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B2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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B2 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Kirchturm in Unterloibach
B2 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Kirchturm in Unterloibach
1.
Die Kanten der Grundfläche des betrachteten Kirchturms sind $6\,\text{m}$ lang, die Höhe des Pyramidendachs beträgt ebenfalls $6\,\text{m}$. Insgesamt ist der Turm $18\,\text{m}$ hoch.
1.1
Zeichne den Kirchturm in das Koordinatensystem im Material und beschrifte die Zeichnung gemäß folgenden Angaben:
Die Eckpunkte der Grundfläche des Kirchturms sollen mit $A$, $B$, $C$ und $D$ bezeichnet werden.
Der Eckpunkt $A$ liegt im Koordinatenursprung. Der Eckpunkt $B$ soll auf der positiven $x$-Achse und der Eckpunkt $D$ auf der positiven $y$-Achse liegen.
Die Eckpunkte des Bodens des Pyramidendachs sollen entsprechend mit $E$, $F$, $G$ und $H$ bezeichnet werden, wobei der Eckpunkt $E$ über dem Eckpunkt $A$ liegt. Die Spitze des Dachs liegt im Punkt $S(3\mid 3\mid 18)$.
Gib die Koordinaten der Eckpunkte $C$ und $F$ des Turms an.
(4 BE)
#pyramide
1.2
Der Kirchturm soll saniert werden. Dazu wird unter anderem das Dach neu eingedeckt.
Berechne den Flächeninhalt der Dachfläche.
(3 BE)
2.
Zur Stabilisierung des Dachs sollen im Dachraum zwei Stützbalken eingezogen werden, deren Dicke bei den folgenden Betrachtungen vernachlässigt wird.
2.1
Der erste Stützbalken soll die Mitte $M(3\mid 0\mid 12)$ der Dachbodenkante $\overline{EF}$ mit der gegenüberliegenden Dachfläche mit den Eckpunkten $G(6\mid6\mid12)$, $H(0\mid6\mid12)$ und $S(3\mid3\mid18)$ verbinden und orthogonal zur Dachfläche $GHS$ verlaufen.
#orthogonal
2.1.1
Gib eine Parameterform der Ebene $E_{GHS}$, in der die Dachfläche mit den Eckpunkten $G$, $H$ und $S$ liegt, an und bestimme eine zugehörige Koordinatengleichung.
[Zur Kontrolle: Eine mögliche Koordinatengleichung lautet $E_{GHS}: \; 2y+z = 24$.]
(5 BE)
#ebenengleichung#parameterform#koordinatenform
2.1.2
Erläutere die Zeilen $\text{(1)}$ bis $\text{(4)}$ im untenstehenden Kasten im Sachzusammenhang.
Gib die fehlende Rechnung in Zeile $\text{(3)}$ an und bestimme das Ergebnis in Zeile $\text{(4)}.$
$\text{(1)}$ $g:\; \overrightarrow{x} = \pmatrix{3\\0\\12}+ r\cdot \pmatrix{0\\2\\1}$
$\text{(2)}$ $4r+12+r= 24 \Leftrightarrow r= \frac{12}{5}$
$\text{(3)}$ $…\, \Rightarrow\, P\left( 3\mid \frac{24}{5}\mid \frac{72}{5}\right)$
$\text{(4)}$ $\left| \pmatrix{0\\ \frac{24}{5} \\ \frac{12}{5}}\right|\; \approx \; … $
$\boldsymbol{\text{(1)}}$
$g:\; \overrightarrow{x} = \pmatrix{3\\0\\12}+ r\cdot \pmatrix{0\\2\\1}$
$\boldsymbol{\text{(2)}}$
$\begin{array}[t]{rll} 4r+12+r&=&24 \\[5pt] \Leftrightarrow r&=& \frac{12}{5} \end{array}$
$\boldsymbol{\text{(3)}}$
$…\, \Rightarrow\, P\left( 3\mid \frac{24}{5}\mid \frac{72}{5}\right)$
$\boldsymbol{\text{(4)}}$
$\left| \pmatrix{0\\ \frac{24}{5} \\ \frac{12}{5}}\right|\; \approx \; … $
(8 BE)
2.2
Der zweite Stützbalken soll den Eckpunkt $H$ des Bodens des Pyramidendachs mit der Dachkante $\overline{FS}$ verbinden und orthogonal zur Dachkante $\overline{FS}$ verlaufen.
Ein Richtungsvektor der Geraden $k$, auf der der zweite Stützbalken liegt, ist $\overrightarrow{u} = \pmatrix{1\\-1\\1}.$
Prüfe, ob sich die beiden Stützbalken schneiden.
(5 BE)
3.
Zum jährlichen Kirchweihfest wird immer ein sogenannter Kirmesbaum aufgestellt, dessen unteres Ende im Punkt $Q(24\mid 4\mid 0)$ befestigt ist. In diesem Jahr ist der Kirmesbaum $10\,\text{m}$ hoch.
Zu einem bestimmten Zeitpunkt fallen die Sonnenstrahlen in Richtung des Vektors $\overrightarrow{v} = \pmatrix{-9\\-1\\-1}$ ein.
Begründe, dass der Schattenpunkt der Kirmesbaumspitze zu diesem Zeitpunkt auf eine Seitenfläche des Turms trifft, und gib die Eckpunkte dieser Seitenfläche sowie die Koordinaten des Schattenpunkts der Kirmesspitze an.
(5 BE)
Material
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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[2]
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$  Kirchturm einzeichnen
Zeichne zunächst die Punkte ein und ergänze anschließend die Kanten.
Beginne mit dem Punkt $A$, dieser liegt im Ursprung. Die Grundfläche besitzt eine Seitenlänge von $6\,\text{m}$. $B$ soll auf der positiven $x$-Achse liegen und muss wegen der Seitenlänge $6$ Einheiten von $A$ entfernt liegen. $D$ muss ebenfalls $6$ Einheiten von $A$ entfernt entlang der positiven $y$-Achse liegen. Ergänze $C$, sodass dieser den Abstand von $6$ Einheiten zu $B$ und $D$ erfüllt und ebenfalls in der $x$-$y$-Ebene liegt.
