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Aufgaben
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I.1 Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: \, x \mapsto x^3 + 2x^2.$
a)
Bestätige, dass $x_1=-2$ und $x_2 = 0$ die einzigen Nullstellen von $f$ sind.
(2 BE)
b)
Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ mit der $x$-Achse einschließt.
(3 BE)
#nullstelle#zentraleraufgabenpool

I.2 Analytische Geometrie

Gegeben ist das Quadrat $ABCD$ mit $A(3\mid 3\mid 4),$ $B(6\mid 7\mid 4),$ $C(2\mid 10\mid 4)$ und $D(-1\mid 6\mid 4).$ Das Quadrat liegt in der Ebene mit der Gleichung $z=4.$
a)
Weise nach, dass das Quadrat den Flächeninhalt $25$ besitzt.
(2 BE)
b)
Es gibt Punkte $S,$ für die die Pyramide $ABCDS$ das Volumen $50$ hat. Bestimme die $z$ Koordinate eines dieser Punkte.
(3 BE)
#quadrat#pyramide

I.3 Stochastik

Für ein zweistufiges Zufallsexperiment werden eine Münze und zwei Würfel verwendet. Beide Würfel sind auf allen sechs Seiten mit jeweils einer Zahl beschriftet, Würfel $A$ mit $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$ und $6,$ Würfel $B$ mit $1,$ $1,$ $2,$ $2,$ $3$ und $3.$
Zunächst wird die Münze geworfen. Zeigt die Münze „Kopf“, so wird anschließend Würfel $A$ einmal geworfen, zeigt sie „Zahl“, so wird Würfel $B$ einmal geworfen. Die geworfene Zahl wird notiert.
a)
Stelle das Zufallsexperiment in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.
(3 BE)
b)
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die gewürfelte Zahl gerade ist.
(2 BE)
#zentraleraufgabenpool#zufallsexperiment#baumdiagramm

I.4.1 Analysis

a)
Die Abbildung zeigt die Graphen einer Funktion und deren erster Ableitungsfunktion.
Gib an, welcher der Graphen $\text{I}$ und $\text{II}$ die Ableitungsfunktion darstellt, und begründe deine Angabe.
(2 BE)
b)
Für einen Wert von $k$ mit $k\in \mathbb{R}^+$ wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)= k\cdot \sin(x)$ betrachtet. Für $0\leq x\leq \pi $ schließt der Graph von $f$ mit der $x$-Achse ein Flächenstück mit dem Inhalt $\frac{1}{2}$ ein.
Bestimme den Wert von $k.$
(3 BE)
#ableitung

I.4.2 Analytische Geometrie

Gegeben sind der Punkt $P(-3\mid 2\mid 1),$ die Geraden $g:\, \overrightarrow{x}= \overrightarrow{OP}+r\cdot \pmatrix{1\\3\\0}$ mit $r\in \mathbb{R}$ sowie für eine reelle Zahl $a$ der Punkt $Q(0\mid a\mid 0).$ Die Strecke $\overline{PQ}$ steht senkrecht zu $g.$
a)
Bestimme den Wert von $a.$
(2 BE)
b)
Zwei Werte $r_1$ und $r_2$ des Parameters $r$ liefern die Ortsvektoren zweier Punkte $R_1$ und $R_2$ der Geraden $g.$
Gib alle Wertepaare $(r_1;r_2)$ an, für die $R_1$ und $R_2$ den gleichen Abstand vom Punkt $Q$ haben.
Begründe deine Angabe.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool#ortsvektor

I.4.3 Stochastik

In einer Urne $U_1$ befinden sich vier rote und zwei gelbe Kugeln, in einer Urne $U_2$ zwei rote, eine gelbe und eine blaue Kugel.
a)
Eine der beiden Urnen wird zufällig ausgewählt. Anschließend wird daraus zweimal hintereinander jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.
Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmt werden kann, dass beide entnommenen Kugeln rot sind.
(2 BE)
b)
Eine der beiden Urnen wurde zufällig ausgewählt; aus dieser wurde eine Kugel zufällig entnommen. Die entnommene Kugel ist gelb oder blau.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die entnommene Kugel aus der Urne $U_1$ stammt.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool
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I.1 Analysis

