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Analysis

Aufgaben
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Wasserbecken

1.
Abbildung 1 zeigt den Graphen einer Funktion $f,$ die für $0\leq t\leq 15$ das Volumen des Wassers in einem Becken in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $f(t)$ das Volumen in Kubikmetern.
a)
Gib das Volumen des Wassers fünf Stunden nach Beobachtungsbeginn an sowie den Zeitraum, in dem das Volumen mindestens $350\,\text{m}^3$ beträgt.
(3 BE)
b)
Bestimme die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn.
(4 BE)
c)
Die fünfzehn Stunden nach Beobachtungsbeginn vorliegende momentane Änderungsrate des Wasservolumens bleibt bis zu dem Zeitpunkt erhalten, zu dem das Becken kein Wasser mehr enthält.
Beschreibe ein Verfahren, mit dem man diesen Zeitpunkt grafisch bestimmen kann.
Gib den Zeitpunkt an.
(3 BE)
d)
Interpretiere die Gleichung $f(t+6)= f(t)-350$ im Sachzusammenhang.
Gib eine Lösung der Gleichung an.
(4 BE)
e)
Begründe, dass die Funktionsgleichung von $f$ weder die Form $\text{I}$ noch die Form $\text{II}$ hat:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&y&=& -0,3t^4+at^2+100,\, a\in \mathbb{R} \\ \text{II}\quad&y&=& 8,5t^3+3,7t^2+bt+100,\, b\in \mathbb{R} \\ \end{array}$
(3 BE)
#änderungsrate#zentraleraufgabenpool
2.
Für ein anderes Becken wird die momentane Änderungsrate des Volumens des enthaltenen Wassers für $0 \leq t\leq 15$ durch die Funktion $g$ mit
$g(t)= 0,4\cdot \left(2t^3-39t^2+180t\right)$
beschrieben. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $g(t)$ die Änderungsrate in $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}.$
Die Funktion $G$ mit
$G(t)= 0,2\cdot \left( t^4-26t^3+180t^2\right)$
ist eine Stammfunktion von $g.$
a)
Berechne für den beschriebenen Zeitraum denjenigen Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Wasservolumens maximal ist.
(5 BE)
b)
Ermittle rechnerisch den Zeitraum, in dem das Volumen des Wassers abnimmt.
(4 BE)
c)
Drei Stunden nach Beobachtungsbeginn sind im Becken $350$ Kubikmeter Wasser enthalten.
Bestimme das Volumen des Wassers zu Beobachtungsbeginn.
(4 BE)
d)
Untersuche rechnerisch, ob es nach Beobachtungsbeginn einen Zeitpunkt gibt, zu dem das Wasservolumen ebenso groß ist wie zu Beobachtungsbeginn.
(5 BE)
#zentraleraufgabenpool#änderungsrate
3.
Für jeden Wert $c\in \mathbb{R}^+$ ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_c: \, x\mapsto c\cdot \sin (cx)$ gegeben. Abbildung 2 zeigt den Graphen von $h_1.$
a)
Skizziere für $c=\frac{1}{2}$ und $c = 2$ jeweils den Graphen von $h_c$ in Abbildung 2.
( 4 BE)
b)
Eine Nullstelle von $h_c$ ist $0,$ die benachbarte positive Nullstelle wird mit $u$ bezeichnet.
Gib den Wert von $u$ in Abhängigkeit von $c$ an.
Berechne damit den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $h_c$ für $0\leq x \leq u$ mit der $x$-Achse einschließt.
(5 BE)
c)
Beschreibe wie man ohne Verwendung einer Ableitungsfunktion die Koordinaten eines Tiefpunkts des Graphen von $h_c$ in Abhängigkeit von $c$ ermitteln kann.
Gib die Koordinaten eines Tiefpunkts an.
(3 BE)
d)
Gib den Term der $103.$ Ableitung von $h_c$ an.
(3 BE)
#nullstelle
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.
a)
$\blacktriangleright$  Volumen angeben
Da $t$ die vergangene Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn und $f(t)$ das Volumen in Kubikmetern zum Zeitpunkt $t$ angibt, ist $f(5)$ gesucht. Aus Abbildung 1 kann der Funktionswert von $f$ näherungsweise abgelesen werden:
$f(5)\approx 480$
Fünf Stunden nach Beobachtungsbeginn befinden sich ca. $480\,\text{m}^3$ Wasser im Becken.