Gehe genauso für die Bodenfläche des Pyramidendachs vor. Die Spitze $S$ des Dachs kannst du durch die gegebenen Koordinaten eintragen.
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Eckpunkte angeben
$A$ liegt im Koordinatenursprung, $D$ liegt $6$ Einheiten entlang der positiven $y$-Achse entfernt von $A$. Die Grundfläche bildet ein Quadrat. Entsprechend muss $C$ wiederum $6$ Einheiten entlang der positiven $x$-Achse von $D$ entfernt liegen.
Für $F$ kannst du analoge Überlegungen anstellen.
1.2
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt der Dachfläche berechnen
Die Dachfläche setzt sich aus den vier Seitenflächen der Pyramide zusammen. Es handelt sich um eine regelmäßige vierseitige Pyramide. Die vier Seitenflächen sind also gleich groß.
Berechne also beispielsweise den Flächeninhalt der Seitenfläche $EFS$. Den Flächeninhalt eines Dreiecks, das von den Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ aufgespannt wird, kannst du mit Hilfe des Kreuzprodukts berechnen:
$A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot \left| \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|$
$A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot \left| \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|$
2.1.1
$\blacktriangleright$  Parameterform angeben
Gesucht ist eine Parameterform der Ebene $E_{GHS}$. Die Ebene soll die drei Eckpunkte $G$, $H$ und $S$ enthalten. Eine Ebenengleichung in Parameterform hat allgemein folgende Form:
$E:\; \overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + s\cdot \overrightarrow{q} + t\cdot \overrightarrow{r}$
$E:\; \overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + s\cdot \overrightarrow{q} + t\cdot \overrightarrow{r}$
Dabei ist $\overrightarrow{p}$ ein Stützvektor bzw. $P$ ein Stützpunkt. $\overrightarrow{q}$ und $\overrightarrow{r}$ sind Spannvektoren.
Verwende als Stützpunkt einen der drei Punkte $G$, $H$ oder $S$, beispielsweise $G$. Bilde zwei Verbindungsvektoren der drei Punkte und verwende diese als Spannvektoren, beispielsweise $\overrightarrow{GS}$ und $\overrightarrow{GH}$.
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung bestimmen
Eine Koordinatengleichung hat im allgemeinen folgende Form:
$E:\; n_1x +n_2y+n_3z = d$
$E:\; n_1x +n_2y+n_3z = d$
Dabei ist $\overrightarrow{n}$ ein Normalenvektor der Ebene. Einen Normalenvektor kannst du über das Kreuzprodukt zweier Spannvektoren bestimmen. Setze anschließend den Normalenvektor gemeinsam mit den Koordinaten eines Punkts aus der Ebene in die allgemeine Koordinatengleichung ein und berechne so $d$.
2.1.2
$\blacktriangleright$  Zeilen erläutern
Betrachte jede Zeile einzeln und vergleiche sie mit den Ergebnissen aus vorherigen Aufgaben.
$\blacktriangleright$  Fehlende Rechnung angeben
In Zeile $\text{(3)}$ wird der berechnete Parameterwert $r=\frac{12}{5}$ in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Punkts zu berechnen, in dem sich die Gerade und die Ebene, bzw. der Stützbalken und die Dachfläche $GHS$ schneiden. Gib diese Rechnung an.
Berechne die Länge des Stützbalkens über den Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{MP}.$
2.2
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt prüfen
Du sollst überprüfen, ob sich die beiden Stützbalken schneiden. Du kennst bereits die Gleichung der Geraden $g$, auf der der erste Stützbalken liegt. Ein Richtungsvektor der Geraden $k$, auf der der zweite Stützbalken liegt, ist dir in der Aufgabenstellung gegeben. Stelle mit Hilfe des Punkts $H$ als Stützpunkt eine Gleichung für $k$ auf.
Durch Gleichsetzen der beiden Geraden kannst du überprüfen, ob sich die beiden Geraden schneiden.
3.
$\blacktriangleright$  Lage des Schattenpunkts begründen
Bestimme zunächst die Koordinaten der Kirmesbaumspitze und vergleiche diese mit den Koordinaten der Eckpunkte des Kirchturms.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schattenpunkts angeben
Gesucht ist der Punkt, in dem die Gerade, in der die Sonnenstrahlen durch die Baumspitze verlaufen, auf die Vorderseite des Kirchturms trifft.
Bestimme also eine Gleichung der Ebene, in der die Vorderseite des Kirchturm liegt und eine Gleichung der Gerade, in der die Sonnenstrahlen liegen. Bestimme den Schnittpunkt der beiden, indem du die Koordinaten des allgemeinen Geradenpunkts in die Ebenengleichung einsetzt.
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Lösungen TI
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1.1
$\blacktriangleright$  Kirchturm einzeichnen
Zeichne zunächst die Punkte ein und ergänze anschließend die Kanten.
Beginne mit dem Punkt $A$, dieser liegt im Ursprung. Die Grundfläche besitzt eine Seitenlänge von $6\,\text{m}$. $B$ soll auf der positiven $x$-Achse liegen und muss wegen der Seitenlänge $6$ Einheiten von $A$ entfernt liegen. $D$ muss ebenfalls $6$ Einheiten von $A$ entfernt entlang der positiven $y$-Achse liegen. Ergänze $C$, sodass dieser den Abstand von $6$ Einheiten zu $B$ und $D$ erfüllt und ebenfalls in der $x$-$y$-Ebene liegt.
