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Aufgaben
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In einem Wohnhaus, dessen Hauswand in der $y$-$z$-Ebene liegt, wird über einer rechteckigen, in der $x$-$y$-Ebene gelegenen Fläche $ABCD$ eine Terrasse gebaut (Material). Dabei ist $C$ der Ursprung des Koordinatensystems.
Um Regenwasser sicher vom Haus fernzuhalten, hat die ebene Oberfläche $A_1B_1C_1D_1$ der Terrasse entlang aller Kanten gegenüber der $x$-$y$-Ebene jeweils ein Gefälle von $1,5\,\%.$
Die Koordinaten der Eckpunkte der Terrasse lauten $A_1= A(6\mid 12\mid 0)$, $B_1(0\mid 12\mid 0,09)$, $C_1(0\mid 0\mid0,27)$, $D_1(6\mid 0\mid z_{D_1}).$ Die Punkte $B_1$, $C_1$, $D_1$ liegen in vertikaler Richtung jeweils oberhalb der Punkte $B$, $C$, $D.$
Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
1.1
Gib die Koordinaten der Punkte $B$ und $D$ an und berechne die fehlende Koordinate $z_{D_1}$ des Punktes $D_1$.
(4 BE)
1.2
Zeige, dass die Oberfläche der Terrasse in der Ebene $T:\; 3x+3y+200z = 54$ liegt.
(4 BE)
#ebenengleichung
1.3
Um zu erreichen, dass Wasser gut ablaufen kann, wird ein Gefälle der Terrassenoberfläche gegenüber der $x$-$y$-Ebene von mindestens $2\,\%$ empfohlen. Prüfe, ob diese Bedingung erfüllt ist.
(5 BE)
2.
Entlang der Hauswand wird eine rechteckige Teilüberdeckung der Terrasse mit den Eckpunkten $P_1(3\mid 1\mid 2,4)$, $P_2$, $H_2(0\mid 9\mid 2,5)$ und $H_1(0\mid 1\mid 2,5)$ angebracht (Material).
Die Teilüberdeckung ist über zwei Stahlseile in den Punkten $S_1$, $S_2$ an der Hauswand befestigt. Dabei liegt der Punkt $S_1$ vertikal über $H_1$ und der Punkt $S_2$ vertikal über $H_2$.
2.1
Regenwasser auf der Überdachung soll von $P_1$ durch ein vertikal verlaufendes Fallrohr geleitet werden. Hierfür muss die Terrassenoberfläche durchbohrt werden. Bestimme den Punkt $G$, in dem die Bohrung auf der Terrassenoberfläche vorgenommen werden muss.
(4 BE)
2.2
Die Stahlseile der Überdachung sollen so an der Hauswand befestigt werden, dass der Winkel $\beta $ zwischen dem von $S_1$ nach $P_1$ verlaufenden Stahlseil und der Hauswand $60^{\circ}$ beträgt.
Untersuche, wie die Koordinaten des Verankerungspunkts $S_1$ gewählt werden müssen.
(5 BE)
3.
Die Koordinaten der Punkte der Terrassenoberfläche, die in vertikaler Richtung unterhalb der Überdachung liegen, erhält man mithilfe einer Abbildung, die jeden Punkt des Rechtecks $P_1P_2H_2H_1$ parallel zur $z$-Achse auf die Ebene $T$ projiziert.
3.1
$T_1$ ist diejenige Ebene, die parallel zur Ebene $T$ und durch den Punkt $C(0\mid 0\mid 0)$ verläuft. Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix $M$ einer Abbildung, mit deren Hilfe alle Punkte des Raums parallel zur $z$-Achse auf $T_1$ projiziert werden.
(6 BE)
3.2
Stelle die Abbildung, mit deren Hilfe man die Koordinaten der Punkte der Terrassenoberfläche, die in vertikaler Richtung unterhalb der Überdachung liegen, bestimmen kann, in der Form $\overrightarrow{x}' = M \cdot \overrightarrow{x}+\overrightarrow{k}$ dar.
(2 BE)
Material
Hinweis: Die Abbildung ist nicht maßstabsgerecht.
Bildnachweise [nach oben]
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1.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten angeben
Du kannst hier folgende Informationen verwenden:
  • Die Punkte $B_1$, $C_1$ und $D_1$ liegen in vertikaler Richtung oberhalb von $B$, $C$ und $D$.
  • Die Fläche $ABCD$ liegt in der $x$-$y$-Ebene.
  • Das Gefälle der Kanten gegenüber der $x$-$y$-Ebene beträgt $1,5\,\%$.
1.2
$\blacktriangleright$  Lage der Oberfläche zeigen
Du sollst zeigen, dass die Oberfläche der Terrasse in der Ebene $T$ liegt. Die Oberfläche wird von den vier Eckpunkten $A_1$, $B_1$, $C_1$ und $D_1$ begrenzt. Zeige also, dass die vier Eckpunkte in der Ebene liegen.
Führe dazu Punktproben durch.
