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Aufgaben
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I.1 Analysis

Eine Funktion $f$ ist durch $f(x)= 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1$ mit $x\in \mathbb{R}$ gegeben.
a)
Ermittle die Nullstelle der Funktion $f$.
(2 BE)
b)
Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weise nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool#tangente#gleichschenkligesdreieck#nullstelle

I.2 Analytische Geometrie

Das Dreieck $ABC$ mit den Punkten $A(3\mid 3\mid3),$ $B(6\mid 7\mid 3)$ und $C(2\mid 10\mid 3)$ ist im Punkt $B$ rechtwinklig und liegt in der Ebene mit der Gleichung $z=3.$
a)
Weise nach, dass das Dreieck $ABC$ den Flächeninhalt $\frac{25}{2}$ besitzt.
(2 BE)
b)
Bestimme die Koordinaten eines Punktes $D$ so, dass das Volumen der Pyramide $ABCD$ gleich $25$ ist.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool#pyramide#dreieck

I.3 Stochastik

Jedes Überraschungsei eines Herstellers enthält entweder eine Figur oder keine Figur, wobei der Anteil der Überraschungseier mit einer Figur $25\;\%$ beträgt.
a)
Zehn Überraschungseier werden nacheinander zufällig ausgewählt.
Gib einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit dafür an, dass nur in den letzten beiden Überraschungseiern jeweils eine Figur enthalten ist.
(2 BE)
b)
Sechs Überraschungseier werden zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ gibt an, wie viele dieser Überraschungseier eine Figur enthalten. Eine der folgenden Abbildungen stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsgröße $X$ dar:
Abb. 1: I
Abb. 1: I
Abb. 2: II
Abb. 2: II
Abb. 3: III
Abb. 3: III
Gib an, welche Abbildung dies ist.
Begründe, dass die beiden anderen Abbildungen dies nicht sind.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool

I.4.1 Analysis

5.1
Der Graph von $f,$ die $x$-Achse und die Gerade mit der Gleichung $x=2$ schließen im Bereich $0\leq x \leq 2$ eine Fläche ein. Zeige, dass diese Fläche den Inhalt $20$ besitzt.
(2 BE)
5.2
Die Gerade $g$ verläuft durch den Punkt $H$ und besitzt eine negative Steigung.
Der Graph von $f,$ die $y$-Achse und die Gerade $g$ schließen im Bereich $0\leq x \leq 2$ eine Fläche mit dem Inhalt $20$ ein.
Bestimme die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden $g$ mit der $y$-Achse.
(3 BE)
#extrempunkt#zentraleraufgabenpool

I.4.2 Analytische Geometrie

Gegeben ist die Ebene $E:\; 2x_1+x_2-2x_3 = -18.$
a)
Der Schnittpunkt von $E$ mit der $x_1$-Achse, der Schnittpunkt von $E$ mit der $x_2$-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimme den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
(2 BE)
b)
Ermittle die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von $E$ als auch der Ortsvektor eines Punkts der Ebene $E$ ist.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool#normalenvektor#dreieck

I.4.3 Stochastik

Grüne und orange Kugeln sind wie folgt auf drei Urnen verteilt:
a)
Aus Urne $A$ wird zunächst eine Kugel zufällig entnommen und in Urne $B$ gelegt. Anschließend wird aus Urne $B$ eine Kugel zufällig entnommen und in Urne $C$ gelegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich danach in Urne $C$ zwei grüne und eine orange Kugel befinden.
(2 BE)
b)
Die drei Urnen mit den in der Abbildung dargestellten Inhalten bilden den Ausgangspunkt für folgendes Spiel:
Es wird zunächst ein Einsatz von $1\,\,€$ eingezahlt. Anschließend wird eine der drei Urnen zufällig ausgewählt und danach aus dieser Urne eine Kugel zufällig gezogen. Nur dann, wenn diese Kugel orange ist, wird ein bestimmter Geldbetrag ausgezahlt.
Ermittle, wie groß dieser Geldbetrag sein muss, damit bei diesem Spiel auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgeglichen sind.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool
Bildnachweise [nach oben]
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I.1 Analysis