Gehe genauso für die Bodenfläche des Pyramidendachs vor. Die Spitze $S$ des Dachs kannst du durch die gegebenen Koordinaten eintragen. Du erhältst dann folgende Abbildung:
B2 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Kirchturm
B2 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Kirchturm
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Eckpunkte angeben
$A$ liegt im Koordinatenursprung, $D$ liegt $6$ Einheiten entlang der positiven $y$-Achse entfernt von $A$. Die Grundfläche bildet ein Quadrat. Entsprechend muss $C$ wiederum $6$ Einheiten entlang der positiven $x$-Achse von $D$ entfernt liegen.
Für $F$ kannst du analoge Überlegungen anstellen.
Dadurch ergeben sich folgende Koordinaten:
$C(6\mid6\mid 0)\quad $ $F(6\mid 0\mid 12)$
1.2
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt der Dachfläche berechnen
Die Dachfläche setzt sich aus den vier Seitenflächen der Pyramide zusammen. Es handelt sich um eine regelmäßige vierseitige Pyramide. Die vier Seitenflächen sind also gleich groß.
Berechne also beispielsweise den Flächeninhalt der Seitenfläche $EFS$. Den Flächeninhalt eines Dreiecks, das von den Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ aufgespannt wird, kannst du mit Hilfe des Kreuzprodukts berechnen:
$A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot \left| \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|$
$A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot \left| \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|$
Verwende also beispielsweise die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{FE}$ und $\overrightarrow{FS}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{FE} &=&\pmatrix{0\\0\\12} - \pmatrix{6\\0\\12} \\[5pt] &=&\pmatrix{-6\\0\\0} \end{array}$
$ \overrightarrow{FE} = \pmatrix{-6\\0\\0} $
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{FS}&=&\pmatrix{3\\3\\18}- \pmatrix{6\\0\\12} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\3\\6} \end{array}$
$ \overrightarrow{FS} = \pmatrix{-3\\3\\6}$
Für den Flächeninhalt erhältst du nun:
$\begin{array}[t]{rll} A_{EFS}&=& \frac{1}{2} \cdot \left| \overrightarrow{FE}\times \overrightarrow{FS}\right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \left| \pmatrix{-6\\0\\0} \times \pmatrix{-3\\3\\6}\right|\\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \left| \pmatrix{0\cdot 6 -0\cdot 3\\ 0\cdot (-3)- (-6)\cdot 6 \\ -6\cdot 3 -0\cdot (-3)} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \left| \pmatrix{0\\ 36 \\ -18} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \sqrt{0^2+36^2+(-18)^2} \\[5pt] &=&9\cdot \sqrt{5}\\[5pt] \end{array}$
$ A_{EFS} = 9\cdot \sqrt{5} $
Für die gesamte Dachfläche ergibt sich damit:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Dach}}&=& 4\cdot A_{EFS} \\[5pt] &=& 4\cdot 9\cdot \sqrt{5} \\[5pt] &=& 36\sqrt{5} \\[5pt] &\approx& 80,50\\[5pt] \end{array}$
Die Dachfläche besitzt also einen Flächeninhalt von ca. $80,50\,\text{m}^2.$
#kreuzprodukt
2.1.1
$\blacktriangleright$  Parameterform angeben
Gesucht ist eine Parameterform der Ebene $E_{GHS}$. Die Ebene soll die drei Eckpunkte $G$, $H$ und $S$ enthalten. Eine Ebenengleichung in Parameterform hat allgemein folgende Form:
$E:\; \overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + s\cdot \overrightarrow{q} + t\cdot \overrightarrow{r}$
$E:\; \overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + s\cdot \overrightarrow{q} + t\cdot \overrightarrow{r}$
Dabei ist $\overrightarrow{p}$ ein Stützvektor bzw. $P$ ein Stützpunkt. $\overrightarrow{q}$ und $\overrightarrow{r}$ sind Spannvektoren.
Verwende als Stützpunkt einen der drei Punkte $G$, $H$ oder $S$, beispielsweise $G$. Bilde zwei Verbindungsvektoren der drei Punkte und verwende diese als Spannvektoren, beispielsweise $\overrightarrow{GS}$ und $\overrightarrow{GH}$.
$\begin{array}[t]{rll} E_{GHS}:\; \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{g} + s\cdot \overrightarrow{GS} + t\cdot \overrightarrow{GH} \\[5pt] &=& \pmatrix{6\\6\\12} + s\cdot \pmatrix{-3\\-3\\6} +t\cdot \pmatrix{-6\\0\\0} \\[5pt] \end{array}$
$ E_{GHS}:\; \overrightarrow{x} =\; …$
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung bestimmen
Eine Koordinatengleichung hat im allgemeinen folgende Form:
$E:\; n_1x +n_2y+n_3z = d$
$E:\; n_1x +n_2y+n_3z = d$
Dabei ist $\overrightarrow{n}$ ein Normalenvektor der Ebene. Einen Normalenvektor kannst du über das Kreuzprodukt zweier Spannvektoren bestimmen. Setze anschließend den Normalenvektor gemeinsam mit den Koordinaten eines Punkts aus der Ebene in die allgemeine Koordinatengleichung ein und berechne so $d$.
1. Schritt: Normalenvektor bestimmen
Verwende die Spannvektoren, die du oben bestimmt hast.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}_1&=& \overrightarrow{GS}\times \overrightarrow{GH} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\-3\\6} \times \pmatrix{-6\\0\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\cdot 0 - 6\cdot 0\\ 6\cdot (-6) - (-3)\cdot 0\\ (-3)\cdot 0 -(-3)\cdot (-6)}\\[5pt] &=& \pmatrix{0\\ -36 \\ -18} \\[5pt] &=& -18\cdot\pmatrix{0\\2\\1} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{n}_1 = -18\cdot\pmatrix{0\\2\\1} $
2. Schritt: Parameter $\boldsymbol{d}$ bestimmen
Setze den Normalenvektor, sowie die Koordinaten eines Punktes, beispielsweise $G$, in die Ebenengleichung ein. Du kannst dafür den ursprünglichen Normalenvektor oder auch den gekürzten Normalenvektor $\overrightarrow{n} = \pmatrix{0\\2\\1}$ verwenden, da der Faktor $-18$ nur die Länge beeinflusst, nicht aber die Richtung.
