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Stochastik

Aufgaben
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Samenkörner

Ein Großhändler bietet Samenkörner für Salatgurken in zwei Qualitätsstufen an. Ein Samenkorn der höheren Qualitätsstufe A keimt mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\,\%,$ eines der Qualitätsstufe B mit einer Wahrscheinlichkeit von $70\,\%.$
Ein Anbaubetrieb kauft Samenkörner beider Qualitätsstufen, davon $65\,\%$ der Qualitätsstufe A.
Durch ein Versehen werden alle Samenkörner vollständig vermischt. Eines dieser Samenkörner wird nach der Aussaat zufällig ausgewählt.
Hinweis: Zur Bearbeitung der folgenden Teilaufgaben können nach Bedarf die Tabellen 1 und 2 in der Anlage genutzt werden.
#zentraleraufgabenpool
a)
Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.
(3 BE)
#baumdiagramm
b)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei einem zufällig ausgewählten keimenden Samenkorn um ein Samenkorn der Qualitätsstufe B handelt.
(3 BE)
Ein anderer Anbaubetrieb kauft ausschließlich Samenkörner der Qualität B.
c)
Bestimme für folgende Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
„Von $200$ gesäten Samenkörnern der Qualitätsstufe B keimen genau $140.$“
„Von $200$ gesäten Samenkörnern der Qualitätsstufe B keimen mehr als $130$ und weniger als $150.$“
(3 BE)
d)
Beschreibe die Bedeutung des folgenden Terms im Sachzusammenhang:
$1- \left( \displaystyle\sum\limits_{i=0}^{120} \binom{200}{i}\cdot 0,7^{i}\cdot 0,3^{200-i} + \displaystyle\sum\limits_{i=160}^{200}\binom{200}{i}\cdot 0,7^{i}\cdot 0,3^{200-i} \right) $
(2 BE)
e)
Der Preis pro Samenkorn beträgt für die Qualitätsstufe A $17$ Cent und für die Qualitätsstufe B $12$ Cent. Keimt ein Samenkorn, so wächst daraus eine Gurkenpflanze heran. Dabei besteht das Risiko, dass die Pflanze aufgrund von Wettereinflüssen oder Schädlingen keine Früchte trägt. Dieses Risiko beträgt für alle gekeimten Samenkörner der Qualitätsstufe A $15\,\%$ und für alle gekeimten Samenkörner der Qualitätsstufe B $25\,\%.$ Die Anzahl der Gurken, die pro fruchttragender Pflanze im Mittel geerntet werden können, ist unabhängig von der Qualitätsstufe der Samenkörner. Der Anbaubetrieb verkauft alle geernteten Gurken zum gleichen Preis.
Prüfe, ob es für den Anbaubetrieb finanziell sinnvoll wäre, sich auf Samenkörner der Qualitätsstufe B zu beschränken.
(6 BE)
f)
Der Großhändler behauptet, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualitätsstufe B durch eine Weiterentwicklung auf mehr als $70\,\%$ erhöht habe. Deshalb soll die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualitätsstufe B ist höchstens $70\,\%.$“ auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ getestet werden. Dazu werden nach der Weiterentwicklung $100$ Samenkörner der Qualitätsstufe B zufällig ausgewählt und gesät.
Bestimme die Entscheidungsregel des Tests.
(5 BE)
#signifikanzniveau#hypothesentest
g)
Für eine Qualitätsstufe C wird vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns $60\,\%$ beträgt. Es werden $50$ Samenkörner gesät; davon keimen $27.$
Eine Wahrscheinlichkeit von $60\,\%$ ist bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ mit der angegebenen Anzahl keimender Samenkörner verträglich, wenn $27$ im Intervall $[\mu -1,96\sigma; \mu+1,96\sigma]$ liegt. Dabei ist $\mu$ der Erwartungswert und $\sigma$ die Standardabweichung einer $B_{50; 0,6}$-verteilten Zufallsgröße.
Untersuche, ob die vermutete Wahrscheinlichkeit von $60\,\%$ bei der angegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit damit verträglich ist, dass $27$ Samenkörner keimen.
