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Wahlaufgaben

Aufgaben
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Aufgabe W1

Die Abbildung zeigt vier Geraden ($e$, $f$, $g$ und $h$).
$\overline{AC}=20\,\text{cm}$
$\overline{DA}=16\,\text{cm}$
$\overline{BC}=27\,\text{cm}$
$e \mid \mid f$
a.
Berechne die Länge der Strecke $\overline{BE}$.
(3P)
b.
Das Dreieck $\overline{DEC}$ entsteht aus der zentrischen Streckung des Dreiecks $\overline{ABC}$.
Gib den Streckfaktor $k$ an.
(2P)
c.
Die Geraden $e$ und $f$ sind parallel zueinander. Berechne ihren Abstand $x$.
Runde auf Millimeter.
(3P)
d.
Die Geraden $g$ und $h$ schneiden sich im Punkt $C$.
Berechne die Größe des Schnittwinkels $\gamma$. Runde auf zehntel Grad.
(4P)

Aufgabe W2

a.
Zwei der folgenden Terme haben den Wert $1$ Milliarde.
Schreibe die beiden Terme auf dein Reinschriftpapier.
$10^4\cdot 10^5$$100.000.000$$\frac{1}{10^9}$
$10^3+10^3+10^3$$(1.000)^3$$(10^2)^7$
$10^4\cdot 10^5$
$100.000.000$
$\frac{1}{10^9}$
$10^3+10^3+10^3$
$(1.000)^3$
$(10^2)^7$
(2P)
b.
Wende die Potenzgesetze an.
1.
Bestimme den unbekannten Exponenten $a$.
$4,5^3\cdot 4,5^{-5}\cdot = 4,5^a$
(1P)
2.
Bestimme den unbekannten Exponenten $b$.
$\frac{x^{11}}{x^b}=x^8$
(1P)
3.
Bestimme den unbekannten Exponenten $c$.
$(30^5)^2=30^c$
(1P)
Hinweis:
Bei der wissenschaftlichen Schreibweise werden die Zahlen als Produkt einer Dezimalzahl mit genau einer Ziffer (ungleich Null) vor dem Komma und einer Zehnerpotenz geschrieben.
Hinweis:
Bei der wissenschaftlichen Schreibweise werden die Zahlen als Produkt einer Dezimalzahl mit genau einer Ziffer (ungleich Null) vor dem Komma und einer Zehnerpotenz geschrieben.
c.
Der Radius eines Wasserstoffatoms beträgt $0,000000000053\,\text{m}$.
1.
Gib den Radius des Wasserstoffatoms in wissenschaftlicher Schreibweise an.
(1P)
2.
Ein Virus hat den $140$-fachen Radius des Wasserstoffatoms.
Berechne den Radius des Virus in Millimeter.
Schreibe das Ergebnis in der wissenschaftlichen Schreibweise.
(2P)
d.
(4P)

Aufgabe W3

Die Zeichnung zeigt die zugehörige Parabel. Der Ursprung des Koordinatensystems liegt unter dem höchsten Punkt des Bogens in Höhe der Wasseroberfläche. Die Pfeiler sind gestrichelt eingezeichnet.
a.
Begründe, weshalb bei der Gleichung der Faktor vor $x^2$ negativ sein muss.
(1P)
b.
Gib die Höhe $h$ in Meter an.
(2P)
c.
Berechne die Spannweite $\overline{AB}$ des Bogens. Runde auf Meter.
Formuliere einen Antwortsatz.
(5P)
d.
Das Gleis des Zuges verläuft parallel zur $x$-Achse in einer Höhe von $65\,\text{m}$.
Der Abstand des eingezeichneten Punktes $P$ zur $y$-Achse beträgt $47\,\text{m}$.
Berechne die Länge des in $P$ eingezeichneten Pfeilers (dick gestrichelt).
(3P)
e.
Der Scheitelpunkt der Parabel wird in den Koordinatenursprung $O$ verschoben.
Schreibe die Gleichung der verschobenen Parabel auf.
(1P)

Aufgabe W4

Die Abbildung zeigt eine Karte vom Feldsee im Naturpark Südschwarzwald.
a.
In welchem Maßstab ist diese Karte erstellt worden?
Schreibe den passenden Buchstaben auf dein Reinschriftpapier.
$C$
$1:5.000$
$D$
$1:50.000$
(2P)
b.
Der Bodensee hat eine Fläche von $536\,\text{km}^2$.
Wie oft passt die Fläche des Feldsees ungefähr in die Fläche des Bodensees?
Berechne hierfür die ungefähre Fläche des Feldsees.
Schätze dazu geeignete Größen und rechne damit.
Formuliere einen Antwortsatz.
(6P)
c.
Familie Fischer möchte auf dem Rundweg um den Feldsee wandern.
Sie will um 11:15 Uhr vom Gasthaus aus starten. Das Gasthaus ist $500\,\text{m}$ vom Rundweg entfernt.
Schafft es Familie Fischer, spätestens um 12:00 Uhr wieder im Gasthaus zu sein, wenn sie mit einer durchschnittlichen Wandergeschwindigkeit von $4$ Kilometer pro Stunde unterwegs ist?
Begründe deine Antwort durch eine Rechnung.
(4P)

Aufgabe W5

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Feld aufleuchtet, ist bei allen $12$ Feldern gleich.
a.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das gefärbte Feld aufleuchtet.
(1P)
b.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei zwei aufeinanderfolgenden Personen das gefärbte Feld aufleuchtet.
(2P)
c.
Bestimme den maximalen Rabatt, den man bekommen kann.
(1P)
d.
Anna und Lukas nehmen an der Rabattaktion teil.
1.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält Anna einen Rabatt von mehr als $3\%$?
(2P)
2.
Anna konnte bei der Aktion einen Rabatt von $5,91 €$ erzielen und musste nur noch $92,59 €$ bezahlen. Welches Feld leuchtete bei ihr auf?
Notiere den zugehörigen Prozentsatz und den Faktor des Feldes.
Begründe deine Antwort durch eine Rechnung.
(3P)
3.
Lukas würde ohne Rabatt für seinen Einkauf $55,50 €$ zahlen.
Er wünscht sich einen Rabatt, bei dem er weniger als $50 €$ zu zahlen hat.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sein Wunsch erfüllt wird.
(3P)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
Public Domain.
[3]
https://www.flickr.com/photos/jamoutinho/ 5458473006 – Arrábida, José Moutinho, CC BY 2.0.
[4]
© 2016 – SchulLV.
[5]
© 2016 – SchulLV.
[6]
© 2016 – SchulLV.
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W1
a)
$\blacktriangleright$ Länge der Strecke $\overline{BE}$ berechnen
In dieser Aufgabe hast du eine Abbildung mit vier Geraden gegeben, wobei zwei von ihnen parallel zueinander verlaufen und zwei sich in einem Punkt schneiden. Die drei Abschnittslängen $\overline{AC}$, $\overline{DA}$ und $\overline{BC}$ (grün in Abb.1) sind bereits gegeben. Du sollst nun die vierte Abschnittslänge $\overline{BE}$ (rot in Abb.1) berechnen.
Wahlaufgaben
Abb. 1: Streckenverhältnisse
Wahlaufgaben
Abb. 1: Streckenverhältnisse
Bestimme die gesuchte Streckenlänge mithilfe des 1. Strahlensatzes. Der 1. Strahlensatz trifft eine Aussage über die Verhältnisse von Strahlenabschnitten. Mit Strahlen sind die sich schneidenden Geraden gemeint. In diesem Fall sind das die Geraden $g$ und $h$.
Der Strahlensatz besagt, dass sich die Längen der zwei Abschnitte auf dem einen Strahl (hier $g$) so zueinander verhalten, wie die Längen der zwei Abschnitte auf dem anderen Strahl (hier $h$). Mathematisch ausgedrückt bedeutet das in diesem Fall:
$\frac{\overline{AC}}{\overline{DA}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{BE}}$
$\frac{\overline{AC}}{\overline{DA}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{BE}}$
Stelle die Gleichung nach der gesuchten Strecke $\overline{BE}$ um. Durch Einsetzen der bereits bekannten Streckenlängen, erhältst du die Länge von $\overline{BE}$.
b)
$\blacktriangleright$ Streckfaktor $k$ angeben
In dieser Aufgabe wird nach dem Streckfaktor $k$ gefragt. Dieser gibt an, um welchen Faktor das Dreieck $ABC$ gestreckt wurde, sodass das größere Dreieck $DEC$ entstanden ist.
Bei einer zentrischen Streckung wird jede Strecke der ursprünglichen Figur um den Streckfaktor vergrößert. So entsteht, je nach Größe des Streckfaktors, ein größeres oder kleineres Abbild der Figur während die Größenverhältnisse gleich bleiben.
Wähle pro Dreieck je eine Strecke aus, deren Länge du bereits kennst. Da der Streckfaktor das Verhältnis zwischen der Bild- und Originalstrecke ist, teilst du anschließend die Strecke des Abbilds durch die entsprechende Strecke der ursprünglichen Figur.
In diesem Fall bietet es sich an, die Strecken $\overline{AC}$ (grün in Abb. 2) und $\overline{DC}$ (rot in Abb. 2) zu wählen:
Wahlaufgaben
Abb. 2: zentrische Streckung
Wahlaufgaben
Abb. 2: zentrische Streckung
Teile die Strecke $\overline{AC}$ durch die Strecke $\overline{DC}$, um den Streckfaktor zu erhalten.
c)
$\blacktriangleright$ Abstand $x$ der Parallelen berechnen
Hier ist nach dem Abstand $x$ zwischen den Parallelen $e$ und $f$ gefragt.
