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A1 - Analysis

Aufgaben
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Um im Alltag leistungsfähiger zu sein, greifen inzwischen viele Menschen zu Koffein in unterschiedlichen Verabreichungsformen. Bei einer Studie wurde herausgefunden, dass ein Maß für die Koffeinmenge im Blut in Abhängigkeit von der Zeit nach der Einnahme einer bestimmten Koffeinmenge durch die Funktionenschar
$f_{a,b}(t) = 0,05 \cdot a \cdot \mathrm e^{-\frac{2 \cdot t}{b}}\cdot (t - 20),$ $t \geq 20,$ $a, b > 0$
gut modelliert werden kann. Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten nach der Einnahme, $a$ ein Maß für die eingenommene Koffeinmenge und $b$ eine Konstante, die aufgrund der Verabreichungsart zugeordnet wird. $f_{a,b}(t)$ ist ein Maß für die Menge des Koffeins im Blut.
#funktionenschar
1
In Material 1 ist der Graph der zur eingenommenen Koffeinmenge $a = 60$ und der Verabreichungskonstante $b = 150$ (Einnahme als Tablette) zugehörigen Funktion $f_{60, 150}$ und in Material 2 deren Ableitungsgraph abgebildet.
1.1
Begründe durch drei unterschiedliche Argumente, dass der in Material 2 abgebildete Graph die Ableitung der Funktion darstellt, deren Graph in Material 1 gegeben ist.
(3 BE)
#ableitung
1.2
Beschreibe den zeitlichen Verlauf der Koffeinmenge im Blut nach der Einnahme des Koffeins. Begründe, warum die Einschränkung $t \geq 20$ für die Modellierung sinnvoll ist.
(4 BE)
1.3
Berechne den Zeitpunkt der maximalen Koffeinmenge im Blut. Bestimme den Zeitpunkt, an dem die Abnahme der Koffeinmenge im Blut maximal ist. Die Überprüfung der notwendigen Bedingung ist jeweils ausreichend.
(8 BE)
2.1
In Material 3 wird die Ermittlung der Stammfunktionen von $f_{60, 150}$ durch eine bestimmte Integrationsmethode angedeutet. Gib die Integrationsmethode an und berechne die Stammfunktionen von $f_{60, 150}.$
(5 BE)
#stammfunktion
2.2
Nachdem Konsumenten der Tabletten vermehrt über Unwohlsein geklagt haben, wurde bei einer weiteren Studie festgestellt, dass der Inhalt der Fläche, die der Graph von $f_{60, 150}$ mit dem Graphen der Funktion $g$ mit $g(t) = 50$ einschließt, ein Maß für die Gesundheitsgefährdung darstellt. Ist dieser Wert größer als $750,$ können bei täglichem Konsum gesundheitliche Schäden auftreten.
Entscheide, ob bei Verabreichung in Tablettenform $(b = 150)$ mit jeweils einer eingenommenen Koffeinmenge von $a = 60$ bei täglichem Konsum gesundheitliche Schäden auftreten können.
(7 BE)
3
Zeige, dass jeder Graph der Funktionenschar $f_{a,b}$ genau einen Hochpunkt besitzt. Bestimme die Funktionsgleichung der Funktion, auf deren Graph die Hochpunkte aller Graphen der Funktionenschar $f_{a,b}$ liegen (Ortskurve), und begründe damit, dass die Verabreichungsart keinen Einfluss auf den Verlauf der Ortskurve hat.
