Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
HE, Gesamtschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Realschulabschluss
Hauptschulabschluss
Lernstandserhebung 8 E-Ku...
Lernstandserhebung 8 G-Ku...
Realschulabsc...
Prüfung
wechseln
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Realschulabschluss
Hauptschulabschluss
Lernstandserhebung 8 E-Kurs
Lernstandserhebung 8 G-Kurs
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Wahlaufgaben

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord

Aufgabe W 1

Die Abbildung zeigt einen Fluss, an dessen Ufer eine Straße verläuft.
Es soll eine Seilbahn zur anderen Uferseite gebaut werden.
Dazu wurden Messungen vorgenommen und in die Skizze eingetragen.
Wahlaufgaben Zeichnung nicht maßgetreu
Wahlaufgaben Zeichnung nicht maßgetreu
a)  Ein Praktikant soll anhand der Skizze eine Zeichnung des Dreiecks $ABC$ im Maßstab $1:5.000$ anfertigen.
  1. Wie lange muss die Strecke $\overline{AB}$ in seiner Zeichnung sein?
    Gib dein Ergebnis in der Einheit Zentimeter an.

  2. (2P)
  3. Mit Hilfe seiner Zeichnung bestimmt der Praktikant auch die anderen Entfernungen. Er erhält $\overline {AC}=1.100\,\text{m}$ und $\overline {AD}=710\,\text{m}$.
    Zeige durch eine Rechnung, dass der Praktikant einen Fehler gemacht hat.

  4. (3P)
b)  Ursprünglich sollte die Seilbahn entlang der Strecke $\overline {BC}$ gebaut werden.
Aus Kostengründen entscheidet man sich, die Seilbahn entlang der Strecke $\overline {CD}$ zu bauen.
Berechne, wie viel Meter Seilbahn dadurch eingespart werden.
Runde auf Meter.
(7P)

Aufgabe W 2

a)  In einem Zoo wurden innerhalb einer Woche folgende Besucherzahlen ermittelt:
TagMoDiMiDoFrSaSo
Besucherzahl$165$$153$$194$$349$$298$$412$$487$
  1. Berechne die durchschnittliche tägliche Besucherzahl in dieser Woche.
  2. (1P)
  3. Der Zoo muss durchschnittlich pro Tag $300$ Besucher haben, damit die anfallenden Kosten gedeckt werden. Wie viele Besucher hätten in dieser Woche zusätzlich den Zoo besuchen müssen, um die Kosten zu decken?
  4. (2P)
b)  Das Diagramm zeigt den Arbeitstag eines Tierpflegers.
Wahlaufgaben
Wahlaufgaben
Stelle die Anteile in einem Kreisdiagramm dar. Beschrifte das Kreisdiagramm.
(5P)
c)  Ein Auszubildender wiegt die Meerschweinchen und notiert die Messwerte:
MaxMicha MoritzMarc MarlonMiro
$1.250\,\text{g}$$2.080\,\text{g}$$1.190\,\text{g}$$1.340\,\text{g}$$1.310\,\text{g}$$1.170\,\text{g}$
  1. Bestimme die Spannweite der Messwerte.
  2. (1P)
  3. Bestimme den Zentralwert (Median) der Messwerte.
  4. (2P)
  5. Welchen Vorteil hat der Zentralwert bei der Beschreibung des durchschnittlichen Gewichts dieser Meerschweinchen gegenüber dem arithmetischen Mittel? Erkläre.
  6. (1P)

Aufgabe W 3

a)  Im Koordinatensystem sind die Graphen einer linearen Funktion und einer quadratischen Funktion eingezeichnet.
  1. Im Bild schneiden sich die beiden Graphen im Punkt $A$.
    Gib die Koordinaten dieses Schnittpunktes an.
  2. (1P)
  3. Die Graphen können durch folgende Gleichungen beschrieben werden:
    Parabel:$y=$$(x-1,5)^2-4$
    Gerade:$y=$$-2x+2$
    Zeige mithilfe der Gleichungen rechnerisch, dass der zweite Schnittpunkt $B(-1,5\mid 5)$ ist.
  4. (2P)
  5. Die Parabel schneidet die $x$-Achse in den Punkten $C(-0,5\mid 0)$ und $D$.
    Gib die Koordinaten des Punktes $D$ an.
  6. (2P)
Wahlaufgaben
Wahlaufgaben
b)  Eine Parabel hat die Gleichung $y=(x+5)^2+12$.
  1. Schreibe die Koordinaten ihres Scheitelpunktes $S$ auf.
  2. (1P)
  3. Begründe, warum die zur Parabel zugehörige Funktion keine Nullstellen hat.
  4. (2P)
c)  Löse die quadratische Gleichung.
$2x^2-15x+22=0$
(4P)

