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Analysis 1

Aufgaben
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Trainingsforschung
In einem sportmedizinischen Forschungsprojekt werden Wirkungsweisen verschiedenen Trainingsverhaltens untersucht. Einer der Probanden, Ralf Renner, trainiert auf einer Marathonstrecke von $42,195\,\text{km}$. Mithilfe eines GPS-Empfängers werden während der Trainingsläufe Zeitpunkte und zugehörige Geschwindigkeiten ermittelt.
Wie es bei einem Marathonlauf üblich ist, läuft auch Ralf Renner bereits vor der Startlinie los, obwohl die Weg- und Zeitmessung erst an der Startlinie beginnt. Dieser Vorlauf ist in den folgenden Darstellungen nicht erfasst.
Im Herbst 2014 wird ein Trainingslauf über $162\,\text{min}$, also $2,7\,\text{h}$ aufgezeichnet. Die Abhängigkeit der Laufgeschwindigkeit $v$ (in $\text{km/h}$) von der Laufzeit $t$ (in Stunden) lässt sich modellhaft beschreiben durch eine Funktion $v$ mit:
$v(t)=\dfrac{2}{25}t^4-\dfrac{1}{3}t^2+15,6$    mit    $t\in[0;2,7]$
Der zugehörige Funktionsgraph ist in Abbildung 1 in der Anlage dargestellt und gestrichelt fortgesetzt.
a)
  • Gib die Anfangsgeschwindigkeit an, mit der Ralf Renner über die Startlinie läuft.
  • Beschreibe mithilfe des Graphen (siehe Abbildung 1 in der Anlage) die Funktion $v$ im Intervall $[0,6;2,2]$ im Sachkontext.
  • Begründe, dass die Funktion $v$ nur auf einem Teil ihres mathematisch möglichen Definitionsbereichs einem realen Lauf gerecht werden kann. D. h. die oben vorgenommene Einschränkung $t\in[0;2,7]$ ist sinnvoll.
(8P)
b)
  • Bestimme den Zeitpunkt, an dem Ralf Renners Geschwindigkeit am stärksten abnimmt.
  • Gib die Bedeutung der ersten Ableitung von $v$ im Sachkontext der Aufgabe an.
(8P)
Die Abhängigkeit der zurückgelegten Strecke von der Zeit wird durch eine Stammfunktion von $v$ beschrieben.
c)
  • Gib alle Stammfunktionen von $v$ an.
  • Gib diejenige Stammfunktion von $v$ an, die die zum Zeitpunkt $t$ zurückgelegte Strecke angibt. Begründe deine Auswahl.
  • Bestätige, dass Ralf Renner innerhalb der aufgezeichneten $2,7\,\text{h}$ das Ziel erreicht.
    (Solltest du keine Stammfunktion ermittelt haben, nutze das Ersatzergebnis $V(t)=\frac{1}{60}t^5-\frac{1}{12}t^3+15,4t$.)
(8P)
Mit dem typischen Laufverhalten von Ralf Renner kann man das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm durch Funktionsgleichungen folgender Form darstellen:
$v_a(t)=\dfrac{2}{25}t^4-\dfrac{1}{3}t^2+a$    mit    $t\in\mathbb{R}_{\geq0}$,    $a\in\mathbb{R}$
Dabei steht $t$ für die Zeit in Stunden und $v_a(t)$ für die Geschwindigkeit zur Zeit $t$ in $\text{km/h}$.
d)
  • Bestimme $a$ so, dass Ralf Renner das Marathonziel in zweieinhalb Stunden erreichen würde.
  • Interpretiere den Einfluss des Parameters $a$ im Sachkontext.
  • Begründe im Sachkontext, dass $v_a$ nicht für alle anzunehmenden Werte von $a$ eine realistische Geschwindigkeitscharakteristik modelliert.
(8P)
Nach dem ersten Lauf trainiert Ralf Renner mit zwei Zielsetzungen:
  1. Die Marathonstrecke von $42,195\,\text{km}$ soll innerhalb einer Laufzeit von $2,5\,\text{h}$ geschafft werden.
  2. Innerhalb der Marathonstrecke soll seine Laufgeschwindigkeit nicht ab-, sondern eher zunehmen.
Im April 2015 gelingt Ralf Renner ein Lauf, bei dem sich die Laufgeschwindigkeit mit folgender Funktion $v_{neu}$ modellieren lässt (siehe Abbildung 1 in der Anlage):
$v_{neu}(t)=\dfrac{1}{4}t\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)+16,3$    mit    $t\in\mathbb{R}$
Dabei steht $t$ für die Zeit in Stunden und $v_{neu}$(t) für die Geschwindigkeit zur Zeit $t$ in $\text{km/h}$.
e)
Weise nach, dass $V_{neu}(t)=$$\dfrac{4}{\pi^2}\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)$$-\dfrac{1}{\pi}t\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)+16,3t$ eine Stammfunktion von $v_{neu}$ ist.
