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Lineare Algebra

Aufgaben
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Gemüsekiste
Lineare Algebra
Abbildung 1: Gemüsekiste
Lineare Algebra
Abbildung 1: Gemüsekiste
  • $10\,\%$ der „Alles frisch“-Kunden lassen sich im nächsten Monat die „Biokiste“ vom zweiten Anbieter liefern.
  • Von den Kunden, welche die Kiste B beziehen, wechselt monatlich ein Viertel zum ersten Anbieter, um die Kiste A zu erhalten.
Zur Beschreibung in einem Modell wird die Verteilung der Kunden auf die beiden angebotenen Gemüsekisten durch einen Vektor $\vec{v}_n=\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$ beschrieben, wobei $a_n$ und $b_n$ jeweils die Anzahlen der Kunden angeben, die sich im Monat $n$ nach Beobachtungsbeginn Gemüsekiste A bzw. B liefern lassen. Es wird vereinfacht angenommen, dass die Gesamtzahl der Kunden im Laufe der Zeit konstant bleibt. Im Rahmen des Modells gilt für den Übergang von einer Verteilung zur Verteilung im nächsten Monat $\vec{v}_{n+1}=M\cdot\vec{v}_n$ mit einer Matrix $M$ der Form:
$M=\begin{pmatrix}c&1-d\\1-c&d\end{pmatrix}$
a)
  • Beschreibe die Bedeutung der Parameter $c$ und $d$ im Sachzusammenhang der Aufgabenstellung.
  • Bestätige, dass für die Parameter $c=0,9$ und $d=0,75$ gelten muss.
  • Erstelle einen Übergangsgraphen, der das Wechselverhalten der Kunden beschreibt.
(7P)
Im Mai $(n=0)$ beziehen $60\,\%$ der Kunden die Kiste A. Die übrigen $40\,\%$ lassen sich die Kiste B vom zweiten Anbieter liefern. Der Anbieter der Kiste B beobachtet das Wechselverhalten der Kunden mit Sorge. Er befürchtet, dass er demnächst weniger als ein Drittel der gesamten Kunden beliefern wird.
b)
  • Berechne mithilfe des Modells die Kundenverteilung für die Monate Juni bis August.
  • Gib an, in welchem Monat sich erstmalig weniger als ein Drittel der Kunden Kiste B liefern lässt.
(6P)
Der zweite Anbieter überlegt, durch eine Werbemaßnahme seine Biokiste attraktiver für die Kunden zu machen. Er möchte dadurch das Wechselverhalten der Kunden so beeinflussen, dass er langfristig mit einem stabilen Kundenanteil von $40\,\%$ rechnen kann.
c)
  • Untersuche, wie die Matrix-Einträge $c$ und $d$ voneinander abhängen müssen, damit ein einmal erreichter Anteil von $40\,\%$ für Kiste B erhalten bleibt.
  • Durch die Werbemaßnahme wird erreicht, dass $d=0,8$ ist.
    Ermittle den Wert für $c$, sodass die vom Anbieter der Kiste B gewünschte Kundenverteilung erhalten bleibt.
(8P)
Nach erfolgreicher Werbemaßnahme des Anbieters der Kiste B beziehen im März des Folgejahres wieder $60\,\%$ der Kunden die Kiste A und $40\,\%$ die Kiste B.
Zur weiteren Stabilisierung seines Marktanteils entscheidet sich der Anbieter der Kiste B, sein Angebot zu erweitern. Ab April bietet er zusätzlich zur Kiste B die Lieferung einer Rohkost-Kiste (Kiste R) an.
Nach Einführung der Kiste R zeichnet sich folgender Trend ab für das monatliche Wechselverhalten:
von
zu
ABR
A$90\,\%$$15\,\%$$15\,\%$
B$5\,\%$$70\,\%$$35\,\%$
R$5\,\%$$15\,\%$$50\,\%$
Für weitere Modellrechnungen wird daher die Matrix $P=\begin{pmatrix}0,9&0,15&0,15\\0,05&0,7&0,35\\0,05&0,15&0,5\end{pmatrix}$ verwendet.
d)
  • Bestätige, dass der zweite Anbieter im April insgesamt $40\,\%$ der Kunden beliefert.
  • Zeige, dass – trotz wechselnder Verteilung der Kunden – der Anbieter von Kiste A langfristig einen festen Kundenanteil von $60\,\%$ hat.
  • Die Potenzen $P^n$ der Matrix $P$ nähern sich für große $n$ einer Matrix $G$ an.
