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Analysis

Aufgaben
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Fluss

1.
In einer Senke verläuft ein Fluss. Abbildung 1 zeigt modellhaft einen Querschnitt der Senke und der beiden horizontalen Uferzonen.
Im Querschnitt kann die Profillinie der Senke modellhaft durch die Funktion $f$ mit
$f(x)= -5x^2\mathrm e^x+1$
und $x \in [-6;0],$ beschrieben werden. Die Wasseroberfläche wird im Modell durch einen Abschnitt der $x$-Achse dargestellt, die Uferzonen durch zwei Strecken, die jeweils parallel zur $x$-Achse verlaufen und lückenlos an den Graphen von $f$ anschließen. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
Zur Funktion $f$ sind die Gleichungen der ersten und zweiten Ableitungsfunktion sowie einer Stammfunktion gegeben:
  • $f'(x)=-5x\cdot (2+x)\cdot \mathrm e^x$
  • $f''(x)= -10\mathrm e^x-20x\mathrm e^x-5x^2\mathrm e^x$
  • $F(x) = x-5\cdot \left(x^2-2x+2 \right)\cdot \mathrm e^x$
#zentraleraufgabenpool
$\,$
a)
Berechne den Höhenunterschied zwischen den beiden Uferzonen.
(2 BE)
$\,$
b)
Ermittle mithilfe der Abbildung, wie breit die Senke einen Meter unterhalb der Wasseroberfläche ist.
(2 BE)
$\,$
c)
Deute die Gleichung $f(x+3)=f(x)$ im Sachzusammenhang und bestimme mithilfe von Abbildung 1 eine Lösung der Gleichung.
(3 BE)
$\,$
d)
Leite aus der Funktionsgleichung von $f$ die angegebene Funktionsgleichung von $f'$ her.
(3 BE)
#ableitung
$\,$
e)
Berechne die Tiefe des Wassers an der tiefsten Stelle der Senke.
(4 BE)
$\,$
Über die Senke soll eine Brücke gebaut werden. Das eine Ende der Brücke soll auf der linken Uferzone aufliegen, das andere Ende auf einem Sockel am rechten Ufer. Die Profillinie der Brücke wird im Modell durch eine Strecke dargestellt, der Auflagepunkt am rechten Ufer durch den Punkt $B(0\mid 1,1).$
$\,$
f)
Berechne die Länge der Brücke, sowie deren Steigung in Prozent, wenn der linke Auflagepunkt im Modell durch den Punkt $A(-6\mid f(-6))$ dargestellt würde.
(4 BE)
$\,$
g)
Ermittle, wie weit das linke Ende der Brücke vom Rand der Senke entfernt läge, wenn die Brücke eine Steigung von $6\,\%$ hätte.
(3 BE)
#steigung
$\,$
h)
Zwischen dem tiefsten Punkt der Senke und ihrem rechten Rand gibt es einen Punkt, in dem die Profillinie ihren größten Neigungswinkel gegenüber der Horizontalen hat.
Berechne diesen Neigungswinkel.
(5 BE)
$\,$
i)
Das Produkt aus dem Flächeninhalt des Flussquerschnitts (in $\text{m}^2$) und der Fließgeschwindigkeit des Wassers (in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$) wird als Durchflussrate bezeichnet. Die Fließgeschwindigkeit des Wassers beträgt $0,5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}.$ Der Abschnitt der $x$-Achse, der die Wasseroberfläche im Modell darstellt, wird näherungsweise durch $x\approx -4,7$ und $x\approx -0,6$ begrenzt.
Berechne die Durchflussrate.
(5 BE)
2.
Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktion $g$ vierten Grades.
$\,$
a)
Begründe, dass der Graph $g$ außerhalb des abgebildeten Bereichs keine Extrempunkte besitzt.
(3 BE)
#extrempunkt
$\,$
b)
Betrachtet wird die Gleichung $g(x)=a$ mit $a\in \mathbb{R}.$
Gib alle Werte von $a$ an, für die die Gleichung genau drei Lösungen hat.
(2 BE)
$\,$
c)
Untersuche, ob der Wert des Terms $g'(3)\cdot g''(3)$ positiv ist.
