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Pflichtaufgaben

Aufgaben
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P1

a)
Ordne den Zahlen $-34$ und $25$ den jeweils richtigen Buchstaben zu.
(2 Pkt.)
b)
Schreibe als Term: „das Dreifache einer Zahl $x$ vermehrt um $8$“.
(1 Pkt.)
c)
Verwende für die folgenden zwei Aufgaben den Term $\frac{a^2}{b+1}$.
  1. Berechne den Wert des Terms für $a=5$ und $b=-3$.
  2. (1 Pkt.)
  3. Für $a=3$ soll der Term den Wert $1$ haben. Bestimme $b$.
  4. (2 Pkt.)
d)
Begründe, dass der Wert des Terms $2x+1$ für jede natürliche Zahl $x$ immer eine ungerade Zahl ist.
(2 Pkt.)
#zahlenstrahl#term

P2

Bei einem Fest in Australien wurden $826$ gleich große, runde Pizzas gebacken. Sie bestanden aus $500\;\text{kg}$ Mehl, $200\;\text{kg}$ Wasser, $50\;\text{kg}$ Hefe, $450\;\text{kg}$ Tomatensoße und $300\;\text{kg}$ Mozzarella.
Alle Pizzas hatten, dicht aneinander gelegt, eine Gesamtlänge von $220\;\text{m}$.
Dies entsprach genau $\frac{11}{100}$ der Länge der längsten Pizza der Welt, die $2016$ von $99$ Bäckern in Nepal gebacken wurde.
a)
Berechne den Durchmesser einer Pizza, die bei dem Fest in Australien gebacken wurde. Runde auf Zentimeter.
(2 Pkt.)
b)
Berechne den Anteil der Masse des Mozzarellas an der Gesamtmasse.
(2 Pkt.)
c)
Berechne die Länge der längsten Pizza der Welt.
(2 Pkt.)
#anteil#bruch

P3

Eine Firma verlangt für die Entrümpelung eines Haushaltes einen Preis von $800\;€$. Dazu kommen noch $19\;\%$ Mehrwertsteuer.
a)
Berechne den Gesamtpreis mit Mehrwertsteuer.
(2 Pkt.)
b)
Von den $800\;€$ Einnahmen muss die Firma für Personal und sonstige Kosten $636\;€$ bezahlen. Das restliche Geld ist der Gewinn. Berechne, wie viel Prozent der Einnahmen der Firma als Gewinn bleiben.
(3 Pkt.)
c)
In den Sommermonaten bietet die Firma folgende Sonderaktion an:
$15\;\%$ Rabatt auf den Gesamtpreis der Entrümpelung
dazu
bei Bahrzahlung noch einmal $5\;\%$ Rabatt auf den gesenkten Preis.

$15\;\%$ Rabatt auf den Gesamtpreis der Entrümpelung
dazu
bei Bahrzahlung noch einmal $5\;\%$ Rabatt auf den gesenkten Preis.
Herr George freut ich: „Super, da spare ich ja $20\;\%$.“
Erkläre, weshalb seine Aussage richtig ist.
#prozent

P4

Max und Moritz spielen mit drei Würfeln. Für ein Spiel werden die Würfel einzeln nacheinander geworfen.
Die Augenzahlen werden addiert. Gewonnen hat der Spieler mit der höheren Augensumme.
Bei gleichen Summen endet das Spiel unentschieden.
a)
Schreibe die größte Augensumme auf, die mit drei Würfeln erreicht werden kann.
(1 Pkt.)
b)
Max hat im ersten Spiel die Augensumme $13$ gewürfelt. Moritz würfelt mit dem ersten Würfel eine $4$ und mit dem zweiten Würfel eine $5$.
Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass Moritz das Spiel gewinnt.
(2 Pkt.)
c)
Beim zweiten Spiel würfelt Moritz eine $3$ und zweimal eine $4$. Max würfelt mit dem ersten Würfel nur eine $1$.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Max dieses Spiel noch gewinnt.
(3 Pkt.)
#wahrscheinlichkeit#zufallsexperiment

P5

Die Autovermietung „SchnellCar“ und „FahrCar“ werben mit unterschiedlichen Angeboten. Die Autovermietung „SchnellCar“ hat ihr Angebot auf folgendes Werbeschild geschrieben:
Mieten sie einen Pkw von „SchnellCar“!
Grundgebühr nur $80\;€$!
(zusätzlich $0,20\;€$ pro gefahrenem Kilometer)

