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I.1 Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: \, x \mapsto x^3 + 2x^2.$
a)
Bestätige, dass $x_1=-2$ und $x_2 = 0$ die einzigen Nullstellen von $f$ sind.
(2 BE)
b)
Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ mit der $x$-Achse einschließt.
(3 BE)
#nullstelle#zentraleraufgabenpool

I.2 Analytische Geometrie

Gegeben ist das Quadrat $ABCD$ mit $A(3\mid 3\mid 4),$ $B(6\mid 7\mid 4),$ $C(2\mid 10\mid 4)$ und $D(-1\mid 6\mid 4).$ Das Quadrat liegt in der Ebene mit der Gleichung $z=4.$
a)
Weise nach, dass das Quadrat den Flächeninhalt $25$ besitzt.
(2 BE)
b)
Es gibt Punkte $S,$ für die die Pyramide $ABCDS$ das Volumen $50$ hat. Bestimme die $z$ Koordinate eines dieser Punkte.
(3 BE)
#quadrat#pyramide

I.3 Stochastik

Für ein zweistufiges Zufallsexperiment werden eine Münze und zwei Würfel verwendet. Beide Würfel sind auf allen sechs Seiten mit jeweils einer Zahl beschriftet, Würfel $A$ mit $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$ und $6,$ Würfel $B$ mit $1,$ $1,$ $2,$ $2,$ $3$ und $3.$
Zunächst wird die Münze geworfen. Zeigt die Münze „Kopf“, so wird anschließend Würfel $A$ einmal geworfen, zeigt sie „Zahl“, so wird Würfel $B$ einmal geworfen. Die geworfene Zahl wird notiert.
a)
Stelle das Zufallsexperiment in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.
(3 BE)
b)
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die gewürfelte Zahl gerade ist.
(2 BE)
#zentraleraufgabenpool#zufallsexperiment#baumdiagramm

I.4.1 Analysis

a)
Die Abbildung zeigt die Graphen einer Funktion und deren erster Ableitungsfunktion.
Gib an, welcher der Graphen $\text{I}$ und $\text{II}$ die Ableitungsfunktion darstellt, und begründe deine Angabe.
(2 BE)
b)
Für einen Wert von $k$ mit $k\in \mathbb{R}^+$ wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)= k\cdot \sin(x)$ betrachtet. Für $0\leq x\leq \pi $ schließt der Graph von $f$ mit der $x$-Achse ein Flächenstück mit dem Inhalt $\frac{1}{2}$ ein.
Bestimme den Wert von $k.$
(3 BE)
#ableitung

I.4.2 Analytische Geometrie

Gegeben sind der Punkt $P(-3\mid 2\mid 1),$ die Geraden $g:\, \overrightarrow{x}= \overrightarrow{OP}+r\cdot \pmatrix{1\\3\\0}$ mit $r\in \mathbb{R}$ sowie für eine reelle Zahl $a$ der Punkt $Q(0\mid a\mid 0).$ Die Strecke $\overline{PQ}$ steht senkrecht zu $g.$
a)
Bestimme den Wert von $a.$
(2 BE)
b)
Zwei Werte $r_1$ und $r_2$ des Parameters $r$ liefern die Ortsvektoren zweier Punkte $R_1$ und $R_2$ der Geraden $g.$
Gib alle Wertepaare $(r_1;r_2)$ an, für die $R_1$ und $R_2$ den gleichen Abstand vom Punkt $Q$ haben.
Begründe deine Angabe.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool#ortsvektor

I.4.3 Stochastik

In einer Urne $U_1$ befinden sich vier rote und zwei gelbe Kugeln, in einer Urne $U_2$ zwei rote, eine gelbe und eine blaue Kugel.
a)
Eine der beiden Urnen wird zufällig ausgewählt. Anschließend wird daraus zweimal hintereinander jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.
Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmt werden kann, dass beide entnommenen Kugeln rot sind.
(2 BE)
b)
Eine der beiden Urnen wurde zufällig ausgewählt; aus dieser wurde eine Kugel zufällig entnommen. Die entnommene Kugel ist gelb oder blau.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die entnommene Kugel aus der Urne $U_1$ stammt.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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