Aufgabe W 4

a)  Die Skizze zeigt die Überdachung eines Lichtschachtes.
  1. Skizziere (Freihand) das Netz (Abwicklung) dieser Überdachung.
  2. (2P)
  3. Die gesamte Überdachung wird regelmäßig von außen gesäubert.
    Eine Firma fertigt dafür einen Kostenvoranschlag an und berechnet pro Quadratmeter $4,00\,€$ ohne Mehrwertsteuer.
    Berechne die Kosten für eine Reinigung.
    Gib diese Kosten mit der Mehrwertsteuer ($19\,\%$) an.
    Schätze dazu geeignete Größen und rechne damit.
    Formuliere einen Antwortsatz.
  4. (6P)
Wahlaufgaben Quelle: Fotolia.com © KavalenkavaVolha
Wahlaufgaben Quelle: Fotolia.com © KavalenkavaVolha
b)  Die nebenstehende Skizze zeigt ein $2,5\,\text{m}$ hohes Kunstwerk. Der Umfang der Grundfläche beträgt $3,9\,\text{m}$.
Berechne das Volumen des Kunstwerkes.
Runde dein Ergebnis auf Kubikmeter.
Wahlaufgaben
Wahlaufgaben
(4P)

Aufgabe W 5

Im Supermarkt werden Schokoladeneier verkauft, die jeweils mit einer kleinen Überraschung gefüllt sind. Als Überraschung kann man einen Gartenzwerg, einen Schmuckstein, ein Puzzle oder einen Bausatz für ein Spielzeugauto erhalten.
Unter den $96\,\%$ Schokoladeneiern einer Palette enthalten 12 einen Schmuckstein, 16 einen Gartenzwerg, 20 ein Puzzle und 48 einen Bausatz.
Diese Verteilung gilt für jede Palette.
a)  Besonders begehrt sind die Schokoladeneier mit einem Schmuckstein.
  1. Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, aus einer vollen Palette ein Schokoladenei ohne Schmuckstein auszuwählen.
  2. (1P)
  3. Aus einer vollen Palette werden zwei Schokoladeneier genommen.
    Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit beide Schokoladeneier je einen Schmuckstein enthalten.
  4. (2P)
  5. Wie viele Schokoladeneier einer Palette muss man mindestens kaufen, damit man mit Sicherheit einen Schmuckstein bekommt?
  6. (2P)
  7. Die Werbung verspricht, dass sich in jedem 6. Schokoladenei ein Schmuckstein befindet. Stimmt das? Begründe deine Entscheidung.
  8. (2P)
b)  Aus einer vollen Palette werden zwei Schokoladeneier genommen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man ein Puzzle und einen Bausatz erhält.
(3P)
c)  Es werden auch Paletten mit 42 Schokoladeneiern angeboten.
Gib an, wie viele dieser Schokoladeneier mir einem Gartenzwerg gefüllt sein müssen, wenn die gleiche Häufigkeitsverteilung vorliegt wie bei den Schokoladeneiern der großen Palette.
(2P)
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF

W 1

a1)  Die Strecke $\overline{AB}$ ist $1\,200\text{ m}$ lang.
Der Maßstab ist $1:5\,000$, d.h. $1\text{ cm}$ auf der Karte sind $5\,000 \text{ cm}$ in der Wirklichkeit.
Rechne den Maßstab in Meter um und teile die Länge der Strecke durch den Maßstab.
a2)  Berechne die Länge der Seiten mit dem Sinussatz:
$\dfrac{\text{a}}{\text{sin(}\alpha\text{)}}=\dfrac{\text{b}}{\text{sin(}\beta\text{)}}=\dfrac{\text{c}}{\text{sin(}\gamma\text{)}}$
Berechne die Größe des Winkels $\gamma$ und die Größe des Winkelteils von $\gamma$, der im Dreieck $ABD$ liegt, über die Winkelsumme im Dreieck.
Berechne anschließend die Länge der Seiten $\overline{AC}$ und $\overline{AD}$ über den Sinussatz und vergleiche deine Ergebnisse mit denen des Praktikanten.
b)  $\,\,$Berechne mithilfe des Sinussatzes die Länge der Strecken $\overline{BC}$ und $\overline{CD}$ und bilde die Differenz der beiden Streckenlängen. Runde auf Meter.

W 2

a1)  Berechne die Summe aller Besucher in der Woche und teile durch die Anzahl an Tagen.
a2)  Berechne die Differenz zwischen der benötigten und echten durchschnittlichen Besucherzahl.
Multipliziere die Differenz mit der Anzahl an Tagen.
b)  $\,\,$Lies die Stundenanzahl ab, wie lange der Tierpfleger einer Tätigkeit nachgeht und bilde die Summe der Zeiten.
Berechne den Tagesanteil einer Aufgabe, indem du die Zeit für die Tätigkeit durch die Gesamtzeit teilst.
Berechne die Winkel der Anteile des Kreises, indem du $360°$ mit dem Anteil der Tätigkeiten am Arbeitstag multiplizierst.
Zeichne zuletzt das Diagramm und beschrifte die einzelnen Bereiche.
c1)  Berechne die Spannweite, indem du die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Messwert bildest.
c2)  Bestimme den Median, indem du die Messwerte ihrer Größe nach ordnest. Die mittlere Zahl ist der Median.
Bei einer geraden Anzahl von Messwerten wird der Mittelwert der beiden mittleren Werte genommen.
c3)  Überlege dir worin der Unterschied zwischen dem arithmetischen Mittel und dem Median besteht. Welche Werte nehmen Einfluss auf das arithmetische Mittel, die keinen Einfluss auf den Median haben?

