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A1 - Analysis

Aufgaben
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In einem Labor wird die Wirksamkeit eines neuen Mittels gegen die Ausbreitung von Stechmücken untersucht.
1
Bei einem ersten Laborversuch beschreibt die Funktion $N$ mit $N(t) = 150\cdot \mathrm e^{0,25t}$ ($t$ in Tagen) modellhaft die Entwicklung einer Population von Stechmücken innerhalb der ersten acht Tage nach Beobachtungsbeginn. $N(t)$ ist ide Anzahl der Stechmücken zum Zeitpunkt $t,$ die Beobachtung beginnt zum Zeitpunkt $t=0.$
1.1
Berechne die Populationsgröße zum Zeitpunkt $6$ Tage nach Beobachtungsbeginn sowie die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit der Population während der ersten sechs Tage.
(4 BE)
1.2
Berechne den Zeitpunkt, zu dem die Population die Anzahl von $1.500$ Stechmücken erreicht.
(3 BE)
1.3
Bestätige durch Rechnung, dass für die Funktion $N$ auch die Funktionsvorschrift $N(t)= 150\cdot 1,284^t$ verwendet werden kann, und erläutere den Wert $1,284$ aus dem Funktionsterm im Sachzusammenhang.
(4 BE)
2
Bei einer zweiten Population von Stechmücken wird im Labor unter sonst gleichen Bedingungen von Beginn an ein neues Mittel eingesetzt, mit dem die Ausbreitung der Stechmücken bekämpft werden soll. Die Entwicklung der Population kann nun für geeignete Werte von $t\in \mathbb{R}$ modellhaft durch die Funktion $S$ mit $S(t)=160\cdot \mathrm e^{0,25t}-10\cdot \mathrm e^{0,5t}$ ($t$ in Tagen) beschrieben werden. $S(t)$ ist die Anzahl der Stechmücken zum Zeitpunkt $t,$ die Beobachtung beginnt auch hier wieder zum Zeitpunkt $t=0.$
2.1
Im Material sind die Graphen der Funktion $S$ und der Funktion $N$ aus Aufgabe 1 dargestellt. Beschrifte die Skalierung der Koordinatenachsen mit ganzzahligen Werten und beschreibe kurz deine Vorgehensweise.
(4 BE)
2.2
Vergleiche den Verlauf und das Steigungsverhalten beider Kurven im Sachzusammenhang und deute dein Ergebnis.
(6 BE)
2.3
Berechne den Zeitpunkt, zu dem die Population am größten ist, und bestimme die maximale Populationsgröße.
Hinweis: Die zweite Ableitung $S′′(t) = 10\cdot \mathrm e^{0,25t} – 2,5\cdot \mathrm e^{0,5t}$ kann ohne Nachweis verwendet werden.
(6 BE)
2.4
Unter den Laborbedingungen sticht jede der Stechmücken im Durchschnitt dreimal pro Tag.
Berechne den Ausdruck $3\cdot \displaystyle\int_{0}^{7}S(t)\;\mathrm dt$ und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.
(6 BE)
#integral
3
Die Wirkung des Mittels kann durch Veränderung der Dosierung beeinflusst werden. Im mathematischen Modell wird diese Dosierung durch den zusätzlichen Parameter $k \geq 0$ in der Funktionsgleichung ausgedrückt. Die Gleichung der zugehörigen Funktionenschar $S_k$ lautet:
$S_k(t) =10\cdot \mathrm e^{0,25t} \cdot \left(16 – \mathrm e^{0,25kt}\right)$ ($t$ in Tagen)
$S_k(t)$ ist die Anzahl der Stechmücken zum Zeitpunkt $t,$ die Beobachtung beginnt auch hier wieder zum Zeitpunkt $t = 0.$
#funktionenschar
3.1
Die Funktionen $N$ aus Aufgabe 1 und $S$ aus Aufgabe 2 gehören zur Funktionenschar $S_k.$
Gib für beide Funktionen jeweils den entsprechenden Wert für $k$ an.
(2 BE)
3.2
Der Dosierungsparameter $k$ soll einerseits aus Umweltschutzgründen niedrig gehalten werden, wobei Parameterwerte $k< 1,5$ noch als unbedenklich gelten. Andererseits soll $k$ aber so groß gewählt werden, dass die Mückenpopulation in der obigen Laborsituation bei sonst gleichbleibenden Bedingungen nach spätestens $8$ Tagen ausgestorben ist.