$\begin{array}[t]{rll} d&=& n_1x +n_2y+n_3z \\[5pt] &=& 0x +2y+1z \\[5pt] &=& 0\cdot 6 + 2\cdot 6 + 1\cdot 12 \\[5pt] &=& 24 \end{array}$
$ d = 24 $
Eine Gleichung der Ebene $E_{GHS}$ in Koordinatenform lautet demnach:
$E_{GHS}:\; 2\cdot y + z = 24 $
[Hinweis: Hier gibt es mehrere mögliche Lösungen. Wichtig ist, dass deine Ebenengleichung ein Vielfaches des Kontrollergebnisses ist.]
#koordinatenform
2.1.2
$\blacktriangleright$  Zeilen erläutern
Betrachte jede Zeile einzeln und vergleiche sie mit den Ergebnissen aus vorherigen Aufgaben.
$\text{(1)}$Hier ist eine Parametergleichung einer Gerade gegeben. Der Stützpunkt ist der Punkt $M$. Der Richtungsvektor ist ein Normalenvektor der Ebene $E_{GHS},$ verläuft also orthogonal zur Seitenfläche $GHS.$ Laut Aufgabenstellung verläuft einer der Stützbalken vom Punkt $M$ zur Dachfläche $GHS.$
$g$ ist also eine Gleichung der Geraden, die den ersten Stützbalken enthält.
$\text{(2)}$ Hier werden die Koordinaten der allgemeinen Punkte auf der Geraden $g$ in die Koordinatenform der Ebenengleichung von $E_{GHS}$ eingesetzt und die Gleichung nach $r$ aufgelöst.
Es wird also der Parameterwert $r$ berechnet, bei dem sich die Gerade und die Dachebene schneiden.
$\text{(3)}$Wird die Lösung aus Zeile $\text{(2)}$ in die Geradengleichung eingesetzt, erhält man die Koordinaten des Punkts $P$, in dem der Stützbalken die Dachfläche $GHS$ trifft.
$\text{(4)}$ Hier wird der Betrag des Verbindungsvektors von $M$ und $P$ berechnet. Dieser gibt die Länge des Stützbalkens an.
$\boldsymbol{\text{(1)}}$
Hier ist eine Parametergleichung einer Gerade gegeben. Der Stützpunkt ist der Punkt $M$. Der Richtungsvektor ist ein Normalenvektor der Ebene $E_{GHS},$ verläuft also orthogonal zur Seitenfläche $GHS.$ Laut Aufgabenstellung verläuft einer der Stützbalken vom Punkt $M$ zur Dachfläche $GHS.$
$g$ ist also eine Gleichung der Geraden, die den ersten Stützbalken enthält.
$\boldsymbol{\text{(2)}}$
Hier werden die Koordinaten der allgemeinen Punkte auf der Geraden $g$ in die Koordinatenform der Ebenengleichung von $E_{GHS}$ eingesetzt und die Gleichung nach $r$ aufgelöst.
Es wird also der Parameterwert $r$ berechnet, bei dem sich die Gerade und die Dachebene schneiden.
$\boldsymbol{\text{(3)}}$
Wird die Lösung aus Zeile $\text{(2)}$ in die Geradengleichung eingesetzt, erhält man die Koordinaten des Punkts $P$, in dem der Stützbalken die Dachfläche $GHS$ trifft.
$\boldsymbol{\text{(4)}}$
Hier wird der Betrag des Verbindungsvektors von $M$ und $P$ berechnet. Dieser gibt die Länge des Stützbalkens an.
$\blacktriangleright$  Fehlende Rechnung angeben
In Zeile $\text{(3)}$ wird der berechnete Parameterwert $r=\frac{12}{5}$ in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Punkts zu berechnen, in dem sich die Gerade und die Ebene, bzw. der Stützbalken und die Dachfläche $GHS$ schneiden:
$\begin{array}[t]{rll} g:\; \overrightarrow{x}&=& \pmatrix{3\\0\\12} +r\cdot \pmatrix{0\\2\\1} \\[10pt] \overrightarrow{p} &=& \pmatrix{3\\0\\12} +\frac{12}{5}\cdot \pmatrix{0\\2\\1} \\[5pt] &=& \pmatrix{3\\ \frac{24}{5}\\ \frac{72}{5}}\\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{p} = \pmatrix{3\\ \frac{24}{5}\\ \frac{72}{5}} $
Der Stützbalken und die Dachfläche $GHS$ treffen im Punkt $P\left(3\mid \frac{24}{5}\mid \frac{72}{5}\right)$ aufeinander.
Berechne nun die Länge des Stützbalkens über den Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{MP}$:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{MP}\right| &=& \left| \pmatrix{0 \\ \frac{24}{5} \\ \frac{12}{5}}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2 +\left(\frac{24}{5}\right)^2 +\left(\frac{12}{5}\right)^2} \\[5pt] &=& \frac{12}{\sqrt{5}}\\[5pt] &\approx& 5,37 \\[5pt] \end{array}$
$ \left|\overrightarrow{MP}\right| \approx 5,37 $
Der erste Stützbalken ist ca. $5,37\,\text{m}$ lang.
2.2
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt prüfen
Du sollst überprüfen, ob sich die beiden Stützbalken schneiden. Du kennst bereits die Gleichung der Geraden $g$, auf der der erste Stützbalken liegt. Ein Richtungsvektor der Geraden $k$, auf der der zweite Stützbalken liegt, ist dir in der Aufgabenstellung gegeben. Stelle mit Hilfe des Punkts $H$ als Stützpunkt eine Gleichung für $k$ auf.
Durch Gleichsetzen der beiden Geraden kannst du überprüfen, ob sich die beiden Geraden schneiden.