(5P)
f)
  • Zeige, dass Ralf Renner innerhalb von $2,5\,\text{h}$ Laufzeit zwar eine größere Strecke als beim ersten Lauf, aber noch nicht die gewünschte Marathonstrecke geschafft hat.
  • Zeige, dass Ralf Renner zum Zeitpunkt $t=2,55\,\text{h}$ die Marathonstrecke geschafft hat, seine Geschwindigkeit aber immer noch größer ist als seine Anfangsgeschwindigkeit.
(5P)
Im Zuge des Forschungsprojektes wird angedacht, Ralf Renners Leistung durch Einnahme von Nahrungsergänzungsmitteln zu steigern. So führt beispielsweise die Einnahme einer bestimmten Menge Koffeins zu einer Leistungssteigerung. Die Leistung des Läufers lässt sich mit der Funktion $p$ beschreiben:
$p(t)=-0,5t^3+2t^2$    mit    $t\in[0;4]$
Dabei beschreibt $t$ die Zeit in Stunden nach der Einnahme des Koffeins und $p(t)$ den Zahlenwert der Leistung. Die Wirkung während eines Zeitraums ist das Integral über der Leistung innerhalb dieses Zeitraums.
g)
Bestimme den Zeitpunkt $t_k$, zu dem Renner das koffeinhaltige Getränk einnehmen müsste, damit er während des gesamten zweieinhalbstündigen Laufs von der Wirkung maximal profitieren kann.
(8P)

(50P)
Anlage zur Aufgabe „Trainingsforschung“
Analysis 1
Abbildung 1: Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm
Analysis 1 Abbildung 1: Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Anfangsgeschwindigkeit $\boldsymbol{v(0)}$ bestimmen
Du sollst die Anfangsgeschwindigkeit $v(0)$ bestimmen, mit der Ralf Renner über die Startlinie läuft. Da er schon vor der Startlinie losläuft, hat er an der Startlinie ($t=0$) bereits eine Laufgeschwindigkeit. Setze dafür $t=0$ in den Funktionsterm ein.
$\blacktriangleright$  Graphen im Intervall $\boldsymbol{[0,6; 2,2]}$ beschreiben
Der Graph von $v$ soll im Intervall $[0,6; 2,2]$ im Bezug auf den Sachtext beschrieben werden. Dazu kannst du dir $\text{Abb.} 1$ anschauen. Betrachte markante Punkte des Graphen wie Hoch-, Tiefpunkte und Wendestellen und überlege dir, welche Bedeutung diese für die Geschwindigkeit des Läufers haben.
$\blacktriangleright$  Einschränkung von $\boldsymbol{v}$ auf $\boldsymbol{[0; 2,7]} $ beurteilen
Die Funktion $v$ kann den Lauf nur in einem eingeschränkten Bereich real modellieren. Du sollst begründen, dass die Einschränkung im Intervall $[0; 2,7]$ sinnvoll ist.
Wenn du die Einschränkung begründen sollst, betrachtest du in ($\text{Abb.}1$) den Graphen vor und nach dem Zeitpunkt $t=2,7$. Überlege dir warum diese Änderung des Graphen nicht der Realität entspricht. Überlege dir außerdem, warum der Graph erst ab der Stelle $t=0$ definiert ist.
b)
$\blacktriangleright$  Den Zeitpunkt der stärksten Abnahme der Geschwindigkeit bestimmen
Du hast die Funktion $v$ gegeben, die Änderung der Geschwindigkeit wird durch $v'$ beschrieben. Da die Änderung der Geschwindigkeit maximal sein soll, sollst du den Graph von $v'$ auf Extrempunkte untersuchen. In der Aufgabe ist nach der stärksten Abnahme, also der Minimalstelle gefragt. Für eine Extremstelle $t_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, v''(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $v'''(t_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $v'''(t_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die Ableitungsfunktionen $v'$, $v''$ und $v'''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $v''(t)=0$ setzt und nach $t$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $v'''(t)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
c)
$\blacktriangleright$  Alle Stammfunktionen von $\boldsymbol{v}$ bestimmen
Du sollst alle Stammfunktionen von $v$ nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bestimmen. Dafür integrierst du $v(t)$. Durch Angabe einer Konstanten $C$, sind alle möglichen Lösungen abgedeckt.
