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A1 - Analysis

Aufgaben
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In der nachfolgenden Tabelle sind die Bevölkerungszahlen des afrikanischen Staates Mali von 1966 bis 2016 angegeben. Dabei gilt:
Zeit in Jahren ab dem Jahr 1966
Bevölkerungszahl in Millionen
$t$$ 0$$ 10$$ 20$$30 $$40 $$50 $
$N(t)$$ 5,602$$6,540 $$7,895 $$9,771 $$13,096 $$17,858$
$t$$N(t)$
$0 $$5,602 $
$10 $$6,540 $
$20 $$7,895 $
$30 $$9,771 $
$40 $$13,096 $
$50 $$17,858 $
#wachstum
1
Untersuche rechnerisch (ohne Regression) unter Verwendung aller in der Tabelle angegebenen Bevölkerungszahlen, ob es sich um ein exponentielles Wachstum handelt.
(6 BE)
#exponentielleswachstum
Im Folgenden wird die Entwicklung der Bevölkerungszahlen von Mali (in Millionen) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Jahren ab dem Jahr 1966) jeweils durch die Funktionen $f,$ $g,$ $h,$ $i$ und $j$ beschrieben.
2.1
Berechne unter Verwendung der Wertepaare für die Jahre 1966 und 1996 eine Näherungsfunktion $f$ mit $f(t) = a \cdot \mathrm e^{k\cdot t}$ für die Beschreibung der Entwicklung der Bevölkerungszahlen.
(5 BE)
2.2
Bestimme den Wert des folgenden Terms und erläutere dessen Bedeutung im Sachzusammenhang.
$\left(N(0) - f(0)\right)^2 + \left(N(10) - f(10)\right)^2 + \left(N(20) - f(20)\right)^2 + \left(N(30)-f(30)\right)^2$
$\begin{array}[t]{rll} & \left(N(0) - f(0)\right)^2 \\[5pt] +& \left(N(10) - f(10)\right)^2 \\[5pt] +& \left(N(20) - f(20)\right)^2 \\[5pt] +& \left(N(30)-f(30)\right)^2\\[5pt] \end{array}$
Falls du die Funktion $f$ in Aufgabe 2.1 nicht berechnen konntest, verwende stattdessen die Ersatzfunktion $f_e$ mit $f_e(t) = 5,35 \cdot \mathrm e^{0,02 \cdot t}.$
(6 BE)
3.1
Bestimme unter Verwendung aller Wertepaare aus der Tabelle mittels Regression eine ganzrationale Funktion dritten Grades $i$ mit $i(t) = a \cdot t^3 + b \cdot t^2 + c \cdot t + d$ für die Beschreibung der Entwicklung der Bevölkerungszahlen.
(4 BE)
#regression
3.2
Alternativ kann die Entwicklung der Bevölkerungszahlen durch die Funktion $g$ mit $g(t) = 5,236 \cdot \mathrm e^{0,023 \cdot t}$ bzw. durch die Funktion $h$ mit $h(t) = 5,602 \cdot \mathrm e^{0,013 \cdot t + 0,0002 \cdot t^2}$ beschrieben werden.
Ermittle den Wert des Terms $\frac{1}{50}\displaystyle\int_{0}^{50}\left|g(t)-h(t)\right|\;\mathrm dt.$
Deute diesen Wert im Sachzusammenhang und erläutere hierbei auch die Bedeutung der Betragsstriche innerhalb des Terms.
(7 BE)
#integral
4
Das Bevölkerungswachstum Malis ist auf lange Sicht beschränkt. Das beschränkte Wachstum soll durch die Funktion $j$ mit $j(t) = 30,5 - A \cdot \mathrm e^{- m \cdot t}$ beschrieben werden.
4.1
Erläutere die Bedeutung der beiden hier angegebenen Bedingungsgleichungen zur Ermittlung der Parameter $A$ und $m$ jeweils im Sachzusammenhang.