Eine mögliche Gleichung von $k$ lautet:
$k:\; \overrightarrow{x} = \pmatrix{0\\6\\12} + a\cdot \pmatrix{1\\-1\\1} $
Durch Gleichsetzen erhältst du folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{0\\6\\12} + a\cdot \pmatrix{1\\-1\\1}&=& \pmatrix{3\\0\\12}+ r\cdot \pmatrix{0\\2\\1} &\quad \scriptsize \mid\;- \pmatrix{3\\0\\12} \\[5pt] \pmatrix{-3\\6\\0} + a\cdot \pmatrix{1\\-1\\1}&=& r\cdot \pmatrix{0\\2\\1} &\quad \scriptsize \mid\;- a\cdot \pmatrix{1\\-1\\1}\\[5pt] \pmatrix{-3\\6\\0}&=&r\cdot \pmatrix{0\\2\\1}- a\cdot \pmatrix{1\\-1\\1} \end{array}$
$ \pmatrix{-3\\6\\0}=\; … $
Daraus erhältst du folgendes lineares Gleichungssystem in Abhängigkeit von $a$ und $r$:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&-3&=& -a \\ \text{II}\quad&6&=& 2r +a \\ \text{III}\quad&0&=& r-a \\ \end{array}$
Aus der ersten Gleichung kannst du direkt $a = 3$ ablesen. Setze dies in die zweite Gleichung ein, um $r$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad 6&=& 2r +a &\quad \scriptsize \mid\;a =3 \\[5pt] 6&=& 2r +3 &\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] 3&=& 2r &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \frac{3}{2} &=& r \end{array}$
$ r = \frac{3}{2} $
Setze dies in die dritte Gleichung ein und überprüfe, ob diese auch erfüllt wird:
$\begin{array}[t]{rll} \text{III}\quad 0&=& r-a\\[5pt] 0&=& \frac{3}{2} - 3 \\[5pt] 0&=& -\frac{3}{2} \end{array}$
Dies ist ein Widerspruch. Das Gleichungssystem ist also nicht lösbar. Das bedeutet, dass sich die Geraden $g$ und $k$ nicht schneiden. Die beiden Stützbalken schneiden sich also nicht.
3.
$\blacktriangleright$  Lage des Schattenpunkts begründen
Bestimme zunächst die Koordinaten der Kirmesbaumspitze und vergleiche diese mit den Koordinaten der Eckpunkte des Kirchturms.
Die Koordinaten des unteren Endes des Baums sind dir gegeben mit $Q(24\mid 4\mid 0)$. Der Baum ist $10\,\text{m}$ hoch. Also lauten die Koordinaten der Kirmesbaumspitze $R(24\mid 4\mid 10)$.
Betrachtest du die $x$-Koordinate, stellst du fest, dass diese größer als $6$ ist. Zudem ist die $y$-Koordinate kleiner als $6$ und die $z$-Koordinate ist kleiner als $12$. Der Baum steht also vor der Kirche und ist insgesamt kleiner als die Kirche. Die Einträge des Sonnenstrahlenvektors sind negativ. Der Schattenpunkt kann also nur die Vorderseite des Turms treffen. Diese hat die Eckpunkte $BCGF$.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schattenpunkts angeben
Gesucht ist der Punkt, in dem die Gerade, in der die Sonnenstrahlen durch die Baumspitze verlaufen, auf die Vorderseite des Kirchturms trifft.
Bestimme also eine Gleichung der Ebene, in der die Vorderseite des Kirchturm liegt und eine Gleichung der Gerade, in der die Sonnenstrahlen liegen. Bestimme den Schnittpunkt der beiden, indem du die Koordinaten des allgemeinen Geradenpunkts in die Ebenengleichung einsetzt.
1. Schritt: Ebenen- und Geradengleichung aufstellen
Alle Eckpunkte der Vorderseite haben die $x$-Koordinate $6$. Sie liegt also in der Ebene mit der Gleichung $x = 6$.
Bestimme eine Gleichung der Gerade, in deren Richtung die Sonnenstrahlen durch die Baumspitze verlaufen. Verwende dazu den Vektor der Sonnenstrahlen als Richtungsvektor und die Baumspitze $R$ als Stützpunkt:
$g_{\text{Sonne}}: \, \overrightarrow{x} = \pmatrix{24\\4\\10} + s\cdot \pmatrix{-9\\-1\\-1}$
$ g_{\text{Sonne}}: \, \overrightarrow{x} = … $
Die allgemeinen Koordinaten der Punkte auf der Geraden lauten also $P_s(24 -9s \mid 4-s \mid 10- s).$
2. Schritt: Koordinaten des Geradenpunkts einsetzen
Setze in die Ebenengleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} x&=& 6\\[5pt] 24 -9s&=& 6 &\quad \scriptsize \mid\;-24 \\[5pt] -9s&=& -18 &\quad \scriptsize \mid\;:(-9) \\[5pt] s&=& 2 \end{array}$
$ s = 2 $
3. Schritt: Koordinaten berechnen
Setze $s$ in die Geradengleichung ein:
$\overrightarrow{r'} = \pmatrix{24\\4\\10} + 2\cdot \pmatrix{-9\\-1\\-1} = \pmatrix{6\\ 2\\ 8}$
$ \overrightarrow{r'} = \pmatrix{6\\ 2\\ 8} $
Der Schattenpunkt der Kirmesbaumspitze besitzt die Koordinaten $R'(6\mid 2\mid 8).$
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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1.1
$\blacktriangleright$  Kirchturm einzeichnen
Zeichne zunächst die Punkte ein und ergänze anschließend die Kanten.
Beginne mit dem Punkt $A$, dieser liegt im Ursprung. Die Grundfläche besitzt eine Seitenlänge von $6\,\text{m}$. $B$ soll auf der positiven $x$-Achse liegen und muss wegen der Seitenlänge $6$ Einheiten von $A$ entfernt liegen. $D$ muss ebenfalls $6$ Einheiten von $A$ entfernt entlang der positiven $y$-Achse liegen. Ergänze $C$, sodass dieser den Abstand von $6$ Einheiten zu $B$ und $D$ erfüllt und ebenfalls in der $x$-$y$-Ebene liegt.
