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A1 - Analysis

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In einem Labor wird die Wirksamkeit eines neuen Mittels gegen die Ausbreitung von Stechmücken untersucht.
1
Bei einem ersten Laborversuch beschreibt die Funktion $N$ mit $N(t) = 150\cdot \mathrm e^{0,25t}$ ($t$ in Tagen) modellhaft die Entwicklung einer Population von Stechmücken innerhalb der ersten acht Tage nach Beobachtungsbeginn. $N(t)$ ist ide Anzahl der Stechmücken zum Zeitpunkt $t,$ die Beobachtung beginnt zum Zeitpunkt $t=0.$
1.1
Berechne die Populationsgröße zum Zeitpunkt $6$ Tage nach Beobachtungsbeginn sowie die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit der Population während der ersten sechs Tage.
(4 BE)
1.2
Berechne den Zeitpunkt, zu dem die Population die Anzahl von $1.500$ Stechmücken erreicht.
(3 BE)
1.3
Bestätige durch Rechnung, dass für die Funktion $N$ auch die Funktionsvorschrift $N(t)= 150\cdot 1,284^t$ verwendet werden kann, und erläutere den Wert $1,284$ aus dem Funktionsterm im Sachzusammenhang.
(4 BE)
2
Bei einer zweiten Population von Stechmücken wird im Labor unter sonst gleichen Bedingungen von Beginn an ein neues Mittel eingesetzt, mit dem die Ausbreitung der Stechmücken bekämpft werden soll. Die Entwicklung der Population kann nun für geeignete Werte von $t\in \mathbb{R}$ modellhaft durch die Funktion $S$ mit $S(t)=160\cdot \mathrm e^{0,25t}-10\cdot \mathrm e^{0,5t}$ ($t$ in Tagen) beschrieben werden. $S(t)$ ist die Anzahl der Stechmücken zum Zeitpunkt $t,$ die Beobachtung beginnt auch hier wieder zum Zeitpunkt $t=0.$
2.1
Im Material sind die Graphen der Funktion $S$ und der Funktion $N$ aus Aufgabe 1 dargestellt. Beschrifte die Skalierung der Koordinatenachsen mit ganzzahligen Werten und beschreibe kurz deine Vorgehensweise.
(4 BE)
2.2
Vergleiche den Verlauf und das Steigungsverhalten beider Kurven im Sachzusammenhang und deute dein Ergebnis.
(6 BE)
2.3
Berechne den Zeitpunkt, zu dem die Population am größten ist, und bestimme die maximale Populationsgröße.
Hinweis: Die zweite Ableitung $S′′(t) = 10\cdot \mathrm e^{0,25t} – 2,5\cdot \mathrm e^{0,5t}$ kann ohne Nachweis verwendet werden.
(6 BE)
2.4
Unter den Laborbedingungen sticht jede der Stechmücken im Durchschnitt dreimal pro Tag.
Berechne den Ausdruck $3\cdot \displaystyle\int_{0}^{7}S(t)\;\mathrm dt$ und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.
(6 BE)
#integral
3
Die Wirkung des Mittels kann durch Veränderung der Dosierung beeinflusst werden. Im mathematischen Modell wird diese Dosierung durch den zusätzlichen Parameter $k \geq 0$ in der Funktionsgleichung ausgedrückt. Die Gleichung der zugehörigen Funktionenschar $S_k$ lautet:
$S_k(t) =10\cdot \mathrm e^{0,25t} \cdot \left(16 – \mathrm e^{0,25kt}\right)$ ($t$ in Tagen)
$S_k(t)$ ist die Anzahl der Stechmücken zum Zeitpunkt $t,$ die Beobachtung beginnt auch hier wieder zum Zeitpunkt $t = 0.$
#funktionenschar
3.1
Die Funktionen $N$ aus Aufgabe 1 und $S$ aus Aufgabe 2 gehören zur Funktionenschar $S_k.$
Gib für beide Funktionen jeweils den entsprechenden Wert für $k$ an.
(2 BE)
3.2
Der Dosierungsparameter $k$ soll einerseits aus Umweltschutzgründen niedrig gehalten werden, wobei Parameterwerte $k< 1,5$ noch als unbedenklich gelten. Andererseits soll $k$ aber so groß gewählt werden, dass die Mückenpopulation in der obigen Laborsituation bei sonst gleichbleibenden Bedingungen nach spätestens $8$ Tagen ausgestorben ist.
Prüfe, ob es einen Wert für $k$ gibt, der diesen Vorgaben entspricht.
(5 BE)
Material
Stechmückenpopulation
Abb. 1: Graphen der Funktionen $N$ und $S$
Stechmückenpopulation
Abb. 1: Graphen der Funktionen $N$ und $S$
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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