    Entscheide begründet, welche der folgenden drei Matrizen die korrekte Grenzmatrix $G$ (mit gerundeten Werten) ist:
    (i)$\begin{pmatrix}0,60&0,60&0,60\\0,44&0,44&0,44\\0,26&0,26&0,26\end{pmatrix}$    (ii)$\begin{pmatrix}0,60&0,60&0,60\\0,26&0,26&0,26\\0,14&0,14&0,14\end{pmatrix}$    (iii)$\begin{pmatrix}0,26&0,26&0,26\\0,14&0,14&0,14\\0,60&0,60&0,60\end{pmatrix}$
    (i)$\begin{pmatrix}0,60&0,60&0,60\\0,44&0,44&0,44\\0,26&0,26&0,26\end{pmatrix}$
    (ii)$\begin{pmatrix}0,60&0,60&0,60\\0,26&0,26&0,26\\0,14&0,14&0,14\end{pmatrix}$
    (iii)$\begin{pmatrix}0,26&0,26&0,26\\0,14&0,14&0,14\\0,60&0,60&0,60\end{pmatrix}$
(13P)
Um seinen Bedarf zu planen, möchte der zweite Anbieter wissen, wie viele Kunden in Zukunft Kiste B bzw. Kiste R bestellen werden. Für genauere Aussagen über diese Kundenanteile werden im Folgenden Eigenvektoren der Matrix $P$ betrachtet.
Ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_1=1$ lautet $\vec{e}_1=\begin{pmatrix}39\\17\\9\end{pmatrix}$.
e)
  • Der Vektor $\vec{e}_2=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$ ist ebenfalls ein Eigenvektor der Matrix $P$.
    Bestätige, dass der zugehörige Eigenwert $\lambda_2=0,35$ ist.
  • Man kann die Anfangsverteilung der Kunden mithilfe der Eigenvektoren $\vec{e}_1$ und $\vec{e}_2$ darstellen:
    $\begin{pmatrix}0,6\\0,4\\0\end{pmatrix}=s\cdot\vec{e}_1+t\cdot\vec{e}_2$
    Bestimme die Werte für $s$ und $t$.
    (Zur Kontrolle: $s=\frac{1}{65}$, $t=\frac{9}{65}$)
(7P)
f)
  • Weise unter Verwendung der Ergebnisse aus Teilaufgabe e) nach, dass man den Anteil der Kunden, die im Monat $n$ die Kiste R bestellen, mit der folgenden Formel berechnen kann:
    $r_n=\dfrac{9}{65}\cdot(1-0,35^n)$
    (Hinweis: Für den Nachweis kann folgende allgemeine Beziehung genutzt werden: Ist $\vec{e}$ ein Eigenvektor einer Matrix $M$ mit dem Eigenwert $\lambda$, so gilt $M^n\cdot\vec{e}=\lambda^n\cdot\vec{e}$.)
  • Interpretiere die nachgewiesene Formel in Hinblick auf die Entwicklung der Kundenanteile von Kiste R und Kiste B.
(9P)

(50P)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons /9/97/Korb_mit_Gem%C3%BCse-_Tomaten%2C_Zwiebeln%2C_Auberginen%2C_Schwarzwurzeln%2C_Rettich_und_Lauch_ %2823010072296%29.jpg?uselang=de – Marco Verch CC BY 2.0 Generic.
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Tipps
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a)
$\blacktriangleright$  Parameter im Sachzusammenhang beschreiben
Du sollst hier die Einträge $c$ und $d$ der Matrix $M$ im Sachzusammenhang beschreiben. Da $M$ den Übergang der Kunden von einer Gemüsekiste zur anderen Kiste beschreibt, ist $M$ eine Übergangsmatrix. Mit Hilfe des Vektors $\overrightarrow{v}_n$ kannst du sehen, dass die Übergangsmatrix folgenden Aufbau hat:
von:$A$$B$
$A$$\begin{pmatrix}c&1-d\\[2pt]1-c&d\end{pmatrix}$
nach:$B$$M=$
$\blacktriangleright$  Parameterwerte begründen
Du sollst hier begründen, dass für die Parameter $c = 0,9$ und $d= 0,75$ gilt. Aus dem vorherigen Aufgabenteil weißt du, dass $c$ den Anteil der Kunden von Kiste $A$ beschreibt, die im nächsten Monat wieder Kiste $A$ bestellen.
Der Aufgabentext gibt an, dass $10\,\%$ der Kunden von Kiste $A$ im nächsten Monat zu $B$ wechseln. Für Kiste $B$ gilt, dass ein Viertel, also $25\,\%$, der Kunden im nächsten Monat zu $A$ wechselt.