$\blacktriangleright$  Konstante $\boldsymbol{C}$ der Stammfunktion bestimmen
Um die passende Stammfunktion für den Lauf zu erhalten, musst du die Konstante $C$ bestimmen. Dazu setzt du einen bekannten Wert für t und für V(t) ein. Die Stammfunktion beschreibt die zurückgelegte Strecke des Sportlers. Da an der Startlinie, also zum Zeitpunkt $t=0$ noch keine Strecke zurückgelegt wurde gilt: $V(0)=0$. Durch Einsetzen dieser Werte in die Gleichung und Auflösen nach $C$ ergibt sich eine Lösung für die Konstante $C$.
$\blacktriangleright$  Erreichen des Ziels nach $\boldsymbol{2,7\, \text{h}}$ überprüfen
Der Marathon hat eine Strecke von insgesamt $42,195\;\text {km}$. Um zu überprüfen, ob diese Strecke nach $2,7 \;h$ erreicht ist, setzt du $t=2,7$ und erwartest für $V(2,7)$ ein Ergebnis von mindestens $42,195\; \text {km}$.
d)
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{a}$ so bestimmen, dass das Ziel nach $\boldsymbol{2,5 \;\text{h}}$ erreicht wird
Um $a$ so zu bestimmen, dass der Läufer das Ziel bereits nach $2,5$ Stunden erreicht, bestimmst du das Integral über $v_a$ in den Grenzen $0$ bis $2,5$. Dieses Ergebnis setzt du mit der Gesamtstrecke des Laufes gleich.
$\blacktriangleright$  Interpretation von $\boldsymbol{a}$
Die Funktion modelliert einen Lauf, bei dem der Läufer bereits vor der Startlinie losläuft. Überlege, wie das in der Funktion berücksichtigt wird.
$\blacktriangleright$  Bewerten realistischer Ergebnisse von $\boldsymbol{a}$
Die Werte für $a$ können nicht beliebig groß werden. Überlege dir, wo die Grenzen liegen können.
e)
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{V_{neu}(t)}$ als Stammfunktion von $\boldsymbol{v_{neu}(t)}$ nachweisen
Um zu zeigen, dass
$V_{neu}(t)=$$\dfrac{4}{\pi^2}\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)$$-\dfrac{1}{\pi}t\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)+16,3t$
eine Stammfunktion von
$v_{neu}(t)=\dfrac{1}{4}t\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)+16,3$
ist, muss gezeigt werden das $v_{neu}$ die erste Ableitung von $V_{neu}$ ist. Es muss also gelten: $V_{neu}$'= $v_{neu}$.
f)
$\blacktriangleright$  Laufstrecke nach $\boldsymbol{2,5}$ Stunden bestimmen
Um zu zeigen, dass Ralf nach $2,5$ Stunden zwar eine weitere Strecke als in dem ersten Modell zurückgelegt hat, aber noch nicht die gesamte Marathonstrecke, musst du in beiden Gleichungen $V(t)=\dfrac{2}{125}t^5-\dfrac{1}{9}t^3+15,6t $ und $V_{neu}(t)=$$\dfrac{4}{\pi^2}\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)$$-\dfrac{1}{\pi}t\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)+16,3t$ die Zeit $t=2,5$ einsetzen. Du sollst die beiden Ergebnisse für die Strecken berechnen und vergleichen.
$\blacktriangleright$  Zurückgelegte Strecke und Geschwindigkeit nach $\boldsymbol{2,55}$ Stunden bestimmen
Du sollst überprüfen, ob Ralf Renner die Marathonstrecke nach $2,55$ Stunden geschafft hat. Dazu setzt du $t = 2,55$ in die beiden Gleichungen ein.
g)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt $t$ der Einnahme eines koffeinhaligen Getränkes bestimmen
Der Funktionsterm $p(t)$ beschreibt die Leistung des Läufers.
$p(t)=-0,5t^3+2t^2$    mit    $t\in[0;4]$
Der Zeitpunkt der Einnahme des koffeinhaltigen Getränkes wird als $t_k=0$ festgelegt. Das Integral über die Funktion $p$ gibt die Wirkung des Getränkes an. Um zu berechnen, an welchem Zeitpunkt $t_k$ die Einnahme des Getränkes sinnvoll ist, muss also das Integral bestimmt werden. Die Funktion $p(t)$ ist auf einem Intervall $t\in[0;4]$ definiert. In diesem Bereich muss das Zeitintervall von $2,5 \;h$ bestimmt werden, für das das Integral maximal wird.
