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Pflichtaufgaben

Aufgaben
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Aufgabe P1

a.
Wie viel sind $30\%$ von $250 €$?
(1P)
b.
(1P)
c)
Wandle die Größen in die gesuchte Einheit um.
1.
$43\,\text{g}$ in Kilogramm
2.
$5\frac{1}{4}\,\text{h}$ in Minuten
(1P)

Aufgabe P2

a.
Wie viele Balken leuchten, wenn der Tank nur noch zu $\frac{2}{3}$ mit Kraftstoff gefüllt ist?
(1P)
b.
1.
Berechne, wie viel Liter Kraftstoff für die Strecke verbraucht wurden.
(2P)
2.
Berechne, für wie viele Kilometer der restliche Kraftstoff noch reicht, wenn sich der durchschnittliche Verbrauch nicht ändert.
(2P)

Aufgabe P3

In Darmstadt sind derzeit $4.473$ Hunde angemeldet. Für $4.336$ von ihnen muss Hundesteuer gezahlt werden. Für die restlichen angemeldeten Hunde (z. B. Blindenhunde) muss keine Hundesteuer gezahlt werden.
Für Kampfhunde muss eine erhöhte Hundesteuer gezahlt werden. Das betrifft $12,5\%$ der Hunde, für die Hundesteuer gezahlt werden muss.
Im Jahr 2015 stiegen die Einnahmen aus der Hundesteuer gegenüber dem Vorjahr um $31\%$ auf $406.100 €$.
a.
Für wie viele der angemeldeten Hunde muss keine Hundesteuer gezahlt werden?
(1P)
b.
Berechne, für wie viel Prozent der angemeldeten Hunde Hundesteuer gezahlt werden muss. Runde auf ganze Prozent.
(2P)
c.
Berechne die Anzahl der Kampfhunde.
(2P)
d.
Berechne die Einnahmen der Stadt Darmstadt aus der Hundesteuer für das Jahr 2014.
(3P)

Aufgabe P4

In der Abbildung siehst du alle Karten eines Kartenspiels. Zu den sogenannten Farben Karo, Herz, Pik und Kreuz gibt es die Karten $7$, $8$, $9$, $10$, $B$ (Bube), $D$ (Dame), $K$ (König) und $A$ (Ass).
Die Karten werden vor jedem Ziehen gut gemischt und verdeckt auf den Tisch abgelegt.
a.
Mario zieht eine Karte.
1.
Gib die Wahrscheinlichkeit an, mit der er das Kreuz-Ass zieht.
(1P)
2.
Mario behauptet: „Die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer der Bildkarten (Bube, Dame, König) ist höher als für das Ziehen einer der Karten in den Farben Pik oder Kreuz.“
Hat Mario recht? Begründe deine Antwort.
(2P)
b.
Alina zieht aus den $32$ Karten nacheinander zwei Karten ohne Zurücklegen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Karten Herz-Karten sind.
(2P)

Aufgabe P5

a.
Das große Dreieck setzt sich aus $9$ kleinen Dreiecken zusammen.
1.
(1P)
2.
Die Reihe $10$ besteht aus $19$ kleinen Dreiecken.
Wie viele kleine Dreiecke benötigt man für die Reihe $11$?
Begründe deine Antwort.
(2P)
3.
Mit welchem dieser Terme kann man in jeder Reihe $n$ die Anzahl der Dreiecke berechnen? Schreibe den passenden Buchstaben auf dein Reinschriftpapier.
$C$
$2n-1$
$D$
$2n+1$
(2P)
b.
$\begin{array}[t]{rll} 3x-y&=&45 &\quad \scriptsize \\[5pt] x&=&10+y \end{array}$
(4P)

Aufgabe P6

Aufgabe P7

Aufgabe P8

Das Bild zeigt ein Werkstück aus Aluminium, das die Form eines Prismas hat.
a.
Bestimme bei diesem Werkstück die Anzahl der Flächen.
(1P)
b.
Wie viele Kanten hat dieses Werkstück?
Schreibe den passenden Buchstaben auf dein Reinschriftpapier.
A $12$B $16$C $19$D $24$
A $12$
B $16$
C $19$
D $24$
(2P)
c.
Berechne die Masse des Werkstücks.
$1\,\text{cm}^3$ Aluminium wiegt $2,7\,\text{g}$.
(4P)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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[2]
© 2016 – SchulLV.
[3]
© 2016 – SchulLV.
[4]
Public Domain – bearbeitet von SchulLV © 2016.
[5]
© 2016 – SchulLV.
[6]
© 2016 – SchulLV.
[7]
© 2016 – SchulLV.
[8]
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Tipps
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P1
a)
$\blacktriangleright$ $30 \,\%$ von $250$ € berechnen
In Aufgabenteil a) sollst du berechnen, wieviel $30 \; \%$ von $250$ € ist.
Verwende dazu die Formeln zur Prozentrechnung:
$\text{G}=\frac{\text{W} \cdot 100}{\text{p}\%} \\ \text{p}\%=\frac{\text{W} \cdot 100}{\text{G}\%} \\ \text{W}=\frac{\text{G} \cdot \text{p}\%}{100} \\ $
$\text{G}=\frac{\text{W} \cdot 100}{\text{p}\%} \\ \text{p}\%=\frac{\text{W} \cdot 100}{\text{G}\%} \\ \text{W}=\frac{\text{G} \cdot \text{p}\%}{100} \\ $
Dabei steht G für den Grundwert, W für den Prozentwert und p$\%$ für den Prozentsatz.
Der Grundwert G ist der Wert der der anfangs gegebenen Anfangsgröße entpricht, der Prozentwert W ist der prozentuale Anteil vom Grundwert G und der Prozentsatz p$\%$ ist die Zahl, die vor dem Prozentzeichen steht.
1. Schritt: Gegebene Größen identifizieren
Bestimme zunächst, welche Größen aus der oben genannten Formeln bereits gegeben sind.
2. Schritt: Gesuchte Größe berechnen
Da G und p$\%$ bereits bekannt sind, ist der Prozentwert W gesucht. Wende die Formel zur Berechnung von W an.
b)
$\blacktriangleright$ Anzahl gefärbter Kästchen bestimmen
Im Aufgabenteil b) ist ein Rechteck gegeben, das in mehrere gleich große Kästchen unterteilt wurde. Deine Aufgabe ist es herauszufinden, wie viele der Kästchen eingefärbt werden müssten, damit $25 \; \%$ aller Kästchen farbig sind.
1. Schritt: Gegebene Größen identifizieren
Bestimme zunächst, welche Größen aus der oben genannten Formeln bereits gegeben sind.
2. Schritt: Anzahl der Kästchen berechnen
Der Grundwert G entspricht der Gesamtanzahl der Kästchen. Multipliziere dazu die Kästchenanzahl in horizontaler Richtung mit der Kästchenanzahl in vertikaler Richtung.
3. Schritt: Gesuchte Größe berechnen
Gesucht ist der Prozentwert W. Berechne W mithilfe der oben stehenden Formeln zur Prozentrechnung.
c)
1.
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{43}$ g in Kilogramm umrechnen
$1$ Kilogramm (kg) entspricht $1.000$ Gramm (g).
2.
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{5 \frac{1}{4}}$ h in Minuten umrechnen
$1$ Stunde (h) entspricht $60$ Minuten (min).
