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Aufgaben
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Auf einem Abenteuerspielplatz befindet sich eine Balancierbrücke für Kinder. Zur Absturzsicherung sind auf beiden Seiten der Brücke jeweils sechs vertikal zum Boden verlaufende Stützpfeiler angebracht. Auf beiden Seiten der Brücke verbindet jeweils ein Handlaufseil die oberen Enden der Stützpfeiler. Die Abbildung in Material 1 zeigt das Profil der Brücke mit den vorderen $6$ Stützpfeilern und den Aufhängepunkten $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E$ und $F$ des Handlaufseils. Eine Einheit entspricht dabei einem Meter.
Die $x$-Achse verläuft im horizontalen, ebenen Boden des Spielplatzes. Der Verlauf der Brücke und der Handlaufseile ist symmetrisch zur Brückenmitte. Die vertikalen Entfernungen von den Aufhängepunkten zur Brücke sind (auf Millimeter gerundet) jeweils gleich. Der Verlauf des Handlaufseils von Punkt $A$ bis Punkt $B$ kann durch den Graphen der Funktion $f_1$ mit
$f_1(x) = 0,6675 \cdot \mathrm e^{0,5x} + 0,2325 \cdot \mathrm e^{-0,5x}$
$ f_1(x) = … $
beschrieben werden.
1.1
Berechne die Höhe der Aufhängepunkte $A$ und $B$ über dem Spielplatzboden und zeige, dass beide Aufhängepunkte eine vertikale Entfernung von $90\,\text{cm}$ zur Brücke haben.
(3 BE)
1.2
Die Kurve, die in Material 1 von Punkt $B$ bis Punkt $C$ verläuft, ist deckungsgleich zu derjenigen, die von Punkt $A$ bis Punkt $B$ verläuft. Sie kann durch den Graphen einer Funktion $f_2$ beschrieben werden.
1.2.1
Berechne, unter welchem Winkel die beiden Seilenden im Aufhängepunkt $B$ aneinanderstoßen.
(6 BE)
#schnittwinkel
1.2.2
Bestimme den Term der Funktion $f_2.$
(2 BE)
1.3
Deute die untenstehenden Rechenschritte (1) bis (4) im Sachzusammenhang. Die vier als Schritt (2) notierten Zeilen können zusammenhängend gedeutet werden.
(1)
$d(x)=0,6675\mathrm e^{0,5x} +0,2325\mathrm e^{-0,5x}-0,5x$
$ d(x)= … $
(2)
$d'(x)=0,33375\mathrm e^{0,5x} -0,11625\mathrm e^{-0,5x}-0,5$
$ d'(x)=… $
$d'(x)=0$ $\Rightarrow x\approx 1,064$
$d''(1,064) > 0$
$d(1,064)\approx 0,741$
(3)
$y=0,5x$ $\Rightarrow \arctan(0,5) \approx 26,565^{\circ}$
(4)
$d^{*}$ $= 0,741\cdot \cos(26,565^{\circ})$ $\approx 0,663$
(6 BE)
2
Betrachtet wird die Funktionenschar $g_{a,c}$ mit $g_{a,c}(x) = \frac{a}{2c}\left(\mathrm e^{c\cdot x}+\mathrm e^{-c\cdot x} \right),$ wobei $a > 0$ und $c > 0$ gelten soll.
#funktionenschar
2.1
Zeige, dass die Graphen aller Funktionen der Schar $g_{a,c}$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse sind und an der Stelle $x = 0$ einen Tiefpunkt besitzen.
(7 BE)
#symmetrie#extrempunkt
2.2
Zwischen den Punkten $C$ und $D$ hängt das Seil in der Mitte $10\,\text{cm}$ durch.
Zeige anhand der drei vorgegebenen Punkte, dass sich der Verlauf des Handlaufseils von Punkt $C$ bis Punkt $D$ annähernd durch den im Material 1 dargestellten Graphen der Funktion $f_3$ mit
$f_3(x) = 1,4 \cdot \left(\mathrm e^{0,26647\cdot (x - 5)} + \mathrm e^{- 0,26647\cdot(x-5)}\right)$
$ f_3(x)=… $
beschreiben lässt.
Bestätige, dass es sich beim Graphen der Funktion $f_3$ um einen in Richtung der positiven $x$-Achse verschobenen Graphen einer Funktion der Schar $g_{a,c}$ handelt, und gib die zugehörigen Werte der Parameter $a$ und $c$ an.
