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Wahlaufagben

Aufgaben
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W1
Die Zeichnung zeigt das Trapez $ABCD$ und die Gerade $g$.
Wahlaufagben
Abb. 1: Trapez $ABCD$
Wahlaufagben
Abb. 1: Trapez $ABCD$
a.
Übertrage das Tapez $ABCD$ und die Gerade $g$ auf dein Reinschriftpapier.
($2$ Kästchen entsprechen $1~\text{cm}$)
(1 Pkt.)
b.
Bestimme die Größe des Winkels $\beta$.
(1 Pkt.)
c.
Bestimme des Flächeninhalt des Trapezes $ABCD$.
(2 Pkt.)
d.
1.
Spiegele die Punkte $C$ und $D$ an der Geraden $g$ und bezeichne die Bildpunkte mit $C'$ und $D'$.
(2 Pkt.)
2.
Paul hat die Punkte $A$, $D'$, $C'$, $B$, $C$ und $D$ zum Vieleck verbunden. Erbahuptet: „Die Winkelsumme der Innenwinkel des Vielecks $AD'C'BCD$ beträgt $720^{\circ}$.“ Begründe, warum Paul recht hat.
(2 Pkt.)
#trapez
W2
Das Diagramm zeigt die Bevölkerungsentwicklung der Stadt Frankfurt am Main.
Wahlaufagben
Abb. 2: Bevölkerung der Stadt Frankfurt am Main
Wahlaufagben
Abb. 2: Bevölkerung der Stadt Frankfurt am Main
a.
Gib die Anzahl der Einwohnerinnen und Einwohner der Stadt Frankfurt im Jahr $2011$ an.
(1 Pkt.)
b.
Berechne, um wie viel Prozent die Bevölkerung der Stadt Frankfurt vom Jahr $2013$ bis zum Jahr $2014$ gewachsen ist. Runde dein Ergebnis auf ganze Prozent.
(3 Pkt.)
c.
Im Januar $2015$ waren $16~\%$ aller Frankfurterinnen und Frankfurter jünger als $18$ Jahre. Berechne, wie viele Personen das sind.
(2 Pkt.)
d.
Eva sagt: „Schon wieder ein Diagramm, das nicht bei null anfängt. Könnte man nicht einfach pro $1000$ Personen $1~\text{mm}$ wählen und das Diagramm bei null anfangen lassen?“
Würde ein solches Diagramm auf ein DIN-A4-Blatt passen?
Begründe deine Antwort durch eine Rechnung.
(3 Pkt.)
#diagramm
W3
Auf Claudias Geburtstagsparty darf sich jeder Gast ein kleines Gastgeschenk nehmen. Claudia hat $6$ Lavendelseifen, $4$ Duftkerzen und $5$ Badekugeln einzeln in Tüten verpackt. Die $15$ Tüten unterschieden sich nicht und stehen auf einem Tablett.
Jeder Gast nimmt sich zufällig eine Tüte.
a.
Tanja nimmt sich als Erste eine Tüte.
1.
Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Tüte eine Badekugel enthält.
(1 Pkt.)
2.
Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Tüte keine Lavendelseife enthält.
(1 Pkt.)
3.
Welches der drei Gastgeschenke ist mit einer Wahrscheinlichkeit von $40~\%$ in der Tüte, die Tanja genommen hat?
(1 Pkt.)
b.
Nachdem Tanja eine Tüte genommen hat, nimmt Alina eine Tüte.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Mädchen eine Tüte mit einer Duftkerze genommen haben.
(3 Pkt.)
c.
Wie viele Tüten müsste ein Gast vom vollen Tablett nehmen, um mit Sicherheit eine Duftkerzen zu bekommen?
(2 Pkt.)
#wahrscheinlichkeit
W4
Tim hat seit $3$ Jahren eine Wohnung mit insgesamt $62~\text{m}^2$ Wohnfläche gemietet. Das Haus, in dem Tim die Wohnung gemietet hat, wurde $1975$ gebaut und $2012$ renoviert.
Tim hat in seiner Wohnung ein $12~\text{m}^2$ großes Schlafzimmer, ein $20~\text{m}^2$ großes Wohnzimmer, eine $15~\text{m}^2$ große Küche, ein $6,5~\text{m}^2$ großes Bad und zusätzlich einen Flur.
Für die Kaltmiete zahlt Tim monatlich $403~€$. Dazu kommen monatlich Nebenkosten in Höhe von insgesamt $1,30~€$ pro Quadratmeter Wohnfläche. Zu den Nebenkosten gehören z.B. die Heizkosten, die Kosten für die Wasserversorgung, die Straßenreinigung und Müllentsorgung sowie die Kosten für den Hausmeister. Für die zusätzlich gemietete Garage zahlt Tim $540~€$ im Jahr.
a.
Berechne den Flächeninhalt des Flures.
(1 Pkt.)
b.
Tims Wohnzimmer hat einen rechteckigen Grundriss.
Sein Wohnzimmer ist $3,2~\text{m}$ breit. Berechne, wie lang sein Wohnzimmer ist.
(2 Pkt.)
c.