$\blacktriangleright$  Übergangsgraphen erstellen
Deine Aufgabe ist es nun, zu dem beschriebenen Kundenverhalten einen Übergangsgraphen zu zeichnen. In diesem Übergangsgraphen kannst du jeweils die beiden Varianten der Gemüsekiste als Kreise darstellen. Mit Pfeilen, die mit den entsprechenden Einträgen der Übergangsmatrix beschriftet sind, stellst du dann das Übergangsverhalten der Kunden dar.
b)
$\blacktriangleright$  Kundenverteilungen berechnen
Hier sollst du die Verteilungsvektoren $\color{#87c800}{\boldsymbol{\overrightarrow{v}_n}}$ für Juni, Juli und August berechnen. Für den Monat Mai gilt $n =0$. Da ein Zeitschritt immer einem Monat entspricht, sind hier $\overrightarrow{v}_1$, $\overrightarrow{v}_2$ und $\overrightarrow{v}_3$ gesucht. Den Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}_0$ kannst du aus der Aufgabenstellung heraus aufstellen.
Allgemein kannst du den Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}_{n+1}$ mit Hilfe der Übergangsmatrix $M$ und des Verteilungsvektors $\overrightarrow{v}_n$ über folgende Formel berechnen:
$\overrightarrow{v}_{n+1} = M \cdot \overrightarrow{v}_n = M^{n+1}\cdot \overrightarrow{v}_0$
$\overrightarrow{v}_{n+1} = M \cdot \overrightarrow{v}_n= M^{n+1}\cdot \overrightarrow{v}_0$
Für $ \overrightarrow{v}_0\,$ gilt: $\quad \overrightarrow{v}_0 = \begin{pmatrix}0,6\\0,4 \end{pmatrix}$
Durch Einsetzen in die Formel erhältst du dann die drei gesuchten Vektoren.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt berechnen
Betrachte die oben berechneten Werte, und bestimme so den Monat, in dem zum ersten Mal weniger als ein Drittel der Kunden Kiste $B$ bestellt.
c)
$\blacktriangleright$  Abhängigkeit der Einträge überprüfen
Gesucht sind hier die Parameter $c$ und $d$, für die ein einmal erreichter Anteil von $40\,\%$ für Kiste $B$ erhalten bleiben soll. Das bedeutet, dass der Verteilungvektor $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 0,6\\ 0,4\end{pmatrix}$ stabil erhalten bleiben soll. Dies soll also eine stationäre Verteilung bzw. ein Fixvektor sein. Für einen Fixvektor $\overrightarrow{v} $ gilt folgende Gleichung:
$\overrightarrow{v} = M \cdot \overrightarrow{v}$
$\overrightarrow{v} = M \cdot \overrightarrow{v}$
Setzt du in diese Gleichung $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 0,6\\ 0,4\end{pmatrix}$ und die Übergangsmatrix $M$ mit den Unbekannten Parametern $c$ und $d$ ein, erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von $c$ und $d$. Aus dieser Gleichung erhältst du ein lineares Gleichungssystem (LGS), das du lösen kannst.
$\blacktriangleright$  Parameter ermitteln
Es soll $d=0,8$ gelten, wobei gleichzeitig die gewünschte Verteilung erhalten bleiben soll. Du kannst den zugehörigen Wert für $c$ bestimmen, indem du $d=0,8$ in die oben bestimmte Abhängigkeit zwischen den beiden Parametern einsetzt.
d)
$\blacktriangleright$  Kundenanteil bestätigen
Gesucht ist hier nun ähnlich wie in Aufgabenteil b) der Verteilungsvektor $\overrightarrow{w}_1 = \begin{pmatrix}a_1\\b_1\\r_1 \end{pmatrix}$, wobei nun die Übergangsmatrix $P$ betrachtet wird. $r_1$ beschreibt den Anteil der Kunden, die im April die neue Kiste $R$ bestellen. Im März verteilen sich die Kunden wieder in der ursprünglichen Verteilung auf die ersten beiden Kisten: $a_0 = 0,6$ und $b_0 = 0,4$. Da die dritte Kiste hier noch nicht existiert ist $r_0 = 0$. Mit der Formel für die Verteilung zur Zeit $n+1$ ergibt sich dann der Verteilungsvektor, aus dem du die gesuchten Informationen ablesen kannst.
$\blacktriangleright$  Festen Kundenanteil nachweisen
Um den langfristig gleichen Anteil an Kunden des ersten Anbieters nachzuweisen, kannst du die Berechnung der Kundenverteilung zum Zeitpunkt $n$ genauer betrachten, insbesondere den ersten Eintrag des Verteilungsvektors. Beachte dabei, dass alle Kundenanteile zusammen $1$ ergeben müssen, also gilt $b_n +r_n = 1-a_n = 0,4 $.