(7 BE)
#extrempunkt#ortslinie
4
Eine Person hat ein Koffeinzäpfchen mit unbekannter Koffeinmenge ausprobiert (Verabreichungskonstante $b = 200$). Kurz nach der Einnahme stellen sich gesundheitliche Probleme ein und die Person wird in ein Krankenhaus eingeliefert. Bei vier Blutentnahmen bei der Person wird das Maß für die Koffeinmenge im Blut $y(t)$ jeweils in stündlichen Abständen nach der Einnahme bestimmt und in folgender Tabelle festgehalten:
$t$$60 $$120 $$180$$240 $
$y(t)$$ 100$$150 $$130 $$100 $
$t$$y(t)$
$60 $$ 100 $
$120 $$ 150 $
$ 180$$ 130 $
$240 $$ 100 $
Für die weitere Behandlung der Person ist es wichtig, das Maß für die eingenommene Koffeinmenge $a$ so genau wie möglich zu kennen. Dafür bestimmt man das Minimum der Funktion $q$ mit
$q(a) = \left(f_{a,200}(60) - 100\right)^2 + \left(f_{a,200}(120) - 150\right)^2 + \left(f_{a,200}(180) - 130\right)^2 + \left(f_{a,200}(240) - 100\right)^2.$
$ q(a) = … $
Erkläre den Ansatz und bestimme den gesuchten Wert von $a.$ Hinweis: Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.
(6 BE)
Material 1
Material 2
Material 3
$\displaystyle\int_{}^{}3(t-20)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{75}\cdot t}\;\mathrm dt = (3t-60)\cdot (-75)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{75}\cdot t} - \displaystyle\int_{}^{}3\cdot(-75)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{75}\cdot t}\;\mathrm dt$
$ \displaystyle\int_{}^{}3(t-20)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{75}\cdot t}\;\mathrm dt = … $
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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1.1
$\blacktriangleright$  Ableitung begründen A1 - Analysis
Betrachte beispielsweise Kriterien wie Monotonie, Hoch- und Wendepunkte im Hinblick auf graphisches Ableiten.
  • Der Graph in Material 1 besitzt bei $t\approx 90$ einen Hochpunkt. Dies bedeutet, dass die zugehörige Ableitung an dieser Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ besitzen muss. Dies ist bei dem Graphen in Material 2 erfüllt.
  • Der Graph in Material 1 besitzt bei $t\approx 160$ einen Wendepunkt, indem der Graph von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung wechselt. Der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion muss an dieser Stelle also einen Tiefpunkt besitzen. Diese Bedingung erfüllt der Graph in Material 2.
  • Die in Material 1 dargestellte Funktion ist im Bereich von $t\approx 20$ bis zum Hochpunkt streng monoton steigend, der Graph nähert sich anschließend streng monoton fallend der $x$-Achse als Asymptote an. Da die erste Ableitungsfunktion die Steigung des Graphen beschreibt, muss der zugehörige Ableitungsgraph entsprechend erst oberhalb der $x$-Achse verlaufen, dann an der Stelle $t\approx 90$ das Vorzeichen wechseln und anschließend unterhalb der $x$-Achse verlaufen und sich dieser ebenfalls asymptotisch annähern. Dies erfüllt der Graph in Material 2 ebenfalls.
Insgesamt kann der Graph in Material 2 also die Ableitung des Graphen in Material 1 beschreiben.
#wendepunkt#extrempunkt#ableitung#monotonie
1.2
$\blacktriangleright$  Zeitlichen Verlauf beschreiben
$20$ Minuten nach der Einnahme beginnt der Koffeingehalt im Blut extrem schnell zu steigen, bis sie ca. $90$ Minuten nach der Einnahme ihr Maximum erreicht hat. Danach nimmt die Koffeinmenge erst relativ schnell ab bis sie etwa $160$ Minuten nach Einnahme den Zeitpunkt erreicht, zu dem sie am schnellsten abnimmt. Anschließend beginnt sie langsamer abzunehmen, nimmt aber immer weiter ab und nähert sich asymptotisch immer weiter dem Wert Null an.
