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Analysis 2

Aufgaben
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Rutsche

Ein bayrisches Erholungsgebiet hat seit vielen Jahren mit schwindenden Urlauberzahlen zu kämpfen. Um vor allem jüngeres Publikum anzulocken, will die Betreiberin eines Freibades als Marketingaktion eine fest installierte große Rutsche bauen, über die man in ein Schwimmbecken fliegen kann.
Das Seitenprofil der geplanten Rutsche kann mit der Funktion $f$ mit
$f(x) = 2\cdot e^{\frac{1}{8}x-\frac{9}{5}} $$+ 2\cdot e^{-\frac{1}{8}x+\frac{9}{5}}-3$, $x \in [0;20]$
beschrieben werden (siehe Abbildung 2 in der Anlage). Dabei ist $x$ die horizontale Entfernung vom Fußpunkt des Startpunktes der Rutsche in $m$ und $f(x)$ die Höhe der Rutsche in Metern über dem Erdboden bzw. der Wasseroberfläche des Schwimmbeckens.
Im Folgenden werden die Bauform und die Eigenschaften der Rutsche näher untersucht.
a)
Bestätige, dass die Rutsche an ihrem Startpunkt eine Höhe von $9,4\,\text{m}$ aufweist.
(3P)
#exponentialfunktion
b)
  • Bestätige, dass $f'(x)$$=\frac{1}{4}\cdot e^{\frac{1}{8}x $$-\frac{9}{5}}-{\frac{1}{4}\cdot e^{-\frac{1}{8}x+\frac{9}{5}}}$ die Ableitung von $f$ ist.
  • Bestimme die durchschnittliche Steigung vom Beginn der Rutsche bis zu deren niedrigsten Punkt.
  • Bestätige, dass die vorliegende Funktion $f$ keinen Wendepunkt besitzt.
  • Begründe mithilfe deiner bisherigen Ergebnisse und des Funktionsgraphen, dass die Rutsche am Startpunkt das größte Gefälle aufweist.
    Untersuche, ob die Bedingung für den Steigungswinkel erfüllt ist.
(14P)
#exponentialfunktion#wendepunkt#ableitung#steigung
c)
Berechne, ausgehend von einer Rutschenbreite von $4\,\text{m}$, wie viel Werbefläche über die komplette Rutschenlänge von $20\,\text{m}$ zur Verfügung steht (siehe Abbildung 2 in der Anlage).
(8P)
#integral
Die Rutsche soll an ihrem unteren Ende etwas nach oben verlaufen (siehe Abbildung 2 in der Anlage). Hier werden die Badegäste zu einem Flug ansetzen. Der Flug durch die Luft lässt sich gut durch eine quadratische Funktion $g$ mit
$g(x) = ax^2 + bx + c$, $x \in [20;28]$
beschreiben (vgl. Abbildung 3 in der Anlage). Dabei ist $x$ die horizontale Entfernung vom Fußpunkt des Startpunktes der Rutsche in $m$ und $g(x)$ die Flughöhe über der Wasseroberfläche in $m$. Es sind $a, b, c \in \mathbb{R}$. Die fliegende Person kann vereinfacht als Punkt betrachtet werden. Die Flugweite und -höhe hängen unter anderem vom Winkel am Abflugpunkt am Rutschende ab. Dieser Winkel entspricht dem Steigungswinkel am Ende der nach oben gebogenen Rutsche.
d)
  • Ermittle die Funktionsgleichung der Funktion $g$, die den Flug einer Person, die von der Rutsche abfliegt und nach acht Metern $(x=28)$ ins Wasser eintaucht, beschreibt.
    Gib die Koeffizienten mit einer Genauigkeit von vier Nachkommastellen an.
    (Zur Kontrolle: Es ist $g(x)\approx -0,079x^2 + 3,5387x - 37,1597$. Je nach Lösungsverfahren kann es bei den Koeffizienten zu Abweichungen kommen.)
  • Bestimme die maximale Flughöhe, die von dieser Person nach dem Abflug erreicht wird.