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Anfangsgeschwindigkeit $\boldsymbol{v(0)}$ bestimmen
Du sollst die Anfangsgeschwindigkeit $v(0)$ bestimmen, mit der Ralf Renner über die Startlinie läuft. Da er schon vor der Startlinie losläuft, hat er an der Startlinie ($t=0$) bereits eine Laufgeschwindigkeit. Setze dafür $t=0$ in den Funktionsterm ein:
$\begin{array}[t]{rll} v(t)&=&\dfrac{2}{25}t^4-\dfrac{1}{3}t^2+15,6 &\quad \scriptsize \\[5pt] v(0)&=&\dfrac{2}{25}\cdot0^4-\dfrac{1}{3}\cdot0^2+15,6 &\quad \scriptsize \\[5pt] v(0)&=&15,6 \end{array}$
Die Anfangsgeschwindigkeit beträgt $15,6\, \text{km/h}$.
$\blacktriangleright$  Graphen im Intervall $\boldsymbol{[0,6; 2,2]}$ beschreiben
Der Graph von $v$ soll im Intervall $[0,6; 2,2]$ im Bezug auf den Sachtext beschrieben werden. Dazu kannst du dir $\text{Abb.} 1$ anschauen. Es ist zu sehen, dass die Geschwindigkeit ab $t=0,6$ abfällt. Der Läufer hat einen Leistungsabfall. Seine Laufgeschwindigkeit sinkt bis zum Zeitpunkt $t\approx1,44$ und steigt dann wieder. Bei $t=2,2$ hat der Läufer die bisher höchste Geschwindigkeit erreicht. Im Graph ist dies als höchster Punkt im Intervall zu sehen.
$\blacktriangleright$  Einschränkung von $\boldsymbol{v}$ auf $\boldsymbol{[0; 2,7]} $ beurteilen
Die Funktion $v$ kann den Lauf nur in einem eingeschränkten Bereich real modellieren. Du sollst begründen, dass die Einschränkung im Intervall $[0; 2,7]$ sinnvoll ist.
Wenn du dir den Graphen zu $v$ anschaust ($\text{Abb.}1$), erkennst du realistische Ergebnisse für die Laufgeschwindigkeiten: Am Anfang läuft Ralf Renner mit annähernd konstanter Geschwindigkeit, hat dann einen Leistungsabfall bis $t \approx 1,44$. Kurz vor dem Ziel beschleunigt er noch etwas. Ab $t=2,7$ sind die Werte der Funktion für den Lauf nicht mehr realistisch: Die Geschwindigkeit steigt sehr schnell und der Graph geht gegen unendlich. Bei $t=2,7$ läuft Ralf ca. $17,5 \;\text{km/h}$. Eine viel höhere Geschwindigkeit kann ein Läufer auch nicht erreichen.
b)
$\blacktriangleright$  Den Zeitpunkt der stärksten Abnahme der Geschwindigkeit bestimmen
Du hast die Funktion $v$ gegeben, die Änderung der Geschwindigkeit wird durch $v'$ beschrieben. Da die Änderung der Geschwindigkeit maximal sein soll, sollst du den Graph von $v'$ auf Extrempunkte untersuchen. In der Aufgabe ist nach der stärksten Abnahme, also der Minimalstelle gefragt. Für eine Extremstelle $t_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, v''(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $v'''(t_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $v'''(t_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die Ableitungsfunktionen $v'$, $v''$ und $v'''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $v''(t)=0$ setzt und nach $t$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $v'''(t)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} v(t)&=&\dfrac{2}{25}t^4-\dfrac{1}{3}t^2+15,6 &\quad \scriptsize \\[5pt] v'(t)&=&\dfrac{8}{25}t^3-\dfrac{2}{3}t &\quad \scriptsize \\[5pt] v''(t)&=&\dfrac{24}{25}t^2-\dfrac{2}{3} &\quad \scriptsize \\[5pt] v'''(t)&=&\dfrac{48}{25}t &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $v'(t)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} v'(t)&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{24}{25}t^2-\dfrac{2}{3}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{2}{3}\\[5pt] \dfrac{24}{25}t^2&=& \dfrac{2}{3}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot\dfrac{25}{24}\\[5pt] t^2&=&\dfrac{50}{72}&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] t_{1,2}&=&\pm 0,83 \scriptsize \\ \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion ist nur im Intervall $[0; 2,7]$ definiert. Es ist also nur der positive Wert von $t$ zu betrachten. Die größte Änderung der Geschwindigkeit ist also bei $t= 0,83$. Es soll nun noch gezeigt werden, dass die Änderung negativ wird. Es muss also ein Minimum nachgewiesen werden.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Um zu überprüfen, ob es sich um ein Minimum von $v'$ handelt, kann die dritte Ableitung von $v$ bestimmt werden. Dort setzt du $t=0,83$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} v'''(0,83)&=&\dfrac{48}{25}\cdot 0,83 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Es ergibt sich ein Wert größer 0. Das ist die Bedingung für ein Minimum von $v'$.