(6 BE)
2.3
Bestimme unter Verwendung von Material 2 die Gesamtlänge der verwendeten Handlaufseile der Brücke.
(5 BE)
2.4
Der mittlere Teil der Brücke hat im Bereich von Punkt $C$ bis Punkt $D$ zu dem darüber hängenden Handlaufseil überall die gleiche vertikale Entfernung. Begründe, dass der Verlauf des mittleren Teils der Brücke durch den Graphen der Funktion $h$ mit
$h(x) = 1,4 \cdot \left(\mathrm e^{0,26647\cdot(x - 5)} + \mathrm e^{- 0,26647\cdot(x -5)}\right)- 0,9$
$ h(x)=… $
beschrieben werden kann.
(1 BE)
3
Zur größeren Sicherheit für die Kinder sollen die freien Flächen zwischen den Handlaufseilen und der Brücke mit Netzen bespannt werden. Bestimme den Flächeninhalt der gesamten Fläche, die mit Netzen zu bespannen ist.
(4 BE)
Material 1
Material 2
Der im Intervall $[a;b]$ liegende Abschnitt des Graphen einer differenzierbaren Funktion $f$ hat die Bogenlänge $s= \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\;\mathrm dx.$
#bogenlänge
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Höhe der Aufhängepunkte berechnen
Die Höhe des Aufhängepunkts $A$ über dem Spielplatzboden wird durch $f_1(0)$ beschrieben, die Höhe von $B$ durch $f_1(2):$
$\begin{array}[t]{rll} f_1(0)&=& 0,6675 \cdot \mathrm e^{0,5\cdot 0} + 0,2325 \cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 0} \\[5pt] &=& 0,9 \\[10pt] f_1(2)&=& 0,6675 \cdot \mathrm e^{0,5\cdot 2} + 0,2325 \cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 2} \\[5pt] &=& 0,6675 \cdot \mathrm e + 0,2325 \cdot \mathrm e^{-1}\\[5pt] &\approx& 1,90 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_1(0)&=& 0,9 \\[10pt] f_1(2)&\approx& 1,90 \\[5pt] \end{array}$
Der Aufhängepunkt $A$ befindet sich in einer Höhe von $90\,\text{cm}$ über dem Spielplatzboden, der Aufhängepunkt $B$ befindet sich in einer Höhe von ca. $1,90\,\text{m}$ über dem Spielplatzboden.
$\blacktriangleright$  Vertikale Entfernung zur Brücke zeigen
Die Brücke beginnt auf dem Spielplatzboden. Der Punkt auf der Brücke, der direkt vertikal unter dem Aufhängepunkt $A$ verläuft, ist also der Koordinatenursprung $(0\mid0).$
Der vertikale Abstand von $A$ zum Koordinatenursprung entspricht der $y$-Koordinate von $A$ und beträgt demnach $90\,\text{cm}.$ Da der vertikale Abstand der Aufhängepunkte zur Brücke laut Aufgabentext jeweils bis auf Millimeter genau identisch ist, ist auch der vertikale Abstand vom Aufhängepunkt $B$ zur Brücke ca. $90\,\text{cm}.$
1.2.1
$\blacktriangleright$  Winkel berechnen
Gesucht ist der Schnittwinkel der beiden Kurven $f_1$ und $f_2$ an der Stelle $x=2.$ Da die Kurve $f_2$ deckungsgleich ist zur Kurve $f_1,$ entspricht ihre Steigung an der Stelle $x=2$ der Steigung des Graphen von $f_1$ an der Stelle $x=0.$
Berechne die beiden Steigungswerte über die erste Ableitungsfunktion von $f_1.$ Du benötigst dazu die Kettenregel:
$\begin{array}[t]{rll} f_1(x) &=& 0,6675 \cdot \mathrm e^{0,5x} + 0,2325 \cdot \mathrm e^{-0,5x} \\[10pt] f_1'(x)&=& 0,6675 \cdot 0,5\cdot \mathrm e^{0,5x} + 0,2325 \cdot (-0,5)\cdot \mathrm e^{-0,5x} \\[5pt] &=& 0,33375\cdot \mathrm e^{0,5x} - 0,11625\cdot \mathrm e^{-0,5x} \\[10pt] f_1'(0) &=& 0,33375\cdot \mathrm e^{0,5\cdot 0} - 0,11625\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 0} \\[5pt] &=& 0,2175 \\[10pt] f_1'(2) &=& 0,33375\cdot \mathrm e^{0,5\cdot 2} - 0,11625\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 2} \\[5pt] &\approx& 0,86 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_1(x) &=&… \\[10pt] f_1'(x)&=& … \\[10pt] f_1'(0) &=& 0,2175 \\[10pt] f_1'(2) &\approx& 0,86 \end{array}$
Einsetzen in die Formel für den Schnittwinkel zweier Graphen liefert dann:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha&=& \dfrac{f_1'(2)-f_1'(0)}{1+f_1'(2)\cdot f_1'(0)} \\[5pt] \tan \alpha&\approx& \dfrac{0,86-0,2175}{1+0,86\cdot 0,2175}&\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 28,4^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha \approx 28,4^{\circ} $
Im Aufhängepunkt $B$ stoßen die beiden Seile in einem Winkel von ca. $28,4^{\circ}$ aufeinander.
