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Stochastik

Aufgaben
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Schraubenfabrik
Eine Fabrik stellt Schrauben her. Der dafür benutzte Maschinentyp $Z_1$ produziert $1,2\,\%$ Ausschuss.
a)
Stochastik
Abbildung 1: Schrauben
Stochastik
Abbildung 1: Schrauben
(6P)
In der Fabrik arbeiten weitere Maschinen eines zweiten und dritten Typs ($Z_2$ und $Z_3$), die die gleichen Schrauben wie $Z_1$ herstellen. Sie sind zwar langsamer als die vom Typ $Z_1$, arbeiten dafür aber genauer.
Für den Typ $Z_2$ beträgt der Ausschuss nur $0,8\,\%$ und für den Typ $Z_3$ nur $0,6\,\%$. Da $Z_2$ und $Z_3$ langsamer sind, stellen die Maschinen $Z_2$ nur $30\,\%$ und die Maschinen $Z_3$ nur $25\,\%$ der gesamten Schraubenproduktion her.
Um eine ausgewogene Qualität sicherzustellen, werden die Schrauben vor dem Verpacken gemäß ihrer Produktionsanteile gemischt.
b)
Bestätige, dass bei dieser Art der Schraubenmischung ein Ausschussanteil von $0,93\,\%$ entsteht.
(6P)
Eine Auszubildende bemerkt:
„Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus der Gesamtproduktion herausgegriffene unbrauchbare Schraube von einer Maschine des Typs $Z_3$ produziert worden ist, müsste überschlagsweise etwa $0,16$ sein.“
c)
Beurteile die Aussage dieser Auszubildenden.
(7P)
Eines Tages beschwert sich ein Kunde, dass in einer Lieferung zu viele fehlerhafte Schrauben gewesen seien.
Die Schraubenfabrik möchte ausschließen, dass ihr Lagerbestand einen zu hohen Ausschussanteil enthält und plant deswegen einen Hypothesentest. Es sollen $1.500$ Schrauben untersucht werden, die Nullhypothese soll lauten: Die Ausschusswahrscheinlichkeit unter den untersuchten Schrauben ist $H_0:p\leq0,93\,\%$.
Das Signifikanzniveau soll $5\,\%$ betragen.
d)
  • Bestimme den Annahmebereich für diesen Hypothesentest.
  • Beschreibe die Bedeutung eines Fehlers $2$. Art im Sachkontext der Aufgabe.
  • Bestimme die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler $2$. Art für den Fall, dass der Ausschussanteil auf $1,0\,\%$ gestiegen ist.
  • Beurteile ein Untersuchungsergebnis von $22$ defekten Schrauben.
(12P)
Manche Branchen, z. B. die Automobilindustrie, verlangen, dass die Ausschussquote den $1$-Promille-Bereich nicht überschreiten darf. Um auch solche Firmen beliefern zu können, wird ein Teil der Produktion abgezweigt und einer speziellen Prüfung unterzogen. Man nimmt hierzu nur solche Schrauben, die von der Maschine $Z_3$ hergestellt wurden, da unter diesen der Anteil unbrauchbarer Schrauben von vornherein am geringsten zu erwarten ist ($0,6\,\%$).
Jede einzelne dieser Schrauben wird elektronisch auf Brauchbarkeit oder Unbrauchbarkeit getestet. Der Test erkennt $90\,\%$ der unbrauchbaren Schrauben als unbrauchbar und entfernt sie. Leider entfernt er irrtümlicherweise aber auch $2\,\%$ der brauchbaren Schrauben. Eine gegebene Schraubenauswahl kann mehrmals nacheinander getestet werden. Entfernte Schrauben werden nicht erneut getestet.