Betrachte zunächst die in der Angabe gegebene Abbildung. Die gesuchte Strecke $x$ schließt, zusammen mit der Strecke $\overline{DA}$, ein rechtwinkliges Dreieck ein. Somit ist eine Seite des Dreiecks gesucht.
Berechne die Strecke $x$ mithilfe trigonometrischer Überlegungen.
1. Schritt: Winkel zwischen $x$ und $\overline{DA}$ berechnen
Bestimme dazu zunächst den Winkel, den $x$ mit der Strecke $\overline{DA}$ einschließt:
Wahlaufgaben
Abb. 3: Abstand $x$
Wahlaufgaben
Abb. 3: Abstand $x$
Gegenüberliegende Winkel heißen Scheitelwinkel und sind gleich groß. Somit weißt du, dass die Geraden $e$ und $g$ einen Winkel von $48^{\circ}$ einschließen. Die Summe nebeneinander liegender Winkel beträgt immer $180^{\circ}$.
Berechne nun den Innenwinkel des Dreiecks. Ziehe dazu von $180^{\circ}$ $90^{\circ}$ (rechter Winkel) und $48^{\circ}$ ab.
2. Schritt: Strecke $x$ berechnen
Nun kannst du mithilfe des Kosinus und des eben berechneten Winkels die gesuchte Strecke $x$ berechnen.
Kosinus des Winkels$=\frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}$
Kosinus des Winkels$=\frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}$
Dabei ist die Ankathete die Kathete, die einen Schenkel des Winkels bildet. In diesem Fall ist die Ankathete gleich der gesuchten Strecke $x$. Die Hypotenuse ist immer die Seite, die gegenüber vom rechten Winkel liegt.
Setze nun die bereits bekannten Werte in die Gleichung ein und stelle nach der Unbekannten $x$ um.
d)
$\blacktriangleright$ Größe des Schnittwinkels $\gamma$ berechnen
Hier ist nach der Größe des Schnittwinkels $\gamma$ gefragt. Dieser Winkel entsteht am Punkt $C$ dadurch, dass sich die Geraden $g$ und $h$ schneiden.
Wende den Sinussatz an, um diese Aufgabe zu lösen. Der Sinussatz beschreibt die Beziehung zwischen den Seitenlängen $a$, $b$, $c$ und den Winkeln $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ in einem beliebigen Dreieck:
$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$
$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$
Da die Seitenlänge $c$ (vgl. Abb. 4) nicht bekannt ist, musst du zunächst den Winkel $\beta$ mithilfe des Sinussatzes berechnen. Ziehe anschließend die beiden bekannten Winkel $\alpha$ und $\beta$ von $180^{\circ}$ ab. Damit erhältst du die Größe des gesuchten Winkels $\gamma$.
Wahlaufgaben
Abb. 4: Winkel und Seiten des Dreiecks
Wahlaufgaben
Abb. 4: Winkel und Seiten des Dreiecks
1. Schritt: Winkel $\beta$ berechnen
Berechne zunächst den Winkel $\beta$. Wende dazu den Sinussatz an und löse ihn nach $\sin(\beta)$ auf.
Setze nun die bereits bekannte Werte für $\alpha$, $a$ und $b$ in die Gleichung ein. Berechne den Winkel $\beta$, indem du die inverse Sinusfunktion $\sin^{-1}$ benutzt.
2. Schritt: Winkel $\gamma$ berechnen
Die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck ist gleich $180^{\circ}$. Du erhältst die gesuchte Größe des Winkels $\gamma$, indem du die beiden Winkelgrößen $\alpha$ und $\beta$ von $180^{\circ}$ abziehst.
W2
a)
$\blacktriangleright$ Werte, die $1$ Milliarde entsprechen, finden
In dieser Aufgabe sollst du aus den $6$ möglichen Zahlen, diejenigen identifizieren, die den Wert von $1$ Milliarde haben. Die Zahlen sind dabei in unterschiedlichen Schreibweisen gegeben.
Überlege dir zunächst wie eine Milliarde ausgeschrieben aussieht.
Eine Milliarde ist eine Zahl mit $9$ Nullen: $1.000.000.000$. Da es bei solchen großen Zahlen recht aufwändig ist sie bei jeder Rechnung ganz auszuschreiben, hat man für besonders große und kleine Zahlen die wissenschaftliche Schreibweise eingeführt. Dadurch lassen sich Zahlen als Produkt einer Dezimalzahl und einer Zehnerpotenz darstellen, was die Lesbarkeit verbessert. Der Exponent ist die Hochzahl, die über der Zehnerpotenz steht. Sie gibt an, um wie viele Nachkommatellen das Komma verschoben werden muss.
Da eine Milliarde $9$ Nullen besitzt, lautet die wissenschaftliche Schreibweise: $1 \cdot 10^{9}$.
Gehe nun die angegebenen Lösungsmöglichkeiten durch, um die richtigen Antworten zu finden. Verwende dabei Potenzgesetze, um die Terme gegebenenfalls umzuformen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{a}^{\text{m}} \cdot \; \text{a}^{\text{n}}&=& \text{a}^{\text{m}+\text{n}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \left(\text{a}^{\text{n}}\right)^{\text{m}}&=& \text{a}^{\text{n} \cdot \text{m}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{\text{a}^{\text{n}}}{\text{a}^{\text{m}}}&=& \text{a}^{\text{n} -\text{m}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{1}{\text{a}^{\text{n}}}&=&\text{a}^{\text-n} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{a}^{\text{m}} \cdot \; \text{a}^{\text{n}}&=& \text{a}^{\text{m}+\text{n}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \left(\text{a}^{\text{n}}\right)^{\text{m}}&=& \text{a}^{\text{n} \cdot \text{m}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{\text{a}^{\text{n}}}{\text{a}^{\text{m}}}&=& \text{a}^{\text{n} -\text{m}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{1}{\text{a}^{\text{n}}}&=&\text{a}^{\text-n} \end{array}$
b)
1.
$\blacktriangleright$ Exponenten $a$ bestimmen
Rechne die linke Seite der Gleichung mithilfe des Potenzgesetzes aus und vergleiche anschließend die Exponenten auf der linken und rechten Seite. Damit erhältst du den Wert des gesuchten Exponenten $a$.
2.
$\blacktriangleright$ Exponenten $b$ bestimmen
Gehe analog zum Aufgabenteil $1$ vor. Stelle die Gleichung zunächst um, so dass der Exponent ohne weitere Faktoren auf der linken Seite steht. Verwende anschließend das passende Potenzgesetz, um den Exponenten $b$ zu bestimmen.
3.
$\blacktriangleright$ Exponenten $c$ bestimmen
Verwende das entsprechende Potenzgesetz, um die linke Seite der Gleichung zu berechnen. Vergleiche anschließend die Exponenten der linken und rechten Seite miteinander.
c)
1.
$\blacktriangleright$ Radius in wissenschaftlicher Schreibweise angeben
In der Aufgabenstellung ist der Radius eines Wasserstoffatoms in Metern gegeben. Deine Aufgabe ist es diesen Radius in wissenschaftlicher Schreibweise anzugeben.
Der Radius ist $0,000\;000\;000\;053$ m. Das Ziel ist es diese Zahl durch genau eine Zahl vor dem Komma und eine Zehnerpotenz auszudrücken. Bestimme den Exponenten der Zehnerpotenz, indem du zählst um wie viele Stellen das Komma nach rechts verschoben werden müsste.
In diesem Fall muss es um $11$ Stellen nach rechts verlagert werden.
2.
$\blacktriangleright$ Radius des Virus in Millimetern berechnen
Bei dieser Aufgabe sollst du den Radius des Virus in Millimetern berechnen. Das Ergebnis soll in wissenschaftlicher Schreibweise angegeben werden.
In der Aufgabenstellung steht, dass ein Virus den $140$-fachen Radius eines Wasserstoffatoms hat. Um den gesuchten Radius zu erhalten, musst du also den Wasserstoffatomradius mit $140$ multiplizieren.
Rechne nun den Virusradius in Millimeter um. Da $1$ Meter $1.000$ Millimetern entspricht, musst du dein Ergebnis in Metern mit $1.000$ multiplizieren. Beachte dabei, dass $1.000$ gerade $10^3$ entspricht und wende die Potenzgesetze an.
d)
$\blacktriangleright$ Gesamtgewicht der Menschen und Ameisen vergleichen
In dieser Aufgabe sollst du berechnen, ob das Gesamtgewicht aller Ameisen auf der Erde tatsächlich größer ist als das Gesamtgewicht aller Menschen. Dabei sind dir die jeweilige Anzahl der Menschen bzw. Ameisen gegeben, sowie das Gewicht eines einzelnen Menschen und einer einzelnen Ameise.
Berechne zunächst das Gesamtgewicht der Menschen, indem du ihre Anzahl mit ihrem Einzelgewicht multiplizierst. Gehe analog bei den Ameisen vor. Vergleiche anschließend die beiden Werte miteinander.
Um diese beiden Werte vergleichen zu können, müssen sie in die gleiche Einheit umgerechnet werden. Wähle z.B. kg als Vergleichseinheit aus und rechne das Ameisengewicht entsprechend um.
$1$ kg entspricht $1.000$ g. Dividiere also das Ameisengewicht durch $1.000$. Beachte dabei, dass $1.000$ gerade $10^3$ entspricht und wende die Potenzgesetze an.
W3
a)
$\blacktriangleright$ Negativen Vorfaktor von $x^2$ begründen
In dieser Aufgabe ist die Funktionsgleichung $-0.003 \cdot x^2 + 60$ gegeben. Die Zeichnung zeigt die zur Gleichung gehörende Parabel. Dabei liegt der Ursprung des Koordinatensystems unter dem höchsten Punkt der Parabel.
Du sollst begründen, warum der Faktor vor dem $x^2$ bei der Funktionsgleichung negativ sein muss.
