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Stochastik

Aufgaben
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Samenkörner

Ein Großhändler bietet Samenkörner für Salatgurken in zwei Qualitätsstufen an. Ein Samenkorn der höheren Qualitätsstufe A keimt mit einer Wahrscheinlichkeit von $ 95\,\%,$ eines der Qualitätsstufe B mit einer Wahrscheinlichkeit von $ 70\,\%.$
Ein Anbaubetrieb kauft Samenkörner beider Qualitätsstufen, davon $ 65\,\%$ der Qualitätsstufe A.
Durch ein Versehen werden alle Samenkörner vollständig vermischt. Eines dieser Samenkörner wird nach der Aussaat zufällig ausgewählt.
Hinweis: Zur Bearbeitung der folgenden Teilaufgaben können nach Bedarf die Tabellen 1 und 2 in der Anlage genutzt werden.
#zentraleraufgabenpool
a)
Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.
(3 BE)
#baumdiagramm
b)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei einem zufällig ausgewählten keimenden Samenkorn um ein Samenkorn der Qualitätsstufe B handelt.
(3 BE)
Ein anderer Anbaubetrieb kauft ausschließlich Samenkörner der Qualität B.
c)
Bestimme für folgende Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
„Von $ 200$ gesäten Samenkörnern der Qualitätsstufe B keimen genau $ 140.$“
„Von $ 200$ gesäten Samenkörnern der Qualitätsstufe B keimen mehr als $ 130$ und weniger als $ 150.$“
(3 BE)
d)
Beschreibe die Bedeutung des folgenden Terms im Sachzusammenhang:
$ 1- \left( \displaystyle\sum\limits_{i=0}^{120} \binom{200}{i}\cdot 0,7^{i}\cdot 0,3^{200-i} + \displaystyle\sum\limits_{i=160}^{200}\binom{200}{i}\cdot 0,7^{i}\cdot 0,3^{200-i} \right) $
(2 BE)
e)
Der Preis pro Samenkorn beträgt für die Qualitätsstufe A $ 17$ Cent und für die Qualitätsstufe B $ 12$ Cent. Keimt ein Samenkorn, so wächst daraus eine Gurkenpflanze heran. Dabei besteht das Risiko, dass die Pflanze aufgrund von Wettereinflüssen oder Schädlingen keine Früchte trägt. Dieses Risiko beträgt für alle gekeimten Samenkörner der Qualitätsstufe A $ 15\,\%$ und für alle gekeimten Samenkörner der Qualitätsstufe B $ 25\,\%.$ Die Anzahl der Gurken, die pro fruchttragender Pflanze im Mittel geerntet werden können, ist unabhängig von der Qualitätsstufe der Samenkörner. Der Anbaubetrieb verkauft alle geernteten Gurken zum gleichen Preis.
Prüfe, ob es für den Anbaubetrieb finanziell sinnvoll wäre, sich auf Samenkörner der Qualitätsstufe B zu beschränken.
(6 BE)
f)
Der Großhändler behauptet, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualitätsstufe B durch eine Weiterentwicklung auf mehr als $ 70\,\%$ erhöht habe. Deshalb soll die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualitätsstufe B ist höchstens $ 70\,\%.$“ auf einem Signifikanzniveau von $ 5\,\%$ getestet werden. Dazu werden nach der Weiterentwicklung $ 100$ Samenkörner der Qualitätsstufe B zufällig ausgewählt und gesät.
Bestimme die Entscheidungsregel des Tests.
(5 BE)
#signifikanzniveau#hypothesentest
g)
Für eine Qualitätsstufe C wird vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns $60\,\%$ beträgt. Es werden $50$ Samenkörner gesät; davon keimen $27.$
Eine Wahrscheinlichkeit von $60\,\%$ ist bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ mit der angegebenen Anzahl keimender Samenkörner verträglich, wenn $27$ im Intervall $[\mu -1,96\sigma; \mu+1,96\sigma]$ liegt. Dabei ist $\mu$ der Erwartungswert und $\sigma$ die Standardabweichung einer $B_{50; 0,6}$-verteilten Zufallsgröße.
Untersuche, ob die vermutete Wahrscheinlichkeit von $60\,\%$ bei der angegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit damit verträglich ist, dass $27$ Samenkörner keimen.