Nachdem eine vorgegebene Schraubenauswahl den Test $n$-mal durchlaufen hat, wird ihre Zusammensetzung modellhaft durch den Zustandsvektor $\vec{x}_n$ beschrieben. Es ist:
$\vec{x}_n=\begin{pmatrix}P_n(B)\\P_n(\overline{B})\\P_n(E)\end{pmatrix}$
Die Komponenten des Vektors sind die Wahrscheinlichkeiten für die in Klammern stehenden Ereignisse. Dabei steht B für „brauchbar“, B für „unbrauchbar“ und E für „entfernt“. Es gilt:
$\vec{x}_{n+1}=M\cdot\vec{x}_n$
e)
  • Begründe, dass die Übergangsmatrix $M$ durch die Form
    $M=\begin{pmatrix}0,98&0&0\\0&0,1&0\\m_{31}&m_{32}&1\end{pmatrix}$
    gegeben ist, und weise nach, dass $m_{31}=0,02$ und $m_{32}=0,9$ ist.
  • Untersuche, ob der erwartete Anteil unbrauchbarer, aber noch nicht entfernter Schrauben nach einmaligem Durchlaufen des Testes die Forderung, er liege im $1$-Promille-Bereich, erfüllt.
(7P)
f)
  • Begründe, dass $\vec{g}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ die Grenzverteilung der mit dem Testverfahren verbundenen Markov-Kette ist.
  • Ermittle algebraisch die zugehörige Grenzmatrix.
  • Begründe die Grenzmatrix aus dem Sachkontext heraus.
(12P)

(50P)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/Schrauben_st%C3%BCckverzinkt.jpg?uselang=de – Trissi1234 CC BY 4.0.
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ziehungen berechnen. Du benötigst dabei die Binomialverteilung. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist hierbei
$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
Keine unbrauchbaren Schrauben
Setze die entsprechenden Werte in die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung ein.
Mindestens eine unbrauchbare Schraube
Gesucht ist $P(X \geq 1)$, d.h. du suchst die Wahrscheinlichkeit, dass aus den zehn entnommenen Schrauben mindestens eine defekt ist. $P(X \geq 1)$ kannst du mit dem Gegenereignis umschreiben.
Höchstens zwei unbrauchbare Schrauben
Höchstens zwei Schrauben aus den zehn gezogenen sind defekt, d.h. $P(X \leq 2)$ ist gesucht. $P(X \leq 2)$ kannst du umschreiben in
$P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$.
$P(X \leq 2) = … $
b)
$\blacktriangleright$  Ausschussanteil von $\boldsymbol{0,93\,\%}$ bestätigen
Aus jeder Maschine kommt ein gewisser Anteil an Schrauben in die Verpackung. $45 \%$ der Schrauben kommen aus der Maschine $Z_1$, $30 \%$ aus der Maschine $Z_2$ und $25 \%$ aus $Z_3$. Um nun den gesamten Ausschussanteil zu bestimmen, multiplizierst du den prozentualen Anteil der Schrauben in der Verpackung von den jeweiligen Maschinen mit ihrem jeweiligen Ausschussanteil und addierst sie anschließend.
c)
$\blacktriangleright$  Anteil der fehlerhaften Schrauben von $\boldsymbol{Z_3}$ berechnen
Um den prozentualen Anteil einer Größe zu bestimmen, musst du diese Größe durch die Gesamtmenge teilen.
Den Gesamtanteil der fehlerhaften Schrauben hast du schon im Aufgabenteil b) bestimmt. Berechne wie viel die Maschine $Z_{3}$ zum Gesamtanteil beigetragen hat und bilde den entsprechenden Quotienten.
d)
$\blacktriangleright$  Annahmebereich des Hypothesentests bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du den Annahmebereich des Hypothesentests bestimmen.
Da die Testgröße binomialverteilt ist, handelt es sich bei dem Hypothesentest um einen rechtsseitigen Binomialtest.
