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A1 - Analysis

Aufgaben
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Die kanadische Wasserpest ist eine krautartige Wasserpflanze, die auch in hessischen Seen weit verbreitet ist.
1.
Die Wachstumsgeschwindigkeit einer solchen Pflanze (in $\text{cm}$/Tag) soll näherungsweise durch die Funktion $w$ mit
$w(t)= \dfrac{1}{1.350}t\cdot(t-45)^2 = \dfrac{1}{1.350}t^3-\dfrac{1}{15}t^2+\dfrac{3}{2}t$
$\begin{array}[t]{rll} &w(t)\\[5pt] =& \dfrac{1}{1.350}t\cdot(t-45)^2 \\[5pt] =& \dfrac{1}{1.350}t^3-\dfrac{1}{15}t^2+\dfrac{3}{2}t\\[5pt] \end{array}$
für $0\leq t\leq 45$ beschrieben werden, wobei $t$ die Zeit in Tagen nach Beobachtungsbeginn angibt.
1.1
Berechne die Nullstellen der Funktion $w$ sowie die Extrem- und Wendepunkte des Graphen von $w$ ohne Beachtung der Einschränkung des Definitionsbereichs.
(11 BE)
#nullstelle#wendepunkt#extrempunkt
1.2
Erläutere die Bedeutung der Nullstellen und der Wendestelle von $w$ im Sachzusammenhang.
Begründe, dass sich die Funktion $w$ nicht eignet, um die Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze für große Werte von $t$ $(t\to \infty)$ zu modellieren.
(6 BE)
1.3
Bestimme die Zeitpunkte, an denen die Pflanze gemäß der Funktion $w$ eine Wachstumsgeschwindigkeit von $8\,\text{cm}/\text{Tag}$ erreicht.
(2 BE)
1.4
Zeige unter Angabe einer Stammfunktion von $w$, dass
$\dfrac{1}{45-15}\displaystyle\int_{15}^{45}w(t)\;\mathrm dt = w(30)$
gilt und erläutere diese Gleichung im Sachzusammenhang.
(7 BE)
#stammfunktion#integral
2.
Alternativ kann die Wachstumsgeschwindigkeit einer solchen Pflanze (in $\text{cm}$/Tag) durch eine Exponentialfunktion $v$ mit
$v(t)= a\cdot t\cdot \mathrm e ^{-b\cdot t}$ $(a, b> 0)$ für $0 \leq t \leq 45$
beschrieben werden, wobei $t$ die Zeit in Tagen nach Beobachtungsbeginn angibt.
#exponentialfunktion
2.1
Erläutere die Bedeutung der Zeilen $\text{(I)}$ und $\text{(II)}$ im untenstehenden Kasten für das Wachstumsverhalten der Pflanze.
$v(t) = a\cdot t\cdot \mathrm e^{-b\cdot t}$
$\begin{array}{} \text{(I)}\quad& v(15)&=& 10 & \\ \text{(II)}\quad&v'(15)&=& 0 & \text{und} &v''(15) &< 0 \\ \end{array}$
$v(t) = a\cdot t\cdot \mathrm e^{-b\cdot t}$
$\begin{array}{lrll} \text{(I)}\quad& v(15)&=& 10 \\[10pt] \text{(II)}\quad&v'(15)&=& 0 \\ \text{und} \quad &v''(15) &<& 0 \\ \end{array}$
(4 BE)
2.2
Bestätige rechnerisch, dass die Gleichungen $v(15) = 10$ und $v'(15) = 0$ durch die Wahl der Parameter $a= \frac{2\mathrm e}{3}$ und $b = \frac{1}{15}$ erfüllt werden.
(6 BE)
3.
Im Folgenden soll für $v$ aus Aufgabe 2 gelten:
$a = \frac{2\mathrm e}{3}$ und $b = \frac{1}{15}$
Ein Biologe beobachtet, dass ein Spross der Pflanze, der zum Zeitpunkt $t=0$ zu wachsen beginnt, nach $45$ Tagen eine Länge von $2,5 \,\text{m}$ erreicht. Bestimme für beide Funktionen $w$ und $v$ jeweils, welche Länge sich nach $45$ Tagen ergibt.