Mieten sie einen Pkw von „SchnellCar“!
Grundgebühr nur $80\;€$!
(zusätzlich $0,20\;€$ pro gefahrenem Kilometer)
Der Text auf dem Werbeschild lässt sich durch die Gleichung $y=80+0,2x$ ausdrücken. In der Gleichung ist $x$ die Anzahl der gefahrenen Kilometer und $y$ der zu zahlende Preis in Euro.
a)
  1. Herr Schmidt mietet einen Pkw ber der Autovermietung „SchnellCar“ und legt damit eine Strecke von $550\;\text{km}$ zurück.
    Berechne, welchen Preis er hierfür bezahlen muss.
  2. (1 Pkt.)
  3. Frau Müller mietet ebenfalls einen Pkw bei der Autovermietung „SchnellCar“ und muss $145\;€$ bezahlen.
    Berechne, wie viele Kilometer sie mit dem Mietwagen gefahren ist.
  4. (2 Pkt.)
Das Angebot der Autovermietung „FahrCar“ lässt sich durch die Gleichung $y=70+0,25x$ beschreiben.
b)
  1. Die Autovermietung möchte ebenfalls ein Werbeschild aufstellen. Schreibe einen passenden Text für das Werbeschild von „FahrCar“.
  2. (2 Pkt.)
  3. Bestimme, bei wie vielen gefahrenen Kilometern beide Angebote gleich viel kosten. Gib auch den dazugehörigen Preis an. Formuliere einen Antwortsatz.
    (5 Pkt.)
#funktionsgleichung

P6

Abgebildet ist ein regelmäßiges Fünfeck $ABCDE$. Alle Eckpunkte des Fünfecks liegen auf einem Kreis.
Der Kreis hat den Mittelpunkt $M$ und den Radius $r$.
Pflichtaufgaben
Abb. 2: Skizze nicht maßstäblich
Pflichtaufgaben
Abb. 2: Skizze nicht maßstäblich
a)
Zeige durch eine Rechnung, dass der Winkel $\alpha$ in diesem Fünfeck genau $72°$ groß sein muss.
(2 Pkt.)
b)
Berechne die Größen der Winkel $\beta$ und $\gamma$.
(3 Pkt.)
#kreis#fünfeck#winkel

P7

a)
Zeichne ein gleichschenkliges Trapez $ABCD$ mit den Basiswinkeln $\alpha=\beta=62°$, der Seite $\overline{AB}=7,2\;\text{cm}$ und der Seite $\overline{BC}=4,8\;\text{cm}$. Beschrifte die Eckpunkte.
(4 Pkt.)
b)
  1. Berechne den Flächeninhalt der nebenstehenden Figur.
    (2 Pkt.)
  2. Berechne den Umfang dieser Figur.
    (4 Pkt.)
Pflichtaufgaben
Abb. 3: Skizze nicht maßstabsgerecht
Pflichtaufgaben
Abb. 3: Skizze nicht maßstabsgerecht
#flächeninhalt#umfang#trapez

P8

In der gesamten Geschichte der Menschheit wurden bisher schätzungsweise $180.000$ Tonnen Gold gefördert. Stell dir vor, man könnte aus dieser Menge Gold einen Würfel herstellen.
Berechne die Kantenlänge dieses Würfels. Runde auf Meter.
Hinweis: $1\text{m}^3$ Gold wiegt $19.300\;\text{kg}$.
(4 Pkt.)
#würfel#volumen
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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P1

a)
$\blacktriangleright$ Zahlen zuordnen
Durch Ergänzen des Zahlenstrahls in Zehnerschritten lässt sich das Ablesen vereinfachen. $B$ steht für die Zahl $-34$ und $D$ für die Zahl $25$.
b)
$\blacktriangleright$ Satz als Term umschreiben
Das Dreifache einer Zahl $x$ lässt sich mit dem Term $3\cdot x$ ausdrücken. Wenn diese Zahl noch um $8$ vermehrt wird, ergibt sich der Term $3\cdot x+8$.
c)
$\blacktriangleright$ Wert des Terms berechnen
Durch Einsetzen von $a$ und $b$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} &&\frac{a^2}{b+1} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\frac{5^2}{-3+1} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\frac{25}{-2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-12,5 \end{array}$
Der Term hat den Wert $-12,5$.
$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{b}$ berechnen
Durch Umstellen des Terms nach $b$ kann der Wert bestimmt werden.
$\begin{array}[t]{rll} \frac{a^2}{b+1}&=&1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{3^2}{b+1}&=& 1&\quad \scriptsize \mid\; \cdot (b+1) \\[5pt] 9&=&b+1 &\quad \scriptsize \;\mid -1 \\[5pt] 8&=&b \end{array}$
Der Wert für $b$ beträgt $8$.
d)
$\blacktriangleright$ Begründen, dass der Wert des Terms immer eine ungerade Zahl ist
Der Wert des Terms $2x+1$ ist immer ungerade, da jede Zahl, die mit $2$ multipliziert wird, gerade ist. Addiert man zu einer geraden Zahl noch $1$, ergibt sich immer eine ungerade Zahl.
#zahlenstrahl#term