Bei einem Hypothesentest stellst du eine Behauptung auf $-$ die sogenannte Nullhypothese $\boldsymbol{H_{0}}$. In diesem Fall lautet die Nullhypothese $H_0:$ $p \leq 0,93 \%.$ Die Alternativhypothese ist demnach $H_1:$ $p > 0,93 \%.$
Der Annahmebereich $A$ der Nullhypothese umfasst die Anzahl der defekten Schrauben zwischen $0$ und $k$ bei dem die Nullhypothese nicht verworfen wird: $A=\{ 0, …, k \}$. Folglich ist der Ablehnungsbereich $\tilde{A} = \{ k+1, …, 1.500 \}$, d.h. wenn sich die Testgröße in dem Ablehnungsbereich befindet wird die Nullhypothese $H_0$ verworfen. Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, dass $H_0$ zu unrecht verworfen wird höchstens $\alpha = 5 \%.$
$\blacktriangleright$  Bedeutung des Fehlers $\boldsymbol{2}$. Art erklären
Ein Fehler 2. Art bedeutet, die Nullhypothese $H_0$ fälschlicherweise anzunehmen.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit des Fehlers $\boldsymbol{2}$. Art bei einem Ausschussanteil von $\boldsymbol{1,0\,\%}$ berechnen
Um den Fehler $2.$ Art zu bestimmen, musst du $p=0,01$ und n=$1.500$ wählen und die Werte in die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung einsetzen. Prüfe, ob du als Approximation die Normalverteilung verweden kannst.
$\blacktriangleright$  Beurteilung des Versuchsergebnisses von $\boldsymbol{22}$ Schrauben
Prüfe, ob die Anzahl von $22$ Schrauben im Annahmebereich liegt.
e)
$\blacktriangleright$  Übergangsmatrix erklären
Jeder Eintrag $a_{ij}$ in der Übergangsmatrix beschreibt die Wahrscheinlichkeit von Zustand $j$ zum Zustand $i$ zu wechseln. Die Spaltensumme ist dabei immer $1$.
$\blacktriangleright$  Anteil der unbrauchbaren Schrauben nach einmaligem Durchlauf berechnen
$1,2 \%$ der Schrauben sind unbrauchbar. In jedem Durchlauf werden $10 \%$ der unbrauchbaren Schrauben von der Maschine nicht erkannt.
f)
$\blacktriangleright$  Einträge der Grenzverteilung $\boldsymbol{\vec{g}}$ begründen
Die Maschine entfernt in jedem Durchgang $2 \%$ der brauchbaren und $90 \%$ der unbrauchbaren Schrauben, d.h. in jedem Durchgang sinkt die Gesamtanzahl der Schrauben. Wenn du nun eine große Zahl an Durchgängen durchführst, so stellst du fest, dass alle Schrauben auf lange Sicht von der Maschine als unbrauchbar erkannt werden, d.h. im Zustand $E$ landen.
$\blacktriangleright$  Grenzwertmatrix berechnen
Die Grenzmatrix $G$ berechnest du, indem du die Matrix $M$ mit $n$ potenzierst und $n$ gegen unendlich laufen lässt. Bevor du allerdings den allgemeinen Fall $M^n$ betrachtest, versuchst du zuerst $M^2$, $M^3$, … solange zu bestimmen bis du eine Rechenregel für den allgemeinen Fall $n$ gefunden hast.
$\blacktriangleright$  Einträge der Grenzwertmatrix erklären
Die erste/zweite/dritte Spalte gibt die Wahrscheinlichkeiten auf lange Sicht in den Zuständen $B$, $\bar{B}$ und $E$ zu landen an, wenn man im Zustand $B$/$\bar{B}$/$E$ startet.
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ziehungen berechnen. Du benötigst dabei die Binomialverteilung. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist hierbei
$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
Dabei beschreibt in diesem Fall $n$ die Anzahl der Ziehungen ($n=10$), $X$ die Anzahl der unbrauchbaren Schrauben aus diesen $10$ Ziehungen und $p$ die Wahrscheinlichkeit, dass eine defekte Schraube gezogen wird ($p = 1,2 \,\%$).
Keine unbrauchbaren Schrauben
Keine der $10$ Schrauben soll defekt sein, also setzt du $k=0$.
