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Aufgaben
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Fluggesellschaften nehmen mehr Buchungen an als Sitzplätze in einem Flugzeug vorhanden sind, weil nicht alle Buchungen in Anspruch genommen werden.
Die fiktive Fluggesellschaft AER setzt auf der Strecke Frankfurt - London nur ein Flugzeug mit genau $80$ Sitzplätzen ein. Für jeden Flug dieser Strecke werden $92$ Buchungen angenommen.
Durchschnittlich erscheinen zu einem Flug $84\,\%$ der Personen, die diesen Flug gebucht haben. Im Folgenden wird diese relative Häufigkeit als Wahrscheinlichkeit angesehen. Außerdem soll davon ausgegangen werden, dass die Personen unabhängig voneinander jeweils mit der gleichen Wahrscheinlichkeit zu einem Flug erscheinen.
1.1
Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass zu einem Flugzeug mit $92$ Buchungen genau $83$ Personen erscheinen und zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass zu diesem Flug höchstens $80$ Personen erscheinen, $81,89\,\%$ beträgt.
(4 BE)
1.2
In einer Woche fliegt AER achtmal die Strecke Frankfurt - London.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, mit der mindestens zu einem dieser acht Flüge mehr Personen zum Flug erscheinen als das Flugzeug Sitzplätze besitzt.
(4 BE)
1.3
Berechne, wie viele Flüge von AER auf der Strecke Frankfurt - London mindestens beobachtet werden müssen, damit unter diesen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens ein Flug ist, zu dem mehr Personen erscheinen als das Flugzeug Sitzplätze besitzt.
(4 BE)
2.
Für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, dass genau $75$ Personen zu einem Flug erscheinen, wurden in einer Klausur die folgenden Lösungen von Schülern angbeoten.
$\blacktriangleright$ Lösung A
$P(X=75) = \binom{92}{75}\cdot 0,84^{75}\cdot 0,16^{17} \approx 0,0871$
$\blacktriangleright$ Lösung B
$\begin{array}[t]{rll} z&\approx& \dfrac{75-77,28 + 0,5}{\sqrt{\frac{7.728}{625}}} &\approx& -0,51 & \quad \Phi(-0,51)\approx 0,3050 \\[10pt] z&\approx& \dfrac{74-77,28 + 0,5}{\sqrt{\frac{7.728}{625}}} &\approx& -0,79 & \quad \Phi(-0,79)\approx 0,2148 \\[5pt] \end{array}$
$P(X=75)\approx 0,3050 - 0,2148 = 0,0902$
Erkläre die beiden vorgelegten Lösungen für die Bestimmung der gesuchten Wahrscheinlichkeit. Gehe dabei auch auf die Voraussetzungen für die Verwendung des jeweiligen Ansatzes ein.
(5 BE)
3.
Die Flüge von AER waren in den letzten Jahren zu $80\,\%$ pünktlich. Im Folgenden wird diese relative Häufikeit für alle Flüge als Wahrscheinlichkeit angesehen. Weiterhin soll davon ausgegangen werden, dass Verspätungen unabhängig voneinander jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit erfolgen.
Das Unternehmen befürchtet, dass die Pünktlichkeit gesunken ist. Um zu testen, ob dies der Fall ist, werden die nächsten $1.000$ Flüge überprüft. Entwickle einen geeigneten Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ und gib die Entscheidungsregel im Sachzusammenhang an.
Beschreibe den Fehler 2. Art im Sachzusammenhang.
(7 BE)
#signifikanzniveau#hypothesentest
4.
Die Flugzeit eines Flugzeugs von AER von Frankfurt nach London beträgt im Mittel $\mu = 105\,\text{Minuten}$. Es ist bekannt, dass $10\,\%$ dieser Flüge sogar mehr als $110\,\text{Minuten}$ dauerten.
Die Zufallsgröße $X$ sei normalverteilt und beschreibe die Flugzeit eines Fluges von AER von Frankfurt nach London.
#normalverteilung
4.1
Zeige, dass die Standardabweichung $\sigma$ der Zufallsgröße $X$ auf zwei Nachkommastellen gerundet $3,90$ beträgt.
(3 BE)
#standardabweichung
4.2
Gib die sogenannte $\sigma$-Umgebung des Erwartungswertes der Zufallsgröße $X$, d.h. das Intervall $[\mu-\sigma; \mu+\sigma]$, an.