1.3
$\blacktriangleright$  Bedingung überprüfen
Die Terrassenoberfläche liegt in der Ebene $T$. Überprüfe also das Gefälle der Ebene $T$ gegenüber der $x$-$y$-Ebene, indem du den Schnittwinkel $\alpha$ berechnest: Dafür kannst du folgende Formel verwenden:
$\cos \alpha = \dfrac{\left| \overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2\right|}{\left|\overrightarrow{n}_1 \right|\cdot \left|\overrightarrow{n}_2 \right|}$
$\cos \alpha = \dfrac{\left| \overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2\right|}{\left|\overrightarrow{n}_1 \right|\cdot \left|\overrightarrow{n}_2 \right|}$
2.1
$\blacktriangleright$  Bohrungspunkt bestimmen
Der Punkt $G$, in dem gebohrt werden soll, muss in der Terrassenoberfläche, also in der Ebene $T$ liegen. Zusätzlich liegt er vertikal unter dem Punkt $P_1$. Er muss also die gleiche $x$- und $y$-Koordinate wie $P_1$ besitzen.
Setze also die $x$- und $y$-Koordinaten von $P_1$ in die Ebenengleichung von $T$ ein und löse die Gleichung nach $z$.
2.2
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Verankerungspunkts untersuchen
Die Hauswand liegt in der $y$-$z$-Ebene. Der Winkel $\beta$ ist also der Schnittwinkel zwischen der $y$-$z$-Ebene und der Gerade durch $P_1$ und $S_1$. Dieser soll $60^{\circ}$ betragen. Verwende also die Formel für den Schnittwinkel einer Gerade und einer Ebene:
$\sin \beta = \dfrac{\left|\overrightarrow{n}\circ \overrightarrow{r} \right|}{\left|\overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{r} \right|}$
$\sin \beta = \dfrac{\left|\overrightarrow{n}\circ \overrightarrow{r} \right|}{\left|\overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{r} \right|}$
Ein Normalenvektor der $y$-$z$-Ebene ist beispielsweise $\overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\0\\0}$. Als Richtungsvektor der Gerade kannst du $\overrightarrow{P_1S_1}$ verwenden. Beachte, dass $S_1$ vertikal über $H_1$ liegt, also die gleichen $x$- und $y$-Koordinaten hat, also gilt $S_1(0\mid 1 \mid z_{S_1})$.
3.1
$\blacktriangleright$  Abbildungsmatrix bestimmen
Gesucht ist eine Abbildungsmatrix $M$, die alle Punkte parallel zur $z$-Achse auf $T_1$ projiziert. Dies bedeutet, dass die $x$- und $y$-Koordinaten der Punkte erhalten bleiben sollen und sich nur die $z$-Koordinate so ändert, dass der Punkt in $T_1$ liegt.
Stelle dazu zunächst eine Ebenengleichung von $T_1$ auf. Stelle anschließend eine Gleichung folgender Form auf:
$M\cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{p}'$
$M\cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{p}'$
Überlege dir, welche Bedingungen $\overrightarrow{x}'$ erfüllen soll und wähle dementsprechend die Einträge der Matrix $M$.
3.2
$\blacktriangleright$  Abbildung darstellen
Zuvor hast du eine Abbildungsmatrix $M$ der Abbildung bestimmt, mit denen man die Punkte der Ebene $T_1$ bestimmen kann, die in vertikaler Richtung unterhalb der Überdachung liegen. Nun sollst du diese Matrix verwenden, um eine Abbildung der Form $\overrightarrow{x}' = M\cdot \overrightarrow{x} + \overrightarrow{k}$ zu benennen, mit der die Punkte vertikal unterhalb der Überdachung in der Ebene $T$ bestimmt werden sollen.
Die Ebene $T$ ist parallel zur Ebene $T_1$. Die Punkte müssen also nach der Abbildung auf die Ebene $T_1$ noch mit Hilfe des Vektors $\overrightarrow{k}$ verschoben werden. Diese Verschiebung findet entlang der $z$-Achse statt.
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1.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten angeben
Du kannst hier folgende Informationen verwenden:
  • Die Punkte $B_1$, $C_1$ und $D_1$ liegen in vertikaler Richtung oberhalb von $B$, $C$ und $D$.
  • Die Fläche $ABCD$ liegt in der $x$-$y$-Ebene.
  • Das Gefälle der Kanten gegenüber der $x$-$y$-Ebene beträgt $1,5\,\%$.
Der Punkt $B$ liegt in vertikaler Richtung unterhalb des Punkts $B_1$, muss also die gleiche $x$- und $y$-Koordinate haben wie dieser. Da $B$ in der $x$-$y$-Ebene liegt, muss die $z$-Koordinate null sein:
$B(0\mid 12\mid 0)$
$D$ muss die gleichen $x$- und $y$-Koordinaten wie $D_1$ haben, es gilt $z_D = 0$:
$D(6\mid 0 \mid 0)$
Für die fehlende $z$-Koordinate nutzt du das Gefälle der Kante $\overline{D_1A_1}$ aus. Es soll $1,5\,\%$ gegenüber der $x$-$y$-Ebene betragen. Da $D$ und $A$ bzw. $A_1$ in der $x$-$y$-Ebene liegen und $D_1$ vertikal gesehen über $D$ liegt, besitzt das Dreieck $D_1DA_1$ einen rechten Winkel bei $D$.