$\blacktriangleright$  Einschränkung begründen
Im Zeitraum $0\leq t \leq 20,$ also in den ersten zwanzig Minuten nach Einnahme, verläuft der Graph in Material 1 offensichtlich unterhalb der $x$-Achse, die Koffeinmenge im Blut wäre also negativ. Dies ergibt im Sachzusammenhang keinen Sinn, da es keine negativen Werte geben kann und es auch erst sinnvoll ist den Koffeingehalt zu messen und zu betrachten, wenn eine signifikante Menge im Blut vorhanden ist.
1.3
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt der maximalen Koffeinmenge berechnen
1. Schritt: Ableitungsfunktion bilden
Verwende die Produkt- und die Kettenregel:
$\begin{array}[t]{rll} f_{60,150}(t) &=& 0,05\cdot 60 \cdot \mathrm e^{-\frac{2\cdot t}{150}}\cdot (t-20) \\[5pt] &=& 3 \cdot \mathrm e^{-\frac{t}{75}}\cdot (t-20) \\[10pt] f_{60,150}'(t)&=& 3 \cdot \mathrm e^{-\frac{t}{75}}\cdot 1 + 3 \cdot \left(-\frac{1}{75}\right)\cdot \mathrm e^{-\frac{t}{75}}\cdot (t-20) \\[5pt] &=& 3 \cdot \mathrm e^{-\frac{t}{75}} \cdot \left(1- \frac{1}{75}(t-20)\right) \\[5pt] &=& 3 \cdot \mathrm e^{-\frac{t}{75}} \cdot \left(\frac{95}{75} - \frac{1}{75}t\right) \\[5pt] \end{array}$
$ f_{60,150}'(t)=… $
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f_{60,150}'(t) &=& 0 \\[5pt] 3 \cdot \mathrm e^{-\frac{t}{75}} \cdot \left(\frac{95}{75} - \frac{1}{75}t\right) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\left( 3 \cdot \mathrm e^{-\frac{t}{75}}\right) \neq 0 \\[5pt] \frac{95}{75} - \frac{1}{75}t &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-\frac{95}{75} \\[5pt] - \frac{1}{75}t&=& -\frac{95}{75} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-75) \\[5pt] t&=& 95 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_{60,150}'(t) &=& 0 \\[5pt] t&=& 95 \end{array}$
Da laut Aufgabenstellung das notwendige Kriterium genügt, ist also $95$ Minuten nach der Einnahme die Koffeinmenge im Blut am höchsten.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt der maximalen Abnahme bestimmen
Der Zeitpunkt der maximalen Abnahme entspricht im Modell dem Zeitpunkt $t,$ zu dem die erste Ableitungsfunktion $f_{60,150}'$ ihr Minimum annimmt.
1. Schritt: Ableitungsfunktion bilden
$\begin{array}[t]{rll} f_{60,150}'(t)&=& 3 \cdot \mathrm e^{-\frac{t}{75}} \cdot \left(\frac{95}{75} - \frac{1}{75}t\right) \\[10pt] f_{60,150}''(t)&=& 3 \cdot \mathrm e^{-\frac{t}{75}} \cdot \left(- \frac{1}{75}\right) + 3 \cdot \left(-\frac{1}{75} \right)\cdot\mathrm e^{-\frac{t}{75}} \cdot \left(\frac{95}{75} - \frac{1}{75}t\right) \\[5pt] &=& -\frac{1}{25} \cdot \mathrm e^{-\frac{t}{75}} \cdot \left(1+ \frac{95}{75} - \frac{1}{75}t\right) \\[5pt] &=& -\frac{1}{25} \cdot \mathrm e^{-\frac{t}{75}} \cdot \left( \frac{170}{75} - \frac{1}{75}t\right) \\[5pt] \end{array}$
$ f_{60,150}''(t)= … $
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f_{60,150}''(t) &=& 0 \\[5pt] -\frac{1}{25} \cdot \mathrm e^{-\frac{t}{75}} \cdot \left( \frac{170}{75} - \frac{1}{75}t\right) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;: \left( -\frac{1}{25} \cdot \mathrm e^{-\frac{t}{75}} \right) \neq 0 \\[5pt] \frac{170}{75} - \frac{1}{75}t&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-\frac{170}{75} \\[5pt] - \frac{1}{75}t&=& -\frac{170}{75} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-75) \\[5pt] t &=& 170 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_{60,150}''(t) &=& 0 \\[5pt] t &=& 170 \end{array}$
$170$ Minuten nach der Einnahme nimmt die Koffeinmenge im Blut am stärksten ab.