Berechne, wie viele Euro Tim insgesamt für die Kaltmiete, die Nebenkosten und die Garagenmiete manatlich bezahlen muss.
(3 Pkt.)
d.
Tims Kaltmiete entspricht $26~\%$ seines Gehaltes.
Berechne die Höhe von Tims Gehalt.
(2 Pkt.)
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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W1
a.
$\blacktriangleright$  Übertragen
Übertrage das Trapez und die Gerade auf dein Reinschriftpapier. Zähle Kästchen, um die Eckpunkte des Trapezes und der Gerade zu finden.
b.
$\blacktriangleright$  Winkel bestimmen
Durch Ausmessen des Winkels $\beta$ erhältst du $\beta\approx 135^{\circ}$. Eine Abweichung von $1^{\circ}$ wird als richtig gewertet.
c.
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
Für den Flächeninhalt eines Trapezes gilt:
$A=\dfrac{1}{2}\cdot (a+c)\cdot h$
Durch Ausmessen oder Abzählen der Kästchen erhältst du für $a=4~\text{cm}$, $c=2~\text{cm}$ und $h=2~\text{cm}$. Damit gilt für den Flächeninhalt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot (4~\text{cm}+2~\text{cm})\cdot 2~\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 6~\text{cm}^2 \end{array}$
$ A= 6~\text{cm}^2 $
Alternativ kannst du auch die Kästchen im Trapez abzählen und den Flächeninhalt angeben.
d.
Wahlaufagben
Abb. 1: Spiegelung der Punkte $C$ und $D$
Wahlaufagben
Abb. 1: Spiegelung der Punkte $C$ und $D$
Wahlaufagben
Abb. 2: Vieleck $AD'C'BCD$
Wahlaufagben
Abb. 2: Vieleck $AD'C'BCD$
#spiegelung#flächeninhalt
W2
a.
$\blacktriangleright$  Einwohnerzahl angeben
Jeder Strich im Diagramm steht für $2~000$ Einwohner. Die Säule für $2011$ ist genau ein Strich unter $670~000$ Einwohner. Also hatte Frankfurt im Jahr $2011$ $668~000$ Einwohner.
b.
$\blacktriangleright$  Wachstum berechnen
Berechne zunächst, wie viel mehr Einwohner Frankfurt im Jahr $2014$ im Vergleich zum Jahr $2013$ hatte:
$708~000-694~000=14~000$
Mithilfe eines Dreisatzes kannst du dies nun in Prozent angeben:
$:694$
Wahlaufagben
$\begin{array}{rrcll} &694~000&\mathrel{\widehat{=}}&100~\%\\[5pt] &1~000&\mathrel{\widehat{=}}&0,144…~\%\\[5pt] &14~000&\mathrel{\widehat{=}}&2,017…~\%\approx 2~\% \end{array}$ Wahlaufagben
$:694$
$\cdot 14$
Wahlaufagben
Wahlaufagben
$\cdot 14$
$ \begin{array}{rrcll} &694~000&\mathrel{\widehat{=}}&100~\%\\[5pt] &1~000&\mathrel{\widehat{=}}&0,144…\%\\[5pt] &14~000&\mathrel{\widehat{\approx}}&2~\% \end{array} $
Oder du berechnest den Prozentwert direkt mit:
$\dfrac{14~000}{694~000}=0,02017…=2,017…~\% \approx 2~\%$
$ \dfrac{14~000}{694~000} \approx 2~\% $
Die Bevölkerung in Frankfurt ist von $2013$ bis $2014$ um etwa $2~\%$ gewachsen.
c.
$\blacktriangleright$  Personenzahl bestimmen
$16~\%$ von $724~000$ Einwohnern kannst du wieder mit dem Dreisatz oder direkt berechnen:
$:100$
Wahlaufagben
$\begin{array}{rrcll} & 100~\% &\mathrel{\widehat{=}}&724~000 ~\text{Personen}\\[5pt] & 1~\%&\mathrel{\widehat{=}}&7~240 ~\text{Personen}\\[5pt] & 16~\%&\mathrel{\widehat{=}}&115~840 ~\text{Personen}& \end{array}$ Wahlaufagben
$:100$
$\cdot 16$
Wahlaufagben
Wahlaufagben
$\cdot 16$
$ \begin{array}{rrcll} & 100~\% &\mathrel{\widehat{=}}&724~000 \\[5pt] & 1~\%&\mathrel{\widehat{=}}&7~240 \\[5pt] & 16~\%&\mathrel{\widehat{=}}&115~840 & \end{array} $
Oder
$16~\% \cdot 724~000=0,16\cdot 724~000=115~840$
$ 16~\% \cdot 724~000=115~840 $
In $2015$ gab es in Frankfurt also $115~840$ unter $18$-Jährige.
d.