Die Strecke $\overline{DA_1}$ besitzt eine Länge von $12\,\text{LE}$. Ein Gefälle von $1,5\,\%$ bedeutet eine vertikale Differenz von $1,5\,\text{LE}$ auf einer horizontalen Strecke der Länge $100\,\text{LE}$.
Pro Längeneinheit muss also ein Gefälle von $0,015\,\text{LE}$ in vertikale Richtung erfolgen. Bei $12\,\text{LE}$, müssen es also $0,18\,\text{LE}$ sein.
Da $D_1$ vertikal über $D$ liegt, und $D$ in der $x$-$y$-Ebene liegt ist dies also die $z$-Koordinate von $D_1$:
$D_1(6\mid 0\mid 0,18)$
1.2
$\blacktriangleright$  Lage der Oberfläche zeigen
Du sollst zeigen, dass die Oberfläche der Terrasse in der Ebene $T$ liegt. Die Oberfläche wird von den vier Eckpunkten $A_1$, $B_1$, $C_1$ und $D_1$ begrenzt. Zeige also, dass die vier Eckpunkte in der Ebene liegen.
Führe dazu Punktproben durch:
Für die Koordinaten von $A_1$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} T:\; 3x+3y+200z&=& 54 \\[10pt] 3\cdot 6 +3\cdot 12 +200\cdot 0&=&54 \\[5pt] 18 + 36 &=&54 \\[5pt] 54&=& 54 \\[5pt] \end{array}$
$ 54 = 54 $
$A_1$ liegt in $T$. Für $B_1$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} T:\; 3x+3y+200z&=& 54 \\[10pt] 3\cdot 0 +3\cdot 12 +200\cdot 0,09&=&54 \\[5pt] 36 + 18 &=&54 \\[5pt] 54&=& 54 \\[5pt] \end{array}$
$ 54 = 54$
$B_1$ liegt in $T$. Für $C_1$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} T:\; 3x+3y+200z&=& 54 \\[10pt] 3\cdot 0 +3\cdot 0 +200\cdot 0,27&=&54 \\[5pt] 54 &=&54 \\[5pt] \end{array}$
$ 54 = 54$
$C_1$ liegt in $T$. Für $D_1$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} T:\; 3x+3y+200z&=& 54 \\[10pt] 3\cdot 6 +3\cdot 0 +200\cdot 0,18 &=&54 \\[5pt] 18 + 36 &=&54 \\[5pt] 54&=& 54 \\[5pt] \end{array}$
$ 54 = 54 $
Alle vier Eckpunkte der Terrassenoberfläche liegen in $T$. Also liegt die Oberfläche ebenfalls in der Ebene $T$.
1.3
$\blacktriangleright$  Bedingung überprüfen
Die Terrassenoberfläche liegt in der Ebene $T$. Überprüfe also das Gefälle der Ebene $T$ gegenüber der $x$-$y$-Ebene, indem du den Schnittwinkel $\alpha$ berechnest: Dafür kannst du folgende Formel verwenden:
$\cos \alpha = \dfrac{\left| \overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2\right|}{\left|\overrightarrow{n}_1 \right|\cdot \left|\overrightarrow{n}_2 \right|}$
$\cos \alpha = \dfrac{\left| \overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2\right|}{\left|\overrightarrow{n}_1 \right|\cdot \left|\overrightarrow{n}_2 \right|}$
Ein Normalenvektor der $x$-$y$-Ebene ist beispielsweise $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{0\\0\\1}$. Einen Normalenvektor von $T$ kannst du aus der Ebenengleichung ablesen $\overrightarrow{n}_2 = \pmatrix{3\\3\\200}.$
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{\left| \overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2\right|}{\left|\overrightarrow{n}_1 \right|\cdot \left|\overrightarrow{n}_2 \right|} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{\left| \pmatrix{0\\0\\1} \circ \pmatrix{3\\3\\200}\right|}{\left| \pmatrix{0\\0\\1} \right|\cdot \left|\pmatrix{3\\3\\200} \right|} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{200}{1\cdot \sqrt{3^2+3^2+200^2}} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{200}{ \sqrt{40.018}}&\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 1,215^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha \approx 1,215^{\circ} $
Eine Prozentangabe für das Gefälle erhältst du mit dem Tangens:
$\tan(\alpha) \approx 0,0212 = 2,12\,\% > 2\,\% $
$ \tan(\alpha) > 2\,\% $
Die Bedingung ist also erfüllt.
#schnittwinkel
2.1
$\blacktriangleright$  Bohrungspunkt bestimmen
Der Punkt $G$, in dem gebohrt werden soll, muss in der Terrassenoberfläche, also in der Ebene $T$ liegen. Zusätzlich liegt er vertikal unter dem Punkt $P_1$. Er muss also die gleiche $x$- und $y$-Koordinate wie $P_1$ besitzen.