(3 BE)
#standardabweichung#erwartungswert
Material 1
Summierte Binomialverteilung $ P(X\leq k)$ für $ n= 200$ und $ 5\leq k \leq 45;$ $ 154\leq k \leq 194$
A B C D E F G H I
1
2
k p
3
0,1 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5
4
5 0,0000 194
5
6 0,0001 193
6
7 0,0005 192
7
8 0,0014 191
8
9 0,0035 190
9
10 0,0081 189
10
11 0,0168 188
11
12 0,0320 187
12
13 0,0566 186
13
14 0,0929 185
14
15 0,1431 184
15
16 0,2075 183
16
17 0,2849 182
17
18 0,3724 181
18
19 0,4655 0,0000 180
19
20 0,5592 0,0001 179
20
21 0,6484 0,0002 178
21
22 0,7290 0,0005 177
22
23 0,7983 0,0010 176
23
24 0,8551 0,0020 175
24
25 0,8995 0,0036 174
25
26 0,9328 0,0064 173
26
27 0,9566 0,0110 0,0000 172
27
28 0,9729 0,0179 0,0001 171
28
29 0,9837 0,0283 0,0002 170
29
30 0,9905 0,0430 0,0004 169
30
31 0,9946 0,0632 0,0008 168
31
32 0,9971 0,0899 0,0014 167
32
33 0,9985 0,1239 0,0026 166
33
34 0,9992 0,1656 0,0044 165
34
35 0,9996 0,2151 0,0073 0,0000 164
35
36 0,9998 0,2717 0,0117 0,0001 163
36
37 0,9999 0,3345 0,0182 0,0001 162
37
38 1,0000 0,4019 0,0276 0,0003 161
38
39 0,4718 0,0405 0,0005 160
39
40 0,5422 0,0578 0,0009 159
40
41 0,6108 0,0804 0,0016 158
41
42 0,6758 0,1089 0,0027 157
42
43 0,7355 0,1438 0,0045 156
43
44 0,7887 0,1852 0,0072 155
44
45 0,8349 0,2332 0,0111 154
45
0,9 0,8 0,75 0,7 0,6 0,5 k
46
p
Material 2
Summierte Binomialverteilung $ P(X\leq k)$ für $ n= 200$ und $ 46\leq k \leq 90;$ $ 109\leq k \leq 153$
A B C D E F G H I
1
2
k p
3
0,1 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5
4
46 0,8738 0,2870 0,0169 153
5
47 0,9056 0,3458 0,0249 152
6
48 0,9310 0,4083 0,0359 151
7
49 0,9506 0,4729 0,0506 150
8
50 0,9655 0,5379 0,0695 149
9
51 0,9764 0,6017 0,0934 148
10
52 0,9843 0,6626 0,1228 147
11
53 0,9897 0,7192 0,1579 0,0000 146
12
54 0,9934 0,7707 0,1988 0,0001 145
13
55 0,9959 0,8162 0,2455 0,0002 144
14
56 0,9975 0,8555 0,2972 0,0003 143
15
57 0,9985 0,8885 0,3532 0,0005 142
16
58 0,9991 0,9157 0,4123 0,0008 141
17
59 0,9995 0,9375 0,4733 0,0013 140
18
60 0,9997 0,9546 0,5348 0,0021 139
19
61 0,9998 0,9677 0,5953 0,0034 138
20
62 0,9999 0,9774 0,6533 0,0052 137
21
63 1,0000 0,9846 0,7079 0,0080 136
22
64 0,9897 0,7579 0,0119 135
23
65 0,9932 0,8028 0,0173 134
24
66 0,9956 0,8421 0,0247 133
25
67 0,9972 0,8758 0,0346 132
26
68 0,9983 0,9040 0,0475 131
27
69 0,9990 0,9272 0,0639 130
28
70 0,9994 0,9458 0,0844 129
29
71 0,9996 0,9604 0,1094 128
30
72 0,9998 0,9716 0,1393 0,0000 127
31
73 0,9999 0,9800 0,1742 0,0001 126
32
74 0,9999 0,9862 0,2142 0,0001 125
33
75 1,0000 0,9906 0,2590 0,0002 124
34
76 0,9938 0,3080 0,0004 123
35
77 0,9959 0,3607 0,0007 122