Gehe genauso für die Bodenfläche des Pyramidendachs vor. Die Spitze $S$ des Dachs kannst du durch die gegebenen Koordinaten eintragen. Du erhältst dann folgende Abbildung:
B2 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Kirchturm
B2 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Kirchturm
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Eckpunkte angeben
$A$ liegt im Koordinatenursprung, $D$ liegt $6$ Einheiten entlang der positiven $y$-Achse entfernt von $A$. Die Grundfläche bildet ein Quadrat. Entsprechend muss $C$ wiederum $6$ Einheiten entlang der positiven $x$-Achse von $D$ entfernt liegen.
Für $F$ kannst du analoge Überlegungen anstellen.
Dadurch ergeben sich folgende Koordinaten:
$C(6\mid6\mid 0)\quad $ $F(6\mid 0\mid 12)$
1.2
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt der Dachfläche berechnen
Die Dachfläche setzt sich aus den vier Seitenflächen der Pyramide zusammen. Es handelt sich um eine regelmäßige vierseitige Pyramide. Die vier Seitenflächen sind also gleich groß.
Berechne also beispielsweise den Flächeninhalt der Seitenfläche $EFS$. Den Flächeninhalt eines Dreiecks, das von den Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ aufgespannt wird, kannst du mit Hilfe des Kreuzprodukts berechnen:
$A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot \left| \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|$
$A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot \left| \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|$
Verwende also beispielsweise die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{FE}$ und $\overrightarrow{FS}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{FE} &=&\pmatrix{0\\0\\12} - \pmatrix{6\\0\\12} \\[5pt] &=&\pmatrix{-6\\0\\0} \end{array}$
$ \overrightarrow{FE} = \pmatrix{-6\\0\\0} $
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{FS}&=&\pmatrix{3\\3\\18}- \pmatrix{6\\0\\12} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\3\\6} \end{array}$
$ \overrightarrow{FS} = \pmatrix{-3\\3\\6}$
Für den Flächeninhalt erhältst du nun:
$\begin{array}[t]{rll} A_{EFS}&=& \frac{1}{2} \cdot \left| \overrightarrow{FE}\times \overrightarrow{FS}\right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \left| \pmatrix{-6\\0\\0} \times \pmatrix{-3\\3\\6}\right|\\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \left| \pmatrix{0\cdot 6 -0\cdot 3\\ 0\cdot (-3)- (-6)\cdot 6 \\ -6\cdot 3 -0\cdot (-3)} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \left| \pmatrix{0\\ 36 \\ -18} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \sqrt{0^2+36^2+(-18)^2} \\[5pt] &=&9\cdot \sqrt{5}\\[5pt] \end{array}$
$ A_{EFS} = 9\cdot \sqrt{5} $
Für die gesamte Dachfläche ergibt sich damit:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Dach}}&=& 4\cdot A_{EFS} \\[5pt] &=& 4\cdot 9\cdot \sqrt{5} \\[5pt] &=& 36\sqrt{5} \\[5pt] &\approx& 80,50\\[5pt] \end{array}$
Die Dachfläche besitzt also einen Flächeninhalt von ca. $80,50\,\text{m}^2.$
#kreuzprodukt
2.1.1
$\blacktriangleright$  Parameterform angeben
Gesucht ist eine Parameterform der Ebene $E_{GHS}$. Die Ebene soll die drei Eckpunkte $G$, $H$ und $S$ enthalten. Eine Ebenengleichung in Parameterform hat allgemein folgende Form:
$E:\; \overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + s\cdot \overrightarrow{q} + t\cdot \overrightarrow{r}$
$E:\; \overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + s\cdot \overrightarrow{q} + t\cdot \overrightarrow{r}$
Dabei ist $\overrightarrow{p}$ ein Stützvektor bzw. $P$ ein Stützpunkt. $\overrightarrow{q}$ und $\overrightarrow{r}$ sind Spannvektoren.
Verwende als Stützpunkt einen der drei Punkte $G$, $H$ oder $S$, beispielsweise $G$. Bilde zwei Verbindungsvektoren der drei Punkte und verwende diese als Spannvektoren, beispielsweise $\overrightarrow{GS}$ und $\overrightarrow{GH}$.
$\begin{array}[t]{rll} E_{GHS}:\; \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{g} + s\cdot \overrightarrow{GS} + t\cdot \overrightarrow{GH} \\[5pt] &=& \pmatrix{6\\6\\12} + s\cdot \pmatrix{-3\\-3\\6} +t\cdot \pmatrix{-6\\0\\0} \\[5pt] \end{array}$
$ E_{GHS}:\; \overrightarrow{x} =\; …$
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung bestimmen
Eine Koordinatengleichung hat im allgemeinen folgende Form:
$E:\; n_1x +n_2y+n_3z = d$
$E:\; n_1x +n_2y+n_3z = d$
Dabei ist $\overrightarrow{n}$ ein Normalenvektor der Ebene. Einen Normalenvektor kannst du über das Kreuzprodukt zweier Spannvektoren bestimmen. Setze anschließend den Normalenvektor gemeinsam mit den Koordinaten eines Punkts aus der Ebene in die allgemeine Koordinatengleichung ein und berechne so $d$.
