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Stochastik

Aufgaben
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Smartphones

Ein Hersteller bringt ein neues Smartphone auf den Markt.
Hinweis: Zur Bearbeitung der folgenden Aufgabe kann nach Bedarf die Tabelle 1 in der Anlage genutzt werden.
1.
Ein Händler erhält eine Lieferung dieser Smartphones.
$\,$
a)
Die gelieferten Geräte haben sechs verschiedene Farben. Für die Auslage einiger Geräte im Schaufenster sollen vier Farben ausgewählt werden.
Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten für diese Auswahl.
(2 BE)
$\,$
b)
Die Lieferung umfasst $50$ Geräte; davon sind drei fehlerhaft. Aus der Lieferung werden zehn Geräte zufällig ausgewählt.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
„Von den zehn ausgewählten Geräten ist keines fehlerhaft.“
„Von den zehn ausgewählten Geräten ist mindestens eines fehlerhaft.“
(3 BE)
#ereignis
2.
Die Geräte werden in vier Werken in jeweils großer Stückzahl hergestellt. Der Tabelle können für jedes Werk folgende Daten entnommen werden:
  • der Anteil der in diesem Werk hergestellten Geräte an der Gesamtzahl aller hergestellten Geräte;
  • der Anteil der fehlerhaften Geräte unter den in diesem Werk hergestellten Geräten.
WerkABCD
Anteil an der Gesamtzahl $10\,\%$$30\,\%$$20\,\%$$40\,\%$
Anteil der fehlerhaften Geräte$5\,\%$$3\,\%$$4\,\%$$2\,\%$
#zentraleraufgabenpool
$\,$
a)
Weise nach, dass der Anteil der fehlerhaften Geräte unter allen hergestellten Geräten $3\,\%$ beträgt.
(2 BE)
$\,$
b)
Ein unter allen hergestellten Geräten zufällig ausgewähltes Gerät ist fehlerhaft.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es im Werk $A$ hergestellt wurde.
(3 BE)
$\,$
c)
Von im Werk A hergestellten Geräten werden $250$ zufällig ausgewählt.
Ermittle die Anzahl fehlerhafter Geräte, die darunter mit der größten Wahrscheinlichkeit auftritt.
(2 BE)
$\,$
d)
Gib einen Wert von $s$ an, für den mit dem Term $200\cdot 0,98^s\cdot 0,02+0,98^{200}$ im Sachzusammenhang die Wahrscheinlihckeit eines Ereignisses berechnet werden kann.
Beschreibe das zugehörige Ereignis.
(4 BE)
#ereignis
$\,$
e)
Ermittle, wie viele im Werk C hergestellten Geräte mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit sich darunter mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens ein fehlerhaftes Gerät befindet.
(4 BE)
Material 1
Summierte Binomialverteilung $P(X\leq k)$ für $n=250$ und $1\leq k \leq 40;$ $209\leq k\leq 248$
ABCDEFGHI
1
2
kp
3
0,050,10,20,30,40,5
4
10,0000248
5
20,0003247
6
30,0013246
7
40,0046245
8
50,0131244
9
60,0314243
10
70,0650242
11
80,11860,0000241
12
90,19460,0001240
13
100,29090,0004239
14
110,40160,0009238
15
120,51750,0021237
16
130,62930,0046236
17
140,72880,0093235
18
150,81130,0175234
19
160,87500,0309233
20
170,92120,0513232
21
180,95260,0808231
22
190,97290,1207230
23
200,98510,1719229
24
210,99220,2342228
25
220,99610,3063227
26
230,99810,3857226
27
240,99910,4692225
28
250,99960,5530224
29
260,99980,63360,0000223
30
270,99990,70790,0001222
31
281,00000,77360,0002221
32
290,82960,0003220
33
300,87530,0006219
34
310,91140,0011218
35
320,93890,0019217
36
330,95900,0033216
37
340,97330,0055215
38
350,98310,0088214
39
360,98960,0139213
40
370,99380,0212212
41
380,99640,0314211
42
390,99790,0453210
43
400,99890,0637209
44
0,950,90,80,70,60,5k
45
p
Material 2
Summierte Binomialverteilung $P(X\leq k)$ für $n=250$ und $41\leq k \leq 85;$ $164\leq k\leq 208$
ABCDEFGHI
1
2
kp
3
0,050,10,20,30,40,5
4
410,99940,0872208
5
420,99970,1164207
6
430,99980,1517206
7
440,99990,1933205
8
451,00000,2408204
9
460,2938203
10
470,35130,0000202
11
480,41210,0001201
12
490,47480,0001200
13
500,53780,0002199
14
510,59950,0004198
15
520,65850,0007197
16
530,71370,0011196
17
540,76400,0018195
18
550,80880,0029194
19
560,84790,0045193
20
570,88110,0068192
21
580,90870,0101191
22