(8P)
#ganzrationalefunktion#gleichungssystem#extrempunkt
Die Planer gehen davon aus, dass sich nicht alle Besucher trauen, die Rutschpartie mit einem waghalsigen Flug abzuschließen.
Deshalb erwägen sie, eine zweite Rutsche mit einer etwas anderen Form neben der ersten zu errichten. Diese Rutsche soll für $x< 13$ das gleiche Profil wie die erste Rutsche haben. Sie soll aber für $x\geq 13$ lückenlos an $f$ anschließen und als Tangente nach unten in Richtung auf die Wasseroberfläche laufen, wo sie endet.
e)
  • Zeichne den veränderten Verlauf in der Abbildung 2 in der Anlage ein.
  • Ermittle den horizontalen Abstand zwischen dem Startpunkt der Rutsche und dem Ort, an dem die ebene Rutsche auf die Wasseroberfläche trifft.
  • Entscheide, ob bei $x=13$ ein Krümmungssprung vorliegt.
(12P)
#krümmung#abstand
Einige Planer überlegen weitere Varianten für die Rutsche. Das Rutschenprofil lässt sich etwas allgemeiner mit einer Funktion $h$ mit
$h(x) = 2\cdot e^{d\cdot x-q} $$+ 2\cdot e^{-d\cdot x + q}-3$, $x \in [0;20], d> 0, q\geq 0$
beschreiben. Dabei ist $x$ die horizontale Entfernung vom Fußpunkt des Startpunktes der Rutsche in $m$ und $h(x)$ die Höhe in $m$ über der Erdoberfläche.
f)
Beurteile die folgende Aussage:
Bei einer Verkleinerung des Parameters $q$ bleibt die Höhe des Startpunktes gleich, während sich der Abflugwinkel am Rutschende erhöht. Der Parameter $d$ soll dabei unverändert bleiben.
(5P)
#winkel#exponentialfunktion

Anlage zur Aufgabe „Rutsche“

Analysis 2
Abb. 2: Seitenansicht der Rutsche
Analysis 2
Abb. 2: Seitenansicht der Rutsche
Analysis 2
Abb. 3: Flug von der Rutsche
Analysis 2
Abb. 3: Flug von der Rutsche
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
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© 2016 – SchulLV.
[3]
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Tipps
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a)
$\blacktriangleright$  Höhe der Rutsche bestätigen
Die Höhe der Rutsche über dem Erdboden bzw. der Wasseroberfläche wird durch die Funktion $f$ beschrieben. Da $x$ die horizontale Entfernung vom Fußpunkt des Startpunkts angibt, beginnt die Rutsche gerade bei $x=0$. Also ergibt sich die Höhe der Rutsche am Startpunkt als $f(0)$.
b)
$\blacktriangleright$  Ableitungsfunktion bestätigen
Um die gegebene Ableitungsfunktion zu bestätigen, leite $f$ einmal ab und vergleiche beide Ergebnisse miteinander. Du kannst dazu die Kettenregel verwenden.
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Steigung bestimmen
Die durchschnittliche Steigung vom Beginn der Rutsche bis zu deren niedrigsten Punkt kannst du über die durchschnittliche Änderungsrate des Graphen von $f$ im Intervall $[0,x_T]$ berechnen. Dabei ist $x_T$ die Stelle mit dem niedrigsten Punkt. Die durchschnittliche Änderungsrate $\overline{m}$ des Graphen einer Funktion $f$ im Intervall $[a,b]$ kannst du über folgende Formel berechnen:
$\overline{m}= \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
$\overline{m}= \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
$x_T$ ist die globale Minimalstelle des betrachteten Intervalls $[0,20]$. Berechne dazu zunächst die lokale Minimalstelle $x_M$, mit Hilfe der beiden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x_M)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f''(x_M)> 0$
Anschließend musst du noch die Intervallgrenzen auf Randextrema überprüfen, indem du den Funktionswert in $x_M$ mit denen in den Intervallgrenzen vergleichst und den kleinsten auswählst.