36
78 0,9974 0,4161 0,0011 121
37
79 0,9984 0,4732 0,0018 120
38
80 0,9990 0,5307 0,0028 119
39
81 0,9994 0,5875 0,0044 118
40
82 0,9996 0,6424 0,0066 117
41
83 0,9998 0,6945 0,0097 116
42
84 0,9999 0,7428 0,0141 115
43
85 0,9999 0,7868 0,0200 114
44
86 1,0000 0,8261 0,0280 113
45
87 0,8603 0,0384 112
46
88 0,8897 0,0518 111
47
89 0,9143 0,0687 110
48
90 0,9345 0,0895 109
49
0,9 0,8 0,75 0,7 0,6 0,5 k
50
p
Material 3
Summierte Binomialverteilung $ P(X\leq k)$ für $ n= 200$ und $ 91\leq k \leq 127;$ $ 72\leq k \leq 108$
A B C D E F G H I
1
2
k p
3
0,1 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5
4
91 0,9508 0,1146 108
5
92 0,9637 0,1444 107
6
93 0,9737 0,1790 106
7
94 0,9812 0,2184 105
8
95 0,9869 0,2623 104
9
96 0,9910 0,3104 103
10
97 0,9939 0,3619 102
11
98 0,9960 0,4160 101
12
99 0,9974 0,4718 100
13
100 0,9983 0,5282 99
14
101 0,9989 0,5840 98
15
102 0,9993 0,6381 97
16
103 0,9996 0,6896 96
17
104 0,9998 0,7377 95
18
105 0,9999 0,7816 94
19
106 0,9999 0,8210 93
20
107 1,0000 0,8556 92
21
108 0,8854 91
22
109 0,9105 90
23
110 0,9313 89
24
111 0,9482 88
25
112 0,9616 87
26
113 0,9720 86
27
114 0,9800 85
28
115 0,9859 84
29
116 0,9903 83
30
117 0,9934 82
31
118 0,9956 81
32
119 0,9972 80
33
120 0,9982 79
34
121 0,9989 78
35
122 0,9993 77
36
123 0,9996 76
37
124 0,9998 75
38
125 0,9999 74
39
126 0,9999 73
40
127 1,0000 72
41
0,9 0,8 0,75 0,7 0,6 0,5 k
42
p
Material 4
Summierte Binomialverteilung $ P(X\leq k)$ für $ n= 100$ und $ 0\leq k \leq 40;$ $ 59\leq k \leq 99$
A B C D E F G H I
1
2
k p
3
0,1 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5
4
0 0,0000 99
5
1 0,0003 98
6
2 0,0019 97
7
3 0,0078 96
8
4 0,0237 95
9
5 0,0576 0,0000 94
10
6 0,1172 0,0001 93
11
7 0,2061 0,0003 92
12
8 0,3209 0,0009 91
13
9 0,4513 0,0023 0,0000 90
14
10 0,5832 0,0057 0,0001 89
15
11 0,7030 0,0126 0,0004 88
16
12 0,8018 0,0253 0,0010 0,0000 87
17
13 0,8761 0,0469 0,0025 0,0001 86
18
14 0,9274 0,0804 0,0054 0,0002 85
19
15 0,9601 0,1285 0,0111 0,0004 84
20
16 0,9794 0,1923 0,0211 0,0010 83
21
17 0,9900 0,2712 0,0376 0,0022 82
22
18 0,9954 0,3621 0,0630 0,0045 81
23
19 0,9980 0,4602 0,0995 0,0089 80
24
20 0,9992 0,5595 0,1488 0,0165 79
25
21 0,9997 0,6540 0,2114 0,0288 0,0000 78
26
22 0,9999 0,7389 0,2864 0,0479 0,0001 77
27
23 1,0000 0,8109 0,3711 0,0755 0,0003 76
28
24 0,8686 0,4617 0,1136 0,0006 75
29
25 0,9125 0,5535 0,1631 0,0012 74
30
26 0,9442 0,6417 0,2244 0,0024 73
31
27 0,9658 0,7224 0,2964 0,0046 72
32
28 0,9800 0,7925 0,3768 0,0084 71
33
29 0,9888 0,8505 0,4623 0,0148 70
34
30 0,9939 0,8962 0,5491 0,0248 0,0000 69
35