P2
a)
$\blacktriangleright$ Anzahl der noch leuchtenden Balken berechnen
Laut Angabe enthält die Tankanzeige insgesamt $9$ Balken. Wenn der Tank nur noch zu $\frac{2}{3}$ gefüllt ist, leuchten nur noch $\frac{2}{3}$ der $9$ Balken.
b)
1.
$\blacktriangleright$ Kraftstoffverbrauch für die Strecke berechnen
Bei dieser Aufgabe sollst du berechnen, wie viel Liter ($l$) Kraftstoff für eine Strecke von $400$ km verbraucht werden.
Verwende den Dreisatz, um diese Aufgabe zu lösen.
2.
$\blacktriangleright$ Verbleibende Kilometer berechnen
Gesucht ist die Strecke, die das Auto noch mit dem restlichen Kraftstoff fahren kann.
Bestimme dazu zunächst die Anzahl der noch leuchtenden Balken der Tankanzeige. Lese diese entweder auf Abb. 2 ab oder berechne sie.
Du weißt bereits, wie viele Balken für $400$ Kilometer benötigt werden. Berechne nun, wie viele Kilometer man mit einem Balken fahren kann. Verwende dazu wieder den Dreisatz.
P3
a)
$\blacktriangleright$ Anzahl der angemeldeten Hunde berechnen, für die keine Steuer gezahlt werden muss
Bilde die Differenz zwischen $4.473$ und $4.336$, um die Anzahl der angemeldeten Hunde zu bestimmen, für die keine Steuer gezahlt werden muss.
b)
$\blacktriangleright$ Prozentsatz der Hunde berechnen, für die Hundesteuer bezahlt werden muss
Laut Angabe sind insgesamt $4.473$ Hunde angemeldet, wobei für $4.336$ von ihnen eine Hundesteuer entrichtet werden muss. In dieser Aufgabe sollst du berechnen für wieviel Prozent der angemeldeten Hunde eine Hundesteuer gezahlt werden muss.
1. Schritt: Gegebene Größen identifizieren
Bestimme zunächst welche Größen aus den Formeln zur Prozentrechnung gegeben sind.
2. Schritt: Gesuchte Größe berechnen
c)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Kampfhunde berechnen
Laut Angabe sind $12,5 \%$ der Hunde, für die eine Steuer entrichtet werden muss, Kampfhunde. Die Gesamtzahl der steuerpflichtigen Hunde beträgt dabei $4.336$. Gesucht ist die Anzahl der Kampfhunde.
1. Schritt: Gegebene Größen identifizieren
Bestimme zunächst welche Größen aus den Formeln zur Prozentrechnung gegeben sind.
2. Schritt: Gesuchte Größe berechnen
d)
$\blacktriangleright$ Einnahmen der Stadt aus der Hundesteuer im Jahr 2014 berechnen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Einnahmen der Stadt Darmstadt aus der Hundesteuer für das Jahr 2014 berechnen.
Aus der Angabe weißt du bereits, dass im Jahr $2015$ $406.100$ € eingenommen wurden und die Einnahmen gegenüber dem Vorjahr ($2014$) um $31 \%$ gestiegen sind.
Gesucht ist der Grundwert des Jahres $2014$.
1. Schritt: Gegebene Größen identifizieren
2. Schritt: Gesuchte Größe berechnen
Gesucht ist der Grundwert G. Verwende die Formeln zur Prozentrechnung, um ihn zu berechnen.
P4
a)
1.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Kreuz-Ass berechnen
Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis berechnest du, indem du die Anzahl aller günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilst.
2.
$\blacktriangleright$ Höhere Wahrscheinlichkeit bestimmen
Bei dieser Aufgabe sollst du bestimmen, ob die Wahrscheinlichkeit eine Bildkarte zu ziehen tatsächlich höher ist als die Wahrscheinlichkeit eine der Pik- oder Kreuzkarten zu ziehen.
Berechne dazu die Wahrscheinlichkeit eine Bildkarte zu ziehen, die Wahrscheinlichkeit eine Pik- oder Kreuzkarte zu ziehen und vergleiche anschließend die erhaltenen Wahrscheinlichkeiten miteinander.
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für zwei Herzkarten hintereinander berechnen
In diesem Aufgabenteil sollst du berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist zwei Herzkarten hintereinander aus dem Stapel zu ziehen. Beachte dabei, dass die Karte nach dem ersten Ziehen nicht zurückgelegt wird, die Gesamtanzahl der Karten sich also mit jedem Zug verringert.
$1$. Zug: Die Gesamtanzahl der Karten beträgt $32$. Darunter befinden sich $8$ Herzkarten.
$2$. Zug: Die Gesamtanzahl der Karten beträgt nun $31$. Darunter befinden sich nur noch $7$ Herzkarten, da eine bereits gezogen wurde.
Verknüpfe nun die beiden Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der 1. Pfadregel. Diese besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade ist. Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, musst du also die beiden errechneten Wahrscheinlichkeiten multiplizieren.
P5
a)
1.
$\blacktriangleright$ Anzahl der Dreiecke in Reihe $\boldsymbol{4}$ berechnen
In dieser Aufgabe ist ein großes Dreieck gegeben, das in $9$ kleine Dreiecke unterteilt wird. Das große Dreieck hat $3$ Reihen. Deine Aufgabe ist es zu berechnen, wie viele kleine Dreiecke sich in der $4$. Reihe befinden würden, wenn es eine weitere Reihe gäbe.
Zähle die Dreiecke pro Reihe und überlege dir, um welche Anzahl die Dreiecke pro Reihe zunimmt.
2.
$\blacktriangleright$ Anzahl der Dreiecke in Reihe $\boldsymbol{11}$ berechnen
Hier sollst du die Anzahl der kleinen Dreiecke in Reihe $11$ berechnen und deine Aussage begründen.
3.
$\blacktriangleright$ Passenden Term bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du denjenigen Term aufstellen, mit dem sich die Anzahl der Dreiecke für jede beliebige Reihe berechnen lässt.
Du kannst nun durch Einsetzen herausfinden, welcher der Terme zu einem richtigen Ergebnis führt, indem du für $n$ die Zahlen $1,2,3$ oder $10$ einsetzt, für die du die korrekte Dreiecksanzahl schon kennst.
b)
$\blacktriangleright$ Gleichungssystem lösen
Dir ist ein Gleichungssystem der Form
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3x-y&=& 45\quad \scriptsize \;\ \\ \text{II}\quad&x&=& 10 +y\quad\\ \end{array}$
gegeben.
Nutze das Einsetzungsverfahren, um das gegebene Gleichungssystem zu lösen. Ziel des Verfahrens ist es, aus zwei Gleichungen mit unterschiedlichen Variablen, eine Gleichung mit einer Variablen zu schaffen.
In Gleichung II ist die Variable $x$ bereits aufgelöst und steht als einzige Unbekannte auf der linken Seite. Setze daher zunächst Gleichung II in Gleichung I ein und löse nach $y$. Anschließend kannst du $y$ wiederum in II einsetzen, um $x$ auszurechnen.
P6
a)
$\blacktriangleright$ Den $\boldsymbol{y}$-Wert für $\boldsymbol{x=16}$ berechnen
Berechne den $y$-Wert für $x=16$, indem du für die Variable $x$ die Zahl $16$ in die Geradengleichung einsetzt.
b)
$\blacktriangleright$ Bestimmen, ob der Punkt $P$ auf der Geraden liegt
Bei dieser Aufgabe hast du einen Punkt $P$ gegeben und sollst durch Rechnung bestimmen, ob dieser auf der Geraden $y=-0,5x+3$ liegt.