a)
$\blacktriangleright$  Nullstelle ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&0\\[5pt] 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}&=&1 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \mathrm e^{\frac{1}{2}x}&=& \frac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] \frac{1}{2}x&=& \ln\left(\frac{1}{2}\right) &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] x&=& 2\cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)\\[5pt] \end{array}$
$ x = 2\cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)$
Die Nullstelle der Funktion $f$ ist $x = 2\cdot\ln\left(\frac{1}{2}\right)$
b)
$\blacktriangleright$  Gleichschenkligkeit nachweisen
1. Schritt: Tangentengleichung bestimmen
Für die Tangente $t:\; y = m\cdot x + b$ muss gelten:
  • $t$ besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$, also $m = f'(0)$.
  • $t$ verläuft durch den Punkt $S(0\mid 1),$ also $t(0)=1.$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2\cdot\mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1 \\[5pt] f'(x)&=&2\cdot \frac{1}{2}\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x} \\[5pt] &=&\mathrm e^{\frac{1}{2}x}\\[5pt] \end{array}$
Also gilt für die Steigung:
$\begin{array}[t]{rll} m&=& f'(0) \\[5pt] &=& \mathrm e^{\frac{1}{2}\cdot 0} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
Einsetzen von $m$ und $S$ in die Tangentengleichung liefert eine Gleichung in Abhängigkeit von $b:$
$\begin{array}[t]{rll} 1&=&1\cdot 0 +b \\[5pt] 1&=& b \end{array}$
Die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ lautet also $t: \; y = x +1$.
2. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte bestimmen
Der erste Eckpunkt ist der Koordinatenursprung $O$. Der zweite Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Tangente mit der $y$-Achse, also $S(0\mid 1).$ Der dritte Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Tangente mit der $x$-Achse.
$\begin{array}[t]{rll} x+1&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] x&=&-1 \end{array}$
Der dritte Eckpunkt ist also $S_x(-1\mid 0).$
3. Schritt: Seitenlängen berechnen
Es gilt $\overline{OS} = 1 $, $\overline{OS}_x = 1$ und $\overline{S_xS} =\sqrt{2}\neq 1$. Also ist das Dreieck mit den Eckpunkten $O$, $S$ und $S_x$ gleichschenklig.

I.2 Analytische Geometrie

a)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt nachweisen
Das Dreieck hat bei $B$ einen rechten Winkel, der Flächeninhalt ergibt sich also zu:
$A = \frac{1}{2}\cdot \left| \overline{AB}\right| \cdot \left|\overline{BC} \right|$
Die Seitenlängen können über die Beträge der zugehörigen Verbindungsvektoren berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \frac{1}{2}\cdot \left| \overline{AB}\right| \cdot \left|\overline{BC} \right|\\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left| \overrightarrow{AB}\right| \cdot \left|\overrightarrow{BC} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{3\\4\\0}\right| \cdot \left|\pmatrix{-4\\3\\0} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{3^2+4^2+0^2}\cdot \sqrt{(-4)^2+3^2+0^2}\\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 5 \\[5pt] &=& \frac{25}{2} \end{array}$
$ A=\frac{25}{2} $
Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ beträgt $\frac{25}{2}.$
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Das Volumen einer Pyramide kann mit folgender Formel berechnet werden:
$V= \frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h$
Betrachtet man das Dreieck $ABC$ als Grundfläche, gilt nach Teilaufgabe 3.1 $A_G = \frac{25}{2}.$
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\frac{1}{3}\cdot A_G\cdot h \\[5pt] 25&=&\frac{1}{3}\cdot \frac{25}{2} \cdot h \\[5pt] 6&=&h \end{array}$
$D$ muss also so gewählt werden, dass die Höhe $h=6$ ist. Die Höhe $h$ entspricht dem Abstand von $D$ zur Ebene, in der die Grundfläche liegt. Diese besitzt die Gleichung $z=3.$ Alle Punkte mit einer $z$-Koordinate, die um $6$ von $z=3$ abweicht, haben einen Abstand von $6$ von dieser Ebene.
Beispielsweise für $D(3\mid 3\mid 9)$ hat die Pyramide $ABCD$ eine Höhe von $6$ und damit ein Volumen von $25.$
#kreuzprodukt