#extrempunkt#kettenregel
2.1
$\blacktriangleright$  Integrationsmethode angeben und Stammfunktion berechnen
In Material 2 wird die Methode der partiellen Integration verwendet.
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{}^{}3(t-20)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{75}\cdot t}\;\mathrm dt &=& (3t-60)\cdot (-75)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{75}\cdot t} - \displaystyle\int_{}^{}3\cdot(-75)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{75}\cdot t}\;\mathrm dt \\[5pt] &=& (3t-60)\cdot (-75)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{75}\cdot t} - 3\cdot(-75)\cdot (-75)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{75}\cdot t}\\[5pt] &=& (3t-60)\cdot (-75)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{75}\cdot t} - 3\cdot 75\cdot 75\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{75}\cdot t} \\[5pt] &=& -75\cdot 3\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{75}\cdot t}\cdot \left((t-20)+ 75 \right) \\[5pt] &=& -225\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{75}\cdot t}\cdot \left(t+55 \right) \\[5pt] \end{array}$
$ \displaystyle\int_{}^{}3(t-20)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{75}\cdot t}\;\mathrm dt = … $
Die Stammfunktionen von $f_{60,150}$ sind also:
$F_{60,150,c}(t) = -225\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{75}\cdot t}\cdot \left(t+55 \right) +c$
$ F_{60,150,c}(t) = … $
#partielleintegration
2.2
$\blacktriangleright$  Gesundheitliche Schäden einschätzen
Den Inhalt der beschriebenen Fläche kannst du mithilfe eines Integrals bestimmen. Bestimme dazu zunächst die Integrationsgrenzen, die die Schnittstellen der beiden begrenzenden Graphen sind. Du kannst dazu den solve-Befehl deines CAS verwenden und erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} f_{60,150}(t)&=& g(t) \\[5pt] 3 \cdot \mathrm e^{-\frac{t}{75}}\cdot (t-20)&=& 50 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] t_1&\approx& 54,4437 \\[5pt] t_2&\approx& 159,173 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_1&\approx& 54,4437 \\[5pt] t_2&\approx& 159,173 \end{array}$
Das entsprechende Integral kannst du mithilfe deines CAS bestimmen:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{54,4437}^{159,173}\left(f_{60,150}(t)-g(t)\right)\;\mathrm dt &=& \displaystyle\int_{54,4437}^{159,173}\left(3 \cdot \mathrm e^{-\frac{t}{75}}\cdot (t-20)-50\right)\;\mathrm dt &\quad \scriptsize \mid\; CAS\\[5pt] &\approx& 908,158 \\[5pt] \end{array}$
$ \displaystyle\int_{54,4437}^{159,173}… $
Dieser Wert übersteigt deutlich den vorgegebenen Wert von $750.$ Bei täglichem Konsum der Koffeintabletten können also gesundheitliche Schäden auftreten.