Löse diese Aufgabe, indem du die Koordinaten von $P$ in die Geradengleichung einsetzt. Ergibt sich am Ende der Rechnung ein Widerspruch, so liegt $P$ nicht auf der Geraden. Ergibt sich kein Widerspruch, dann befindet sich $P$ auf der gegebenen Geraden.
c)
$\blacktriangleright$ Geradengleichung aufstellen
Hier sollst du die Gleichung einer Gerade aufstellen, die durch den Punkt $Q(0 \mid -1)$ geht und parallel zur gegebenen Gerade $y=-0,5x+3$ verläuft.
Gehe dazu zunächst von der allgemeinen Geradengleichung aus. Sie lautet:
$y=mx+t$
$y=mx+t$
Dabei steht $m$ für die Steigung der Gerade und $t$ für den y-Achsenabschnitt, also die $y$-Koordinate, bei der die Gerade die $y$-Achse schneidet.
Zueinander parallele Geraden haben die gleiche Steigung $m$.
Der $y$-Achsenabschnitt ist die $y$-Koordinate, bei der die Gerade die $y$-Achse schneidet. An dieser Stelle ist die $x$-Koordinate gleich $0$.
P7
a)
$\blacktriangleright$ Figur mit angegebenen Maßen zeichnen
Bei dieser Aufgabe sollst du die gegebene Figur mit den angegebenen Maßen zeichnen. Aus der Angabe und der Skizze weißt du bereits, dass die Figur aus einem Halbkreis und einem gleichschenkligen Dreieck besteht. Der Halbkreis hat einen Radius $r$ von $3,6$ cm und das Dreieck eine Höhe $h$ von $4,8$ cm.
1. Schritt: Länge der Grundseite berechnen und diese zeichnen
Zeichne zunächst die Grundseite des Dreiecks. Diese Strecke ist gleichzeitig der Durchmesser des Halbkreises. Berechne ihre Länge, indem du den Radius $r$ mit $2$ multiplizierst.
2. Schritt: Halbkreis zeichnen
Zeichne nun einen Punkt in die Mitte dieser Strecke. Dies ist der Mittelpunkt des Halbkreises. Zeichne den Halbkreis ein.
3. Schritt: Höhe $h$ zeichnen
Messe anschließend vom Mittelpunkt aus senkrecht zur Grundseite die Höhe $h$ von $4,8$ cm ab und zeichne sie ein.
4. Schritt: Grundseite mit Höhe verbinden
Du erhältst eine maßstabsgetreue Zeichnung der Figur, indem du nun die beiden Enden der Grundseite mit der Spitze der Höhe verbindest.
5. Schritt: Hilfslinien ausradieren
Radiere die Hilfslinien aus.
b)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt der Figur berechnen
Bei der gegebenen Figur handelt es sich um eine zusammengesetzte Figur. Sie besteht aus einem gleichschenkligen Dreieck und einem Halbkreis.
Du kannst den Flächeninhalt berechnen, indem du zunächst die Flächeninhalte der Teilfiguren bestimmst und diese anschließend addierst.
Nutze dabei die Formeln zur Flächeninhaltsberechnung geometrischer Figuren:
$A_\text{Dreieck}=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ $A_\text{Halbkreis}=\frac{1}{2}\cdot\pi \cdot r^2$
$A_\text{Dreieck}=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ $A_\text{Halbkreis}=\frac{1}{2}\cdot\pi \cdot r^2$
Dabei steht $g$ für die Länge der Dreiecksgrundseite, $h$ für die Dreieckshöhe, $\pi$ für die Kreiszahl und $r$ für den Radius des Kreises.
c)
$\blacktriangleright$ Umfang der Figur berechnen
In diesem Aufgabenteil sollst du den Umfang der Figur berechnen und dein Ergebnis auf Millimeter runden.
Den Umfang einer zusammengesetzten Figur berechnest du, indem du alle Seitenlängen addierst. Bestimme dazu die Länge der beiden Dreiecksschenkel und addiere anschließend den Umfang des Halbkreises hinzu. Beachte dabei, dass es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, die Schenkel also gleich lang sind. Es reicht aus, die Länge eines Schenkels zu berechnen und diesem mal $2$ zu nehmen.
1. Schritt: Länge der Dreiecksschenkel bestimmen
Betrachte zunächst die Dreiecksschenkel. Du kannst die Länge mithilfe des Satz des Pythagoras berechnen. Dieser lautet:
$a^2+b^2=c^2$
$a^2+b^2=c^2$
Dabei stehen $a$, $b$ und $c$ für die Dreiecksseiten, wobei die Seite $c$ diejenige Seite ist, die sich gegenüber des rechten Winkels befindet.
Teile das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke auf, um den Satz des Pythagoras benutzen zu können.
2. Schritt: Umfang des Halbkreises berechnen
Den Umfang des Halbkreises kannst du mit folgender Formel berechnen:
$U_{\text{Halbkreis}}=\pi \cdot r$
$U_{\text{Halbkreis}}=\pi \cdot r$
Dabei steht $\pi$ für die Kreiszahl und $r$ für den Radius des Kreises.
Setze $r$ und $\pi$ in die Formel ein und berechne damit den Umfang des Halbkreises.
3. Schritt: Länge der Dreiecksschenkel mit Halbkreisumfang addieren
Addiere nun die LÄnge der Dreiecksschenkel mit dem Umfang des Halbkreises.
4. Schritt: Ergebnis runden
Da verlangt ist, dass der Umfang der Figur auf Millimeter gerundet wird, musst du anschließend noch dein Ergebnis auf eine Nachkommastelle genau runden.
P8
a)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Flächen bestimmen
Bei dieser Aufgabe sollst du die Anzahl der Flächen des dargestellten Prismas bestimmen.
Du kannst dir dazu das Prisma als einen großen Quader vorstellen, aus dem ein kleiner Quader herausgeschnitten wurde.
Ein Quader hat immer genau $6$ Flächen. Durch das Herausschneiden des kleinen Quaders sind $4$ zusätzliche Flächen entstanden.
b)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Kanten bestimmen
Bei dieser Aufgabe sollst du die Anzahl der Kanten des dargestellten Prismas bestimmen.
Wie in der vorherigen Aufgabe a) kannst du dir die Figur als einen Quader vorstellen, aus dem ein kleinerer Quader ausgeschnitten wurde.
Ein Quader besitzt genau $12$ Kanten. Durch das Herausschneiden des kleinen Quaders sind also $12$ zusätzliche Kanten entstanden.
c)
$\blacktriangleright$ Masse des Werkstücks bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du die Masse des Werkstücks bestimmen. Dabei hast du die Maße des Prismas gegeben, sowie die Dichte des Materials. $1$ cm$^3$ des Werkstücks wiegt $2,7$ g.
Um auf das gefragte Gesamtgewicht zu kommen, musst du das Volumen des Werkstücks berechnen. Dazu kannst du dir das Prisma, wie schon in den vorherigen Aufgabenteilen, als einen großen Quader vorstellen, aus dem ein kleiner Quader ausgeschnitten wurde. Berechne daher zunächst das Volumen des großen Quaders und das des kleinen. Ziehe anschließend das Volumen des kleinen Quaders vom großen ab.