Betrachte dazu die Zeichnung. Es handelt sich um eine nach unten geöffnete Parabel.
b)
$\blacktriangleright$ Höhe $h$ in Metern angeben
In diesem Aufgabenteil sollst du die in der Zeichnung markierte Höhe $h$ in Metern angeben.
Aus dem Angabentext weißt du bereits, dass sich der Ursprung des Koordinatensystems direkt unter dem höchsten Punkt des Bogens befindet. Berechne also die $y$-Koordinate an der Stelle $x=0$, um die gesuchte Höhe zu berechnen.
c)
$\blacktriangleright$ Spannweite $\overline{AB}$ des Bogens berechnen
Im Aufgabenteil c sollst du die Spannweite $\overline{AB}$ des Bogens berechnen.
Die Spannweite entspricht gerade der Strecke zwischen den Punkten $A$ und $B$. Bei $A$ und $B$ handelt es sich zudem um die Nullstellen der gegebenen Funktionsgleichung, da die Parabel an diesen Stellen die $x$-Achse schneidet.
Berechne also zunächst die $x$-Koordinaten der Punkte $A$ und $B$, indem du die Koordinaten der Nullstellen bestimmst. Damit erhältst du von beiden Punkten den jeweiligen Abstand zur $y$-Achse, $\overline{A0}$ bzw. $\overline{0B}$. Die Summe dieser Abstände entspricht der Strecke $\overline{AB}$. Du erhältst so die gesuchte Spannweite des Bogens.
Berechne zunächst die Nullstellen der Funktion $y=-0,003 \cdot x^2 + 60$
1. Schritt: Funktionsgleichung gleich Null setzen
2. Schritt: $pq$-Formel anwenden
Löse die quadratische Gleichung mithilfe der $pq$ Formel.
Diese lautet:
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
Eliminiere zunächst den Faktor vor dem $x^2$, um die Formel anwenden zu können.
Identifiziere nun die Parameter $p$ und $q$, indem du die nun erhaltene Gleichung mit der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$ vergleichst.
Setze die Parameter in die $pq$-Formel ein und berechne die Nullstellen der Funktion.
3. Schritt: Abstand zwischen $A$ und $B$ berechnen
4. Schritt: Antwortsatz formulieren
d)
$\blacktriangleright$ Länge des Pfeilers in Punkt $P$ bestimmen
In Aufgabenteil d sollst du die Länge des im Punkt $P$ eingezeichneten Brückenpfeilers bestimmen.
Der Abstand des Punktes $P$ zur $x$-Achse beträgt laut Angabe $47$ Meter. Dieser Abstand entspricht also der $y$-Koordinate von $P$. Bestimme zunächst die Höhe auf der sich $P$ befindet, indem du die zugehörige $y$-Koordinate berechnest. Setze dazu $x=47$ in die Funktionsgleichung ein.
Ziehe anschließend diese Höhe von der Gesamthöhe zwischen Wasseroberfläche und Gleis ab. Damit erhältst du die gesuchte Pfeilerlänge.
e)
$\blacktriangleright$ Gleichung der verschobenen Parabel aufstellen
Beim Scheitelpunkt handelt es sich um die höchste bzw. tiefste Stelle einer Parabel. In diesem Fall entspricht der Scheitelpunkt dem höchsten Punkt, da die Parabel nach unten geöffnet ist.
In diesem Aufgabenteil sollst du die Parabelgleichung aufstellen für den Fall, dass die gegebene Parabel ihren Scheitelpunkt im Ursprung hat. Das bedeutet, dass die Parabel um $60$ Meter nach unten verschoben wird.
Um eine Parabel nach unten zu verschieben, musst du die Längeneinheiten, um die sie bewegt werden soll, von der Funktionsgleichung subtrahieren.
W4
a)
$\blacktriangleright$ Maßstab der Karte bestimmen
In dieser Aufgabe ist eine Karte von einem See und seiner unmittelbaren Umgebung gegeben. Du sollst nun herausfinden, in welchem Maßstab die Karte erstellt worden ist.
Karten bilden die Realität in verkleinerter Form ab. Der Maßstab sagt aus, um welchen Faktor die Wirklichkeit verkleinert wurde. So bedeutet ein Maßstab von $1:100$ bespielsweise, dass $1$ cm auf der Karte $100$ cm in der Realität entsprechen.
Der Maßstab wird stets direkt in die Karte gezeichnet. In diesem Fall befindet er sich rechts unten im Bild und ist ein schwarzer Strich mit einer Längenangabe.
Messe diesen Strich mit deinem Lineal. Er hat eine Länge von $1$ cm. Das bedeutet, dass $1$ cm auf der Karte $50$ m in der Realität entsprechen.
Forme eine der beiden Zahlen nun so um, dass beide Längenangaben die gleiche Einheit erhalten, z.B. Zentimeter:
b)
$\blacktriangleright$ Bestimmen, wie oft der Feldsee in den Bodensee passt
Im Aufgabenteil b sollst du bestimmen wie oft der kleine Feldsee ungefähr in den weitaus größeren Bodensee passen würde. Du hast dabei die Größe des Bodensees mit $A_{\text{Bodensee}}=536 \; \text{km}^2$ gegeben.
1. Schritt: Fläche des Feldsees bestimmen
Überlege dir zunächst, welcher geometrischen Figur der gegebene Feldsee am nächsten kommt.
Der Feldsee ist nahezu kreisrund. Verwende also die Formeln zur Kreisberechnung, um die Fläche des Feldsees zu bestimmen.
$A_{\text{Kreis}}= \pi \cdot r^2$
$A_{\text{Kreis}}= \pi \cdot r^2$
Dabei steht $A_{\text{Kreis}}$ für die Kreisfläche, $\pi$ für die Kreiszahl und $r$ für den Radius des Kreises.
2. Schritt: Radius $r$ des Feldsees bestimmen
Bestimme nun den ungefähren Radius $r$ des Feldsees, indem du seinen Durchmesser $d$ mit dem Lineal abmisst und ihn durch zwei teilst:
$r= \frac{d}{2}$
$r= \frac{d}{2}$
3. Schritt: Reale Größe des Feldsees bestimmen
Berechne nun mithilfe des Maßstabs, wie groß der Radius des Feldsees in der Realiät ist:
Setze den Radius nun in die Formel für die Kreisflächenberechnung ein. Du erhältst damit die ungefähre Größe des Feldsees.
c)
$\blacktriangleright$ Wanderzeit der Familie Fischer bestimmen
Im Aufgabenteil c sollst du berechnen, ob es Familie Fischer bei einer Wanderung um den Feldsee herum rechtzeitig zurück zum Gasthaus schafft. Dabei ist der Weg vom Gasthaus zum See und zurück mit jeweils $500$ Metern in der Angabe gegeben. Familie Fischer bewegt sich mit durchschnittlich $4 \; \frac{\text{km}}{\text{h}}$ fort und startet um 11:15 Uhr die Wanderung. Sie wollen spätestens um 12 Uhr wieder zurück im Gasthaus sein.
1. Schritt: Gesamtlänge der Wanderung bestimmen
Berechne zunächst die Gesamtlänge der geplanten Wanderung. Diese setzt sich aus drei Teilen zusammen: dem Weg vom Gasthaus zum Feldsee, dem Weg um den See herum und dem Weg zurück vom Feldsee zum Gasthaus. Die einzige unbekannte Weglänge ist die Länge des Rundwegs um den See herum.
Berechne die Länge des Rundwegs, indem du den Umfang $U_{\text{Kreis}}$ des Kreises berechnest, den der Rundweg einschließt:
$U_{\text{Kreis}}=2 \cdot \pi \cdot r$
$U_{\text{Kreis}}=2 \cdot \pi \cdot r$
Messe dazu zunächst den Durchmesser $d$ des Kreises, dessen Rand der Rundweg ist, mit dem Lineal aus.
Berechne den Radius $r$ analog zum Aufgabenteil b: $r=\frac{d}{2}$. Berechne nun den tatsächlichen Radius des Rundwegs, indem du ihn mithilfe des Maßstabs umrechnest.
Setze den tatsächlichen Radius in die Formel zur Kreisumfangsberechnung ein:
Addiere nun die einzelnen Wegabschnitte miteinander. Du erhältst damit die Gesamtlänge der geplanten Wanderung.
2. Schritt: Wanderzeit berechnen
Familie Fischer bewegt sich mit durchschnittlich $4 \; \frac{\text{km}}{\text{h}}$ fort. Das bedeutet, dass sie für vier Kilometer im Durchschnitt eine Stunde brauchen.
Berechne mithilfe des Dreisatzes wie lange sie für $2,21$ km brauchen.
3. Schritt: Ankunftszeitpunkt im Gasthaus bestimmen
Rechne die Wanderzeit in Minuten um und addiere diese zur geplanten Startzeit.
W5
a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für das Aufleuchten eines gefärbten Feldes berechnen
In dieser Aufgabe geht es um ein Spielfeld mit $12$ Feldern. Jedes Feld steht dabei für eine bestimmte Prozentzahl, die dem beim Aufleuchten gewährten Rabatt entspricht. Die Prozentzahlen in den jeweiligen Feldern berechnen sich durch das Multiplizieren der Prozentzahlen in den Zeilen mit den Faktoren in den Spalten.
In Aufgabenteil a soll du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass das im Bild eingefärbte Feld aufleuchtet.
Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis berechnest du, indem du die Anzahl aller günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilst.
Da es insgesamt $12$ Felder gibt, ist die Anzahl aller möglichen Ereignisse gleich $12$. Es leuchtet immer nur ein Feld auf. Somit ist die Anzahl aller günstigen Ergebnisse gleich $1$.