Prüfe, ob es einen Wert für $k$ gibt, der diesen Vorgaben entspricht.
(5 BE)
Material
Stechmückenpopulation
Abb. 1: Graphen der Funktionen $N$ und $S$
Stechmückenpopulation
Abb. 1: Graphen der Funktionen $N$ und $S$
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Populationsgröße berechnen
$\begin{array}[t]{rll} N(6)&=& 150\cdot \mathrm e^{0,25\cdot 6} \\[5pt] &\approx& 672 \end{array}$
$6$ Tage nach Beobachtungsbeginn besteht die Population aus ca. $672$ Mücken.
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit berechnen
Berechne zunächst die Populationsgröße zum Zeitpunkt des Beobachtungsbeginns:
$N(0)= 150\cdot \mathrm e^{0,25\cdot 0} = 150$
In sechs Tagen ist die Population also um $672 - 150 = 522$ Mücken gewachsen. Die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit beträgt also:
$\dfrac{522\,\text{Mücken}}{6\,\text{Tage}}= 87\,\text{Mücken pro Tag}$
$\dfrac{522\,\text{Mücken}}{6\,\text{Tage}}= 87\,\text{Mücken pro Tag}$
1.2
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt berechnen
$\begin{array}[t]{rll} N(t)&=& 1.500 \\[5pt] 150\cdot \mathrm e^{0,25t}&=& 1.500 &\quad \scriptsize \mid\;:150 \\[5pt] \mathrm e^{0,25t}&=& 10 &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] 0,25t&=& \ln 10 &\quad \scriptsize \mid\;:0,25 \\[5pt] t&=& 4\cdot\ln 10 \\[5pt] &\approx& 9,21 \end{array}$
$ t\approx 9,21 $
Am zehnten Tag erreicht die Population eine Anzahl von $1.500$ Stechmücken.
1.3
$\blacktriangleright$  Alternative Funktionsvorschrift bestätigen
$\begin{array}[t]{rll} N(t)&=& 150\cdot \mathrm e^{0,25t} \\[5pt] &=& 150\cdot \left(\mathrm e^{0,25}\right)^t \\[5pt] &\approx& 150\cdot 1,284^t \end{array}$
$\blacktriangleright$  Wert im Sachzusammenhang erläutern
Der zweite Funktionsterm entspricht dem eines exponentiellen Wachstums. Darin ist der Wert $1,284$ der Wachstumsfaktor, mit dem die Population täglich wächst. Die Population wächst also jeden Tag um $28,4\,\%.$
#potenzgesetze
2.1
$\blacktriangleright$  Koordinatensystem beschriften
Für die Beschriftung der $y$-Achse kann die Anfangsgröße der Population aus Aufgabe 1 verwendet werden. Diese beträgt $150.$ Die Stelle, an der der Graph von $N$ die $y$-Achse schneidet muss also $150$ entsprechen. Dementsprechend sind die beiden benachbarten Striche mit $100$ und $200$ zu beschriften. Jede Einheit entspricht also $100.$
Für die $t$-Achse kann man analog vorgehen, indem man beispielsweise zuerst die Nullstelle der Funktion $S$ bestimmt:
$\begin{array}[t]{rll} S(t)&=& 0 \\[5pt] 160\cdot \mathrm e^{0,25t} -10\cdot \mathrm e^{0,5t}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm e^{0,25t}\neq 0 \\[5pt] 160 - 10\cdot \mathrm e^{0,25t}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+ 10\cdot \mathrm e^{0,25t} \\[5pt] 160&=& 10\cdot \mathrm e^{0,25t} &\quad \scriptsize \mid\;:10 \\[5pt] 16&=& \mathrm e^{0,25t} &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] \ln 16&=& 0,25t &\quad \scriptsize \mid\; :0,25 \\[5pt] 4\cdot \ln 16&=& t \\[5pt] 11,09 &\approx&t \end{array}$
$ t\approx 11,09 $
Die Beschriftungen auf der $t$-Achse müssen also jeweils in zweier Schritten erfolgen.
