end{pmatrix}$
2. Schritt: Richtung der Geraden bestimmen
Die $x$- und $y$-Komponenten sind bereits durch $\overrightarrow{v_{xy}}$ gegeben. Damit lautet der Richtungsvektor $\overrightarrow{v}$ der Geraden $g_E$: $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}4\\ 3\\ v_z\end{pmatrix}; \, v_z \in \mathbb{R}$.
Nun musst du noch die $z$-Komponente $v_z$ berechnen. Dazu ist in der Aufgabenstellung gegeben, dass die Leitung ein gleichmäßiges Gefälle von 2% hat. Dies bedeutet, dass die Leitung auf einer Länge von 100 Metern (in der $x$-$y$-Ebene) 2 Meter nach unten (in der $z$-Ebene) geht. Die Länge des Richtungsvektor in der $x$-$y$-Ebene ist die Länge von $\overrightarrow{v_{xy}}$:
$\left|\overrightarrow{v_{xy}}\right|=\sqrt{3²+4²}=\sqrt{25}=5$
Auf einer Länge von 5 Metern geht die Leitung bei einem Gefälle von 2% somit um 0,1 Meter nach unten ($100:5=20$ und $2:0,1=20$).
Damit lautet der Richtungsvektor $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}4\\ 3\\ -0,1\end{pmatrix}$.
Insgesamt ist die Gleichung der Geraden:
$g_E:\, \overrightarrow{x}= \begin{pmatrix}-35\\55\\-2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}4\\ 3\\ -0,1\end{pmatrix}; \; s \in \mathbb{R} $
2.2 $\blacktriangleright$  Höhe des Fallschachts bestimmen
Der Fallschacht verläuft in $z$-Richtung, hat somit feste $x$- und $y$-Koordinaten. Somit müssen die Berührungspunkte $S_E$ bzw. $S_H$ der Geraden $g_E$ bzw. $g_H$ mit dem Fallschacht die selben $x$- und $y$-Koordinaten besitzen. Berechne also zuerst die Lage des Fallschachts in der $x$-$y$-Ebene. Die untenstehende Skizze beschreibt die Lage der Geraden in der $x$-$y$-Ebene, wobei $S$ der Projektionspunkt des Fallschachts ist:
B2 - Analytische Geometrie
B2 - Analytische Geometrie
Mit der Lage des Fallschachts in der $x$-$y$-Ebene können wir die Berührungspunkte $S_E$ und $S_H$ auf den Geraden $g_E$ und $g_H$ bestimmen. Damit kannst du dann die Höhe des Fallschachts bestimmen. Betrachte dazu die untenstehende Skizze (nicht maßstabsgetreu):
B2 - Analytische Geometrie
B2 - Analytische Geometrie
1. Schritt: Lage des Fallschachts in der $\boldsymbol{x}$-$\boldsymbol{y}$-Ebene
Setze die $x$- und $y$-Komponenten der Geraden $g_E$ und $g_H$ gleich und ermittle so den Projektionspunkt $S$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-35 +4s&=65 -2r&\quad \mid\; +2r + 35\\[5pt] \text{II}\quad&55 +3s&=20+4r&\quad \mid\; -4r -55\\[5pt] \hline \text{Ia}\quad&2r+4s&=100&\quad \\[5pt] \text{IIa}\quad&-4r+3s&=-35&\quad \mid\; \text{IIb}=\text{IIa}+2\text{Ia} \\[5pt] \hline \text{Ia}\quad&2r+4s&=100&\quad \mid\; :2 \\[5pt] \text{IIb}\quad&11s&=165&\quad \mid\; :11 \\[5pt] \hline \text{Ib}\quad&r+2s&=50&& \Rightarrow r+30=50 \Rightarrow r=20 \\[5pt] \text{IIc}\quad&s&=15&\quad \\[5pt] \end{array}$
Setze nun $r$ bzw. $s$ in die Gleichungen $\text{I}$ und $\text{II}$ ein, um die $x$- und $y$-Koordinaten des Projektionspunktes zu bestimmen.
$\begin{array}{lrcccl} \text{I}\quad&-35 +4\cdot 15&=&25&=&65 -2\cdot 20\\[5pt] \text{II}\quad&55 +3\cdot 15&=&100&=&20+4\cdot 20 \end{array}$
Damit lautet der Projektionspunkt $P(25 \mid 100 \mid 0)$.
2. Schritt: Berührungspunkte der Geraden und des Fallschachts
Die Ortsvektoren der Berührungspunkte $S_E$ bzw. $S_H$ der Geraden $g_E$ bzw. $g_H$ mit dem Fallschacht lauten:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS_E}&=&\begin{pmatrix}-35 + 4 \cdot 15\\ 55 + 3 \cdot 15\\ -2 -0,1 \cdot 15\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}25\\ 100\\ -3,5\end{pmatrix}\\[5pt] \overrightarrow{OS_H}&=&\begin{pmatrix}65 - 2 \cdot 20\\ 20 + 4 \cdot 20\\ -3,5 - 0,01 \cdot 20\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}25\\ 100\\ -3,7\end{pmatrix} \end{array}$
3. Schritt: Höhe des Fallschachts berechnen
Die Höhe des Fallschachts ist nun die Länge der Verbindungsstrecke $\overrightarrow{S_ES_H}$:
$\left|\overrightarrow{S_ES_H}\right|=\left|\begin{pmatrix}25\\ 100\\ -3,5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}25\\ 100\\ -3,7\end{pmatrix} \right|= \left|\begin{pmatrix}0\\ 0\\ -0,2\end{pmatrix}\right|=0,2$
Der Fallschacht ist also 0,2 Meter hoch.