Beurteile, ob die Funktionen $w$ und $v$ hinsichtlich der Beobachtung des Biologen das Wachstum der Pflanze korrekt beschreiben.
(4 BE)
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
Gesucht sind die Nullstellen der Funktion $w$. Setze also $w(t) = 0.$
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Extrempunkte berechnen
Du kannst die Koordinaten der Extrempunkte entweder handschriftlich mithilfe des notwendigen und hinreichenden Kriteriums für Extrempunkte oder mithilfe deines GTRs berechnen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
Du hast die Funktion $w$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $t_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, w'(t_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $w''(t_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $w''(t_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $w'$ und $w''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $w'(t)=0$ setzt und nach $t$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $w''(t)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $w$ an den Extremstellen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Lässt du dir den Graphen im Graphik-Menü deines GTRs anzeigen, kannst du die Koordinaten der Extrempunkte über folgenden Befehl anzeigen lassen:
F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX / F2: MIN
F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX / F2: MIN
Du erhältst dann folgendes Ergebnis:
  • einen Tiefpunkt $T(45\mid0)$
  • einen Hochpunkt $H(15\mid 10)$
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Wendepunkte berechnen
Hier kannst du ebenfalls handschriftlich mit dem notwendigen und hinreichenden Kriterium für Wendepunkte arbeiten. Alternativ kannst du mit dem Graphik-Menü deines GTRs arbeiten und die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen der ersten Ableitungsfunktion von $w$ bestimmen. Die zugehörigen Extremstellen entsprechen dann auch den Wendestellen von $w.$
1.2
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Nullstellen im Sachzusammenhang erläutern
Die Nullstellen von $w$ sind die Stellen, an denen $w(t) = 0$ ist. $w(t)$ beschreibt die Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze zum Zeitpunkt $t$.
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Wendestellen im Sachzusammenhang erläutern
Die Wendestelle $t_W = 30$ ist die Stelle, an der $w(t)$ am stärksten abnimmt.
$\blacktriangleright$  Eignung für große Werte beurteilen
Für $t\to +\infty$ gilt auch $w(t)\to+\infty.$ Im Sachzusammenhang würde dies bedeuten, dass die Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze unbegrenzt zunehmen würde und auf $\infty$ zustreben würde. Überlege dir, warum dies nicht realistisch ist.
1.3
$\blacktriangleright$  Zeitpunkte berechnen
Gesucht sind die Zeitpunkte $t,$ für die $w(t)= 8$ gilt.
1.4
$\blacktriangleright$  Gültigkeit der Gleichung zeigen
Du sollst mit Hilfe einer Stammfunktion zeigen, dass folgende Gleichung gilt:
$\dfrac{1}{45-15}\displaystyle\int_{15}^{45}w(t)\;\mathrm dt = w(30)$
$\frac{1}{45-15}\int_{15}^{45}w(t)\;\mathrm dt = w(30)$
Bilde dazu zunächst eine Stammfunktion von $w$. Berechne anschließend die linke Seite der Gleichung mit Hilfe der Stammfunktion und die rechte Seite getrennt.
$\blacktriangleright$  Gleichung im Sachzusammenhang erläutern
Die linke Seite der Gleichung $\frac{1}{45-15}\int_{15}^{45}w(t)\;\mathrm dt$ beschreibt den durchschnittlichen Funktionswert von $w$ im Intervall $[15;45]$ und damit die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit $15$ bis $45$ Tage nach Beobachtungsbeginn.
Die rechte Seite der Gleichung $w(30)$ beschreibt die momentane Wachstumsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt $30$ Tage nach Beobachtungsbeginn.
Übertrage dies auf den Sachzusammenhang.
2.1
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Zeilen im Sachzusammenhang erläutern
Die Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze wird nun durch die Funktion $v$ beschrieben. Betrachte beide Zeilen getrennt und überlege dir zunächst, was die Gleichungen für die Funktion und somit für das Wachstum der Pflanze bedeuten.