Beschriftung
Abb. 1: Beschriftung des Koordinatensystems
Beschriftung
Abb. 1: Beschriftung des Koordinatensystems
2.2
$\blacktriangleright$  Kurven vergleichen
Der Graph von $N$ steigt von Beginn an immer schneller an. Der Graph von $S$ steigt zwar zu Beginn auch mit immer stärkerer Steigung an, beginnt dann aber ab ca. $t\approx 6$ an die Steigung zu verlangsamen, bis der Hochpunkt bei ca. $t\approx 9$ erreicht ist. Danach fällt der Graph von $S$ sehr stark, bis er schließlich bei $t\approx 11$ die $t$-Achse schneidet.
Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass die Population, deren Größe durch $N$ beschrieben wird unendlich wächst. Die Population, deren Größe durch $S$ beschrieben wird, wächst dagegen zu Beginn bereits weniger stark an, und nimmt nach ihrem Hochpunkt am neunten Tag sehr stark ab, bis sie schließlich nach $11$ Tagen ausstirbt.
2.3
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt und maximale Populationsgröße bestimmen
1. Schritt: Ableitung bilden
Mit der Kettenregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} S(t)&=& 160\cdot \mathrm e^{0,25t}-10\cdot \mathrm e^{0,5t} \\[10pt] S'(t)&=& 160\cdot 0,25\cdot \mathrm e^{0,25t}-10\cdot 0,5\cdot \mathrm e^{0,5t} \\[5pt] &=& 40\cdot \mathrm e^{0,25t}-5\cdot \mathrm e^{0,5t} \\[5pt] \end{array}$
$ S'(t)=… $
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Für eine lokale Extremstelle $t_E$ muss das notwendige Kriterium $S'(t_E) = 0$ erfüllt sein.
$\begin{array}[t]{rll} S'(t)&=& 0 \\[5pt] 40\cdot \mathrm e^{0,25t}-5\cdot \mathrm e^{0,5t}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^{0,25t}\neq 0 \\[5pt] 40-5\cdot \mathrm e^{0,25t} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:+5\cdot \mathrm e^{0,25t} \\[5pt] 40&=& 5\cdot \mathrm e^{0,25t} &\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] 8&=& \mathrm e^{0,25t} &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] \ln 8 &=& 0,25t &\quad \scriptsize \mid\;:0,25 \\[5pt] 4\cdot \ln 8 &=& t \\[5pt] \end{array}$
$ t = 4\cdot \ln 8$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Mit der zweiten Ableitungsfunktion aus dem Hinweis der Aufgabenstellung folgt:
$\begin{array}[t]{rll} S''(4\cdot \ln 8 )&=& 10\cdot \mathrm e^{0,25\cdot 4\cdot \ln 8 } - 2,5\cdot \mathrm e^{0,5\cdot 4\cdot \ln 8 } \\[5pt] &=& 10\cdot \mathrm e^{ \ln 8 } - 2,5\cdot \mathrm e^{2\cdot \ln 8 } \\[5pt] &=&10\cdot \mathrm e^{ \ln 8 } - 2,5\cdot \mathrm e^{ \ln 8^2 }\\[5pt] &=& 10\cdot 8 - 2,5\cdot 8^2 \\[5pt] &=& -80 \end{array}$
$ S''(4\cdot \ln 8 ) = -80 $
Da die zweite Ableitung an der Stelle $t=4\cdot \ln 8$ einen negativen Wert annimmt, handelt es sich bei dieser Stelle um eine lokale Maximalstelle.
4. Schritt: Maximum bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} S(4\cdot \ln 8)&=& 160\cdot \mathrm e^{0,25\cdot 4\cdot \ln 8}-10\cdot \mathrm e^{0,5\cdot 4\cdot \ln 8} \\[5pt] &=& 160\cdot 8-10\cdot 64 \\[5pt] &=& 640 \\[5pt] \end{array}$
$ S(4\cdot \ln 8) = 640 $
Zu Beginn ist die Population mit $150$ Mücken kleiner, bei $t\approx 11$ ist die Population ausgestorben. Andere lokale Extrema gibt es nicht. Das Maximum muss also zum Zeitpunkt $t= 4\cdot \ln 8 \approx 8,3$ mit $640$ angenommen werden. Zum Zeitpunkt ca. $8,3$ Tage nach Beobachtungsbeginn hat die Population mit $640$ Mücken ihre maximale Größe erreicht.
