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A1 - Analysis

Aufgaben
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Auf einem See breitet sich eine Algenart aus. Zu Beginn der Beobachtung ist etwa eine Fläche von $0,1\,\text{a}$ des Sees mit Algen bedeckt ($\text{a}$ steht für die Flächeneinheit $\text{Ar}$, $1\,\text{a}$ entspricht einem Flächeninhalt von $100\,\text{m}^2$). Nach zwei Monaten sind bereits $3\,\text{a}$ des Sees mit Algen bedeckt.
Das weitere Wachstum soll prognostiziert werden. Dafür liegen drei unterschiedliche Modelle $A$, $B$ und $C$ vor.
1.
Im Modell $A$ wird der Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche durch die Funktion $f$ mit den Parametern $r$ und $k$ beschrieben mit $f(t)= r\cdot \mathrm e^{k\cdot t}$, $t \geq 0$, $r,k > 0$.
Dabei gilt:
$t$: Zeit in Monaten nach Beginn der Beobachtung
$f(t)$: Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche in $a$
1.1
Bestimme die zu den oben genannten Werten passenden Parameter $r$ und $k$.
(4 BE)
1.2
Ermittle unter Verwendung der Ergebnisse aus Aufgabe 1.1 für die Gleichung $f(t)= r\cdot \mathrm e^{k\cdot t} = r\cdot (1+p)^t$ den Wert von $p$.
Deute diesen Wert im Sachzusammenhang.
Falls du den Wert des Parameters $k$ in Aufgabe 1.1 nicht bestimmen konntest, verwende als Ersatzwert $k = 1,71$.
(3 BE)
2.
Modell $B$ prognostiziert ein Wachstum, bei dem die Änderungsrate des Inhalts der mit Algen bedeckten Fläche in Abhängigkeit von der Zeit $t$ näherungsweise durch die Funktion $g$ mit $g(t)= \left(-0,5t^2 +t+2\right)\cdot \mathrm e^{-0,5t}$, $t \geq 0$, beschrieben wird.
Dabei gilt:
$t$: Zeit in Monaten nach Beginn der Beobachtung
$g(t)$: Änderungsrate in $\text{a}$ pro Monat
2.1
Berechne für $t \geq 0$ die Null- und Extremstellen von $g$. Die zweite Ableitung
$g''(t) = \left(-0,125t^2+1,25t-1,5\right)\cdot \mathrm e^{-0,5t}$
$ g''(t)= … $
kann ohne Herleitung verwendet werden.
(11 BE)
#extrempunkt#nullstelle
2.2
Deute die in Aufgabe 2.1 berechneten Null- und Extremstellen im Sachzusammenhang.
(5 BE)
2.3
Im Material ist ein Ansatz zur Ermittlung der Stammfunktionen von $g$ angegeben.
Benenne die verwendete Integrationsmethode und wende die Methode erneut an, um die Herleitung der Stammfunktionen von $g$ zu vervollständigen.
[zur Kontrolle: $G(t) = \left(t^2+2t\right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} +C$]
(5 BE)
#stammfunktion
2.4
Untersuche, unter welchen Bedingungen Modell $B$ näherungsweise zu den im einleitenden Text beschriebenen Werten passt.
(3 BE)
3.
Im Modell $C$ wird der Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche durch die Funktion $h$ beschrieben mit
$h(t)= \dfrac{0,35}{0,1+3,4\cdot \mathrm e^{-2,66 \cdot t}}$, $t\geq 0.$
Dabei gilt:
$t$: Zeit in Monaten nach Beginn der Beobachtung
$h(t)$: Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche in $\text{a}$
Bestimme den Grenzwert $\lim\limits_{t\to +\infty} h(t).$
Deute diesen Wert im Sachzusammenhang.
(3 BE)
#grenzwert
4.
Untersuche für die Modelle A und B, wie sich langfristig jeweils der Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche in Abhängigkeit von der Zeit $t$ über mehrere Monate entwickelt. Begründe deine Ergebnisse anhand der zugehörigen Funktionsterme.
Erörtere im Sachzusammenhang, wie realistisch die drei Modelle A, B und C sind.
(6 BE)
Material
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int\left(-0,5t^2+t+2 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}\;\mathrm dt&=& \left(-0,5t^2+t+2 \right)\cdot (-2)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}- \displaystyle\int\left(-t + 1\right)\cdot (-2)\cdot\mathrm e^{-0,5\cdot t}\;\mathrm dt \\[5pt] &=& \left(t^2-2t-4 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}+ \displaystyle\int\left(-2t + 2\right)\cdot\mathrm e^{-0,5\cdot t}\;\mathrm dt \end{array}$
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Die Funktion für Modell $A$ soll die Form $f(t) = r\cdot\mathrm e^{k\cdot t} $ haben und den Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche des Sees in $\text{a}$ angeben. Lies aus den Informationen des Einführungstextes geforderte Funktionswerte ab. Mit diesen kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, das du nach $r$ und $k$ lösen kannst.
1.2
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{p}$ berechnen
Du sollst die Gleichung von $f$ wie folgt umformen:
$r\cdot \mathrm e^{k\cdot t} = r\cdot (1+p)^t$
Setze also die berechneten Werte von $r$ und $k$ ein und forme die Gleichung nach $p$ um.
$\blacktriangleright$  Wert im Sachzusammenhang deuten
Die Darstellungsweise $f(t)= r\cdot(1+p)^t$ kennst du aus den Formeln für exponentielles Wachstum. $p$ gibt dort die Wachstumsrate an, also den Prozentsatz, um den die betrachtete Größe pro Zeiteinheit zunimmt.
Beziehe dies auf den Sachzusammenhang.
2.1
$\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
Gesucht sind die Nullstellen von $g$. Setze also $g(t) = 0$ und löse die Gleichung nach $t$.