Setze also die $x$- und $y$-Koordinaten von $P_1$ in die Ebenengleichung von $T$ ein und löse die Gleichung nach $z$.
$\begin{array}[t]{rll} T:\; 3x+3y+200z &=& 54 &\quad \scriptsize \mid\; x=3,\; y=1 \\[5pt] 3\cdot 3+3\cdot 1+200z&=& 54 \\[5pt] 12 +200z&=& 54 &\quad \scriptsize \mid\;-12 \\[5pt] 200z&=& 42 &\quad \scriptsize \mid\; :200\\[5pt] z&=& 0,21 \end{array}$
$ z = 0,21 $
Die Koordinaten des Punkts, in dem gebohrt werden muss, lauten also $G(3\mid 1\mid 0,21).$
2.2
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Verankerungspunkts untersuchen
Die Hauswand liegt in der $y$-$z$-Ebene. Der Winkel $\beta$ ist also der Schnittwinkel zwischen der $y$-$z$-Ebene und der Gerade durch $P_1$ und $S_1$. Dieser soll $60^{\circ}$ betragen. Verwende also die Formel für den Schnittwinkel einer Gerade und einer Ebene:
$\sin \beta = \dfrac{\left|\overrightarrow{n}\circ \overrightarrow{r} \right|}{\left|\overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{r} \right|}$
$\sin \beta = \dfrac{\left|\overrightarrow{n}\circ \overrightarrow{r} \right|}{\left|\overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{r} \right|}$
Ein Normalenvektor der $y$-$z$-Ebene ist beispielsweise $\overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\0\\0}$. Als Richtungsvektor der Gerade kannst du $\overrightarrow{P_1S_1}$ verwenden. Beachte, dass $S_1$ vertikal über $H_1$ liegt, also die gleichen $x$- und $y$-Koordinaten hat, also gilt $S_1(0\mid 1 \mid z_{S_1})$.
Für den Richtungsvektor gilt demnach:
$\overrightarrow{r} = \pmatrix{-3\\0\\z_{S_1}-2,4}$
$\begin{array}[t]{rll} \sin 60^{\circ}&=& \dfrac{\left|\overrightarrow{n}\circ \overrightarrow{r} \right|}{\left|\overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{r} \right|} \\[5pt] \sin 60^{\circ}&=& \dfrac{\left|\pmatrix{1\\0\\0}\circ \pmatrix{-3\\0\\z_{S_1}-2,4} \right|}{\left|\pmatrix{1\\0\\0} \right| \cdot \left|\pmatrix{-3\\0\\z_{S_1}-2,4} \right|} \\[5pt] \sin 60^{\circ}&=& \dfrac{3}{1 \cdot \sqrt{(-3)^2+0^2+(z_{S_1}-2,4)^2}} \\[5pt] \sin 60^{\circ}&=& \dfrac{3}{\sqrt{9+(z_{S_1}-2,4)^2}}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{ \sqrt{9+(z_{S_1}-2,4)^2}}{\sin 60^{\circ}}\\[5pt] \sqrt{9+(z_{S_1}-2,4)^2}&=& \dfrac{3}{\sin 60^{\circ}} &\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] 9+(z_{S_1}-2,4)^2&=&\dfrac{9}{\left(\sin 60^{\circ}\right)^2} \\[5pt] 9+ z_{S_1}^2-4,8z_{S_1}+ 5,76&=& \dfrac{9}{\left(\sin 60^{\circ}\right)^2} &\quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{9}{\left(\sin 60^{\circ}\right)^2} \\[5pt] z_{S_1}^2-4,8z_{S_1}+14,76-\dfrac{9}{\left(\sin 60^{\circ}\right)^2}&=&0\\[5pt] \end{array}$
Verwende die $p$-$q$-Formel:
$\begin{array}[t]{rll} z_{1,2}&=& -\dfrac{-4,8}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-4,8}{2}\right)^2- \left(14,76-\dfrac{9}{\left(\sin 60^{\circ}\right)^2}\right)} \\[5pt] &=&2,4\pm \sqrt{5,76 -14,76 + \dfrac{9}{\left(\sin 60^{\circ}\right)^2}} \\[5pt] &=& 2,4 \pm \sqrt{-9 + \dfrac{9}{\left(\sin 60^{\circ}\right)^2}} \\[5pt] &=& 2,4 \pm \sqrt{3} \\[5pt] z_1&\approx& 4,132 \\[5pt] z_2&\approx& 0,67 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} z_1&\approx& 4,132 \\[5pt] z_2&\approx& 0,67 \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $S_1$ muss vertikal oberhalb von $H_1$ liegen. Deshalb muss die $z$-Koordinate von $S_1$ größer sein als die von $H_1$. Die erste Lösung ist also die für den Sachverhalt richtige.
Die Koordinaten von $S_1$ müssen daher in etwa wie folgt gewählt werden: $S_1(0\mid 1\mid 4,132).$
#schnittwinkel
3.1
$\blacktriangleright$  Abbildungsmatrix bestimmen
Gesucht ist eine Abbildungsmatrix $M$, die alle Punkte parallel zur $z$-Achse auf $T_1$ projiziert. Dies bedeutet, dass die $x$- und $y$-Koordinaten der Punkte erhalten bleiben sollen und sich nur die $z$-Koordinate so ändert, dass der Punkt in $T_1$ liegt.