W 3

a1)  Lies die Koordinaten des Schnittpunkts ab, indem du eine gedachte Linie horizontal und vertikal vom Punkt zu den Achsen ziehst und aufschreibst, bei welchen Zahlen sie die Achsen schneidet.
a2)  Setze die beiden Gleichungen gleich und löse nach $0$ auf.
Verwende die $pq$-Formel oder die Mitternachtsformel.
Setze das erhaltene $x$ in eine der Gleichungen ein, um den $y$-Wert zu bestimmen. Die Formeln lauten:
$\boldsymbol{pq}$-Formel: $-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\quad\quad$ Mitternachtsformel:$\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
a3)  Eine Parabel schneidet die $x$-Achse, wenn der $y$-Wert gleich $0$ wird. Setze die Parabelgleichung also mit Null gleich und verwende dann die $pg$-Formel oder die Mitternachtsformel.
b1)  Die Parabelgleichung ist bereits in Scheitelpunktform.
Den Scheitelpunkt erhält man, wenn der Ausdruck in der Klammer $0$ wird.
Der $y$-Wert lässt sich dann berechnen.
b2) Stell dir grundsätzliche Form einer Parabel vor. Welcher Punkt ist der tiefste Punkt einer Parabel und welche Koordinaten hat er?
c)  $\,$Löse mithilfe der $pq$-Formel oder der Mitternachtsformel. Die Formeln lauten:
$\boldsymbol{pq}$-Formel: $-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\quad\quad$ Mitternachtsformel:$\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

W 4

a1)  Die Überdachung entspricht einem Kegel ohne Grundfläche.
Die Mantelfläche eines Kegels sieht aus wie ein Teil eines Kreises.
a2)  Berechne zuerst den Flächeninhalt der Mantelfläche mit der Formel:
$M=r\cdot s\cdot \pi$
$s$ entspricht der Mantellinie die sich mit folgender Formel berechnet:
$s=\sqrt{h^2+r^2}$
Berechne anschließend die Kosten für die Reinigung und rechne die Mehrwertsteuer darauf.
Es müssen die Höhe des Kegels und der Radius geschätzt werden.
b)  $\,\,$Berechne den Radius aus dem gegebenen Umfang mit der Formel:
$U=2\cdot\pi r$
Berechne anschließend das Volumen des Kunstwerks mit der Formel:
$V_K=\dfrac{1}{3}\cdot G \cdot h$

W 5

a1)  Berechne wie viele Schokoladeneier keinen Schmuckstein enthalten.
Berechne anschließend die Wahrscheinlichkeit, indem du die Anzahl an nicht-Schmuckstein-Eiern durch die Gesamtzahl an Eiern teilst.
a2)  Berechne die Wahrscheinlichkeit einen Schmuckstein zu erhalten.
Multipliziere diese Wahrscheinlichkeit mit der Wahrscheinlichkeit einen Schmuckstein zu bekommen, wenn ein Ei weniger vorhanden ist, in dem ein Schmuckstein war.
a3)  Berechne die Anzahl an Eiern ohne einen Schmuckstein.
Um sicher einen Schmuckstein zu bekommen, muss man ein Ei mehr kaufen, als es Eier ohne Schmucksteine gibt.
a4)  Berechne die $6$-fache Menge an Schmucksteinen und vergleiche diese mit der Gesamtzahl an Schokoladeneiern.
b)  $\,\,$Berechne die Wahrscheinlichkeit für ein Schokoladenei mit einem Puzzle darin.
Multipliziere diese Wahrscheinlichkeit mit der Wahrscheinlichkeit ein Ei mit einem Bausatz zu bekommen, wenn ein Ei ohne Bausatz weniger vorhanden ist.
c)  $\,\,$Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen Gartenzwerg bei den großen Paletten. Die Wahrscheinlichkeit für einen Gartenzwerg bei den kleinen Paletten soll gleich sein.
Lass die Anzahl an Eiern mit einem Gartenzwerg allgemein, setze das Ergebnis ein und forme um.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF

W 1

a1)  $\blacktriangleright$  Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$ in $\boldsymbol{cm}$ angeben
Die Strecke $\overline{AB}$ ist $1\,200\text{ m}$ lang.
Der Maßstab ist $1:5\,000$, d.h. $1\text{ cm}$ auf der Karte sind $5\,000 \text{ cm}$ in der Wirklichkeit.
Rechne den Maßstab in Meter um.
$5\,000 \text{ cm}\widehat{=}50 \text{ m}$
Teile die Länge der Strecke durch den Maßstab:
$\dfrac{1\,200}{50}=24\text{ cm}$
Die Strecke $\overline{AB}$ ist in der Zeichnung $24 \text{ cm}$ lang.
a2)  $\blacktriangleright$  Fehler des Praktikanten zeigen
Berechne die Länge der Seiten mit dem Sinussatz:
$\dfrac{\text{a}}{\text{sin(}\alpha\text{)}}=\dfrac{\text{b}}{\text{sin(}\beta\text{)}}=\dfrac{\text{c}}{\text{sin(}\gamma\text{)}}$
Berechne die Größe des Winkels $\gamma$ über die Winkelsumme im Dreieck.
$ \begin{array}{rcll} 180°&=&\alpha + \beta + \gamma & \scriptsize \mid -\alpha -\beta \\[5pt] 180°-\alpha - \beta&=&\gamma & \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] 180°-42° - 60°&=&\gamma \\[5pt] 78°&=&\gamma \\[5pt] \end{array}$
Berechne die Größe des Winkelteils von $\gamma$, der im Dreieck $ABD$ liegt über die Winkelsumme im Dreieck.
$ \begin{array}{rcll} 180°&=&\delta + \alpha + \gamma_{\text{teil}} & \scriptsize \mid -\delta -\alpha \\[5pt] 180°-\delta - \alpha&=&\gamma_{\text{teil}} & \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] 180°-90° - 42°&=&\gamma_{\text{teil}} \\[5pt] 48°&=&\gamma_{\text{teil}} \\[5pt] \end{array}$
Berechne über den Sinussatz die Länge der Seite $\overline{AC}$
$ \begin{array}{rcll} \dfrac{\overline{AB}}{\text{sin(}\gamma\text{)}}&=& \dfrac{\overline{AC}}{\text{sin(}\beta\text{)}} & \scriptsize \mid \cdot\text{sin(}\beta\text{)}\\[5pt] \overline{AB}\cdot \dfrac{\text{sin(}\beta\text{)}}{\text{sin(}\gamma\text{)}}&=& \overline{AC} & \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] 1\,200\text{ m}\cdot \dfrac{\text{sin(}60°\text{)}}{\text{sin(}78°\text{)}}&=& \overline{AC} \\[5pt] 1\,062,45\text{ m}&=&\overline{AC} \\[5pt] \end{array}$
Berechne über den Sinussatz die Länge der Seite $\overline{AD}$
$ \begin{array}{rcll} \dfrac{\overline{AC}}{\text{sin(}\delta\text{)}}&=& \dfrac{\overline{AD}}{\text{sin(}\gamma_{\text{teil}}\text{)}} & \scriptsize \mid \cdot\text{sin(}\gamma_{\text{teil}}\text{)}\\[5pt] \overline{AC}\cdot \dfrac{\text{sin(}\gamma_{\text{teil}}\text{)}}{\text{sin(}\delta\text{)}}&=& \overline{AD} & \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] 1\,062,45\text{ m}\cdot \dfrac{\text{sin(}38°\text{)}}{\text{sin(}90°\text{)}}&=& \overline{AD} \\[5pt] 654,11\text{ m}&=&\overline{AD} \\[5pt] \end{array}$
Die berechneten Ergebnisse unterscheiden sich vom Messergebnis des Praktikanten, er hat beim Messen einen Fehler gemacht.
b)  $\blacktriangleright$  Längenunterschied zwischen $\boldsymbol{\overline{BC}}$ und $\boldsymbol{\overline{CD}}$ berechnen
Berechne mithilfe des Sinussatzes die Länge der Strecken $\overline{BC}$ und $\overline{CD}$ und bilde die Differenz der beiden Streckenlängen.
1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BC}}$ berechnen
Berechne über den Sinussatz die Seite $\overline{BC}$.
$ \begin{array}{rcll} \dfrac{\overline{AB}}{\text{sin}(\gamma)}&=& \dfrac{\overline{BC}}{\text{sin}(\alpha)} & \scriptsize \mid \cdot\text{sin}(\alpha)\\[5pt] \overline{AB}\cdot \dfrac{\text{sin}(\alpha)}{\text{sin}(\gamma)}&=& \overline{BC} & \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] 1\,200\text{ m}\cdot \dfrac{\text{sin}(42°)}{\text{sin}(78°)}&=& \overline{BC} \\[5pt] 820,90\text{ m}&=&\overline{BC} \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{CD}}$ berechnen
Berechne über den Sinussatz die Seite $\overline{CD}$.
$ \begin{array}{rcll} \dfrac{\overline{BC}}{\text{sin}(\delta)}&=& \dfrac{\overline{CD}}{\text{sin}(\beta)} & \scriptsize \mid \cdot\text{sin}(\beta)\\[5pt] \overline{BC}\cdot \dfrac{\text{sin}(\beta)}{\text{sin}(\delta)}&=& \overline{CD} & \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] 820,90\text{ m}\cdot \dfrac{\text{sin}(60°)}{\text{sin}(90°)}&=& \overline{CD} \\[5pt] 710,92\text{ m}&=&\overline{BC} \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Differenz berechnen
Berechne die Differenz zwischen den Längen der Seiten $\overline{BC}$ und $\overline{CD}$.
Runde auf Meter.
$\overline{BC}-\overline{CD}=821\text{ m}-711\text{ m}=110\text{ m}$
Es werden $110 \text{ m}$ Seilbahn gespart.