a)
$\blacktriangleright$  Nullstellen bestätigen
Für alle Nullstellen $x$ muss gelten $f(x)=0:$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&0 \\[5pt] x^3+2x^2&=& 0 \\[5pt] x^2(x+2)&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; \text{Satz vom Nullprodukt: } x_2 = 0 \\[5pt] x_1+2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] x_1&=& -2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -2 \\[5pt] x_2&=& 0 \end{array}$
Mit dem Satz vom Nullprodukt ergeben sich für $f$ die einzigen Nullstellen zu $x_1=-2$ und $x_2=0.$
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\left|\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}f(x)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left|\displaystyle\int_{-2}^{0}\left(x^3+2x^2\right)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left|\left[\frac{1}{4}\cdot x^4+2\cdot \frac{1}{3}\cdot x^3\right]_{-2}^0 \right|\\[5pt] &=& \left|\left[\frac{1}{4}\cdot x^4+ \frac{2}{3}\cdot x^3\right]_{-2}^0 \right|\\[5pt] &=& \left|\left(\frac{1}{4}\cdot 0^4+ \frac{2}{3}\cdot 0^3\right) -\left( \frac{1}{4}\cdot (-2)^4+ \frac{2}{3}\cdot (-2)^3\right)\right|\\[5pt] &=& 0-4+\frac{16}{3}\\[5pt] &=& \frac{4}{3} \end{array}$
$ A=\frac{4}{3} $
Der Graph von $f$ schließt mit der $x$-Achse eine Fläche der Größe $\frac{4}{3}$ ein.
#integral

I.2 Analytische Geometrie

a)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt nachweisen
Es handelt sich um ein Quadrat. Der Flächeninhalt kann daher wie folgt mithilfe des Betrags des entsprechenden Verbindungsvektors berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \left| \overline{AB}\right|^2 \\[5pt] &=& \left| \overrightarrow{AB}\right|^2 \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{3\\4\\0}\right|^2 \\[5pt] &=& \sqrt{3^2+4^2+0^2}^2\\[5pt] &=& 25 \\[5pt] \end{array}$
$ A=25 $
Der Flächeninhalt des Quadrats $ABCD$ beträgt $25.$
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Das Volumen einer Pyramide kann mit folgender Formel berechnet werden:
$V= \frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h$
Die Grundfläche bildet hier das Quadrat $ABCD.$ Es gilt also nach Teilaufgabe a) $A_G = 25.$
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\frac{1}{3}\cdot A_G\cdot h \\[5pt] 50&=&\frac{1}{3}\cdot 25 \cdot h \\[5pt] 6&=&h \end{array}$
$S$ muss also so gewählt werden, dass die Höhe $h=6$ ist. Die Höhe $h$ entspricht dem Abstand von $S$ zur Ebene, in der die Grundfläche liegt. Diese besitzt die Gleichung $z=4.$ Alle Punkte mit einer $z$-Koordinate, die um $6$ von $z=4$ abweicht, haben einen Abstand von $6$ zu dieser Ebene.
Eine mögliche $z$-Koordinate eines Punkts $S$ ist also $z = 10.$
#vektorbetrag

I.3 Stochastik

a)
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm zeichnen
Abb. 1: Baumdiagramm
Abb. 1: Baumdiagramm
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Mit den Pfadregeln und dem Baumdiagramm ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{gerade})&=& P(\text{Kopf})\cdot P_{\text{Kopf}}(2)+P(\text{Kopf})\cdot P_{\text{Kopf}}(4)\\[5pt] &&+\, P(\text{Kopf})\cdot P_{\text{Kopf}}(6) +P(\text{Zahl})\cdot P_{\text{Zahl}}(2) \\[5pt] &=& 3\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3} \\[5pt] &=& \frac{5}{12} \\[5pt] \end{array}$
$P(\text{gerade}) = \frac{5}{12}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{5}{12}$ ist die gewürfelte Zahl gerade.
#pfadregeln

I.4.1 Analysis

a)
$\blacktriangleright$  Graphen zuordnen
Die erste Ableitungsfunktion einer Funktion $f$ beschreibt die Steigung des Graphen von $f$. Der Abbildung kann man entnehmen, dass Graph $\text{I}$ an der Stelle $\pi$ einen Hochpunkt besitzt. Wegen des notwendigen Kriteriums für Extrempunkte muss die Steigung von Graph $\text{I}$ in diesem Punkt null sein. Der Graph der ersten Ableitungsfunktion muss also an der Stelle $\pi$ die $x$-Achse schneiden. Dies trifft auf Graph $\text{II}$ zu.
Dies lässt sich auf alle sichtbaren Extrempunkte von Graph $\text{I}$ übertragen.
Umgekehrt gilt dies aber nicht für die Extrempunkte von $\text{II}.$ Der Graph $\text{II}$ beschreibt also die Ableitungsfunktion.
b)
$\blacktriangleright$  Wert bestimmen
Da $0$ und $\pi$ zwei aufeinanderfolgende Nullstellen von $f$ sind und der Graph von $f$ in diesem Bereich wegen $k\in\mathbb{R}^+$ vollständig oberhalb der $x$-Achse liegt, kann der Flächeninhalt mithilfe eines Integrals berechnet werden.
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{2}&=& \displaystyle\int_{0}^{\pi}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] \frac{1}{2}&=& \displaystyle\int_{0}^{\pi}k\cdot \sin(x)\;\mathrm dx \\[5pt] \frac{1}{2}&=& k\cdot \left[-\cos(x) \right]_0^{\pi} \\[5pt] \frac{1}{2}&=& -k\cdot\left( \cos(\pi)-\cos(0)\right) \\[5pt] \frac{1}{2}&=& -k\cdot \left( -1-1\right)\\[5pt] \frac{1}{2}&=& 2k&\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] \frac{1}{4}&=& k \end{array}$
$ \frac{1}{4} = k $
Für $k=\frac{1}{4}$ beträgt der Inhalt der von dem Graphen von $f$ mit der $x$-Achse für $0\leq x \leq \pi$ eingeschlossenen Fläche $\frac{1}{2}.$
#integral