$\blacktriangleright$  Bedeutung der 1. Ableitung von $\boldsymbol{v}$ erklären
Die erste Ableitung gibt die Änderung der Geschwindigkeit an. Dies entspricht der Beschleunigung des Läufers. Wenn die Ableitung unterhalb der x-Achse verläuft, ist die Beschleunigung negativ, der Läufer wird langsamer, wenn sie oberhalb der x- Achse verläuft, beschleunigt der Läufer wieder.
c)
$\blacktriangleright$  Alle Stammfunktionen von $\boldsymbol{v}$ bestimmen
Du sollst alle Stammfunktionen von $v$ nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bestimmen. Dafür integrierst du $v(t)$. Durch Angabe einer Konstanten $C$, sind alle möglichen Lösungen abgedeckt.
$\begin{array}[t]{rll} v(t)&=&\dfrac{2}{25}t^4-\dfrac{1}{3}t^2+15,6 &\quad \scriptsize \\[5pt] v(t)&=&\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{2}{25}t^5- \frac{1}{3} \cdot\dfrac{1}{3}t^3+15,6t + C &\quad \scriptsize \\[5pt] V(t)&=&\dfrac{2}{125}t^5-\dfrac{1}{9}t^3+15,6t+ C &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$V(t)=\dfrac{2}{125}t^5-\dfrac{1}{9}t^3+15,6t+ C \quad \scriptsize \\[5pt]$
$\blacktriangleright$  Konstante $\boldsymbol{C}$ der Stammfunktion bestimmen
Um die passende Stammfunktion für den Lauf zu erhalten, musst du die Konstante $C$ bestimmen. Dazu setzt du einen bekannten Wert für t und für V(t) ein. Die Stammfunktion beschreibt die zurückgelegte Strecke des Sportlers. Da an der Startlinie, also zum Zeitpunkt $t=0$ noch keine Strecke zurückgelegt wurde gilt: $V(0)=0$. Durch Einsetzen dieser Werte in die Gleichung und Auflösen nach $C$ ergibt sich eine Lösung für die Konstante $C$.
$\begin{array}[t]{rll} V(t)&=&\dfrac{2}{125}t^5-\dfrac{1}{9}t^3+15,6t+ C &\quad \scriptsize \\[5pt] 0&=&\dfrac{2}{125}\cdot0^5-\dfrac{1}{9}\cdot0^3+15,6 \; \cdot0+ C &\quad \scriptsize \\[5pt] C&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$C=0$
Da sich für die Konstante $C=0$ ergibt, gilt für die gesuchte Stammfunktion: $V(t)=\dfrac{2}{125}t^5-\dfrac{1}{9}t^3+15,6t$.
$\blacktriangleright$  Erreichen des Ziels nach $\boldsymbol{2,7\, \text{h}}$ überprüfen
Der Marathon hat eine Strecke von insgesamt $42,195\;\text {km}$. Um zu überprüfen, ob diese Strecke nach $2,7 \;h$ erreicht ist, setzt du $t=2,7$ und erwartest für $V(2,7)$ ein Ergebnis von mindestens $42,195\; \text {km}$.
$\begin{array}[t]{rll} V(t)&=&\dfrac{2}{125}t^5-\dfrac{1}{9}t^3+15,6t &\quad \scriptsize \\[5pt] V(2,7)&=&\dfrac{2}{125}\cdot(2,7)^5-\dfrac{1}{9}\cdot(2,7)^3+15,6 \cdot(2,7)&\quad \scriptsize \\[5pt] V(2,7)&=&42,229 \end{array}$
$V(2,7)=42,229$
Das Ergebnis sagt aus, dass nach $2,7$ Stunden eine Strecke von $42,23\text{km} $ zurückgelegt wurde. Das ist etwas mehr als die gesamte Marathonstrecke, die vorgegeben war. Das Ziel wurde also erreicht.
d)
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{a}$ so bestimmen, dass das Ziel nach $\boldsymbol{2,5 \;\text{h}}$ erreicht wird
Um $a$ so zu bestimmen, dass der Läufer das Ziel bereits nach $2,5$ Stunden erreicht, bestimmst du das Integral über $v_a$ in den Grenzen $0$ bis $2,5$. Dieses Ergebnis setzt du mit der Gesamtstrecke des Laufes gleich.