#extrempunkt#kettenregel
2.4
$\blacktriangleright$  Ausdruck berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot \displaystyle\int_{0}^{7}S(t)\;\mathrm dt&=& 3\cdot \displaystyle\int_{0}^{7}\left(160\cdot \mathrm e^{0,25t}-10\cdot \mathrm e^{0,5t} \right)\;\mathrm dt \\[5pt] &=&3\cdot \left[640\cdot \mathrm e^{0,25t}-20\cdot \mathrm e^{0,5t} \right]_0^7 \\[5pt] &=& 3\cdot \left(640\cdot \mathrm e^{0,25\cdot 7}-20\cdot \mathrm e^{0,5\cdot 7} - \left( 640\cdot \mathrm e^{0,25\cdot 0}-20\cdot \mathrm e^{0,5\cdot 0}\right) \right) \\[5pt] &=& 3\cdot \left(640\cdot \mathrm e^{1,75}-20\cdot \mathrm e^{3,5} - 620 \right) \\[5pt] &=& 1.920\cdot \mathrm e^{1,75} -60\cdot \mathrm e^{3,5}-1.860 \\[5pt] &\approx& 7.202 \end{array}$
$ 3\cdot \displaystyle\int_{0}^{7}S(t)\;\mathrm dt \approx 7.202 $
$\blacktriangleright$  Ergebnis im Sachzusammenhang deuten
In den ersten sieben Tagen nach Beobachtungsbeginn gibt es in der Mückenpopulation, deren Größe durch $S$ beschrieben wird, ca. $7.202$ Mückenstiche.
3.1
$\blacktriangleright$  Parameterwerte angeben
Forme zunächst den Funktionsterm von $S_k$ um:
$\begin{array}[t]{rll} S_k(t)&=& 10\cdot \mathrm e^{0,25t}\cdot \left( 16-\mathrm e^{0,25kt}\right) \\[5pt] &=&160\cdot \mathrm e^{0,25t}-10\mathrm e^{0,25kt+0,25t} \\[5pt] \end{array}$
$ S_k(t)=… $
Für $k=1$ entspricht $S_k(t)$ dem Funktionsterm von $S,$ für $k=0$ dem von $N:$
$\begin{array}[t]{rll} S_0(t)&=& 160\cdot \mathrm e^{0,25t}-10\mathrm e^{0,25\cdot 0\cdot t+0,25t} \\[5pt] &=& 160\cdot \mathrm e^{0,25t}-10\mathrm e^{0,25t} \\[5pt] &=& 150\cdot \mathrm e^{0,25t} \\[5pt] &=& N(t) \\[10pt] S_1(t)&=& 160\cdot \mathrm e^{0,25t}-10\mathrm e^{0,25\cdot 1\cdot t+0,25t} \\[5pt] &=& 160\cdot \mathrm e^{0,25t}-10\mathrm e^{0,5t} \\[5pt] &=& S(t) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} S_0(t)&=& N(t) \\[10pt] S_1(t)&=& S(t) \end{array}$
3.2
$\blacktriangleright$  Parameterwert überprüfen
Nach spätestens $8$ Tagen soll die Population ausgestorben sein. Es soll also $S_k(8)\leq 0$ sein.
$\begin{array}[t]{rll} S_k(8)&\leq& 0 \\[5pt] 10\cdot \mathrm e^{0,25\cdot 8} \cdot \left( 16-\mathrm e^{0,25\cdot k\cdot 8}\right)&\leq& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:10\cdot \mathrm e^{0,25\cdot 8} \neq 0 \\[5pt] 16-\mathrm e^{0,25\cdot k\cdot 8}&\leq& 0 \\[5pt] 16-\mathrm e^{2k}&\leq& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +\mathrm e^{2k}\\[5pt] 16&\leq& \mathrm e^{2k}&\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] \ln 16&=& 2k &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] 0,5\cdot \ln 16&\leq& k \\[5pt] 1,39&\leq& k \end{array}$
$ 1,39\leq k $
Damit die Population nach spätestens $8$ Tagen ausgestorben ist, muss $k\geq 1,39$ sein. Alle Werte $1,39 \leq k <1,5$ erfüllen also die Vorgaben.
Bildnachweise [nach oben]
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