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I.1 Analysis

Eine Funktion $f$ ist durch $f(x)= 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1$ mit $x\in \mathbb{R}$ gegeben.
a)
Ermittle die Nullstelle der Funktion $f$.
(2 BE)
b)
Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weise nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool#tangente#gleichschenkligesdreieck#nullstelle

I.2 Analytische Geometrie

Das Dreieck $ABC$ mit den Punkten $A(3\mid 3\mid3),$ $B(6\mid 7\mid 3)$ und $C(2\mid 10\mid 3)$ ist im Punkt $B$ rechtwinklig und liegt in der Ebene mit der Gleichung $z=3.$
a)
Weise nach, dass das Dreieck $ABC$ den Flächeninhalt $\frac{25}{2}$ besitzt.
(2 BE)
b)
Bestimme die Koordinaten eines Punktes $D$ so, dass das Volumen der Pyramide $ABCD$ gleich $25$ ist.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool#pyramide#dreieck

I.3 Stochastik

Jedes Überraschungsei eines Herstellers enthält entweder eine Figur oder keine Figur, wobei der Anteil der Überraschungseier mit einer Figur $25\;\%$ beträgt.
a)
Zehn Überraschungseier werden nacheinander zufällig ausgewählt.
Gib einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit dafür an, dass nur in den letzten beiden Überraschungseiern jeweils eine Figur enthalten ist.
(2 BE)
b)
Sechs Überraschungseier werden zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ gibt an, wie viele dieser Überraschungseier eine Figur enthalten. Eine der folgenden Abbildungen stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsgröße $X$ dar:
Abb. 1: I
Abb. 1: I
Abb. 2: II
Abb. 2: II
Abb. 3: III
Abb. 3: III
Gib an, welche Abbildung dies ist.
Begründe, dass die beiden anderen Abbildungen dies nicht sind.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool

I.4.1 Analysis

5.1
Der Graph von $f,$ die $x$-Achse und die Gerade mit der Gleichung $x=2$ schließen im Bereich $0\leq x \leq 2$ eine Fläche ein. Zeige, dass diese Fläche den Inhalt $20$ besitzt.
(2 BE)
5.2
Die Gerade $g$ verläuft durch den Punkt $H$ und besitzt eine negative Steigung.
Der Graph von $f,$ die $y$-Achse und die Gerade $g$ schließen im Bereich $0\leq x \leq 2$ eine Fläche mit dem Inhalt $20$ ein.
Bestimme die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden $g$ mit der $y$-Achse.
(3 BE)
#extrempunkt#zentraleraufgabenpool

I.4.2 Analytische Geometrie

Gegeben ist die Ebene $E:\; 2x_1+x_2-2x_3 = -18.$
a)
Der Schnittpunkt von $E$ mit der $x_1$-Achse, der Schnittpunkt von $E$ mit der $x_2$-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimme den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
(2 BE)
b)
Ermittle die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von $E$ als auch der Ortsvektor eines Punkts der Ebene $E$ ist.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool#normalenvektor#dreieck

I.4.3 Stochastik

Grüne und orange Kugeln sind wie folgt auf drei Urnen verteilt:
a)
Aus Urne $A$ wird zunächst eine Kugel zufällig entnommen und in Urne $B$ gelegt. Anschließend wird aus Urne $B$ eine Kugel zufällig entnommen und in Urne $C$ gelegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich danach in Urne $C$ zwei grüne und eine orange Kugel befinden.
(2 BE)
b)
Die drei Urnen mit den in der Abbildung dargestellten Inhalten bilden den Ausgangspunkt für folgendes Spiel:
Es wird zunächst ein Einsatz von $1\,\,€$ eingezahlt. Anschließend wird eine der drei Urnen zufällig ausgewählt und danach aus dieser Urne eine Kugel zufällig gezogen. Nur dann, wenn diese Kugel orange ist, wird ein bestimmter Geldbetrag ausgezahlt.
Ermittle, wie groß dieser Geldbetrag sein muss, damit bei diesem Spiel auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgeglichen sind.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool
Bildnachweise [nach oben]
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