2.2
$\blacktriangleright$  Gleichungen nachweisen
Um nachzuweisen, dass die Parameter die Gleichungen erfüllen, setze die Parameterwerte in die Funktionsgleichung ein. Überprüfe anschließend die Gleichungen, indem du $v(15)$ und $v'(15)$ berechnest. Die Ableitung kannst du mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel bestimmen.
3.
$\blacktriangleright$  Länge der Pflanze berechnen
Die Pflanze beginnt bei $t=0$ zu wachsen. Zu diesem Zeitpunkt besitzt sie also noch die Höhe $h = 0\,\text{cm}$. Die Höhe $h(t)$ der Pflanze zum Zeitpunkt $t$ kannst du mit einem Integral über $w$ bzw. $v$ berechnen:
$h_w(t) = \displaystyle\int_{0}^{t}w(t)\;\mathrm dt\quad $ $h_v(t)= \displaystyle\int_{0}^{t}v(t)\;\mathrm dt $
Berechne nun die Länge zum Zeitpunkt $t= 45$.
$\blacktriangleright$  Funktionen beurteilen
Der Biologe beobachtet bei einer Pflanze, die zum Zeitpunkt $t=0$ zu wachsen beginnt, nach $45$ Tagen eine Länge von $2,5\,\text{m}.$ Vergleiche den Wert mit den zuvor berechneten Werten. Gibt es größere Abweichungen, ist die entsprechende Funktion eher ungeeignet.
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1.1
$\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
Gesucht sind die Nullstellen der Funktion $w$. Setze also $w(t) = 0:$
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& w(t) \\[5pt] 0&=& \frac{1}{1.350}t\cdot(t-45)^2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 1.350 \\[5pt] 0&=& t\cdot(t-45)^2&\quad \scriptsize \mid\; t_1 = 0 \\[5pt] 0&=& (t_2-45)^2 \\[5pt] 0&=& t_2-45 &\quad \scriptsize \mid\; +45\\[5pt] 45&=& t_2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& w(t) \\[5pt] &…& \\[5pt] t_1&=& 0 \\[5pt] t_2&=& 45 \end{array}$
Die Nullstellen der Funktion $w$ sind also $t_1 = 0$ und $t_2 = 45$.
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Extrempunkte berechnen
Du kannst die Koordinaten der Extrempunkte entweder handschriftlich mithilfe des notwendigen und hinreichenden Kriteriums für Extrempunkte oder mithilfe deines GTRs berechnen:
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
Du hast die Funktion $w$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $t_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, w'(t_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $w''(t_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $w''(t_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $w'$ und $w''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $w'(t)=0$ setzt und nach $t$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $w''(t)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $w$ an den Extremstellen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} w(t)&=& \frac{1}{1.350}t^3-\frac{1}{15}t^2+\frac{3}{2}t \\[10pt] w'(t)&=& 3\cdot \frac{1}{1.350}t^2 -2\cdot \frac{1}{15}t +\frac{3}{2} \\[5pt] &=& \frac{1}{450}t^2 - \frac{2}{15}t +\frac{3}{2} \\[10pt] w''(t)&=& 2\cdot \frac{1}{450}t -\frac{2}{15} \\[5pt] &=&\frac{1}{225}t -\frac{2}{15} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} w(t)&=& \frac{1}{1.350}t^3-… \\[10pt] w'(t)&=& \frac{1}{450}t^2 - … \\[10pt] w''(t)&=&\frac{1}{225}t -… \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $w'(t)$ mit Null erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& w'(t) \\[5pt] 0&=&\frac{1}{450}t^2 - \frac{2}{15}t +\frac{3}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 450\\[5pt] 0&=& t^2 - 60t +675&\quad \scriptsize \mid\; p\text{-}q\text{-Formel} \\[5pt] t_{1,2}&=& -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 -q } \\[5pt] &=& -\frac{-60}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-60}{2}\right)^2 -675 } \\[5pt] &=& 30 \pm 15 \\[5pt] t_1&=& 15 \\[5pt] t_2&=& 45 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& w'(t) \\[5pt] &…& \\[5pt] t_1&=& 15 \\[5pt] t_2&=& 45 \\[5pt] \end{array}$
Mögliche Extremstellen sind also $t_1 = 15$ und $t_2 = 45$.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} w''(t_1)&=& w''(15) \\[5pt] &=&\frac{1}{225}\cdot 15 -\frac{2}{15} \\[5pt] &=&\frac{1}{15} -\frac{2}{15} \\[5pt] &=& -\frac{1}{15} < 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} w''(t_2)&=& w''(45) \\[5pt] &=&\frac{1}{225}\cdot 45 -\frac{2}{15} \\[5pt] &=&\frac{3}{15} -\frac{2}{15} \\[5pt] &=& \frac{1}{15} > 0 \end{array}$
Bei beiden handelt es sich also um Extremstellen.