$\blacktriangleright$  Extremstellen berechnen
Für eine Extremstelle $t_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, g'(t_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f''(t_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f''(t_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die erste Ableitungsfunktion $g'$, die zweite ist dir in der Aufgabenstellung gegeben.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $g'(t)=0$ setzt und nach $t$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $g''(t)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
2.2
$\blacktriangleright$  Nullstellen im Sachzusammenhang deuten
Die Funktion $g$ beschreibt die Änderungsrate des Flächeninhalts der mit Algen bedeckten Fläche. Ist $g(t)=0$, nimmt der Flächeninhalt der mit Algen bedeckten Fläche zum Zeitpunkt $t$ also weder zu noch ab. Dies ist ein notwendiges Kriterium für eine Extremstelle der Funktion $G$, die den Flächeninhalt der mit Algen bedeckten Fläche zum Zeitpunkt $t$ beschreibt.
Der Flächeninhalt der mit Algen bedeckten Fläche kann hier also sein Maximum bzw. Minimum annehmen.
$\blacktriangleright$  Extremstellen im Sachzusammenhang deuten
Zum Zeitpunkt $t_1 = 0$ nimmt $g$ ein Maximum an. Hier ist die Änderungsrate des Flächeninhalts der mit Algen bedeckten Fläche also am größten, die Algen breiten sich zu diesem Zeitpunkt am schnellsten aus.
Zum Zeitpunkt $t_2 = 6$ nimmt $g$ ein Minimum an. Hier ist die Änderungsrate des Flächeninhalts der mit Algen bedeckten Fläche also am kleinsten, die Algen breiten sich zu diesem Zeitpunkt am langsamsten aus oder reduzieren ihren Bestand sogar.
2.3
$\blacktriangleright$  Integrationsmethode benennen
Der Funktionsterm von $g$ setzt sich aus zwei Faktoren zusammen. Zur Bestimmung der Stammfunktionen solcher Funktionen wird häufig die partielle Integration verwendet:
$\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) \cdot g'(x)\right)\;\mathrm dx = \left[f(x)\cdot g(x)\right]_a^b- \displaystyle\int_{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\;\mathrm dx$
$ \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) \cdot g'(x)\right)\;\mathrm dx =… $
$\blacktriangleright$  Herleitung vervollständigen
Wende die Formel von oben erneut an.
2.4
$\blacktriangleright$  Bedingungen untersuchen
Zu Modell $B$ ist dir die Funktion $g$ gegeben, die die Änderungsrate des Inhalts der mit Algen bedeckten Fläche beschreibt. Oben hast du bereits die Gleichungen der Stammfunktionen $G$ von $g$ bestimmt.
Da $g$ die Änderungsrate beschreibt, kann $G$ verwendet werden, um den Flächeninhalt zum Zeitpunkt $t$ zu beschreiben. Gesucht ist nun $C$, damit $G$ näherungsweise die Werte aus dem Einführungstext erfüllt.
Setze also die Werte wie in Aufgabe 1.1 in $G(t)$ ein und löse nach $C$ auf.
3.
$\blacktriangleright$  Grenzwert bestimmen
Gesucht ist der Grenzwert $\lim\limits_{t\to+\infty}h(t)$. Der Funktionsterm von $h(t)$ ist ein Bruch, bei dem die Variable im Nenner steht. Betrachte also zunächst den Nenner und bilde anschließend den Grenzwert der gesamten Funktion.
$\blacktriangleright$  Grenzwert im Sachzusammenhang deuten
Die Funktion $h$ beschreibt im Modell $C$ den Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche des Sees. Der Grenzwert beschreibt die Entwicklung auf lange Sicht.
4.
$\blacktriangleright$  Langfristige Entwicklung für Modell A untersuchen
Im Modell A wird die Größe der mit Algen bedeckten Fläche in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Monaten durch folgende Funktion beschrieben:
$f(t)= 0,1\cdot \mathrm e^{1,7\cdot t}$
Betrachte den Grenzwert $\lim\limits_{t\to+\infty} f(t)$ um den langfristigen Verlauf der Ausbreitung der Algen einzuschätzen.
$\blacktriangleright$  Langfristige Entwicklung für Modell B untersuchen
Im Modell B wird die Änderungsrate der mit Algen bedeckten Fläche in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Monaten durch folgende Funktion beschrieben:
$g(t)= \left(-0,5t^2+t+2 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}$
Betrachte den Grenzwert $\lim\limits_{t\to+\infty} g(t)$ um den langfristigen Verlauf der Wachstumsrate der Algen einzuschätzen.
$\blacktriangleright$  Realitätsnähe der Modelle beurteilen
Betrachte die obigen Ergebnisse und die aus Aufgabe 3 über das langfristige Verhalten der Algenart in den verschiedenen Modellen und beachte beispielsweise Nahrungsangebot, Platzangebot usw.
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Lösungen TI
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1.1
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Die Funktion für Modell $A$ soll die Form $f(t) = r\cdot\mathrm e^{k\cdot t} $ haben und den Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche des Sees in $\text{a}$ angeben. Lies aus den Informationen des Einführungstextes geforderte Funktionswerte ab. Mit diesen kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, das du nach $r$ und $k$ lösen kannst.
Du erhältst $ f(0)= 0,1$ und $f(2) = 3$. Setze dies in die Funktionsgleichung ein:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0,1&=& r\cdot \mathrm e^{k\cdot 0}\\ &0,1&=& r \\[5pt] \text{II}\quad&3&=& r\cdot \mathrm e^{k\cdot 2}\\ \end{array}$
Setze $\text{I}$ in $\text{II}$ ein und löse nach $k$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 3&=& 0,1\cdot \mathrm e^{k\cdot 2}&\quad \scriptsize \mid\; :0,1\\[5pt] 30&=& \mathrm e^{k\cdot 2}&\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] \ln(30)&=&k\cdot 2 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] \dfrac{\ln(30)}{2}&=& k\\[5pt] 1,7&\approx& k\\[5pt] \end{array}$
$ k\approx 1,7 $
Aus den genannten Werten ergeben sich für die Parameter $r = 0,1$ und $k\approx 1,7$.