Es gilt: $P(\mu-\sigma \leq X \leq \mu+\sigma) \approx 0,68$
Beschreibe die Bedeutung des Wertes $0,68$ im Sachzusammenhang.
(3 BE)
#erwartungswert
Binomialsummenfunktion $\boldsymbol{F_{n;p}(k) = \displaystyle\sum\limits_{i=0}^k \binom{n}{i}\cdot p^{i}\cdot (1-p)^{n-i}}$ für $\boldsymbol{n=1.000}$
$p=$$ 0,75$$0,80$$\frac{5}{6}$
$k=$
$775$$0,9698$$0,0277$$0,0000$
$776$$0,9746$$0,0329$$0,0000$
$777$$0,9787$$0,0390$$0,0000$
$778$$0,9823$$0,0459$$0,0000$
$779$$0,9853$$0,0539$$0,0000$
$780$$0,9879$$0,0628$$0,0000$
$781$$0,9901$$0,0730$$0,0000$
$782$$0,9919$$0,0843$$0,0000$
$783$$0,9934$$0,0969$$0,0000$
$784$$0,9947$$0,1109$$0,0000$
$785$$0,9957$$0,1263$$0,0000$
$…$$…$$…$$…$
$815$$1,000$$0,8906$$0,0666$
$816$$1,000$$0,9050$$0,0779$
$817$$1,000$$0,9179$$0,0907$
$818$$1,000$$0,9295$$0,1050$
$819$$1,000$$0,9398$$0,1209$
$820$$1,000$$0,9489$$0,1384$
$821$$1,000$$0,9569$$0,1577$
$822$$1,000$$0,9638$$0,1786$
$823$$1,000$$0,9698$$0,2012$
$824$$1,000$$0,9750$$0,2255$
Die Werte $1,000$ und $0,0000$ bedeuten: Die angegebenen Wahrscheinlichkeiten sind auf vier Stellen gerundet $1,0000$ bzw. $0,0000.$
#binomialverteilung#binomialsummenfunktion
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit ermitteln
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem Flug mit $92$ Buchungen genau $83$ Personen erscheinen. Führe eine geeignete Zufallsgröße ein. Beachte dabei insbesondere folgende Informationen:
  • Die Personen erscheinen unabhängig voneinander mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu ihrem gebuchten Flug.
  • Im Schnitt erscheinen $84\,\%$ der Personen zu ihrem gebuchten Flug. Diese relative Häufigkeit soll als Wahrscheinlichkeit angesehen werden.
Berechne anschließend die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe deines GTRs oder der Formel für die Binomialverteilung:
$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X=k) $
$=$
$\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit nachweisen
Betrachtest du hier die Zufallsgröße $X$ von oben, dann ist nun $P(X \leq 80)$ gesucht. Du kannst den binomialCDf-Befehl deines Taschenrechners verwenden.
1.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Führe hierzu eine neue Zufallsgröße ein, die aus den gleichen Gründen wie $X$ binomialverteilt ist. Anschließend kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der entsprechenden Formeln und dem Gegenereignis berechnen.
1.3
$\blacktriangleright$  Mindestanzahl der Flüge berechnen
Betrachte hier die Zufallsgröße $Y_n$, die die Anzahl Flüge unter $n$ Flügen beschreibt, bei denen mehr Personen erscheinen als Sitzplätze vorhanden sind.
Diese ist wie $Y$ binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p = 0,1811$. Gesucht ist dann $n,$ sodass $P(Y_n \geq 1) \geq 0,95$ gilt. Forme diese Ungleichung mit Hilfe der Formel für die Binomialverteilung nach $n$ um.
2.
$\blacktriangleright$  Lösungen erklären
Beide Lösungswege werden verwendet um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass zu einem Flug mit $92$ Buchungen genau $75$ Personen erscheinen.
Überlege dir mögliche Lösungsansätze dafür und vergleiche mit den gegebenen Rechnungen. Achte auf die Voraussetzungen, die erfüllt sein müssen um den jeweiligen Ansatz verwenden zu können.
Möglichkeiten sind beispielsweise:
  • Binomialverteilung
  • Approximation der Binomialverteilung durch die Standardnormalverteilung durch Anwendung der Regel von DeMoivre-Laplace
3.
$\blacktriangleright$  Hypothesentest entwickeln
Mit dem Hypothesentest soll überprüft werden, ob die Pünktlichkeit gesunken ist, also ob die Wahrscheinlichkeit $p$ für einen pünktlichen Flug immernoch mindestens $80\,\%$ beträgt oder gesunken ist.