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für zweimaliges Aufleuchten des gefärbten Feldes hintereinander
In diesem Aufgabenteil sollst du berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass bei zwei aufeinander folgenden Personen das gefärbte Feld aufleuchtet.
Die Wahrscheinlichkeit für das Aufleuchten des gefärbten Feldes beträgt zu jeder Zeit $^\frac{1}{12}$.
Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit mithilfe der 1. Pfadregel. Diese besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade ist. Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, musst du also die Wahrscheinlichkeiten des Aufleuchtens multiplizieren.
c)
$\blacktriangleright$ Maximal möglichen Rabatt bestimmen
Um den maximal möglichen Rabatt zu berechnen, musst du den größtmöglichen Faktor mit der größtmöglichen Prozentzahl multiplizieren.
Der größte Faktor ist $\cdot 3$ und die größte Prozentzahl $7 \; \%$.
d)
1.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit von einem Rabatt von mehr als $3 \; \%$ berechnen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass Anna einen Rabatt von mehr als $3 \; \%$ erhält. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, musst du wieder die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse teilen.
Bestimme zunächst die Menge der günstigen Ergebnisse.
Zähle nun die Anzahl der günstigen Ergebnisse und teile sie durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse.
2.
$\blacktriangleright$ Bestimmen, welches Feld bei Anna aufleuchtete
In diesem Aufgabenteil sollst du berechnen, welches der $12$ Felder bei Anna aufgeleuchtet ist. Dabei ist bekannt, dass sie einen Rabatt von $5,91$ € erzielen konnte und nur noch $92,59$ € zahlen musste. Gesucht ist also der erhaltene Rabatt in Prozent.
1. Schritt: Ursprünglichen Preis berechnen
Berechne zunächst den ursprünglichen Preis, indem du den Rabatt zum reduzierten Preis addierst.
2. Schritt: Verhältnis von ursprünglichen und reduzierten Preis berechnen
Setze den reduzierten Preis mit dem ursprünglichen Preis ins Verhältnis. Bilde dazu den Quotienten aus beiden Werten.
3. Schritt: Rabatt in Prozent berechnen
3.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Lukas Wunsch berechnen
Im letzten Aufgabenteil sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass Lukas weniger als $50$ € zahlen muss. Der Originalpreis beträgt dabei $55,50$ €.
1. Schritt: Mindestrabatt in Euro bestimmen
Bestimme zunächst wieviel Rabatt es mindestens geben müsste, damit Lukas weniger als $50$ € zahlen muss.
2. Schritt: Mindestrabatt in Prozent bestimmen
Berechne nun wie groß der benötigte Rabatt in Prozent ist, indem du den Mindestrabatt in Euro durch den Originalpreis teilst.
3. Schritt: Anzahl der günstigen durch Anzahl der möglichen Ergebnisse teilen
Zähle nun die Anzahl der günstigen Ergebnisse und teile sie durch die Anzahl der möglichen.
Bildnachweise [nach oben]
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W1
a)
$\blacktriangleright$ Länge der Strecke $\overline{BE}$ berechnen
In dieser Aufgabe hast du eine Abbildung mit vier Geraden gegeben, wobei zwei von ihnen parallel zueinander verlaufen und zwei sich in einem Punkt schneiden. Die drei Abschnittslängen $\overline{AC}$, $\overline{DA}$ und $\overline{BC}$ (grün in Abb.1) sind bereits gegeben. Du sollst nun die vierte Abschnittslänge $\overline{BE}$ (rot in Abb.1) berechnen.
Wahlaufgaben
Abb. 1: Streckenverhältnisse
Wahlaufgaben
Abb. 1: Streckenverhältnisse
Bestimme die gesuchte Streckenlänge mithilfe des 1. Strahlensatzes. Der 1. Strahlensatz trifft eine Aussage über die Verhältnisse von Strahlenabschnitten. Mit Strahlen sind die sich schneidenden Geraden gemeint. In diesem Fall sind das die Geraden $g$ und $h$.
Der Strahlensatz besagt, dass sich die Längen der zwei Abschnitte auf dem einen Strahl (hier $g$) so zueinander verhalten, wie die Längen der zwei Abschnitte auf dem anderen Strahl (hier $h$). Mathematisch ausgedrückt bedeutet das in diesem Fall:
$\frac{\overline{AC}}{\overline{DA}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{BE}}$
$\frac{\overline{AC}}{\overline{DA}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{BE}}$
Stelle die Gleichung nach der gesuchten Strecke $\overline{BE}$ um. Durch Einsetzen der bereits bekannten Streckenlängen, erhältst du die Länge von $\overline{BE}$.
$\begin{array}[t]{rll} \frac{\overline{AC}}{\overline{DA}}&=& \frac{\overline{BC}}{\overline{BE}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{BE} \\[5pt] \frac{\overline{AC}}{\overline{DA}} \cdot \overline{BE} &=& \overline{BC} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \frac{\overline{DA}}{\overline{AC}} \\[5pt] \overline{BE} &=& \overline{BC} \cdot \frac{\overline{DA}}{\overline{AC}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] &=& 27 \; \text{cm} \cdot \frac{16 \; \text{cm}}{20 \; \text{cm}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 21,6 \; \text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \frac{\overline{AC}}{\overline{DA}}&=& \frac{\overline{BC}}{\overline{BE}} \\[5pt] \overline{BE} &=& \overline{BC} \cdot \frac{\overline{DA}}{\overline{AC}} \\[5pt] &=& 21,6 \; \text{cm} \end{array}$
Die Länge der Strecke $\overline{BE}$ beträgt $21,6$ cm.
b)
$\blacktriangleright$ Streckfaktor $k$ angeben
In dieser Aufgabe wird nach dem Streckfaktor $k$ gefragt. Dieser gibt an, um welchen Faktor das Dreieck $ABC$ gestreckt wurde, sodass das größere Dreieck $DEC$ entstanden ist.
Bei einer zentrischen Streckung wird jede Strecke der ursprünglichen Figur um den Streckfaktor vergrößert. So entsteht, je nach Größe des Streckfaktors, ein größeres oder kleineres Abbild der Figur während die Größenverhältnisse gleich bleiben.
Wähle pro Dreieck je eine Strecke aus, deren Länge du bereits kennst. Da der Streckfaktor das Verhältnis zwischen der Bild- und Originalstrecke ist, teilst du anschließend die Strecke des Abbilds durch die entsprechende Strecke der ursprünglichen Figur.
In diesem Fall bietet es sich an, die Strecken $\overline{AC}$ (grün in Abb. 2) und $\overline{DC}$ (rot in Abb. 2) zu wählen:
Wahlaufgaben
Abb. 2: zentrische Streckung
Wahlaufgaben
Abb. 2: zentrische Streckung
Teile die Strecke $\overline{AC}$ durch die Strecke $\overline{DC}$, um den Streckfaktor zu erhalten.
$\begin{array}[t]{rll} k&=& \frac{\overline{DC}}{\overline{AC}}&\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] &=& \frac{36 \; \text{cm}}{20 \; \text{cm}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1,8 \end{array}$
Der Streckfaktor ist 1,8.
c)
$\blacktriangleright$ Abstand $x$ der Parallelen berechnen
Hier ist nach dem Abstand $x$ zwischen den Parallelen $e$ und $f$ gefragt.
Betrachte zunächst die in der Angabe gegebene Abbildung. Die gesuchte Strecke $x$ schließt, zusammen mit der Strecke $\overline{DA}$, ein rechtwinkliges Dreieck ein. Somit ist eine Seite des Dreiecks gesucht.
Berechne die Strecke $x$ mithilfe trigonometrischer Überlegungen.
1. Schritt: Winkel zwischen $x$ und $\overline{DA}$ berechnen
Bestimme dazu zunächst den Winkel, den $x$ mit der Strecke $\overline{DA}$ einschließt:
Wahlaufgaben
Abb. 3: Abstand $x$
Wahlaufgaben
Abb. 3: Abstand $x$
Gegenüberliegende Winkel heißen Scheitelwinkel und sind gleich groß. Somit weißt du, dass die Geraden $e$ und $g$ einen Winkel von $48^{\circ}$ einschließen. Die Summe nebeneinander liegender Winkel beträgt immer $180^{\circ}$.
Berechne nun den Innenwinkel des Dreiecks. Ziehe dazu von $180^{\circ}$ $90^{\circ}$ (rechter Winkel) und $48^{\circ}$ ab.
$\begin{array}[t]{rll} 180^{\circ}-90^{\circ}-48^{\circ}&=& 42^{\circ} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Strecke $x$ berechnen
Nun kannst du mithilfe des Kosinus und des eben berechneten Winkels die gesuchte Strecke $x$ berechnen.
Kosinus des Winkels$=\frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}$
Kosinus des Winkels$=\frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}$
Dabei ist die Ankathete die Kathete, die einen Schenkel des Winkels bildet. In diesem Fall ist die Ankathete gleich der gesuchten Strecke $x$. Die Hypotenuse ist immer die Seite, die gegenüber vom rechten Winkel liegt.
Setze nun die bereits bekannten Werte in die Gleichung ein und stelle nach der Unbekannten $x$ um:
$\begin{array}[t]{rll} \text{cos}\;(42^{\circ})&=& \frac{x}{16\;\text{cm}}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 16 \; \text{cm} \\[5pt] \text{cos}\;(42^{\circ}) \cdot 16 \; \text{cm} &=& x &\quad \scriptsize \mid\; \text{auf Millimeter runden}\\[5pt] x&\approx& 11,9 \; \text{cm} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{cos}\;(42^{\circ})&=& \frac{x}{16\;\text{cm}}\\[5pt] x&\approx& 11,9 \; \text{cm} \\[5pt] \end{array}$
Der Abstand zwischen den Geraden $e$ und $f$ beträgt $11,9$ cm.
d)
$\blacktriangleright$ Größe des Schnittwinkels $\gamma$ berechnen
Hier ist nach der Größe des Schnittwinkels $\gamma$ gefragt. Dieser Winkel entsteht am Punkt $C$ dadurch, dass sich die Geraden $g$ und $h$ schneiden.