$\blacktriangleright$  Grenzmatrix bestimmen
Eine Grenzmatrix besteht aus drei identischen Spalten, die die langfristige Verteilung beschreiben. Das heißt, dass sich die Kundenverteilung langfristig in diesem Bereich einpendelt. Da es nicht mehr oder weniger als $100\,\%$ Kunden geben kann, muss die Summe der Einträge dieser Verteilung immer $1$ sein. Zudem hast du oben schon bestimmt, dass sich eine Verteilung von $60\,\%$ für den ersten Anbieter nicht mehr ändert. Mit Hilfe dieser Informationen kannst du nach und nach die falschen Matrizen ausschließen.
e)
$\blacktriangleright$  Eigenwert bestätigen
$\overrightarrow{v}$ ist genau dann ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda \neq 0 $ einer Matrix $A$, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:
$A\cdot \overrightarrow{v} = \lambda \cdot \overrightarrow{v}$
$A\cdot \overrightarrow{v}= \lambda \cdot \overrightarrow{v}$
Setze also ein und überprüfe, ob diese Gleichung für $P$, $\lambda_2$ und $\overrightarrow{e}_2$ erfüllt ist.
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Um die Werte für $s$ und $t$ zu bestimmen, kannst du die Eigenvektoren $\overrightarrow{e}_1$ und $\overrightarrow{e}_2$ in die Gleichung einsetzen. So erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen.
f)
$\blacktriangleright$  Formel nachweisen
Du sollst folgende Formel für den Kundenanteil $r_n$ von Kiste $R$ nach $n$ Monaten nachweisen:
$r_n=\dfrac{9}{65}\cdot(1-0,35^n)$
Dafür darfst du folgende Gleichung für einen Eigenwert $\lambda$ und einen zugehörigen Eigenvektor $\overrightarrow{e}$ verwenden:
$M^n\cdot\vec{e}=\lambda^n\cdot\vec{e}$
Betrachte dazu die Berechnung des Verteilungsvektors $\overrightarrow{w}_n$ mit Hilfe der zweiten Variante der Formel für einen Verteilungsvektor aus Teilaufgabe b):
$\overrightarrow{w}_n = M^n \cdot \overrightarrow{w}_0$
Aus dem vorherigen Aufgabenteil weißt du, dass du $\overrightarrow{w}_0$ schreiben kannst als $\overrightarrow{w}_0 = \frac{1}{65}\cdot \overrightarrow{e}_1 + \frac{9}{65}\cdot \overrightarrow{e}_2$.
Dies kannst du nun in die obige Gleichung einsetzen und umformen.
$\blacktriangleright$  Formel interpretieren
Die obige Formel gibt den Anteil der Kunden an, die nach $n$ Monaten Kiste $R$ bestellen. In Aufgabenteil d) hast du bereits gezeigt, dass der Anbieter von Kiste $A$ dauerhaft $60\,\%$ der Kunden behält. Das heißt, dass sich noch $40\,\%$ der Kunden beim zweiten Anbieter auf Kiste $B$ und Kiste $R$ aufteilen. Den langfristigen Anteil der Kunden von Kiste $R$ kannst du bestimmen, indem du die Formel für sehr große Werte von $n$ betrachtest. Ausgehend davon kannst du dann auch den Anteil für Kiste $B$ bestimmen.
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Parameter im Sachzusammenhang beschreiben
Du sollst hier die Einträge $c$ und $d$ der Matrix $M$ im Sachzusammenhang beschreiben. Da $M$ den Übergang der Kunden von einer Gemüsekiste zur anderen Kiste beschreibt, ist $M$ eine Übergangsmatrix. Mit Hilfe des Vektors $\overrightarrow{v}_n$ kannst du sehen, dass die Übergangsmatrix folgenden Aufbau hat:
von:$A$$B$
$A$$\begin{pmatrix}c&1-d\\[2pt]1-c&d\end{pmatrix}$
nach:$B$$M=$
Das heißt, dass der Parameter $c$ angibt, wie groß der Anteil der Kunden von Kiste $A$ ist, die nach einem Monat nochmals Kiste $A$ bestellen. Analog dazu gibt der Parameter $d$ den Anteil der Kunden an, die nach einem Monat erneut Kiste $B$ bestellen.
$\blacktriangleright$  Parameterwerte begründen
Du sollst hier begründen, dass für die Parameter $c = 0,9$ und $d= 0,75$ gilt. Aus dem vorherigen Aufgabenteil weißt du, dass $c$ den Anteil der Kunden von Kiste $A$ beschreibt, die im nächsten Monat wieder Kiste $A$ bestellen.
Der Aufgabentext gibt an, dass $10\,\%$ der Kunden von Kiste $A$ im nächsten Monat zu $B$ wechseln. Die übrigen Kunden, also $100\,\%-10\,\%$, bleiben bei Anbieter $A$. Daher muss $c =0,9$ gelten.
Für Kiste $B$ gilt, dass ein Viertel, also $25\,\%$, der Kunden im nächsten Monat zu $A$ wechselt. Es bleiben also $100\,\%-25\,\% = 75\,\%$ der Kunden nach einem Monat bei Kiste $B$. Dies ist gerade der Parameter $d$, also muss $d = 0,75$ gelten.