#kettenregel
1.2.2
$\blacktriangleright$  Funktionsterm bestimmen
Der Graph von $f_2$ entsteht durch Verschiebung des Graphen von $f_1$ entlang der $x$-Achse und entlang der $y$-Achse. Die Verschiebung entlang der $x$-Achse muss zwei Einheiten in positive Richtung betragen:
$f_2(x)= f_1(x-2)+c$
Nun muss $c$ so bestimmt werden, dass der Funktionswert von $f_2$ an der Stelle $x=2$ dem von $f_1$ an dieser Stelle entspricht:
$\begin{array}[t]{rll} f_2(2)&=& f_1(2) \\[5pt] f_1(2-2)+c&=& f_1(2) \\[5pt] f_1(0) +c &=& f_1(2) \\[5pt] 0,90 + c&\approx& 1,90 &\quad \scriptsize \mid\;-0,90 \\[5pt] c&\approx& 1,00 \end{array}$
$ c\approx 1,00 $
Der Term der Funktion $f_2$ lautet
$f_2(x) = f_1(x-2)+1,00 = 0,6675 \cdot \mathrm e^{0,5(x-2)} + 0,2325 \cdot \mathrm e^{-0,5(x-2)} +1,00.$
$ f_2(x)=… $
1.3
$\blacktriangleright$  Rechenschritte im Sachzusammenhang deuten
(1)
Der Term $0,6675 \cdot \mathrm e^{0,5x} + 0,2325 \cdot \mathrm e^{-0,5x}$ beschreibt den Graphen von $f_1,$ also den Verlauf des Handlaufseils zwischen den Aufhängepunkten $A$ und $B.$ Der Term $0,5x$ beschreibt den Graphen einer Geraden. Diese beschreibt den Verlauf des linken Brückenteils.
In der ersten Zeile wird die Differenzenfunktion $d$ dieser beiden Funktionen gebildet. Diese beschreibt also den vertikalen Abstand der beiden Graphen und im Sachzusammenhang daher den vertikalen Abstand zwischen Handlaufseil und Brücke.
(2)
In dieser Zeile wird die erste Ableitung der Abstandsfunktion $d$ gebildet und mit Null gleichgesetzt. Dies entspricht der Anwendung des notwendigen Kriteriums für Extremstellen von $d.$
Das Ergebnis wird in die zweite Ableitungsfunktion $d''$ eingesetzt. Dieser Funktionswert ist positiv. Aufgrund des hinreichenden Kriteriums für Extremstellen handelt es sich bei $x\approx 1,064$ also um ein lokales Minimum von $d.$
Der zugehörige Funktionswert von $d$ wird mit $d(1,064)\approx 0,741$ berechnet.
Der kleinste vertikale Abstand zwischen dem Handlaufseil und der Brücke zwischen den Aufhängungspunkten $A$ und $B$ beträgt also ca. $74,1\,\text{cm}.$
(3)
In dieser Zeile wird der Steigungswinkel der Gerade berechnet, die den Verlauf des linken Brückenteils beschreibt. Diese steigt in einem Winkel von ca. $26,565^{\circ}$ an.
(4)
Skizze
Abb. 1: Skizze
Skizze
Abb. 1: Skizze
$d*$ bildet die Ankathete zu $\gamma$ und $d$ die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. In der viertel Zeile wurde daher nun die Cosinus-Beziehung ausgenutzt um $d*$ mithilfe des Winkels $\phi$ bzw. $\gamma$ und $d$ zu berechnen.