$h(50) = 30,5 - A \cdot \mathrm e^{- m \cdot 50}$
$h'(50) = ( - m) \cdot \left( - A \cdot \mathrm e^{- m \cdot 50}\right)$
(4 BE)
Im Folgenden seien $A=125,12$ und $m=0,0456$ vorgegeben.
4.2
Ermittle den Grenzwert, gegen den die Bevölkerungszahlen bei Modellierung durch die Funktion $j$ auf lange Sicht streben.
(3 BE)
#grenzwert
4.3
Ermittle für die beiden Funktionen $h$ und $j$ jeweils die Bevölkerungszahl im Jahr 2066 und beurteile die Ergebnisse im Sachzusammenhang.
(5 BE)

Alle Daten sind entnommen aus: http://countrymeters.info/de/Mali (abgerufen am 10.07.2017).
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1
$\blacktriangleright$  Exponentielles Wachstum untersuchenA1 - Analysis
Um exponentielles Wachstum handelt es sich, wenn sich die Bevölkerungszahl in gleichen zeitlichen Abständen um denselben Faktor verändert.
Überprüfe also die Faktoren zwischen den jeweiligen Zeitsprüngen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{N(10)}{N(0)}&=& \dfrac{6,540}{5,602} \\[5pt] &\approx& 1,167 \\[10pt] \dfrac{N(20)}{N(10)}&=& \dfrac{7,895}{6,540} \\[5pt] &\approx& 1,207 \\[10pt] \dfrac{N(30)}{N(20)}&=& \dfrac{9,771}{7,895} \\[5pt] &\approx& 1,238 \\[10pt] \dfrac{N(40)}{N(30)}&=& \dfrac{13,096}{9,771} \\[5pt] &\approx& 1,340 \\[10pt] \dfrac{N(50)}{N(40)}&=& \dfrac{17,858}{13,096} \\[5pt] &\approx& 1,364 \\[10pt] \end{array}$
Im Abstand von $10$ Jahren wächst die Bevölkerungszahl immer um einen ähnlichen Faktor, wenn dieser auch ansteigt, zwischen $1,1$ und $1,4.$ Man kann also näherungsweise von einem exponentiellen Wachstum ausgehen.
2.1
$\blacktriangleright$  Näherungsfunktion bestimmen
Bei einer Funktion zum exponentiellen Wachstum der Form $f(t)= a\cdot \mathrm e^{k\cdot t}$ entspricht $a$ dem Startwert, also dem Bestand zum Zeitpunkt $t=0.$ Du kannst also $a = N(0) = 5,602$ setzen.
Für den Parameter $k$ forme den Funktionsterm zunächst um:
$f(t)= a\cdot \mathrm e^{k\cdot t} = a\cdot \left(\mathrm e^{k}\right)^t$
Um den Wachstumsfaktor $\mathrm e^k$ zu bestimmen, verwende die Quotienten, die du in Aufgabe 1 bereits berechnet hast. Beachte, dass diese jeweils über 10 Jahre gebildet wurden. Für den jeweiligen durchschnittlichen Wachstumsfaktor musst du also noch die zehnte Wurzel verwenden.
Bilde den Mittelwert aus diesen einzelnen Wachstumsfaktoren, beachte den Zeitraum von 1966 bis 1996:
$\dfrac{\sqrt[10]{1,167}+\sqrt[10]{1,207}+\sqrt[10]{1,238}}{3} \approx 1,019$
$\frac{\sqrt[10]{1,167}+\sqrt[10]{1,207}+\sqrt[10]{1,238}}{3} \approx 1,019$
Es soll also gelten:
$\begin{array}[t]{rll} \mathrm e^k&=&1,019&\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] k&\approx& 0,019 \end{array}$
Eine mögliche Näherungsfunktion für die Beschreibung der Entwicklung der Bevölkerungszahlen ist also $f$ mit $f(t)= 5,602\cdot \mathrm e^{0,019\cdot t}.$
#mittelwert
2.2
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} & \left(N(0) - f(0)\right)^2 + \left(N(10) - f(10)\right)^2 + \left(N(20) - f(20)\right)^2 + \left(N(30)-f(30)\right)^2 \\[5pt] =& \left(5,602 - 5,602\cdot \mathrm e^{0,019\cdot 0}\right)^2 + \left(6,540-5,602\cdot \mathrm e^{0,019\cdot 10}\right)^2\\[5pt] & +\left(7,895-5,602\cdot \mathrm e^{0,019\cdot 20}\right)^2 + \left(9,771-5,602\cdot \mathrm e^{0,019\cdot 30}\right)^2 \\[5pt] \approx& 0,161 \\[5pt] \end{array}$
$ …\approx 0,161 $
Der Term gibt die Summe der quadratischen Abweichungen zwischen den tatsächlichen Bevölkerungszahlen und denen vom Modell berechneten Zahlen im Zeitraum von 1966 bis 1996 an.
