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Analytische Geometrie

Aufgaben
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Pagode

a)
Zeichne in das abgebildete Koordinatensystem für die untere Dachetage die fehlenden Eckpunkte sowie die Strecke in, die die Kanten der Dachflächen darstellen.
(3 BE)
b)
Zeige rechnerisch, dass das Viereck $A_1B_1B_2A_2$ ein Trapez ist, in dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.
Begründe, dass es sich nicht um ein Parallelogramm handelt.
(3 BE)
#trapez#parallelogramm
c)
Gib die Koordinaten der Mittelpunkte $M_1$ und $M_2$ der Seiten $A_1B_1$ bzw. $A_2B_2$ an.
Berechne den gesamten Inhalt der Dachflächen der unteren Etage in Quadratmetern.
(5 BE)
d)
Die Strecke $\overline{A_1A_2}$ ist Teil einer Geraden $g$.
Bestimme die Koordinaten des Schnittpunkts von $g$ mit der $z$-Achse.
(3 BE)
Das Viereck $A_1B_1B_2A_2$ liegt in der Ebene $E:\, 3x+5z = 46,5$ und stellt die untere der drei Dachflächen auf der Südseite der Pagode dar.
e)
Berechne den Neigungswinkel dieser Dachfläche gegenüber der Horizontalen.
(2 BE)
#neigungswinkel
f)
Auch die beiden Dachflächen der mittleren und oberen Etage auf der Südseite der Pagode können im Modell jeweils durch ein Viereck dargestellt werden. Die Ebenen, in denen diese beiden Vierecke liegen, werden durch zwei der folgenden Gleichungen beschrieben.
Ordne die beiden Dachflächen jeweils einer Gleichung zu und begründe deine Zuordnung.
$\begin{array}{lrll} \text{IV}\quad&3x+10z&=& 46,5 \\[15pt] \text{V}\quad& 3x+5z&=& 35 \\[15pt] \text{VI}\quad& 3x+5z&=& 68,5 \\[15pt] \end{array}$
(4 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
goo.gl/bYfEhV – Pagode neben dem Haupteingang, Michail Jungierek, CC BY-SA.
[2]
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a)
$\blacktriangleright$  Untere Dachetage einzeichnen
Analytische Geometrie
Abb. 1: Einzeichnen der Punkte anhand der Koordinaten
Analytische Geometrie
Abb. 1: Einzeichnen der Punkte anhand der Koordinaten
b)
$\blacktriangleright$  Trapezform nachweisen
Damit es sich bei dem Viereck $A_1B_1B_2A_2$ um ein Trapez handelt, müssen zwei gegenüberliegende Seiten parallel sein. Zwei Seiten sind parallel, wenn die zugehörigen Verbindungsvektoren linear abhängig sind, also Vielfache voneinander sind.
Für $\overrightarrow{A_1B_1}$ und $\overrightarrow{A_2B_2}$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{A_1B_1} = \pmatrix{0\\11\\0}&=& \frac{11}{4}\cdot \pmatrix{0\\4\\0} = \frac{11}{4}\cdot\overrightarrow{A_2B_2} \\[5pt] \overrightarrow{A_1B_1} &=& \frac{11}{4}\cdot\overrightarrow{A_2B_2} \end{array}$
$ \overrightarrow{A_1B_1} = \frac{11}{4}\cdot\overrightarrow{A_2B_2} $
$\overrightarrow{A_1B_1}$ ist also ein Vielfaches von $\overrightarrow{A_2B_2}.$ Damit sind diese beiden Vektoren, also auch die zugehörigen Seiten $A_1b_1$ und $A_2B_2,$ parallel. Es handelt sich bei $A_1B_1B_2A_2$ also um ein Trapez.