Pflichtaufgaben
Abb. 1: kleiner Quader
Pflichtaufgaben
Abb. 1: kleiner Quader
Die Formel für das Volumen eines Quaders lautet:
$V_\text{Quader}=l \cdot b \cdot h$
$V_{Quader}=l \cdot b \cdot h$
1. Schritt: Volumen des großen Quaders berechnen
Berechne zunächst das Volumen des großen Quaders, in dem du die oben genannte Formel anwendest.
2. Schritt: Volumen des kleinen Quaders berechnen
Rechne anschließend auf gleiche Art und Weise das Volumen des kleinen Quaders aus.
3. Schritt: Volumen des kleinen Quaders vom Volumen des großen Quaders abziehen
Berechne nun das Volumen des Werkstücks, indem du das Volumen des kleinen Quaders vom großen Quader abziehst.
4. Schritt: Gewicht des Werkstücks berechnen
Nun kannst du das Gewicht des Werkstücks berechnen.
Bildnachweise [nach oben]
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P1
a)
$\blacktriangleright$ $30 \,\%$ von $250$ € berechnen
In Aufgabenteil a) sollst du berechnen, wieviel $30 \; \%$ von $250$ € ist.
Verwende dazu die Formeln zur Prozentrechnung:
$\text{G}=\frac{\text{W} \cdot 100}{\text{p}\%} \\ \text{p}\%=\frac{\text{W} \cdot 100}{\text{G}\%} \\ \text{W}=\frac{\text{G} \cdot \text{p}\%}{100} \\ $
$\text{G}=\frac{\text{W} \cdot 100}{\text{p}\%} \\ \text{p}\%=\frac{\text{W} \cdot 100}{\text{G}\%} \\ \text{W}=\frac{\text{G} \cdot \text{p}\%}{100} \\ $
Dabei steht G für den Grundwert, W für den Prozentwert und p$\%$ für den Prozentsatz.
Der Grundwert G ist der Wert der der anfangs gegebenen Anfangsgröße entpricht, der Prozentwert W ist der prozentuale Anteil vom Grundwert G und der Prozentsatz p$\%$ ist die Zahl, die vor dem Prozentzeichen steht.
1. Schritt: Gegebene Größen identifizieren
Bestimme zunächst, welche Größen aus der oben genannten Formeln bereits gegeben sind.
Der gesamte Geldbetrag ist $250$ €. Demnach ist der Grundwert G also gleich $250$. Die Zahl vor dem Prozentzeichen ist $30$, p$\%$ ist also gleich $30$.
2. Schritt: Gesuchte Größe berechnen
Da G und p$\%$ bereits bekannt sind, ist der Prozentwert W gesucht. Wende die Formel zur Berechnung von W an:
$\begin{array}[t]{rll} \text{W} &=& \frac{\text{G} \cdot \text{p}\%}{100}&\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] &=& \frac{250 \cdot 30}{100} \; \text{[€]} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 75 \; \text{[€]}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{W} &=& \frac{\text{G} \cdot \text{p}\%}{100} \\ &=& 75 \; \text{[€]} \end{array}$
$30 \; \%$ von $250$ € sind 75 €.
b)
$\blacktriangleright$ Anzahl gefärbter Kästchen bestimmen
Im Aufgabenteil b) ist ein Rechteck gegeben, das in mehrere gleich große Kästchen unterteilt wurde. Deine Aufgabe ist es herauszufinden, wie viele der Kästchen eingefärbt werden müssten, damit $25 \; \%$ aller Kästchen farbig sind.
1. Schritt: Gegebene Größen identifizieren
Bestimme zunächst, welche Größen aus der oben genannten Formeln bereits gegeben sind.
Die Zahl vor dem Prozentzeichen ist $25$, p$\%$ ist also gleich $25$.
2. Schritt: Anzahl der Kästchen berechnen
Der Grundwert G entspricht der Gesamtanzahl der Kästchen. Multipliziere dazu die Kästchenanzahl in horizontaler Richtung mit der Kästchenanzahl in vertikaler Richtung. Da das Rechteck $8$ Kästchen lang und $3$ Kästchen breit ist, beträgt die Gesamtanzahl $3 \cdot 8 = 24$ Kästchen. G ist somit gleich $24$.
3. Schritt: Gesuchte Größe berechnen
Gesucht ist der Prozentwert W. Berechne W mithilfe der oben stehenden Formeln zur Prozentrechnung:
$\begin{array}[t]{rll} \text{W} &=& \frac{\text{G} \cdot \text{p}\%}{100}&\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] &=& \frac{24 \cdot 25}{100} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 6&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \text{W} &=& \frac{\text{G} \cdot \text{p}\%}{100} \\ &=& 6 \end{array} $
Damit $25 \; \%$ des Rechtecks eingefärbt ist, müssten $6$ Kästchen gefärbt werden.
c)
1.
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{43}$ g in Kilogramm umrechnen
$1$ Kilogramm (kg) entspricht $1.000$ Gramm (g). Um $43$ g in kg umzurechnen, musst du also $43$ durch $1.000$ teilen:
$\begin{array}[t]{rll} 43 : 1.000&=& 0,043 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$43$ g entsprechen $0,043$ kg.
2.
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{5 \frac{1}{4}}$ h in Minuten umrechnen
$1$ Stunde (h) entspricht $60$ Minuten (min). Um $5 \frac{1}{4}$ h in Minuten umzurechnen, musst du also $5 \frac{1}{4}$ mit $60$ multiplizieren:
$\begin{array}[t]{rll} 5 \frac{1}{4} \; \text{h} \cdot 60 \; \frac{\text{min}}{\text{h}}&=& 315 \; \text{min}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$5 \frac{1}{4}$ h entsprechen $315$ Minuten.
P2
a)
$\blacktriangleright$ Anzahl der noch leuchtenden Balken berechnen
Laut Angabe enthält die Tankanzeige insgesamt $9$ Balken. Wenn der Tank nur noch zu $\frac{2}{3}$ gefüllt ist, leuchten nur noch $\frac{2}{3}$ der $9$ Balken. Bestimme die Anzahl der noch leuchtenden Balken, indem du $\frac{2}{3}$ mit $9$ multiplizierst:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{2}{3} \cdot 9&=& 6 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Es leuchten noch $6$ Balken.
b)
1.
$\blacktriangleright$ Kraftstoffverbrauch für die Strecke berechnen
Bei dieser Aufgabe sollst du berechnen, wie viel Liter ($l$) Kraftstoff für eine Strecke von $400$ km verbraucht werden.
Verwende den Dreisatz, um diese Aufgabe zu lösen.
$:100$
Pflichtaufgaben
$\begin{array}{rrcll} & 100 \; \text{km} &\mathrel{\widehat{=}}& 7,5 \; l\\[5pt] & 1 \; \text{km}&\mathrel{\widehat{=}}& 0,075 \; l \\[5pt] & 400 \; \text{km}&\mathrel{\widehat{=}}& 30 \; l& \end{array}$ Pflichtaufgaben
$:100$
$\cdot 400$
Pflichtaufgaben
Pflichtaufgaben
$\cdot 400$
$\begin{array}{rrcll} & 400 \; \text{km}&\mathrel{\widehat{=}}& 30 \; l& \end{array}$
Für die Strecke von $400$ km wurden $30$ $l$ Kraftstoff verbraucht.
2.
$\blacktriangleright$ Verbleibende Kilometer berechnen
Gesucht ist die Strecke, die das Auto noch mit dem restlichen Kraftstoff fahren kann.
