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B2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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In einem deutschen Mittelgebirge wurde vor einiger Zeit im Rahmen eines Artenschutzprojekts eine Wisentherde in einem begrenzten Gebiet $A$ ausgewildert. Wisente, die auch europäische Bisons genannt werden, sind die letzte Art frei lebender Rinder in Europa. Im Laufe der Zeit konnte man im Rahmen des Artenschutzprojekts beobachten, dass die zugehörigen Tiere sich nicht nur in dem für sie vorgesehenen Gebiet $A$ aufhalten, sondern es auch zu Wanderbewegungen in die benachbarten Gebiete $B$ und $C,$ in denen vor der Auswilderung keine Wisente lebten, kommt. Die Wanderbewegungen werden mit Hilfe von GPS-Trackern verfolgt.
In einem Modell werden Verteilungen der Population auf die drei Gebiete durch Vektoren der Form $\pmatrix{a\\b\\c}$ dargestellt, wobei $a,$ $b,$ $c$ die prozentualen Anteile der Wisente in den Gebieten $A,$ $B,$ $C$ angeben.
Die Wanderbewegungen der Wisente zwischen dem Gebiet $A$ und den benachbarten Gebieten $B$ und $C$ von einem Jahr $n$ zum nächsten können durch die Übergangsmatrix $M =\pmatrix{0,95&0,2&0,1\\0,04&0,8&0 \\ 0,01 & 0 & 0,9}$ und die Gleichung $M \cdot \overrightarrow{x}_n = \overrightarrow{x}_{n+1}$ dargestellt werden.
1.1
Beschrifte das Übergangsdiagramm (Material) mit den passenden Werten und erläutere exemplarisch die Bedeutung der Werte in der ersten Spalte der Übergangsmatrix $M.$
(5 BE)
#übergangsmatrix#übergangsgraph
1.2
Die prozentuale Verteilung der Wisente zu Beginn der Auswilderung kann durch den Anfangsvektor $\overrightarrow{x}_0$ dargestellt werden. Erkläre, warum im Sachzusammenhang $\overrightarrow{x}_0 = \pmatrix{1\\0\\0}$ gelten muss. Bestimme anschließend die Verteilungen $\overrightarrow{x}_1$ und $\overrightarrow{x}_2$ der beiden folgenden Jahre.
(3 BE)
1.3
Erkläre, wieso man die Verteilung nach $n$ Jahren mit Hilfe der Matrix-Vektor-Gleichung $\overrightarrow{x}_n = M^n\cdot \overrightarrow{x}_0 $ bestimmen kann.
(2 BE)
1.4
Bestimme die gemäß der Modellierung zu erwartende Anzahl der Wisente in den Gebieten $A,$ $B$ und $C$ nach $10$ Jahren, wenn insgesamt $75$ Wisente in den drei Gebieten leben.
(4 BE)
2
Die Besitzer des Gebiets $B$ protestierten nach einiger Zeit energisch gegen das Projekt, da die Wisente in ihren Augen die Bäume zerstören. Ihr Versuch, das Projekt zu stoppen, scheiterte jedoch und sie forderten vom Trägerverein des Artenschutzprojekts, zumindest den Anteil der in Gebiet $B$ lebenden Wisente auf einen stabilen Anteil von ca. $5\,\%$ zu senken.
Der Vektor $\overrightarrow{x}_F$ gebe die Verteilung der Population auf die drei Gebiete zu einem bestimmten Zeitpunkt an.
2.1
Für den Vektor $\overrightarrow{x}_F$ gilt: $\overrightarrow{x}_F = M\cdot \overrightarrow{x}_F.$
Erkläre, welche Bedeutung der Vektor $\overrightarrow{x}_F$ im Sachzusammenhang besitzt.
(2 BE)
2.2
Das zur Matrix-Vektor-Gleichung $\overrightarrow{x}_F = M\cdot \overrightarrow{x}_F$ zugehörige lineare Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.