In Summe weicht das Modell in diesem Zeitraum also im Quadrat um $0,161$ von den tatsächlichen Werten der Jahre 1966, 1976, 1986 und 1996 ab.
3.1
$\blacktriangleright$  Funktion durch Regression bestimmen
$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS
Über folgenden Befehl gelangst du in das Listen-Menü, in dem du die Wertepaare als Tabelle eintragen kannst:
stat $\to$ 1: Edit
stat $\to$ 1: Edit
Trage die $t$-Werte in L1 und die $N(t)$-Werte in L2 ein. Anschließend kannst du die kubische Regression durchführen:
stat $\to$ CALC $\to$ 6: CubicReg
stat $\to$ CALC $\to$ 6: CubicReg
Du erhältst folgendes Ergebnis:
$\begin{array}[t]{rll} a&\approx& 7,3\cdot 10^{-5} \\[5pt] b&\approx& -6,5 \cdot 10^{-4} \\[5pt] c&\approx& 0,1 \\[5pt] d&\approx& 5,6 \\[5pt] \end{array}$
Mittels kubischer Regression erhält man also folgende Funktion für die Beschreibung der Entwicklung der Bevölkerungszahlen:
$i(t)= 7,3\cdot 10^{-5}\cdot t^3 - 6,5 \cdot 10^{-4}\cdot t^2 + 0,1\cdot t +5,6$
$ i(t)=… $
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
Trage die Wertepaare im Tabellenkalkulationsmenü ein. Anschließend kannst du die kubische Regression mit folgendem Befehl durchführen:
F2: CALC $\to$ F3: REG $\to$ F4: $X^3$
F2: CALC $\to$ F3: REG $\to$ F4: $X^3$
Du erhältst folgendes Ergebnis:
$\begin{array}[t]{rll} a&\approx& 8,6\cdot 10^{-5} \\[5pt] b&\approx& -1,4 \cdot 10^{-3} \\[5pt] c&\approx& 0,1 \\[5pt] d&\approx& 5,6 \\[5pt] \end{array}$
Mittels kubischer Regression erhält man also folgende Funktion für die Beschreibung der Entwicklung der Bevölkerungszahlen:
$i(t)= 8,6\cdot 10^{-5}\cdot t^3-1,4 \cdot 10^{-3}\cdot t^2 + 0,1\cdot t +5,6$
$ i(t)=… $
3.2
$\blacktriangleright$  Wert des Terms ermitteln
Den Wert des Terms kannst du mit deinem GTR ermitteln, indem du dir den Graphen der Funktion $k(t)= \left|g(t)-h(t) \right|$ im Bereich $0\leq t \leq 50$ anzeigen lässt.
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$
Die Betragsstriche findest du unter:
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
OPTN $\to$ F5: NUMERIC $\to$ F1: Abs
OPTN $\to$ F5: NUMERIC $\to$ F1: Abs
Du erhältst:
$\frac{1}{50}\displaystyle\int_{0}^{50}\left|g(t)-h(t)\right|\;\mathrm dt\approx \frac{1}{50}\cdot 17,49 = 0,3498$
$ \approx 0,3498 $
$\blacktriangleright$  Term im Sachzusammenhang deuten
$g$ und $h$ sind zwei Funktionen, die zur Beschreibung der Entwicklung der Bevölkerungszahlen in Mali verwendet werden können.