4. Schritt: Funktionswerte berechnen
$\begin{array}[t]{rll} w(t_1)&=& w(15) \\[5pt] &=&\frac{1}{1.350}15^3-\frac{1}{15}15^2+\frac{3}{2}15 \\[5pt] &=&\frac{5}{2} - 15 + \frac{45}{2}\\[5pt] &=& 10 \end{array}$
$w(t_1) = w(15)= 10$
$\begin{array}[t]{rll} w(t_2)&=& w(45) \\[5pt] &=&\frac{1}{1.350}45^3-\frac{1}{15}45^2+\frac{3}{2}45 \\[5pt] &=&\frac{135}{2} - 135 + \frac{135}{2}\\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$w(t_2) = w(45)=0 $
Der Graph von $w$ besitzt also den Hochpunkt $H(15\mid 10)$ und den Tiefpunkt $T(45\mid 0)$.
Abb. 1: Berechnung mit dem GTR
Abb. 1: Berechnung mit dem GTR
Weitere Extrempunkte können nicht existieren, da $w$ eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist und ihr Graph daher maximal zwei Extrempunkte besitzen kann.
Der Graph von $w$ besitzt zwei Extrempunkte: den Hochpunkt $H(15\mid 10)$ und den Tiefpunkt $T(45\mid 0).$
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Wendepunkte berechnen
Hier kannst du ebenfalls handschriftlich mit dem notwendigen und hinreichenden Kriterium für Wendepunkte arbeiten. Alternativ kannst du mit dem Graphik-Menü deines GTRs arbeiten und die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen der ersten Ableitungsfunktion von $w$ bestimmen. Die zugehörigen Extremstellen entsprechen dann auch den Wendestellen von $w.$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
Nun sollst du den Graphen von $w$ auf Wendepunkte untersuchen. Für eine Wendestelle $t_W$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, w''(t_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $\, w'''(t_W) \neq 0$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die dritte Ableitungsfunktion $w''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $w''(t)=0$ setzt und nach $t$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $w'''(t)$ einsetzt.
  4. Berechne die Funktionswerte von $w$ an den Wendestellen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} w''(t)&=& \frac{1}{225}t -\frac{2}{15} \\[10pt] w'''(t)&=& \frac{1}{225} \\[10pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $w''(t)$ mit Null, erhältst du mögliche Wendestellen:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& w''(t) \\[5pt] 0&=&\frac{1}{225}t -\frac{2}{15} &\quad \scriptsize \mid\;+\frac{2}{15}\\[5pt] \frac{2}{15}&=& \frac{1}{225}t&\quad \scriptsize \mid\;\cdot 225 \\[5pt] 30 &=& t \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& w''(t) \\[5pt] &…& \\[5pt] 30 &=& t \\[5pt] \end{array}$
Eine mögliche Wendestelle ist $t_W= 30$.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} w'''(t_W)&=& w'''(30) \\[5pt] &=&\frac{1}{225} \neq 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &&w'''(t_W)\\[5pt] &=& w'''(30) \\[5pt] &=&\frac{1}{225} \neq 0 \end{array}$
Es handelt sich also um eine Wendestelle.