$\blacktriangleright$  Übergangsgraph erstellen
Deine Aufgabe ist es nun, zu dem beschriebenen Kundenverhalten einen Übergangsgraphen zu zeichnen. In diesem Übergangsgraphen kannst du jeweils die beiden Varianten der Gemüsekiste als Kreise darstellen. Mit Pfeilen, die mit den entsprechenden Einträgen der Übergangsmatrix beschriftet sind, stellst du dann das Übergangsverhalten der Kunden dar. Insgesamt ergibt sich dadurch ein ähnliches Schaubild, wie das folgende:
Lineare Algebra
Abb. 1: Übergangsgraph zum Kundenverhalten
Lineare Algebra
Abb. 1: Übergangsgraph zum Kundenverhalten
b)
$\blacktriangleright$  Kundenverteilungen berechnen
Hier sollst du die Verteilungsvektoren $\color{#87c800}{\boldsymbol{\overrightarrow{v}_n}}$ für Juni, Juli und August berechnen. Für den Monat Mai gilt $n =0$. Da ein Zeitschritt immer einem Monat entspricht, sind hier $\overrightarrow{v}_1$, $\overrightarrow{v}_2$ und $\overrightarrow{v}_3$ gesucht. Den Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}_0$ kannst du aus der Aufgabenstellung heraus aufstellen.
Allgemein kannst du den Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}_{n+1}$ mit Hilfe der Übergangsmatrix $M$ und des Verteilungsvektors $\overrightarrow{v}_n$ über folgende Formel berechnen:
$\overrightarrow{v}_{n+1} = M \cdot \overrightarrow{v}_n = M^{n+1}\cdot \overrightarrow{v}_0$
$\overrightarrow{v}_{n+1} = M \cdot \overrightarrow{v}_n= M^{n+1}\cdot \overrightarrow{v}_0$
Für $ \overrightarrow{v}_0\,$ gilt: $\quad \overrightarrow{v}_0 = \begin{pmatrix}0,6\\0,4 \end{pmatrix}$
Durch Einsetzen in die Formel erhältst du dann die drei gesuchten Vektoren:
$\overrightarrow{v}_{1} = M \cdot \overrightarrow{v}_{0} = \begin{pmatrix}0,9& 0,25\\0,1 & 0,75 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0,6\\0,4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,9\cdot 0,6+0,25\cdot 0,4 \\ 0,1\cdot 0,6+ 0,75\cdot 0,4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,64\\0,36 \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{v}_{1}=\begin{pmatrix}0,64\\0,36 \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{v}_{2} = M \cdot \overrightarrow{v}_{1} = \begin{pmatrix}0,9& 0,25\\0,1 & 0,75 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0,64\\0,36 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,9\cdot 0,64+0,25\cdot 0,36 \\ 0,1\cdot 0,64+ 0,75\cdot 0,36\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,666\\0,334 \end{pmatrix}$
$ \overrightarrow{v}_{2}= \begin{pmatrix}0,666\\0,334 \end{pmatrix} $
$\overrightarrow{v}_{3} = M \cdot \overrightarrow{v}_{2} = \begin{pmatrix}0,9& 0,25\\0,1 & 0,75 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0,666\\0,334 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,9\cdot 0,666+0,25\cdot 0,334 \\ 0,1\cdot 0,666+ 0,75\cdot 0,334\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,6829\\0,3171 \end{pmatrix}$
$ \overrightarrow{v}_{3} = \begin{pmatrix}0,6829\\0,3171 \end{pmatrix}$
Im Juni bestellen also $64\,\%$ der Kunden Kiste $A$ und $36\,\%$ Kiste $B$. Im Juli bestellen $66,6\,\%$ Kiste $A$ und $33,4\,\%$ Kiste $B$. Im August bestellen noch $31,71\,\%$ Kiste $B$ und $68,29\,\%$ Kiste $A$.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt berechnen
Oben hast du berechnet, dass sich im Juli noch $33,4\,\%$ der Kunden Kiste $B$ liefern lassen. Dies ist noch mehr als ein Drittel. Im August, lassen sich allerdings nur noch $31,71\,\%$ der Kunden Kiste $B$ liefern, also weniger als ein Drittel. Demnach ist August der erste Monat, in dem weniger als ein Drittel der Kunden Kiste $B$ bestellt.