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{2,5}\;\mathrm v_a(t)\; dt&=& 42,195 &\quad \scriptsize \\[5pt] \left[\dfrac{2}{125}t^5-\dfrac{1}{9}t^3+at \right]_0^{2,5}&=& 42,195&\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{2}{125}\cdot2,5^5-\dfrac{1}{9}\cdot2,5^3+a\cdot\;2,5&=& 42,195&\quad \scriptsize \\[5pt] a\cdot\;2,5&=& 42,195 -\dfrac{2}{125}\cdot2,5^5+\dfrac{1}{9}\cdot2,5^3&\quad \scriptsize \\[5pt] a&=& 16,95 \end{array}$
$a= 16,95$
Der Wert für $a$ muss $16,95$ betragen.
$\blacktriangleright$  Interpretation von $\boldsymbol{a}$
Die Geschwindigkeit mit der der Läufer über die Startlinie läuft, wird von $a$ angegeben. Es entspricht also der Anfangsgeschwindigkeit des Läufers zum Zeitpunkt $t=0$.
$\blacktriangleright$  Bewerten realistischer Ergebnisse von $\boldsymbol{a}$
Die Werte für $a$ können nicht beliebig groß werden, da der Sportler nur mit begrenzt hoher Geschwindigkeit laufen kann. Es ist ebenfalls unrealistisch, dass die Geschwindigkeit negative Werte annimmt.
e)
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{V_{neu}(t)}$ als Stammfunktion von $\boldsymbol{v_{neu}(t)}$ nachweisen
Um zu zeigen, dass
$V_{neu}(t)=$$\dfrac{4}{\pi^2}\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)$$-\dfrac{1}{\pi}t\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)+16,3t$
eine Stammfunktion von
$v_{neu}(t)=\dfrac{1}{4}t\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)+16,3$
ist, muss gezeigt werden das $v_{neu}$ die erste Ableitung von $V_{neu}$ ist. Es muss also gelten: $V_{neu}$'= $v_{neu}$.
Bei der Funktion $V(t)$ lässt sich jeder Summand einzeln ableiten.
$\left( \dfrac{4}{\pi^2}\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)\right)$ist eine Verkettung, es lässt sich also die Kettenregel anwenden. Dazu betrachtet man die äußere Funktion $u(t)$ und die innere Funktion $v(t)$.
Es ergibt sich $\left( \dfrac{4}{\pi^2}\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)\right)'$=$\dfrac{1}{\pi}\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)$.
Bei dem zweiten Summanden musst du sowohl die Kettenregel, als auch die Produktregel anwenden. Dazu teilst du das Produkt wieder auf in zwei Funktionen $u(t)$ und $v(t)$.
$u(t)$= $\frac{1}{\pi} \cdot t$
$u(t)$'= $\frac{1}{\pi}$
$v(t)$= $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)$
$v(t)$'= $-\frac{\pi}{4}\sin\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)$
Du kannst die Kettenregel anwenden:
$(u \cdot v)'$ = $ u' \cdot v + u \cdot v'$
$\left(\frac{1}{\pi} \cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)\right) + \left(\frac{1}{\pi} \cdot -\frac{\pi}{4}\sin\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)\right)$
$\left(\dfrac{1}{\pi}t\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)\right)'$=$\left(\frac{1}{\pi}\cos\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)-\frac{t}{4}\sin\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)\right)$
Der dritte Summand lässt sich direkt ableiten: $\left( 16,3 t\right)'= 16,3$.
Durch Zusammenfügen der drei abgeleiteten Summanden ergibt sich folgende Gleichung:
$V(t)$'= $\dfrac{1}{\pi}\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)$-$\left(\frac{1}{\pi}\cos\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)-\frac{t}{4}\sin\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)\right)$+$16,3$.