Bestimme diese Lösungen. Erkläre, warum im Sachzusammenhang eine eindeutige Lösung existiert, und ermittle diese.
[Zur Kontrolle: $\overrightarrow{x}_F \approx \pmatrix{0,769\\0,154\\0,077}$]
(7 BE)
2.3
Deute das Ergebnis aus Aufgabe 2.2 im Hinblick auf die Forderung der Besitzer.
(2 BE)
2.4
Um die geforderte $5\,\%$-Quote einzuhalten, soll das Wechselverhalten der Wisente beeinflusst werden. Dies soll ausschließlich durch Beeinflussung der Wanderbewegungen vom Gebiet $B$ in die Gebiete $A,$ $B$ und $C$ geschehen. Das Ziel ist es, eine gleich bleibende Verteilung von $85\,\%$ der Tiere in Gebiet $A,$ $5\,\%$ der Tiere in Gebiet $B$ und $10\,\%$ der Tiere in Gebiet $C$ zu erhalten. Leite die zugehörige Übergangsmatrix $N$ her.
(5 BE)
Material
Bildnachweise [nach oben]
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1.1
$\blacktriangleright$  Übergangsdiagramm beschriftenB2 - Analytische Geometrie
B2 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Beschriftetes Übergangsdiagramm
B2 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Beschriftetes Übergangsdiagramm
$\blacktriangleright$  Werte der ersten Spalte erläutern
In der ersten Spalte sind die Übergangswahrscheinlichkeiten für die Wisente in Gebiet $A$ angegeben. Innerhalb eines Jahres wandern also $4\,\%$ der Wisente aus Gebiet $A$ nach Gebiet $B$ und $1\,\%$ nach Gebiet $C.$ $95\,\%$ der Wisente bleiben in Gebiet $A.$
1.2
$\blacktriangleright$  Anfangsvektor erklären
Zu Beginn der Auswilderung wird die komplette Wisentherde in Gebiet $A$ ausgewildert. Alle Wisente befinden sich daher zu Beginn in Gebiet $A$ während sich in Gebiet $B$ und $C$ keine befinden. $100\,\%$ der Wisente befinden sich zu diesem Zeitpunkt in Gebiet $A.$ Der Anfangsvektor $\overrightarrow{x}_0$ muss also $\pmatrix{1\\0\\0}$ sein.
$\blacktriangleright$  Verteilungen der Folgejahre bestimmen
Mit der Gleichung aus dem Einführungstext folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}_1&=& M \cdot \overrightarrow{x}_0 \\[5pt] &=& \pmatrix{0,95&0,2&0,1\\0,04&0,8&0 \\ 0,01 & 0 & 0,9}\cdot \pmatrix{1\\0\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{0,95 \\ 0,04 \\ 0,01 }\\[10pt] \overrightarrow{x}_2&=& M \cdot \overrightarrow{x}_1 \\[5pt] &=& \pmatrix{0,95&0,2&0,1\\0,04&0,8&0 \\ 0,01 & 0 & 0,9}\cdot \pmatrix{0,95 \\ 0,04 \\ 0,01 } \\[5pt] &=& \pmatrix{0,9115\\ 0,07 \\ 0,0185}\\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}_1&=&\pmatrix{0,95 \\ 0,04 \\ 0,01 }\\[10pt] \overrightarrow{x}_2&=& \pmatrix{0,9115\\ 0,07 \\ 0,0185}\\[10pt] \end{array}$
1.3
$\blacktriangleright$  Gleichung erklären
Aus dem Einführungstext der Aufgabe kennst du folgende Gleichung:
$\overrightarrow{x}_{n+1} = M\cdot \overrightarrow{x}_n$