$\blacktriangleright$  Aussage bewerten
Wenn das Diagramm bei null anfangen würde, dann wäre die Größe:
$\cdot 729$
Wahlaufagben
$\begin{array}{rrcll} &1~000~\text{Personen}&\mathrel{\widehat{=}}&1~\text{mm}\\[5pt] &729~000~\text{Personen}&\mathrel{\widehat{=}}&729~\text{mm}& \end{array}$ Wahlaufagben
$\cdot 729$
$ \begin{array}{rrcll} &1~000&\mathrel{\widehat{=}}&1~\text{mm}\\[5pt] &729~000&\mathrel{\widehat{=}}&729~\text{mm}& \end{array} $
Das Diagramm wäre also $729~\text{mm}=72,9~\text{cm}$ groß und würde nicht auf ein DIN A4 Papier passen.
#prozent#dreisatz
W3
a.
1.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für eine Badekugel
Da es genau $5$ Badekugeln in $15$ Tüten gibt, kannst du dies als Bruch schreiben:
$P(\text{Badekugel})=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}\approx 0,3333 =33,33~\%$
$ P(\text{Badekugel})=\dfrac{5}{15} $
2.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für keine Lavendelseife
Da es $6$ Tüten mit Lavendelseife gibt, sind in $9$ Tüten keine Lavendelseifen. Damit gilt:
$P(\text{keine Lavendelseife})=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}=0,6=60~\%$
$ P(\text{keine Lavendelseife})=\dfrac{9}{15} $
3.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für eine Badekugel
$40~\%$ von $15$ Tüten enspricht $0,4\cdot 15=6$ Tüten. Dies ist also die Lavendelseife
b.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für zwei Duftkerzen
Die Wahrscheinlichkeit für Tanja eine Duftkerze zu ziehen ist:
$P(\text{1. Durftkerze})=\dfrac{4}{15}$
Nachdem Tanja eine Duftkerze genommen hat, gibt es nur noch $3$ Duftkerzen und insgesamt nur noch $14$ Tüten. Für Alina gilt dann:
$P(\text{2. Duftkerze})=\dfrac{3}{14}$
Mit der Pfadmultiplikationsregel ist die Wahrscheinlichkeit beide Tüten hintereinander zu nehmen:
$\dfrac{4}{15}\cdot \dfrac{3}{14}=\dfrac{12}{210}\approx 0,0571=5,71~\%$
$ \dfrac{4}{15}\cdot \dfrac{3}{14}\approx 5,71~\% $
c.
$\blacktriangleright$  Anzahl der Tüten bestimmen
Es gibt 4 Tüten mit Duftkerzen. Also können $11$ Tüten genommen werden, ohne eine Duftkerze zu bekommen. Mit der $12.$ Tüte ist also mit Sicherheit eine Duftkerze dabei.
Es müssen also $12$ Tüten genommen werden.
#prozent
W4
a.
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Ziehe alle angegebenen Flächen von der Gesamtfläche ab, um die Fläche des Flures zu erhalten:
$62~\text{m}^2-12~\text{m}^2-20~\text{m}^2-15~\text{m}^2-6,5~\text{m}^2=8,5~\text{m}^2$
$ \text{Flur}=8,5~\text{m}^2 $
Der Flur hat also $8~\text{m}^2$.
b.
$\blacktriangleright$  Länge des Wohnzimmers berechnen
Den Flächeninhalt eines Rechtecks kannst du mit:
$A=a\cdot b$
berechnen. Also gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 20~\text{m}^2&=& 3,2~\text{m}\cdot b &\quad \scriptsize \mid\; :3,2~\text{m} \\[5pt] 6,25 ~\text{m}&=& b \end{array}$
$ b=6,25 ~\text{m} $
Da Wohnzimmer ist $6,25~\text{m}$ lang.
c.
$\blacktriangleright$  Monatliche Kosten berechnen
Berechne zuerst die monatlichen Nebenkosten:
$1,30~\dfrac{€}{\text{m}^2}\cdot 62~\text{m}^2=80,60~€$
Bestimme dann die monatlichen Kosten für die Garage:
$\dfrac{540~€}{12}=45~€$
Die monatlichen Gesamtkosten setzen sich aus der Kaltmiete, den Nebenkosten und der Garagenmiete zusammen:
$403~€+80,60~€+45~€=528,60~€$
$ \text{Kosten}=528,60~€ $
Die Gesamtkosten betragen also $528,60~$ im Monat.
d.
$\blacktriangleright$  Gehalt bestimmen
Mithilfe eines Dreisatzes gilt:
$:26$
Wahlaufagben
$\begin{array}{rrcll} & 26~\%&\mathrel{\widehat{=}}&403~€\\[5pt] & 1~\%&\mathrel{\widehat{=}}& 15,50~€\\[5pt] & 100~\%&\mathrel{\widehat{=}}& 1550~€& \end{array}$ Wahlaufagben
$:26$
$\cdot 100$
Wahlaufagben
Wahlaufagben
$\cdot 100$
$ \begin{array}{rrcll} & 26~\%&\mathrel{\widehat{=}}& 403~€\\[5pt] & 1~\%&\mathrel{\widehat{=}}& 15,50~€\\[5pt] & 100~\%&\mathrel{\widehat{=}}& 1550~€& \end{array} $
$Oder$ direkt:
$\dfrac{100}{26}\cdot 403~€=1550~€$
Tims Gehalt beträgt also $1550~€$.
#flächeninhalt#dreisatz
Bildnachweise [nach oben]
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