c)
$\blacktriangleright$  Abhängigkeit der Einträge überprüfen
Gesucht sind hier die Parameter $c$ und $d$, für die ein einmal erreichter Anteil von $40\,\%$ für Kiste $B$ erhalten bleiben soll. Das bedeutet, dass der Verteilungvektor $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 0,6\\ 0,4\end{pmatrix}$ stabil erhalten bleiben soll. Dies soll also eine stationäre Verteilung bzw. ein Fixvektor sein. Für einen Fixvektor $\overrightarrow{v} $ gilt folgende Gleichung:
$\overrightarrow{v} = M \cdot \overrightarrow{v}$
$\overrightarrow{v} = M \cdot \overrightarrow{v}$
Setzt du in diese Gleichung $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 0,6\\ 0,4\end{pmatrix}$ und die Übergangsmatrix $M$ mit den Unbekannten Parametern $c$ und $d$ ein, erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von $c$ und $d$. Aus dieser Gleichung erhältst du ein lineares Gleichungssystem (LGS):
$ \begin{pmatrix} 0,6\\ 0,4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c&1-d\\[2pt]1-c&d\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0,6\\ 0,4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c\cdot 0,6 + (1-d)\cdot 0,4\\ (1-c)\cdot 0,6 + d\cdot 0,4 \end{pmatrix} $
$ \begin{pmatrix} 0,6\\ 0,4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c\cdot 0,6 + (1-d)\cdot 0,4\\ (1-c)\cdot 0,6 + d\cdot 0,4 \end{pmatrix} $
Das LGS lautet dann wie folgt:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&0,6&=& 0,6c + 0,4(1-d)\quad \\ \text{II}\quad& 0,4&=&0,6(1-c) + 0,4d\quad\\ \end{array}$
Du kannst jetzt $\text{I}$ nach $c$ auflösen, in $\text{II}$ einsetzen und so nach $d$ lösen:
$\begin{array}[t]{rll} 0,6&=& 0,6c + 0,4(1-d)&\quad \scriptsize \mid\; -0,4(1-d) \\[5pt] 0,2 +0,4d&=& 0,6c&\quad \scriptsize \mid\; :0,6 \\[5pt] \frac{1}{3} + \frac{2}{3}d&=&c &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ \frac{1}{3} + \frac{2}{3}d=c $
Auflösen von $\text{II}$ nach $d$ und Einsetzen von $c$ ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} 0,4&=&0,6(1-c)+ 0,4d &\quad \scriptsize \mid\; -0,6(1-c) \\[5pt] -0,2+0,6c&=& 0,4d &\quad \scriptsize \mid\; :0,4 \\[5pt] -\frac{1}{2} + \frac{3}{2}c&=& d&\quad \scriptsize \mid\; c =\frac{1}{3} + \frac{2}{3}d \\[5pt] -\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\left(\frac{1}{3} + \frac{2}{3}d\right)&=&d &\quad \scriptsize \\[5pt] d&=&d &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ d =d $
Da das Einsetzen von $c$ in die zweite Gleichung eine wahre Aussage liefert, weißt du, dass die Umformung für $c$ richtig ist. Diese Gleichung von $c$ ist die gesuchte Abhängigkeit zwischen $c$ und $d$.
Damit ein einmal erreichter Anteil von $40\,\%$ erhalten bleibt, muss $c = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}d$ gelten.
$\blacktriangleright$  Parameter ermitteln
Es soll $d=0,8$ gelten, wobei gleichzeitig die gewünschte Verteilung erhalten bleiben soll. Du kannst den zugehörigen Wert für $c$ bestimmen, indem du $d=0,8$ in die oben bestimmte Abhängigkeit zwischen den beiden Parametern einsetzt:
$c = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}d = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\cdot 0,8 = \frac{13}{15} $
Damit die gewünschte Verteilung erhalten bleibt, muss $c = \frac{13}{15}$ für $d =0,8$ gelten.
d)
$\blacktriangleright$  Kundenanteil bestätigen
Gesucht ist hier nun ähnlich wie in Aufgabenteil b) der Verteilungsvektor $\overrightarrow{w}_1 = \begin{pmatrix}a_1\\b_1\\r_1 \end{pmatrix}$, wobei nun die Übergangsmatrix $P$ betrachtet wird. $r_1$ beschreibt den Anteil der Kunden, die im April die neue Kiste $R$ bestellen. Im März verteilen sich die Kunden wieder in der ursprünglichen Verteilung auf die ersten beiden Kisten: $a_0 = 0,6$ und $b_0 = 0,4$. Da die dritte Kiste hier noch nicht existiert ist $r_0 = 0$. Mit der Formel für die Verteilung zur Zeit $n+1$ ergibt sich dann hier:
$\overrightarrow{w}_1 = P\cdot \overrightarrow{w}_0 = \begin{pmatrix}0,9&0,15&0,15\\0,05&0,7&0,35\\0,05&0,15&0,5\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0,6\\0,4\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,9\cdot 0,6 + 0,15\cdot 0,4\\ 0,05\cdot 0,6+0,7\cdot 0,4 \\ 0,05\cdot 0,6+ 0,15\cdot 0,4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,6\\ 0,31\\ 0,09\end{pmatrix}$
$ \overrightarrow{w}_1 = \begin{pmatrix} 0,6\\ 0,31\\ 0,09\end{pmatrix}$
Die letzten beiden Einträge beschreiben den Kundenanteil der Kisten vom zweiten Anbieter. Insgesamt kaufen im April also $31\,\% + 9\,\% = 40\,\%$ der Kunden ihre Gemüsekiste beim zweiten Anbieter.