$\blacktriangleright$  Zeitraum angeben
Gesucht ist der Zeitraum, in dem sich mindestens $350\,\text{m}^3$ Wasser im Becken befinden. Im Modell ist dies das gesuchte Intervall, in dem sich der Graph von $f$ oberhalb der Gerade zu $y =350$ befindet.
Mit der Zeichnung ergibt sich näherungsweise:
Für alle $t$ zwischen $t_1\approx 0,9$ und $t_2\approx 6,8$ gilt $f(t) \geq 350.$
Im Zeitraum von ca. $0,9$ Stunden bis ca. $6,8$ Stunden nach Beobachtungsbeginn beträgt das Volumen des Wassers mindestens $350\,\text{m}^3.$
b)
$\blacktriangleright$  Momentane Änderungsrate bestimmen
Gesucht ist eine Näherung für die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn. Diese entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $t=2$.
Aus der Abbildung können in etwa folgende Koordinaten zweier Punkte der Tangente abgelesen werden.
$A(2\mid 525)$ und $B(0\mid 350)$
Für die Steigung ergibt sich dann mit dem Differenzenquotienten:
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{350-525}{0-2} \\[5pt] &=& \dfrac{-175}{-2}\\[5pt] &=&87,5 \end{array}$
Zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn beträgt die momentane Änderungsrate näherungsweise ca. $87,5\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}.$
c)
$\blacktriangleright$  Verfahren beschreiben
Die momentane Änderungsrate des Wasservolumens $t$ Stunden nach Beobachtungsbeginn entspricht der Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle $t.$
An der Stelle $t=15$ muss also ein Graphenstück einer weiteren Funktion mit folgenden Eigenschaften anschließen:
  • Gleicher Funktionswert wie $f$ für $t=15$
  • Konstante Steigung, der zugehörige Graph ist also eine Gerade
  • Die Steigung der Gerade entspricht der Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle $t=15.$
Dabei handelt es sich um die Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $t=15.$ Es kann also wie folgt vorgegangen werden:
  1. Anlegen der Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $t=15$
  2. Bestimmen des Schnittpunkts der Tangente mit der $t$-Achse
  3. Der gesuchte Zeitpunkt $t$ ist dann die $t$-Koordinate des Schnittpunkts.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt angeben
Mit dem oben beschriebenen Verfahren ergibt sich folgende Zeichnung:
Analysis
Abb. 1: Tangente an den Graphen von $f$
Analysis
Abb. 1: Tangente an den Graphen von $f$
Die Schnittstelle der Tangente mit der $t$-Achse lässt sich bei $t\approx 19$ ablesen.
Ca. $19$ Stunden nach Beobachtungsbeginn befindet sich kein Wasser mehr im Becken.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung im Sachzusammenhang interpretieren
$f(t)$ beschreibt das Volumen des Wassers $t$ Stunden nach Beobachtungsbeginn. $f(t+6)$ beschreibt demnach das Volumen des Wassers $6$ Stunden nach diesem Zeitpunkt $t$. Dieses Volumen ist um $350$ geringer als das ursprüngliche zum Zeitpunkt $t$.
Wenn diese Beziehung gilt, nimmt das Volumen des Wassers im Becken in einem Zeitraum von sechs Stunden, der zum Zeitpunkt $t$ beginn, um $350\,\text{m}^3$ ab.
$\blacktriangleright$  Lösung der Gleichung angeben
Gesucht ist ein Intervall der Länge $6,$ bei dem der Funktionswert von $f$ insgesamt um $350$ abnimmt. Abbildung 1 kann entnommen werden, dass dies im Intervall $[3;9]$ der Fall ist.
Es gilt: $f(3)\approx 570$ und $f(9)\approx 220$
Eine Lösung der Gleichung ist also $t\approx 3.$
e)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichungen ausschließen
Bei Form $\text{I}$ kommt die Funktionsvariable $t$ nur mit geraden Exponenten vor. Dadurch ist der zugehörige Graph für jedes $a\in \mathbb{R}$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Abbildung 1 kann man aber entnehmen, dass der Graph von $f$ nicht achsensymmetrisch zur $y$-Achse sein kann.