$\blacktriangleright$  Bestätigen, dass es keinen Wendepunkt gibt
Untersuche den Graphen von $f$ auf Wendepunkte mit Hilfe der beiden Kriterien für eine Wendestelle $x_W$:
  • Notwendiges Kriterium: $f''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f'''(x_W)\neq 0$
Wende also zunächst das notwendige Kriterium an, indem du $f''(x)=0$ setzt und nach $x$ löst. Überprüfe anschließend, ob es sich dabei tatsächlich um eine Wendestelle handelt, indem du das hinreichende Kriterium überprüfst.
$\blacktriangleright$  Lage der Stelle mit dem größten Gefälle begründen
Du sollst begründen, dass die Rutsche am Startpunkt das steilste Gefälle aufweist. Dazu sollst du deine bisherigen Ergebnisse und den Funktionsgraphen von $f$ verwenden. Überlege dir also, wie man den Punkt mit dem stärksten Gefälle charakterisieren kann und wie du deine bisherigen Erkenntnisse dazu verwenden kannst. Schließe dadurch auf die Stelle, an der der Graph von $f$ im Intervall $[0,20]$ am stärksten fällt.
Die Steigung eines Graphen wird durch die erste Ableitung beschrieben. Also ist die Stelle mit dem steilsten Gefälle eine Minimalstelle der ersten Ableitung $f'$.
$\blacktriangleright$  Bedingung für den Steigungswinkel überprüfen
Du sollst überprüfen, ob die Rutsche tatsächlich an keiner Stelle mehr als $60^{\circ}$ abfällt. Berechne dazu den Steigungswinkel an der Stelle mit dem steilsten Gefälle. Du hast oben bereits gezeigt, dass die Rutsche am Anfang am steilsten abfällt. Berechne also den Winkel $\alpha$, den $f$ an der Stelle $x=0$ mit der Horizontalen einschließt. Dazu kannst du folgende Formel verwenden:
$m = \tan(\alpha)$
$m = \tan(\alpha)$
$m$ bezeichnet dabei die Steigung des Graphen an der betrachteten Stelle, also ist $m=f'(0)$ in diesem Fall. Setze in die Formel ein.
c)
$\blacktriangleright$  Größe der Werbeflächen berechnen
Es gibt vier verschiedene Werbeflächen, die du auf unterschiedliche Weisen berechnen kannst:
  • $A_s$: Die beiden Seitenflächen sind gleich groß.
  • $A_a$: Die Stirnfläche am Anfang der Rutsche ist ein Rechteck.
  • $A_e$: Die Stirnfläche am Ende der Rutsche ist ebenfalls ein Rechteck, aber mit anderen Maßen.
Die Größe einer Seitenfläche ergibt sich aus der Größe der Fläche unterhalb des Graphen von $f$ im Intervall $[0,20]$ und kann daher über ein Integral berechnet werden.
Die beiden Stirnflächen haben eine Breite von $4$ Metern. Die jeweilige Höhe ergibt sich über die Höhe der Rutsche an den beiden Endpunkten, also über den Funktionswert an den Stellen $x=0$ und $x=20$.
d)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung ermitteln
Du sollst eine Funktionsgleichung ermitteln, die die Flugbahn eines Rutschenden beschreibt. Diese hat folgende Form:
$g(x)= ax^2 +bx +c$
$g(x)= ax^2 +bx +c$
Du benötigst also drei Bedingungen, aus denen du ein lineares Gleichungssystem aufstellen kannst. Dies kannst du dann nach $a$ ,$b$ und $c$ lösen. Die Bedingungen erhältst du aus dem Aufgabentext.
  • $8$ Meter nach dem Ende der Rutsche trifft der Rutschende auf die Wasseroberfläche, $g$ hat also bei $x=28$ eine Nullstelle.
  • Der Graph von $g$ schließt sich direkt an den Graphen von $f$ an, beide müssen also in $x=20$ denselben Funktionswert besitzen.