Durch Umstellen erhältst du:
$V(t)$'=$\frac{t}{4}\sin\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)$+$16,3$.
f)
$\blacktriangleright$  Laufstrecke nach $\boldsymbol{2,5}$ Stunden bestimmen
Um zu zeigen, dass Ralf nach $2,5$ Stunden zwar eine weitere Strecke als in dem ersten Modell zurückgelegt hat, aber noch nicht die gesamte Marathonstrecke, musst du in beiden Gleichungen $V(t)=\dfrac{2}{125}t^5-\dfrac{1}{9}t^3+15,6t $ und $V_{neu}(t)=$$\dfrac{4}{\pi^2}\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)$$-\dfrac{1}{\pi}t\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)+16,3t$ die Zeit $t=2,5$ einsetzen. Du sollst die beiden Ergebnisse für die Strecken berechnen und vergleichen.
$\begin{array}[t]{rll} V(t)&=&\dfrac{2}{125}t^5-\dfrac{1}{9}t^3+15,6t &\quad \scriptsize \\[5pt] V(2,5)&=&\dfrac{2}{125}\cdot2,5^5-\dfrac{1}{9}\cdot2,5^3+15,6 \cdot 2,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] V(2,5)&=& 38,83 \end{array}$
$V(2,5)=38,83$
$V(2,5)= 38,83$
Nach dem ersten Modell ist der Läufer nach $2,5$ Stunden ca. $38,83\; \text{km}$ gelaufen. Die Strecke des zweiten Modells lässt sich mit $V_{neu}$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} V_{neu}(t)&=&\dfrac{4}{\pi^2}\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)-\dfrac{1}{\pi}t\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)+16,3t &\quad \scriptsize \\[5pt] V_{neu}(2,5)&=&\dfrac{4}{\pi^2}\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\cdot2,5\right)-\dfrac{1}{\pi}\cdot2,5\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\cdot2,5\right)+16,3\ \cdot2,5&\quad \scriptsize \\[5pt] V_{neu}(2,5)&=& 41,43 \end{array}$
$V_{neu}(2,5)= 41,43$
Du kannst sehen, dass der Läufer nach dem zweiten Modell zwar eine größere Strecke zurücklegt, aber die Gesamtstrecke von $42,195 \;\text{km} $ nicht erreicht hat.
$\blacktriangleright$  Zurückgelegte Strecke und Geschwindigkeit nach $\boldsymbol{2,55}$ Stunden bestimmen
Du sollst überprüfen, ob Ralf Renner die Marathonstrecke nach $2,55$ Stunden geschafft hat. Dazu setzt du $t = 2,55$ in die beiden Gleichungen ein.
$\begin{array}[t]{rll} V(2,55)&=&\dfrac{2}{125}\cdot2,55^5-\dfrac{1}{9}\cdot2,55^3+15,6 \cdot 2,55 &\quad \scriptsize \\[5pt] V(2,55)&=& 39,66 \end{array}$
Für das erste Modell erkennst du ,dass das Ziel noch nicht erreicht wurde.
$\begin{array}[t]{rll} V_{neu}(2,55)&=&\dfrac{4}{\pi^2}\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{4}2,55\right)-\dfrac{1}{\pi}2,55\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{4}2,55\right)+16,3\ \cdot2,55&\quad \scriptsize \\[5pt] V_{neu}(2,55)&=& 42,27 \end{array}$
Das zweite Modell liefert für $t=2,55$ einen Wert von $V(t)= 42,27$. Das bedeutet, dass der Läufer nach $2,55$ Stunden $42,27 \;\text{km}$ gelaufen ist, was mehr ist als die Gesamtstrecke. Das Ziel wurde also erreicht.
Die Geschwindigkeit von dem zweiten Modell, mit der der Läufer über die Startlinie läuft, ist aus Aufgabenteil d) bekannt. Die Anfangsgeschwindigkeit beträgt $V(0)$ = $16,3$. Um zu zeigen, dass die Endgeschwindigkeit größer ist als $v(0)$, setzt du $t=2,55$ in $v_{neu}(t)$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} v_{neu}(t)&=&\dfrac{1}{4}t\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{4}t\right)+16,3 &\quad \scriptsize \\[5pt] v_{neu}(2,55)&=&\dfrac{1}{4}\cdot2,55\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\cdot2,55\right)+16,3 &\quad \scriptsize \\[5pt] v_{neu}(2,55)&=& 16,9 \end{array}$
Die Endgeschwindigkeit beträgt $16,9\; \text{km/h}$ und ist somit höher als die Anfangsgeschwindigkeit, die $16,3 \;\text{km/h}$ beträgt.
g)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt $t$ der Einnahme eines koffeinhaligen Getränkes bestimmen
Der Funktionsterm $p(t)$ beschreibt die Leistung des Läufers.