W 2

a1) $\blacktriangleright$  Durchschnittliche tägliche Besucherzahl berechnen
Berechne die Summe aller Besucher in der Woche und teile durch die Anzahl an Tagen.
$\dfrac{\text{Summe der Besucher}}{\text{Anzahl an Tage}}=\dfrac{165+153+194+349+298+412+487}{7}=\dfrac{2\,058}{7}=294$
Im Durchschnitt besuchten $294$ Leute pro Tag den Zoo.
a2)  $\blacktriangleright$  Fehlende Besucherzahl berechnen
Berechne die Differenz zwischen der benötigten und echten durchschnittlichen Besucherzahl.
Multipliziere die Differenz mit der Anzahl an Tagen.
$300\,\dfrac{\text{Besucher}}{\text{Tag}}-294\,\dfrac{\text{Besucher}}{\text{Tag}}=6\,\dfrac{\text{Besucher}}{\text{Tag}}$
$6\,\dfrac{\text{Besucher}}{\text{Tag}}\cdot 7\text{ Tage}=42 \text{ Besucher}$
In dieser Woche hätten $42$ Besucher mehr kommen müssen, um die Kosten zu decken.
b)  $\blacktriangleright$  Kreisdiagramm erstellen
Lies die Stundenanzahl ab, wie lange der Tierpfleger einer Tätigkeit nachgeht.
Bilde die Summe der Zeiten.
Berechne den Tagesanteil einer Aufgabe, indem du die Zeit für die Tätigkeit durch die Gesamtzeit teilst.
$\dfrac{\text{Zeit für eine Tätigkeit}}{\text{Gesamtarbeitszeit}}$
  • Der Tierpfleger säubert $4$ Stunden lang Gehege.
  • $3$ Stunden lang füttert er Tiere.
  • Für sonstige Arbeiten und Pausen verwendet er jeweils $1$ Stunde Zeit.
Berechne die Summe der Zeiten.
$4\text{ h}+3\text{ h}+1\text{ h}+1\text{ h}=9\text{ h}$
Berechne die Anteile der Tätigkeiten am Arbeitstag.
  • $\dfrac{4\text{ h}}{9\text{ h}}=0,444$
  • $\dfrac{3\text{ h}}{9\text{ h}}=0,333$
  • $\dfrac{1\text{ h}}{9\text{ h}}=0,111$
Berechne die Winkel der Anteile des Kreises, indem du $360°$ mit dem Anteil der Tätigkeiten am Arbeitstag multiplizierst.
  • $0,444\cdot360°\approx160°$
  • $0,333\cdot360°\approx120°$
  • $0,111\cdot360°\approx40°$
Zeichne das Diagramm und beschrifte die einzelnen Bereiche
Wahlaufgaben
Wahlaufgaben
c1)  $\blacktriangleright$  Spannweite der Messwerte berechnen
Berechne die Spannweite, indem du die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Messwert bildest.
$2\,080\text{ g}-1\,170\text{ g}=910\text{ g}$
Die Spannweite der Messwerte beträgt $910\text{ g}$.
c2)  $\blacktriangleright$  Median bestimmen
Bestimme den Median, indem du die Messwerte ihrer Größe nach ordnest. Die mittlere Zahl ist der Median.
Bei einer geraden Anzahl von Messwerten wird der Mittelwert der beiden mittleren Werte genommen.
$1\,170 \text{ g},\, 1\,190 \text{ g},\, \boldsymbol{1\,250 \text{ g}},\, \boldsymbol{1\,310 \text{ g}},\, 1\,340 \text{ g},\, 2\,080 \text{ g}$
Berechne den Mittelwert der beiden markierten Werte.
$\dfrac{1\,250\text{ g}+1\,310\text{ g}}{2}=\dfrac{2\,560\text{ g}}{2}=1\,280\text{ g}$
Der Median beträgt $1\,280 \text{ g}$ .
c3)  $\blacktriangleright$  Vorteil des Medians gegenüber dem arithmetischen Mittel erklären
Das arithmetische Mittel ist gegenüber Ausreißern nicht robust, d.h. stark abweichende Messwerte, wie z.B. das Gewicht von Micha mit $2\,080\text{ g}$ beeinflusst das arithmetische Mittel, während der Median davon nicht beeinflusst wird. Das durchschnittliche Gewicht eines Meerschweinchens würde im arithmetischen Mittel durch Micha höher sein, obwohl nur ein Meerschweinchen schwerer ist. Der Median liegt hier also näher an der Realität.