Daher kann die Funktionsgleichung von $f$ nicht die Form $\text{I}$ haben.
Bei den Funktionen mit den Gleichungen der Form $\text{II}$ handelt es sich um ganzrationale Funktionen dritten Grades. Die Graphen solcher Funktionen können höchstens zwei Extrempunkte besitzen, da die erste Ableitungsfunktion den Grad $2$ und dadurch maximal zwei Nullstellen besitzen kann. Eine Nullstelle der ersten Ableitung ist aber ein notwendiges Kriterium für Extremstellen.
Abbildung 1 kann entnommen werden, dass der Graph von $f$ mindestens drei Extrempunkte - einen Tiefpunkt und zwei Hochpunkte - besitzt.
Daher kann die Funktionsgleichung von $f$ nicht die Form $\text{II}$ haben.
#extrempunkt#symmetrie#tangente
2.
a)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit maximaler Änderungsrate berechnen
$g(t)$ beschreibt die momentane Änderungsrate des Wasservolumens im Becken zum Zeitpunkt $t.$
Gesucht ist also die Stelle $t,$ an der $g$ im Intervall $[0;15]$ den maximalen Funktionswert annimmt.
Mit dem notwendigen Kriterium für lokale Extremstellen $g'(t)=0$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} g(t)&=& 0,4\cdot \left(2t^3-39t^2 +180t \right) \\[5pt] &=&0,8t^3-15,6t^2+72t \\[10pt] g'(t)&=& 3\cdot 0,8t^2-2\cdot 15,6t+72\\[5pt] &=&2,4t^2-31,2t + 72 \\[10pt] 0&=& g'(t) \\[5pt] 0&=& 2,4t^2-31,2t +72 &\quad \scriptsize :2,4 \\[5pt] 0&=& t^2-13t +30&\quad \scriptsize pq\text{-Formel}\\[5pt] t_{1/2}&=& -\dfrac{-13}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{13}{2} \right)^2-30}\\[5pt] &=& \dfrac{13}{2}\pm \dfrac{7}{2} \\[5pt] t_1&=& 3 \\[5pt] t_2&=& 10 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_1&=& 3 \\[5pt] t_2&=& 10 \\[5pt] \end{array}$
$g$ besitzt zwei mögliche lokale Extrema bei $t_1=3$ und $t_2=10.$ Mit dem hinreichenden Kriterium folgt:
$\begin{array}[t]{rll} g''(t)&=& 2\cdot 2,4t-31,2 \\[5pt] &=& 4,8t-31,2\\[10pt] g''(3)&=& 4,8\cdot 3-31,2 \\[5pt] &=& -16,8 < 0\\[10pt] g''(10)&=& 4,8\cdot 10-31,2 \\[5pt] &=& 16,8 > 0\\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g''(t)&=& 4,8t-31,2\\[10pt] g''(3)&=& -16,8 < 0\\[10pt] g''(10)&=& 16,8 > 0\\[10pt] \end{array}$
An der Stelle $t_1=3$ besitzt $g$ ein lokales Maximum, an der Stelle $t_2 = 10$ ein lokales Minimum. Um Randextrema auszuschließen müssen noch die Intervallränder überprüft werden:
$\begin{array}[t]{rll} g(0)&=& 0,4\cdot \left(2\cdot 0^3 -39\cdot 0^2 +180\cdot 0 \right) \\[5pt] &=& 0\\[10pt] g(15)&=& 0,4\cdot \left(2\cdot 15^3 -39\cdot 15^2 +180\cdot 15 \right) \\[5pt] &=& 270\\[10pt] g(3)&=& 0,4\cdot \left(2\cdot 3^3 -39\cdot 3^2 +180\cdot 3 \right) \\[5pt] &=& 97,2\\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g(0)&=& 0\\[10pt] g(15)&=& 270\\[10pt] g(3)&=& 97,2\\[10pt] \end{array}$
Zum Ende der Beobachtung, $15$ Stunden nach Beginn, ist die momentane Änderungsrate des Wasservolumens maximal.