$\blacktriangleright$  Gleich lange Seiten nachweisen
Die Seitenlängen können über die Beträge der zugehörigen Verbindungsvektoren berechnet werden. Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{A_1A_2} \right|&=& \left|\pmatrix{-3,5\\3,5\\2,1} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-3,5)^2 +3,5^2 +2,1^2} \\[5pt] &=& \sqrt{28,91}\\[10pt] \left|\overrightarrow{B_1B_2} \right|&=& \left|\pmatrix{-3,5\\-3,5\\2,1} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-3,5)^2 +(-3,5)^2 +2,1^2} \\[5pt] &=& \sqrt{28,91}\\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{A_1A_2} \right|&=& \sqrt{28,91}\\[10pt] \left|\overrightarrow{B_1B_2} \right|&=& \sqrt{28,91}\\[10pt] \end{array}$
Die beiden Seiten $A_1A_2$ und $B_1B_2$ sind gleich lang. Es handelt sich bei $A_1B_1B_2A_2$ also um ein Trapez, bei dem die beiden gegenüberliegenden Seiten $A_1A_2$ und $B_1B_2$ gleich lang sind.
$\blacktriangleright$  Begründen, dass es sich nicht um ein Parallelogramm handelt
Bei einem Parallelogramm müssen beide Paare gegenüberliegender Seiten parallel sein. Für die beiden Seiten $A_1B_1$ und $A_2B_2$ wurde dies bereits nachgewiesen. Für die beiden übrigen Seiten muss folgende Gleichung gelten, damit diese parallel sind:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{A_1A_2} &=& t\cdot \overrightarrow{B_1B_2} \\[5pt] \pmatrix{-3,5\\3,5\\2,1} &=& t\cdot \pmatrix{-3,5\\-3,5\\2,1} \end{array}$
Damit die erste Zeile $-3,5 = t\cdot (- 3,5)$ erfüllt ist, müsste $t = 1$ gelten. Die zweite Zeile $3,5 = t\cdot (-3,5)$ ist mit diesem Wert allerdings nicht gültig. Es gibt also keinen Wert von $t,$ für den die Gleichung erfüllt ist. Die Vektoren $\overrightarrow{A_1A_2}$ und $\overrightarrow{B_1B_2}$ sind damit nicht linear abhängig, also nicht parallel. Die entsprechenden Seiten des Trapezes $A_1A_2$ und $B_1B_2$ sind daher ebenfalls nicht parallel.
Damit kann es sich bei $A_1B_1B_2A_2$ nicht um ein Parallelogramm handeln.
#vektorbetrag
c)
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Mittelpunkte angeben
Mit der Formel für den Ortsvektor eines Mittelpunkts zwischen zwei Punkten ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM_1}&=&\frac{1}{2}\cdot \left( \overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{5,5\\-5,5\\6} + \pmatrix{5,5\\5,5\\6}\right) \\[5pt] &=& \pmatrix{5,5\\0\\6} \\[10pt] \overrightarrow{OM_2}&=&\frac{1}{2}\cdot \left( \overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OB_2}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{2\\-2\\8,1} + \pmatrix{2\\2\\8,1}\right) \\[5pt] &=& \pmatrix{2\\0\\8,1} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM_1}&=&\pmatrix{5,5\\0\\6} \\[10pt] \overrightarrow{OM_2}&=&\pmatrix{2\\0\\8,1} \end{array}$
Die Koordinaten der beiden Streckenmittelpunkte lauten $M_1(5,5\mid 0\mid 0)$ und $M_2(2\mid 0\mid 0).$
$\blacktriangleright$  Inhalt der Dachflächen berechnen
Das Dach besteht aus vier trapezförmigen Dachflächen, die gleich groß sind. Es genügt also den Flächeninhalt des Trapezes $A_1B_1B_2A_2$ zu berechnen.