Es gelten also beispielsweise folgende Beziehungen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I} & \overrightarrow{x}_{1} &=& M\cdot \overrightarrow{x}_0 \\[5pt] \text{II} & \overrightarrow{x}_{2} &=& M\cdot \overrightarrow{x}_1 \\[5pt] \end{array}$
Wegen $\text{I}$ gilt dann:
$\overrightarrow{x}_2 = M\cdot M \cdot \overrightarrow{x}_0 = M^2 \cdot \overrightarrow{x}_0$
Für $\overrightarrow{x}_n$ lässt sich dies also zurückführen zu:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}_n&=& M\cdot \overrightarrow{x}_{n-1} &\quad \scriptsize \mid\; \overrightarrow{x}_{n-1} = M\cdot\overrightarrow{x}_{n-2} \\[5pt] &=& M\cdot M \cdot \overrightarrow{x}_{n-2} \\[5pt] &=& M^2 \cdot \overrightarrow{x}_{n-2} &\quad \scriptsize \mid\; \overrightarrow{x}_{n-2} = M\cdot\overrightarrow{x}_{n-3} \\[5pt] &=& M^2 \cdot M \cdot \overrightarrow{x}_{n-3} \\[5pt] &=& M^3 \cdot \overrightarrow{x}_{n-3} \\[5pt] &=& M^i \cdot \overrightarrow{x}_{n-i} \text{ für }0\leq i\leq n\\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{x}_n = M^i \cdot \overrightarrow{x}_{n-i}$ für $0\leq i\leq n $
Dies kann man nun so oft weiterführen, bis $i$ den Wert $n$ erreicht hat, sodass man dann die Gleichung $\overrightarrow{x}_n =M^n \cdot \overrightarrow{x}_{n-n} = M^n \cdot \overrightarrow{x}_{0} $ erhält.
1.4
$\blacktriangleright$  Verteilung der Wisente bestimmen
Die prozentuale Verteilung der Wisente nach zehn Jahren ergibt sich mithilfe der Übergangsmatrix $M$ zu:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}_{10} &=& M^{10}\cdot \overrightarrow{x}_0 \\[5pt] &=& \pmatrix{0,95&0,2&0,1\\0,04&0,8&0 \\ 0,01 & 0 & 0,9}^{10}\cdot \pmatrix{1\\0\\0} \\[5pt] &\approx& \pmatrix{0,795 \\ 0,149 \\ 0,056} \end{array}$
$ \overrightarrow{x}_{10} \approx \pmatrix{0,795 \\ 0,149 \\ 0,056} $
Insgesamt gibt es laut Aufgabenstellung $75$ Wisente:
$75\cdot\pmatrix{0,795 \\ 0,149 \\ 0,056} \approx \pmatrix{59,625 \\ 11,175\\ 4,2} $
Da nur ganzzahlige Werte im Sachzusammenhang sinnvoll sind, runde sinnvoll auf ganze Zahlen. Nach zehn Jahren befinden sich also ca. $60$ Wisente in Gebiet $A,$ $11$ Wisente in Gebiet $B$ und $4$ Wisente in Gebiet $C.$
2.1
$\blacktriangleright$  Bedeutung im Sachzusammenhang erklären
Hat die Population einmal die Verteilung $\overrightarrow{x}_F$ erreicht, bleibt sie. Es bleiben ab diesem Zeitpunkt also immer gleich viele Wisente in Gebiet $A,$ in Gebiet $B$ und in Gebiet $C.$
2.2
$\blacktriangleright$  Lösungen des Gleichungssystems bestimmen
Betrachte die Gleichung mit $\overrightarrow{x}_F = \pmatrix{a\\b\\c}:$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}_F&=& M\cdot \overrightarrow{x}_F \\[5pt] \pmatrix{a\\b\\c}&=& \pmatrix{0,95&0,2&0,1\\0,04&0,8&0 \\ 0,01 & 0 & 0,9}\cdot \pmatrix{a\\b\\c} \\[5pt] \pmatrix{a\\b\\c}&=& \pmatrix{0,95a+0,2b+0,1c\\0,04a+0,8b+0c \\ 0,01a + 0b + 0,9c}&\quad \scriptsize \mid\; -\pmatrix{a\\b\\c} \\[5pt] \pmatrix{0\\0\\0}&=& \pmatrix{-0,05a+0,2b+0,1c\\0,04a-0,2b+0c \\ 0,01a + 0b -0,1c} \\[5pt] \end{array}$