Wende den Sinussatz an, um diese Aufgabe zu lösen. Der Sinussatz beschreibt die Beziehung zwischen den Seitenlängen $a$, $b$, $c$ und den Winkeln $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ in einem beliebigen Dreieck:
$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$
$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$
Da die Seitenlänge $c$ (vgl. Abb. 4) nicht bekannt ist, musst du zunächst den Winkel $\beta$ mithilfe des Sinussatzes berechnen. Ziehe anschließend die beiden bekannten Winkel $\alpha$ und $\beta$ von $180^{\circ}$ ab. Damit erhältst du die Größe des gesuchten Winkels $\gamma$.
Wahlaufgaben
Abb. 4: Winkel und Seiten des Dreiecks
Wahlaufgaben
Abb. 4: Winkel und Seiten des Dreiecks
1. Schritt: Winkel $\beta$ berechnen
Berechne zunächst den Winkel $\beta$. Wende dazu den Sinussatz an und löse ihn nach $\sin(\beta)$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \frac{a}{\sin(\alpha)}&=& \frac{b}{\sin(\beta)} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin(\beta) \\[5pt] \frac{a}{\sin(\alpha)} \cdot \sin(\beta)&=& b &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \frac{\sin(\alpha)}{a} \\[5pt] \sin(\beta) &=& b \cdot \frac{\sin(\alpha)}{a} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \frac{a}{\sin(\alpha)}&=& \frac{b}{\sin(\beta)}\\[5pt] \sin(\beta) &=& b \cdot \frac{\sin(\alpha)}{a} \end{array}$
Setze nun die bereits bekannte Werte für $\alpha$, $a$ und $b$ in die Gleichung ein. Berechne den Winkel $\beta$, indem du die inverse Sinusfunktion $\sin^{-1}$ benutzt.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\beta) &=& b \cdot \frac{\sin(\alpha)}{a} &\quad \scriptsize \\[5pt] \sin(\beta) &=& 20 \; \text{cm} \cdot \frac{\sin(48^{\circ})}{27 \; \text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1} \\[5pt] \beta &=& sin^{-1}\left (\frac{20}{27} \cdot \sin(48^{\circ}) \right ) &\quad \scriptsize \mid\; \text{auf zehntel Grad runden} \\[5pt] \beta&\approx& 33,4^{\circ} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\beta) &=& b \cdot \frac{\sin(\alpha)}{a} \\[5pt] \beta&\approx& 33,4^{\circ} \end{array}$
2. Schritt: Winkel $\gamma$ berechnen
Die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck ist gleich $180^{\circ}$. Du erhältst die gesuchte Größe des Winkels $\gamma$, indem du die beiden Winkelgrößen $\alpha$ und $\beta$ von $180^{\circ}$ abziehst.
$\begin{array}[t]{rll} 180^{\circ}-48^{\circ}-33,4^{\circ}&=& 98,6^{\circ} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Schnittwinkel $\gamma$ hat eine Größe von $98,6^{\circ}$.
W2
a)
$\blacktriangleright$ Werte, die $1$ Milliarde entsprechen, finden
In dieser Aufgabe sollst du aus den $6$ möglichen Zahlen, diejenigen identifizieren, die den Wert von $1$ Milliarde haben. Die Zahlen sind dabei in unterschiedlichen Schreibweisen gegeben.
Überlege dir zunächst wie eine Milliarde ausgeschrieben aussieht.
Eine Milliarde ist eine Zahl mit $9$ Nullen: $1.000.000.000$. Da es bei solchen großen Zahlen recht aufwändig ist sie bei jeder Rechnung ganz auszuschreiben, hat man für besonders große und kleine Zahlen die wissenschaftliche Schreibweise eingeführt. Dadurch lassen sich Zahlen als Produkt einer Dezimalzahl und einer Zehnerpotenz darstellen, was die Lesbarkeit verbessert. Der Exponent ist die Hochzahl, die über der Zehnerpotenz steht. Sie gibt an, um wie viele Nachkommatellen das Komma verschoben werden muss.
Da eine Milliarde $9$ Nullen besitzt, lautet die wissenschaftliche Schreibweise: $1 \cdot 10^{9}$.
Gehe nun die angegebenen Lösungsmöglichkeiten durch, um die richtigen Antworten zu finden. Verwende dabei Potenzgesetze, um die Terme gegebenenfalls umzuformen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{a}^{\text{m}} \cdot \; \text{a}^{\text{n}}&=& \text{a}^{\text{m}+\text{n}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \left(\text{a}^{\text{n}}\right)^{\text{m}}&=& \text{a}^{\text{n} \cdot \text{m}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{\text{a}^{\text{n}}}{\text{a}^{\text{m}}}&=& \text{a}^{\text{n} -\text{m}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{1}{\text{a}^{\text{n}}}&=&\text{a}^{\text-n} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{a}^{\text{m}} \cdot \; \text{a}^{\text{n}}&=& \text{a}^{\text{m}+\text{n}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \left(\text{a}^{\text{n}}\right)^{\text{m}}&=& \text{a}^{\text{n} \cdot \text{m}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{\text{a}^{\text{n}}}{\text{a}^{\text{m}}}&=& \text{a}^{\text{n} -\text{m}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{1}{\text{a}^{\text{n}}}&=&\text{a}^{\text-n} \end{array}$
1. $10^4 \cdot 10^5$
Multipliziere die Exponenten von $10^4 \cdot 10^5$:
$\begin{array}[t]{rll} 10^4 \cdot 10^5&=& 10^{(4+5)} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 10^9 \end{array}$
$10^4 \cdot 10^5$ entspricht $1$ Milliarde.
2. $100.000.000$
$100.000.000$ besitzt lediglich $8$ Nullen.
$100.000.000$ entspricht nicht $1$ Milliarde.
3. $10^{-9}$
$10^{-9}=0,000000001$.
$10^{-9}$ entspricht nicht $1$ Milliarde.
4. $10^3+10^3+10^3$
$\begin{array}[t]{rll} 10^3+10^3+10^3 &=& 1.000 +1.000+1.000 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 3.000 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 10^3+10^3+10^3 &=& 3.000 \end{array}$
$10^3+10^3+10^3$ entspricht nicht $1$ Milliarde.
5. $(1000)^3$
$\begin{array}[t]{rll} (1000)^3 &=& 1.000 \cdot 1.000 \cdot 1.000 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1.000.000.000 \end{array}$
$(1000)^3$ entspricht $1$ Milliarde.
6. $\left(10^2\right)^7$
$\begin{array}[t]{rll} \left(10^2\right)^7 &=& 10^{2 \cdot 7} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 10^{14} \end{array}$
$\left(10^2\right)^7$ entspricht nicht $1$ Milliarde.
$10^4 \cdot 10^5$ und $(1.000)^3$ entsprechen $1$ Milliarde.
b)
1.
$\blacktriangleright$ Exponenten $a$ bestimmen
Rechne die linke Seite der Gleichung mithilfe des Potenzgesetzes aus und vergleiche anschließend die Exponenten auf der linken und rechten Seite. Damit erhältst du den Wert des gesuchten Exponenten $a$.
$\begin{array}[t]{rll} 4,5^{3} \cdot 4,5^{-5}&=& 4,5^{a} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Exponenten addieren} \\[5pt] 4,5^{3+(-5)}&=& 4,5^{a} &\quad \scriptsize \\[5pt] 4,5^{-2}&=& 4,5^{a} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Exponenten von linker und rechter Seite vergleichen}\\[5pt] a&=& -2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 4,5^{3} \cdot 4,5^{-5}&=& 4,5^{a} \\[5pt] a&=& -2 \end{array}$
Der Exponent $a$ ist gleich $-2$.
2.
$\blacktriangleright$ Exponenten $b$ bestimmen
Gehe analog zum Aufgabenteil $1$ vor. Stelle die Gleichung zunächst um, so dass der Exponent ohne weitere Faktoren auf der linken Seite steht. Verwende anschließend das passende Potenzgesetz, um den Exponenten $b$ zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} \frac{x^{11}}{x^{b}}&=& x^{8} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x^6 \\[5pt] x^{11}&=& x^8 \cdot x^{b} &\quad \scriptsize \mid\; : x^8 \\[5pt] x^{b}&=& \frac{x^{11}}{x^8} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Differenz der Exponenten bilden} \\[5pt] x^{b}&=& x^{11-8} &\quad \scriptsize \\[5pt] x^{b}&=& x^3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Exponenten vergleichen} \\[5pt] b&=& 3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \frac{x^{11}}{x^{b}}&=& x^{8} \\[5pt] b&=& 3 \end{array}$
Der Exponent $b$ ist gleich $3$.
3.
$\blacktriangleright$ Exponenten $c$ bestimmen
Verwende das entsprechende Potenzgesetz, um die linke Seite der Gleichung zu berechnen. Vergleiche anschließend die Exponenten der linken und rechten Seite miteinander.
$\begin{array}[t]{rll} \left(30^5 \right)^2 &=& 30^{c} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Exponenten multiplizieren} \\[5pt] 30^{5 \cdot 2} &=& 30^{c} &\quad \scriptsize \\[5pt] 30^{10} &=& 30^{c} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Exponenten vergleichen} \\[5pt] c &=& 10 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left(30^5 \right)^2 &=& 30^{c} \\[5pt] c &=& 10 \end{array}$
Der Exponent $c$ ist gleich $10$.
c)
1.