P2

a)
$\blacktriangleright$ Durchmesser einer Pizza berechnen
Da die Pizzen dicht aneinander liegen, lässt sich der Durchmesser mit folgender Rechnung bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} D&=&220\;\text{m}:826 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&0,266\;\text{m}&\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&27\;\text{cm} \end{array}$
Der Durchmesser der Pizza beträgt ca. $27\;\text{cm}$.
b)
$\blacktriangleright$ Anteil des Mozzarellas an der Gesamtmasse berechnen
Um den Anteil des Mozzarellas an der Gesamtmasse zu berechnen, wird zunächst die Gesamtmasse aller Zutaten berechnet.
$M=500\;\text{kg}+200\;\text{kg}+50\;\text{kg}+450\;\text{kg}+300\;\text{kg}=1.500\;\text{kg}$
$1.500\;\text{kg}$
Für den Anteil des Mozzarellas gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{300\;\text{kg}}{1.500\;\text{kg}}&=&0,2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&20\;\% \end{array}$
Der Anteil des Mozzarellas beträgt $20\;\%$.
c)
$\blacktriangleright$ Länge der längsten Pizza der Welt berechnen
Die Länge der längsten Pizza lässt sich mit dem Dreisatz berechnen.
$:11$
Pflichtaufgaben
$\begin{array}{rrcll} &\frac{11}{100}&\mathrel{\widehat{=}}&220\;\text{m}\\[5pt] &\frac{1}{100}&\mathrel{\widehat{=}}&20\;\text{m}\\[5pt] &1&\mathrel{\widehat{=}}&2.000\;\text{m}& \end{array}$ Pflichtaufgaben
$:11$
$\cdot 100$
Pflichtaufgaben
Pflichtaufgaben
$\cdot 100$
Die längste Pizza der Welt ist ca. $2.000$ Meter lang.
#prozent#durchmesser#dreisatz

P3

a)
$\blacktriangleright$ Gesamtpreis mit Mehrwertsteuer berechnen
$\begin{array}[t]{rll} W&=&p\% \cdot G &\quad \scriptsize \\[5pt] W&=&19\% \cdot 800\;€ &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&152\;€ \end{array}$
Zu den $800$ Euro kommen noch $152$ Euro dazu. Die Entrümpelung kostet insgesamt $152\;€+800\;€=952\;€$.
b)
$\blacktriangleright$ Prozentualen Anteil des Gewinns berechnen
Das Geld, das der Firma als Gewinn übrig bleibt lässt sich aus der Differenz von Einnahmen und Kosten berechnen:
$G=800\,€-363\,€=164\;€$
Es bleiben also $164\;€$ von $800\;€$ übrig:
$\begin{array}[t]{rll} p&=&\frac{164\;€}{800\;€} &\quad \scriptsize \\[5pt] p&=&0,205 &\quad \scriptsize \\[5pt] p&=&20,5\;\% \end{array}$
Es bleiben $20,5\;\%$ der Einnahmen als Gewinn übrig.
c)
$\blacktriangleright$ Aussage widerlegen
Zieht man $20\;\%$ des Gesamtpreises von der Rechnung ab, ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} G \cdot p\%&=&W&\quad \scriptsize \\[5pt] 952\;€ \cdot 0,2&=&191,6\;€ &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Es können $191,6\;€$ gespart werden.
Zieht man zuerst $15\;\%$ und dann $5\;\%$ ab, ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} G \cdot p\%&=&W&\quad \scriptsize \\[5pt] 952\;€ \cdot 0,15&=&142,8\;€ &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Es ergibt sich ein Betrag von $952\;€-142,8\;€=809,2\;€$. Von diesem Betrag werden nochmal $5\;\%$ abgezogen.
$809,2\;€\cdot0,05=40,46\;€$.
Bei diesem Angebot können also $142,8\;€+40,46=183,26\;€$ gespart werden, was weniger ist als $20\;\%$ vom Gesamtpreis.
#prozentwert#prozent#grundwert