W 3

a1)  $\blacktriangleright$  Schnittpunkt $\boldsymbol{A}$ ablesen
Lies die Koordinaten des Schnittpunkts ab, indem du eine gedachte Linie horizontal und vertikal vom Punkt zu den Achsen ziehst und aufschreibst, bei welchen Zahlen sie die Achsen schneidet.
Der Schnittpunkt A hat die Koordinaten $A\,(2,5\mid -3)$.
a2)  $\blacktriangleright$  Schnittpunkt $\boldsymbol{B}$ berechnen
Setze die beiden Gleichungen gleich und löse nach $0$ auf.
Verwende die $pq$-Formel oder die Mitternachtsformel.
Setze das erhaltene $x$ in eine der Gleichungen ein, um den $y$-Wert zu bestimmen.
$ \begin{array}{rcll} (x-1,5)^2-4&=&-2x+2\\[5pt] x^2-3x+2,25-4&=&-2x+2&\mid\scriptsize -2;\,+2x \\[5pt] x^2-3x+2x-2-4+2,25&=&0\\[5pt] x^2-x-3,75&=&0\\[5pt] \end{array}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: $\boldsymbol{pq-}$Formel
$ \begin{array}{rcll} -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] -\dfrac{(-1)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-(-3,75)}&=&x_{1/2} \\[5pt] \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+3,75}&=&x_{1/2}\\[5pt] \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{4}&=&x_{1/2}\\[5pt] \dfrac{1}{2}\pm2&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Minus verwenden}\\[5pt] \dfrac{1}{2}-2&=&x_{2}\\[5pt] -1,5&=&x_{2}\\[5pt] \dfrac{1}{2}\pm2&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Plus verwenden}\\[5pt] \dfrac{1}{2}+2&=&x_{1}\\[5pt] 2,5&=&x_{1}\\[5pt] \end{array}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Mitternachtsformel
$ \begin{array}{rcll} \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-3,75)}}{2\cdot1}&=&x_{1/2} \\[5pt] \dfrac{1\pm\sqrt{1+15}}{2}&=&x_{1/2}\\[5pt] \dfrac{1\pm\sqrt{16}}{2}&=&x_{1/2}\\[5pt] \dfrac{1\pm4}{2}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Minus verwenden}\\[5pt] \dfrac{-3}{2}&=&x_{2}\\[5pt] -1,5&=&x_{2}\\[5pt] \dfrac{1\pm4}{2}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Plus verwenden}\\[5pt] \dfrac{5}{2}&=&x_{1}\\[5pt] 2,5&=&x_{1}\\[5pt] \end{array}$
$x_1=2,5$ gehört zum ersten Schnittpunkt $A$. $x_2=-1,5$ ist hier wichtig.
Berechne den $y$-Wert durch Einsetzen in die Geradengleichung.
$y=-2x+2=(-2)\cdot(-1,5)+2=3+2=5$
Der Schnittpunkt $B$ hat die Koordinaten $B\, (-1,5\mid 5)$.
a3)  $\blacktriangleright$  Punkt $\boldsymbol{D}$ berechnen
Eine Parabel schneidet die $x$-Achse, wenn der $y$-Wert gleich $0$ wird. Setze die Parabelgleichung also mit Null gleich und verwende dann die $pg$-Formel oder die Mitternachtsformel.
$y=(x-1,5)^2-4=x^2-1,5x-1,5x+2,25-4=x^2-3x-1,75$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: $\boldsymbol{pq-}$Formel
$ \begin{array}{rcll} -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] -\dfrac{-3}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-(-1,75)}&=&x_{1/2} \\[5pt] \dfrac{3}{2}\pm\sqrt{2,25+1,75}&=&x_{1/2}\\[5pt] \dfrac{3}{2}\pm\sqrt{4}&=&x_{1/2}\\[5pt] \dfrac{3}{2}\pm2&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Plus verwenden}\\[5pt] 3,5&=&x_{1}\\[5pt] \dfrac{3}{2}\pm2&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Minus verwenden}\\[5pt] -0,5&=&x_{2}\\[5pt] \end{array}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Mitternachtsformel
$ \begin{array}{rcll} \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot(-1,75)}}{2\cdot1}&=&x_{1/2} \\[5pt] \dfrac{3\pm\sqrt{9+7}}{2}&=&x_{1/2}\\[5pt] \dfrac{3\pm\sqrt{16}}{2}&=&x_{1/2}\\[5pt] \dfrac{3\pm4}{2}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Plus verwenden}\\[5pt] \dfrac{7}{2}&=&x_{1}\\[5pt] 3,5&=&x_{1}\\[5pt] \dfrac{3\pm4}{2}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Minus verwenden}\\[5pt] -\dfrac{1}{2}&=&x_{2}\\[5pt] -0,5&=&x_{2}\\[5pt] \end{array}$
$x_2=-0,5$ gehört zum Punkt $C$. Für die Aufgabe wichtig ist $x_1=3.5$.
Der Punkt $D$ hat die Koordinaten $D\,(3,5\mid 0)$.
b1)  $\blacktriangleright$  Scheitelpunkt bestimmen
Die Parabelgleichung ist bereits in Scheitelpunktform.
Den Scheitelpunkt erhält man, wenn der Ausdruck in der Klammer $0$ wird.
Der $y$-Wert lässt sich dann berechnen.
Der Ausdruck in der Klammer wird für $x=-5$ zu $0$. Der y-Wert berechnet sich demnach:
$y=(-5+5)^2+12=0+12=12$
Der Scheitelpunkt $S$ hat die Koordinaten $S\,(-5\mid12)$
b2)  $\blacktriangleright$  Begründen, weshalb die Funktion keine Nullstelle besitzt
Die Parabel ist nach oben geöffnet. Ihr tiefster Punkt ist demnach ihr Scheitelpunkt mit den Koordinaten $S\,(-5\mid12)$. Dieser liegt weit über der $x$-Achse und da die Parabel sonst keine tieferen Funktionswerte als am Scheitelpunkt annimmt, kann die Funktion also keine Nullstelle haben.
c)  $\blacktriangleright$  Quadratische Gleichung lösen
Löse mithilfe der $pq$-Formel oder der Mitternachtsformel.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: $\boldsymbol{pq-}$Formel
Teile durch $2$, um die Gleichung in die richtige Form für die $pq$-Formel zu bringen.
$x^2-7,5x+11=0$
$ \begin{array}{rcll} -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] -\dfrac{(-7,5)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{7,5}{2}\right)^2-11}&=&x_{1/2} \\[5pt] \dfrac{7,5}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{225}{16}\right)-11}&=&x_{1/2}\\[5pt] \dfrac{7,5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{49}{16}}&=&x_{1/2}\\[5pt] \dfrac{7,5}{2}\pm\dfrac{7}{4}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Plus verwenden}\\[5pt] \dfrac{11}{2}&=&x_{1}\\[5pt] 5,5&=&x_{1}\\[5pt] \dfrac{7,5}{2}\pm\dfrac{7}{4}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Minus verwenden}\\[5pt] 2&=&x_{2}\\[5pt] \end{array}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Mitternachtsformel
$ \begin{array}{rcll} \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{15\pm\sqrt{(-15)^2-4\cdot2\cdot22}}{2\cdot2}&=&x_{1/2} \\[5pt] \dfrac{15\pm\sqrt{225-176}}{4}&=&x_{1/2}\\[5pt] \dfrac{15\pm\sqrt{49}}{4}&=&x_{1/2}\\[5pt] \dfrac{15\pm7}{4}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Plus verwenden}\\[5pt] \dfrac{22}{4}&=&x_{1}\\[5pt] 5,5&=&x_{1}\\[5pt] \dfrac{15\pm7}{4}&=&x_{1/2}& \scriptsize \text{Minus verwenden}\\[5pt] \dfrac{8}{4}&=&x_{2}\\[5pt] 2&=&x_{2}\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung hat die zwei Lösungen $x_1=5,5$ und $x_2=2$.