3. $\blacktriangleright$  Lösungsstrategie zur Berechnung des Volumens des Erdaushubs
B2 - Analytische Geometrie
B2 - Analytische Geometrie
Du kannst den Erdaushub in 3 Teilbereiche aufteilen und jeweils die Volumina der Teilbereiche bestimmen. Die äußeren Teilbereiche entsprechen einer Pyramide, der mittlere Teilbereich einem Prisma. Die Volumen dieser Körper kannst du mit Hilfe ihrer Volumenfomeln berechnen.
1. Schritt: Aufteilen der Baugrube in drei Teilbereiche
Definiere dazu zuerst zwei Punkte $E'$ und $F'$. Diese liegen auf der Verbindungsstrecke $\overline{EF}$ und projizierst du sie in die $x$-$y$-Ebene, so liegen sie auf einer Geraden mit $B$ und $C$ (für $F'$) und mit $A$ und $D$ (für $E'$). Auf der nebenstehende Skizze kannst du die Lage der Punkte $E'$ und $F'$ nachvollziehen.
In der $z$-Ebene bilden sich nun zwei Dreiecke $ADF'$ und $BCE'$. Diese Dreiecke teilen den Erdaushub in die drei Teilstücke. Die Flächen der Dreiecke sind gleich groß und können einfach berechnet werden, wobei $h$ die Höhe der Dreiecke ist:
$A_{\triangle}=A_{BCE'}=A_{ADF'}=\dfrac{1}{2} \cdot h \cdot \left|\overrightarrow{AD}\right|$
2. Schritt: Volumen $\boldsymbol{V_M}$ des mittleren Teilstücks bestimmen
Stellst du das mittlere Teilstück auf die Dreiecksfläche, erkennst du, dass es sich hierbei um ein Prisma handelt. Grund- und Deckfläche sind die beiden Dreiecksflächen, die parallel und kongruent sind. Das Volumen $V_M$ des mittleren Teilstücks berechnet sich nun mit der Grundläche, also der Fläche des Dreiecks, und der „Höhe“ des Prismas, also der Grundseite $\overrightarrow{AB}$: ($=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{F'E'}$) multipliziert:
$V_{M}=A_{\triangle} \cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|$
3. Schritt: Volumen der äußeren Teilstücke bestimmen
Nun musst du noch die Volumina der äußeren Teilstücke bestimmen. Betrachte dazu das Teilstück am Eckpunkt $F$. Drehst du dieses Teilstück auf die Dreiecksfläche $ADF'$, so erhältst du eine Pyramide mit dem Dreieck als Grundfläche und dem Punkt $F'$ als Spitze. Die Spitze $F'$ liegt über dem Punkt $F$, somit beträgt die Höhe der Pyramide $\left|\overrightarrow{FF'}\right|$. Also kannst du mit der Formel für das Volumen einer Pyramide das Volumen $V_F$ des Teilstücks bestimmen:
$V_F=\dfrac{1}{3} \cdot A_{\triangle} \cdot \left|\overrightarrow{FF'}\right|$
Analog erhältst du $V_E=\dfrac{1}{3} \cdot A_{\triangle} \cdot \left|\overrightarrow{EE'}\right|$.
4. Schritt: Gesamtvolumen $\boldsymbol{V}$ bestimmen
Für das Volumen $V$ des gesamten Erdaushubs erhältst du somit:
$\begin{array}{rll} V&= V_M+V_E+V_F\\[5pt] &= A_{\triangle} \cdot \left|\overrightarrow{AB}\right| + \dfrac{1}{3} \cdot A_{\triangle} \cdot \left|\overrightarrow{EE'}\right| + \dfrac{1}{3} \cdot A_{\triangle} \cdot \left|\overrightarrow{FF'}\right| \\[5pt] &= A_{\triangle}\cdot \left(\left|\overrightarrow{AB}\right|+\dfrac{1}{3} \cdot \left|\overrightarrow{EE'}\right| + \dfrac{1}{3} \cdot \left|\overrightarrow{FF'}\right| \right) \\[5pt] &=\dfrac{1}{3} \cdot h \cdot \left|\overrightarrow{AD}\right| \cdot \left(\left|\overrightarrow{AB}\right|+\dfrac{1}{3} \cdot \left|\overrightarrow{EE'}\right| + \dfrac{1}{3} \cdot \left|\overrightarrow{FF'}\right| \right) \end{array}$
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