b)
$\blacktriangleright$  Zeitraum ermitteln
Das Volumen des Wassers nimmt ab, wenn $g(t) < 0$ ist. Für die Nullstellen von $g$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} g(t)&=&0 \\[5pt] 0,4\cdot \left(2t^3-39t^2 +180t \right)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; :0,4 \\[5pt] 2t^3-39t^2 +180t&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] t^3-19,5t^2 +90t&=& 0 \\[5pt] t\cdot \left(t^2-19,5t+90 \right)&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;t_1=0 \\[5pt] t^2-19,5t+90&=& 0 &\quad \scriptsize pq\text{-Formel} \\[5pt] t_{2/3}&=&-\dfrac{-19,5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-19,5}{2} \right)^2 - 90} \\[5pt] &=& \frac{39}{4}\pm \frac{9}{4}\\[5pt] t_2&=& 7,5 \\[5pt] t_3&=& 12 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_1 &=& 0\\[5pt] t_2&=& 7,5 \\[5pt] t_3&=& 12 \end{array}$
Da der Graph von $g$ laut Aufgabenteil a) einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(3\mid 97,2)$ besitzt und ein Vorzeichenwechsel nur an den Nullstellen stattfinden kann, gilt für $0\leq t \leq 7,5:$ $g(t) \geq 0.$
Da der Graph von $g$ bei $t_2= 7,5$ keinen Tiefpunkt besitzt, muss an dieser Stelle ein Vorzeichenwechsel stattfinden. Damit gilt für $7,5\leq t\leq 12:$ $g(t) \leq 0.$
Analog muss auch an der Stelle $t_3= 12$ ein Vorzeichenwechsel stattfinden, womit für $12 \leq t\leq 15 $ gilt $g(t) \geq 0.$
Der Zeitraum, in dem das Volumen des Wassers abnimmt, beginnt $7,5$ Stunden nach Beobachtungsbeginn und endet $12$ Stunden nach Beobachtungsbeginn.
c)
$\blacktriangleright$  Volumen des Wassers zu Beobachtungsbeginn bestimmen
Mit einem Integral über $g$ kann das Volumen des Wassers berechnet werden, das in einem bestimmten Intervall in das Bekcen geflossen bzw. daraus abgeflossen ist.
Für den Zeitraum vom Beobachtungsbeginn zum Zeitpunkt $t=0$ bis drei Stunden danach mit $t=3$ folgt mit der angegebenen Stammfunktion $G$ von $g:$
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \displaystyle\int_{0}^{3}g(t)\;\mathrm dt \\[5pt] &=& G(3) -G(0) \\[5pt] &=& 0,2\cdot \left( 3^4-26\cdot 3^3+180\cdot 3^2\right)-0,2\cdot \left(0^4-26\cdot 0^3 +180\cdot 0^2 \right) \\[5pt] &=&0,2\cdot \left( 3^4-26\cdot 3^3+180\cdot 3^2\right) \\[5pt] &=& 199,8 \end{array}$
$ V = 199,8 $
In den ersten drei Stunden nach Beobachtungsbeginn fließen also $199,8\,\text{m}^3$ Wasser in das Becken hinein. Anschließend befinden sich $350\,\text{m}^3$ Wasser im Becken. Zu Beginn müssen sich daher $350\,\text{m}^3- 199,8\,\text{m}^3 = 150,2\,\text{m}^3$ Wasser im Becken befinden.