31 0,9969 0,9307 0,6331 0,0398 0,0001 68
36
32 0,9984 0,9554 0,7107 0,0615 0,0002 67
37
33 0,9993 0,9724 0,7793 0,0913 0,0004 66
38
34 0,9997 0,9836 0,8371 0,1303 0,0009 65
39
35 0,9999 0,9906 0,8839 0,1795 0,0018 64
40
36 0,9999 0,9948 0,9201 0,2386 0,0033 63
41
37 1,0000 0,9973 0,9470 0,3068 0,0060 62
42
38 0,9986 0,9660 0,3822 0,0105 61
43
39 0,9993 0,9790 0,4621 0,0176 60
44
40 0,9997 0,9875 0,5433 0,0284 59
45
0,9 0,8 0,75 0,7 0,6 0,5 k
46
p
Material 5
Summierte Binomialverteilung $P(X\leq k)$ für $n= 100$ und $41\leq k \leq 69;$ $30\leq k \leq 58$
A B C D E F G H I
1
2
k p
3
0,1 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5
4
41 0,9999 0,9928 0,6225 0,0443 58
5
42 0,9999 0,9960 0,6967 0,0666 57
6
43 1,0000 0,9979 0,7635 0,0967 56
7
44 0,9989 0,8211 0,1356 55
8
45 0,9995 0,8689 0,1841 54
9
46 0,9997 0,9070 0,2421 53
10
47 0,9999 0,9362 0,3086 52
11
48 0,9999 0,9577 0,3822 51
12
49 1,0000 0,9729 0,4602 50
13
50 0,9832 0,5398 49
14
51 0,9900 0,6178 48
15
52 0,9942 0,6914 47
16
53 0,9968 0,7579 46
17
54 0,9983 0,8159 45
18
55 0,9991 0,8644 44
19
56 0,9996 0,9033 43
20
57 0,9998 0,9334 42
21
58 0,9999 0,9557 41
22
59 1,0000 0,9716 40
23
60 0,9824 39
24
61 0,9895 38
25
62 0,9940 37
26
63 0,9967 36
27
64 0,9982 35
28
65 0,9991 34
29
66 0,9996 33
30
67 0,9998 32
31
68 0,9999 31
32
69 1,0000 30
33
0,9 0,8 0,75 0,7 0,6 0,5 k
34
p
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Lösungen
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a)
$ \blacktriangleright$  Sachverhalt im Baumdiagramm darstellen
Wir bezeichnen das Ereignis, dass ein Samenkorn keimt, mit $ K$, dass es nicht keimt mit $ \overline{K}.$
Abb. 1: Baumdiagramm
Abb. 1: Baumdiagramm
b)
$ \blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Mit dem Satz von Bayes und dem Baumdiagramm ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit $ P_K(B)$ wie folgt:
$ \begin{array}[t]{rll} P_K(B)&=& \dfrac{P_B(K)\cdot P(B)}{P(K)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,7\cdot 0,35}{0,8625 } \\[5pt] &\approx& 0,2841 \end{array}$
$ P_K(B) \approx 28,41\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes keimendes Samenkorn von der Qualität B ist, beträgt ca. $ 28,41\,\%.$
#satzvonbayes
c)
$ \blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $ X$, die die zufällige Anzahl der keimenden Samenkörner in einer Stichprobe von $ 200$ Samenkörnern der Qualität B beschreibt.
Die Samenkörner keimen unabhängig voneinander, die Wahrscheinlichkeit, ob es keimt oder nicht, ist also bei jedem Samenkorn gleich. Zudem werden nur die beiden Möglichkeiten „keimt“ oder „keimt nicht“ betrachtet.