W 4

a1)  $\blacktriangleright$  Skizze der Abwicklung der Überdachung anfertigen
Die Überdachung entspricht einem Kegel ohne Grundfläche.
Skizziere nur die Mantelfläche die einem Teil eines Kreises entspricht.
Wahlaufgaben
Wahlaufgaben
a2)  $\blacktriangleright$  Kosten für die Reinigung berechnen
Berechne zuerst den Flächeninhalt der Mantelfläche mit der Formel:
$M=r\cdot s\cdot \pi$
$s$ entspricht der Mantellinie die sich mit folgender Formel berechnet:
$s=\sqrt{h^2+r^2}$
Berechne anschließend die Kosten für die Reinigung und rechne die Mehrwertsteuer darauf.
Es müssen die Höhe des Kegels und der Radius geschätzt werden.
1. Schritt: Flächeninhalt der Mantelfläche berechnen
Der Radius wird auf $1,70 \text{ m}$ geschätzt, die Höhe des Kegels auf $5\text{ m}$.
Berechne die Mantellinie s.
$s=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{5\text{ m}^2+1,7\text{ m}^2}=\sqrt{25\text{ m}+2,89\text{ m}}=\sqrt{27.89\text{ m}}=5,28\text{ m}$
Berechne damit die Mantelfläche.
$M=r\cdot s\cdot\pi=1,7 \text{ m}\cdot 5,28\text{ m}\cdot\pi\approx28,2\text{ m}^2$
2. Schritt: Koste für die Reinigung berechnen
Pro Quadratmeter werden $4,00$ € berechnet.
Multipliziere die Mantelfläche mit den Kosten pro Quadratmeter.
$28,2\text{ m}^2\cdot 4,00\dfrac{\text{ €}}{\text{ m}^2}=112,8\text{ €}$
3. Schritt: Mehrwertsteuer darauf rechnen
Multipliziere die berechneten Kosten mit dem Faktor für die Mehrwertsteuer von $19\,\%$.
$112,8\text{€}\cdot1,19=134,23\text{ €}$
Die Reinigungskosten betragen $134,23$ €.
b)  $\blacktriangleright$  Volumen berechnen
Berechne den Radius aus dem gegebenen Umfang mit der Formel:
$U=2\cdot\pi r$
Berechne anschließend das Volumen des Kunstwerks mit der Formel:
$V_K=\dfrac{1}{3}\cdot G \cdot h$
Berechne den Radius $r$.
$ \begin{array}{rcll} U&=&2\cdot\pi\cdot r& \scriptsize \mid :(2\cdot\pi)\\[5pt] \dfrac{U}{2\cdot\pi}&=&r&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{3,9 \text{ m}}{2\cdot\pi}&=&r\\[5pt] 0,62\text{ m}&=&r\\[5pt] \end{array}$
Berechne das Volumen des Kunstwerks.
$ \begin{array}{rcll} V_K&=&\dfrac{1}{3}\cdot G \cdot h& \scriptsize\\[5pt] V_K&=&\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2 \cdot h&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] V_K&=&\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot 0,62^2\text{ m} \cdot 2,5 \text{ m}\\[5pt] V_K&=&\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot 0,3844\text{ m}^2\cdot 2,5 \text{ m} \\[5pt] V_K&\approx&1\text{ m}^3\\[5pt] \end{array}$
Das Volumen des Kunstwerks entspricht ungefähr $1\text{ m}^3$.