P4

a)
$\blacktriangleright$ Größte Augenzahl angeben
Im besten Fall, kann mit allen drei Würfeln jeweils eine $6$ gewürfelt werden. Für diesen Fall ergibt sich:
$6+6+6=18$
Die größtmögliche Augenzahl ist $18$.
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit angeben, dass Moritz gewinnt
Das Spiel ist gewonnen, wenn Moritz beim dritten Mal eine $5$ oder eine $6$ würfelt. Von $6$ möglichen, gleich wahrscheinlichen Würfelergebnissen führen $2$ zum Sieg von Moritz:
$\begin{array}[t]{rll} P&=&\frac{2}{6} &\quad \scriptsize \\[5pt] P&=&\frac{1}{3} &\quad \scriptsize \\[5pt] P&\approx&33,33\;\% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass Moritz gewinnt, beträgt ca. $33,33\;\%$.
d)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen, dass Max noch gewinnt
Max muss insgesamt mindestens eine Augenzahl von $11$ würfeln. Um zu gewinnen, sind die Wurfkombinationen $\Omega=\{65;56;66 \}$ möglich. Mit der Pfadmultiplikationsregel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P_{56}&=&\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}&\quad \scriptsize \\[5pt] P_{56}&=&\frac{1}{36}&\quad \scriptsize \\[5pt] P_{56}&=& P_{65}&=& P_{66}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Mit der Pfadadditionsregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P&=&\frac{1}{36}\cdot 3 &\quad \scriptsize \\[5pt] P&=&\frac{1}{12}&\quad \scriptsize \\[5pt] P&\approx&8,33\;\%&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass Max noch gewinnt, beträgt ca. $8,33\;\%$.
#pfadregeln#wahrscheinlichkeit

P5

a)
$\blacktriangleright$Preis für Herr Schmidt berechnen
Der Preis, den Herr Schmidt zahlen muss, setzt sich aus dem Grundpreis und dem Preis pro Kilometer zusammen:
$\begin{array}[t]{rll} P&=&80\;€+0,2\;\frac{\;€}{\text{km}} \cdot 550 \;\text{km}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&190\;€ \end{array}$
Die Kosten betragen $190\;€$.
$\blacktriangleright$Gefahrene Kilometer von Frau Müller berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 145\;€&=&80\;€+0,2\;\frac{\;€}{\text{km}} \cdot x &\quad \scriptsize \mid\;-80\;€ \\[5pt] 65\;€&=&0,2\;\frac{\;€}{\text{km}} \cdot x &\quad \scriptsize \mid\;:0,2 \;\frac{\;€}{\text{km}}\\[5pt] \frac{65\;€}{0,2\;\frac{\;€}{\text{km}}}&=&325\;\text{km} \end{array}$
Frau Müller ist $325$ Kilometer gefahren.
b)
$\blacktriangleright$Text für Werbeschild schreiben
Aus der Gleichung ist zu erkennen, dass der Grundpreis bei „FahrCar“ $70\;€$ beträgt. Für jeden gefahrenen Kilometer müssen noch $0,25\;€$ bezahlt werden.
Ein möglicher Werbetext wäre:
Pkw von „FahrCar“ zu mieten, für eine Grundgebühr von nur $70\;€$.
(zusätzlich $0,25\;€$ pro gefahrenem Kilometer)
Pkw von „FahrCar“ zu mieten, für eine Grundgebür von nur $70\;€$.
(zsätzlich $0,25\;€$ pro gefahrenem Kilometer)
$\blacktriangleright$Kilometeranzahl bestimmen, bei der beide Angebote gleich viel kosten
Durch Gleichsetzen der beiden Funktionsgleichungen, ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} 80+0,2\cdot x&=&70 \cdot 0,25 x &\quad \scriptsize \mid\; -70\\[5pt] 10+0,2\cdot x&=& 0,25 x &\quad \scriptsize \mid\; -0,2 \cdot x\\[5pt] 10&=& 0,05 x &\quad \scriptsize \mid\; : (0,05)\\[5pt] 200&=&x \end{array}$
Bei $200$ Kilometern sind die beiden Angebote gleich teuer.
$\begin{array}[t]{rll} P&=&80+0,2\cdot 200 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&120\;€ \end{array}$
Der Preis beträgt dann bei beiden Autovermietungen $120\;€$.
#termumformen#nullstelle#funktionsgleichung