I.3 Stochastik

a)
$\blacktriangleright$ Term für die Wahrscheinlichkeit angeben
In den ersten acht Zügen sollen keine Überraschungseier mit Figur gezogen werden, in den letzten beiden Zügen sollen Figuren enthalten sein. Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:
$p=0,75^8\cdot 0,25^2$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $10$ Überraschungseiern nur die letzten beiden jeweils eine Figur enthalten, kann mit dem Term $0,75^8\cdot 0,25^2$ berechnet werden.
b)
$\blacktriangleright$ Richtige Abbildung auswählen und begründen
Die erste Abbildung stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dar.
Der Da $25\,\%$ aller Überraschungseier unabhängig von einander eine Figur enthalten oder nicht, ist die Wahrscheinlichkeit dafür eine Figur zu enthalten bei jedem Überraschungsei gleich. Diese Wahrscheinlichkeit ist unabhängig davon ob sich in den anderen Überraschungseiern der Stichprobe Figuren befinden oder nicht. $X$ kann daher als binomialverteilt mit den Parametern $n=6$ und $p = 0,25$ angenommen werden. Der Erwartungswert von $X$ beträgt daher $6\cdot 0,25 = 1,5.$
Abbildung zwei zeigt eine Gleichverteilung. Da $X$ aber nicht gleichverteilt sondern binomialverteilt ist, kann diese Abbildung nicht die richtige sein.
Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße gibt den Wert von $X$ mit der größten Wahrscheinlichkeit an. Die höchsten Balken im Diagramm in Abbildung 3 befinden sich aber bei $X=4$ und $X=5,$ nicht bei $X=1$ und $X=2,$ was bei einem Erwartungswert von $1,5$ der Fall sein müsste. Abbildung 3 kann also nicht die richtige sein.
#binomialverteilung#pfadregeln

I.4.1 Analysis

a)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt zeigen
Da die betrachtete Fläche vollständig oberhalb der $x$-Achse liegt, lässt sich der Inhalt der Fläche mit einem Integral über $f$ in den Grenzen $a=0$ und $b =2$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} A &=&\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{2}\left(-x^3+12x\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[-\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}\cdot 12x^2\right]_0^2\\[5pt] &=& -\frac{1}{4}\cdot 2^4+\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 2^2 - \left( -\frac{1}{4}\cdot 0^4+\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 0^2\right)\\[5pt] &=& -4+24-0\\[5pt] &=& 20 \end{array}$
$ A=20 $
Der Inhalt der Fläche, die vom Graphen von $f,$ der $x$-Achse und der Gerade $x=2$ im Bereich $0\leq x\leq 2$ eingeschlossen wird, beträgt $20.$
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Die Gerade $g$ mit $g(x)=m\cdot x+b$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S(0\mid y_S)$ und verläuft durch den Punkt $H(2\mid 16).$ Die Steigung von $g$ ergibt sich daher zu:
$m= \dfrac{16-y_S}{2-0} = \dfrac{16-y_S}{2}$
Da $b$ den $y$-Achsenabschnitt beschreibt, ist $b=y_S.$ Die Gleichung der Geraden in Abhängigkeit von $y_S$ lautet daher:
$g:\, y = \dfrac{16-y_S}{2}x+y_S$
Die beschriebene Fläche ist die Fläche zwischen der Geraden $g$ und dem Graphen von $f$ im Bereich mit den Grenzen $a=0$ und $b=2.$
Der Inhalt dieser Fläche kann durch ein Integral über die Differenz von $f$ und $g$ berechnet werden.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\displaystyle\int_{0}^{2}\left(g(x)-f(x)\right)\;\mathrm dx \\[5pt] 20&=& \displaystyle\int_{0}^{2}\left(\dfrac{16-y_S}{2}x+y_S+x^3-12x\right)\;\mathrm dx \\[5pt] 20&=& \displaystyle\int_{0}^{2}\left(\left(\dfrac{16-y_S}{2}-12\right)x+y_S+x^3\right)\;\mathrm dx\\[5pt] 20&=& \displaystyle\int_{0}^{2}\left(\dfrac{-8-y_S}{2}x+y_S+x^3\right)\;\mathrm dx \\[5pt] 20&=& \left[\dfrac{-8-y_S}{2\cdot 2}x^2+y_Sx+\dfrac{1}{4}x^4\right]^2_0\\[5pt] 20&=& \left(\dfrac{-8-y_S}{2\cdot 2}2^2+y_S\cdot 2+\dfrac{1}{4}2^4 \right)-\left(\dfrac{-8-y_S}{2\cdot 2}0^2+y_S\cdot 0+\dfrac{1}{4}0^4\right)\\[5pt] 20&=& -8-y_S+2y_S+4-0 \\[5pt] 20&=& -4+y_S &\quad \scriptsize \mid\;+4\\[5pt] 24&=&y_S \end{array}$
$ 24 = y_S $
$g$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S(0\mid 24).$
#integral