$ X$ kann also als binomialverteilt angenommen werden, mit den Parametern $ n=200$ und $ p= P_B(K)= 0,7.$
Bei $ E$ ist die Wahrscheinlichkeit $ P(X = 140)$ gesucht. Diese lässt sich wie folgt umschreiben:
$ P(X=140) = P(X\leq 140)- P(X \leq 139)$
$ \begin{array}[t]{rll} & P(X=140)\\[5pt] =&P(X\leq 140)- P(X \leq 139) \end{array}$
Die beiden Wahrscheinlichkeiten ergeben sich nun mit der Tabelle zur summierten Binomialverteilung für $ n=200$ und $ p=0,7:$
$ \begin{array}[t]{rll} P(E)&=&P(X=140)\\[5pt] &=& P(X\leq 140)- P(X \leq 139) \\[5pt] &\approx & 0,52665 - 0,46519 \\[5pt] &=& 0,06146 \\[5pt] &\approx& 6,15\,\% \end{array}$
$ P(E)\approx 6,15\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $ E,$ also dafür, dass genau $ 140$ Samenkörner keimen, beträgt ca. $ 6,15\,\%.$
Für $ F$ folgt ebenfalls mit der Tabelle zur summierten Binomialverteilung:
$ \begin{array}[t]{rll} P(F)&=& P(130 < X < 150 ) \\[5pt] &=& P(X\leq 149)- P(X\leq 130) \\[5pt] &\approx& 0,93045 - 0,07279 \\[5pt] &=&0,85766 \\[5pt] &\approx& 85,77\,\% \end{array}$
$ P(F)\approx 85,77\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $ F,$ also dafür, dass von den $ 200$ Samenkörnern mehr als $ 130$ und weniger als $ 150$ keimen, beträgt ca. $ 85,77\,\%.$
#binomialverteilung
d)
$ \blacktriangleright$  Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang beschreiben
Mit der binomialverteilten Zufallsgröße $ X$ aus Aufgabenteil c) und der Formel für die summierte Binomialverteilung folgt:
$ \begin{array}[t]{rll} &1- \left( \underbrace{\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{120} \binom{200}{i}\cdot 0,7^{i}\cdot 0,3^{200-i}}_{P(X\leq 120)} + \underbrace{\displaystyle\sum\limits_{i=160}^{200}\binom{200}{i}\cdot 0,7^{i}\cdot 0,3^{200-i}}_{P(X\geq 160)} \right) \\[5pt] =& 1-\left(P(X\leq 120) +P(X \geq 160) \right) \\[5pt] =& P(120 < X < 160)\\[5pt] \end{array}$
$ …= P(120 < X < 160) $
Der Term beschreibt daher die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $ 200$ gesäten Samenkörnern der Qualitätsstufe B mehr als $ 120$ und weniger als $ 160$ keimen.
#binomialverteilung
e)
$ \blacktriangleright$  Entscheidung durch Rechnung treffen
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $ 95\,\%$ keimt ein Samenkorn der Qualitätsstufe A, aus einem solchen gekeimten Samenkorn entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von $ 85\,\%$ eine fruchttragende Pflanze.
Bezeichne das Ereignis, dass eine fruchttragende Pflanze entsteht mit $ F$.
$ \begin{array}[t]{rll} P_A(F)&=& P_A(K)\cdot P_{A\cap K}(F) \\[5pt] &=& 0,95\cdot 0,85 \\[5pt] &=& 0,8075\\[5pt] &=& 80,75\,\% \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} & P_A(F)\\[5pt] =& P_A(K)\cdot P_{A\cap K}(F) \\[5pt] =& 0,95\cdot 0,85 \\[5pt] =& 0,8075\\[5pt] =& 80,75\,\% \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $ 80,75\,\%$ entsteht aus einem Samenkorn der Qualitätsstufe A eine fruchttragende Pflanze. Pro Samenkorn müssen $ 17$ Cent gezahlt werden. Mit einem Euro können also im Schnitt $ \frac{100}{17}$ Samenkörner gekauft werden, von denen $ 80,75\,\%$ zu einer fruchttragenden Pflanze werden:
$ \begin{array}[t]{rll} E(A)&=& \frac{100}{17}\cdot 0,8075 \\[5pt] &=& 4,75 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} & E(A)\\[5pt] =& \frac{100}{17}\cdot 0,8075 \\[5pt] =& 4,75 \end{array}$
Mit einem Euro, der in Samenkörner der Qualitätsstufe A investiert wird, können im Schnitt $ 4,75$ fruchttragende Pflanzen angebaut werden.
