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A1 - Analysis

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In der nachfolgenden Tabelle sind die Bevölkerungszahlen des afrikanischen Staates Mali von 1966 bis 2016 angegeben. Dabei gilt:
Zeit in Jahren ab dem Jahr 1966
Bevölkerungszahl in Millionen
$t$$ 0$$ 10$$ 20$$30 $$40 $$50 $
$N(t)$$ 5,602$$6,540 $$7,895 $$9,771 $$13,096 $$17,858$
$t$$N(t)$
$0 $$5,602 $
$10 $$6,540 $
$20 $$7,895 $
$30 $$9,771 $
$40 $$13,096 $
$50 $$17,858 $
#wachstum
1
Untersuche rechnerisch (ohne Regression) unter Verwendung aller in der Tabelle angegebenen Bevölkerungszahlen, ob es sich um ein exponentielles Wachstum handelt.
(6 BE)
#exponentielleswachstum
Im Folgenden wird die Entwicklung der Bevölkerungszahlen von Mali (in Millionen) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Jahren ab dem Jahr 1966) jeweils durch die Funktionen $f,$ $g,$ $h,$ $i$ und $j$ beschrieben.
2.1
Berechne unter Verwendung der Wertepaare für die Jahre 1966 und 1996 eine Näherungsfunktion $f$ mit $f(t) = a \cdot \mathrm e^{k\cdot t}$ für die Beschreibung der Entwicklung der Bevölkerungszahlen.
(5 BE)
2.2
Bestimme den Wert des folgenden Terms und erläutere dessen Bedeutung im Sachzusammenhang.
$\left(N(0) - f(0)\right)^2 + \left(N(10) - f(10)\right)^2 + \left(N(20) - f(20)\right)^2 + \left(N(30)-f(30)\right)^2$
$\begin{array}[t]{rll} & \left(N(0) - f(0)\right)^2 \\[5pt] +& \left(N(10) - f(10)\right)^2 \\[5pt] +& \left(N(20) - f(20)\right)^2 \\[5pt] +& \left(N(30)-f(30)\right)^2\\[5pt] \end{array}$
Falls du die Funktion $f$ in Aufgabe 2.1 nicht berechnen konntest, verwende stattdessen die Ersatzfunktion $f_e$ mit $f_e(t) = 5,35 \cdot \mathrm e^{0,02 \cdot t}.$
(6 BE)
3.1
Bestimme unter Verwendung aller Wertepaare aus der Tabelle mittels Regression eine ganzrationale Funktion dritten Grades $i$ mit $i(t) = a \cdot t^3 + b \cdot t^2 + c \cdot t + d$ für die Beschreibung der Entwicklung der Bevölkerungszahlen.
(4 BE)
#regression
3.2
Alternativ kann die Entwicklung der Bevölkerungszahlen durch die Funktion $g$ mit $g(t) = 5,236 \cdot \mathrm e^{0,023 \cdot t}$ bzw. durch die Funktion $h$ mit $h(t) = 5,602 \cdot \mathrm e^{0,013 \cdot t + 0,0002 \cdot t^2}$ beschrieben werden.
Ermittle den Wert des Terms $\frac{1}{50}\displaystyle\int_{0}^{50}\left|g(t)-h(t)\right|\;\mathrm dt.$
Deute diesen Wert im Sachzusammenhang und erläutere hierbei auch die Bedeutung der Betragsstriche innerhalb des Terms.
(7 BE)
#integral
4
Das Bevölkerungswachstum Malis ist auf lange Sicht beschränkt. Das beschränkte Wachstum soll durch die Funktion $j$ mit $j(t) = 30,5 - A \cdot \mathrm e^{- m \cdot t}$ beschrieben werden.
4.1
Erläutere die Bedeutung der beiden hier angegebenen Bedingungsgleichungen zur Ermittlung der Parameter $A$ und $m$ jeweils im Sachzusammenhang.
$h(50) = 30,5 - A \cdot \mathrm e^{- m \cdot 50}$
$h'(50) = ( - m) \cdot \left( - A \cdot \mathrm e^{- m \cdot 50}\right)$
(4 BE)
Im Folgenden seien $A=125,12$ und $m=0,0456$ vorgegeben.
4.2
Ermittle den Grenzwert, gegen den die Bevölkerungszahlen bei Modellierung durch die Funktion $j$ auf lange Sicht streben.
(3 BE)
#grenzwert
4.3
Ermittle für die beiden Funktionen $h$ und $j$ jeweils die Bevölkerungszahl im Jahr 2066 und beurteile die Ergebnisse im Sachzusammenhang.
(5 BE)

Alle Daten sind entnommen aus: http://countrymeters.info/de/Mali (abgerufen am 10.07.2017).
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