I.4.2 Analytische Geometrie

a)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
1. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte bestimmen
Einer der Eckpunkte ist der Koordinatenursprung $O(0\mid 0\mid 0).$ Ein weiterer Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Ebene $E$ mit der $x_1$-Achse. Für alle Punkte auf der $x_1$-Achse gilt $(x_1\mid 0 \mid 0).$ Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} -18&=& 2x_1 +x_2 -2x_3 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 = x_3 =0 \\[5pt] -18&=&2x_1 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] -9&=&x_1 \end{array}$
$ -9=x_1 $
Der zweite Eckpunkt hat also die Koordinaten $P(-9\mid 0 \mid 0).$
Für den dritten Eckpunkt folgt analog:
$\begin{array}[t]{rll} -18&=& 2x_1 +x_2 -2x_3 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 = x_3 =0\\[5pt] -18&=&x_2 \end{array}$
$ -18 = x_2 $
Die Koordinaten des dritten Eckpunktes lauten $Q(0 \mid -18 \mid 0).$
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Mit dem Betrag des Kreuzprodukts kann der Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{OP}\times \overrightarrow{OQ} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{-9\\0\\0}\times \pmatrix{0\\-18\\0} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\162} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+162^2}\\[5pt] &=& 81 \end{array}$
$A = 81 $
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $81$ Flächeneinheiten.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten ermitteln
Aus der Ebenengleichung lässt sich ein Normalenvektor von $E$ ablesen. Da der gesuchte Vektor ebenfalls ein Normalenvektor von $E$ sein soll, muss dieser ein Vielfaches von $\overrightarrow{n}$ sein:
$\overrightarrow{v} = t\cdot\overrightarrow{n}$.
Einsetzen in die Ebenengleichung von $E$ liefert das $t,$ für das $\overrightarrow{v}$ gleichzeitig der Ortsvektor eines Punkts in $E$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} -18&=& 2x_1 +x_2 -2x_3 &\quad \scriptsize \mid\; \overrightarrow{v} = \pmatrix{2t\\ t\\ -2t} \\[5pt] -18&=& 2\cdot 2t + t -2\cdot (-2t) \\[5pt] -18&=&9t &\quad \scriptsize \mid\; :9 \\[5pt] -2&=& t \end{array}$
$ -2 = t $
$\overrightarrow{v} = -2\cdot \pmatrix{2\\1\\-2} = \pmatrix{-4\\-2\\4}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}&=& -2\cdot \pmatrix{2\\1\\-2} \\[5pt] &=&\pmatrix{-4\\-2\\4} \end{array}$
Der Vektor $\overrightarrow{v}= \pmatrix{-4\\-2\\4}$ ist sowohl ein Normalenvektor von $E$ als auch der Ortsvektor eines Punktes in $E.$
#kreuzprodukt

I.4.3 Stochastik

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Abb. 1: Baumdiagramm
Abb. 1: Baumdiagramm
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $37,5\,\%$ befinden sich zum Schluss zwei grüne und eine orange Kugel in der Urne.
b)
$\blacktriangleright$  Geldbetrag ermitteln
Betrachtet wird das Spiel aus der Sicht des Spielers. Dieser zahlt zu Beginn $1\,€ $ ein. Auf lange Sicht sollen Einsätze und Auszahlungen ausgeglichen sein. Die erwartete Auszahlung muss also ebenfalls $1\,€$ betragen.
Die Wahrscheinlichkeiten für eine orange und für eine grüne Kugel kann mit Hilfe eines Baumdiagramms und den Pfadregeln bestimmt werden.
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Gewinn})&=& P(\text{orange}) \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\cdot 0 \\[5pt] &=& \frac{5}{18} \\[5pt] \end{array}$
$ P(\text{Gewinn}) = \frac{5}{18}$
Einsetzen in die Gleichung $E(\text{Auszahlung}) = 1$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} E(\text{Auszahlung})&=& P(\text{Gewinn})\cdot x + P(\overline{\text{Gewinn}})\cdot 0\\[5pt] &=& P(\text{Gewinn})\cdot x \\[5pt] 1&=& \frac{5}{18} \cdot x &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \frac{18}{5}\\[5pt] \frac{18}{5}&=& x \\[5pt] 3,6&=& x \end{array}$
$ 3,6 = x $
Damit sich bei einem Einsatz von $1\,€ $ Auszahlungen und Einsätze langfristig ausgleichen, muss der Geldbetrag, der ausgezahlt wird, $3,60 \, €$ betragen.
#baumdiagramm#pfadregeln
Bildnachweise [nach oben]
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