P6

a)
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass der Winkel $\boldsymbol{\alpha=72°}$ betragen muss
Die Zeichnung lässt sich um vier weitere Dreiecke ergänzen.
Pflichtaufgaben
Abb. 1: Skizze
Pflichtaufgaben
Abb. 1: Skizze
Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 5\cdot \alpha&=&360° &\quad \scriptsize \mid\;:5 \\[5pt] \alpha&=&72° \end{array}$
Der Winkel $\alpha$ ist $\alpha=72°$ groß.
b)
$\blacktriangleright$ Größe der Winkel $\boldsymbol{\beta}$ und $\boldsymbol{\gamma}$ berechnen
Der Winkel $\beta$ lässt sich über die Winkelsumme eines Dreiecks berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} 180°&=&\alpha + 2 \cdot \beta &\quad \scriptsize \mid\;- \alpha \\[5pt] 180°-\alpha &=&2 \cdot \beta &\quad \scriptsize \mid\;:2\\[5pt] \frac{180°-\alpha}{2} &=& \beta &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{180°-72°}{2} &=& \beta &\quad \scriptsize \\[5pt] 54°&=&\beta \end{array}$
In der Skizze ist zu erkennen, dass für $\gamma$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \gamma&=&2\cdot \beta &\quad \scriptsize \\[5pt] \gamma&=&2\cdot 54° &\quad \scriptsize \\[5pt] \gamma&=&108° \end{array}$
Die Winkel sind $\beta=54°$ und $\gamma=108°$ groß.
#winkel

P7

a)
$\blacktriangleright$ Trapez zeichnen
Pflichtaufgaben
Abb. 2: Trapez
Pflichtaufgaben
Abb. 2: Trapez
b)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Die Figur lässt sich in ein Dreieck und ein Rechteck unterteilen.
Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt:
$\begin{array}[t]{rll} A_{Dreieck}&=&(27\;\text{cm}-3\;\text{cm}) \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \;\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&120\;\text{cm}^2 \end{array}$
Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt:
$\begin{array}[t]{rll} A_{Rechteck}&=&3\;\text{cm} \cdot 10 \;\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&30\;\text{cm}^2 \end{array}$
Die Figur hat einen Flächeninhalt von $120\;\text{cm}^2+30\;\text{cm}^2=150\;\text{cm}^2$.
$\blacktriangleright$ Umfang berechnen
Die längste Seite des Dreiecks lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} a^2+b^2&=&c^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \sqrt{a^2+b^2}&=&c &\quad \scriptsize \\[5pt] \sqrt{(24\;\text{cm})^2+(10\;\text{cm})^2}&=&c &\quad \scriptsize \\[5pt] 26\;\text{cm}&=&c \end{array}$
Mit den angegebenen Werten, kann nun der Umfang der Figur berechnet werden.
$\begin{array}[t]{rll} U&=&27\;\text{cm}+26\;\text{cm}+10\;\text{cm}+3\;\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&66\;\text{cm} \end{array}$
Der Umfang der Figur beträgt $66\;\text{cm}$.
#trapez#umfang#flächeninhalt
P8
$\blacktriangleright$ Kantenlänge berechnen
Das Gesamtvolumen des Würfels lässt sich mit dem Dreisatz berechnen.
$:19,3$
Pflichtaufgaben
$\begin{array}{rrcll} &19.300\;\text{kg}=19,3\;\text{t}&\mathrel{\widehat{=}}&1\;\text{m}^3\\[5pt] &1\;\text{t}&\mathrel{\widehat{=}}&0,0518\;\text{m}^3\\[5pt] &180.000\;\text{t}&\mathrel{\widehat{=}}&9.324\;\text{m}^3& \end{array}$ Pflichtaufgaben
$:19,3$
$\cdot 180.000$
Pflichtaufgaben
Pflichtaufgaben
$\cdot 180.000$
Für die Kantenlänge des Würfels gilt:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&a^3 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\;\;} \\[5pt] \sqrt[3]{V}&=&a&\quad \scriptsize \\[5pt] \sqrt[3]{9.324\;\text{m}^3}&=&a&\quad \scriptsize \\[5pt] 21\;\text{m}&\approx&a&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Kantenlänge des Würfels beträgt ca. $21$ Meter.
#dreisatz#volumen
Bildnachweise [nach oben]
[1-2]
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