1.2
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{p}$ berechnen
Du sollst die Gleichung von $f$ wie folgt umformen:
$r\cdot \mathrm e^{k\cdot t} = r\cdot (1+p)^t$
Setze also die berechneten Werte von $r$ und $k$ ein und forme die Gleichung nach $p$ um.
$\begin{array}[t]{rll} 0,1\cdot \mathrm e^{1,7t}&=& 0,1\cdot (1+p)^t &\quad \scriptsize \mid\; :0,1 \\[5pt] \mathrm e^{1,7t}&=& (1+p)^t \\[5pt] \left(\mathrm e^{1,7}\right)^t&=&(1+p)^t \\[5pt] \mathrm e^{1,7}&=& 1+p &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] \mathrm e^{1,7}-1&=& p \\[5pt] 4,5 &\approx& p \\[5pt] \end{array}$
$ p \approx 4,5 $
Mit den in Aufgabe 1.1 berechneten Parameterwerten ergibt sich $p \approx 4,5.$
$\blacktriangleright$  Wert im Sachzusammenhang deuten
Die Darstellungsweise $f(t)= r\cdot(1+p)^t$ kennst du aus den Formeln für exponentielles Wachstum. $p$ gibt dort die Wachstumsrate an, also den Prozentsatz, um den die betrachtete Größe pro Zeiteinheit zunimmt.
Beziehe dies auf den Sachzusammenhang.
$p$ beschreibt die Wachstumsrate des Flächeninhalts der mit Algen bedeckten Fläche des Sees. Pro Monat nimmt der Flächeninhalt der mit Algen bedeckten Fläche also um ca. $450\,\%$ zu.
2.1
$\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
Gesucht sind die Nullstellen von $g$. Setze also $g(t) = 0$ und löse die Gleichung nach $t$.
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& \left(-0,5t^2 +t +2 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} &\quad \scriptsize \mid\; : \mathrm e^{-0,5\cdot t} \neq 0 \\[5pt] 0&=& -0,5t^2 +t +2&\quad \scriptsize \mid\; : (-0,5) \\[5pt] 0&=& t^2 - 2t-4&\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel} \\[5pt] t_{1,2}&=& -\dfrac{-2}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2 - (-4)} \\[5pt] &=& 1\pm \sqrt{5} \\[5pt] t_1&\approx& 3,24 \\[5pt] t_2&\approx& -1,24\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_1&\approx& 3,24 \\[5pt] t_2&\approx& -1,24\\[5pt] \end{array}$
Da $t\geq 0$ vorgegeben ist, ist die einzige Nullstelle von $g$ im betrachteten Bereich $t_1 \approx 3,24.$
$\blacktriangleright$  Extremstellen berechnen
Für eine Extremstelle $t_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, g'(t_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f''(t_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f''(t_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die erste Ableitungsfunktion $g'$, die zweite ist dir in der Aufgabenstellung gegeben.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $g'(t)=0$ setzt und nach $t$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $g''(t)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
1. Schritt: Ableitungsfunktion bestimmen
Verwende die Produkt- und die Kettenregel.
$\begin{array}[t]{rll} g(t)&=& \left(-0,5t^2 +t +2 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} \\[10pt] g'(t)&=& \left(2\cdot (-0,5)t +1 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} + \left(-0,5t^2 +t +2 \right)\cdot (-0,5)\mathrm e^{-0,5\cdot t}\\[5pt] &=& \left(-t +1 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} + \left(0,25t^2 -0,5t -1 \right)\mathrm e^{-0,5\cdot t} \\[10pt] &=& \left(-t +1+ 0,25t^2 -0,5t -1 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} \\[5pt] &=& \left(0,25t^2 -1,5t\right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} \\[5pt] g''(t)&=& \left(-0,125t^2+1,25t-1,5 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} \\[5pt] \end{array}$
$ g'(t)= … $
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $g'(t)$ mit null, erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} g'(t)&=&0 \\[5pt] \left(0,25t^2 -1,5t\right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; : \mathrm e^{-0,5\cdot t}\neq 0 \\[5pt] 0,25t^2 -1,5t&=&0 \\[5pt] t\cdot (0,25t-1,5) &=& 0&\quad \scriptsize \mid\;t_1 = 0 \\[5pt] 0,25t-1,5 &=& 0&\quad \scriptsize \mid\;+1,5 \\[5pt] 0,25t&=&1,5&\quad \scriptsize \mid\;: 0,25\\[5pt] t_2&=& 6 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_1&=& 0 \\[5pt] t_2&=& 6 \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} g''(t_1)&=&g''(0) \\[5pt] &=& \left(-0,125\cdot 0^2+1,25\cdot 0-1,5 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 0} \\[5pt] &=& -1,5 < 0\\[10 pt] g''(t_2)&=&g''(6) \\[5pt] &=& \left(-0,125\cdot 6^2+1,25\cdot 6-1,5 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 6} \\[5pt] &=&1,5\cdot \mathrm e^{-3} \\[5pt] &\approx& 0,07 > 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g''(t_1)&=&g''(0) \\[5pt] &=& -1,5 < 0\\[10 pt] g''(t_2)&=&g''(6) \\[5pt] &=&1,5\cdot \mathrm e^{-3} \\[5pt] &\approx& 0,07 > 0 \end{array}$
$g$ besitzt die Maximalstelle $t_1 = 0$ und die Minimalstelle $t_2 = 6$.