Gehe wie folgt vor:
  1. Überlege dir, um welche Art es sich bei dem Hypothesentest handelt, rechtsseitig oder linksseitig. Stelle die Nullhypothese und die Gegenhypothese auf.
  2. Führe eine geeignete Zufallsgröße $Y$ ein, die die Anzahl der pünktlichen Flüge in der Stichprobe beschreibt.
  3. Stelle eine Gleichung in Abhängigkeit der Anzahl $k$ der pünktlichen Flüge mit Hilfe des Signifikanzniveaus auf. Beachte dabei, dass das Signifikanzniveau die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, die Nullhypothese fälschlicherweise abzulehnen. Löse die Gleichung.
  4. Formuliere eine Entscheidungsregel.
$\blacktriangleright$  Fehler 2. Art im Sachzusammenhang beschreiben
Der Fehler 2. Art bedeutet die Nullhypothese fälschlicherweise zu bestätigen. Beziehe dies auf den Sachzusammenhang.
4.1
$\blacktriangleright$  Standardabweichung nachweisen
Berechne die Standardabweichung von $X$. Dazu hast du folgende Informationen gegeben:
  • $X$ ist normalverteilt.
  • $\mu = 105$
  • $10\,\%$ der Flüge dauerten mehr als $110\,\text{Minuten}$, also ist $P(X> 110) =0,1$
Du kannst hier die Formel für die Standardisierung einer normalverteilten Zufallsvariable verwenden, bei der du die normalverteilte Zufallsvariable auf die Standardnormalverteilung zurückführst:
$P(X \leq k) \approx \Phi \left(\dfrac{k-\mu}{\sigma}\right)$
$P(X \leq k) \approx \Phi \left(\dfrac{k-\mu}{\sigma}\right)$
Dabei ist $\Phi$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.
4.2
$\blacktriangleright$  Sigma-Umgebung angeben
Du kennst $\mu = 105$ und $\sigma \approx 3,90$. Setze also ein.
$\blacktriangleright$  Bedeutung des Werts im Sachzusammenhang beschreiben
Laut Aufgabenstellung gilt:
$P(\mu -\sigma \leq X\leq \mu+\sigma)\approx 0,68$
$P(\mu -\sigma \leq X\leq \mu+\sigma)$
$\approx 0,68$
Setze die berechneten Werte ein und interpretiere im Sachzusammenhang.
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1.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit ermitteln
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem Flug mit $92$ Buchungen genau $83$ Personen erscheinen. Führe eine geeignete Zufallsgröße ein. Beachte dabei insbesondere folgende Informationen:
  • Die Personen erscheinen unabhängig voneinander mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu ihrem gebuchten Flug.
  • Im Schnitt erscheinen $84\,\%$ der Personen zu ihrem gebuchten Flug. Diese relative Häufigkeit soll als Wahrscheinlichkeit angesehen werden.
Berechne anschließend die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe deines GTRs oder der Formel für die Binomialverteilung:
$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X=k) $
$=$
$\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
1. Schritt: Zufallsgröße definieren
Betrachte die Zufallsgröße $X$, die die Anzahl der Personen beschreibt, die bei $92$ Buchungen tatsächlich zum Flug erscheinen.
Dir ist die Wahrscheinlichkeit gegeben, dass im Schnitt $84\,\%$ aller Personen erscheinen, die den Flug gebucht haben. Außerdem treten Personen laut Aufgabenstellung unabhängig voneinander zum gebuchten Flug an. Du kannst diese Angabe also als Wahrscheinlichkeit dafür annehmen, dass eine betrachtete Person zu ihrem gebuchten Flug erscheint.
Insgesamt kann $X$ daher als binomialverteilt mit den Parametern $n=92$ und $p = 84\,\%=0,84$ angesehen werden.
2. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen
C - Stochastik
Abb. 1: Eingabe der Werte
C - Stochastik
Abb. 1: Eingabe der Werte
C - Stochastik
Abb. 2: Ergebnis mit dem GTR
C - Stochastik
Abb. 2: Ergebnis mit dem GTR
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $3,1\,\%$ erscheinen zu einem Flug mit $92$ Buchungen genau $83$ Personen.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit nachweisen
C - Stochastik
Abb. 3: Eingabe der Werte
C - Stochastik
Abb. 3: Eingabe der Werte
C - Stochastik
Abb. 4: Ergebnis mit dem GTR
C - Stochastik
Abb. 4: Ergebnis mit dem GTR
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $81,89\,\%$ erscheinen zu einem Flug mit $92$ Buchungen höchstens $80$ Personen.