Stelle dazu zunächst eine Ebenengleichung von $T_1$ auf. Stelle anschließend eine Gleichung folgender Form auf:
$M\cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{p}'$
$M\cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{p}'$
Überlege dir, welche Bedingungen $\overrightarrow{x}'$ erfüllen soll und wähle dementsprechend die Einträge der Matrix $M$.
1. Schritt: Ebenengleichung aufstellen
Die Ebene $T_1$ liegt parallel zur Ebene $T$, besitzt also den gleichen Normalenvektor, dementsprechend stimmt die linke Seite der Ebenengleichungen überein. Um die rechte Seite zu bestimmen, setze die Koordinaten von $C$ in die linke Seite ein:
$3\cdot 0+3\cdot 0 +200\cdot 0 = 0 $
Also lautet die Ebenengleichung $T_1:\; 3x+3y+200z = 0.$
2. Schritt: Gleichung aufstellen
Es soll $M\cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{p}'$ gelten, also:
$M\cdot \pmatrix{x\\y\\z} = \pmatrix{x'\\y'\\z'}$
Dabei soll die $x$-Koordinate, sowie die $y$-Koordinate erhalten bleiben, also gilt $x'=x$ und $y'=y$. Es fehlt also noch eine Bedingung für $z'$, welches die Ebenengleichung von $T_1$ erfüllen muss. Löse also die Ebenengleichung nach $z'$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} T_1: \; 3x'+3y'+200z'&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; x'=x,\, y'=y \\[5pt] 3x+3y+200z'&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-3x-3y \\[5pt] 200z'&=& -3x-3y &\quad \scriptsize \mid\; :200 \\[5pt] z'&=&-0,015x-0,015y \\[5pt] \end{array}$
$ z' = -0,015x-0,015y $
Setze dies nun in die Gleichung ein:
$M\cdot \pmatrix{x\\y\\z} = \pmatrix{x\\y\\-0,015x-0,015y}$
$ M\cdot \pmatrix{x\\y\\z} = … $
3. Schritt: Einträge der Matrix bestimmen
$x$ soll auf $x$ und $y$ auf $y$ abgebildet werden, daher gilt für die Einträge der ersten beiden Zeilen bereits folgendes:
$M= \pmatrix{1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\ a & b & c}$
Die letzte Zeile muss $\pmatrix{x\\y\\z}$ auf $-0,015x-0,015y$ abbilden:
$a\cdot x +b\cdot y +c\cdot z = -0,015x-0,015y$
$a\cdot x +b\cdot y +c\cdot z $
$= -0,015x-0,015y$
Vergleichst du die Koeffizienten, erhältst du $a= -0,015$, $b= -0,015$ und $c =0$. Insgesamt ergibt sich damit folgende Abbildungsmatrix:
$M= \pmatrix{1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\ -0,015 & -0,015 & 0}$
3.2
$\blacktriangleright$  Abbildung darstellen
Zuvor hast du eine Abbildungsmatrix $M$ der Abbildung bestimmt, mit denen man die Punkte der Ebene $T_1$ bestimmen kann, die in vertikaler Richtung unterhalb der Überdachung liegen. Nun sollst du diese Matrix verwenden, um eine Abbildung der Form $\overrightarrow{x}' = M\cdot \overrightarrow{x} + \overrightarrow{k}$ zu benennen, mit der die Punkte vertikal unterhalb der Überdachung in der Ebene $T$ bestimmt werden sollen.
Die Ebene $T$ ist parallel zur Ebene $T_1$. Die Punkte müssen also nach der Abbildung auf die Ebene $T_1$ noch mit Hilfe des Vektors $\overrightarrow{k}$ verschoben werden. Diese Verschiebung findet entlang der $z$-Achse statt. Die ersten beiden Einträge von $\overrightarrow{k}$ sind also bereits Null.
$T$ entsteht durch eine Verschiebung der Ebene $T_1$ um $0,27$ Einheiten entlang der $z$-Achse. Dies kannst du mit Hilfe der Koordinaten von $C$ und $C_1$ oder durch Betrachtung der Ebenengleichungen bestimmen. Dadurch ergibt sich folgende Gleichung:
$\overrightarrow{x}' = M \cdot \overrightarrow{x} +\pmatrix{0\\0\\0,27}$
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Lösungen Casio
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1.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten angeben
Du kannst hier folgende Informationen verwenden:
  • Die Punkte $B_1$, $C_1$ und $D_1$ liegen in vertikaler Richtung oberhalb von $B$, $C$ und $D$.
  • Die Fläche $ABCD$ liegt in der $x$-$y$-Ebene.
  • Das Gefälle der Kanten gegenüber der $x$-$y$-Ebene beträgt $1,5\,\%$.