$ \pmatrix{0\\0\\0}= …$
Daraus erhältst du folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrlrlll} \text{I}\quad&0&=& -0,05a&+0,2b&+0,1c \\ \text{II}\quad&0&=& 0,04a&-0,2b& \\ \text{III}\quad&0&=& 0,01a & &-0,1c \\ \end{array}$
$\begin{array}{lrlrlll} \text{I}\quad&0&=& … \\ \text{II}\quad&0&=& … \\ \text{III}\quad&0&=& … \\ \end{array}$
Du weißt bereits, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Lege also einen Parameter fest, in dessen Abhängigkeit du alle Parameter setzen möchtest und benenne diesen gegebenenfalls um, damit es übersichtlicher bleibt. Setze also beispielsweise $a = t.$
$\begin{array}{lrlrlll} \text{I}\quad&0&=& -0,05t&+0,2b&+0,1c \\[5pt] \text{II}\quad&0&=& 0,04t&-0,2b& &\quad \scriptsize \mid\; +0,2b \\ &0,2b&=& 0,04t& & &\quad \scriptsize \mid\;: 0,2 \\ &b&=& 0,2t& & & \\[5pt] \text{III}\quad&0&=& 0,01t & &-0,1c &\quad \scriptsize\mid\; +0,1c \\ &0,1c&=& 0,01t & & &\quad \scriptsize\mid\; :0,1 \\ &c&=& 0,1t & & \\ \end{array}$
$\begin{array}{lrlrlll} \text{I}\quad&0&=& … \\[5pt] \text{II}\quad&b&=& 0,2t \\[5pt] \text{III}\quad&c&=& 0,1t \\ \end{array}$
Einsetzen in $\text{I}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& -0,05t+0,2b+0,1c \\[5pt] 0 &=& -0,05t+0,2\cdot (0,2t)+0,1\cdot (0,1t) \\[5pt] 0 &=& -0,05t+0,04t+0,01t \\[5pt] 0&=& 0 \end{array}$
$ 0 = 0 $
Diese ist also ebenfalls erfüllt. Die Lösung des Gleichungssystems lautet also $a = t,$ $b= 0,2t$ und $c= 0,1t$ mit $t\in \mathbb{R}.$
$\blacktriangleright$  Eindeutige Lösung im Sachzusammenhang ermitteln und erklären
Wegen oben erfüllen die Vektoren $\overrightarrow{x}_{F_t} = t\cdot\pmatrix{1 \\ 0,2 \\ 0,1}$ die Gleichung $\overrightarrow{x}_F = M\cdot \overrightarrow{x}_F.$
Da es sich bei $\overrightarrow{x}_F$ im Sachzsuammenhang allerdings um eine prozentuale Verteilung der Wisente handelt, muss die Summe der Vektoreinträge $1$ ergeben und jeder Vektoreintrag positiv sein.
$\begin{array}[t]{rll} 1&=& t + 0,2t +0,1t \\[5pt] 1&=& 1,3t &\quad \scriptsize \mid\; :1,3 \\[5pt] \frac{10}{13}&=& t\\[5pt] 0,769 &\approx& t \end{array}$
$ t\approx 0,769 $
Die im Sachzusammenhang eindeutige Lösung lautet also:
$\overrightarrow{x}_F = \frac{10}{13} \cdot \pmatrix{1 \\ 0,2 \\ 0,1} \approx \pmatrix{0,769 \\ 0,154 \\ 0,077} $
$ \overrightarrow{x}_F \approx \pmatrix{0,769 \\ 0,154 \\ 0,077} $
#gleichungssystem
2.3
$\blacktriangleright$  Ergebnis im Hinblick auf die Forderung deuten
Wenn die Population der Wisente einmal die prozentuale Verteilung $\overrightarrow{x}_F$ annimmt, bleibt diese auch langfristig gesehen so. In Gebiet $B$ leben dann ca. $15,4\,\%$ der ausgewilderten Wisente. Damit die Forderung der Besitzer erfüllt wird, müssen dann also Maßnahmen ergriffen werden, um die Wisente in Gebiet $B$ dauerhaft umzuverteilen.
