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Aufgaben
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Während einer schulischen Projektwoche werden Modelle von Heißluftballons aus dünnem Papier gefertigt. Um das Flugverhalten der Heißluftballons zu untersuchen, werden die Ballons mit heißer Luft gefüllt und dann losgelassen (Material 1).
1
Eine Ballonhülle (Material 2) besteht aus sechs zueinander kongruenten, miteinander verklebten Teilen. Ein Ballonhüllenteil ist in Material 3 abgebildet. Es ist achsensymmetrisch zur $x$-Achse und $1,35\,\text{m}$ lang. Seine obere Randkurve wird für $0\leq x \leq 0,6$ durch den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x) = 0,6x^3 − 1,5x^2+ 0,98x$ beschrieben (alle Angaben in $\text{m}$). Der weitere Verlauf des Graphen von $f$ ist für $x \geq 0,6$ gestrichelt dargestellt.
Für $0,6 \leq x \leq 1,35$ wird die obere Randkurve durch die Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $A(0,6\mid f(0,6))$ beschrieben.
1.1
Berechne die maximale Breite eines Ballonhüllenteils.
Hinweis: Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.
(6 BE)
1.2
Berechne die Funktionsgleichung der Tangente $t.$
(5 BE)
#tangente
Verwende im Folgenden für die Tangente $t$ die Funktionsgleichung $t(x)= -0,17x+0,28.$
1.3
Berechne den Flächeninhalt $A$ eines Ballonhüllenteils.
[Zur Kontrolle: $A = 0,347055\,\text{m}^2$]
(8 BE)
1.4
Die gesamte Ballonhülle soll insgesamt höchstens $50\,\text{g}$ wiegen. Zum Verkleben der sechs Ballonhüllenteile werden für die gesamte Ballonhülle insgesamt $10\,\text{g}$ Klebstoff benötigt.
Berechne, wie viel Gramm pro $\text{m}^2$ das Papier höchstens wiegen darf.
(5 BE)
2
Es werden drei verschiedene Ballonfahrten durchgeführt. Der Ballon wird jeweils zum Zeitpunkt $t = 0$ in einem Meter Höhe über dem ebenen Boden losgelassen. Die Funktionen $h_1,$ $h_2$ und $h_3$ geben jeweils an, in welcher Höhe (in $\text{m}$) über dem Boden sich der Ballon zur Zeit $t$ (in Sekunden nach Beginn der Messung) befindet. Mithilfe einer Filmaufnahme wird untersucht, mit welcher Geschwindigkeit $v$ (in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$) der Ballon zunächst aufsteigt und anschließend wieder absinkt. Zur Modellierung werden die drei Funktionen $v_1,$ $v_2$ und $v_3$ verwendet. Die Funktionen $v_1,$ $v_2$ und $v_3$ sind die jeweiligen ersten Ableitungen der Funktionen $h_1,$ $h_2$ und $h_3.$
2.1
In Material 4 ist der Graph von $v_1$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ für $0 \leq t \leq 10$ dargestellt. Erläutere anhand der Eigenschaften des Graphen von $v_1$ den Verlauf des zugehörigen Graphen von $h_1.$ Gehe dabei auf das Monotonieverhalten und mögliche Extremwerte des Graphen von $h_1$ innerhalb des betrachteten Intervalls ein.
(7 BE)
#monotonie#extrempunkt
2.2
In Material 5 ist der Graph der Funktion $v_2$ mit
$v_2(t)= − 0,041t^3 + 0,684t^2− 3,8t + 6,68$
$v_2(t)=$ $− 0,041t^3 + 0,684t^2− 3,8t + 6,68$
für $0 \leq t \leq 10$ dargestellt. Bestimme die Höhe des Ballons über dem Boden zum Zeitpunkt $t = 6.$
(4 BE)
2.3
Für die dritte Ballonfahrt gelten die folgenden Bedingungen:
(1)
$h_3(0)=1$
(2)
$\displaystyle\int_{0}^{10}v_3(t)\;\mathrm dt = -1$
Beschreibe jeweils die Bedeutung der Bedingungen (1) und (2) im Sachzusammenhang. Erläutere, was sich aus den Bedingungen (1) und (2) für die Höhe des Ballons zum Zeitpunkt $t = 10$ folgern lässt.