Der Punkt $B$ liegt in vertikaler Richtung unterhalb des Punkts $B_1$, muss also die gleiche $x$- und $y$-Koordinate haben wie dieser. Da $B$ in der $x$-$y$-Ebene liegt, muss die $z$-Koordinate null sein:
$B(0\mid 12\mid 0)$
$D$ muss die gleichen $x$- und $y$-Koordinaten wie $D_1$ haben, es gilt $z_D = 0$:
$D(6\mid 0 \mid 0)$
Für die fehlende $z$-Koordinate nutzt du das Gefälle der Kante $\overline{D_1A_1}$ aus. Es soll $1,5\,\%$ gegenüber der $x$-$y$-Ebene betragen. Da $D$ und $A$ bzw. $A_1$ in der $x$-$y$-Ebene liegen und $D_1$ vertikal gesehen über $D$ liegt, besitzt das Dreieck $D_1DA_1$ einen rechten Winkel bei $D$.
Die Strecke $\overline{DA_1}$ besitzt eine Länge von $12\,\text{LE}$. Ein Gefälle von $1,5\,\%$ bedeutet eine vertikale Differenz von $1,5\,\text{LE}$ auf einer horizontalen Strecke der Länge $100\,\text{LE}$.
Pro Längeneinheit muss also ein Gefälle von $0,015\,\text{LE}$ in vertikale Richtung erfolgen. Bei $12\,\text{LE}$, müssen es also $0,18\,\text{LE}$ sein.
Da $D_1$ vertikal über $D$ liegt, und $D$ in der $x$-$y$-Ebene liegt ist dies also die $z$-Koordinate von $D_1$:
$D_1(6\mid 0\mid 0,18)$
1.2
$\blacktriangleright$  Lage der Oberfläche zeigen
Du sollst zeigen, dass die Oberfläche der Terrasse in der Ebene $T$ liegt. Die Oberfläche wird von den vier Eckpunkten $A_1$, $B_1$, $C_1$ und $D_1$ begrenzt. Zeige also, dass die vier Eckpunkte in der Ebene liegen.
Führe dazu Punktproben durch:
Für die Koordinaten von $A_1$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} T:\; 3x+3y+200z&=& 54 \\[10pt] 3\cdot 6 +3\cdot 12 +200\cdot 0&=&54 \\[5pt] 18 + 36 &=&54 \\[5pt] 54&=& 54 \\[5pt] \end{array}$
$ 54 = 54 $
$A_1$ liegt in $T$. Für $B_1$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} T:\; 3x+3y+200z&=& 54 \\[10pt] 3\cdot 0 +3\cdot 12 +200\cdot 0,09&=&54 \\[5pt] 36 + 18 &=&54 \\[5pt] 54&=& 54 \\[5pt] \end{array}$
$ 54 = 54$
$B_1$ liegt in $T$. Für $C_1$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} T:\; 3x+3y+200z&=& 54 \\[10pt] 3\cdot 0 +3\cdot 0 +200\cdot 0,27&=&54 \\[5pt] 54 &=&54 \\[5pt] \end{array}$
$ 54 = 54$
$C_1$ liegt in $T$. Für $D_1$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} T:\; 3x+3y+200z&=& 54 \\[10pt] 3\cdot 6 +3\cdot 0 +200\cdot 0,18 &=&54 \\[5pt] 18 + 36 &=&54 \\[5pt] 54&=& 54 \\[5pt] \end{array}$
$ 54 = 54 $
Alle vier Eckpunkte der Terrassenoberfläche liegen in $T$. Also liegt die Oberfläche ebenfalls in der Ebene $T$.
1.3
$\blacktriangleright$  Bedingung überprüfen
Die Terrassenoberfläche liegt in der Ebene $T$. Überprüfe also das Gefälle der Ebene $T$ gegenüber der $x$-$y$-Ebene, indem du den Schnittwinkel $\alpha$ berechnest: Dafür kannst du folgende Formel verwenden:
$\cos \alpha = \dfrac{\left| \overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2\right|}{\left|\overrightarrow{n}_1 \right|\cdot \left|\overrightarrow{n}_2 \right|}$
$\cos \alpha = \dfrac{\left| \overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2\right|}{\left|\overrightarrow{n}_1 \right|\cdot \left|\overrightarrow{n}_2 \right|}$
Ein Normalenvektor der $x$-$y$-Ebene ist beispielsweise $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{0\\0\\1}$. Einen Normalenvektor von $T$ kannst du aus der Ebenengleichung ablesen $\overrightarrow{n}_2 = \pmatrix{3\\3\\200}.$
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{\left| \overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2\right|}{\left|\overrightarrow{n}_1 \right|\cdot \left|\overrightarrow{n}_2 \right|} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{\left| \pmatrix{0\\0\\1} \circ \pmatrix{3\\3\\200}\right|}{\left| \pmatrix{0\\0\\1} \right|\cdot \left|\pmatrix{3\\3\\200} \right|} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{200}{1\cdot \sqrt{3^2+3^2+200^2}} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{200}{ \sqrt{40.018}}&\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 1,215^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha \approx 1,215^{\circ} $
Eine Prozentangabe für das Gefälle erhältst du mit dem Tangens:
$\tan(\alpha) \approx 0,0212 = 2,12\,\% > 2\,\% $
$ \tan(\alpha) > 2\,\% $
Die Bedingung ist also erfüllt.