2.4
$\blacktriangleright$  Neue Übergangsmatrix herleiten
Da lediglich das Wechselverhalten der Tiere von Gebiet $B$ in die drei Gebiete verändert werden soll, verändern sich im Vergleich zur Übergangsmatrix $M$ nur die Einträge der zweiten Spalte.
Diese kannst du beispielsweise mit $a,$ $b$ und $c$ bezeichnen. Die gewünschte Verteilung soll wie folgt lauten:
$\overrightarrow{x} = \pmatrix{0,85\\0,05\\0,1}$
Es ergibt sich also folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x} &=& N\cdot \overrightarrow{x} \\[5pt] \pmatrix{0,85\\0,05\\0,1} &=& \pmatrix{0,95 & a & 0,1\\0,04 & b & 0 \\ 0,01 & c & 0,9} \cdot \pmatrix{0,85\\0,05\\0,1} \\[5pt] \pmatrix{0,85\\0,05\\0,1} &=& \pmatrix{0,95\cdot 0,85 + a\cdot0,05 + 0,1\cdot 0,1\\0,04\cdot 0,85 + b\cdot 0,05 + 0\cdot 0,1 \\ 0,01\cdot 0,85 + c\cdot 0,05 + 0,9\cdot 0,1} \\[5pt] \pmatrix{0,85\\0,05\\0,1} &=& \pmatrix{0,8175 + a\cdot 0,05 \\0,034 + b\cdot 0,05 \\ 0,0985 + c\cdot 0,05 } \\[5pt] \end{array}$
$ \pmatrix{0,85\\0,05\\0,1} =… $
Es ergibt sich also folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0,85&=& 0,8175 + a\cdot 0,05 \\ \text{II}\quad&0,05&=& 0,034 + b\cdot 0,05 \\ \text{III}\quad& 0,1&=& 0,0985 + c\cdot 0,05 \\ \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0,85&=& … \\ \text{II}\quad&0,05&=& … \\ \text{III}\quad& 0,1&=& … \\ \end{array}$
Aus der ersten Gleichung kannst du nun $a$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} 0,85&=& 0,8175 +a\cdot 0,05 &\quad \scriptsize \mid\; - 0,8175 \\[5pt] 0,0325 &=& a\cdot 0,05 &\quad \scriptsize \mid\; :0,05\\[5pt] 0,65&=& a \end{array}$
$ a=0,65 $
Für $b$ ergibt sich analog:
$\begin{array}[t]{rll} 0,05 &=& 0,034 + b\cdot 0,05 &\quad \scriptsize \mid\;-0,034 \\[5pt] 0,016 &=& b\cdot 0,05 &\quad \scriptsize \mid\; :0,05\\[5pt] 0,32 &=& b \end{array}$
$ b = 0,32 $
Für $c$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 0,1 &=& 0,0985 + c\cdot 0,05 &\quad \scriptsize \mid\;-0,0985 \\[5pt] 0,0015 &=& c\cdot 0,05 &\quad \scriptsize \mid\; :0,05 \\[5pt] 0,03 &=& c \\[5pt] \end{array}$
$ c = 0,03 $
Die zugehörige Übergangsmatrix lautet also $N =\pmatrix{0,95 & 0,65 & 0,1\\0,04 & 0,32 & 0 \\ 0,01 & 0,03 & 0,9}. $
Bildnachweise [nach oben]
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