2.2
$\blacktriangleright$  Nullstellen im Sachzusammenhang deuten
Die Funktion $g$ beschreibt die Änderungsrate des Flächeninhalts der mit Algen bedeckten Fläche. Ist $g(t)=0$, nimmt der Flächeninhalt der mit Algen bedeckten Fläche zum Zeitpunkt $t$ also weder zu noch ab. Dies ist ein notwendiges Kriterium für eine Extremstelle der Funktion $G$, die den Flächeninhalt der mit Algen bedeckten Fläche zum Zeitpunkt $t$ beschreibt.
Der Flächeninhalt der mit Algen bedeckten Fläche kann hier also sein Maximum bzw. Minimum annehmen.
Nach Modell $B$ nimmt der Flächeninhalt der mit Algen bedeckten Fläche zum Zeitpunkt ca. $3,24$ Monate nach Beobachtungsbeginn weder zu noch ab. Zu diesem Zeitpunkt könnte der Flächeninhalt sein Maximum bzw. Minimum erreicht haben.
$\blacktriangleright$  Extremstellen im Sachzusammenhang deuten
Zum Zeitpunkt $t_1 = 0$ nimmt $g$ ein Maximum an. Hier ist die Änderungsrate des Flächeninhalts der mit Algen bedeckten Fläche also am größten, die Algen breiten sich zu diesem Zeitpunkt am schnellsten aus.
Zum Zeitpunkt $t_2 = 6$ nimmt $g$ ein Minimum an. Hier ist die Änderungsrate des Flächeninhalts der mit Algen bedeckten Fläche also am kleinsten, die Algen breiten sich zu diesem Zeitpunkt am langsamsten aus oder reduzieren ihren Bestand sogar.
Nach Modell $B$ breitet sich die Algenart zu Beobachtungsbeginn am schnellsten aus. $6$ Monate nach Beobachtungsbeginn ist das Algenwachstum dagegen am langsamsten.
2.3
$\blacktriangleright$  Integrationsmethode benennen
Der Funktionsterm von $g$ setzt sich aus zwei Faktoren zusammen. Zur Bestimmung der Stammfunktionen solcher Funktionen wird häufig die partielle Integration verwendet:
$\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) \cdot g'(x)\right)\;\mathrm dx = \left[f(x)\cdot g(x)\right]_a^b- \displaystyle\int_{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\;\mathrm dx$
$ \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) \cdot g'(x)\right)\;\mathrm dx =… $
Vergleichst du diese mit dem Ansatz in Material 1, stellst du fest, dass hier die partielle Integration verwendet wird.
$\blacktriangleright$  Herleitung vervollständigen
Wende die Formel von oben erneut an.
$\begin{array}[t]{rll} & \left(t^2-2t-4\right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} + \displaystyle\int \left(-2t+2 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}\;\mathrm dt \\[5pt] =& \left(t^2-2t-4 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}+(-2t +2)\cdot (-2)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} - \displaystyle\int(-2)\cdot (-2)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}\;\mathrm dt \\[5pt] =& \left(t^2 -2t -4+4t-4 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} - \displaystyle\int 4\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}\;\mathrm dt \\[5pt] =& \left(t^2+2t-8\right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} - 4\cdot(-2)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} +C \\[5pt] =& \left(t^2+2t-8 +8 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} + C \\[5pt] =& \left(t^2+2t \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} + C \\[5pt] \end{array}$
$ G(t)= \left(t^2+2t \right)\cdot …$
Insgesamt gilt also für die Stammfunktionen von $g$:
$G(t) = \left(t^2+2t \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} + C $
#partielleintegration
2.4
$\blacktriangleright$  Bedingungen untersuchen
Zu Modell $B$ ist dir die Funktion $g$ gegeben, die die Änderungsrate des Inhalts der mit Algen bedeckten Fläche beschreibt. Oben hast du bereits die Gleichungen der Stammfunktionen $G$ von $g$ bestimmt.
Da $g$ die Änderungsrate beschreibt, kann $G$ verwendet werden, um den Flächeninhalt zum Zeitpunkt $t$ zu beschreiben. Gesucht ist nun $C$, damit $G$ näherungsweise die Werte aus dem Einführungstext erfüllt.
Setze also die Werte wie in Aufgabe 1.1 in $G(t)$ ein und löse nach $C$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} G(0)&=&0,1 \\[5pt] \left(0^2+2\cdot 0 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 0} + C&=& 0,1 \\[5pt] C&=& 0,1 \\[5pt] \end{array}$
$ C= 0,1 $
Überprüfe damit auch den zweiten Wert aus dem Einführungstext. Nach zwei Monaten bedeckt die Algenart ca. $3\,\text{a}$ des Sees, also $G(2)=3$.
$\begin{array}[t]{rll} G(2)&=& \left(2^2+2\cdot 2 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 2} +0,1 \\[5pt] &=& 8\cdot \mathrm e^{-1} + 0,1 \\[5pt] &\approx& 3,04\\[5pt] &\approx& 3 \end{array}$
$ G(2) \approx 3 $
Mit $C= 0,1$ passt Modell $B$ näherungsweise zu den im einleitenden Text beschriebenen Werten.
3.
$\blacktriangleright$  Grenzwert bestimmen
Gesucht ist der Grenzwert $\lim\limits_{t\to+\infty}h(t)$. Der Funktionsterm von $h(t)$ ist ein Bruch, bei dem die Variable im Nenner steht. Betrachte also zunächst den Nenner und bilde anschließend den Grenzwert der gesamten Funktion.