$\blacktriangleright$  Festen Kundenanteil nachweisen
Um den langfristig gleichen Anteil an Kunden des ersten Anbieters nachzuweisen, kannst du die Berechnung der Kundenverteilung zum Zeitpunkt $n$ genauer betrachten, insbesondere den ersten Eintrag des Verteilungsvektors:
$ \overrightarrow{w}_{n+1} = P \cdot \overrightarrow{w}_n = \begin{pmatrix}0,9&0,15&0,15\\0,05&0,7&0,35\\0,05&0,15&0,5\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0,6\\b_n\\r_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,9\cdot 0,6 +0,15b_n +0,15r_n \\ 0,05\cdot 0,6 +0,7b_n+0,35r_n \\ 0,05\cdot 0,6 + 0,15b_n + 0,5r_n\end{pmatrix}$
$ \overrightarrow{w}_{n+1} =… $
Da alle Kundenanteile zusammen $1$ ergeben müssen, gilt $b_n +r_n = 1-a_n = 0,4 $ .
$0,9\cdot 0,6 +0,15b_n +0,15r_n = 0,9\cdot 0,6 + 0,15(\underbrace{b_n+r_n}_{0,4}) =0,9\cdot 0,6 + 0,15\cdot 0,4 = 0,6 $
$ 0,9\cdot 0,6 +0,15b_n +0,15r_n = 0,6$
Also bleibt der Anteil des ersten Anbieters von $60\,\%$, unabhängig von der Verteilung der übrigen Kunden auf die anderen beiden Gemüsekisten, stabil.
$\blacktriangleright$  Grenzmatrix bestimmen
Eine Grenzmatrix besteht aus drei identischen Spalten, die die langfristige Verteilung beschreiben. Das heißt, dass sich die Kundenverteilung langfristig in diesem Bereich einpendelt. Da es nicht mehr oder weniger als $100\,\%$ Kunden geben kann, muss die Summe der Einträge dieser Verteilung immer $1$ sein. Zudem hast du oben schon bestimmt, dass sich eine Verteilung von $60\,\%$ für den ersten Anbieter nicht mehr ändert.
Also müssen die ersten Einträge der Grenzmatrix in jedem Fall $0,6$ sein. Dadurch fällt (iii) als mögliche Grenzmatrix raus. Wegen der Spaltensumme von $1$ kannst du wiederum (i) ausschließen. Insgesamt ist also (ii) die korrekte Grenzmatrix.
e)
$\blacktriangleright$  Eigenwert bestätigen
$\overrightarrow{v}$ ist genau dann ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda \neq 0 $ einer Matrix $A$, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:
$A\cdot \overrightarrow{v} = \lambda \cdot \overrightarrow{v}$
$A\cdot \overrightarrow{v}= \lambda \cdot \overrightarrow{v}$
Setze also ein und überprüfe, ob diese Gleichung für $P$, $\lambda_2$ und $\overrightarrow{e}_2$ erfüllt ist:
$P\cdot \overrightarrow{e}_2 = \begin{pmatrix}0,9&0,15&0,15\\0,05&0,7&0,35\\0,05&0,15&0,5\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0,35\\-0,35\end{pmatrix}$
$ P\cdot \overrightarrow{e}_2 =\begin{pmatrix} 0\\0,35\\-0,35\end{pmatrix} $
$\lambda_2 \cdot \overrightarrow{e}_2 = 0,35 \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0,35\\-0,35\end{pmatrix}$
Also ist der zum Eigenvektor $\overrightarrow{e}_2 $ gehörige Eigenwert tatsächlich $\lambda_2 = 0,35$
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Um die Werte für $s$ und $t$ zu bestimmen, kannst du die Eigenvektoren $\overrightarrow{e}_1$ und $\overrightarrow{e}_2$ in die Gleichung einsetzen. So erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen:
$\begin{pmatrix}0,6\\ 0,4\\ 0 \end{pmatrix} = s\cdot \begin{pmatrix}39\\17\\9 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\-1\end{pmatrix} $
$\begin{array}{} \text{I}\quad&0,6&=& 39s\quad \\ \text{II}\quad&0,4&=&17s+t\quad\\ \text{III}\quad&0&=&9s-t\quad\\ \end{array}$
Aus der ersten Gleichung kannst du direkt $s$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} 0,6&=&39s &\quad \scriptsize \mid\; :39\\[5pt] \frac{1}{65}&=& s \end{array}$
Einsetzen in $\text{II}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 0,4&=& 17s+t&\quad \scriptsize \mid\; s = \frac{1}{65}\\[5pt] 0,4&=&\frac{17}{65} +t &\quad \scriptsize \mid\; - \frac{17}{65} \\[5pt] \frac{9}{65}&=& t&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Überprüfe nun noch, ob diese Werte auch die dritte Gleichung erfüllen:
$ 9s-t = 9\cdot \frac{1}{65}-\frac{9}{65} =0$
Die Gleichung wird von $s= \frac{1}{65}$ und $t =\frac{9}{65}$ erfüllt.