#binomialverteilung
1.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Führe hierzu eine neue Zufallsgröße ein, die aus den gleichen Gründen wie $X$ binomialverteilt ist. Anschließend kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der entsprechenden Formeln und dem Gegenereignis berechnen.
1. Schritt: Zufallsgröße definieren
Betrachte die Zufallsgröße $Y,$ die die Anzahl der Flüge in einer Woche beschreibt, bei denen mehr Personen erscheinen, als das Flugzeug Sitzplätze hat. Aus den gleichen Gründen wie $X$ ist auch $Y$ binomialverteilt. Hier ist $n=8,$ da in einer Woche achtmal die Strecke geflogen wird.
Da ein Flugzeug genau $80$ Sitzplätze besitzt und immer $92$ Buchungen vergeben werden, hast du $1-p$ oben bereits berechnet:
$1-p = P(X\leq 80) \approx 81,89\,\%$
$\begin{array}[t]{rll} & 1-p \\[5pt] =& P(X\leq 80) \\[5pt] \approx& 81,89\,\% \end{array}$
Also ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem zufällig ausgewählten Flug mehr Personen erscheinen als das Flugzeug Sitzplätze besitzt $p= 18,11\,\%.$
2. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist $P(Y \geq 1)$. Du kannst diesen Ausdruck mit Hilfe des Gegenereignisses umformen und anschließend die Wahrscheinlichkeit wie oben berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 1)&=& 1- P(Y = 0) \\[5pt] &=&1- \binom{8}{0}\cdot 0,1811^0\cdot 0,8189^8 \\[5pt] &=&1- 0,8189^8 \\[5pt] &\approx& 0,7978\\[5pt] &=& 79,78\,\% \end{array}$
$ P(Y\geq 1) \approx 79,78\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $79,78\,\%$ erscheinen zu mindestens einem der acht Flüge mehr Personen als das Flugzeug Sitzplätze besitzt.
#binomialverteilung
1.3
$\blacktriangleright$  Mindestanzahl der Flüge berechnen
Betrachte hier die Zufallsgröße $Y_n$, die die Anzahl Flüge unter $n$ Flügen beschreibt, bei denen mehr Personen erscheinen als Sitzplätze vorhanden sind.
Diese ist wie $Y$ binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p = 0,1811$. Gesucht ist dann $n,$ sodass $P(Y_n \geq 1) \geq 0,95$ gilt. Forme diese Ungleichung mit Hilfe der Formel für die Binomialverteilung nach $n$ um:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y_n\geq 1)&\geq& 0,95 \\[5pt] 1- P(Y_n = 0)&\geq& 0,95 \\[5pt] 1-\binom{n}{0}\cdot 0,1811^0\cdot 0,8189^n&\geq&0,95 \\[5pt] 1-0,8189^n&\geq&0,95 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] -0,8189^n&\geq &-0,05 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] 0,8189^n&\leq&0,05 &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] n\cdot \ln(0,8189)&\leq&\ln(0,05) &\quad \scriptsize \mid\; : \ln(0,8189)< 0 \\[5pt] n&\geq& \dfrac{\ln(0,05)}{\ln(0,8189)} \approx 14,99\\[5pt] \end{array}$
$ n \geq 15 $
Es müssen mindestens $15$ Flüge beobachtet werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens ein Flug dabei ist, bei dem mehr Personen erscheinen als Sitzplätze vorhanden sind.
2.
$\blacktriangleright$  Lösungen erklären
Beide Lösungswege werden verwendet um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass zu einem Flug mit $92$ Buchungen genau $75$ Personen erscheinen.
Überlege dir mögliche Lösungsansätze dafür und vergleiche mit den gegebenen Rechnungen. Achte auf die Voraussetzungen, die erfüllt sein müssen um den jeweiligen Ansatz verwenden zu können.
Möglichkeiten sind beispielsweise:
  • Binomialverteilung
  • Approximation der Binomialverteilung durch die Standardnormalverteilung durch Anwendung der Regel von DeMoivre-Laplace
$\blacktriangleright$ Lösung A
Hier wird die Formel für die Binomialverteilung verwendet. Diese kann verwendet werden, da die Personen laut Aufgabenstellung unabhängig voneinander zum Flug erscheinen. Bei jeder Person ist die Wahrscheinlichkeit gleich, ob sie zu ihrem gebuchten Flug erscheint oder nicht.