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{t\to+\infty} \left(0,1 + 3,4\cdot \mathrm e^{-2,66\cdot t}\right)&=& 0,1+ \lim\limits_{t\to+\infty} \left(3,4\cdot \mathrm e^{-2,66\cdot t}\right) \\[5pt] &=& 0,1+ 3,4\cdot \underbrace{\lim\limits_{t\to+\infty} \dfrac{1}{\mathrm e^{2,66\cdot t}}}_{= 0}\\[5pt] &=& 0,1 \\[5pt] \end{array}$
$ \lim\limits_{t\to+\infty} \left(0,1 + …\right) = 0,1 $
Insgesamt erhältst du damit:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{t\to+\infty}h(t)&=& \lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{0,35}{0,1 + 3,4\cdot \mathrm e^{-2,66\cdot t}} \\[5pt] &=& \dfrac{0,35}{0,1} \\[5pt] &=& 3,5 \end{array}$
$ \lim\limits_{t\to+\infty}h(t) = 3,5$
$\blacktriangleright$  Grenzwert im Sachzusammenhang deuten
Die Funktion $h$ beschreibt im Modell $C$ den Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche des Sees. Der Grenzwert beschreibt die Entwicklung auf lange Sicht.
Auf lange Sicht werden nach Modell $C$ ca. $3,5\,\text{a}$ des Sees mit der Algenart bedeckt sein.
4.
$\blacktriangleright$  Langfristige Entwicklung für Modell A untersuchen
Im Modell A wird die Größe der mit Algen bedeckten Fläche in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Monaten durch folgende Funktion beschrieben:
$f(t)= 0,1\cdot \mathrm e^{1,7\cdot t}$
Betrachte den Grenzwert $\lim\limits_{t\to+\infty} f(t)$ um den langfristigen Verlauf der Ausbreitung der Algen einzuschätzen.
Es ist:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{t\to+\infty} f(t)&=&\lim\limits_{t\to+\infty} 0,1\cdot \mathrm e^{1,7\cdot t} \\[5pt] &=& 0,1\cdot \lim\limits_{t\to+\infty} \mathrm e^{1,7\cdot t} \\[5pt] &=& 0,1\cdot \infty \\[5pt] &=& \infty \end{array}$
$ \lim\limits_{t\to+\infty} f(t) = \infty$
Im Modell A nimmt der Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche des Sees langfristig gesehen immer weiter zu, da für den Funktionsterm von $f$ für $t\to \infty$ gilt $f(t) \to \infty.$ Der Funktionswert und damit auch die Ausbreitung der Alge auf dem See wächst also unbegrenzt immer weiter an.
$\blacktriangleright$  Langfristige Entwicklung für Modell B untersuchen
Im Modell B wird die Änderungsrate der mit Algen bedeckten Fläche in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Monaten durch folgende Funktion beschrieben:
$g(t)= \left(-0,5t^2+t+2 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}$
Betrachte den Grenzwert $\lim\limits_{t\to+\infty} g(t)$ um den langfristigen Verlauf der Wachstumsrate der Algen einzuschätzen.
Es ist:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{t\to+\infty} g(t)&=&\lim\limits_{t\to+\infty} \underbrace{\left(-0,5t^2+t+2 \right)}_{\to -\infty}\cdot \underbrace{\mathrm e^{-0,5\cdot t}}_{\to 0 }\\[5pt] &=& -0 \\[5pt] \end{array}$
$ \lim\limits_{t\to+\infty} g(t) = -0 $
Im Modell B bleibt die Änderungsrate der mit Algen bedeckten Fläche des Sees langfristig gesehen negativ, auch wenn sie sich immer weiter null annähert. Langfristig gesehen, nimmt im Modell B also der Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche immer weiter ab. Die Algenart wird also irgendwann nicht mehr auf dem See existieren.
$\blacktriangleright$  Realitätsnähe der Modelle beurteilen
In Modell A würde sich die Algenart ungehindert verbreiten und der Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche immer weiter exponentiell zunehmen, ohne Begrenzung. In der Realität ist aber die Größe der Fläche durch die Größe des Sees begrenzt. Über den See hinaus, kann sich die Algenart nicht ausbreiten.
Modell A ist langfristig also nicht realistisch.
In Modell B nimmt die Änderungsrate der mit Algen bedeckten Fläche zunächst stark zu, fällt dann schnell, bis sie ihren Tiefpunkt erreicht, an dem die mit Algen bedeckte Fläche am schnellsten wieder abnimmt. Anschließend bleibt sie im negativen Bereich, sodass die Ausbreitung der Algenart nach einem schnellen Wachstum wieder stark zurückgeht und auch nicht wieder zunimmt. Die Algenart wird also langfristig auf dem See nicht mehr vorhanden sein.
Dieses Modell ist zwar in der Realität möglich, da die Algen beispielsweise ihr gesamtes Nahrungsangebot aufgebraucht haben könnten, aber relativ unwahrscheinlich.
In Modell C pendelt sich die Ausbreitung der Algenart langfristig so ein, dass ca. $3,5\,\text{a}$ des Sees mit der Algenart bedeckt sind.
Dieses Modell ist das realistischste. Die Algenart wäre in dem Fall Teil des stabilen Ökosystems des Sees und würde weder vollständig verschwinden noch sich ungehindert ausbreiten. Die Algenart würde sich dann gemäß ihres Nahrungsangebots, Platzangebots und möglichen Feinden auf einen stabilen Bestand hin ausbreiten und diesen halten.
#grenzwert
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1.1
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Die Funktion für Modell $A$ soll die Form $f(t) = r\cdot\mathrm e^{k\cdot t} $ haben und den Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche des Sees in $\text{a}$ angeben. Lies aus den Informationen des Einführungstextes geforderte Funktionswerte ab. Mit diesen kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, das du nach $r$ und $k$ lösen kannst.