Der Skizze kann man nun entnehmen, dass $d*$ dem tatsächlichen kürzesten Abstand des Punkts, in dem das Handlaufseil den kürzesten vertikalen Abstand zur Brücke besitzt, zur Brücke entspricht.
In dem Punkt, in dem das Handlaufseil den kürzesten vertikalen Abstand zur Brücke besitzt, ist das Handlaufseil also ca. $66,3\,\text{cm}$ von der Brücke entfernt.
2.1
$\blacktriangleright$  Symmetrie zeigen
$\begin{array}[t]{rll} g_{a,c}(-x)&=& \frac{a}{2c}\left(\mathrm e^{c\cdot (-x)} +\mathrm e^{-c\cdot (-x)} \right) \\[5pt] &=& \frac{a}{2c}\left(\mathrm e^{-c\cdot x} +\mathrm e^{c\cdot x} \right) \\[5pt] &=& \frac{a}{2c}\left(\mathrm e^{c\cdot x} +\mathrm e^{-c\cdot x}\right) \\[5pt] &=& g_{a,c}(x) \\[5pt] \end{array}$
$ g_{a,c}(-x) = g_{a,c}(x) $
Es ist also für alle $a> 0,$ $c>0$ $g_{a,c}(-x)=g_{a,c}(x).$ Die Graphen von $g_{a,c}$ sind daher symmetrisch zur $y$-Achse.
$\blacktriangleright$  Tiefpunkt zeigen
Überprüfe das notwendige und hinreichende Kriterium für einen Tiefpunkt. Dazu benötigst du die ersten beiden Ableitungsfunktionen von $g_{a,c}.$
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} g_{a,c}(x)&=& \frac{a}{2c}\left(\mathrm e^{c\cdot x} +\mathrm e^{-c\cdot x}\right) \\[10pt] g_{a,c}'(x)&=& \frac{a}{2c}\left(c\cdot\mathrm e^{c\cdot x} + (-c)\cdot \mathrm e^{-c\cdot x}\right) \\[5pt] &=& \frac{a}{2c}\left(c\cdot\mathrm e^{c\cdot x} -c\cdot \mathrm e^{-c\cdot x}\right) \\[5pt] &=& \frac{a}{2}\left(\mathrm e^{c\cdot x} - \mathrm e^{-c\cdot x}\right) \\[10pt] g_{a,c}''(x)&=& \frac{a}{2}\left(c\cdot\mathrm e^{c\cdot x} +c\cdot \mathrm e^{-c\cdot x}\right) \\[5pt] &=& \frac{ac}{2}\left(\mathrm e^{c\cdot x} + \mathrm e^{-c\cdot x}\right) \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g_{a,c}(x)&=&… \\[10pt] g_{a,c}'(x)&=&… \\[10pt] g_{a,c}''(x)&=& … \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium überprüfen
$g_{a,c}'(0)= \frac{a}{2}\left(\mathrm e^{c\cdot 0} - \mathrm e^{-c\cdot 0}\right) = \frac{a}{2}\cdot (1-1) = 0$
$ g_{a,c}'(0)= 0 $
Das notwendige Kriterium einer lokalen Extremstelle von $g_{a,c}$ ist also an der Stelle $x=0$ erfüllt.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$g_{a,c}''(0)=\frac{ac}{2}\left(\mathrm e^{c\cdot 0} + \mathrm e^{-c\cdot 0}\right) = \frac{ac}{2}\cdot (1+1) = ac$
$ g_{a,c}''(0)= ac $
Da $a> 0$ und $c>0$ vorgegeben sind, ist also $g_{a,c}''(0) >0.$ Damit ist auch das hinreichende Kriterium für einen Tiefpunkt erfüllt. Die Graphen von $g_{a,c}$ besitzen also jeweils einen Tiefpunkt an der Stelle $x=0.$
2.2
$\blacktriangleright$  Verlauf des Graphen zeigen
1. Schritt: Koordinaten der Punkte bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f_2(4)&=& f_1(4-2)+1,00 \\[5pt] &=& f_1(2)+1,00 \\[5pt] &=& 1,90 +1,00 \\[5pt] &=& 2,90 \end{array}$
$ f_2(4) = 2,90 $
Die Koordinaten von $C$ und $D$ lauten also $C(4\mid 2,90)$ und $D(6\mid 2,90).$ Die Koordinaten des Durchhängepunkts lauten entsprechend $M(5\mid 2,80).$
2. Schritt: Koordinaten der Punkte im Graphen überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f_3(4)&=& 1,4\cdot \left(\mathrm e^{0,26647\cdot (4-5)} + \mathrm e^{-0,26647\cdot (4-5)}\right) \\[5pt] &\approx& 2,90 \\[10pt] f_3(5)&=& 1,4\cdot \left(\mathrm e^{0,26647\cdot (5-5)} + \mathrm e^{-0,26647\cdot (5-5)}\right) \\[5pt] &=& 2,8 \\[10pt] f_3(6)&=& 1,4\cdot \left(\mathrm e^{0,26647\cdot (6-5)} + \mathrm e^{-0,26647\cdot (6-5)}\right) \\[5pt] &\approx& 2,90 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_3(4)&\approx& 2,90 \\[10pt] f_3(5)&=& 2,8 \\[10pt] f_3(6)&\approx& 2,90 \end{array}$
Auf zwei Nachkommastellen gerundet stimmen die Funktionswerte von $f_3$ also mit den Koordinaten der Punkte $C,$ $D$ und $M$ überein. Der Verlauf des Handlaufseils zwischen den Punkten $C$ und $D$ lässt sich also annähernd durch den Graphen von $f_3$ darstellen.