Die Funktion $k$ mit $k(t)= \left|g(t)-h(t) \right|$ beschreibt die Differenz der Funktionswerte von $g$ und $h.$
Durch die Betragsstriche ist dabei irrelevant, welcher der beiden Funktionswerte größer ist, ob die Abweichung also positiv oder negativ ist.
Diese positiven Differenzen werden durch das Integral für $0\leq t \leq 50$ summiert und anschließend durch die Länge des Intervalls geteilt.
Insgesamt gibt der Wert also an, dass die beiden von den Modellen berechneten Bevölkerungszahlen für Mali von 1966 bis 2016 im Schnitt um ca. $0,3498$ voneinander abweichen.
#mittelwertvonfunktionen
4.1
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Bedingungen erläutern
  • $h(50)= 30,5-A\cdot \mathrm e^{-m\cdot 50}$
    $h(50)= 30,5-A\cdot \mathrm e^{-m\cdot 50}$
    Der Funktionswert $j(50)$ wird mit $h(50)$ gleichgesetzt. Die Bevölkerungszahl im Jahr 2016 bei der Modellierung mit $j$ soll also der Bevölkerungszahl in diesem Jahr bei der Modellierung mit $h$ entsprechen.
  • $h'(50)= (-m)\cdot\left(-A\cdot\mathrm e^{-m\cdot 50} \right)$
    $h'(50)= (-m)\cdot\left(-A\cdot\mathrm e^{-m\cdot 50} \right)$
    Die ersten Ableitungsfunktionen $j'$ und $h'$ beschreiben die Änderungsrate der Bevölkerungszahl bei der jeweils zugehörigen Modellierung mit den Funktionen $j$ und $h.$
    $h'(50)$ wird mit $j'(50)$ gleichgesetzt. Die Änderungsrate der Bevölkerungszahl im Jahr 2016 soll bei beiden Modellierungen also gleich sein.
#änderungsrate
4.2
$\blacktriangleright$  Grenzwert ermitteln
$\lim\limits_{t\to\infty}j(t) = \lim\limits_{t\to\infty} \left(30,5-125,12\cdot \underbrace{\mathrm e^{\underbrace{-0,0456\cdot t}_{\to -\infty}}}_{\to 0} \right) = 30,5 $
$ …=30,5 $
Auf lange Sicht strebt die Bevölkerungszahl in Mali bei Modellierung durch die Funktion $j$ gegen $30,5$ Millionen.
4.3
$\blacktriangleright$  Bevölkerungszahlen ermitteln
Das Jahr 2066 entspricht in der Modellierung $t=100.$
$\begin{array}[t]{rll} h(100)&=& 5,602\cdot \mathrm e^{0,013\cdot 100 +0,0002\cdot 100^2} \\[5pt] &\approx& 151,89 \\[10pt] j(100)&=& 30,5-125,12\cdot \mathrm e^{-0,0456\cdot 100} \\[5pt] &=& 29,19 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h(100)&\approx& 151,89 \\[10pt] j(100)&=& 29,19 \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Bevölkerungszahlen im Sachzusammenhang beurteilen
Bei der Modellierung mit der Funktion $h$ würde die Bevölkerungszahl innerhalb von einhundert Jahren von $5,602$ Millionen auf über $150$ Millionen anwachsen. Dies wäre das dreißigfache der ursprünglichen Bevölkerung. Dies ist wohl kaum realistisch, da allein schon der Platz vermutlich nicht genügen würde. Es würden vermutlich Krankheiten oder Nahrumgsknappheit ausbrechen, sodass die Bevölkerung letztendlich doch wieder schrumpft.
Bei der Modellierung mit der Funktion $j$ verfünffacht sich die Bevölkerungszahl lediglich innerhalb von einhundert Jahren. Dies entspricht immer noch einem rapiden Wachstum, ist aber schon deutlich realistischer.
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