(4 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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Lösungen
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1.
a)
$\blacktriangleright$  Höhenunterschied berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(-6) &=& -5\cdot (-6)^2\cdot\mathrm e^{-6}+1 \\[5pt] &=& -180\mathrm e^{-6}+1 \\[10pt] f(0)&=& -5\cdot (0)^2\cdot\mathrm e^{-6}+1 \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(-6) &=& -180\mathrm e^{-6}+1 \\[10pt] f(0)&=& 1 \end{array}$
Die linke Uferzone beginnt im Modell bei $x=-6,$ die rechte bei $x = 0.$ Die Geraden, die die Uferzonen beschreiben, sind parallel zur $x$-Achse und schließen lückenlos an den Graphen von $f$ an, die Funktionswerte von $f$ an den Stellen $-6$ und $0$ geben daher die beiden Höhen der Uferzonen an:
$\begin{array}[t]{rll} d&=& f(-6)-f(0) \\[5pt] &=& -180\mathrm e^{-6}+1 -1\\[5pt] &=&-180\mathrm e^{-6}\\[5pt] &\approx& -0,45 \end{array}$
Die rechte Uferzone liegt ca. $0,45\,\text{m}=45\,\text{cm}$ höher als die linke.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Breite der Senke berechnen
Die Ebene einen Meter unterhalb der Senke kann durch die Gerade mit $y=-1$ beschrieben werden. Die Koordinaten der Schnittpunkte der Gerade mit dem Graphen von $f$ lassen sich näherungsweise an der Abbildung ablesen: $S_1(-3,3\mid -1)$ und $S_2(-1,2\mid -1).$
$-1,2-(-3,3) = 2,1 $
Einen Meter unterhalb der Wasseroberfläche ist die Senke ca. $2,1\,\text{m}$ breit.
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung im Sachzusammenhang deuten
$f(x)$ beschreibt die Tiefe der Senke an der Stelle, die $\left|x\right|$ Meter vom Beginn der rechten Uferzone entfernt ist. $f(x+3)$ beschreibt demnach die Tiefe der Senke drei Meter weiter rechts. Es gibt also zwei Stellen in der Senke mit gleicher Höhe, die drei Meter voneinander entfernt sind. Es gibt also eine Höhe der Senke, in der sie $3$ Meter breit ist.
$\blacktriangleright$  Lösung bestimmen
Für $x_1\approx -3,9$ und $x_2\approx -0,9$ gilt $f(-3,9)\approx f(-0,9).$ Eine Lösung der Gleichung ist also $x\approx -3,9.$
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung herleiten
Mit der Produktregel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&-5x^2\mathrm e^x +1 \\[10pt] f'(x)&=& -5\cdot 2x\cdot \mathrm e^x -5 \cdot x^2 \cdot \mathrm e^x \\[5pt] &=& \left(-5 \cdot 2x-5 \cdot x^2\right)\cdot \mathrm e^x \\[5pt] &=& -5x \cdot \left( 2+x\right)\cdot \mathrm e^x \\[5pt] \end{array}$
$ f'(x) = … $
#produktregel
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Tiefe des Wassers berechnen
Die tiefste Stelle der Senke wird im Modell durch den Tiefpunkt des Graphen von $f$ beschrieben. Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen $f'(x)=0$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& 0 \\[5pt] -5x\cdot(2+x)\cdot \mathrm e^x &=& 0&\quad \scriptsize \mid\;: \left(-5\mathrm e^x\right)\neq 0 \\[5pt] x\cdot (2+x)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;x_1=0 \\[5pt] 2+x&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] x_2&=& -2 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& -2 \\[5pt] \end{array}$
Es gibt zwei mögliche Extremstellen von $f$ bei $x_1=0$ und $x_2=-2.$ Für das hinreichende Kriterium für Extremstellen folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f''(0)&=& -10\mathrm e^0 -20\cdot 0 \cdot \mathrm e^0 -5\cdot 0^2\cdot \mathrm e^0 \\[5pt] &=& -10 < 0 \\[10pt] f''(-2)&=& -10\mathrm e^{-2} -20\cdot (-2) \cdot \mathrm e^{-2} -5\cdot (-2)^2\cdot \mathrm e^{-2} \\[5pt] &=& 10\mathrm e^{-2} > 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f''(0)&=& -10 < 0 \\[10pt] f''(-2)&=& 10\mathrm e^{-2} > 0 \end{array}$
Mit dem hinreichenden Kriterium für Extremstellen folgt also, dass es sich bei der Stelle $x=-2$ um eine lokale Minimalstelle handelt, bei $x=0$ nicht. Daher ist das Wasser etwa zwei Meter vom Beginn der rechten Uferzone entfernt am tiefsten.
$\begin{array}[t]{rll} f(-2)&=& -5\cdot (-2)^2\mathrm e^{-2}+1 \\[5pt] &=& -20\mathrm e^{-2}-1 \\[5pt] &\approx& -3,71\\[5pt] \end{array}$
$ f(-2)\approx -3,71 $
An der tiefsten Stelle ist das Wasser ca. $3,71\,\text{m}$ tief.