$\blacktriangleright$  Zugehörigkeit zur Schar bestätigen
Betrachte den Funktionsterm von $f_3.$ Der Teil $-5$ im Exponenten führt zu einer Verschiebung des Graphen um $5$ Einheiten entlang der $x$-Achse in positiver Richtung.
Durch einen Vergleich der Koeffizienten kannst du daher feststellen, dass $c= 0,26647$ sein muss. Mithilfe des Faktors vor der Klammer lässt sich dann $a$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} 1,4&=& \frac{a}{2c} &\quad \scriptsize \mid\; c = 0,26647\\[5pt] 1,4&=& \frac{a}{2\cdot 0,26647} \\[5pt] 1,4&=& \frac{a}{0,53294} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 0,53294 \\[5pt] 0,746116&=& a \end{array}$
$ a = 0,746116 $
Die Funktion $g_{0,746116;0,26647} $ mit
$g_{0,746116;0,26647}(x) =\frac{0,746116}{2\cdot 0,26647}\cdot \left(\mathrm e^{0,26647x} + \mathrm e^{-0,26647x}\right)$
$ g_{0,746116;0,26647}(x) = … $
ist Teil der Schar $g_{a,c}$ für $a= 0,746116$ und $c=0,26647.$
Durch eine Verschiebung des zugehörigen Graphen um $5$ Einheiten entlang der $x$-Achse in positive Richtung entsteht der Graph von $f_3.$
2.3
$\blacktriangleright$  Gesamtlänge bestimmen
Da die Kurve zwischen den Punkten $B$ und $C$ deckungsgleich mit der zwischen $A$ und $B$ ist, und die Brücke achsensymmetrisch zur Brückenmitte ist, genügt es die Bogenlänge von $f_1$ zwischen $A$ und $B$ und die Bogenlänge von $f_3$ zwischen $C$ und $D$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} s_{f_1} &=& \displaystyle\int_{0}^{2}\sqrt{1+(f_1'(x))^2}\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{2}\sqrt{1+\left(0,33375\cdot \mathrm e^{0,5x} - 0,11625\cdot \mathrm e^{-0,5x}\right)^2}\;\mathrm dx \\[5pt] \end{array}$
$ s_{f_1}= \displaystyle\int_{0}^{2}\sqrt{1+ …}$
Du kannst dir nun den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)= \sqrt{1+\left(0,33375\cdot \mathrm e^{0,5x} - 0,11625\cdot \mathrm e^{-0,5x}\right)^2}$ in deinem GTR anzeigen lassen und den Wert des Integrals mit folgendem Befehl bestimmen:
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$
Du erhältst folgendes Ergebnis:
$s_{f_1} \approx 2,260$
Für die Bogenlänge von $f_3$ kannst du genauso vorgehen. Hier musst du allerdings zuerst noch die erste Ableitungsfunktion bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} f_3(x)&=& 1,4 \cdot \left(\mathrm e^{0,26647\cdot (x - 5)} + \mathrm e^{- 0,26647\cdot(x-5)}\right) \\[10pt] f_3'(x)&=& 1,4 \cdot \left(0,26647\cdot\mathrm e^{0,26647\cdot (x - 5)} -0,26647\cdot \mathrm e^{- 0,26647\cdot(x-5)}\right) \\[5pt] &=& 0,373058 \cdot \left(\mathrm e^{0,26647\cdot (x - 5)} -\mathrm e^{- 0,26647\cdot(x-5)}\right) \\[5pt] \end{array}$
$ f_3'(x) = … $
Für die Bogenlänge erhältst du also mithilfe deines GTRs:
$\begin{array}[t]{rll} s_{f_3}&=& \displaystyle\int_{4}^{6}\sqrt{1+(f_3'(x))^2}\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{4}^{6}\sqrt{1+\left(0,373058 \cdot \left(\mathrm e^{0,26647\cdot (x - 5)} -\mathrm e^{- 0,26647\cdot(x-5)}\right)\right)^2}\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] &\approx& 2,013 \\[5pt] \end{array}$
$ s_{f_3}\approx 2,013 $
Die Gesamtlänge ergibt sich daher zu:
$l = 4\cdot s_{f_1} + s_{f_3} \approx 4\cdot 2,260 + 2,013 = 11,053$
$ l\approx 11,053$
Das gesamte Handlaufseil einer Seite ist ca. $11,053\,\text{m}$ lang. Für beide Seiten werden also insgesamt $22,106\,\text{m}$ Handlaufseil verwendet.