4. Schritt: Funktionswerte berechnen
$\begin{array}[t]{rll} w(t_W)&=& w(30) \\[5pt] &=&\frac{1}{1.350}30^3-\frac{1}{15}30^2+\frac{3}{2}30 \\[5pt] &=&20 - 60 + 45\\[5pt] &=& 5 \end{array}$
$ w(t_W) = w(30) = 5 $
Der Graph von $w$ besitzt also den Wendepunkt $W(30\mid 5)$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Für die erste Ableitungsfunktion $w'$ erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} w(t)&=& \frac{1}{1.350}t^3-\frac{1}{15}t^2+\frac{3}{2}t\\[10pt] w'(t)&=& 3\cdot \frac{1}{1.350}t^2 -2\cdot \frac{1}{15}t+\frac{3}{2} \\[5pt] &=& \frac{1}{450}t^2 - \frac{2}{15}t+\frac{3}{2} \end{array}$
$ w'(t)= …$
Abb. 2: Extrempunkt des Graphen von $w'$
Abb. 2: Extrempunkt des Graphen von $w'$
Abb. 3: Funktionswert berechnen
Abb. 3: Funktionswert berechnen
Der Graph von $W$ besitzt genau einen Wendepunkt. Dieser hat die Koordinaten $W(30\mid 5).$
1.2
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Nullstellen im Sachzusammenhang erläutern
Die Nullstellen von $w$ sind die Stellen, an denen $w(t) = 0$ ist. $w(t)$ beschreibt die Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze zum Zeitpunkt $t$.
Die Nullstellen beschreiben also die Zeitpunkte, zu denen die Pflanze (noch) nicht (bzw. nicht mehr) wächst.
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Wendestellen im Sachzusammenhang erläutern
Die Wendestelle $t_W = 30$ ist die Stelle, an der $w(t)$ am stärksten abnimmt.
Da $w(t)$ die Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze in $t$ Tagen nach Beobachtungsbeginn beschreibt, beschreibt die Wendestelle also den Zeitpunkt nach Beobachtungsbeginn, zu dem die Wachstumsgeschwindigkeit am stärksten abnimmt.
$\blacktriangleright$  Eignung für große Werte beurteilen
Für $t\to +\infty$ gilt auch $w(t)\to+\infty.$ Im Sachzusammenhang würde dies bedeuten, dass die Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze unbegrenzt zunehmen würde und auf $\infty$ zustreben würde. Dies ist in der Realität aber nicht möglich. Die Funktion $w$ ist daher nicht für die Modellierung des Pflanzenwachstums für große Werte von $t$ geeignet, da die Wachstumsgeschwindigkeit einer Pflanze durch äußere Einflüsse wie Nährstoffangebot, Platzangebot oder tierische Fressfeinde begrenzt wird.
1.3
$\blacktriangleright$  Zeitpunkte berechnen
Gesucht sind die Zeitpunkte $t,$ für die $w(t)= 8$ gilt. Lässt du dir den Graphen von $w$ in dem Graphik-Menü deines GTRs anzeigen, kannst du folgenden Befehl verwenden:
Abb. 4: Bestimmung mit dem GTR
Abb. 4: Bestimmung mit dem GTR
$7,8$ und $23,6$ Tage nach Beobachtungsbeginn beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze gemäß der Funktion $w$ ca. $8\,\text{cm/Tag}.$
1.4
$\blacktriangleright$  Gültigkeit der Gleichung zeigen
Du sollst mit Hilfe einer Stammfunktion zeigen, dass folgende Gleichung gilt:
$\dfrac{1}{45-15}\displaystyle\int_{15}^{45}w(t)\;\mathrm dt = w(30)$
$\frac{1}{45-15}\int_{15}^{45}w(t)\;\mathrm dt = w(30)$
Bilde dazu zunächst eine Stammfunktion von $w$. Berechne anschließend die linke Seite der Gleichung mit Hilfe der Stammfunktion und die rechte Seite getrennt.