Bestimme dazu zunächst die Anzahl der noch leuchtenden Balken der Tankanzeige. Lese diese entweder auf Abb. 2 ab oder berechne sie, indem du $\frac{5}{9}$ (bereits verbrauchter Kraftstoff) von $1$ (voller Tank) abziehst:
$\begin{array}[t]{rll} 1-\frac{5}{9}&=&\frac{4}{9} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Es leuchten also noch $4$ von $9$ Balken.
Du weißt bereits, dass $5$ Balken für $400$ Kilometer benötigt werden. Berechne nun, wie viele Kilometer man mit einem Balken fahren kann. Aus der Verwende dazu wieder den Dreisatz:
$:5$
Pflichtaufgaben
$\begin{array}{rrcll} & 5 \; \text{Balken} &\mathrel{\widehat{=}}& 400 \; \text{km}\\[5pt] & 1 \; \text{Balken}&\mathrel{\widehat{=}}& 80 \; \text{km}\\[5pt] & 4 \; \text{Balken }&\mathrel{\widehat{=}}& 320 \; \text{km}& \end{array}$ Pflichtaufgaben
$:5$
$\cdot 4$
Pflichtaufgaben
Pflichtaufgaben
$\cdot 4$
$\begin{array}{rrcll} & 4 \; \text{Balken }&\mathrel{\widehat{=}}& 320 \; \text{km}& \end{array}$
Der restliche Kraftstoff reicht noch für $320$ km.
P3
a)
$\blacktriangleright$ Anzahl der angemeldeten Hunde berechnen, für die keine Steuer gezahlt werden muss
Bilde die Differenz zwischen $4.473$ und $4.336$, um die Anzahl der angemeldeten Hunde zu bestimmen, für die keine Steuer gezahlt werden muss:
$\begin{array}[t]{rll} 4.473 - 4.336&=& 137 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Für $137$ der angemeldeten Hunde muss keine Hundesteuer gezahlt werden.
b)
$\blacktriangleright$ Prozentsatz der Hunde berechnen, für die Hundesteuer bezahlt werden muss
Laut Angabe sind insgesamt $4.473$ Hunde angemeldet, wobei für $4.336$ von ihnen eine Hundesteuer entrichtet werden muss. In dieser Aufgabe sollst du berechnen für wieviel Prozent der angemeldeten Hunde eine Hundesteuer gezahlt werden muss.
1. Schritt: Gegebene Größen identifizieren
Bestimme zunächst welche Größen aus den Formeln zur Prozentrechnung gegeben sind.
Die Gesamtanzahl der angemeldeten Hunde ist $4.473$, somit ist G gleich $4.473$. Für einen bestimmten Anteil dieser Hunde muss eine Hundesteuer entrichtet werden. Dieser Anteil beträgt $4.336$, der Prozentwert W ist also gleich $4.336$. Gesucht ist demnach der Prozentsatz p$\%$.
2. Schritt: Gesuchte Größe berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \text{p}\%&=& \frac{\text{W} \cdot 100} {\text{G}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen}\\[5pt] &=& \frac{4.336 \cdot 100}{4.473} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 97 \; \% \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \text{p}\%&=& \frac{\text{W} \cdot 100} {\text{G}} \\ &\approx& 97 \; \% \end{array}$
Für etwa $97 \; \%$ der angemeldeten Hunde muss eine Hundesteuer bezahlt werden.
c)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Kampfhunde berechnen
Laut Angabe sind $12,5 \%$ der Hunde, für die eine Steuer entrichtet werden muss, Kampfhunde. Die Gesamtzahl der steuerpflichtigen Hunde beträgt dabei $4.336$. Gesucht ist die Anzahl der Kampfhunde.
1. Schritt: Gegebene Größen identifizieren
Bestimme zunächst welche Größen aus den Formeln zur Prozentrechnung gegeben sind.
Insgesamt gibt es $4.336$ Hunde, G ist also gleich $4.336$. $12,5 \; \%$ von ihnen sind Kampfhunde, p$\%$ ist demnach gleich $12,5$. Gesucht ist der Prozentwert W.
2. Schritt: Gesuchte Größe berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \text{W} &=& \frac{\text{G} \cdot \text{p}\%}{100}&\quad \scriptsize \mid \; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \text{W} &=& \frac{4.336 \cdot 12,5}{100} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 542 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{W} &=& \frac{\text{G} \cdot \text{p}\%}{100} \\ &=& 542 \end{array} $
Es gibt 542 angemeldete Kampfhunde in Darmstadt.
d)
$\blacktriangleright$ Einnahmen der Stadt aus der Hundesteuer im Jahr 2014 berechnen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Einnahmen der Stadt Darmstadt aus der Hundesteuer für das Jahr 2014 berechnen.
Aus der Angabe weißt du bereits, dass im Jahr $2015$ $406.100$ € eingenommen wurden und die Einnahmen gegenüber dem Vorjahr ($2014$) um $31 \%$ gestiegen sind.
Gesucht ist der Grundwert des Jahres $2014$.
1. Schritt: Gegebene Größen identifizieren
Im Jahr $2015$ belaufen sich die Einnahmen aus der Hundesteuer auf $406.100$ €, der Prozentwert W ist somit gleich $406.100$. Die Einnahmen des Jahres $2014$ entsprechen dem Grundwert G, der um $31 \; \%$ gestiegen ist. Wird der Grundwert G um eine bestimmte Prozentzahl $x \; \%$ erhöht, dann bedeutet es, dass du $100 \; \% + x \; \%$ von G berechnen sollst. Der Prozentsatz p$\%$ ist somit $100 \; \% + 31 \; \% = 131 \; \%$.
2. Schritt: Gesuchte Größe berechnen
Gesucht ist der Grundwert G. Verwende die Formeln zur Prozentrechnung, um ihn zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{G} &=& \frac{\text{W} \cdot 100}{\text{p}\%} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen}\\[5pt] &=& \frac{406.100 \cdot 100}{131 \; \%} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 310.000 \; \text{[€]} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{G} &=& \frac{\text{W} \cdot 100}{\text{p}\%} \\ &=& 310.000 \; \text{[€]} \end{array}$
Die Stadt Darmstadt hat im Jahr $2014$ $310.000$ € aus der Hundesteuer eingenommen.
P4
a)
1.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Kreuz-Ass berechnen
Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis berechnest du, indem du die Anzahl aller günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilst.
Da es insgesamt $32$ Karten gibt, ist die Anzahl aller möglichen Ereignisse gleich $32$. Nur eine Karte ist ein Kreuz-Ass. Somit ist die Anzahl aller günstigen Ergebnisse gleich $1$. Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, musst du also $32$ durch $1$ teilen:
$\begin{array}[t]{rll} 1 : 32&=& 0,03125&\quad \scriptsize \\[5pt] 0,03125 \cdot 100&=& 3,125 \% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit ein Kreuz-Ass zu ziehen beträgt $3,125 \%$.
2.
$\blacktriangleright$ Höhere Wahrscheinlichkeit bestimmen
Bei dieser Aufgabe sollst du bestimmen, ob die Wahrscheinlichkeit eine Bildkarte zu ziehen tatsächlich höher ist als die Wahrscheinlichkeit eine der Pik- oder Kreuzkarten zu ziehen.
Berechne dazu die Wahrscheinlichkeit eine Bildkarte zu ziehen, die Wahrscheinlichkeit eine Pik- oder Kreuzkarte zu ziehen und vergleiche anschließend die erhaltenen Wahrscheinlichkeiten miteinander.