$\blacktriangleright$ Radius in wissenschaftlicher Schreibweise angeben
In der Aufgabenstellung ist der Radius eines Wasserstoffatoms in Metern gegeben. Deine Aufgabe ist es diesen Radius in wissenschaftlicher Schreibweise anzugeben.
Der Radius ist $0,000\;000\;000\;053$ m. Das Ziel ist es diese Zahl durch genau eine Zahl vor dem Komma und eine Zehnerpotenz auszudrücken. Bestimme den Exponenten der Zehnerpotenz, indem du zählst um wie viele Stellen das Komma nach rechts verschoben werden müsste.
In diesem Fall muss es um $11$ Stellen nach rechts verlagert werden. Die gesuchte Schreibweise lautet also:
$5,3 \cdot 10^{-11}$
Der Radius des Wasserstoffatoms beträgt $5,3 \cdot 10^{-11}$ m.
2.
$\blacktriangleright$ Radius des Virus in Millimetern berechnen
Bei dieser Aufgabe sollst du den Radius des Virus in Millimetern berechnen. Das Ergebnis soll in wissenschaftlicher Schreibweise angegeben werden.
In der Aufgabenstellung steht, dass ein Virus den $140$-fachen Radius eines Wasserstoffatoms hat. Um den gesuchten Radius zu erhalten, musst du also den Wasserstoffatomradius mit $140$ multiplizieren.
$\begin{array}[t]{rll} r_\text{Virus}&=& r_\text{Atom} \cdot 140 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Wert einsetzen} \\[5pt] &=& 5,3 \cdot 10^{-11} \; \text{m} \cdot 140 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 742 \cdot 10^{-11} \; \text{m} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Komma verschieben} \\[5pt] &=& 7,42 \cdot 10^{-9} \; \text{m} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} r_\text{Virus}&=& r_\text{Atom} \cdot 140 \\[5pt] &=& 5,3 \cdot 10^{-11} \; \text{m} \cdot 140 \\[5pt] &=& 7,42 \cdot 10^{-9} \; \text{m} \end{array}$
Rechne nun den Virusradius in Millimeter um. Da $1$ Meter $1.000$ Millimetern entspricht, musst du dein Ergebnis in Metern mit $1.000$ multiplizieren. Beachte dabei, dass $1.000$ gerade $10^3$ entspricht und wende die Potenzgesetze an.
$\begin{array}[t]{rll} 7,42 \cdot 10^{-9} \; \text{m} \cdot 10^3 &=& 7,42 \cdot 10^{-9+3} \; \text{mm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 7,42 \cdot 10^{-6} \; \text{mm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 7,42 \cdot 10^{-9} \; \text{m} \cdot 10^3 \\[5pt] = 7,42 \cdot 10^{-6} \; \text{mm} \end{array}$
Der Virusradius beträgt $7,42 \cdot 10^{-6} \; \text{mm}$.
d)
$\blacktriangleright$ Gesamtgewicht der Menschen und Ameisen vergleichen
In dieser Aufgabe sollst du berechnen, ob das Gesamtgewicht aller Ameisen auf der Erde tatsächlich größer ist als das Gesamtgewicht aller Menschen. Dabei sind dir die jeweilige Anzahl der Menschen bzw. Ameisen gegeben, sowie das Gewicht eines einzelnen Menschen und einer einzelnen Ameise.
Berechne zunächst das Gesamtgewicht der Menschen, indem du ihre Anzahl mit ihrem Einzelgewicht multiplizierst. Gehe analog bei den Ameisen vor. Vergleiche anschließend die beiden Werte miteinander.
Gewicht aller Menschen:
$\begin{array}[t]{rll} 7 \cdot 10^9 \cdot 70 \; \text{kg}&=& 4,9 \cdot 10^{11} \; \text{kg} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Gewicht aller Ameisen:
$\begin{array}[t]{rll} 1 \cdot 10^{16} \cdot 0,005 \; \text{g} &=& 5 \cdot 10^{13} \; \text{g} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Um diese beiden Werte vergleichen zu können, müssen sie in die gleiche Einheit umgerechnet werden. Wähle z.B. kg als Vergleichseinheit aus und rechne das Ameisengewicht entsprechend um.
$1$ kg entspricht $1.000$ g. Dividiere also das Ameisengewicht durch $1.000$. Beachte dabei, dass $1.000$ gerade $10^3$ entspricht und wende die Potenzgesetze an.
$\begin{array}[t]{rll} \text{Gewicht}_\text{Ameisen}&=& 5 \cdot 10^{13} \; \text{g}&\quad \scriptsize \mid\; : 10^3 \\[5pt] &=& 5 \cdot \frac{10^{13}}{10^3} \; \text{kg} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Differenz der Exponenten bilden} \\[5pt] &=& 5 \cdot 10^{13-3} \; \text{kg} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 5 \cdot 10^{10} \; \text{kg} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{Gewicht}_\text{Ameisen}&=& 5 \cdot 10^{13} \; \text{g} \\[5pt] &=& 5 \cdot 10^{10} \; \text{kg} \end{array}$
$4,9 \cdot 10^{11}$ kg ist größer als $5 \cdot 10^{10}$ kg.
Alle Menschen auf der Erde zusammen wiegen mehr als alle Ameisen. Marina hat unrecht.
W3
a)
$\blacktriangleright$ Negativen Vorfaktor von $x^2$ begründen
In dieser Aufgabe ist die Funktionsgleichung $-0.003 \cdot x^2 + 60$ gegeben. Die Zeichnung zeigt die zur Gleichung gehörende Parabel. Dabei liegt der Ursprung des Koordinatensystems unter dem höchsten Punkt der Parabel.
Du sollst begründen, warum der Faktor vor dem $x^2$ bei der Funktionsgleichung negativ sein muss.
Betrachte dazu die Zeichnung. Es handelt sich um eine nach unten geöffnete Parabel. Nach unten geöffnete Parabeln werden durch quadratische Gleichungen mit einem negativen Vorzeichen vor $x^2$ beschrieben.
Da es sich hier um einen solchen Fall handelt, muss der Faktor vor dem $x^2$ negativ sein.
b)
$\blacktriangleright$ Höhe $h$ in Metern angeben
In diesem Aufgabenteil sollst du die in der Zeichnung markierte Höhe $h$ in Metern angeben.
Aus dem Angabentext weißt du bereits, dass sich der Ursprung des Koordinatensystems direkt unter dem höchsten Punkt des Bogens befindet. Berechne also die $y$-Koordinate an der Stelle $x=0$, um die gesuchte Höhe zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -0.003 \cdot x^2 + 60 &\quad \scriptsize \mid\; x=0 \; \text{einsetzen} \\[5pt] f(0)&=& -0.003 \cdot 0^2 + 60 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0+ 60 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 60 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -0.003 \cdot x^2 + 60 \\[5pt] f(0)&=& -0.003 \cdot 0^2 + 60 \\[5pt] &=& 60 \end{array}$
Die $y$-Koordinate an der Stelle $x=0$ ist $60$. Die gesuchte Höhe beträgt also $60$ Meter.
c)
$\blacktriangleright$ Spannweite $\overline{AB}$ des Bogens berechnen
Im Aufgabenteil c sollst du die Spannweite $\overline{AB}$ des Bogens berechnen.
Die Spannweite entspricht gerade der Strecke zwischen den Punkten $A$ und $B$. Bei $A$ und $B$ handelt es sich zudem um die Nullstellen der gegebenen Funktionsgleichung, da die Parabel an diesen Stellen die $x$-Achse schneidet.
Berechne also zunächst die $x$-Koordinaten der Punkte $A$ und $B$, indem du die Koordinaten der Nullstellen bestimmst. Damit erhältst du von beiden Punkten den jeweiligen Abstand zur $y$-Achse, $\overline{A0}$ bzw. $\overline{0B}$. Die Summe dieser Abstände entspricht der Strecke $\overline{AB}$. Du erhältst so die gesuchte Spannweite des Bogens.
Berechne zunächst die Nullstellen der Funktion $y=-0,003 \cdot x^2 + 60$
1. Schritt: Funktionsgleichung gleich Null setzen
$\begin{array}[t]{rll} -0,003 \cdot x^2 + 60&\stackrel{!}{=}& 0 & \end{array}$
2. Schritt: $pq$-Formel anwenden
Löse die quadratische Gleichung mithilfe der $pq$ Formel.
Diese lautet:
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
Eliminiere zunächst den Faktor vor dem $x^2$, um die Formel anwenden zu können.
$\begin{array}[t]{rll} -0,003 \cdot x^2 + 60&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; :-0,003\\[5pt] x^2 -20.000&=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} -0,003 \cdot x^2 + 60&=& 0 \\[5pt] x^2 -20.000&=& 0 \end{array}$
Identifiziere nun die Parameter $p$ und $q$, indem du die nun erhaltene Gleichung mit der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$ vergleichst.
Du erhältst: $p=0$ und $q=-20.000$.
Setze die Parameter in die $pq$-Formel ein und berechne die Nullstellen der Funktion.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \frac{0}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{0}{2}\right)^2+20.000} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0\pm \sqrt{0+20.000} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \pm \sqrt{20.000} &\quad \scriptsize \; \mid \; \text{auf Meter runden} \\[5pt] &\approx& \pm 141 \; \text{[m]} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \frac{0}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{0}{2}\right)^2+20.000} \\[5pt] &\approx& \pm 141 \; \text{[m]} \end{array}$
3. Schritt: Abstand zwischen $A$ und $B$ berechnen
$A$ liegt bei $x=-141$ und $B$ bei $x=141$ Metern. Die Abstände zur $y$-Achse $A0$ und $0B$ betragen somit jeweils $141$ Meter.
Der gesamte Abstand $\overline{AB}$ beträgt somit $141+141$ [m] $=282$ [m].