d)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt überprüfen
Da $G(t)$ eine Stammfunktion von $g$ ist, lässt sich mithilfe von $G$ und dem Anfangsvolumen des Wassers im Becken eine Funktion $G_0$ aufstellen, die das Volumen des Wassers im Becken zum Zeitpunkt $t$ beschreibt:
$G_0(t)= G(t) + 150,2 = 0,2\cdot \left( t^4-26\cdot t^3+180\cdot t^2\right) +150,2$
$ G_0(t)= … $
Gleichsetzen mit dem Anfangsvolumen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} G_0(t)&=& 150,2 \\[5pt] 0,2\cdot \left( t^4-26\cdot t^3+180\cdot t^2\right) +150,2&=& 150,2&\quad \scriptsize \mid\;-150,2 \\[5pt] 0,2\cdot \left( t^4-26\cdot t^3+180\cdot t^2\right)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; :0,2 \\[5pt] t^4-26\cdot t^3+180\cdot t^2&=& 0 \\[5pt] t^2\cdot \left( t^2-26\cdot t+180\right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;t_{1/2} =0 \\[5pt] t^2-26\cdot t+180&=& 0&\quad \scriptsize pq\text{-Formel} \\[5pt] t_{3/4}&=&- \dfrac{-26}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-26}{2} \right)^2- 180} \\[5pt] &=& 13 \pm \sqrt{\left(\dfrac{-26}{2} \right)^2 - 180} \\[5pt] &=& 13 \pm \sqrt{-11}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_{1/2}&=& 0\\[5pt] t_{3/4}&=& 13 \pm \sqrt{-11}\\[5pt] \end{array}$
Da die Wurzel für negative Zahlen nicht definiert ist, gibt es abgesehen von $t=0$ keine weitere Lösung der Gleichung. Es gibt also keinen weiteren Zeitpunkt nach Beobachtungsbeginn, zu dem das Volumen des Wassers ebenso groß ist wie zu Beginn der Beobachtung.
#extrempunkt#integral
3.
a)
$\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Analysis
Abb. 2: $c = \frac{1}{2}$ und $c = 2$
Analysis
Abb. 2: $c = \frac{1}{2}$ und $c = 2$
b)
$\blacktriangleright$  Nullstelle angeben
Nullstellen der allgemeinen Sinusfunktion sind alle Vielfache von $\pi, also:$
$\sin(x)=0$ für alle $x = k\cdot \pi$ mit $k \in \mathbb{Z}.$
Damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} c\cdot \sin(c\cdot x)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; :c \neq 0 \\[5pt] \sin(c\cdot x)&=& 0 \\[5pt] c\cdot x&=& k\cdot \pi \text{ mit } k\in \mathbb{Z}&\quad \scriptsize \mid\; :c\neq 0 \\[5pt] x&=& \dfrac{k\pi}{c} \end{array}$
$ x&=& \dfrac{k\pi}{c}$ mit $k\in \mathbb{Z}$
Für $k< 0$ ist auch $x < 0.$ Es ist allerdings die zu $0$ benachbarte positive Nullstelle gesucht. Diese erhält man für $k=1:$
$u = \dfrac{1\cdot \pi}{c} = \dfrac{\pi}{c}$
Es gilt $u = \dfrac{\pi}{c}.$
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Das betrachtete Flächenstück liegt für alle $c\in \mathbb{R}^+$ oberhalb der $x$-Achse. Der Flächeninhalt kann mithilfe eines Integrals über $h_c$ in den Grenzen $a=0$ und $b = u = \dfrac{\pi}{c}$ berechnet werden.
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{c}}h_c(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{c}}c\cdot\sin(cx)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[ -\cos(cx)\right]_0^{\frac{\pi}{c}} \\[5pt] &=& -\cos \left(c\cdot \frac{\pi}{c} \right) -\left(-\cos (c\cdot 0) \right)\\[5pt] &=& -\cos(\pi) + \cos(0) \\[5pt] &=& -(-1)+1\\[5pt] &=& 2 \end{array}$
$ A=2 $
Das Flächenstück, das der Graph von $h_c$ für $0\leq x\leq u$ mit der $x$-Achse einschließt, besitzt einen Inhalt von $2$ Flächeneinheiten.
c)
$\blacktriangleright$  Verfahren beschreiben
Da der Graph von $h_c$ im Vergleich zu dem der allgemeinen Sinusfunktion $\sin x$ weder in $y$- noch in $x$-Richtung verschoben ist, gilt für alle $c:$ $h_c(0)=0.$ Der Parameter $c$ beeinflusst lediglich die Periode und die Amplitude von $h_c.$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Periode
Zwei aufeinanderfolgende Nullstellen haben immer eine halbe Periode Abstand voneinander. Mittig zwischen zwei Nullstellen befindet sich immer eine Extremstelle, wobei sich Maximal- und Minimalstelle abwechseln.