590,93110,0147190
23
600,94900,0210189
24
610,96300,0295188
25
620,97360,0404187
26
630,98150,0545186
27
640,98730,0721185
28
650,99140,0937184
29
660,99430,1196183
30
670,99630,1501182
31
680,99760,1853181
32
690,99850,22510,0000180
33
700,99910,26920,0001179
34
710,99940,31710,0001178
35
720,99970,36810,0001177
36
730,99980,42150,0002176
37
740,99990,47620,0004175
38
750,99990,53110,0007174
39
761,00000,58540,0010173
40
770,63800,0016172
41
780,68790,0025171
42
790,73450,0037170
43
800,77720,0054169
44
810,81560,0079168
45
820,84960,0113167
46
830,87900,0158166
47
840,90410,0219165
48
850,92510,0297164
49
0,950,90,80,70,60,5k
50
p
Material 3
Summierte Binomialverteilung $P(X\leq k)$ für $n=250$ und $86\leq k \leq 130;$ $119\leq k\leq 163$
ABCDEFGHI
1
2
kp
3
0,050,10,20,30,40,5
4
860,94230,0398163
5
870,95630,0524162
6
880,96730,0680161
7
890,97600,0870160
8
900,98260,1096159
9
910,98760,1360158
10
920,99130,1665157
11
930,99400,20110,0000156
12
940,99590,23950,0001155
13
950,99720,28160,0001154
14
960,99820,32700,0001153
15
970,99880,37490,0002152
16
980,99920,42490,0004151
17
990,99950,47600,0006150
18
1000,99970,52740,0009149
19
1010,99980,57840,0014148
20
1020,99990,62800,0022147
21
1030,99990,67550,0032146
22
1041,00000,72030,0047145
23
1050,76180,0067144
24
1060,79960,0095143
25
1070,83360,0133142
26
1080,86360,0183141
27
1090,88960,0249140
28
1100,91190,0332139
29
1110,93060,0438138
30
1120,94610,0568137
31
1130,95870,0728136
32
1140,96880,0920135
33
1150,97670,1147134
34
1160,98290,1411133
35
1170,98760,1714132
36
1180,99120,2055131
37
1190,99380,2433130
38
1200,99570,2847129
39
1210,99710,3290128
40
1220,99800,3760127
41
1230,99870,4248126
42
1240,99910,4748125
43
1250,99940,5252124
44
1260,99960,5752123
45
1270,99980,6240122
46
1280,99990,6710121
47
1290,99990,7153120
48
1301,00000,7567119
49
0,950,90,80,70,60,5k
50
p
Material 4
Summierte Binomialverteilung $P(X\leq k)$ für $n=250$ und $131\leq k \leq 156;$ $93\leq k\leq 118$
ABCDEFGHI
1
2
kp
3
0,050,10,20,30,40,5
4
1310,7945118
5
1320,8286117
6
1330,8589116
7
1340,8853115
8
1350,9080114
9
1360,9272113
10
1370,9432112
11
1380,9562111
12
1390,9668110
13
1400,9751109
14
1410,9817108
15
1420,9867107
16
1430,9905106
17
1440,9933105
18
1450,9953104
19
1460,9968103
20
1470,9978102
21
1480,9986101
22
1490,9991100
23
1500,999499
24
1510,999698
25
1520,999897
26
1530,999996
27
1540,999995
28
1550,999994
29
1561,000093
30
0,950,90,80,70,60,5k
31
p
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1.
a)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Möglichkeiten bestimmen
Bei der Auswahl der Farben handelt sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Es ist die Anzahl der möglichen Kombinationen gesucht. Mit dem Binomialkoeffizienten ergibt sich:
$\binom{6}{4} = 15$
Es gibt insgesamt $15$ verschiedene Möglichkeiten vier Farben aus den sechs auszuwählen.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Es handelt sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen. Mit der Pfadmultiplikationsregel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& \frac{47}{50}\cdot \frac{46}{49}\cdot \frac{45}{48}\cdot \frac{44}{47}\cdot \frac{43}{46}\cdot \frac{42}{45}\cdot \frac{41}{44}\cdot \frac{40}{43}\cdot \frac{39}{42}\cdot \frac{38}{41} \\[5pt] &\approx& 0,5041 \\[5pt] &=& 50,41\,\% \end{array}$
$ P(A)= 50,41\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $50,41\,\%$ befindet sich unter den zehn ausgewählten Geräten kein fehlerhaftes.
Ereignis $B$ ist das Gegenereignis zu $A,$ es tritt also genau dann ein, wenn $A$ nicht eintritt:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=&1-P(A) \\[5pt] &\approx& 1- 0,5041\\[5pt] &=& 0,4959 \\[5pt] &=& 49,59\,\% \\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $49,59\,\%$ befindet sich unter den zehn ausgewählten Geräten mindestens ein fehlerhaftes.