#schnittwinkel
2.1
$\blacktriangleright$  Bohrungspunkt bestimmen
Der Punkt $G$, in dem gebohrt werden soll, muss in der Terrassenoberfläche, also in der Ebene $T$ liegen. Zusätzlich liegt er vertikal unter dem Punkt $P_1$. Er muss also die gleiche $x$- und $y$-Koordinate wie $P_1$ besitzen.
Setze also die $x$- und $y$-Koordinaten von $P_1$ in die Ebenengleichung von $T$ ein und löse die Gleichung nach $z$.
$\begin{array}[t]{rll} T:\; 3x+3y+200z &=& 54 &\quad \scriptsize \mid\; x=3,\; y=1 \\[5pt] 3\cdot 3+3\cdot 1+200z&=& 54 \\[5pt] 12 +200z&=& 54 &\quad \scriptsize \mid\;-12 \\[5pt] 200z&=& 42 &\quad \scriptsize \mid\; :200\\[5pt] z&=& 0,21 \end{array}$
$ z = 0,21 $
Die Koordinaten des Punkts, in dem gebohrt werden muss, lauten also $G(3\mid 1\mid 0,21).$
2.2
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Verankerungspunkts untersuchen
Die Hauswand liegt in der $y$-$z$-Ebene. Der Winkel $\beta$ ist also der Schnittwinkel zwischen der $y$-$z$-Ebene und der Gerade durch $P_1$ und $S_1$. Dieser soll $60^{\circ}$ betragen. Verwende also die Formel für den Schnittwinkel einer Gerade und einer Ebene:
$\sin \beta = \dfrac{\left|\overrightarrow{n}\circ \overrightarrow{r} \right|}{\left|\overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{r} \right|}$
$\sin \beta = \dfrac{\left|\overrightarrow{n}\circ \overrightarrow{r} \right|}{\left|\overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{r} \right|}$
Ein Normalenvektor der $y$-$z$-Ebene ist beispielsweise $\overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\0\\0}$. Als Richtungsvektor der Gerade kannst du $\overrightarrow{P_1S_1}$ verwenden. Beachte, dass $S_1$ vertikal über $H_1$ liegt, also die gleichen $x$- und $y$-Koordinaten hat, also gilt $S_1(0\mid 1 \mid z_{S_1})$.
Für den Richtungsvektor gilt demnach:
$\overrightarrow{r} = \pmatrix{-3\\0\\z_{S_1}-2,4}$
$\begin{array}[t]{rll} \sin 60^{\circ}&=& \dfrac{\left|\overrightarrow{n}\circ \overrightarrow{r} \right|}{\left|\overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{r} \right|} \\[5pt] \sin 60^{\circ}&=& \dfrac{\left|\pmatrix{1\\0\\0}\circ \pmatrix{-3\\0\\z_{S_1}-2,4} \right|}{\left|\pmatrix{1\\0\\0} \right| \cdot \left|\pmatrix{-3\\0\\z_{S_1}-2,4} \right|} \\[5pt] \sin 60^{\circ}&=& \dfrac{3}{1 \cdot \sqrt{(-3)^2+0^2+(z_{S_1}-2,4)^2}} \\[5pt] \sin 60^{\circ}&=& \dfrac{3}{\sqrt{9+(z_{S_1}-2,4)^2}}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{ \sqrt{9+(z_{S_1}-2,4)^2}}{\sin 60^{\circ}}\\[5pt] \sqrt{9+(z_{S_1}-2,4)^2}&=& \dfrac{3}{\sin 60^{\circ}} &\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] 9+(z_{S_1}-2,4)^2&=&\dfrac{9}{\left(\sin 60^{\circ}\right)^2} \\[5pt] 9+ z_{S_1}^2-4,8z_{S_1}+ 5,76&=& \dfrac{9}{\left(\sin 60^{\circ}\right)^2} &\quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{9}{\left(\sin 60^{\circ}\right)^2} \\[5pt] z_{S_1}^2-4,8z_{S_1}+14,76-\dfrac{9}{\left(\sin 60^{\circ}\right)^2}&=&0\\[5pt] \end{array}$
Verwende die $p$-$q$-Formel:
$\begin{array}[t]{rll} z_{1,2}&=& -\dfrac{-4,8}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-4,8}{2}\right)^2- \left(14,76-\dfrac{9}{\left(\sin 60^{\circ}\right)^2}\right)} \\[5pt] &=&2,4\pm \sqrt{5,76 -14,76 + \dfrac{9}{\left(\sin 60^{\circ}\right)^2}} \\[5pt] &=& 2,4 \pm \sqrt{-9 + \dfrac{9}{\left(\sin 60^{\circ}\right)^2}} \\[5pt] &=& 2,4 \pm \sqrt{3} \\[5pt] z_1&\approx& 4,132 \\[5pt] z_2&\approx& 0,67 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} z_1&\approx& 4,132 \\[5pt] z_2&\approx& 0,67 \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $S_1$ muss vertikal oberhalb von $H_1$ liegen. Deshalb muss die $z$-Koordinate von $S_1$ größer sein als die von $H_1$. Die erste Lösung ist also die für den Sachverhalt richtige.