#extrempunkt
$\,$
f)
$\blacktriangleright$  Länge der Brücke berechnen
Die Länge der Brücke ergibt sich über die Länge der Strecke $\overline{AB}$ und kann daher über den Abstand der beiden Punkte $A$ und $B$ berechnet werden:
Für die $y$-Koordinate von $A$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} y_A&=& f(-6) \\[5pt] &=&-5\cdot (-6)^2\mathrm e^{-6}+1 \\[5pt] &=& -180\mathrm e^{-6}+1 \end{array}$
$ y_A= -180\mathrm e^{-6}+1 $
Damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} d(A,B)&=&\sqrt{(y_A -y_B)^2 +(y_A-x_B)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(-180\mathrm e^{-6}+1-1,1)^2 +(-6-0)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{(-180\mathrm e^{-6}-0,1)^2 +36} \\[5pt] &\approx& 6,02\\[5pt] \end{array}$
$ d(A,B)\approx 6,02 $
Die Brücke ist ca. $6,02\,\text{m}$ lang.
$\blacktriangleright$  Steigung berechnen
Die Steigung ergibt sich über den Differenzenquotienten der Koordinaten der beiden Endpunkte:
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\[5pt] &=& \dfrac{1,1- \left(-5\cdot (-6)^2\cdot \mathrm e^{-6} +1\right)}{0-(-6)}\\[5pt] &=& \dfrac{1,1+180\cdot \mathrm e^{-6} +1}{6} \\[5pt] &=& \dfrac{0,1+180\cdot \mathrm e^{-6}}{6} \\[5pt] &\approx& 0,0910 \\[5pt] &=&9,10\,\% \end{array}$
$ m \approx 9,10\,\% $
Die Brücke besäße eine Steigung von ca. $9\,\%.$
$\,$
g)
$\blacktriangleright$  Entfernung ermitteln
Wird der linke Auflagepunkt entlang des linken Ufers verschoben, bleibt die $y$-Koordinate des zugehörigen Punkts $A_l$ im Modell erhalten. Es ändert sich lediglich die $x$-Koordinate. Die Steigung kann durch den Differenzenquotienten der Koordinaten der beiden Endpunkte $A$ und $B$ dargestellt werden und soll $6\,\% = 0,06$ betragen:
$\begin{array}[t]{rll} 0,06&=&\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\\[5pt] &=& \dfrac{1,1-\left(-180\mathrm e^{-6}+1 \right)}{0-x_A} \\[5pt] &=& \dfrac{0,1+180\mathrm e^{-6} }{-x_A}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-x_A) \\[5pt] -0,06x_A&=& 0,1+180\mathrm e^{-6} &\quad \scriptsize \mid\;: (-0,06) \\[5pt] x_A&=& \dfrac{0,1+180\mathrm e^{-6} }{-0,06} \\[5pt] &\approx& -9,10 \end{array}$
$ x_A \approx -9,10$
Der Rand der Senke liegt im Modell bei $x = -6.$ Das linke Ende der Brücke wäre also ca. $3,10\,\text{m}$ vom Rand der Senke entfernt.
$\,$
h)
$\blacktriangleright$  Neigungswinkel berechnen
Der gesuchte Punkt entspricht dem Punkt des Graphen von $f$ im Bereich $-2\leq x\leq 0$ mit der maximalen Steigung, also dem Wendepunkt.
Mit dem notwendigen Kriterium für Wendepunkte folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=&0 \\[5pt] -10\mathrm e^x-20x\cdot \mathrm e^x -5x^2\mathrm e^x&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^x \neq 0 \\[5pt] -10 -20x -5x^2&=& &\quad \scriptsize \mid\; _(-5)\\[5pt] 2+4x+x^2&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel}\\[5pt] x_{1/2}&=&-\frac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{4}{2} \right)^2-2} \\[5pt] &=& -2\pm \sqrt{2} \\[5pt] x_1&=&-2+\sqrt{2} \\[5pt] x_2&=&-2-\sqrt{2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&-2+\sqrt{2} \\[5pt] x_2&=&-2-\sqrt{2} \end{array}$
Da $x_2$ außerhalb des zu betrachtenden Bereichs liegt, ist $x_1$ die einzige mögliche relevante Wendestelle. Es ist:
$f''(-2)= 10\mathrm e^{-2} >0$ und $f''(0)= -10 < 0$
Andere Nullstellen von $f''$ befinden sich in dem Intervall nicht. An der Stelle $x = -2+\sqrt{2} $ findet also ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung von positiv zu negativ statt. Mit dem Vorzeichenwechsel-Kriterium besitzt der Graph von $f$ also an der Stelle $x = -2+\sqrt{2}$ einen Wendepunkt und in diesem die maximale Steigung.