Die erste positive Extremstelle liegt zwischen der Nullstelle $x=0$ und $u,$ also ausgehend vom Koordinatenursprung nach einer viertel Periode, und ist eine Maximalstelle. Die erste Minimalstelle folgt eine halbe Periode später, also ausgehend vom Koordinatenursprung nach dem Durchlaufen von einer dreiviertel Periode $p_c:$
$x_{T_1} = \frac{3}{4}p_c $
Der zugehörige Funktionswert kann dann durch Einsetzen in $h_c(x)$ bestimmt werden.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Amplitude
Da der Graph nicht entlang der $y$-Achse verschoben ist, entspricht die Amplitude dem Parameter $c$ und gibt gleichzeitig den größten und auch den kleinsten Funktionswert an. Der kleinste Funktionswert von $h_c$ ist also $-c$ und damit auch die $y$-Koordinate jedes Tiefpunkts des Graphen von $h_c.$
Durch Gleichsetzen mit dem Funktionsterm können die zugehörigen $x$-Koordinaten der Tiefpunkte bestimmt werden.
$\blacktriangleright$  Koordinaten eines Tiefpunkts angeben
Die Periode von $h_c$ ergibt sich wie folgt:
$p_c = \dfrac{2\pi}{c}$
Ein Tiefpunkt liegt also bei:
$x_{T_1} = \dfrac{3}{4}p_c = \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{2\pi}{c} = \dfrac{3\pi}{2c}.$
Die zugehörige $y$-Koordinate lautet:
$\begin{array}[t]{rll} y_{T_1} &=& h_c\left( \dfrac{3\pi}{2c}\right)\\[5pt] &=& c\cdot \sin \left(c\cdot \dfrac{3\pi}{2c} \right) \\[5pt] &=& c\cdot \sin \left(\dfrac{3\pi}{2} \right) \\[5pt] &=& c\cdot (-1) \\[5pt] &=& -c \end{array}$
$ y_{T_1} = -c $
Ein Tiefpunkt von $h_c$ hat also die Koordinaten $\left(\dfrac{3\pi}{2c} \mid -c\right)$
d)
$\blacktriangleright$  Term der Ableitung angeben
$\begin{array}[t]{rll} h_c(x)&=& c\cdot \sin(cx) \\[10pt] h_c'(x)&=& c\cdot c\cdot \cos(cx) \\[5pt] &=& c^2\cdot \cos(cx) \\[10pt] h_c''(x)&=& c^2\cdot c \cdot \left(-\sin(cx) \right) \\[5pt] &=& -c^3\cdot \sin(cx) \\[10pt] h_c'''(x) &=& -c^3\cdot c \cdot \cos(cx) \\[5pt] &=& -c^4 \cdot \cos(cx)\\[10pt] h_c''''(x) &=& -c^4 \cdot c \cdot \left( -\sin(cx)\right) \\[5pt] &=& c^5\cdot \sin(cx) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h_c(x)&=& c\cdot \sin(cx) \\[10pt] h_c'(x)&=&c^2\cdot \cos(cx) \\[10pt] h_c''(x)&=& -c^3\cdot \sin(cx) \\[10pt] h_c'''(x) &=& -c^4 \cdot \cos(cx)\\[10pt] h_c''''(x) &=& c^5\cdot \sin(cx) \end{array}$
Betrachtet man die Funktionsgleichungen der ersten vier Ableitungsfunktionen lässt sich folgendes für die $n$-te Ableitungsfunktion feststellen:
  • In jedem Ableitungsschritt kommt ein Faktor $c$ hinzu, also gilt für den Faktor vor dem trigonometrischen Term: $c^{n+1}$
  • In jedem zweiten Ableitungsschritt kommt ein negatives Vorzeichen hinzu. Ist $n$ also durch vier teilbar oder bleibt beim Teilen durch vier der Rest eins, gibt es eine gerade Anzahl an negativen Vorzeichen, die sich gegenseitig aufheben.
    Bleibt beim Teilen durch vier der Rest zwei oder drei, gibt es eine ungerade Anzahl an negativen Vorzeichen, sodass der Faktor $-1$ erhalten bleibt.
  • Ist $n$ gerade ist der trigonometrische Term $\sin(cx)$ , sonst $\cos(cx)$
$n=103$ ist nicht durch vier teilbar und liefert den Rest drei. Als Term der $103.$ Ableitungsfunktion von $h_c$ ergibt sich damit:
$-c^{104}\cdot \cos(cx)$
#ableitung#integral
Bildnachweise [nach oben]
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