$\begin{array}[t]{rll} P(X=0) &=& \binom{10}{0} \cdot 0,012^0 \cdot (1-0,012)^{10-0} \\[5pt] &=& 1 \cdot 1 \cdot 0,988^{10} \\[5pt] &\approx& 0,886 \\[5pt] &=& 88,6 \,\% \end{array}$
$P(X=0) = … $
D.h. wenn du zufällig $10$ Schrauben ziehst, ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine defekt ist $88,6 \%.$
Mindestens eine unbrauchbare Schraube
Gesucht ist $P(X \geq 1)$, d.h. du suchst die Wahrscheinlichkeit, dass aus den zehn entnommenen Schrauben mindestens eine defekt ist. $P(X \geq 1)$ kannst du mit dem Gegenereignis umschreiben in $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0).$ Die Wahrscheinlichkeit, dass aus zehn Ziehungen höchstens zehn Schrauben defekt sind, ist $1$. $P(X = 0)$ ist schon aus dem ersten Aufgabenteil bekannt. Also folgt für
$\begin{array}[t]{rll} P(X \geq 1) &=& 1 - P(X = 0) \\[5pt] &\approx& 1 - 0,886 \\[5pt] &=& 0,114 \\[5pt] &=& 11,4 \,\% \end{array}$
$P(X \geq 1) = … $
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Schraube defekt ist, beträgt also $11,4 \,\%$.
Höchstens zwei unbrauchbare Schrauben
Die Wahrscheinlichkeit ist gesucht, dass höchstens zwei Schrauben aus den zehn gezogenen defekt sind, d.h. $P(X \leq 2)$ ist gesucht. $P(X \leq 2)$ kannst du umschreiben in
$P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$.
$P(X \leq 2) = … $
Somit musst du $P(X=1)$ und $P(X=2)$ berechnen, $P(X=0)$ ist aus dem ersten Teil der Aufgabe bekannt.
$\begin{array}[t]{rll} P(X=1) &=& \binom{10}{1} \cdot 0,012^1 \cdot (1-0,012)^{10-1} \\[5pt] &=& 10 \cdot 0,012 \cdot 0,988^{9} \\[5pt] &\approx& 0,108 \end{array}$
$P(X=1) = … $
$\begin{array}[t]{rll} P(X=2) &=& \binom{10}{2} \cdot 0,012^2 \cdot (1-0,012)^{10-2} \\[5pt] &=& 45 \cdot 0,000144 \cdot 0,988^{8} \\[5pt] &\approx& 0,0059. \end{array}$
$P(X=2) = … $
Somit ist $P(X \leq 2)$ gegeben durch
$\begin{array}[t]{rll} P(X=2) &=& P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\\[5pt] &=& 0,886 + 0,108 + 0,0059 \\[5pt] &\approx& 0,9999 \\[5pt] &=& 99,99 \,\% \end{array}$
$P(X=2) = … $
Die Wahrscheinlichkeit, dass aus den zehn entnommenen Schrauben höchstens zwei defekt sind, beträgt also nahezu $100 \,\%.$
b)
$\blacktriangleright$  Ausschussanteil von $\boldsymbol{0,93 \,\%}$ bestätigen
Aus jeder Maschine kommt ein gewisser Anteil an Schrauben in die Verpackung. $45 \%$ der Schrauben kommen aus der Maschine $Z_1$, $30 \,\%$ aus der Maschine $Z_2$ und $25 \%$ aus $Z_3$. Um nun den gesamten Ausschussanteil zu bestimmen, multiplizierst du den prozentualen Anteil der Schrauben in der Verpackung von den jeweiligen Maschinen mit ihrem jeweiligen Ausschussanteil und addierst sie anschließend.