4. Schritt: Antwortsatz formulieren
Die Spannweite $\overline{AB}$ des Bogens beträgt etwa $282$ Meter.
d)
$\blacktriangleright$ Länge des Pfeilers in Punkt $P$ bestimmen
In Aufgabenteil d sollst du die Länge des im Punkt $P$ eingezeichneten Brückenpfeilers bestimmen.
Der Abstand des Punktes $P$ zur $x$-Achse beträgt laut Angabe $47$ Meter. Dieser Abstand entspricht also der $y$-Koordinate von $P$. Bestimme zunächst die Höhe auf der sich $P$ befindet, indem du die zugehörige $y$-Koordinate berechnest. Setze dazu $x=47$ in die Funktionsgleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -0,003 \cdot x^2 +60&\quad \scriptsize \mid\; x=47 \; \text{einsetzen}\\[5pt] f(47)&=& 0,003 \cdot 47^2+60 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 53,373 \; \text{[m]} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -0,003 \cdot x^2 +60\\[5pt] &=& 53,373 \; \text{[m]} \end{array}$
Der Punkt $P$ befindet sich auf einer Höhe von $53,373$ Metern.
Ziehe anschließend diese Höhe von der Gesamthöhe zwischen Wasseroberfläche und Gleis ab. Damit erhältst du die gesuchte Pfeilerlänge.
$\begin{array}[t]{rll} 65 \; \text{m} - 53,373 \; \text{m}&=& 11,627 \; \text{m}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Länge des Pfeilers beträgt $11,627$ Meter.
e)
$\blacktriangleright$ Gleichung der verschobenen Parabel aufstellen
Beim Scheitelpunkt handelt es sich um die höchste bzw. tiefste Stelle einer Parabel. In diesem Fall entspricht der Scheitelpunkt dem höchsten Punkt, da die Parabel nach unten geöffnet ist.
In diesem Aufgabenteil sollst du die Parabelgleichung aufstellen für den Fall, dass die gegebene Parabel ihren Scheitelpunkt im Ursprung hat. Das bedeutet, dass die Parabel um $60$ Meter nach unten verschoben wird.
Um eine Parabel nach unten zu verschieben, musst du die Längeneinheiten, um die sie bewegt werden soll, von der Funktionsgleichung subtrahieren.
Du erhältst die gesuchte Parabelgleichung, indem du $60$ von der ursprünglichen Gleichung subtrahierst.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -0,003 \cdot x^2 +60 &\quad \scriptsize \mid\; -60 \\[5pt] y&=& -0,003 \cdot x^2 +60 -60 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& -0,003 \cdot x^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -0,003 \cdot x^2 +60 \\[5pt] y&=& -0,003 \cdot x^2 \end{array}$
Die gesuchte Gleichung lautet $y=-0,003 \cdot x^2 $.
W4
a)
$\blacktriangleright$ Maßstab der Karte bestimmen
In dieser Aufgabe ist eine Karte von einem See und seiner unmittelbaren Umgebung gegeben. Du sollst nun herausfinden, in welchem Maßstab die Karte erstellt worden ist.
Karten bilden die Realität in verkleinerter Form ab. Der Maßstab sagt aus, um welchen Faktor die Wirklichkeit verkleinert wurde. So bedeutet ein Maßstab von $1:100$ bespielsweise, dass $1$ cm auf der Karte $100$ cm in der Realität entsprechen.
Der Maßstab wird stets direkt in die Karte gezeichnet. In diesem Fall befindet er sich rechts unten im Bild und ist ein schwarzer Strich mit einer Längenangabe.
Messe diesen Strich mit deinem Lineal. Er hat eine Länge von $1$ cm. Das bedeutet, dass $1$ cm auf der Karte $50$ m in der Realität entsprechen.
Forme eine der beiden Zahlen nun so um, dass beide Längenangaben die gleiche Einheit erhalten, z.B. Zentimeter:
$50$ m $\cdot 100 = 5.000$ cm.
$1$ cm auf der Karte entspricht $5.000$ cm in der Realität. Der Maßstab beträgt somit $1:5.000$.
Antwort $C$ ist richtig.
b)
$\blacktriangleright$ Bestimmen, wie oft der Feldsee in den Bodensee passt
Im Aufgabenteil b sollst du bestimmen wie oft der kleine Feldsee ungefähr in den weitaus größeren Bodensee passen würde. Du hast dabei die Größe des Bodensees mit $A_{\text{Bodensee}}=536 \; \text{km}^2$ gegeben.
1. Schritt: Fläche des Feldsees bestimmen
Überlege dir zunächst, welcher geometrischen Figur der gegebene Feldsee am nächsten kommt.
Der Feldsee ist nahezu kreisrund. Verwende also die Formeln zur Kreisberechnung, um die Fläche des Feldsees zu bestimmen.
$A_{\text{Kreis}}= \pi \cdot r^2$
$A_{\text{Kreis}}= \pi \cdot r^2$
Dabei steht $A_{\text{Kreis}}$ für die Kreisfläche, $\pi$ für die Kreiszahl und $r$ für den Radius des Kreises.
Bestimme nun den ungefähren Radius $r$ des Feldsees, indem du seinen Durchmesser $d$ mit dem Lineal abmisst und ihn durch zwei teilst:
$r= \frac{d}{2}$
$r= \frac{d}{2}$
Der Durchmesser beträgt auf der Karte ungefähr $6,6$ cm. Der Radius $r$ berechnet sich somit zu $\frac{6,6 \; \text{cm}}{2}=3,3 \; \text{cm}$.
Berechne nun mithilfe des Maßstabs, wie groß der Radius des Feldsees in der Realiät ist:
$3,3$ cm $\cdot 5000=16.500$ cm. Der Radius des Feldsees beträgt in Wirklichkeit demnach $16.500$ cm. Rechne diese Größe in $km$ um, damit du die Fläche des Feldsees besser mit der Fläche des Bodensees vergleichen kannst, die in $km^2$ angegeben ist:
$16.500$ cm $\mathrel{\widehat{=}}$ $0,165$ km.
Setze den Radius nun in die Formel für die Kreisflächenberechnung ein. Du erhältst damit die ungefähre Größe des Feldsees.
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Kreis}}&=& \pi \cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\; r=0,165 \; \text{km} \; \text{einsetzen}\\[5pt] &=& \pi \cdot (0,165 \; \text{km})^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 0,09 \; \text{km}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Kreis}}&=& \pi \cdot r^2 \\[5pt] &\approx& 0,09 \; \text{km}^2 \end{array}$
Der Feldsee ist ungefähr $0,09$ km$^2$ groß.
2. Schritt: Anzahl der Feldseen, die in Bodensee passen, bestimmen
Berechne wie oft der Feldsee in den Bodensee hinein passt, indem du die Größe des Feldsees durch die Größe des Bodensees teilst:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{A_{\text{Bodensee}}}{A_{\text{Feldsee}}}&=& \frac{536}{0,09}&\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 5.956 \end{array}$
Der Feldsee passt ungefähr $5.956$ mal in den Bodensee.
c)
$\blacktriangleright$ Wanderzeit der Familie Fischer bestimmen
Im Aufgabenteil c sollst du berechnen, ob es Familie Fischer bei einer Wanderung um den Feldsee herum rechtzeitig zurück zum Gasthaus schafft. Dabei ist der Weg vom Gasthaus zum See und zurück mit jeweils $500$ Metern in der Angabe gegeben. Familie Fischer bewegt sich mit durchschnittlich $4 \; \frac{\text{km}}{\text{h}}$ fort und startet um 11:15 Uhr die Wanderung. Sie wollen spätestens um 12 Uhr wieder zurück im Gasthaus sein.
1. Schritt: Gesamtlänge der Wanderung bestimmen
Berechne zunächst die Gesamtlänge der geplanten Wanderung. Diese setzt sich aus drei Teilen zusammen: dem Weg vom Gasthaus zum Feldsee, dem Weg um den See herum und dem Weg zurück vom Feldsee zum Gasthaus. Die einzige unbekannte Weglänge ist die Länge des Rundwegs um den See herum.
Berechne die Länge des Rundwegs, indem du den Umfang $U_{\text{Kreis}}$ des Kreises berechnest, den der Rundweg einschließt:
$U_{\text{Kreis}}=2 \cdot \pi \cdot r$
$U_{\text{Kreis}}=2 \cdot \pi \cdot r$
Messe dazu zunächst den Durchmesser $d$ des Kreises, dessen Rand der Rundweg ist, mit dem Lineal aus.
Der Durchmesser $d$ beträgt ungefähr $7,7$ cm. Berechne den Radius $r$ analog zum Aufgabenteil b: $r=\frac{d}{2}=3,85$ cm. Berechne nun den tatsächlichen Radius des Rundwegs, indem du ihn mithilfe des Maßstabs umrechnest: $3,85$ cm $\cdot 5.000=19.250$ cm. $19.250$ cm entsprechen $0,1925$ km.
Setze den tatsächlichen Radius $r=0,1925$ km in die Formel zur Kreisumfangsberechnung ein:
$\begin{array}[t]{rll} U_{\text{Rundweg}}&=& 2 \cdot \pi \cdot r &\quad \scriptsize \mid\; r=0,1925 \; \text{einsetzen}\\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot 0,1925 \; \text{[km]} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 1,21 \; \text{km} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} U_{\text{Rundweg}}&=& 2 \cdot \pi \cdot r \\[5pt] &\approx& 1,21 \; \text{km} \end{array}$
Der Rundweg um den Feldsee ist etwa $1,21$ km lang.