$ \begin{array}[t]{rll} P_B(F)&=& P_B(K)\cdot P_{B\cap K}(F) \\[5pt] &=& 0,7\cdot 0,75 \\[5pt] &=& 0,525 \\[5pt] &=& 52,5\,\% \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} &P_B(F)\\[5pt] =& P_B(K)\cdot P_{B\cap K}(F) \\[5pt] =& 0,7\cdot 0,75 \\[5pt] =& 0,525 \\[5pt] =& 52,5\,\% \end{array}$
Mit einem Euro können im Schnitt $ \frac{100}{12}$ Samenkörner der Qualitätsstufe B gekauft werden, die jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von $ 52,5\,\%$ Früchte tragen.
$ \begin{array}[t]{rll} E(B)&=& \frac{100}{12}\cdot 0,525 \\[5pt] &=& 4,375 \end{array}$
Pro Euro der investiert wird, können mit Samenkörnern der Qualitätsstufe A im Schnitt $ 4,75$ fruchttragende Pflanzen generiert werden. Bei Samenkörnern der Qualitätsstufe B liegt dieser Wert bei $ 4,375.$ Für einen Anbaubetrieb ist es also finanziell günstiger, sich auf die Samenkörner der Qualität A zu beschränken, als auf die der Qualität B.
f)
$ \blacktriangleright$  Entscheidungsregel bestimmen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $ X_p,$ die die Anzahl der keimenden Samenkörner in der Stichprobe von $ 100$ Körnern der Qualitätsstufe B beschreibt. Dann kann diese aus gleichen Gründen wie $ X$ als binomialverteilt mit den Parametern $ n= 100$ und $ p $ angenommen werden.
Die Nullhypothese lautet:
$ H_0: \; p \leq 0,7$
Das Signifikanzniveau $ \alpha = 5\,\%$ gibt an, dass die Nullhypothese höchstens mit einer Wahrscheinlichkeit von $ 5\,\%$ fälschlicherweise abgelehnt werden darf.
Ist $ X_p$ also entsprechend der Nullhypothese mit $ p=0,7$ verteilt, soll mit dem Signifikanzniveau folgende Ungleichung gelten:
$ \begin{array}[t]{rll} P(X_p > k )&\leq& 0,05 \\[5pt] 1- P(X_p\leq k)&\leq&0,05 \\[5pt] P(X_p\leq k)&\geq&0,95 \\[5pt] \end{array}$
Mit der Tabelle zur summierten Binomialverteilung für $ n=100$ und $ p =0,7$ ergibt sich:
Das kleinste $ k,$ das diese Ungleichung erfüllt, ist $ k =77.$
Die Entscheidungsregel ergibt sich also wie folgt:
Werden in der Stichprobe mehr als $ 77$ keimende Körner gefunden, kann die Nullhypothese abgelehnt werden und man kann davon ausgehen, dass die Weiterentwicklung tatsächlich die Wahrscheinlichkeit zum Keimen erhöht.
g)
$\blacktriangleright$  Verträglichkeit prüfen
Laut Aufgabenstellung ist die Verträglichkeit gegeben, wenn $27$ im Intervall $[\mu -1,96\sigma; \mu +1,96\sigma]$ liegt. Da $\mu$ der Erwartungswert und $\sigma$ die Standardabweichung einer $B_{50;0,6}$-verteilten Zufallsgröße ist, können sie mit den zur Binomialverteilung gehörenden Formeln wie folgt berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \mu &=& n\cdot p \\[5pt] &=& 50\cdot 0,6 \\[5pt] &=& 30\\[10pt] \sigma&=& \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] &=& \sqrt{50 \cdot 0,6\cdot 0,4}\\[5pt] &=& \sqrt{12} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \mu &=& 30\\[10pt] \sigma&=& \sqrt{12} \end{array}$
Damit ergibt sich für das Intervall:
$\begin{array}[t]{rll} &[\mu -1,96\sigma; \mu +1,96\sigma] \\[5pt] =&\left[30 -1,96\cdot \sqrt{12}; 30 +1,96\cdot \sqrt{12}\right] \\[5pt] \approx& \left[23; 36\right] \end{array}$
$ \left[23; 36\right] $
Die Anzahl der keimenden Samenkörner liegt innerhalb des angegebenen Intervalls und ist somit bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ mit der vermuteten Wahrscheinlichkeit von $60\,\%$ verträglich.
#binomialverteilung
Bildnachweise [nach oben]
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