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Flächeninhalt nachweisen
Es handelt sich um ein Quadrat. Der Flächeninhalt kann daher wie folgt mithilfe des Betrags des entsprechenden Verbindungsvektors berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll}
A&=& \left| \overline{AB}\right|^2 \\[5pt]
&=& \left| \overrightarrow{AB}\right|^2 \\[5pt]
&=& \left| \pmatrix{3\\4\\0}\right|^2 \\[5pt]
&=& \sqrt{3^2+4^2+0^2}^2\\[5pt]
&=& 25 \\[5pt]
\end{array}$
$ A=25 $
$\begin{array}[t]{rll}
A&=& \left| \overline{AB}\right|^2 \\[5pt]
&=& \left| \overrightarrow{AB}\right|^2 \\[5pt]
&=& \left| \pmatrix{3\\4\\0}\right|^2 \\[5pt]
&=& \sqrt{3^2+4^2+0^2}^2\\[5pt]
&=& 25 \\[5pt]
\end{array}$
Der Flächeninhalt des Quadrats $ABCD$ beträgt $25.$
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Koordinaten bestimmen
Das Volumen einer Pyramide kann mit folgender Formel berechnet werden:
$V= \frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h$
Die Grundfläche bildet hier das Quadrat $ABCD.$ Es gilt also nach Teilaufgabe a) $A_G = 25.$
$\begin{array}[t]{rll}
V&=&\frac{1}{3}\cdot A_G\cdot h \\[5pt]
50&=&\frac{1}{3}\cdot 25 \cdot h \\[5pt]
6&=&h
\end{array}$
$S$ muss also so gewählt werden, dass die Höhe $h=6$ ist. Die Höhe $h$ entspricht dem Abstand von $S$ zur Ebene, in der die Grundfläche liegt. Diese besitzt die Gleichung $z=4.$ Alle Punkte mit einer $z$-Koordinate, die um $6$ von $z=4$ abweicht, haben einen Abstand von $6$ zu dieser Ebene.
Eine mögliche $z$-Koordinate eines Punkts $S$ ist also $z = 10.$