f)
$\blacktriangleright$  Formel nachweisen
Du sollst folgende Formel für den Kundenanteil $r_n$ von Kiste $R$ nach $n$ Monaten nachweisen:
$r_n=\dfrac{9}{65}\cdot(1-0,35^n)$
Dafür darfst du folgende Gleichung für einen Eigenwert $\lambda$ und einen zugehörigen Eigenvektor $\overrightarrow{e}$ verwenden:
$M^n\cdot\vec{e}=\lambda^n\cdot\vec{e}$
Betrachte dazu die Berechnung des Verteilungsvektors $\overrightarrow{w}_n$ mit Hilfe der zweiten Variante der Formel für einen Verteilungsvektor aus Teilaufgabe b):
$\overrightarrow{w}_n = M^n \cdot \overrightarrow{w}_0$
Aus dem vorherigen Aufgabenteil weißt du, dass du $\overrightarrow{w}_0$ schreiben kannst als $\overrightarrow{w}_0 = \frac{1}{65}\cdot \overrightarrow{e}_1 + \frac{9}{65}\cdot \overrightarrow{e}_2$.
Dies kannst du nun in die obige Gleichung einsetzen und umformen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{w}_n&=&M^n \cdot \overrightarrow{w}_0 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&M^n\cdot \left(\frac{1}{65}\cdot \overrightarrow{e}_1 + \frac{9}{65}\cdot \overrightarrow{e}_2\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\frac{1}{65}\underbrace{M^n\cdot \overrightarrow{e}_1}_{\displaystyle{=\lambda_1^n\overrightarrow{e}_1}} + \frac{9}{65}\underbrace{M^n\cdot \overrightarrow{e}_2}_{\displaystyle{=\lambda_2^n\overrightarrow{e}_2}} &\quad \scriptsize \text{Hinweis} \\[5pt] &=&\frac{1}{65} \lambda_1^n\overrightarrow{e}_1 + \frac{9}{65}\lambda_2^n\overrightarrow{e}_2&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\frac{1}{65} 1^n\cdot \begin{pmatrix} 39\\17\\9\end{pmatrix} + \frac{9}{65}0,35^n\cdot\begin{pmatrix} 0\\1\\-1\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{w}_n = \frac{1}{65} 1^n \begin{pmatrix} 39\\17\\9\end{pmatrix} + \frac{9\cdot 0,35^n}{65}\begin{pmatrix} 0\\1\\-1\end{pmatrix} $
Betrachtest du jetzt den letzten Eintrag, der ja gerade $r_n$ ist, dann erhältst du:
$r_n = \frac{1}{65}\cdot 9 + \frac{9}{65}0,35^n\cdot (-1)= \frac{9}{65}-\frac{9}{65}0,35^n = \frac{9}{65}\cdot (1-0,35^n)$
$ r_n= \frac{9}{65}\cdot (1-0,35^n)$
$\blacktriangleright$  Formel interpretieren
Die obige Formel gibt den Anteil der Kunden an, die nach $n$ Monaten Kiste $R$ bestellen. In Aufgabenteil d) hast du bereits gezeigt, dass der Anbieter von Kiste $A$ dauerhaft $60\,\%$ der Kunden behält. Das heißt, dass sich noch $40\,\%$ der Kunden beim zweiten Anbieter auf Kiste $B$ und Kiste $R$ aufteilen. Den langfristigen Anteil der Kunden von Kiste $R$ kannst du bestimmen, indem du die Formel für sehr große Werte von $n$ betrachtest. Ausgehend davon kannst du dann auch den Anteil für Kiste $B$ bestimmen.
Für sehr große $n$ wird der Teil $0,35^n$ immer kleiner, konvergiert also gegen Null, damit konvergiert der Teil in der Klammer gegen $1$ und der gesamte Term $\frac{9}{65}\cdot (1-0,35^n)$ kovergiert dann gegen $\frac{9}{65} \approx 0,14$. Da Kiste $B$ und Kiste $R$ sich einen Anteil von $40\,\%$ teilen, bedeutet dies, dass $b_n$ gegen $0,26$ konvergiert.
Insgesamt wird sich die Kundenverteilung also langfristig gesehen so entwickeln, dass ca. $26\,\%$ der Kunden Kiste $B$ und $14\,\%$ Kiste $R$ bestellen.
Bildnachweise [nach oben]
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