(5 BE)
#integral
Material 2
Material 3
Material 5
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Maximale Breite eines Teils berechnen
Bestimme zunächst das Maximum von $f$ im angegebenen Intervall $0\leq x \leq 0,6.$
1. Schritt: Ableitung bilden
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0,6x^3-1,5x^2+0,98x \\[10pt] f'(x)&=& 1,8x^2-3x+0,98 \end{array}$
$ f'(x)=1,8x^2-3x+0,98 $
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 0 \\[5pt] 1,8x^2-3x+0,98&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; abc\text{-Formel}\\[5pt] x_{1/2}&=&\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2 -4\cdot 1,8\cdot 0,98}}{2\cdot 1,8} \\[5pt] &=& \dfrac{3\pm \sqrt{(1,944}}{3,6} \\[5pt] x_1&=& \dfrac{3- \sqrt{(1,944}}{3,6} \\[5pt] &\approx& 0,45 \\[10pt] x_2&=&\dfrac{3- \sqrt{(1,944}}{3,6} \\[5pt] &\approx& 1,22 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&\approx& 0,45 \\[10pt] x_2&\approx& 1,22 \\[5pt] \end{array}$
Die einzige Lösung im betrachteten Bereich ist $x\approx 0,45.$ Da laut Aufgabenstellung die Überprüfung des hinreichenden Kriteriums nicht notwendig ist, befindet sich die breiteste Stelle des Ballonhüllenteils im Modell also an der Stelle $x\approx 0,45.$
3. Schritt: Maximale Breite berechnen
$b= 2\cdot f(0,45) = 2\cdot \left(0,6\cdot 0,45^3 -1,5\cdot 0,45^2 +0,98\cdot 0,45\right)\approx 0,38$
$ b \approx 0,38 $
Die maximale Breite eines Ballonhüllenteils beträgt ca. $0,38\,\text{m}.$
#extrempunkt
1.2
$\blacktriangleright$  Tangentengleichung berechnen
Die Gleichung der Tangente lautet allgemein: $t: \quad y = m\cdot x +b.$
Die Steigung $m$ der Tangente entspricht der Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $A(0,6\mid f(0,6)):$
$m= f'(0,6) = 1,8\cdot 0,6^2 -3\cdot 0,6+0,98=-0,172 $
$ m= -0,172 $
Die $y$-Koordinate von $A$ ist:
$f(0,6)=0,6\cdot 0,6^3-1,5\cdot 0,6^2+0,98\cdot 0,6 = 0,1776$
$ f(0,6)=0,1776 $
Eine Punktprobe liefert:
$\begin{array}[t]{rll} t:\quad y&=& -0,172x +b &\quad \scriptsize \mid\; A(0,6\mid 0,1776) \\[5pt] 0,1776&=& -0,172\cdot 0,6 + b \\[5pt] 0,1776&=& -0,1032+b &\quad \scriptsize \mid\;+0,1032 \\[5pt] 0,2808&=& b \end{array}$
$ b=0,2808 $
Die Funktionsgleichung der Tangente lautet also:
$t: \, y = -0,172x + 0,2808$
1.3
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Die Fläche des Ballonhüllenteils setzt sich aus zwei Teilflächen zusammen:
  • Die Fläche, deren Umriss vom Graphen von $f$ für $0\leq x \leq 0,6$ beschrieben wird. Deren Inhalt kann mithilfe eines Integrals berechnet werden.
  • Die Fläche, deren Umriss durch die Tangente $t$ für $0,6\leq 1,35$ beschrieben wird. Hierbei handelt es sich um ein Trapez.
1. Schritt: Flächeninhalt der ersten Teilfläche berechnen
Die Teilfläche ist achsensymmetrisch zur $x$-Achse. Der Flächeninhalt der oberen Hälfte kann mithilfe eines Integrals über $f$ berechnet werden und anschließend mit $2$ multipiziert werden.
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& 2\cdot \displaystyle\int_{0}^{0,6}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& 2\cdot \displaystyle\int_{0}^{0,6}\left(0,6x^3-1,5x^2+0,98x \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& 2\cdot \left[0,15x^4 -0,5x^3+0,49x^2 \right]_0^{0,6} \\[5pt] &=& 2\cdot \left(0,15\cdot 0,6^4 -0,5\cdot 0,6^3+0,49\cdot 0,6^2 - \left(0,15\cdot 0^4 -0,5\cdot 0^3+0,49\cdot 0^2 \right)\right) \\[5pt] &=& 0,17568 \end{array}$
$ A_1= 0,17568$
2. Schritt: Flächeninhalt der zweiten Teilfläche berechnen
Bei der zweiten Teilfläche handelt es sich um ein zur $x$-Achse symmetrisches Trapez. Die Höhe des Trapezes ist $h = 1,35-0,6 = 0,75.$ Die Längen der beiden parallelen Seiten sind:
$a= 2\cdot t(0,6) = 2\cdot \left( -0,17\cdot 0,6 +0,28\right) = 0,356$
$ a= 0,356$
$c = 2\cdot t(1,35) =2\cdot \left( -0,17\cdot 1,35 +0,28\right) = 0,101$
$ c=0,101 $
Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A_2&=& \frac{1}{2}\cdot (a+c)\cdot h \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot (0,356 + 0,101)\cdot 0,75 \\[5pt] &=& 0,171375 \\[5pt] \end{array}$
$ A_2= 0,171375 $
3. Schritt: Gesamtflächeninhalt berechnen
$A=0,17568 + 0,171375 = 0,347055 $
$ A= 0,347055$
Der Flächeninhalt eines Ballonhüllenteils beträgt $0,347055\,\text{m}^2.$
#integral#trapez
1.4
$\blacktriangleright$  Maximales Gewicht des Papiers berechnen
Der Gesamtflächeninhalt der Ballonhülle ergibt sich zu:
$6\cdot A = 6\cdot 0,347055 = 2,08233$
$ 6\cdot A = 2,08233 $
Da $10\,\text{g}$ des Gewichts für den Klebstoff benötigt werden, darf das Papier noch $40\,\text{g}$ wiegen.