$\blacktriangleright$ Lösung B
Hier wird die Binomialverteilung durch die Standardnormalverteilung approximiert. Es wurde $P(X = 75)$ als
$P(X=75) = P(X\leq 75)-P(X\leq 74)$
$\begin{array}[t]{rll} & P(X=75) \\[5pt] =&P(X\leq 75)-P(X\leq 74) \end{array}$
bestimmt, indem die beiden Wahrscheinlichkeiten $P(X\leq 75)$ und $P(X\leq 74)$ näherungsweise durch Anwendung der Regel von DeMoivre-Laplace mithilfe der Normalverteilung bestimmt wurden.
Dazu muss die Zufallsgröße $X$ standardisiert werden, was durch das Subtrahieren des Erwartungswerts $77,28$ und das dividieren durch die Standardabweichung $\sqrt{\frac{7.728}{625}}$ geschieht.
Durch den Summanden $+0,5$ wird eine Stetigkeitskorrektur durchgeführt.
Diese Methode kann nur dann angewendet werden, wenn die Laplace-Bedingung $\sigma > 3$ erfüllt ist. Dies ist hier der Fall, da $\sqrt{\frac{7.728}{625}}\approx 3,5$ ist.
#normalverteilung#binomialverteilung
3.
$\blacktriangleright$  Hypothesentest entwickeln
Mit dem Hypothesentest soll überprüft werden, ob die Pünktlichkeit gesunken ist, also ob die Wahrscheinlichkeit $p$ für einen pünktlichen Flug immernoch mindestens $80\,\%$ beträgt oder gesunken ist.
Gehe wie folgt vor:
  1. Überlege dir, um welche Art es sich bei dem Hypothesentest handelt, rechtsseitig oder linksseitig. Stelle die Nullhypothese und die Gegenhypothese auf.
  2. Führe eine geeignete Zufallsgröße $Y$ ein, die die Anzahl der pünktlichen Flüge in der Stichprobe beschreibt.
  3. Stelle eine Gleichung in Abhängigkeit der Anzahl $k$ der pünktlichen Flüge mit Hilfe des Signifikanzniveaus auf. Beachte dabei, dass das Signifikanzniveau die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, die Nullhypothese fälschlicherweise abzulehnen. Löse die Gleichung.
  4. Formuliere eine Entscheidungsregel.
1. Schritt: Art des Tests bestimmen
Mit dem Hypothesentest soll überprüft werden, ob die Wahrscheinlichkeit $p$ für einen pünktlichen Flug immernoch mindestens $80\,\%$ beträgt oder gesunken ist.
Die Fluggesellschaft geht dabei erstmal von einer unveränderten Wahrscheinlichkeit aus. Es gilt also:
Nullhypothese: $H_0:\; p \geq 0,8\quad$ Gegenhypothese: $H_1:\; p < 0,8$
2. Schritt: Zufallsgröße einführen
Betrachte die Zufallsgröße $Y$, die die Anzahl der pünktlichen Flüge beschreibt. Nimmt man an, dass diese gemäß der Nullhypothese verteilt ist, kann $Y$ als binomialverteilt angenommen werden mit den Parametern $n =1.000$ und $p = 0,80$.
3. Schritt: Gleichung aufstellen
Das Signifikanzniveau gibt an, dass die irrtümliche Ablehnung der Nullhypothese mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $5\,\%$ eintreten soll. Diese irrtümliche Ablehnung, kann nur dann eintreten, wenn signifikant zu wenig pünktliche Flüge in der Stichprobe auftreten.
Es ergibt sich also folgende Ungleichung in Abhängigkeit von $k$:
$P(Y \leq k) \leq 0,05 $
Mit Hilfe der Tabelle auf deinem Aufgabenblatt kannst du $k$ bestimmen, indem du für $p = 0,8$ das größte $k$ suchst, das gerade noch so die Ungleichung erfüllt.
$\begin{array}[t]{rll} P(Y\leq k)&\leq& 0,05 \\[5pt] P(Y \leq 778)&\approx& 0,0459\\[5pt] P(Y \leq 779)&\approx& 0,0539 \\[5pt] k &\leq& 778 \end{array}$
Also ist $k=778$.