Die Koordinaten von $S_1$ müssen daher in etwa wie folgt gewählt werden: $S_1(0\mid 1\mid 4,132).$
#schnittwinkel
3.1
$\blacktriangleright$  Abbildungsmatrix bestimmen
Gesucht ist eine Abbildungsmatrix $M$, die alle Punkte parallel zur $z$-Achse auf $T_1$ projiziert. Dies bedeutet, dass die $x$- und $y$-Koordinaten der Punkte erhalten bleiben sollen und sich nur die $z$-Koordinate so ändert, dass der Punkt in $T_1$ liegt.
Stelle dazu zunächst eine Ebenengleichung von $T_1$ auf. Stelle anschließend eine Gleichung folgender Form auf:
$M\cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{p}'$
$M\cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{p}'$
Überlege dir, welche Bedingungen $\overrightarrow{x}'$ erfüllen soll und wähle dementsprechend die Einträge der Matrix $M$.
1. Schritt: Ebenengleichung aufstellen
Die Ebene $T_1$ liegt parallel zur Ebene $T$, besitzt also den gleichen Normalenvektor, dementsprechend stimmt die linke Seite der Ebenengleichungen überein. Um die rechte Seite zu bestimmen, setze die Koordinaten von $C$ in die linke Seite ein:
$3\cdot 0+3\cdot 0 +200\cdot 0 = 0 $
Also lautet die Ebenengleichung $T_1:\; 3x+3y+200z = 0.$
2. Schritt: Gleichung aufstellen
Es soll $M\cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{p}'$ gelten, also:
$M\cdot \pmatrix{x\\y\\z} = \pmatrix{x'\\y'\\z'}$
Dabei soll die $x$-Koordinate, sowie die $y$-Koordinate erhalten bleiben, also gilt $x'=x$ und $y'=y$. Es fehlt also noch eine Bedingung für $z'$, welches die Ebenengleichung von $T_1$ erfüllen muss. Löse also die Ebenengleichung nach $z'$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} T_1: \; 3x'+3y'+200z'&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; x'=x,\, y'=y \\[5pt] 3x+3y+200z'&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-3x-3y \\[5pt] 200z'&=& -3x-3y &\quad \scriptsize \mid\; :200 \\[5pt] z'&=&-0,015x-0,015y \\[5pt] \end{array}$
$ z' = -0,015x-0,015y $
Setze dies nun in die Gleichung ein:
$M\cdot \pmatrix{x\\y\\z} = \pmatrix{x\\y\\-0,015x-0,015y}$
$ M\cdot \pmatrix{x\\y\\z} = … $
3. Schritt: Einträge der Matrix bestimmen
$x$ soll auf $x$ und $y$ auf $y$ abgebildet werden, daher gilt für die Einträge der ersten beiden Zeilen bereits folgendes:
$M= \pmatrix{1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\ a & b & c}$
Die letzte Zeile muss $\pmatrix{x\\y\\z}$ auf $-0,015x-0,015y$ abbilden:
$a\cdot x +b\cdot y +c\cdot z = -0,015x-0,015y$
$a\cdot x +b\cdot y +c\cdot z $
$= -0,015x-0,015y$
Vergleichst du die Koeffizienten, erhältst du $a= -0,015$, $b= -0,015$ und $c =0$. Insgesamt ergibt sich damit folgende Abbildungsmatrix:
$M= \pmatrix{1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\ -0,015 & -0,015 & 0}$
3.2
$\blacktriangleright$  Abbildung darstellen
Zuvor hast du eine Abbildungsmatrix $M$ der Abbildung bestimmt, mit denen man die Punkte der Ebene $T_1$ bestimmen kann, die in vertikaler Richtung unterhalb der Überdachung liegen. Nun sollst du diese Matrix verwenden, um eine Abbildung der Form $\overrightarrow{x}' = M\cdot \overrightarrow{x} + \overrightarrow{k}$ zu benennen, mit der die Punkte vertikal unterhalb der Überdachung in der Ebene $T$ bestimmt werden sollen.
Die Ebene $T$ ist parallel zur Ebene $T_1$. Die Punkte müssen also nach der Abbildung auf die Ebene $T_1$ noch mit Hilfe des Vektors $\overrightarrow{k}$ verschoben werden. Diese Verschiebung findet entlang der $z$-Achse statt. Die ersten beiden Einträge von $\overrightarrow{k}$ sind also bereits Null.
$T$ entsteht durch eine Verschiebung der Ebene $T_1$ um $0,27$ Einheiten entlang der $z$-Achse. Dies kannst du mit Hilfe der Koordinaten von $C$ und $C_1$ oder durch Betrachtung der Ebenengleichungen bestimmen. Dadurch ergibt sich folgende Gleichung:
$\overrightarrow{x}' = M \cdot \overrightarrow{x} +\pmatrix{0\\0\\0,27}$
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