(3 BE)
#standardabweichung#erwartungswert
Material 1
Summierte Binomialverteilung $P(X\leq k)$ für $n= 200$ und $5\leq k \leq 45;$ $154\leq k \leq 194$
ABCDEFGHI
1
2
kp
3
0,10,20,250,30,40,5
4
50,0000194
5
60,0001193
6
70,0005192
7
80,0014191
8
90,0035190
9
100,0081189
10
110,0168188
11
120,0320187
12
130,0566186
13
140,0929185
14
150,1431184
15
160,2075183
16
170,2849182
17
180,3724181
18
190,46550,0000180
19
200,55920,0001179
20
210,64840,0002178
21
220,72900,0005177
22
230,79830,0010176
23
240,85510,0020175
24
250,89950,0036174
25
260,93280,0064173
26
270,95660,01100,0000172
27
280,97290,01790,0001171
28
290,98370,02830,0002170
29
300,99050,04300,0004169
30
310,99460,06320,0008168
31
320,99710,08990,0014167
32
330,99850,12390,0026166
33
340,99920,16560,0044165
34
350,99960,21510,00730,0000164
35
360,99980,27170,01170,0001163
36
370,99990,33450,01820,0001162
37
381,00000,40190,02760,0003161
38
390,47180,04050,0005160
39
400,54220,05780,0009159
40
410,61080,08040,0016158
41
420,67580,10890,0027157
42
430,73550,14380,0045156
43
440,78870,18520,0072155
44
450,83490,23320,0111154
45
0,90,80,750,70,60,5k
46
p
Material 2
Summierte Binomialverteilung $P(X\leq k)$ für $n= 200$ und $46\leq k \leq 90;$ $109\leq k \leq 153$
ABCDEFGHI
1
2
kp
3
0,10,20,250,30,40,5
4
460,87380,28700,0169153
5
470,90560,34580,0249152
6
480,93100,40830,0359151
7
490,95060,47290,0506150
8
500,96550,53790,0695149
9
510,97640,60170,0934148
10
520,98430,66260,1228147
11
530,98970,71920,15790,0000146
12
540,99340,77070,19880,0001145
13
550,99590,81620,24550,0002144
14
560,99750,85550,29720,0003143
15
570,99850,88850,35320,0005142
16
580,99910,91570,41230,0008141
17
590,99950,93750,47330,0013140
18
600,99970,95460,53480,0021139
19
610,99980,96770,59530,0034138
20
620,99990,97740,65330,0052137
21
631,00000,98460,70790,0080136
22
640,98970,75790,0119135
23
650,99320,80280,0173134
24
660,99560,84210,0247133
25
670,99720,87580,0346132
26
680,99830,90400,0475131
27
690,99900,92720,0639130
28
700,99940,94580,0844129
29
710,99960,96040,1094128
30
720,99980,97160,13930,0000127
31
730,99990,98000,17420,0001126
32
740,99990,98620,21420,0001125
33
751,00000,99060,25900,0002124
34
760,99380,30800,0004123
35
770,99590,36070,0007122
36
780,99740,41610,0011121
37
790,99840,47320,0018120
38
800,99900,53070,0028119
39
810,99940,58750,0044118
40
820,99960,64240,0066117
41
830,99980,69450,0097116
42
840,99990,74280,0141115
43
850,99990,78680,0200114
44
861,00000,82610,0280113
45
870,86030,0384112
46
880,88970,0518111
47
890,91430,0687110
48
900,93450,0895109
49
0,90,80,750,70,60,5k
50
p
Material 3
Summierte Binomialverteilung $P(X\leq k)$ für $n= 200$ und $91\leq k \leq 127;$ $72\leq k \leq 108$
ABCDEFGHI
1
2
kp
3
0,10,20,250,30,40,5
4
910,95080,1146108
5
920,96370,1444107
6
930,97370,1790106
7
940,98120,2184105
8
950,98690,2623104
9
960,99100,3104103
10
970,99390,3619102
11
980,99600,4160101
12
990,99740,4718100
13
1000,99830,528299
14
1010,99890,584098
15
1020,99930,638197
16
1030,99960,689696
17
1040,99980,737795
18
1050,99990,781694
19
1060,99990,821093
20
1071,00000,855692
21
1080,885491
22
1090,910590
23
1100,931389
24
1110,948288
25
1120,961687
26
1130,972086
27
1140,980085
28
1150,985984
29
1160,990383
30
1170,993482
31
1180,995681
32
1190,997280
33
1200,998279
34
1210,998978
35
1220,999377
36
1230,999676
37
1240,999875
38
1250,999974
39
1260,999973
40
1271,000072