Du erhältst $ f(0)= 0,1$ und $f(2) = 3$. Setze dies in die Funktionsgleichung ein:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0,1&=& r\cdot \mathrm e^{k\cdot 0}\\ &0,1&=& r \\[5pt] \text{II}\quad&3&=& r\cdot \mathrm e^{k\cdot 2}\\ \end{array}$
Setze $\text{I}$ in $\text{II}$ ein und löse nach $k$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 3&=& 0,1\cdot \mathrm e^{k\cdot 2}&\quad \scriptsize \mid\; :0,1\\[5pt] 30&=& \mathrm e^{k\cdot 2}&\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] \ln(30)&=&k\cdot 2 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] \dfrac{\ln(30)}{2}&=& k\\[5pt] 1,7&\approx& k\\[5pt] \end{array}$
$ k\approx 1,7 $
Aus den genannten Werten ergeben sich für die Parameter $r = 0,1$ und $k\approx 1,7$.
1.2
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{p}$ berechnen
Du sollst die Gleichung von $f$ wie folgt umformen:
$r\cdot \mathrm e^{k\cdot t} = r\cdot (1+p)^t$
Setze also die berechneten Werte von $r$ und $k$ ein und forme die Gleichung nach $p$ um.
$\begin{array}[t]{rll} 0,1\cdot \mathrm e^{1,7t}&=& 0,1\cdot (1+p)^t &\quad \scriptsize \mid\; :0,1 \\[5pt] \mathrm e^{1,7t}&=& (1+p)^t \\[5pt] \left(\mathrm e^{1,7}\right)^t&=&(1+p)^t \\[5pt] \mathrm e^{1,7}&=& 1+p &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] \mathrm e^{1,7}-1&=& p \\[5pt] 4,5 &\approx& p \\[5pt] \end{array}$
$ p \approx 4,5 $
Mit den in Aufgabe 1.1 berechneten Parameterwerten ergibt sich $p \approx 4,5.$
$\blacktriangleright$  Wert im Sachzusammenhang deuten
Die Darstellungsweise $f(t)= r\cdot(1+p)^t$ kennst du aus den Formeln für exponentielles Wachstum. $p$ gibt dort die Wachstumsrate an, also den Prozentsatz, um den die betrachtete Größe pro Zeiteinheit zunimmt.
Beziehe dies auf den Sachzusammenhang.
$p$ beschreibt die Wachstumsrate des Flächeninhalts der mit Algen bedeckten Fläche des Sees. Pro Monat nimmt der Flächeninhalt der mit Algen bedeckten Fläche also um ca. $450\,\%$ zu.
2.1
$\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
Gesucht sind die Nullstellen von $g$. Setze also $g(t) = 0$ und löse die Gleichung nach $t$.
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& \left(-0,5t^2 +t +2 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} &\quad \scriptsize \mid\; : \mathrm e^{-0,5\cdot t} \neq 0 \\[5pt] 0&=& -0,5t^2 +t +2&\quad \scriptsize \mid\; : (-0,5) \\[5pt] 0&=& t^2 - 2t-4&\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel} \\[5pt] t_{1,2}&=& -\dfrac{-2}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2 - (-4)} \\[5pt] &=& 1\pm \sqrt{5} \\[5pt] t_1&\approx& 3,24 \\[5pt] t_2&\approx& -1,24\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_1&\approx& 3,24 \\[5pt] t_2&\approx& -1,24\\[5pt] \end{array}$
Da $t\geq 0$ vorgegeben ist, ist die einzige Nullstelle von $g$ im betrachteten Bereich $t_1 \approx 3,24.$
$\blacktriangleright$  Extremstellen berechnen
Für eine Extremstelle $t_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, g'(t_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f''(t_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f''(t_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die erste Ableitungsfunktion $g'$, die zweite ist dir in der Aufgabenstellung gegeben.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $g'(t)=0$ setzt und nach $t$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $g''(t)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
1. Schritt: Ableitungsfunktion bestimmen
Verwende die Produkt- und die Kettenregel.
$\begin{array}[t]{rll} g(t)&=& \left(-0,5t^2 +t +2 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} \\[10pt] g'(t)&=& \left(2\cdot (-0,5)t +1 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} + \left(-0,5t^2 +t +2 \right)\cdot (-0,5)\mathrm e^{-0,5\cdot t}\\[5pt] &=& \left(-t +1 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} + \left(0,25t^2 -0,5t -1 \right)\mathrm e^{-0,5\cdot t} \\[10pt] &=& \left(-t +1+ 0,25t^2 -0,5t -1 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} \\[5pt] &=& \left(0,25t^2 -1,5t\right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} \\[5pt] g''(t)&=& \left(-0,125t^2+1,25t-1,5 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} \\[5pt] \end{array}$
$ g'(t)= … $
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $g'(t)$ mit null, erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} g'(t)&=&0 \\[5pt] \left(0,25t^2 -1,5t\right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; : \mathrm e^{-0,5\cdot t}\neq 0 \\[5pt] 0,25t^2 -1,5t&=&0 \\[5pt] t\cdot (0,25t-1,5) &=& 0&\quad \scriptsize \mid\;t_1 = 0 \\[5pt] 0,25t-1,5 &=& 0&\quad \scriptsize \mid\;+1,5 \\[5pt] 0,25t&=&1,5&\quad \scriptsize \mid\;: 0,25\\[5pt] t_2&=& 6 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_1&=& 0 \\[5pt] t_2&=& 6 \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} g''(t_1)&=&g''(0) \\[5pt] &=& \left(-0,125\cdot 0^2+1,25\cdot 0-1,5 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 0} \\[5pt] &=& -1,5 < 0\\[10 pt] g''(t_2)&=&g''(6) \\[5pt] &=& \left(-0,125\cdot 6^2+1,25\cdot 6-1,5 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 6} \\[5pt] &=&1,5\cdot \mathrm e^{-3} \\[5pt] &\approx& 0,07 > 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g''(t_1)&=&g''(0) \\[5pt] &=& -1,5 < 0\\[10 pt] g''(t_2)&=&g''(6) \\[5pt] &=&1,5\cdot \mathrm e^{-3} \\[5pt] &\approx& 0,07 > 0 \end{array}$
$g$ besitzt die Maximalstelle $t_1 = 0$ und die Minimalstelle $t_2 = 6$.