$0,45 \cdot 1,2 \,\% + 0,3 \cdot 0,8 \,\% + 0,25 \cdot 0,6 \,\% = 0,93 \,\%.$
$0,45 \cdot 1,2 \,\% + … $
Somit liegt der gesamte Ausschussanteil bei $0,93 \,\%.$
c)
$\blacktriangleright$  Anteil der fehlerhaften Schrauben von $\boldsymbol{Z_3}$ berechnen
Um den prozentualen Anteil einer Größe zu bestimmen, musst du diese Größe durch die Gesamtmenge teilen.
Den Gesamtanteil der fehlerhaften Schrauben hast du schon im Aufgabenteil b) bestimmt. Dabei hat die Maschine $Z_3$ $0,25 \cdot 0,6 = 0,15$ zu $0,93$ beigetragen. Somit teilen wir $0,15$ durch die Gesamtmenge $0,93$
$\dfrac{0,15}{0,93} \approx 0,16 = 16 \,\%.$
Folglich hat der Auszubildende mit seiner Aussage recht.
d)
$\blacktriangleright$  Annahmebereich des Hypothesentests bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du den Annahmebereich des Hypothesentests bestimmen.
Da die Testgröße binomialverteilt ist, handelt es sich bei dem Hypothesentest um einen rechtsseitigen Binomialtest.
Bei einem Hypothesentest stellst du eine Behauptung auf $-$ die sogenannte Nullhypothese $\boldsymbol{H_{0}}$. In diesem Fall lautet die Nullhypothese $H_0:$ $p \leq 0,93 \,\%.$ Die Alternativhypothese ist demnach $H_1:$ $p > 0,93 \,\%.$ Rechtsseitig ist der Test, weil $p$ kleiner oder gleich $0,93 \,\%.$
Der Annahmebereich $A$ der Nullhypothese umfasst die Anzahl der defekten Schrauben zwischen $0$ und $k$ bei dem die Nullhypothese nicht verworfen wird: $A=\{ 0, …, k \}$. Folglich ist der Ablehnungsbereich $\tilde{A} = \{ k+1, …, 1.500 \}$, d.h. wenn sich die Testgröße in dem Ablehnungsbereich befindet wird die Nullhypothese $H_0$ verworfen. Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, dass $H_0$ zu unrecht verworfen wird höchstens $\alpha = 5 \,\%.$
Deine Aufgabe besteht nun darin das $k$ und somit den Annahmebereich zu bestimmen. Dies erfordert zuerst die Berechnung vom Erwartungswert und der Standardabweichung, damit du das gesuchte $P(X \geq k+1)$ bestimmen kannst.
Der Erwartungswert bei einer Binomialverteilung lautet $\mu = n \cdot p = 1.500 \cdot 0,0093 = 13,95.$
Die Standardabweichung ist
$\begin{array}[t]{rll} \sigma &=& \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} \\[5pt] &=& \sqrt{1.500 \cdot 0,0093 \cdot (1-0,0093)} \\[5pt] &=& \sqrt{1.500 \cdot 0,0093 \cdot 0,9907} \\[5pt] &=& \sqrt{13,820265} \\[5pt] &\approx& 3,72. \end{array}$
$\sigma \approx 3,72 $
Die Anzahl $n = 1.500$ der betrachteten Schrauben ist sehr groß und die Laplace-Bedingung $\sigma \approx 3,72 > 3$ ist erfüllt, d.h. du kannst die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximieren.