$\dfrac{40\,\text{g}}{2,08233\,\text{m}^2} \approx 19,21 \,\dfrac{\text{g}}{\text{m}^2}$
$ …\approx 19,21 \,\frac{\text{g}}{\text{m}^2} $
Das Papier darf maximal $19,21 \,\dfrac{\text{g}}{\text{m}^2}$ wiegen.
2.1
$\blacktriangleright$  Verlauf des Graphen erläutern
Der Graph von $v_1$ verläuft für $0\leq x < 5,7$ zunächst oberhalb der $x$-Achse. Die Funktionswerte von $v_1$ sind in diesem Bereich also positiv. Da $v_1$ als erste Ableitung von $h_1$ die Steigung des Graphen von $h_1$ beschreibt, ist $h_1$ daher für $0\leq x < 5,7$ streng monoton steigend.
Anschließend besitzt $v_1$ an der Stelle $x=5,7$ eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ. An dieser Stelle besitzt der Graph von $h_1$ also einen Hochpunkt. Der Graph von $v_1$ schließt in dem Intervall $[0;5,7]$ mit den Koordinatenachsen eine Fläche mit einer ungefähren Größe von $9\,\text{m}^2$ ein. In der Zeit bis zum Hochpunkt steigt der Graph von $h_1$ also um ca. $9$ Einheiten. Da der Ballon in einer Höhe von $1\,\text{m}$ startet, ist $h_1(0)=1.$ Ein mögliches Maximum, das $h_1$ im Hochpunkt annimmt, ist also ungefähr $h_1(5,7)\approx 10.$
Anschließend verläuft der Graph von $v_1$ für $5,7< x \leq 10$ unterhalb der $x$-Achse. In diesem Bereich fällt der Graph von $h_1$ also streng monoton.
2.2
$\blacktriangleright$  Höhe des Ballons bestimmen
Die Geschwindigkeit des Ballons wird durch die Funktion $v_2$ beschrieben. Die Höhe, die der Ballon zum Zeitpunkt $t$ hat, wird daher durch die Stammfunktion $h_2$ von $v_2$ beschrieben, für die $h_2(0)=1$ gilt, da sich der Ballon zu Beginn in einer Höhe von $1\,\text{m}$ befindet.
Mit den Integrationsregeln folgt für die Stammfunktionen von $v_2:$
$h_2(t)= -0,01025t^4 + 0,228t^3 -1,9t^2+6,68t + c$
$ h_2(t)=… $
$c$ muss so bestimmt werden, dass $h_2(0)=1$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} h_2(0)&=& 1 \\[5pt] -0,01025\cdot 0^4 + 0,228\cdot 0^3 -1,9\cdot 0^2+6,68\cdot0 + c&=& 1 \\[5pt] c&=& 1 \end{array}$
$ c=1 $
Die Höhe des Ballons zum Zeitpunkt $t$ kann daher mit folgender Funktionsgleichung beschrieben werden:
$h_2(t)= -0,01025t^4 + 0,228t^3 -1,9t^2+6,68t + 1$
$ h_2(t)=… $
Einsetzen von $t=6$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} h_2(6)&=& -0,01025\cdot 6^4 + 0,228\cdot 6^3 -1,9\cdot 6^2+6,68\cdot 6 + 1 \\[5pt] &=& 8,644 \\[5pt] \end{array}$
$ h_2(6)=8,644 $
Zu Zeitpunkt $t=6$ befindet sich der Ballon also $8,644\,\text{m}$ über dem Boden.
2.3
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Bedingungen im Sachzusammenhang beschreiben
(1)
Die Funktion $h_3$ beschreibt die Höhe des Ballons über dem Boden zum Zeitpunkt $t.$ $h_3(0)=1$ bedeutet also, dass der Ballon zum Startzeitpunkt eine Höhe von $1\,\text{m}$ hat.
(2)
$v_3$ beschreibt die Geschwindigkeit, mit der der Ballon steigt bzw. sinkt. Das Integral $\int_{0}^{10}v_3(t)\;\mathrm dt$ beschreibt also die Summe der gewonnenen bzw. verlorenen Höhe. Die Bedingung $\int_{0}^{10}v_3(t)\;\mathrm dt = -1$ bedeutet also, dass der Ballon in den ersten zehn Sekunden insgesamt um einen Meter an Höhe verliert. Er befindet sich nach zehn Sekunden also einen Meter tiefer über dem Boden als beim Start.
Da der Ballon beim Start also $1\,\text{m}$ über dem Boden ist und bis zum Zeitpunkt $t=10$ um einen Meter an Höhe verliert, befindet er sich zum Zeitpunkt $t=10,$ also zehn Sekunden nach dem Start, in einer Höhe von $1-1 =0$ Metern über dem Boden, also kommt er bei $t=10$ auf dem Boden auf.
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