4. Schritt: Entscheidungsregel formulieren
Wenn höchstens $778$ pünktliche Flüge beobachtet werden, wird die Nullhypothese $p \geq 0,80$ abgelehnt und die Vermutung, dass die Pünktlichkeit gesunken ist bestätigt. Man kann dann davon ausgehen, dass die Pünktlichkeit tatsächlich gesunken ist. Andernfalls wird die Nullhypothese nicht abgelehnt und es kann nicht von einer verringerten Pünktlichkeit ausgegangen werden.
$\blacktriangleright$  Fehler 2. Art im Sachzusammenhang beschreiben
Der Fehler 2. Art bedeutet die Nullhypothese fälschlicherweise zu bestätigen. In diesem Fall würde er also begangen werden, wenn mehr als $778$ pünktliche Flüge beobachtet werden, obwohl die Pünktlichkeit in Wahrheit doch gesunken ist. Die Fluggesellschaft würde dann fälschlicherweise davon ausgehen, dass die Pünktlichkeit nicht gesunken ist und keine Maßnahmen ergreifen, um diese wieder zu steigern.
4.1
$\blacktriangleright$  Standardabweichung nachweisen
Berechne die Standardabweichung von $X$. Dazu hast du folgende Informationen gegeben:
  • $X$ ist normalverteilt.
  • $\mu = 105$
  • $10\,\%$ der Flüge dauerten mehr als $110\,\text{Minuten}$, also ist $P(X> 110) =0,1$
Du kannst hier die Formel für die Standardisierung einer normalverteilten Zufallsvariable verwenden, bei der du die normalverteilte Zufallsvariable auf die Standardnormalverteilung zurückführst:
$P(X \leq k) \approx \Phi \left(\dfrac{k-\mu}{\sigma}\right)$
$P(X \leq k) \approx \Phi \left(\dfrac{k-\mu}{\sigma}\right)$
Dabei ist $\Phi$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.
$\begin{array}[t]{rll} P(X > 110)&=& 0,1 \\[5pt] 1-P(X\leq 110)&=& 0,1&\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -P(X\leq 110)&=&-0,9 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] P(X\leq 110)&=&0,9 \\[5pt] \Phi\left(\dfrac{110-\mu}{\sigma}\right)&=&0,9 &\quad \scriptsize \mid\; \mu = 105 \\[5pt] \Phi\left(\dfrac{110-105}{\sigma}\right)&=&0,9 \\[5pt] \Phi\left(\dfrac{5}{\sigma}\right)&=&0,9 \\[5pt] \end{array}$
$ \Phi\left(\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,9$
C - Stochastik
Abb. 5: Eingabe der Werte
C - Stochastik
Abb. 5: Eingabe der Werte
C - Stochastik
Abb. 6: Ergebnis des GTRs
C - Stochastik
Abb. 6: Ergebnis des GTRs
Setze also ein:
$\begin{array}[t]{rll} 1,2816&\approx& \dfrac{5}{\sigma} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\sigma \\[5pt] 1,2816\cdot \sigma&\approx& 5 &\quad \scriptsize \mid\;:1,2816 \\[5pt] \sigma&\approx& 3,90 \end{array}$
$ \sigma \approx 3,90 $
Die Standardabweichung von $X$ beträgt also auf zwei Nachkommastellen gerundet $\sigma \approx 3,90$.
4.2
$\blacktriangleright$  Sigma-Umgebung angeben
Du kennst $\mu = 105$ und $\sigma \approx 3,90$. Setze also ein:
$\begin{array}[t]{rll} [\mu-\sigma;\mu+\sigma]&=&[105-3,90;105+3,90] \\[5pt] &=&[101,10;108,90] \end{array}$
$ [101,10;108,90] $
Die $\sigma$-Umgebung lautet $[101,10;108,90].$
$\blacktriangleright$  Bedeutung des Werts im Sachzusammenhang beschreiben
Laut Aufgabenstellung gilt:
$P(\mu -\sigma \leq X\leq \mu+\sigma)\approx 0,68$
$P(\mu -\sigma \leq X\leq \mu+\sigma)$
$\approx 0,68$
Setze die berechneten Werte ein und interpretiere im Sachzusammenhang.
$P(101,10 \leq X \leq 108,90) \approx 0,68$
$P(101,10 \leq X \leq 108,90)$
$\approx 0,68$
$X$ beschreibt die Flugzeit eines Fluges von AER von Frankfurt nach London. Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $68\,\%$ beträgt die Flugzeit eines solchen Fluges also zwischen etwas mehr als $101\,\text{Minuten}$ und etwas weniger als $109\,\text{Minuten}.$
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