1. Schritt: Normalenvektor bestimmen
Verwende die Spannvektoren, die du oben bestimmt hast.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}_1&=& \overrightarrow{GS}\times \overrightarrow{GH} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\-3\\6} \times \pmatrix{-6\\0\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\cdot 0 - 6\cdot 0\\ 6\cdot (-6) - (-3)\cdot 0\\ (-3)\cdot 0 -(-3)\cdot (-6)}\\[5pt] &=& \pmatrix{0\\ -36 \\ -18} \\[5pt] &=& -18\cdot\pmatrix{0\\2\\1} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{n}_1 = -18\cdot\pmatrix{0\\2\\1} $
2. Schritt: Parameter $\boldsymbol{d}$ bestimmen
Setze den Normalenvektor, sowie die Koordinaten eines Punktes, beispielsweise $G$, in die Ebenengleichung ein. Du kannst dafür den ursprünglichen Normalenvektor oder auch den gekürzten Normalenvektor $\overrightarrow{n} = \pmatrix{0\\2\\1}$ verwenden, da der Faktor $-18$ nur die Länge beeinflusst, nicht aber die Richtung.
$\begin{array}[t]{rll} d&=& n_1x +n_2y+n_3z \\[5pt] &=& 0x +2y+1z \\[5pt] &=& 0\cdot 6 + 2\cdot 6 + 1\cdot 12 \\[5pt] &=& 24 \end{array}$
$ d = 24 $
Eine Gleichung der Ebene $E_{GHS}$ in Koordinatenform lautet demnach:
$E_{GHS}:\; 2\cdot y + z = 24 $
[Hinweis: Hier gibt es mehrere mögliche Lösungen. Wichtig ist, dass deine Ebenengleichung ein Vielfaches des Kontrollergebnisses ist.]
#koordinatenform
2.1.2
$\blacktriangleright$  Zeilen erläutern
Betrachte jede Zeile einzeln und vergleiche sie mit den Ergebnissen aus vorherigen Aufgaben.
$\text{(1)}$Hier ist eine Parametergleichung einer Gerade gegeben. Der Stützpunkt ist der Punkt $M$. Der Richtungsvektor ist ein Normalenvektor der Ebene $E_{GHS},$ verläuft also orthogonal zur Seitenfläche $GHS.$ Laut Aufgabenstellung verläuft einer der Stützbalken vom Punkt $M$ zur Dachfläche $GHS.$
$g$ ist also eine Gleichung der Geraden, die den ersten Stützbalken enthält.
$\text{(2)}$ Hier werden die Koordinaten der allgemeinen Punkte auf der Geraden $g$ in die Koordinatenform der Ebenengleichung von $E_{GHS}$ eingesetzt und die Gleichung nach $r$ aufgelöst.
Es wird also der Parameterwert $r$ berechnet, bei dem sich die Gerade und die Dachebene schneiden.
$\text{(3)}$Wird die Lösung aus Zeile $\text{(2)}$ in die Geradengleichung eingesetzt, erhält man die Koordinaten des Punkts $P$, in dem der Stützbalken die Dachfläche $GHS$ trifft.
$\text{(4)}$ Hier wird der Betrag des Verbindungsvektors von $M$ und $P$ berechnet. Dieser gibt die Länge des Stützbalkens an.
$\boldsymbol{\text{(1)}}$
Hier ist eine Parametergleichung einer Gerade gegeben. Der Stützpunkt ist der Punkt $M$. Der Richtungsvektor ist ein Normalenvektor der Ebene $E_{GHS},$ verläuft also orthogonal zur Seitenfläche $GHS.$ Laut Aufgabenstellung verläuft einer der Stützbalken vom Punkt $M$ zur Dachfläche $GHS.$
$g$ ist also eine Gleichung der Geraden, die den ersten Stützbalken enthält.
$\boldsymbol{\text{(2)}}$
Hier werden die Koordinaten der allgemeinen Punkte auf der Geraden $g$ in die Koordinatenform der Ebenengleichung von $E_{GHS}$ eingesetzt und die Gleichung nach $r$ aufgelöst.
Es wird also der Parameterwert $r$ berechnet, bei dem sich die Gerade und die Dachebene schneiden.
$\boldsymbol{\text{(3)}}$
Wird die Lösung aus Zeile $\text{(2)}$ in die Geradengleichung eingesetzt, erhält man die Koordinaten des Punkts $P$, in dem der Stützbalken die Dachfläche $GHS$ trifft.
$\boldsymbol{\text{(4)}}$
Hier wird der Betrag des Verbindungsvektors von $M$ und $P$ berechnet. Dieser gibt die Länge des Stützbalkens an.
$\blacktriangleright$  Fehlende Rechnung angeben
In Zeile $\text{(3)}$ wird der berechnete Parameterwert $r=\frac{12}{5}$ in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Punkts zu berechnen, in dem sich die Gerade und die Ebene, bzw. der Stützbalken und die Dachfläche $GHS$ schneiden:
$\begin{array}[t]{rll} g:\; \overrightarrow{x}&=& \pmatrix{3\\0\\12} +r\cdot \pmatrix{0\\2\\1} \\[10pt] \overrightarrow{p} &=& \pmatrix{3\\0\\12} +\frac{12}{5}\cdot \pmatrix{0\\2\\1} \\[5pt] &=& \pmatrix{3\\ \frac{24}{5}\\ \frac{72}{5}}\\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{p} = \pmatrix{3\\ \frac{24}{5}\\ \frac{72}{5}} $
Der Stützbalken und die Dachfläche $GHS$ treffen im Punkt $P\left(3\mid \frac{24}{5}\mid \frac{72}{5}\right)$ aufeinander.
Berechne nun die Länge des Stützbalkens über den Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{MP}$:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{MP}\right| &=& \left| \pmatrix{0 \\ \frac{24}{5} \\ \frac{12}{5}}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2 +\left(\frac{24}{5}\right)^2 +\left(\frac{12}{5}\right)^2} \\[5pt] &=& \frac{12}{\sqrt{5}}\\[5pt] &\approx& 5,37 \\[5pt] \end{array}$
$ \left|\overrightarrow{MP}\right| \approx 5,37 $
Der erste Stützbalken ist ca. $5,37\,\text{m}$ lang.