Von insgesamt $32$ Karten sind $12$ Bildkarten. Die Wahrscheinlichkeit eine Bildkarte zu ziehen, beträgt also:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Bildkarte})&=&\frac{12}{32} &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{12}{32}&=& 0,375 &\quad \scriptsize \\[5pt] 0,375&=& 37,5 \%&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Von insgesamt $32$ Karten sind $16$ Pik- oder Kreuzkarten. Die Wahrscheinlichkeit eine Pik- und Kreuzkarte zu ziehen, beträgt also:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Pik oder Kreuz})&=&\frac{16}{32} &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{16}{32}&=& 0,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] 0,5&=& 50 \%&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, eine Pik- oder Kreuzkarte zu ziehen, ist höher als eine Bildkarte zu ziehen. Marios Behauptung ist falsch.
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für zwei Herzkarten hintereinander berechnen
In diesem Aufgabenteil sollst du berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist zwei Herzkarten hintereinander aus dem Stapel zu ziehen. Beachte dabei, dass die Karte nach dem ersten Ziehen nicht zurückgelegt wird, die Gesamtanzahl der Karten sich also mit jedem Zug verringert.
$1$. Zug: Die Gesamtanzahl der Karten beträgt $32$. Darunter befinden sich $8$ Herzkarten. Die Wahrscheinlichkeit beim $1$. Zug eine Herzkarte zu ziehen, beträgt also $\frac{8}{32} = \frac{1}{4}$.
$2$. Zug: Die Gesamtanzahl der Karten beträgt nun $31$. Darunter befinden sich nur noch $7$ Herzkarten, da eine bereits gezogen wurde. Die Wahrscheinlichkeit beim $2$. Zug eine Herzkarte zu ziehen, beträgt also $\frac{7}{31}$.
Verknüpfe nun die beiden Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der 1. Pfadregel. Diese besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade ist. Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, musst du also die beiden errechneten Wahrscheinlichkeiten multiplizieren:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{4} \cdot \frac{7}{31}&\approx& 0,05645&\quad \scriptsize\\[5pt] 0,05645&=& 5,65 \% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit zwei Herzkarten hintereinander ohne Zurücklegen zu ziehen, liegt bei etwa $5,65 \%$.
P5
a)
1.
$\blacktriangleright$ Anzahl der Dreiecke in Reihe $\boldsymbol{4}$ berechnen
In dieser Aufgabe ist ein großes Dreieck gegeben, das in $9$ kleine Dreiecke unterteilt wird. Das große Dreieck hat $3$ Reihen. Deine Aufgabe ist es zu berechnen, wieviele kleine Dreiecke sich in der $4$. Reihe befinden würden, wenn es eine weitere Reihe gäbe.
Zähle die Dreiecke pro Reihe und überlege dir, um welche Anzahl die Dreiecke pro Reihe zunimmt.
Pro Reihe nimmt die Anzahl der Dreiecke um $2$ zu. In Reihe $4$ werden demnach $5+2=7$ kleine Dreiecke benötigt.
2.
$\blacktriangleright$ Anzahl der Dreiecke in Reihe $\boldsymbol{11}$ berechnen
Hier sollst du die Anzahl der kleinen Dreiecke in Reihe $11$ berechnen und deine Aussage begründen.
Die Reihe $10$ besteht aus $19$ kleinen Dreiecken. Da pro Reihe immer $2$ Dreiecke hinzukommen, befinden sich in Reihe $11$ $19+2=21$ Dreiecke.
3.
$\blacktriangleright$ Passenden Term bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du denjenigen Term aufstellen, mit dem sich die Anzahl der Dreiecke für jede beliebige Reihe berechnen lässt.
Du kannst nun durch Einsetzen herausfinden, welcher der Terme zu einem richtigen Ergebnis führt, indem du für $n$ die Zahlen $1,2,3$ oder $10$ einsetzt, für die du die korrekte Dreiecksanzahl schon kennst.
Setze beispielsweise für die Variable $n$ die Zahl $1$ an. Da sich in der ersten Reihe genau ein Dreieck befindet, muss sich beim korrekten Term die Zahl $1$ ergeben.
$\begin{array}[t]{rll} 3n-1&=& 3 \cdot 1 -1 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] 3n+1&=& 3 \cdot 1 +1 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] 2n-1&=& 2 \cdot 1 -1 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] 2n+1&=& 2 \cdot 1 +1 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 3 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Term $2n-1$ liefert als einziger der möglichen Terme die korrekte Dreiecksanzahl in Reihe $1$. Antwort $C$ ist richtig.
b)
$\blacktriangleright$ Gleichungssystem lösen
Dir ist ein Gleichungssystem der Form
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3x-y&=& 45\quad \scriptsize \;\ \\ \text{II}\quad&x&=& 10 +y\quad\\ \end{array}$
gegeben.
Nutze das Einsetzungsverfahren, um das gegebene Gleichungssystem zu lösen. Ziel des Verfahrens ist es, aus zwei Gleichungen mit unterschiedlichen Variablen, eine Gleichung mit einer Variablen zu schaffen.
In Gleichung II ist die Variable $x$ bereits aufgelöst und steht als einzige Unbekannte auf der linken Seite. Setze daher zunächst Gleichung II in Gleichung I ein und löse nach $y$. Anschließend kannst du $y$ wiederum in II einsetzen, um $x$ auszurechnen.
1. Schritt: II in I einsetzen
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3(10+y)-y&=& 45\quad \scriptsize \;\ \\ \end{array}$
2. Schritt: Nach $y$ auflösen
$\begin{array}{} \quad&3(10+y)-y&=& 45\quad \scriptsize \;\ \\ &30+3y-y&=& 45\quad \scriptsize \;\ \\ &30+2y&=& 45\quad \scriptsize \mid \; -30 \\ &2y&=& 15\quad \scriptsize \mid \; :2 \\ &y&=& 7,5\quad \scriptsize \\ \end{array}$
$\begin{array} &y&=& 7,5 \end{array}$
3. Schritt: $y=7,5$ in II einsetzen
$\begin{array}{} \text{II}\quad&x&=& 10+7,5\quad \scriptsize \;\ \\ \quad&x&=& 17,5\quad \scriptsize \;\ \\ \end{array}$
Die Lösung des Gleichungssystems ist: $y=7,5$ und $x=17,5$.
P6
a)
$\blacktriangleright$ Den $\boldsymbol{y}$-Wert für $\boldsymbol{x=16}$ berechnen
Berechne den $y$-Wert für $x=16$, indem du für die Variable $x$ die Zahl $16$ in die Geradengleichung einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-0,5x +3 &\quad \scriptsize \mid\; x=16 \; \text{einsetzen} \\[5pt] y&=&-0,5 \cdot 16 +3 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&-5 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-5 \end{array}$
Der $y$-Wert für $x=16$ ist $-5$.
b)
$\blacktriangleright$ Bestimmen, ob der Punkt $P$ auf der Geraden liegt
Bei dieser Aufgabe hast du einen Punkt $P$ gegeben und sollst durch Rechnung bestimmen, ob dieser auf der Geraden $y=-0,5x+3$ liegt.