$p(t)=-0,5t^3+2t^2$    mit    $t\in[0;4]$
Der Zeitpunkt der Einnahme des koffeinhaltigen Getränkes wird als $t_k=0$ festgelegt. Das Integral über die Funktion $p$ gibt die Wirkung des Getränkes an. Um zu berechnen an welchem Zeitpunkt $t_k$ die Einnahme des Getränkes sinnvoll ist, muss also das Integral bestimmt werden. Die Funktion $p(t)$ ist auf einem Intervall $t\in[0;4]$ definiert. In diesem Bereich muss das Zeitintervall von $2,5 \;h$ bestimmt werden, für das das Integral maximal wird.
Dazu bestimmt man das Integral:
$\begin{array}[t]{rll} p(t)&=& -0,5t^3+2t^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] P(t)&=& \left[-\frac{1}{8}t^4+\frac{2}{3}t^3\right]_{t_k}^{t_k + 2,5}&\quad \scriptsize \\[5pt] P(t)&=& -\frac{1}{8}(t_k+2,5)^4+\frac{2}{3}(t_k+2,5)^3+ \frac{1}{8}t_k^4-\frac{2}{3}t_k^3 \end{array}$
$P(t)=-\frac{1}{8}(t_k+2,5)^4+\frac{2}{3}(t_k+2,5)^3$ $+ \frac{1}{8}t_k^4-\frac{2}{3}t_k^3 $
Nun muss das Maximum bestimmt werden, dazu kannst du nach folgendem Prinzip vorgehen:
Für eine Extremstelle $t_k$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, P'(t_k)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $P''(t_k)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $P''(t_k)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $P'$ und $P''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $P'(t)=0$ setzt und nach $t$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $P''(t)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} P(t)&=& -\frac{1}{8}(t_k+2,5)^4+\frac{2}{3}(t_k+2,5)^3+ \frac{1}{8}t_k^4-\frac{2}{3}t_k^3\quad \scriptsize \\[5pt] P'(t)&=& -\frac{1}{2}(t_k+2,5)^3+2(t_k+2,5)^2+ \frac{1}{2}t_k^3-2t_k^2\quad \scriptsize \\[5pt] P'(t)&=& -\frac{15}{4}t_k^2+ \frac{5}{8}t_k+\frac{75}{16}\quad \scriptsize \\[5pt] P''(t)&=& -\frac{15}{2}t_k+ \frac{5}{8}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$P''(t)&=& -\frac{15}{2}t_k+ \frac{5}{8}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $P'(t)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& -\frac{15}{4}t_k^2+ \frac{5}{8}t_k+\frac{75}{16}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot -\frac{4}{15}\\[5pt] 0&=& t_k^2- \frac{1}{6}t_k-\frac{5}{4}&\quad \scriptsize \mid\; pq \\[5pt] t_{k_{1,2}}&=&\frac{1}{12}\;_+^- \sqrt{(\frac{1}{12})^2 +\frac{5}{4}}\quad \scriptsize \\[5pt] t_{k_{1,2}}&=&\frac{1}{12}\;_+^- \frac{1}{12} \sqrt{181}\quad \scriptsize \\[5pt] t_{k_{1}}&=& 1,2\quad \scriptsize \\[5pt] t_{k_{2}}&=& -1,0\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$t_{k_{2}}=-1,0$
Ein negatives Ergebnis ist für dieses Modell nicht sinnvoll, da $-1$ nicht im Definitionsbereich liegt. Das Ergebnis $t_{k1}$ musst du jetzt noch weiter betrachten.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Einsetzen von $t_{k1}=1,2$ in $P''(t)$.
$\begin{array}[t]{rll} P''(t)&=& -\frac{15}{2}t_k+ \frac{5}{8}\quad \scriptsize \\[5pt] P''(1,2)&=& -\frac{15}{2}\cdot1,2+ \frac{5}{8}\quad \scriptsize \\[5pt] P''(1,2)&=& -\frac{67}{8} \end{array}$
Der Wert für $P''(1,2)$ ist kleiner als $0$. Somit ist an der Stelle $t_k$=$1,2$ ein Maximum nachgewiesen. Das bedeutet, dass die Wirkung des Koffeins ca. $1,2 h$ nach der Einnahme eintritt. Der Sportler sollte das Getränk also $1,2$ Stunden vor dem Lauf einnehmen, um die maximale Leistung aufbringen zu können.
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