$\begin{array}[t]{rll} P(X \geq k+1) = 1 - P(X \leq k) &\leq& 0,05 \\[5pt] 0,95 &\leq& P(X \leq k) \quad \scriptsize &\mid\; \text{mit Normalverteilung approximieren} \\[5pt] 0,95 &\leq& \Phi \left( \dfrac{k-\mu}{\sigma} \right) \end{array}$
$ 0,95 \leq \Phi \left( \dfrac{k-1-\mu}{\sigma} \right)$
Jetzt siehst du in der Normalverteilungstabelle nach, für welche Werte $\Phi(x)$ größer oder gleich $0,95$ ist. Dies ist für $x \geq 1,65$ der Fall. Somit folgt
$\begin{array}[t]{rll} 1,65 &\leq& \dfrac{k-\mu}{\sigma} \\[5pt] k &\geq& 1,65 \sigma + \mu. \end{array}$
Für $\mu = 13,95$ und $\sigma = 3,72$ folgt für $k \geq 1,65 \cdot 3,72 + 13,95 = 20,088.$
Somit ist der Annahmebereich $A= \{ 0, 1, … , 21 \}.$
$\blacktriangleright$  Bedeutung des Fehlers $\boldsymbol{2}$. Art erklären
Ein Fehler 2. Art bedeutet, die Nullhypothese $H_0$ fälschlicherweise anzunehmen. Das heißt in diesem Fall, dass $x$ im Annahmebereich liegt und so davon ausgegangen wird, dass die Nullhypothese $p \leq 0,93 \,\%$ gilt. In Wirklichkeit gilt aber $H_1$, also ist $p$ eigentlich größer als $0,93 \,\%.$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit des Fehlers $\boldsymbol{2}$. Art bei einem Ausschussanteil von $\boldsymbol{1,0 \,\%}$ berechnen
Um den Fehler $2.$ Art zu bestimmen, musst du $p=0,01$ und n=$1.500$ wählen und die Werte in die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung einsetzen. Gesucht ist also $P(0 \leq X \leq 20)$. Da die Anzahl $n=1.500$ groß ist, kannst du als Approximation die Normalverteilung verwenden, sodass gilt
$\begin{array}[t]{rll} P(0 \leq X \leq 20) &\approx& \Phi \left( \dfrac{20 - \mu}{\sigma} \right) - \Phi \left( \dfrac{0 - \mu}{\sigma} \right) &\quad \scriptsize &\mid\ \text{setze die entsprechenden Werte ein}; \\[5pt] &=&\Phi \left( \dfrac{20 - 13,95}{3,72} \right) - \Phi \left( \dfrac{0 - 13,95}{3,72} \right) \\[5pt] &=&\Phi \left( 1,63 \right) - \left( 1 - \Phi \left( 3,75 \right) \right) \\[5pt] &\approx& 0,948 &=& 94,8 \,\% \end{array}$
$P(0 \leq X \leq 20) \approx … $
Somit beträgt die Fehlerwahrscheinlichkeit $1-0,948 = 0,052 = 5,2 \,\%.$
$\blacktriangleright$  Beurteilung des Versuchsergebnisses von $\boldsymbol{22}$ Schrauben
Eine Anzahl von $22$ Schrauben liegt nicht im Annahmebereich der Nullhypothese, das bedeutet, dass $H_0$ verworfen wird und die Alternativhypothese $H_1$, also $p > 0,0093$ angenommen wird.
e)
Stochastik
Abb. 1: Zustände $B$, $\bar{B}$ und $E$
Stochastik
Abb. 1: ZUstände $B$, $\bar{B}$ und $E$
Als nächstes betrachtest du die zweite Spalte.
Eine unbrauchbare Schraube kann durch die Prüfung der Maschine nicht brauchbar gemacht werden. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit von $\bar{B}$ nach $B$ zu wechseln $m_{21} = 0$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine unbrauchbare Schraube durch die Prüfung nicht erkannt wird, also in dem Zustand $\bar{B}$ bleibt, beträgt $m_{22} = 0,1$.
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine fehlerhafte Schraube entfernt wird $m_{32} = 0,9$.
Die entfernten Schrauben werden nicht mehr betrachtet und können nicht mehr in andere Zustände wechseln, d.h. $a_{13} = 0$, $a_{23} = 0$ und $a_{33} =1$.