#integral
2.4
$\blacktriangleright$  Funktionsgraphen begründen
Da die Brücke an jeder Stelle den gleichen vertikalen Abstand zum Handlaufseil haben soll, muss dies auch für die beiden zugehörigen Graphen gelten. Der Graph von $h$ entsteht daher durch Verschiebung des Graphen von $f_3$ entlang der $y$-Achse in negative Richtung.
Laut Einführungstext der Aufgabe sind die vertikalen Entfernungen der Aufhängepunkte $A$ bis $F$ zur Brücke jeweils identisch. Diese vertikale Entfernung beträgt laut Aufgabe 1.1 $90\,\text{cm}$ und gilt demnach auch für $C$ und $D,$ sowie den Verlauf des Handlaufseils dazwischen.
Der mittlere Brückenteil verläuft also $90\,\text{cm}$ unter dem Handlaufseil zwischen $C$ und $D,$ sodass der Graph von $h$ durch Verschiebung des Graphen von $f_3$ um $0,9$ Einheiten in negative Richtung entlang der $y$-Achse entsteht.
Es ist also:
$h(x)= f_3(x)-0,9 = 1,4 \cdot \left(\mathrm e^{0,26647\cdot (x - 5)} + \mathrm e^{- 0,26647\cdot(x-5)}\right) -0,9.$
$ h(x)= … $
3
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
Aufgrund der Symmetrie der Brücke kannst du den gewünschten Flächeninhalt in zwei Teilrechnungen aufteilen:
  • Berechne den Flächeninhalt $A_1$ zwischen dem Graphen von $f_1$ und der Geraden zu $y = 0,5x$ im Intervall $[0;2]$ mithilfe eines Integrals.
  • Berechne den Flächeninhalt zwischen den Graphen von $f_3$ und $h$ im Intervall $[4;6].$ Da der vertikale Abstand zwischen diesen Graphen überall identisch ist, entspricht der Flächeninhalt zwischen ihnen dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a= 2$ und $b\approx 0,90:$
    $A_2 \approx 2\,\text{m}\cdot 0,90\,\text{m} = 1,80\,\text{m}^2.$
    $ A_2 \approx 1,80\,\text{m}^2 $
Verwende für $A_1$ die Differenzenfunktion $d$ aus Aufgabe 1.3. Das Integral kannst du wieder mit deinem GTR berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& \displaystyle\int_{0}^{2}d(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{2}\left(0,6675\mathrm e^{0,5x} +0,2325\mathrm e^{-0,5x}-0,5x\right)\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] &\approx & 1,588\,[\text{m}^2] \end{array}$
$ A_1 \approx 1,588\,[\text{m}^2]$
Der gesamte Flächeninhalt des Netzes auf einer Seite der Brücke ergibt sich also zu:
$A = 4\cdot A_1 + A_2 \approx 4\cdot 1,588 +1,80 = 8,152\, [\text{m}^2]$
$ A \approx 8,152\, [\text{m}^2]$
Da die Brücke auf beiden Seiten mit Netzen bestückt werden soll, werden also ca. $16,304\,\text{m}^2$ des Netzes verwendet.
#integral
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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