#integral
3
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass die Graphen genau einen Hochpunkt besitzt
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f_{a,b}(t)&=& 0,05 \cdot a \cdot \mathrm e^{-\frac{2 \cdot t}{b}}\cdot (t - 20) \\[5pt] f_{a,b}'(t)&=& 0,05 \cdot a \cdot \mathrm e^{-\frac{2 \cdot t}{b}}\cdot1 + 0,05 \cdot a \cdot \left(-\frac{2}{b} \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{2 \cdot t}{b}}\cdot (t - 20) \\[5pt] &=& 0,05 \cdot a \cdot \mathrm e^{-\frac{2 \cdot t}{b}}\cdot \left(1-\frac{2}{b}\cdot(t-20) \right) \\[5pt] f_{a,b}''(t)&=& 0,05 \cdot a \cdot \mathrm e^{-\frac{2 \cdot t}{b}}\cdot \left(-\frac{2}{b}\right) + 0,05 \cdot a \cdot \left(-\frac{2}{b} \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{2 \cdot t}{b}}\cdot \left(1-\frac{2}{b}\cdot(t-20) \right) \\[5pt] &=& 0,05 \cdot a\cdot \left(-\frac{2}{b}\right) \cdot \mathrm e^{-\frac{2 \cdot t}{b}} \cdot \left(1+1-\frac{2}{b}\cdot(t-20) \right) \\[5pt] &=& 0,05 \cdot a\cdot \left(-\frac{2}{b}\right) \cdot \mathrm e^{-\frac{2 \cdot t}{b}} \cdot \left(2-\frac{2}{b}\cdot(t-20) \right) \\[5pt] &=& -0,2 \cdot \frac{a}{b}\cdot \mathrm e^{-\frac{2 \cdot t}{b}} \cdot \left(1-\frac{t-20}{b}\right) \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_{a,b}(t)&=& … \\[5pt] f_{a,b}'(t)&=& … \\[5pt] f_{a,b}''(t)&=& …\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f_{a,b}'(t)&=& 0 \\[5pt] 0,05 \cdot a \cdot \mathrm e^{-\frac{2 \cdot t}{b}}\cdot \left(1-\frac{2}{b}\cdot(t-20) \right) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : \left(0,05\cdot a\cdot\mathrm e^{-\frac{2 \cdot t}{b}}\right) \neq 0 \\[5pt] 1-\frac{2}{b}\cdot(t-20) &=& 0 \\[5pt] 1-\frac{2}{b}\cdot t + \frac{40}{b} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+\frac{2}{b}\cdot t \\[5pt] 1 + \frac{40}{b} &=&\frac{2}{b}\cdot t &\quad \scriptsize \mid\; :\frac{2}{b} \\[5pt] \frac{b}{2} + 20 &=& t \end{array}$
$ t=\frac{b}{2} + 20 $
Die Graphen von $f_{a,b}$ können also jeweils maximal einen Extrempunkt besitzen.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f_{a,b}''\left(\frac{b}{2} + 20 \right)&=& -0,2 \cdot \frac{a}{b}\cdot \mathrm e^{-\frac{2 \cdot \left(\frac{b}{2} + 20 \right)}{b}} \cdot \left(1-\frac{\left(\frac{b}{2} + 20 \right)-20}{b}\right) \\[5pt] &=& -0,2 \cdot \frac{a}{b}\cdot \mathrm e^{-\frac{b+ 40}{b}} \cdot \left(1-\frac{\frac{b}{2}}{b}\right) \\[5pt] &=& -0,2 \cdot \frac{a}{b}\cdot \mathrm e^{-\frac{b+ 40}{b}} \cdot \frac{1}{2} \\[5pt] &=& -0,1 \cdot \frac{a}{b}\cdot \mathrm e^{-\frac{b+ 40}{b}} &\quad \scriptsize a,b >0 \\[5pt] && < 0 \\[5pt] \end{array}$
$ f_{a,b}''\left(\frac{b}{2} + 20 \right) < 0 $
Das hinreichende Kriterium für einen Hochpunkt ist also erfüllt. Die Graphen von $f_{a,b}$ besitzen jeweils genau einen Hochpunkt an der Stelle $t= \frac{b}{2} + 20.$
$\blacktriangleright$  Ortskurve bestimmen
Die zugehörige $y$-Koordinate lautet:
$\begin{array}[t]{rll} f_{a,b}\left(\frac{b}{2} + 20 \right) &=& 0,05 \cdot a \cdot \mathrm e^{-\frac{2 \cdot \left(\frac{b}{2} + 20 \right)}{b}}\cdot \left(\frac{b}{2} + 20 - 20\right) \\[5pt] &=& 0,025 \cdot b\cdot a \cdot \mathrm e^{-\frac{b+40}{b}} \\[5pt] \end{array}$
$ f_{a,b}\left(\frac{b}{2} + 20 \right) = … $
Forme nun die $t$-Koordinate des Hochpunkts nach $b$ um:
$\begin{array}[t]{rll} t&=& \frac{b}{2} + 20 &\quad \scriptsize \mid\; -20\\[5pt] t-20 &=& \frac{b}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] 2t-40 &=& b \end{array}$
$ b = 2t-40 $
Setze dies in die $y$-Koordinate ein:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 0,025 \cdot b\cdot a \cdot \mathrm e^{-\frac{b+40}{b}} &\quad \scriptsize \mid\; b = 2t-40 \\[5pt] y&=& 0,025 \cdot (2t-40)\cdot a \cdot \mathrm e^{-\frac{2t-40+40}{2t-40}} \\[5pt] &=& (0,05t-1)\cdot a \cdot \mathrm e^{-\frac{2t}{2t-40}} \\[5pt] &=& (0,05t-1)\cdot a \cdot \mathrm e^{-\frac{t}{t-20}} \\[5pt] \end{array}$
$ y = (0,05t-1)\cdot a \cdot \mathrm e^{-\frac{t}{t-20}} $
Die Hochpunkte der Graphen der Funktionenschar liegen also alle auf dem Graphen der Funktion mit der Funktionsgleichung:
$y = (0,05t-1)\cdot a \cdot \mathrm e^{-\frac{t}{t-20}}$
Diese Funktionsgleichung ist unabhängig vom Parameter $b,$ der von der Verabreichungsart abhängt. Die Verabreichungsart hat also keinen Einfluss auf die Ortskurve.
4
$\blacktriangleright$  Ansatz erklären
In dem Ansatz wird die Methode der kleinsten Quadrate angewendet.
Es wird die Abweichung zwischen den Funktionswerten der Modellfunktion $f_{a,200}$ an den Messstellen zu den tatsächlichen Messwerten betrachtet. Diese Abweichungen können sowohl positiv als auch negativ sein, sodass sich positive und negative Abweichungen gegenseitig in der Summe ausgleichen könnten. Damit dies nicht geschieht werden die einzelnen Abweichungen quadriert.
Um eine möglichst geringe Abweichung der Modellfunktion von den tatsächlichen Messwerten zu erhalten, wird der Parameter $a$ dann so gewählt, dass $q(a)$ minimal ist.
$\blacktriangleright$  Gesuchten Wert bestimmen
Die Funktionsgleichung von $f_{a,200}$ lautet:
$\begin{array}[t]{rll} f_{a,200}(t) &=& 0,05 \cdot a \cdot \mathrm e^{-\frac{2 \cdot t}{200}}\cdot (t - 20) \\[5pt] &=& 0,05 \cdot a \cdot \mathrm e^{-\frac{ t}{100}}\cdot (t - 20) \end{array}$
$ f_{a,200}(t) = … $
Definiere $f_{a,200}$ als Funktion in deinem CAS. Anschließend kannst du dann $q$ ebenfalls als Funktion definieren, indem du auf die Funktion $f_{a,200}$ zugreifst.
Mit folgendem Befehl kannst du dann die erste Ableitung von $q$ ebenfalls als Funktion definieren:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$
Mit dem solve-Befehl kannst du nun das notwendige Kriterium für Extremstellen anwenden, indem du die Gleichung $q'(a)=0$ löst.
$\begin{array}[t]{rll} q'(a) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS\\[5pt] a&\approx& 97,6894 \end{array}$
$ a\approx 97,6894 $
Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen folgt also für den gesuchten Wert: $a\approx 97,6894.$
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