2.2
$\blacktriangleright$  Nullstellen im Sachzusammenhang deuten
Die Funktion $g$ beschreibt die Änderungsrate des Flächeninhalts der mit Algen bedeckten Fläche. Ist $g(t)=0$, nimmt der Flächeninhalt der mit Algen bedeckten Fläche zum Zeitpunkt $t$ also weder zu noch ab. Dies ist ein notwendiges Kriterium für eine Extremstelle der Funktion $G$, die den Flächeninhalt der mit Algen bedeckten Fläche zum Zeitpunkt $t$ beschreibt.
Der Flächeninhalt der mit Algen bedeckten Fläche kann hier also sein Maximum bzw. Minimum annehmen.
Nach Modell $B$ nimmt der Flächeninhalt der mit Algen bedeckten Fläche zum Zeitpunkt ca. $3,24$ Monate nach Beobachtungsbeginn weder zu noch ab. Zu diesem Zeitpunkt könnte der Flächeninhalt sein Maximum bzw. Minimum erreicht haben.
$\blacktriangleright$  Extremstellen im Sachzusammenhang deuten
Zum Zeitpunkt $t_1 = 0$ nimmt $g$ ein Maximum an. Hier ist die Änderungsrate des Flächeninhalts der mit Algen bedeckten Fläche also am größten, die Algen breiten sich zu diesem Zeitpunkt am schnellsten aus.
Zum Zeitpunkt $t_2 = 6$ nimmt $g$ ein Minimum an. Hier ist die Änderungsrate des Flächeninhalts der mit Algen bedeckten Fläche also am kleinsten, die Algen breiten sich zu diesem Zeitpunkt am langsamsten aus oder reduzieren ihren Bestand sogar.
Nach Modell $B$ breitet sich die Algenart zu Beobachtungsbeginn am schnellsten aus. $6$ Monate nach Beobachtungsbeginn ist das Algenwachstum dagegen am langsamsten.
2.3
$\blacktriangleright$  Integrationsmethode benennen
Der Funktionsterm von $g$ setzt sich aus zwei Faktoren zusammen. Zur Bestimmung der Stammfunktionen solcher Funktionen wird häufig die partielle Integration verwendet:
$\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) \cdot g'(x)\right)\;\mathrm dx = \left[f(x)\cdot g(x)\right]_a^b- \displaystyle\int_{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\;\mathrm dx$
$ \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) \cdot g'(x)\right)\;\mathrm dx =… $
Vergleichst du diese mit dem Ansatz in Material 1, stellst du fest, dass hier die partielle Integration verwendet wird.
$\blacktriangleright$  Herleitung vervollständigen
Wende die Formel von oben erneut an.
$\begin{array}[t]{rll} & \left(t^2-2t-4\right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} + \displaystyle\int \left(-2t+2 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}\;\mathrm dt \\[5pt] =& \left(t^2-2t-4 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}+(-2t +2)\cdot (-2)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} - \displaystyle\int(-2)\cdot (-2)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}\;\mathrm dt \\[5pt] =& \left(t^2 -2t -4+4t-4 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} - \displaystyle\int 4\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}\;\mathrm dt \\[5pt] =& \left(t^2+2t-8\right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} - 4\cdot(-2)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} +C \\[5pt] =& \left(t^2+2t-8 +8 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} + C \\[5pt] =& \left(t^2+2t \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} + C \\[5pt] \end{array}$
$ G(t)= \left(t^2+2t \right)\cdot …$
Insgesamt gilt also für die Stammfunktionen von $g$:
$G(t) = \left(t^2+2t \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} + C $
#partielleintegration
2.4
$\blacktriangleright$  Bedingungen untersuchen
Zu Modell $B$ ist dir die Funktion $g$ gegeben, die die Änderungsrate des Inhalts der mit Algen bedeckten Fläche beschreibt. Oben hast du bereits die Gleichungen der Stammfunktionen $G$ von $g$ bestimmt.
Da $g$ die Änderungsrate beschreibt, kann $G$ verwendet werden, um den Flächeninhalt zum Zeitpunkt $t$ zu beschreiben. Gesucht ist nun $C$, damit $G$ näherungsweise die Werte aus dem Einführungstext erfüllt.
Setze also die Werte wie in Aufgabe 1.1 in $G(t)$ ein und löse nach $C$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} G(0)&=&0,1 \\[5pt] \left(0^2+2\cdot 0 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 0} + C&=& 0,1 \\[5pt] C&=& 0,1 \\[5pt] \end{array}$
$ C= 0,1 $
Überprüfe damit auch den zweiten Wert aus dem Einführungstext. Nach zwei Monaten bedeckt die Algenart ca. $3\,\text{a}$ des Sees, also $G(2)=3$.
$\begin{array}[t]{rll} G(2)&=& \left(2^2+2\cdot 2 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 2} +0,1 \\[5pt] &=& 8\cdot \mathrm e^{-1} + 0,1 \\[5pt] &\approx& 3,04\\[5pt] &\approx& 3 \end{array}$
$ G(2) \approx 3 $
Mit $C= 0,1$ passt Modell $B$ näherungsweise zu den im einleitenden Text beschriebenen Werten.
3.
