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A1 - Analysis

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Um im Alltag leistungsfähiger zu sein, greifen inzwischen viele Menschen zu Koffein in unterschiedlichen Verabreichungsformen. Bei einer Studie wurde herausgefunden, dass ein Maß für die Koffeinmenge im Blut in Abhängigkeit von der Zeit nach der Einnahme einer bestimmten Koffeinmenge durch die Funktionenschar
$f_{a,b}(t) = 0,05 \cdot a \cdot \mathrm e^{-\frac{2 \cdot t}{b}}\cdot (t - 20),$ $t \geq 20,$ $a, b > 0$
gut modelliert werden kann. Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten nach der Einnahme, $a$ ein Maß für die eingenommene Koffeinmenge und $b$ eine Konstante, die aufgrund der Verabreichungsart zugeordnet wird. $f_{a,b}(t)$ ist ein Maß für die Menge des Koffeins im Blut.
#funktionenschar
1
In Material 1 ist der Graph der zur eingenommenen Koffeinmenge $a = 60$ und der Verabreichungskonstante $b = 150$ (Einnahme als Tablette) zugehörigen Funktion $f_{60, 150}$ und in Material 2 deren Ableitungsgraph abgebildet.
1.1
Begründe durch drei unterschiedliche Argumente, dass der in Material 2 abgebildete Graph die Ableitung der Funktion darstellt, deren Graph in Material 1 gegeben ist.
(3 BE)
#ableitung
1.2
Beschreibe den zeitlichen Verlauf der Koffeinmenge im Blut nach der Einnahme des Koffeins. Begründe, warum die Einschränkung $t \geq 20$ für die Modellierung sinnvoll ist.
(4 BE)
1.3
Berechne den Zeitpunkt der maximalen Koffeinmenge im Blut. Bestimme den Zeitpunkt, an dem die Abnahme der Koffeinmenge im Blut maximal ist. Die Überprüfung der notwendigen Bedingung ist jeweils ausreichend.
(8 BE)
2.1
In Material 3 wird die Ermittlung der Stammfunktionen von $f_{60, 150}$ durch eine bestimmte Integrationsmethode angedeutet. Gib die Integrationsmethode an und berechne die Stammfunktionen von $f_{60, 150}.$
(5 BE)
#stammfunktion
2.2
Nachdem Konsumenten der Tabletten vermehrt über Unwohlsein geklagt haben, wurde bei einer weiteren Studie festgestellt, dass der Inhalt der Fläche, die der Graph von $f_{60, 150}$ mit dem Graphen der Funktion $g$ mit $g(t) = 50$ einschließt, ein Maß für die Gesundheitsgefährdung darstellt. Ist dieser Wert größer als $750,$ können bei täglichem Konsum gesundheitliche Schäden auftreten.
Entscheide, ob bei Verabreichung in Tablettenform $(b = 150)$ mit jeweils einer eingenommenen Koffeinmenge von $a = 60$ bei täglichem Konsum gesundheitliche Schäden auftreten können.
(7 BE)
3
Zeige, dass jeder Graph der Funktionenschar $f_{a,b}$ genau einen Hochpunkt besitzt. Bestimme die Funktionsgleichung der Funktion, auf deren Graph die Hochpunkte aller Graphen der Funktionenschar $f_{a,b}$ liegen (Ortskurve), und begründe damit, dass die Verabreichungsart keinen Einfluss auf den Verlauf der Ortskurve hat.
(7 BE)
#extrempunkt#ortslinie
4
Eine Person hat ein Koffeinzäpfchen mit unbekannter Koffeinmenge ausprobiert (Verabreichungskonstante $b = 200$). Kurz nach der Einnahme stellen sich gesundheitliche Probleme ein und die Person wird in ein Krankenhaus eingeliefert. Bei vier Blutentnahmen bei der Person wird das Maß für die Koffeinmenge im Blut $y(t)$ jeweils in stündlichen Abständen nach der Einnahme bestimmt und in folgender Tabelle festgehalten:
$t$$60 $$120 $$180$$240 $
$y(t)$$ 100$$150 $$130 $$100 $
$t$$y(t)$
$60 $$ 100 $
$120 $$ 150 $
$ 180$$ 130 $
$240 $$ 100 $
Für die weitere Behandlung der Person ist es wichtig, das Maß für die eingenommene Koffeinmenge $a$ so genau wie möglich zu kennen. Dafür bestimmt man das Minimum der Funktion $q$ mit
$q(a) = \left(f_{a,200}(60) - 100\right)^2 + \left(f_{a,200}(120) - 150\right)^2 + \left(f_{a,200}(180) - 130\right)^2 + \left(f_{a,200}(240) - 100\right)^2.$
$ q(a) = … $
Erkläre den Ansatz und bestimme den gesuchten Wert von $a.$ Hinweis: Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.
(6 BE)
Material 1
Material 2
Material 3
$\displaystyle\int_{}^{}3(t-20)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{75}\cdot t}\;\mathrm dt = (3t-60)\cdot (-75)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{75}\cdot t} - \displaystyle\int_{}^{}3\cdot(-75)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{75}\cdot t}\;\mathrm dt$
$ \displaystyle\int_{}^{}3(t-20)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{75}\cdot t}\;\mathrm dt = … $
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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