I.4.2 Analytische Geometrie

a)
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Da die Strecke $\overline{PQ}$ senkrecht zu $g$ stehen soll, muss das Skalarprodukt des Richtungsvektors von $g$ mit dem Verbindungsvektor $\overrightarrow{PQ}$ Null ergeben:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{PQ}\circ \pmatrix{1\\3\\0}&=& 0 \\[5pt] \pmatrix{3\\a-2\\-1}\circ\pmatrix{1\\3\\0}&=&0 \\[5pt] 3\cdot 1+(a-2)\cdot 3+(-1)\cdot 0&=&0 \\[5pt] 3+3a-6&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;+3 \\[5pt] 3a&=&3 &\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] a&=& 1 \end{array}$
$a =1 $
Für $a=1$ steht die Strecke $\overline{PQ}$ senkrecht zu $g.$
b)
$\blacktriangleright$  Wertepaare angeben
Die Strecke $\overline{PQ}$ steht senkrecht auf der Geraden $g$. $P$ ist der Stützpunkt der Geraden $g$ und liegt damit selbst auf $g.$
Die Strecke $\overline{PQ}$ entspricht dem Lot, das vom Punkt $Q$ aus auf die Gerade $g$ gefällt wird und ist daher die kürzeste Verbindung zwischen $Q$ und $g$.
Die Punkte $R_1$ und $R_2$ sollen beide auf $g$ liegen. Sie haben daher den gleichen Abstand von $Q$, wenn sie auch den gleichen Abstand von $P$ haben. Das ist dann der Fall, wenn sie symmetrisch zum Punkt $P$ auf der Geraden liegen. Da $P$ der Stützpunkt der Geraden ist, ist das der Fall, wenn $r_1$ und $r_2$ den gleichen Betrag haben, aber unterschiedliche Vorzeichen, also $r_2=-r_1$ ist.
Für alle Wertepaare $(r_1; -r_1)$ liegen $R_1$ und $R_2$ gleich weit von $Q$ entfernt.
#skalarprodukt

I.4.3 Stochastik

a)
$\blacktriangleright$  Term angeben
Da es sich um ein Ziehen mit Zurücklegen handelt, ist die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel in jedem Zug gleich. Geht man davon aus, dass beide Urnen mit gleicher Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ ausgewählt werden, folgt mit der Pfadadditionsregel und der Pfadmultiplikationsregel:
$\begin{array}[t]{rll} P(r-r)&=& P(U_1)\cdot P_{U_1}(r-r)+ P(U_2)\cdot P_{U_2}(r-r) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{4}{6} +\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{4}\cdot \frac{2}{4} \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3} +\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2\\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) \end{array}$
$P(r-r) = $ $\frac{1}{2}\cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Kugeln rot sind, kann mit folgendem Term berechnet werden: $\frac{1}{2}\cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2\right).$
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Mit dem Satz von Bayes ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit, dass die Urne $U_1$ gewählt wurde, wenn die Kugel gelb oder blau ist, wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P_{g,b}(U_1)&=& \dfrac{P_{U_1}(g,b)\cdot P(U_1)}{P(g,b)} \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{2}{6}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{2}{6}\cdot \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{4}}\\[5pt] &=& \dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}+ \frac{1}{4}} \\[5pt] &=&\dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{5}{12}} \\[5pt] &=& \frac{1}{6}\cdot\frac{12}{5}\\[5pt] &=& \frac{2}{5}\\[5pt] &=& 0,4\\[5pt] \end{array}$
$ P_{g,b}(U_1) = 0,4 $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $40\,\%$ stammt eine gezogene Kugel die blau oder gelb, also nicht rot, ist aus Urne $U_1.$
#satzvonbayes#pfadregeln
Bildnachweise [nach oben]
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