Löse diese Aufgabe, indem du die Koordinaten von $P$ in die Geradengleichung einsetzt. Ergibt sich am Ende der Rechnung ein Widerspruch, so liegt $P$ nicht auf der Geraden. Ergibt sich kein Widerspruch, dann befindet sich $P$ auf der gegebenen Geraden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-0,5x+3 &\quad \scriptsize \\[5pt] 14&=&-0,5 \cdot (-22) +3 &\quad \scriptsize \\[5pt] 14&=&11 +3 &\quad \scriptsize \\[5pt] 14&=&14 &\quad \scriptsize \mid\; \text{kein Widerspruch} \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} y&=&-0,5x+3 \\ 14&=&-0,5 \cdot (-22) +3 \\ 14&=&11 +3 \\ 14&=&14 \end{array}$
Der Punkt $P$ befindet sich auf der gegebenen Geraden.
c)
$\blacktriangleright$ Geradengleichung aufstellen
Hier sollst du die Gleichung einer Gerade aufstellen, die durch den Punkt $Q(0 \mid -1)$ geht und parallel zur gegebenen Gerade $y=-0,5x+3$ verläuft.
Gehe dazu zunächst von der allgemeinen Geradengleichung aus. Sie lautet:
$y=mx+t$
$y=mx+t$
Dabei steht $m$ für die Steigung der Gerade und $t$ für den y-Achsenabschnitt, also die $y$-Koordinate, bei der die Gerade die $y$-Achse schneidet.
Zueinander parallele Geraden haben die gleiche Steigung $m$. Da die gegebene Gleichung eine Steigung von $-0,5$ hat, weißt du nun, dass $m=-0,5$ sein muss.
Der $y$-Achsenabschnitt ist die $y$-Koordinate, bei der die Gerade die $y$-Achse schneidet. An dieser Stelle ist die $x$-Koordinate gleich $0$.
Die $x$-Koordinate des Punktes $Q$ ist $0$, somit muss die $y$-Koordinate von $Q$ gleich dem gesuchten $y$-Achsenabschnitt sein. $t$ ist also gleich $-1$.
Die gesuchte Geradengleichung lautet:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-0,5x-1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
P7
a)
$\blacktriangleright$ Figur mit angegebenen Maßen zeichnen
Bei dieser Aufgabe sollst du die gegebene Figur mit den angegebenen Maßen zeichnen. Aus der Angabe und der Skizze weißt du bereits, dass die Figur aus einem Halbkreis und einem gleichschenkligen Dreieck besteht. Der Halbkreis hat einen Radius $r$ von $3,6$ cm und das Dreieck eine Höhe $h$ von $4,8$ cm.
1. Schritt: Länge der Grundseite berechnen und diese zeichnen
Zeichne zunächst die Grundseite des Dreiecks. Diese Strecke ist gleichzeitig der Durchmesser des Halbkreises. Berechne ihre Länge, indem du den Radius $r$ mit $2$ multiplizierst:
$d_\text{Kreis}=2 \cdot r_\text{Kreis}$
$d_\text{Kreis}=2 \cdot r_\text{Kreis}$
Die Grundseite ist also $2 \cdot 3,6 \; \text{cm} = 7,2 \;\text{cm}$ lang.
2. Schritt: Halbkreis zeichnen
Zeichne nun einen Punkt in die Mitte dieser Strecke. Dies ist der Mittelpunkt des Halbkreises. Stelle deinen Zirkel auf $3,6$ cm ein und zeichne den Halbkreis ein.
3. Schritt: Höhe $h$ zeichnen
Messe anschließend vom Mittelpunkt aus senkrecht zur Grundseite die Höhe $h$ von $4,8$ cm ab und zeichne sie ein.
4. Schritt: Grundseite mit Höhe verbinden
Du erhältst eine maßstabsgetreue Zeichnung der Figur, indem du nun die beiden Enden der Grundseite mit der Spitze der Höhe verbindest.
5. Schritt: Hilfslinien ausradieren
Radiere die Hilfslinien (im Bild hellblau) aus.
Pflichtaufgaben
Abb. 1: Zeichnung der Figur
Pflichtaufgaben
Abb. 1: Zeichnung der Figur
b)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt der Figur berechnen
Bei der gegebenen Figur handelt es sich um eine zusammengesetzte Figur. Sie besteht aus einem gleichschenkligen Dreieck und einem Halbkreis.
Du kannst den Flächeninhalt berechnen, indem du zunächst die Flächeninhalte der Teilfiguren bestimmst und diese anschließend addierst.
Nutze dabei die Formeln zur Flächeninhaltsberechnung geometrischer Figuren:
$A_\text{Dreieck}=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ $A_\text{Halbkreis}=\frac{1}{2}\cdot\pi \cdot r^2$
$A_\text{Dreieck}=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ $A_\text{Halbkreis}=\frac{1}{2}\cdot\pi \cdot r^2$
Dabei steht $g$ für die Länge der Dreiecksgrundseite, $h$ für die Dreieckshöhe, $\pi$ für die Kreiszahl und $r$ für den Radius des Kreises.
1. Schritt: Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
Berechne mit Hilfe de obigen Formel den Flächeninhalt des Dreiecks. Beachte bei, dass die Grundseite immer diejenige Seite ist, auf der die Höhe senkrecht steht.
Im Aufgabenteil a hast du bereits die Länge der Grundseite zu $7,2$ cm berechnet. Die Höhe $h=4,8$ cm kannst du der Zeichnung bzw. dem Angabentext entnehmen. Setze diese beiden Werte in die Formel ein und berechne damit den Flächeninhalt des Dreiecks:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{2} \cdot 7,2 \;\text{cm} \cdot 4,8 \; \text{cm} &=& 17,28 \;\text{cm}^2&\quad \scriptsize \\[5pt] A_\text{Dreieck} &=& 17,28 \;\text{cm}^2&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Flächeninhalt des Halbkreises berechnen
Berechne mit Hilfe de obigen Formel den Flächeninhalt des Halbkreises. Beachte bei, dass $\pi$ ist eine mathematische Konstante ist, die du auch auf deinem Taschenrechner findest. Der Radius $r$ ist bereits in der Angabe gegeben und beträgt $3,6$ cm. Setze diese Werte in die Formel ein und berechne damit den Flächeninhalt des Halbkreises:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot (3,6 \;\text{cm})^2&\approx& 20,36 \; \text{cm}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] A_\text{Halbkreis}&\approx& 20,36 \; \text{cm}^2 \end{array}$
3. Schritt: Flächeninhalte der Teilflächen addieren
Addiere nun die Flächeninhalte der Teilflächen und erhalte damit den gesuchten Gesamtflächeninhalt der Figur:
$\begin{array}[t]{rll} 17,28\;\text{cm}^2 + 20,36\;\text{cm}^2&=& 37,64 \;\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] 37,64 \;\text{cm}^2&\approx& 38 \;\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] A_\text{Figur}&\approx& 38 \;\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_\text{Figur}&\approx& 38 \;\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt der gesuchten Figur beträgt ungefähr $38$ cm$^2$.
c)
$\blacktriangleright$ Umfang der Figur berechnen
In diesem Aufgabenteil sollst du den Umfang der Figur berechnen und dein Ergebnis auf Millimeter runden.
Den Umfang einer zusammengesetzten Figur berechnest du, indem du alle Seitenlängen addierst. Bestimme dazu die Länge der beiden Dreiecksschenkel und addiere anschließend den Umfang des Halbkreises hinzu. Beachte dabei, dass es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, die Schenkel also gleich lang sind. Es reicht aus, die Länge eines Schenkels zu berechnen und diesem mal $2$ zu nehmen.