$\blacktriangleright$  Anteil der unbrauchbaren Schrauben nach einmaligem Durchlauf berechnen
$1,2\,\%$ der Schrauben sind unbrauchbar. In jedem Durchlauf werden $10 \,\%$ der unbrauchbaren Schrauben von der Maschine nicht erkannt, d.h. nach dem ersten Durchlauf sind nur noch $0,012 \cdot 0,1 = 0,0012 $ der Schrauben defekt. Somit liegt der Anteil der unbrauchbaren Schrauben nach dem ersten Durchlauf im Promillebereich.
f)
$\blacktriangleright$  Einträge der Grenzverteilung $\boldsymbol{\vec{g}}$ begründen
Die Maschine entfernt in jedem Durchgang $2 \,\%$ der brauchbaren und $90 \,\%$ der unbrauchbaren Schrauben, d.h. in jedem Durchgang sinkt die Gesamtanzahl der Schrauben. Wenn du nun eine große Zahl an Durchgängen durchführst, so stellst du fest, dass alle Schrauben auf lange Sicht von der Maschine als unbrauchbar erkannt werden, d.h. im Zustand $E$ landen. Somit sind die ersten beiden Einträge des Vektors, die die Wahrscheinlichkeiten in den Zuständen $B$ und $\bar{B}$ zu landen beschreiben, gleich $0$ und der dritte Eintrag, der die Wahrscheinlichkeit auf lange Sicht im Zustand $E$ zu landen beschreibt gleich $1$. Also ist $\vec{g}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$.
$\blacktriangleright$  Grenzwertmatrix berechnen
Die Grenzmatrix $G$ berechnest du, indem du die Matrix $M$ mit $n$ potenzierst und $n$ gegen unendlich laufen lässt. Bevor du allerdings den allgemeinen Fall $M^n$ betrachtest, versuchst du zuerst $M^2$, $M^3$, … solange zu bestimmen bis du eine Rechenregel für den allgemeinen Fall $n$ gefunden hast.
$M^2 = \begin{pmatrix}0,98&0&0\\0&0,1&0\\0,02&0,9&1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0,98&0&0\\0&0,1&0\\0,02&0,9&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,98^2&0&0\\0&0,1^2&0\\1-0,98^2&1-0,1^2&1\end{pmatrix}$
$M^2 = … $
$M^3 = \begin{pmatrix}0,98&0&0\\0&0,1&0\\0,02&0,9&1\end{pmatrix} \cdot M^2 = \begin{pmatrix}0,98^3&0&0\\0&0,1^3&0\\1-0,98^3&1-0,1^3&1\end{pmatrix}$
$M^3 = … $
Nachdem du $M^2$ und $M^3$ bestimmt hast, erkennst du, dass für den allgemeinen Fall $M^n$ gilt:
$M^n = \begin{pmatrix}0,98^n&0&0\\0&0,1^n&0\\1-0,98^n&1-0,1^n&1\end{pmatrix}.$
$M^n = … $
Nun lässt du $n$ gegen $\infty$ konvergieren und erhältst die Grenzwertmatrix
$\begin{array}[t]{rll} G &=& \lim_{n \rightarrow \infty} M^n \\[5pt] &=& \lim_{n \rightarrow \infty} \begin{pmatrix}0,98^n&0&0\\0&0,1^n&0\\1-0,98^n&1-0,1^n&1\end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}\lim_{n \rightarrow \infty} 0,98^n&0&0\\0&\lim_{n \rightarrow \infty} 0,1^n&0\\1-\lim_{n \rightarrow \infty} 0,98^n&1-\lim_{n \rightarrow \infty} 0,1^n&1\end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1-0&1-0&1\end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}. \end{array}$
$G = \lim_{n \rightarrow \infty} M^n = … $
$\blacktriangleright$  Einträge der Grenzwertmatrix erklären
Die erste Spalte gibt die Wahrscheinlichkeiten auf lange Sicht in den Zuständen $B$, $\bar{B}$ und $E$ zu landen an, wenn man im Zustand $B$ startet. Da alle brauchbaren Schrauben auf lange Sicht von der Maschine entfernt werden, landen sie in $E$. Das Gleiche gilt für die zweite Spalte und den Startzustand $\bar{B}$. Eine entfernte Schraube bleibt in dem entfernten Zustand, sodass sich die Grenzmatrix
$G = \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}$ ergibt.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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