#pfadregeln
2.
a)
$\blacktriangleright$  Anteil der fehlerhaften Geräte nachweisen
Wird das Ereignis eines fehlerhaften Geräts mit $F$ bezeichnet, ergibt sich mit den Pfadregeln folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} P(F)&=& 0,1\cdot 0,05 + 0,3\cdot 0,03+0,2\cdot 0,04+ 0,4\cdot 0,02 \\[5pt] &=& 0,03\\[5pt] &=& 3\,\% \end{array}$
$ P(F)=3\,\% $
Unter allen hergestellten Geräten befinden sich $3\,\%$ fehlerhafte Geräte.
#pfadregeln
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_F(A).$ Mit dem Satz von Bayes ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P_F(A)&=& \dfrac{P_A(F)\cdot P(A)}{P(F)}\\[5pt] &=& \dfrac{0,05\cdot 0,1}{0,03}\\[5pt] &\approx& 0,1667\\[5pt] &=& 16,67\,\% \end{array}$
$ P_F(A) \approx 16,67\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $16,67\,\%$ stammt ein von allen hergestellten Geräten zufällig ausgewähltes Gerät aus Werk A.
#satzvonbayes
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Anzahl mit größter Wahrscheinlichkeit ermitteln
Betrachtet wird die Zufallsgrößte $X,$ die die Anzahl der fehlerhaften Geräte unter den $250$ zufällig ausgewählten Geräten aus Werk A beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit den Parametern $n=250$ und $p=0,05$ angenommen werden, da die Geräte laut Aufgabenstellung in großer Stückzahl produkziert werden und man daher davon ausgehen kann, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler bei jedem Gerät, unabhängig von den anderen, gleich ist.
Die größte Wahrscheinlichkeit hat bei einer binomialverteilten Zufallsgröße der Erwartungswert, der wie folgt berechnet werden kann:
$\begin{array}[t]{rll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] &=& 250\cdot 0,05\\[5pt] &=& 12,5\\[5pt] \end{array}$
Da nur ganzzahlige Werte im Sachzusammenhang Sinn ergeben, muss der gesuchte Wert entweder $12$ oder $13$ sein. Für die Wahrscheinlichkeiten gilt mit der Formel für die Binomialverteilung:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=12)&=&\binom{250}{12}\cdot 0,05^{12}\cdot 0,95^{238} \\[5pt] &\approx& 0,1160\\[5pt] &=& 11,60\,\% \\[10pt] P(X=13)&=&\binom{250}{13}\cdot 0,05^{13}\cdot 0,95^{237} \\[5pt] &\approx& 0,1117\\[5pt] &=& 11,17\,\% \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X=12)&\approx& 11,60\,\% \\[10pt] P(X=13)&\approx& 11,17\,\% \\[10pt] \end{array}$
Die Anzahl fehlerhafter Geräte, die mit der größten Wahrscheinlichkeit auftritt beträgt $12.$
#binomialverteilung
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Wert angeben
Vergleicht man den angegebenen Term mit der Formel für die Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n$ und $p$ $P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k},$ kann man den Term wie folgt umformen:
$\begin{array}[t]{rll} 200\cdot 0,98^s\cdot 0,02 + 0,98^{200}&=& 200\cdot 0,98^{s}\cdot 0,02^{1}+0,98^{200} \\[5pt] &=& \binom{200}{1}\cdot 0,98^{200-1}\cdot 0,02^{1}+0,98^{200} \\[5pt] &=& P(X_{200;0,02}=1)+ P(X_{200;0,02} = 0) \\[5pt] &=& P(X_{200;0,02}\leq 1) \\[5pt] \end{array}$
$ … =P(X_{200;0,02}\leq 1) $
$0,02= 20\,\%$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Gerät aus Werk D fehlerhaft ist. Für $s=199$ gibt der Term also die Wahrscheinlichkeit an, dass unter $200$ zufällig ausgewählten Geräten aus Werk D höchstens eines fehlerhaft ist.
#binomialverteilung
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Mindestanzahl berechnen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $Y_n,$ die die Anzahl der fehlerhaften Geräte in einer Stichprobe von $n$ in Werk C hergestellten Geräten beschreibt. Diese ist dann aus den gleichen Gründen wie $X$ binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p = 0,04.$ Gesucht ist dann das kleinste $n$ für das gilt:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y_n \geq 1)&\geq& 0,95 \\[5pt] 1-P(Y_n = 0)&\geq& 0,95 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] -P(Y_n = 0)&\geq& -0,05 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] P(Y_n = 0)&\leq& 0,05 \\[5pt] \binom{n}{0}\cdot 0,04^0\cdot 0,96^n&\leq& 0,05 \\[5pt] 0,96^n&\leq& 0,05 &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] \ln\left(0,96^n\right)&\leq& \ln(0,05)\\[5pt] n\cdot \ln(0,96)&\leq& \ln(0,05) &\quad \scriptsize \mid\;:\ln(0,96) < 0 \\[5pt] n&\geq& \dfrac{\ln(0,05)}{\ln(0,96)} \\[5pt] n&\geq& 74 \end{array}$
$ n \geq 74$
Es müssen mindestens $74$ Geräte aus Werk C zufällig ausgewählt werden, damit darunter mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens ein fehlerhaftes Gerät ist.
#binomialverteilung
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