1. Schritt: Länge der Dreiecksschenkel bestimmen
Betrachte zunächst die Dreiecksschenkel. Du kannst die Länge mithilfe des Satz des Pythagoras berechnen. Dieser lautet:
$a^2+b^2=c^2$
$a^2+b^2=c^2$
Dabei stehen $a$, $b$ und $c$ für die Dreiecksseiten, wobei die Seite $c$ diejenige Seite ist, die sich gegenüber des rechten Winkels befindet.
Teile das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke auf, um den Satz des Pythagoras benutzen zu können:
Pflichtaufgaben
Abb. 2: Rechtwinkliges Dreieck
Pflichtaufgaben
Abb. 2: Rechtwinkliges Dreieck
Da die gesuchte Seitenlänge der Länge von $c$ entspricht, kannst du die dir bereits bekannten Werte direkt in die Formel des Satzes des Pythagoras einsetzen. So entspricht Höhe $h=4,8$ cm der Seitenlänge $a$ und der Radius $r=3,6$ cm der Seitenlänge $b$. Du erhältst damit die gesuchte Schenkellänge.
$\begin{array}[t]{rll} a^2+b^2&=& c^2&\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] (4,8 \;\text{cm})^2+(3,6 \;\text{cm})^2&=& c^2&\quad \scriptsize \\[5pt] 23,04 \;\text{cm}^2+12,96\; \text{cm}^2&=& c^2&\quad \scriptsize\\[5pt] 36 \; \text{cm}^2&=& c^2&\quad \scriptsize \mid\; \text{Wurzel ziehen} \\[5pt] c&=& \sqrt{36 \; \text{cm}^2}&\quad \scriptsize\\[5pt] c&=& 6 \;\text{cm} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} a^2+b^2&=& c^2 \\ 36 \; \text{cm}^2&=& c^2 \\ c&=& \sqrt{36 \; \text{cm}^2} \\ c&=& 6 \;\text{cm} \end{array}\\ $
2. Schritt: Umfang des Halbkreises berechnen
Den Umfang des Halbkreises kannst du mit folgender Formel berechnen:
$U_{\text{Halbkreis}}=\pi \cdot r$
$U_{\text{Halbkreis}}=\pi \cdot r$
Dabei steht $\pi$ für die Kreiszahl und $r$ für den Radius des Kreises.
Setze $r$ und $\pi$ in die Formel ein und berechne damit den Umfang des Halbkreises:
$\begin{array}[t]{rll} U_{\text{Halbkreis}}&=&\pi \cdot r &\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] &=&\pi \cdot 3,6 \; \text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 11,309 \; \text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} U_{\text{Halbkreis}}&=&\pi \cdot r \\ &=&\pi \cdot 3,6 \; \text{cm} \\ &\approx& 11,309 \; \text{cm} \end{array}$
3. Schritt: Länge der Dreiecksschenkel mit Halbkreisumfang addieren
Addiere nun die LÄnge der Dreiecksschenkel mit der Umfang des Halbkreises.
$\begin{array}[t]{rll} U_{\text{Figur}}&=& 2 \cdot 6 \; \text{cm} + 11,309 \; \text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 23,309 \; \text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
4. Schritt: Ergebnis runden
Da verlangt ist, dass der Umfang der Figur auf Millimeter gerundet wird, musst du anschließend noch dein Ergebnis auf eine Nachkommastelle genau runden.
$\begin{array}[t]{rll} U_{\text{Figur}} &\approx& 23,3 \; \text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Umfang der Figur beträgt etwa $23,3$ cm.
P8
a)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Flächen bestimmen
Bei dieser Aufgabe sollst du die Anzahl der Flächen des dargestellten Prismas bestimmen.
Du kannst dir dazu das Prisma als einen großen Quader vorstellen, aus dem ein kleiner Quader herausgeschnitten wurde:
Pflichtaufgaben
Abb. 3: herausgeschnittener Quader
Pflichtaufgaben
Abb. 3: herausgeschnittener Quader
Ein Quader hat immer genau $6$ Flächen. Durch das Herausschneiden des kleinen Quaders sind $4$ zusätzliche Flächen entstanden. Insgesamt hat die Figur nun also $6+4=10$ Flächen.
Das Werkstück besitzt $10$ Flächen.
b)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Kanten bestimmen
Bei dieser Aufgabe sollst du die Anzahl der Kanten des dargestellten Prismas bestimmen.
Wie in der vorherigen Aufgabe a. kannst du dir die Figur als einen Quader vorstellen, aus dem ein kleinerer Quader ausgeschnitten wurde.
Ein Quader besitzt genau $12$ Kanten. Durch das Herausschneiden des kleinen Quaders sind also $12$ zusätzliche Kanten entstanden. Insgesamt hat die Figur nun also $12+12=24$ Kanten.
Das Werkstück besitzt $24$ Kanten. Antwortmöglichkeit D ist richtig.
c)
$\blacktriangleright$ Masse des Werkstücks bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du die Masse des Werkstücks bestimmen. Dabei hast du die Maße des Prismas gegeben, sowie die Dichte des Materials. $1$ cm$^3$ des Werkstücks wiegt $2,7$ g.
Um auf das gefragte Gesamtgewicht zu kommen, musst du das Volumen des Werkstücks berechnen. Dazu kannst du dir das Prisma, wie schon in den vorherigen Aufgabenteilen, als einen großen Quader vorstellen, aus dem ein kleiner Quader ausgeschnitten wurde. Berechne daher zunächst das Volumen des großen Quaders und das des kleinen. Ziehe anschließend das Volumen des kleinen Quaders vom großen ab.
Pflichtaufgaben
Abb. 4: kleiner Quader
Pflichtaufgaben
Abb. 4: kleiner Quader
Die Formel für das Volumen eines Quaders lautet:
$V_\text{Quader}=l \cdot b \cdot h$
$V_{Quader}=l \cdot b \cdot h$
1. Schritt: Volumen des großen Quaders berechnen
Berechne zunächst das Volumen des großen Quaders, in dem du die oben genannte Formel anwendest.
$\begin{array}[t]{rll} V_\text{groß}&=& 8 \; \text{cm} \cdot 4\; \text{cm} \cdot 5 \; \text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 160 \; \text{cm}^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Volumen des kleinen Quaders berechnen
Rechne anschließend auf gleiche Art und Weise das Volumen des kleinen Quaders aus:
$\begin{array}[t]{rll} V_\text{klein}&=& 4\; \text{cm} \cdot 4\; \text{cm} \cdot 2,5 \; \text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 40 \; \text{cm}^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Volumen des kleinen Quaders vom Volumen des großen Quaders abziehen
Berechne nun das Volumen des Werkstücks, indem du das Volumen des kleinen Quaders vom großen Quader abziehst:
$\begin{array}[t]{rll} V_\text{Werkstück}&=& 160 \; \text{cm}^3 - 40 \; \text{cm}^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 120 \; \text{cm}^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
4. Schritt: Gewicht des Werkstücks berechnen
Nun kannst du das Gewicht des Werkstücks berechnen. Du weißt bereits, dass $1$cm$^3$ $2,7$ g wiegt. Multipliziere also $2,7$ g mit $120$, um das Gewicht für das gesamte Volumen zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} 1 \; \text{cm}^3&\mathrel{\widehat{=}}& 2,7 \; \text{g} &\quad \scriptsize \mid \; \cdot 120\\[5pt] 120 \; \text{cm}^3&\mathrel{\widehat{=}}& 324 \; \text{g} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Das Werkstück wiegt $324$ g.
Bildnachweise [nach oben]
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