Addiere nun die einzelnen Wegabschnitte miteinander. Du erhältst damit die Gesamtlänge der geplanten Wanderung:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Gesamtlänge der Wanderung}&=& 0,5 \; \text{km} + 1,21 \; \text{km} + 0,5 \; \text{km}&\quad \scriptsize\\[5pt] &=& 2,21 \; \text{km} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0,5 \; \text{km} + 1,21 \; \text{km} + 0,5 \; \text{km} \\[5pt] = 2,21 \; \text{km} \end{array}$
Die Gesamtlänge der Wanderung beträgt $2,21$ km.
2. Schritt: Wanderzeit berechnen
Familie Fischer bewegt sich mit durchschnittlich $4 \; \frac{\text{km}}{\text{h}}$ fort. Das bedeutet, dass sie für vier Kilometer im Durchschnitt eine Stunde brauchen.
Berechne mithilfe des Dreisatzes wie lange sie für $2,21$ km brauchen.
$:4$
Wahlaufgaben
$\begin{array}{rrcll} & 4 \; \text{km} &\mathrel{\widehat{=}}& 1 \; \text{h}\\[5pt] & 1 \; \text{km}&\mathrel{\widehat{=}}& 0,25 \; \text{h}\\[5pt] & 2,21 \; \text{km} &\mathrel{\widehat{=}}& 0,5525 \; \text{h} & \end{array}$ Wahlaufgaben
$:4$
$\cdot 2,21$
Wahlaufgaben
Wahlaufgaben
$\cdot 2,21$
$\begin{array}{rrcll} & 4 \; \text{km} &\mathrel{\widehat{=}}& 1 \; \text{h}\\[5pt] & 1 \; \text{km}&\mathrel{\widehat{=}}& 0,25 \; \text{h}\\[5pt] & 2,21 \; \text{km} &\mathrel{\widehat{=}}& 0,5525 \; \text{h} & \end{array}$
Familie Fischer braucht für die Wanderung insgesamt $0,5525$ Stunden.
3. Schritt: Ankunftszeitpunkt im Gasthaus bestimmen
Rechne die Wanderzeit in Minuten um und addiere diese zur geplanten Startzeit.
$0,5525 \; \text{h} \cdot 60 = 33,15 \; \text{min} \approx 33 \; \text{min}$.
Die Wanderung beginnt um 11:15 Uhr im Gasthaus und dauert insgesamt $33$ Minuten. Somit ist Familie Fischer um circa 11:48 Uhr wieder zurück.
Die Fischers sind vor 12 Uhr wieder im Gasthaus zurück.
W5
a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für das Aufleuchten eines gefärbten Feldes berechnen
In dieser Aufgabe geht es um ein Spielfeld mit $12$ Feldern. Jedes Feld steht dabei für eine bestimmte Prozentzahl, die dem beim Aufleuchten gewährten Rabatt entspricht. Die Prozentzahlen in den jeweiligen Feldern berechnen sich durch das Multiplizieren der Prozentzahlen in den Zeilen mit den Faktoren in den Spalten.
In Aufgabenteil a soll du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass das im Bild eingefärbte Feld aufleuchtet.
Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis berechnest du, indem du die Anzahl aller günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilst.
Da es insgesamt $12$ Felder gibt, ist die Anzahl aller möglichen Ereignisse gleich $12$. Es leuchtet immer nur ein Feld auf. Somit ist die Anzahl aller günstigen Ergebnisse gleich $1$. Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, musst du also $12$ durch $1$ teilen:
$\begin{array}[t]{rll} 1 : 12&\approx& 0,0833&\quad \scriptsize \\[5pt] 0,0833 \cdot 100&\approx& 8,33 \% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit für das Aufleuchten des eingefärbten Felds beträgt $8,33\%$.
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für zweimaliges Aufleuchten des gefärbten Feldes hintereinander
In diesem Aufgabenteil sollst du berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass bei zwei aufeinander folgenden Personen das gefärbte Feld aufleuchtet.
Die Wahrscheinlichkeit für das Aufleuchten des gefärbten Feldes beträgt zu jeder Zeit $^\frac{1}{12}$.
Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit mithilfe der 1. Pfadregel. Diese besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade ist. Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, musst du also die Wahrscheinlichkeiten des Aufleuchtens multiplizieren. Da sie beide Male $\frac{1}{12}$ beträgt, berechnet sie sich zu:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12}&=& \frac{1}{144}&\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{1}{144}&\approx& 0,00694 &\quad \scriptsize \\[5pt] 0,00694&\mathrel{\widehat{=}}& 0,69 \% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass das gefärbte Feld bei zwei Personen hintereinander aufleuchtet, beträgt etwa $0,69 \; \%$.
c)
$\blacktriangleright$ Maximal möglichen Rabatt bestimmen
Um den maximal möglichen Rabatt zu berechnen, musst du den größtmöglichen Faktor mit der größtmöglichen Prozentzahl multiplizieren.
Der größte Faktor ist $\cdot 3$ und die größte Prozentzahl $7 \; \%$. Multipliziere also: $3 \cdot 7 \; \% = 21 \; \%$.
Man kann maximal $21 \; \%$ Rabatt bekommen.
d)
1.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit von einem Rabatt von mehr als $3 \; \%$ berechnen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass Anna einen Rabatt von mehr als $3 \; \%$ erhält. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, musst du wieder die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse teilen.
Bestimme zunächst die Menge der günstigen Ergebnisse.
Günstig sind in diesem Fall alle Ergebnisse, die mehr als $3 \; \%$ betragen. Die Menge der günstigen Ergebnisse ist also:
$\lbrace 5 \; \%, 6 \; \%, 7 \; \%, 9 \; \%, 10 \; \%, 14 \; \%, 15 \; \%, 21 \; \%\rbrace$
$\lbrace 5 \; \%, 6 \; \%, 7 \; \%, 9 \; \%, 10 \; \%, …\rbrace$
.
Zähle nun die Anzahl der günstigen Ergebnisse und teile sie durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse.
Die Menge der günstigen Ergebnisse besteht aus insgesamt $8$ Elementen. Das bedeutet, dass in $8$ von $12$ Fällen Anna einen Rabatt von mehr als $3 \; \%$ erhält.
$\begin{array}[t]{rll} \frac{8}{12} &=& \frac{2}{3}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 100 \\[5pt] \frac{2}{3}&\mathrel{\widehat{=}}& 66,67 \% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass Anna mehr als $3 \; \%$ Rabatt erhält beträgt etwa $66,67 \%$.
2.
$\blacktriangleright$ Bestimmen, welches Feld bei Anna aufleuchtete
In diesem Aufgabenteil sollst du berechnen, welches der $12$ Felder bei Anna aufgeleuchtet ist. Dabei ist bekannt, dass sie einen Rabatt von $5,91$ € erzielen konnte und nur noch $92,59$ € zahlen musste. Gesucht ist also der erhaltene Rabatt in Prozent.
1. Schritt: Ursprünglichen Preis berechnen
Berechne zunächst den ursprünglichen Preis, indem du den Rabatt zum reduzierten Preis addierst:
$92,59 \; \text{€} + 5,91 \; \text{€} = 95,50 \; \text{€}$.
Der ursprüngliche Preis betrug $95,50$ €.
2. Schritt: Verhältnis von ursprünglichen und reduzierten Preis berechnen
Setze den reduzierten Preis mit dem ursprünglichen Preis ins Verhältnis. Bilde dazu den Quotienten aus beiden Werten:
$\frac{92,59}{98,50}=0,94 \mathrel{\widehat{=}} 94 \; \%$
Anna hat also noch $94 \; \%$ des ursprünglichen Preises gezahlt.
3. Schritt: Rabatt in Prozent berechnen
Subtrahiere $94 \; \%$ von $100 \; \%$ und berechne damit den gesuchten Rabatt in Prozent:
$100 \; \% - 94 \; \% = 6 \; \%$.
Anna hat $6 \; \%$ Rabatt erhalten. Dies entspricht dem Faktor $\cdot 2$ multipliziert mit dem Prozentsatz $3 \; \%$ auf dem Spielfeld.
3.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Lukas Wunsch berechnen
Im letzten Aufgabenteil sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass Lukas weniger als $50$ € zahlen muss. Der Originalpreis beträgt dabei $55,50$ €.
1. Schritt: Mindestrabatt in Euro bestimmen
Bestimme zunächst wieviel Rabatt es mindestens geben müsste, damit Lukas weniger als $50$ € zahlen muss.
Ein Preis von weniger $50$ € bedeutet, dass Lukas maximal $49,99$ € zahlen möchte. Das bedeutet, dass der Rabatt mindesten $55,50 \; \text{€}-49,99 \; \text{€} = 5,51 \; \text{€}$ betragen muss.
2. Schritt: Mindestrabatt in Prozent bestimmen
Berechne nun wie groß der benötigte Rabatt in Prozent ist, indem du den Mindestrabatt in Euro durch den Originalpreis teilst:
$\frac{5,51}{55,50}\approx 0,09928 \mathrel{\widehat{=}} 9,93 \; \%$.
Um Lukas Wunsch zu erfüllen, muss er einen Rabatt von mindestens $9,93 \; \%$ erspielen.
3. Schritt: Anzahl der günstigen durch Anzahl der möglichen Ergebnisse teilen
Zähle nun die Anzahl der günstigen Ergebnisse und teile sie durch die Anzahl der möglichen.
Günstige Ergebnisse: $\lbrace 10 \; \%, 14\; \%, 15\; \%, 21\; \% \rbrace$.
Die Menge der günstigen Ergebnisse enthält $4$ Elemente, während es $12$ mögliche Ergebnisse gibt.
Teile $4$ durch $12$, um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{4}{12} &=& \frac{1}{3}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 100 \\[5pt] \frac{1}{3}&\mathrel{\widehat{=}}& 33,33 \% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass Lukas weniger als $50$ € zahlen muss, beträgt etwa $33,33 \; \%$.
Bildnachweise [nach oben]
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