W 5

a1)  $\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Berechne wie viele Schokoladeneier keinen Schmuckstein enthalten.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, indem du die Anzahl an nicht-Schmuckstein-Eiern durch die Gesamtzahl an Eiern teilst.
$96-12=84$
$84$ Eier enthalten keinen Schmuckstein.
Berechne die Wahrscheinlichkeit keinen Schmuckstein zu wählen.
$\dfrac{\text{Anzahl an nicht-Schmuckstein-Eiern}}{\text{Gesamtzahl an Eiern}}=\dfrac{84}{96}=0,875$
Rechne die Angabe in Prozent um.
$0,875\cdot 100\,\%=87,5\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit ein Schokoladenei ohne Schmuckstein zu wählen liegt bei $87,5\,\%$.
a2)  $\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Berechne die Wahrscheinlichkeit einen Schmuckstein zu erhalten.
Multipliziere diese Wahrscheinlichkeit mit der Wahrscheinlichkeit einen Schmuckstein zu bekommen, wenn ein Ei weniger vorhanden ist, in dem ein Schmuckstein war.
$\dfrac{\text{Anzahl an Schmucksteinen}}{\text{Gesamtzahl an Eiern}}\cdot\dfrac{\text{Anzahl an Schmucksteinen}-1}{\text{Gesamtzahl an Eiern}-1}=\dfrac{12}{96}\cdot\dfrac{11}{95}=0,014$
Rechne die Angabe in Prozent um.
$0,014\cdot100\,\%=1,4\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit bei zwei Schokoladeneiern zwei Schmucksteine zu bekommen liegt bei $1,4\,\%$.
a3)  $\blacktriangleright$  Mindestanzahl an Eiern für einen Schmuckstein berechnen
Berechne die Anzahl an Eiern ohne einen Schmuckstein.
Um sicher einen Schmuckstein zu bekommen, muss man ein Ei mehr kaufen, als es Eier ohne Schmucksteine gibt.
$96-12=84$
$84$ Eier enthalten keinen Schmuckstein.
Man muss mindestens $85$ Eier kaufen, um sicher einen Schmuckstein zu bekommen.
a4) $\blacktriangleright$  Aussage überprüfen
Berechne die $6$-fache Menge an Schmucksteinen und vergleiche diese mit der Gesamtzahl an Schokoladeneiern.
$12\cdot6=72$
Die $6$-Fache Menge an Schokoladeneiern mit Schmucksteinen entspricht $72$.
Die Menge an Schokoladeneiern mit einem Schmuckstein ist zu gering. Es ist nicht in jedem $6$. Ei ein Schmuckstein dabei. Die Aussage stimmt nicht.
b)  $\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Berechne die Wahrscheinlichkeit für ein Schokoladenei mit einem Puzzle darin.
Multipliziere diese Wahrscheinlichkeit mit der Wahrscheinlichkeit ein Ei mit einem Bausatz zu bekommen, wenn ein Ei ohne Bausatz weniger vorhanden ist.
$\dfrac{\text{Anzahl an Eiern mit einem Puzzle}}{\text{Gesamtzahl an Eiern}}\cdot\dfrac{\text{Anzahl an Eiern mit einem Bausatz}}{\text{Gesamtzahl an Eiern}-1}=\dfrac{20}{96}\cdot\dfrac{48}{95}=0,105$
Rechne die Angabe in Prozent um.
$0,105\cdot100\,\%=10,5\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit bei zwei Schokoladeneiern ein Puzzle und einen Bausatz zu bekommen liebt bei $10.5\,\%$.
c)  $\blacktriangleright$  Anzahl an Gartenzwergen berechnen
Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen Gartenzwerg bei den großen Paletten.
$\dfrac{\text{Anzahl an Eiern mit einem Gartenzwerg}}{\text{Gesamtzahl an Eiern}}=\dfrac{16}{96}=0,167$
Die Wahrscheinlichkeit für einen Gartenzwerg bei den kleinen Paletten soll gleich sein.
Lass die Anzahl an Eiern mit einem Gartenzwerg allgemein und setze das Ergebnis ein.
Forme um.
$ \begin{array}{rcll} \dfrac{\scriptsize{\text{Anzahl an Eiern mit einem Gartenzwerg}}}{\scriptsize{\text{Gesamtzahl an Eiern}}}&=&0,167& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{\scriptsize{\text{Anzahl an Eiern mit einem Gartenzwerg}}}{42}&=&0,167&\scriptsize \mid \cdot42\\[5pt] \scriptsize{\text{Anzahl an Eiern mit einem Gartenzwerg}}&=&42\cdot0,167\\[5pt] \scriptsize{\text{Anzahl an Eiern mit einem Gartenzwerg}}&\approx&7\\[5pt] \end{array}$
$7$ Schokoladeneier sollten einen Gartenzwerg enthalten, damit die gleiche Häufigkeitsverteilung bei den kleinen Paletten wie bei den großen Paletten vorliegt.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App