41
0,90,80,750,70,60,5k
42
p
Material 4
Summierte Binomialverteilung $P(X\leq k)$ für $n= 100$ und $0\leq k \leq 40;$ $59\leq k \leq 99$
ABCDEFGHI
1
2
kp
3
0,10,20,250,30,40,5
4
00,000099
5
10,000398
6
20,001997
7
30,007896
8
40,023795
9
50,05760,000094
10
60,11720,000193
11
70,20610,000392
12
80,32090,000991
13
90,45130,00230,000090
14
100,58320,00570,000189
15
110,70300,01260,000488
16
120,80180,02530,00100,000087
17
130,87610,04690,00250,000186
18
140,92740,08040,00540,000285
19
150,96010,12850,01110,000484
20
160,97940,19230,02110,001083
21
170,99000,27120,03760,002282
22
180,99540,36210,06300,004581
23
190,99800,46020,09950,008980
24
200,99920,55950,14880,016579
25
210,99970,65400,21140,02880,000078
26
220,99990,73890,28640,04790,000177
27
231,00000,81090,37110,07550,000376
28
240,86860,46170,11360,000675
29
250,91250,55350,16310,001274
30
260,94420,64170,22440,002473
31
270,96580,72240,29640,004672
32
280,98000,79250,37680,008471
33
290,98880,85050,46230,014870
34
300,99390,89620,54910,02480,000069
35
310,99690,93070,63310,03980,000168
36
320,99840,95540,71070,06150,000267
37
330,99930,97240,77930,09130,000466
38
340,99970,98360,83710,13030,000965
39
350,99990,99060,88390,17950,001864
40
360,99990,99480,92010,23860,003363
41
371,00000,99730,94700,30680,006062
42
380,99860,96600,38220,010561
43
390,99930,97900,46210,017660
44
400,99970,98750,54330,028459
45
0,90,80,750,70,60,5k
46
p
Material 5
Summierte Binomialverteilung $P(X\leq k)$ für $n= 100$ und $41\leq k \leq 69;$ $30\leq k \leq 58$
ABCDEFGHI
1
2
kp
3
0,10,20,250,30,40,5
4
410,99990,99280,62250,044358
5
420,99990,99600,69670,066657
6
431,00000,99790,76350,096756
7
440,99890,82110,135655
8
450,99950,86890,184154
9
460,99970,90700,242153
10
470,99990,93620,308652
11
480,99990,95770,382251
12
491,00000,97290,460250
13
500,98320,539849
14
510,99000,617848
15
520,99420,691447
16
530,99680,757946
17
540,99830,815945
18
550,99910,864444
19
560,99960,903343
20
570,99980,933442
21
580,99990,955741
22
591,00000,971640
23
600,982439
24
610,989538
25
620,994037
26
630,996736
27
640,998235
28
650,999134
29
660,999633
30
670,999832
31
680,999931
32
691,000030
33
0,90,80,750,70,60,5k
34
p
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a)
$\blacktriangleright$  Sachverhalt im Baumdiagramm darstellen
Wir bezeichnen das Ereignis, dass ein Samenkorn keimt, mit $K$, dass es nicht keimt mit $\overline{K}.$
Stochastik
Abb. 1: Baumdiagramm
Stochastik
Abb. 1: Baumdiagramm
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Mit dem Satz von Bayes und dem Baumdiagramm ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_K(B)$ wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P_K(B)&=& \dfrac{P_B(K)\cdot P(B)}{P(K)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,7\cdot 0,35}{0,8625 } \\[5pt] &\approx& 0,2841 \end{array}$
$ P_K(B) \approx 28,41\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes keimendes Samenkorn von der Qualität B ist, beträgt ca. $28,41\,\%.$
#satzvonbayes
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X$, die die zufällige Anzahl der keimenden Samenkörner in einer Stichprobe von $200$ Samenkörnern der Qualität B beschreibt.
Die Samenkörner keimen unabhängig voneinander, die Wahrscheinlichkeit, ob es keimt oder nicht, ist also bei jedem Samenkorn gleich. Zudem werden nur die beiden Möglichkeiten „keimt“ oder „keimt nicht“ betrachtet.