Die Längen der beiden parallelen Seiten lassen sich über die Beträge der zugehörigen Verbindungsvektoren berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{A_1B_1} \right|&=& \left| \pmatrix{0\\11\\0 }\right| \\[5pt] &=&\sqrt{0^2+11^2+0^2} \\[5pt] &=&11 \\[10pt] \left|\overrightarrow{A_2B_2} \right|&=& \left| \pmatrix{0\\4\\0 }\right| \\[5pt] &=&\sqrt{0^2+4^2+0^2} \\[5pt] &=&4 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{A_1B_1} \right|&=& 11 \\[10pt] \left|\overrightarrow{A_2B_2} \right|&=& 4 \\[10pt] \end{array}$
Da die beiden nicht parallelen Seiten gleich lang sind, ist das Trapez achsensymmetrisch zur Strecke $\overline{M_1M_2}.$ Diese steht daher senkrecht auf den beiden parallelen Seiten $A_1B_1$ und $A_2B_2.$ Die Höhe des Trapezes kann also über den Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{M_1M_2}$ berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{M_1M_2}\right| &=& \left|\pmatrix{-3,5\\0\\2,1}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-3,5)^2 +0^2 +2,1^2} \\[5pt] &=& \sqrt{\frac{833}{50}} \end{array}$
$ \left|\overrightarrow{M_1M_2}\right|=\sqrt{\frac{833}{50}}$
Der Flächeninhalt des Trapezes ergibt sich dann mit der entsprechenden Formel:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \frac{1}{2}\cdot \left(a+c\right) \cdot h \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\left|\overrightarrow{A_1B_1} \right|+ \left|\overrightarrow{A_2B_2} \right|\right) \cdot \left|\overrightarrow{M_1M_2} \right|\\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(11+4 \right)\cdot \sqrt{\frac{833}{50}}\\[5pt] &=& \dfrac{21\sqrt{34}}{4} \end{array}$
$ A= \dfrac{21\sqrt{34}}{4}$
Die Dachflächen der unteren Etage haben jeweils einen Flächeninhalt von $\dfrac{21\sqrt{34}}{4}\,\text{m}^2.$ Der Gesamtflächeninhalt des Dachs der unteren Etage ergibt sich daher zu
$4\cdot \dfrac{21\sqrt{34}}{4}\,\text{m}^2 = 21\sqrt{34} \,\text{m}^2 \approx 122,45\,\text{m}^2.$
ca. $ 122,45\,\text{m}^2 $
#vektorbetrag
d)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts bestimmen
Die Gerade $g$ kann beispielsweise wie folgt dargestellt werden:
$\begin{array}[t]{rll} g:\quad \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OA_1}+t\cdot \overrightarrow{A_1A_2} \\[5pt] &=& \pmatrix{5,5\\-5,5\\6}+t\cdot \pmatrix{-3,5\\3,5\\2,1} \\[5pt] \end{array}$
$ g:\quad \overrightarrow{x} = … $
Die $z$-Achse kann durch $z:\, \overrightarrow{x} = z\cdot \pmatrix{0\\0\\1}$ dargestellt werden.
Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{5,5\\-5,5\\6}+t\cdot \pmatrix{-3,5\\3,5\\2,1}&=& z\cdot \pmatrix{0\\0\\1}&\quad \scriptsize \mid\; -t\cdot \pmatrix{-3,5\\3,5\\2,1}\\[5pt] \pmatrix{5,5\\-5,5\\6}&=&z\cdot \pmatrix{0\\0\\1}-t\cdot \pmatrix{-3,5\\3,5\\2,1} \end{array}$
$ \pmatrix{5,5\\-5,5\\6} = … $
Dadurch ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 5,5 &=& 3,5t &\quad \scriptsize \mid\; :3,5\\[5pt] & \frac{11}{7} &=& t\\[10pt] \text{II}\quad& -5,5 &=& -3,5t&\quad \scriptsize \mid\; :(-3,5)\\[5pt] & \frac{11}{7} &=& t\\[10pt] \text{III}\quad& 6&=& z+2,1t\\ \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 5,5 &=& …\\[5pt] & \frac{11}{7} &=& t\\[10pt] \text{II}\quad& -5,5 &=&…\\[5pt] & \frac{11}{7} &=& t\\[10pt] \text{III}\quad& 6&=& …\\ \end{array}$
Einsetzen von $t$ in die dritte Gleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 6&=& z +2,1\cdot \frac{11}{7} \\[5pt] 6&=& z + 3,3 &\quad \scriptsize \mid\; -3,3 \\[5pt] 2,7&=& z \end{array}$
$ 2,7 = z $
Der Schnittpunkt von $g$ mit der $z$-Achse hat also die Koordinaten $S(0\mid 0\mid 2,7).$
e)
$\blacktriangleright$  Neigungswinkel berechnen
Der Neigungswinkel der Dachfläche gegenüber der Horizontalen entspricht dem Neigungswinkel der Ebene $E$ gegenüber der $xy$-Ebene. Ein Normalenvektor von $E$ kann aus der angegebenen Ebenengleichung abgelesen werden:
$\overrightarrow{n}_E = \pmatrix{3\\0\\5}$
Ein Normalenvektor der $xy$-Ebene lautet:
$\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{0\\0\\1}$
Mit der Formel für den Steigungswinkel $\alpha$ zwischen zwei Ebenen folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{\left|\overrightarrow{n}_1 \circ\overrightarrow{n}_E \right|}{\left|\overrightarrow{n}_1 \right| \cdot \left| \overrightarrow{n}_E\right|} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{\left|\pmatrix{0\\0\\1} \circ\pmatrix{3\\0\\5} \right|}{\left| \pmatrix{0\\0\\1}\right| \cdot \left|\pmatrix{3\\0\\5} \right|}\\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{5}{1\cdot \sqrt{3^2+0^2+5^2}}\\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{5}{1\cdot \sqrt{34}} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{5}{\sqrt{34}} &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 30,96^{\circ} \end{array}$
$ \alpha\approx 30,96^{\circ} $
Die untere südliche Dachfläche ist gegenüber der Horizontalen um ca. $30,96^{\circ}$ geneigt.
#normalenvektor
f)
$\blacktriangleright$  Gleichungen zuordnen
Laut Aufgabenstellung sind die Dachflächen der mittleren und oberen Etage parallel zu einer der unteren Etage. Die südliche mittlere und die südliche obere Dachfläche müssen also parallel zur unteren südlichen Dachfläche sein.
Entsprechend müssen auch die zugehörigen Ebenen im Modell parallel zur Ebene $E$ der unteren südlichen Dachfläche sein. Dies ist der Fall, wenn der Normalenvektor ein Vielfaches des Normalenvektors von $E$ ist.
Durch diese Bedingung können bereits Gleichung $\text{I}$ und $\text{IV}$ ausgeschlossen werden.
Der Parameter $d$ auf der rechten Seite der Gleichung entspricht zwar nicht dem Abstand der Ebene zum Koordinatenursprung, ist aber ein Maß dafür. Ist also bei gleichem Normalenvektor der Parameter $d$ einer Ebene kleiner als der einer zweiten Ebene, liegt diese näher am Koordinatenursprung und umgekehrt.
Für $E$ gilt $d= 46,5.$ Da $E$ die Ebene beschreibt, in der die untere Dachfläche liegt und die Horizontale durch die $xy$-Ebene beschrieben wird, muss der Parameter $d$ der beiden anderen Ebenen größer sein, da diese weiter vom Koordinatenursprung entfernt liegen müssen.
Damit bleiben nur noch die beiden Gleichungen $\text{III}$ und $\text{VI}$ übrig.
Die Gleichung $\text{III}$ gehört zur mittleren südlichen Dachfläche und die Gleichung $\text{VI}$ gehört zur oberen südlichen Dachfläche, was sich wiederum durch den Parameter $d$ bestimmen lässt.
#normalenvektor#ebenengleichung#koordinatenform
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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