$\blacktriangleright$  Grenzwert bestimmen
Gesucht ist der Grenzwert $\lim\limits_{t\to+\infty}h(t)$. Der Funktionsterm von $h(t)$ ist ein Bruch, bei dem die Variable im Nenner steht. Betrachte also zunächst den Nenner und bilde anschließend den Grenzwert der gesamten Funktion.
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{t\to+\infty} \left(0,1 + 3,4\cdot \mathrm e^{-2,66\cdot t}\right)&=& 0,1+ \lim\limits_{t\to+\infty} \left(3,4\cdot \mathrm e^{-2,66\cdot t}\right) \\[5pt] &=& 0,1+ 3,4\cdot \underbrace{\lim\limits_{t\to+\infty} \dfrac{1}{\mathrm e^{2,66\cdot t}}}_{= 0}\\[5pt] &=& 0,1 \\[5pt] \end{array}$
$ \lim\limits_{t\to+\infty} \left(0,1 + …\right) = 0,1 $
Insgesamt erhältst du damit:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{t\to+\infty}h(t)&=& \lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{0,35}{0,1 + 3,4\cdot \mathrm e^{-2,66\cdot t}} \\[5pt] &=& \dfrac{0,35}{0,1} \\[5pt] &=& 3,5 \end{array}$
$ \lim\limits_{t\to+\infty}h(t) = 3,5$
$\blacktriangleright$  Grenzwert im Sachzusammenhang deuten
Die Funktion $h$ beschreibt im Modell $C$ den Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche des Sees. Der Grenzwert beschreibt die Entwicklung auf lange Sicht.
Auf lange Sicht werden nach Modell $C$ ca. $3,5\,\text{a}$ des Sees mit der Algenart bedeckt sein.
4.
$\blacktriangleright$  Langfristige Entwicklung für Modell A untersuchen
Im Modell A wird die Größe der mit Algen bedeckten Fläche in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Monaten durch folgende Funktion beschrieben:
$f(t)= 0,1\cdot \mathrm e^{1,7\cdot t}$
Betrachte den Grenzwert $\lim\limits_{t\to+\infty} f(t)$ um den langfristigen Verlauf der Ausbreitung der Algen einzuschätzen.
Es ist:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{t\to+\infty} f(t)&=&\lim\limits_{t\to+\infty} 0,1\cdot \mathrm e^{1,7\cdot t} \\[5pt] &=& 0,1\cdot \lim\limits_{t\to+\infty} \mathrm e^{1,7\cdot t} \\[5pt] &=& 0,1\cdot \infty \\[5pt] &=& \infty \end{array}$
$ \lim\limits_{t\to+\infty} f(t) = \infty$
Im Modell A nimmt der Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche des Sees langfristig gesehen immer weiter zu, da für den Funktionsterm von $f$ für $t\to \infty$ gilt $f(t) \to \infty.$ Der Funktionswert und damit auch die Ausbreitung der Alge auf dem See wächst also unbegrenzt immer weiter an.
$\blacktriangleright$  Langfristige Entwicklung für Modell B untersuchen
Im Modell B wird die Änderungsrate der mit Algen bedeckten Fläche in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Monaten durch folgende Funktion beschrieben:
$g(t)= \left(-0,5t^2+t+2 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}$
Betrachte den Grenzwert $\lim\limits_{t\to+\infty} g(t)$ um den langfristigen Verlauf der Wachstumsrate der Algen einzuschätzen.
Es ist:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{t\to+\infty} g(t)&=&\lim\limits_{t\to+\infty} \underbrace{\left(-0,5t^2+t+2 \right)}_{\to -\infty}\cdot \underbrace{\mathrm e^{-0,5\cdot t}}_{\to 0 }\\[5pt] &=& -0 \\[5pt] \end{array}$
$ \lim\limits_{t\to+\infty} g(t) = -0 $
Im Modell B bleibt die Änderungsrate der mit Algen bedeckten Fläche des Sees langfristig gesehen negativ, auch wenn sie sich immer weiter null annähert. Langfristig gesehen, nimmt im Modell B also der Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche immer weiter ab. Die Algenart wird also irgendwann nicht mehr auf dem See existieren.
$\blacktriangleright$  Realitätsnähe der Modelle beurteilen
In Modell A würde sich die Algenart ungehindert verbreiten und der Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche immer weiter exponentiell zunehmen, ohne Begrenzung. In der Realität ist aber die Größe der Fläche durch die Größe des Sees begrenzt. Über den See hinaus, kann sich die Algenart nicht ausbreiten.
Modell A ist langfristig also nicht realistisch.
In Modell B nimmt die Änderungsrate der mit Algen bedeckten Fläche zunächst stark zu, fällt dann schnell, bis sie ihren Tiefpunkt erreicht, an dem die mit Algen bedeckte Fläche am schnellsten wieder abnimmt. Anschließend bleibt sie im negativen Bereich, sodass die Ausbreitung der Algenart nach einem schnellen Wachstum wieder stark zurückgeht und auch nicht wieder zunimmt. Die Algenart wird also langfristig auf dem See nicht mehr vorhanden sein.
Dieses Modell ist zwar in der Realität möglich, da die Algen beispielsweise ihr gesamtes Nahrungsangebot aufgebraucht haben könnten, aber relativ unwahrscheinlich.
In Modell C pendelt sich die Ausbreitung der Algenart langfristig so ein, dass ca. $3,5\,\text{a}$ des Sees mit der Algenart bedeckt sind.
Dieses Modell ist das realistischste. Die Algenart wäre in dem Fall Teil des stabilen Ökosystems des Sees und würde weder vollständig verschwinden noch sich ungehindert ausbreiten. Die Algenart würde sich dann gemäß ihres Nahrungsangebots, Platzangebots und möglichen Feinden auf einen stabilen Bestand hin ausbreiten und diesen halten.
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