2.2
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt prüfen
Du sollst überprüfen, ob sich die beiden Stützbalken schneiden. Du kennst bereits die Gleichung der Geraden $g$, auf der der erste Stützbalken liegt. Ein Richtungsvektor der Geraden $k$, auf der der zweite Stützbalken liegt, ist dir in der Aufgabenstellung gegeben. Stelle mit Hilfe des Punkts $H$ als Stützpunkt eine Gleichung für $k$ auf.
Durch Gleichsetzen der beiden Geraden kannst du überprüfen, ob sich die beiden Geraden schneiden.
Eine mögliche Gleichung von $k$ lautet:
$k:\; \overrightarrow{x} = \pmatrix{0\\6\\12} + a\cdot \pmatrix{1\\-1\\1} $
Durch Gleichsetzen erhältst du folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{0\\6\\12} + a\cdot \pmatrix{1\\-1\\1}&=& \pmatrix{3\\0\\12}+ r\cdot \pmatrix{0\\2\\1} &\quad \scriptsize \mid\;- \pmatrix{3\\0\\12} \\[5pt] \pmatrix{-3\\6\\0} + a\cdot \pmatrix{1\\-1\\1}&=& r\cdot \pmatrix{0\\2\\1} &\quad \scriptsize \mid\;- a\cdot \pmatrix{1\\-1\\1}\\[5pt] \pmatrix{-3\\6\\0}&=&r\cdot \pmatrix{0\\2\\1}- a\cdot \pmatrix{1\\-1\\1} \end{array}$
$ \pmatrix{-3\\6\\0}=\; … $
Daraus erhältst du folgendes lineares Gleichungssystem in Abhängigkeit von $a$ und $r$:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&-3&=& -a \\ \text{II}\quad&6&=& 2r +a \\ \text{III}\quad&0&=& r-a \\ \end{array}$
Aus der ersten Gleichung kannst du direkt $a = 3$ ablesen. Setze dies in die zweite Gleichung ein, um $r$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad 6&=& 2r +a &\quad \scriptsize \mid\;a =3 \\[5pt] 6&=& 2r +3 &\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] 3&=& 2r &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \frac{3}{2} &=& r \end{array}$
$ r = \frac{3}{2} $
Setze dies in die dritte Gleichung ein und überprüfe, ob diese auch erfüllt wird:
$\begin{array}[t]{rll} \text{III}\quad 0&=& r-a\\[5pt] 0&=& \frac{3}{2} - 3 \\[5pt] 0&=& -\frac{3}{2} \end{array}$
Dies ist ein Widerspruch. Das Gleichungssystem ist also nicht lösbar. Das bedeutet, dass sich die Geraden $g$ und $k$ nicht schneiden. Die beiden Stützbalken schneiden sich also nicht.
3.
$\blacktriangleright$  Lage des Schattenpunkts begründen
Bestimme zunächst die Koordinaten der Kirmesbaumspitze und vergleiche diese mit den Koordinaten der Eckpunkte des Kirchturms.
Die Koordinaten des unteren Endes des Baums sind dir gegeben mit $Q(24\mid 4\mid 0)$. Der Baum ist $10\,\text{m}$ hoch. Also lauten die Koordinaten der Kirmesbaumspitze $R(24\mid 4\mid 10)$.
Betrachtest du die $x$-Koordinate, stellst du fest, dass diese größer als $6$ ist. Zudem ist die $y$-Koordinate kleiner als $6$ und die $z$-Koordinate ist kleiner als $12$. Der Baum steht also vor der Kirche und ist insgesamt kleiner als die Kirche. Die Einträge des Sonnenstrahlenvektors sind negativ. Der Schattenpunkt kann also nur die Vorderseite des Turms treffen. Diese hat die Eckpunkte $BCGF$.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schattenpunkts angeben
Gesucht ist der Punkt, in dem die Gerade, in der die Sonnenstrahlen durch die Baumspitze verlaufen, auf die Vorderseite des Kirchturms trifft.
Bestimme also eine Gleichung der Ebene, in der die Vorderseite des Kirchturm liegt und eine Gleichung der Gerade, in der die Sonnenstrahlen liegen. Bestimme den Schnittpunkt der beiden, indem du die Koordinaten des allgemeinen Geradenpunkts in die Ebenengleichung einsetzt.
1. Schritt: Ebenen- und Geradengleichung aufstellen
Alle Eckpunkte der Vorderseite haben die $x$-Koordinate $6$. Sie liegt also in der Ebene mit der Gleichung $x = 6$.
Bestimme eine Gleichung der Gerade, in deren Richtung die Sonnenstrahlen durch die Baumspitze verlaufen. Verwende dazu den Vektor der Sonnenstrahlen als Richtungsvektor und die Baumspitze $R$ als Stützpunkt:
$g_{\text{Sonne}}: \, \overrightarrow{x} = \pmatrix{24\\4\\10} + s\cdot \pmatrix{-9\\-1\\-1}$
$ g_{\text{Sonne}}: \, \overrightarrow{x} = … $
Die allgemeinen Koordinaten der Punkte auf der Geraden lauten also $P_s(24 -9s \mid 4-s \mid 10- s).$
2. Schritt: Koordinaten des Geradenpunkts einsetzen
Setze in die Ebenengleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} x&=& 6\\[5pt] 24 -9s&=& 6 &\quad \scriptsize \mid\;-24 \\[5pt] -9s&=& -18 &\quad \scriptsize \mid\;:(-9) \\[5pt] s&=& 2 \end{array}$
$ s = 2 $
3. Schritt: Koordinaten berechnen
Setze $s$ in die Geradengleichung ein:
$\overrightarrow{r'} = \pmatrix{24\\4\\10} + 2\cdot \pmatrix{-9\\-1\\-1} = \pmatrix{6\\ 2\\ 8}$
$ \overrightarrow{r'} = \pmatrix{6\\ 2\\ 8} $
Der Schattenpunkt der Kirmesbaumspitze besitzt die Koordinaten $R'(6\mid 2\mid 8).$
Bildnachweise [nach oben]
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