$\begin{array}[t]{rll} f'\left(-2+\sqrt{2}\right)&=& -5\cdot \left(-2+\sqrt{2} \right)\cdot \left(2-2+\sqrt{2}\right)\cdot \mathrm e^{-2+\sqrt{2}} \\[5pt] &=& \left(10-5\sqrt{2} \right)\cdot\sqrt{2}\cdot \mathrm e^{-2+\sqrt{2}}\\[5pt] &=& \left(10\sqrt{2}-10\right)\cdot \mathrm e^{-2+\sqrt{2}}\\[5pt] \end{array}$
$ f'\left(-2+\sqrt{2}\right) = … $
Die steilste Steigung zwischen den beiden Punkten ist also $ \left(10\sqrt{2}-10\right)\cdot \mathrm e^{-2+\sqrt{2}}.$ Der zugehörige Neigungswinkel des Graphen von $f$ ergibt sich mit der Formel für den Steigungswinkel:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha &=& f'\left(-2+\sqrt{2}\right) \\[5pt] \tan \alpha &=& \left(10\sqrt{2}-10\right)\cdot \mathrm e^{-2+\sqrt{2}}&\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha &\approx& 66,55^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 66,55^{\circ} $
Der größte Neigungswinkel der Profillinie der Senke zwischen dem tiefsten Punkt und dem rechten Rand ist ca. $66,55^{\circ}$ groß.
#wendepunkt#steigungswinkel
$\,$
i)
$\blacktriangleright$  Durchflussrate berechnen
Der Flächeninhalt des Querschnitts kann mithilfe eines Integrals von $f$ in den Grenzen $a= -4,7$ und $b = -0,6$ berechnet werden. Dazu kann die angegebene Stammfunktion verwendet werden.
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{-4,7}^{-0,6}f(x)\;\mathrm dx&=& \left[ F(x)\right]_{-4,7}^{-0,6} \\[5pt] &=& F(-0,6)-F(-4,7)\\[5pt] &=& -0,6 -5\cdot \left((-0,6)^2-2\cdot (-0,6)+2 \right)\cdot \mathrm e^{-0,6} \\[5pt] && - \left( -4,7 -5\cdot \left((-4,7)^2-2\cdot (-4,7)+2 \right)\cdot \mathrm e^{-4,7}\right)\\[5pt] &\approx& -4,15 \end{array}$
$ \displaystyle\int_{-4,7}^{-0,6}f(x)\;\mathrm dx \approx -4,15$
Die Querschnittsfläche ist ca. $4,15\,\text{m}^2$ groß. Für die Durchflussrate folgt also:
$4,15\,\text{m}^2 \cdot 0,5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}=2,075 \,\frac{\text{m}^3}{\text{s}}$
Die Durchflussrate beträgt ca. $2,075 \,\frac{\text{m}^3}{\text{s}}.$
#integral
2.
a)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Extrempunkte begründen
Bei $g$ handelt es sich um eine ganzrationale Funktion vierten Grades, bei der ersten Ableitungsfunktion also um eine ganzrationale Funktion dritten Grades.
Diese kann maximal drei Nullstellen besitzen. Eine Nullstelle der ersten Ableitung ist notwendige Bedingung für einen Extrempunkt des Graphen von $g$ an dieser Stelle. Der Graph von $g$ kann also maximal drei Extrempunkte besitzen.
In der Abbildung sind bereits drei Extrempunkte zu erkennen. Der Graph von $g$ kann also keine weiteren Extrempunkte in dem nicht abgebildeten Bereich besitzen.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Werte angeben
Die Lösungen der Gleichung entsprechen den Schnittstellen des Graphen von $g$ mit der zur $x$-Achse parallelen Gerade $y=a.$ Der Abbildung kann man entnehmen, dass eine solche Gerade genau dann den Graphen von $g$ an drei verschiedenen Stellen schneidet, wenn $a= 4$ oder $a= 5$ ist.
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Wert des Terms untersuchen
Der Term ist ein Produkt eines Werts der ersten Ableitungsfunktion von $g$ und eines Werts der zweiten Ableitungsfunktion von $g.$
  • $g'(3)$ beschreibt die Steigung des Graphen von $g$ an der Stelle $x=3.$ Der Abbildung kann man entnehmen, dass der Graph an dieser Stelle fällt und die Steigung damit negativ ist, also $g'(3) < 0$ gilt.
  • $g''(3)$ beschreibt die Krümmung des Graphen von $g$ an der Stelle $x = 3.$ Der Abbildung kann man entnehmen, dass der Graph an dieser Stelle rechtsgekrümmt ist, also $g''(3) < 0$ gilt.
Insgesamt gilt daher $g'(3)\cdot g''(3) > 0;$ der Wert des Terms ist also positiv.
#krümmung#steigung#ableitung
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