$\begin{array}[t]{rll} w(t)&=& \frac{1}{1.350}t^3-\frac{1}{15}t^2+\frac{3}{2}t \\[10pt] W_d(t)&=&\frac{1}{4\cdot 1.350}t^4 - \frac{1}{3\cdot 15}t^3+\frac{3}{2\cdot 2}t^2 +d\\[5pt] &=& \frac{1}{5.400}t^4 - \frac{1}{45}t^3+\frac{3}{4}t^2 +d \\[10pt] W(t)&=& \frac{1}{5.400}t^4 - \frac{1}{45}t^3+\frac{3}{4}t^2 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} w(t)&=& \frac{1}{1.350}t^3-… \\[10pt] W_d(t)&=&\frac{1}{5.400}t^4 - …\\[10pt] W(t)&=& \frac{1}{5.400}t^4 - … \\[5pt] \end{array}$
Setze diese Stammfunktion nun ein, um die linke Seite der Gleichung zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{45-15}\displaystyle\int_{15}^{45}w(t)\;\mathrm dt&=&\frac{1}{30}\cdot \left[ \frac{1}{5.400}t^4 - \frac{1}{45}t^3+\frac{3}{4}t^2\right]_{15}^{45} \\[5pt] &=& \frac{1}{30}\cdot \left(\frac{1}{5.400}45^4 - \frac{1}{45}45^3+\frac{3}{4}45^2 - \left( \frac{1}{5.400}15^4 - \frac{1}{45}15^3+\frac{3}{4}15^2\right)\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{30}\cdot \left(\frac{1}{5.400}45^4 - \frac{1}{45}45^3+\frac{3}{4}45^2 - \left( \frac{1}{5.400}15^4 - \frac{1}{45}15^3+\frac{3}{4}15^2\right)\right) \\[5pt] &=& 5 \end{array}$
$ \frac{1}{45-15}\displaystyle\int_{15}^{45}w(t)\;\mathrm dt =5 $
Berechne nun die rechte Seite der Gleichung, um beide Werte miteinander zu vergleichen:
$\begin{array}[t]{rll} w(30)&=&\frac{1}{1.350}30^3-\frac{1}{15}30^2+\frac{3}{2}30 \\[5pt] &=& 5 \\[5pt] \end{array}$
$ w(30) = 5 $
Also gilt insgesamt:
$\frac{1}{45-15}\displaystyle\int_{15}^{45}w(t)\;\mathrm dt = 5 = w(30)$
$\begin{array}[t]{rll} & \frac{1}{45-15}\displaystyle\int_{15}^{45}w(t)\;\mathrm dt\\[5pt] &= 5 \\[5pt] &=w(30) \end{array}$
Somit ist die Gleichung richtig.
$\blacktriangleright$  Gleichung im Sachzusammenhang erläutern
Die linke Seite der Gleichung $\frac{1}{45-15}\int_{15}^{45}w(t)\;\mathrm dt$ beschreibt den durchschnittlichen Funktionswert von $w$ im Intervall $[15;45]$ und damit die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit $15$ bis $45$ Tage nach Beobachtungsbeginn.
Die rechte Seite der Gleichung $w(30)$ beschreibt die momentane Wachstumsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt $30$ Tage nach Beobachtungsbeginn.
Ingesamt gilt also:
Im Zeitraum $15$ bis $45$ Tage nach Beobachtungsbeginn beträgt die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit $5\, \text{cm}$ pro Tag.
$30$ Tage nach Beobachtungsbeginn beträgt die momentane Wachstumsgeschwindigkeit $5\,\text{cm}$/Tag.
Im Zeitraum $15$ bis $45$ Tage nach Beobachtungsbeginn, stimmt die mittlere Wachstumgeschwindigkeit also mit der momentanen Wachstumsgeschwindigkeit $30$ Tage nach Beobachtungsbeginn überein.
2.1
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Zeilen im Sachzusammenhang erläutern
Die Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze wird nun durch die Funktion $v$ beschrieben. Betrachte zunächst beide Zeilen getrennt.
In Zeile $\text{(I)}$ steht $v(15) = 10$.
Da $v(t)$ die momentane Wachstumsgeschwindigkeit $t$ Tage nach Beobachtungsbeginn beschreibt, beträgt die momentane Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze $15$ Tage nach Beobachtungsbeginn also $10\,\text{cm}$/Tag.
In Zeile $\text{(II)}$ steht $v'(15) = 0$ und $v''(15) < 0$
Dies sind die beiden Kriterien für ein lokales Maximum von $v$. $15$ Tage nach Beobachtungsbeginn nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit also ein lokales Maximum an.