$X$ kann also als binomialverteilt angenommen werden, mit den Parametern $n=200$ und $p= P_B(K)= 0,7.$
Bei $E$ ist die Wahrscheinlichkeit $P(X = 140)$ gesucht. Diese lässt sich wie folgt umschreiben:
$P(X=140) = P(X\leq 140)- P(X \leq 139)$
$\begin{array}[t]{rll} & P(X=140)\\[5pt] =&P(X\leq 140)- P(X \leq 139) \end{array}$
Die beiden Wahrscheinlichkeiten ergeben sich nun mit der Tabelle zur summierten Binomialverteilung für $n=200$ und $p=0,7:$
$\begin{array}[t]{rll} P(E)&=&P(X=140)\\[5pt] &=& P(X\leq 140)- P(X \leq 139) \\[5pt] &\approx & 0,52665 - 0,46519 \\[5pt] &=& 0,06146 \\[5pt] &\approx& 6,15\,\% \end{array}$
$ P(E)\approx 6,15\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $E,$ also dafür, dass genau $140$ Samenkörner keimen, beträgt ca. $6,15\,\%.$
Für $F$ folgt ebenfalls mit der Tabelle zur summierten Binomialverteilung:
$\begin{array}[t]{rll} P(F)&=& P(130 < X < 150 ) \\[5pt] &=& P(X\leq 149)- P(X\leq 130) \\[5pt] &\approx& 0,93045 - 0,07279 \\[5pt] &=&0,85766 \\[5pt] &\approx& 85,77\,\% \end{array}$
$ P(F)\approx 85,77\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $F,$ also dafür, dass von den $200$ Samenkörnern mehr als $130$ und weniger als $150$ keimen, beträgt ca. $85,77\,\%.$
#binomialverteilung
d)
$\blacktriangleright$  Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang beschreiben
Mit der binomialverteilten Zufallsgröße $X$ aus Aufgabenteil c) und der Formel für die summierte Binomialverteilung folgt:
$\begin{array}[t]{rll} &1- \left( \underbrace{\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{120} \binom{200}{i}\cdot 0,7^{i}\cdot 0,3^{200-i}}_{P(X\leq 120)} + \underbrace{\displaystyle\sum\limits_{i=160}^{200}\binom{200}{i}\cdot 0,7^{i}\cdot 0,3^{200-i}}_{P(X\geq 160)} \right) \\[5pt] =& 1-\left(P(X\leq 120) +P(X \geq 160) \right) \\[5pt] =& P(120 < X < 160)\\[5pt] \end{array}$
$ …= P(120 < X < 160) $
Der Term beschreibt daher die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $200$ gesäten Samenkörnern der Qualitätsstufe B mehr als $120$ und weniger als $160$ keimen.
#binomialverteilung
e)
$\blacktriangleright$  Entscheidung durch Rechnung treffen
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\,\%$ keimt ein Samenkorn der Qualitätsstufe A, aus einem solchen gekeimten Samenkorn entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von $85\,\%$ eine fruchttragende Pflanze.
Bezeichne das Ereignis, dass eine fruchttragende Pflanze entsteht mit $F$.
$\begin{array}[t]{rll} P_A(F)&=& P_A(K)\cdot P_{A\cap K}(F) \\[5pt] &=& 0,95\cdot 0,85 \\[5pt] &=& 0,8075\\[5pt] &=& 80,75\,\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} & P_A(F)\\[5pt] =& P_A(K)\cdot P_{A\cap K}(F) \\[5pt] =& 0,95\cdot 0,85 \\[5pt] =& 0,8075\\[5pt] =& 80,75\,\% \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $80,75\,\%$ entsteht aus einem Samenkorn der Qualitätsstufe A eine fruchttragende Pflanze. Pro Samenkorn müssen $17$ Cent gezahlt werden. Mit einem Euro können also im Schnitt $\frac{100}{17}$ Samenkörner gekauft werden, von denen $80,75\,\%$ zu einer fruchttragenden Pflanze werden:
$\begin{array}[t]{rll} E(A)&=& \frac{100}{17}\cdot 0,8075 \\[5pt] &=& 4,75 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} & E(A)\\[5pt] =& \frac{100}{17}\cdot 0,8075 \\[5pt] =& 4,75 \end{array}$
Mit einem Euro, der in Samenkörner der Qualitätsstufe A investiert wird, können im Schnitt $4,75$ fruchttragende Pflanzen angebaut werden.