2.2
$\blacktriangleright$  Gleichungen nachweisen
Um nachzuweisen, dass die Parameter die Gleichungen erfüllen, setze die Parameterwerte in die Funktionsgleichung ein. Überprüfe anschließend die Gleichungen. Die Ableitung kannst du mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel bestimmen.
Die Funktionsgleichung lautet:
$v(t)= \frac{2\mathrm e}{ 3} \cdot t \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{15}\cdot t}$
Bilde nun die erste Ableitungsfunktion von $v$:
$\begin{array}[t]{rll} v'(t)&=& \frac{2\mathrm e}{3} \cdot t \cdot \left(-\frac{1}{15}\right)\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{15}\cdot t} +\frac{2\mathrm e}{3} \cdot 1 \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{15}\cdot t}\\[5pt] &=& -\frac{2\mathrm e}{45} \cdot t \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{15}\cdot t} +\frac{2\mathrm e}{3} \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{15}\cdot t}\\[5pt] &=& \left( \frac{2\mathrm e}{3} -\frac{2\mathrm e}{45} \cdot t \right)\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{15}\cdot t} \\[10pt] \end{array}$
$v'(t) = \, … $
Berechne nun $v(15)$ und $v'(15)$:
$\begin{array}[t]{rll} v(15)&=& \frac{2\mathrm e}{ 3} \cdot 15 \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{15}\cdot 15} \\[5pt] &=& 10\mathrm e \cdot \mathrm e^{-1} \\[5pt] &=& 10\mathrm e \cdot \mathrm e^{-1} \\[5pt] &=& 10 \\[5pt] v'(15)&=& \left( \frac{2\mathrm e}{3} -\frac{2\mathrm e}{45} \cdot 15 \right)\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{15}\cdot 15} \\[5pt] &=& \left( \frac{2\mathrm e}{3} -\frac{2\mathrm e}{3} \right)\cdot\mathrm e^{-1} \\[5pt] &=& 0\cdot \mathrm e^{-1} \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} v(15)&=& 10 \\[5pt] v'(15)&=& 0 \end{array}$
So hast du gezeigt, dass die Gleichungen durch die Wahl der Parameter erfüllt werden.
3.
$\blacktriangleright$  Länge der Pflanze berechnen
Die Pflanze beginnt bei $t=0$ zu wachsen. Zu diesem Zeitpunkt besitzt sie also noch die Höhe $h = 0\,\text{cm}$. Die Höhe $h(t)$ der Pflanze zum Zeitpunkt $t$ kannst du mit einem Integral über $w$ bzw. $v$ berechnen:
$h_w(t) = \displaystyle\int_{0}^{t}w(t)\;\mathrm dt\quad $ $h_v(t)= \displaystyle\int_{0}^{t}v(t)\;\mathrm dt $
Abb. 5: Berechnung mit dem GTR
Abb. 5: Berechnung mit dem GTR
Nach einer Modellierung der Wachstumsgeschwindigkeit mit der Funktion $w$ wäre die Pflanze nach $45$ Tagen also $253,125 \,\text{cm} \approx 2,53\,\text{m}$ lang, bei einer Modellierung mit der Funktion $v$ ca. $326,54 \,\text{cm} \approx 3,27\,\text{m}.$
$\blacktriangleright$  Funktionen beurteilen
Der Biologe beobachtet bei einer Pflanze, die zum Zeitpunkt $t=0$ zu wachsen beginnt, nach $45$ Tagen eine Länge von $2,5\,\text{m}.$ Bei der Modellierung mit der Funktion $w$ ergibt sich nach $45$ Tagen eine Länge von ca. $2,53\,\text{m}.$ Diese Funktion ist also für die Beschreibung des Wachstums geeignet, da es nur eine geringe Abweichung von ca. $3\,\text{cm}$ gibt.
Bei der Funktion $v$ ergibt sich nach $45$ Tagen eine Länge von ca. $3,27\,\text{m}$. Dies ist eine große Abweichung vom Realwert. Daher ist diese Funktion nicht für die Beschreibung des Wachstums geeignet.
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