$\begin{array}[t]{rll} P_B(F)&=& P_B(K)\cdot P_{B\cap K}(F) \\[5pt] &=& 0,7\cdot 0,75 \\[5pt] &=& 0,525 \\[5pt] &=& 52,5\,\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &P_B(F)\\[5pt] =& P_B(K)\cdot P_{B\cap K}(F) \\[5pt] =& 0,7\cdot 0,75 \\[5pt] =& 0,525 \\[5pt] =& 52,5\,\% \end{array}$
Mit einem Euro können im Schnitt $\frac{100}{12}$ Samenkörner der Qualitätsstufe B gekauft werden, die jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von $52,5\,\%$ Früchte tragen.
$\begin{array}[t]{rll} E(B)&=& \frac{100}{12}\cdot 0,525 \\[5pt] &=& 4,375 \end{array}$
Pro Euro der investiert wird, können mit Samenkörnern der Qualitätsstufe A im Schnitt $4,75$ fruchttragende Pflanzen generiert werden. Bei Samenkörnern der Qualitätsstufe B liegt dieser Wert bei $4,375.$ Für einen Anbaubetrieb ist es also finanziell günstiger, sich auf die Samenkörner der Qualität A zu beschränken, als auf die der Qualität B.
f)
$\blacktriangleright$  Entscheidungsregel bestimmen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_p,$ die die Anzahl der keimenden Samenkörner in der Stichprobe von $100$ Körnern der Qualitätsstufe B beschreibt. Dann kann diese aus gleichen Gründen wie $X$ als binomialverteilt mit den Parametern $n= 100$ und $p $ angenommen werden.
Die Nullhypothese lautet:
$H_0: \; p \leq 0,7$
Das Signifikanzniveau $\alpha = 5\,\%$ gibt an, dass die Nullhypothese höchstens mit einer Wahrscheinlichkeit von $5\,\%$ fälschlicherweise abgelehnt werden darf.
Ist $X_p$ also entsprechend der Nullhypothese mit $p=0,7$ verteilt, soll mit dem Signifikanzniveau folgende Ungleichung gelten:
$\begin{array}[t]{rll} P(X_p > k )&\leq& 0,05 \\[5pt] 1- P(X_p\leq k)&\leq&0,05 \\[5pt] P(X_p\leq k)&\geq&0,95 \\[5pt] \end{array}$
Mit der Tabelle zur summierten Binomialverteilung für $n=100$ und $p =0,7$ ergibt sich:
Das kleinste $k,$ das diese Ungleichung erfüllt, ist $k =77.$
Die Entscheidungsregel ergibt sich also wie folgt:
Werden in der Stichprobe mehr als $77$ keimende Körner gefunden, kann die Nullhypothese abgelehnt werden und man kann davon ausgehen, dass die Weiterentwicklung tatsächlich die Wahrscheinlichkeit zum Keimen erhöht.
g)
$\blacktriangleright$  Verträglichkeit prüfen
Laut Aufgabenstellung ist die Verträglichkeit gegeben, wenn $27$ im Intervall $[\mu -1,96\sigma; \mu +1,96\sigma]$ liegt. Da $\mu$ der Erwartungswert und $\sigma$ die Standardabweichung einer $B_{50;0,6}$-verteilten Zufallsgröße ist, können sie mit den zur Binomialverteilung gehörenden Formeln wie folgt berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \mu &=& n\cdot p \\[5pt] &=& 50\cdot 0,6 \\[5pt] &=& 30\\[10pt] \sigma&=& \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] &=& \sqrt{50 \cdot 0,6\cdot 0,4}\\[5pt] &=& \sqrt{12} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \mu &=& 30\\[10pt] \sigma&=& \sqrt{12} \end{array}$
Damit ergibt sich für das Intervall:
$\begin{array}[t]{rll} &[\mu -1,96\sigma; \mu +1,96\sigma] \\[5pt] =&\left[30 -1,96\cdot \sqrt{12}; 30 +1,96\cdot \sqrt{12}\right] \\[5pt] \approx& \left[23; 36\right] \end{array}$
$ \left[23; 36\right] $
Die Anzahl der keimenden Samenkörner liegt innerhalb des angegebenen Intervalls und ist somit bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ mit der vermuteten Wahrscheinlichkeit von $60\,\%$ verträglich.
#binomialverteilung
Bildnachweise [nach oben]
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