  • Die Flugbahn soll im selben Winkel starten, wie die Rutsche endet, die Steigung von $g$ bei $x=20$ ist also die gleiche wie von $f$.
$\blacktriangleright$  Maximale Flughöhe bestimmen
Die maximale Flughöhe ergibt sich aus dem Maximum von $g$. Bestimme also die Stelle mit dem größten Funktionswert von $g$ mit Hilfe der beiden Kriterien für eine Maximalstelle $x_H$ und berechne anschließend den Funktionswert an dieser Stelle.
  • Notwendiges Kriterium: $g'(x_H)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $g''(x_H) < 0$
e)
$\blacktriangleright$ Veränderten Ablauf einzeichnen
Beachte beim Einzeichnen, dass sich der Verlauf ab $x=13$ ändert. Das veränderte Ende der Rutsche soll als Tangente an $f$ nach unten in Richtung Wasser laufen. Der Verlauf wird also durch eine Gerade beschrieben.
$\blacktriangleright$  Horizontalen Abstand ermitteln
Gesucht ist der horizontale Abstand zwischen dem Startpunkt und dem Punkt, in dem die ebene Rutsche auf die Wasseroberfläche trifft. Da der Startpunkt bei $x=0$ liegt, ergibt sich der Abstand gerade aus der Nullstelle der Tangente, die das ebene Ende der Rutsche modelliert.
Um diese Nullstelle zu bestimmen, musst du zunächst die Tangentengleichung $t(x)= mx+b$ bestimmen. Diese soll an der Stelle $x =13$ tangential zum Graphen von $f$ verlaufen:
  • Die Steigung von $t$ muss der von $f$ an der Stelle $x=13$ entsprechen: $\quad m =f'(13)$
  • $t$ muss an der Stelle $x=13$ denselben Funktionswert besitzen wie $f$: $\quad t(13)=f(13)$
Berechne also zunächst $m=f'(13)$ und $f(13)$. Anschließend kannst du dies in $t(x)$ einsetzen und so noch $b$ berechnen. Zum Schluss kannst du dann die Nullstelle und so auch den gesuchten Abstand berechnen.
$\blacktriangleright$  Entscheiden, ob ein Krümmungssprung vorliegt
Du sollst entscheiden, ob an der Übergangsstelle $x=13$ ein Krümmungssprung vorliegt, also ob $t$ und $f$ an dieser Stelle die gleiche Krümmung besitzen. Die Krümmung einer Geraden ist immer Null. Überlege also, wann die Krümmung von $f$ auch Null ist und, ob dies an der Stelle $x=13$ der Fall ist.
f)
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Du sollst beurteilen, ob bei einer Verkleinerung von $q$ die Rutschenhöhe am Startpunkt gleichbleibt und der Abflugwinkel am Ende zunimmt.
Damit die Rutschenhöhe gleichbleibt, muss $h(0)$ bei festem $d$ für jedes $q$ identisch sein. Du kannst $a(q)=h(0)$ als Funktion von $q$ auffassen. Überprüfe also, ob es sich bei $a$ um eine konstante Funktion handelt. Dies ist der Fall, wenn $a'(q)=0$ ist für alle $q$, da dann die Änderungsrate immer Null ist.
Dass der Steigungswinkel am Ende der Rutsche für kleineres $q$ größer werden soll bedeutet, dass die Steigung für größer werdende $q$ kleiner wird. Es soll also $h'(20)$ für größere $q$ immer kleiner werden. Auch dies kannst du als Funktion von $q$ auffassen: $w(q)=h'(20)$. Überprüfe also, ob $w$ streng monoton fallend ist. Dazu kannst du folgendes verwenden:
Ist $f'(x) < 0$, dann ist $f$ streng monoton fallend.
Ist $f'(x) < 0$, dann ist $f$ streng monoton fallend.
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Höhe der Rutsche bestätigen
Die Höhe der Rutsche über dem Erdboden bzw. der Wasseroberfläche wird durch die Funktion $f$ beschrieben. Da $x$ die horizontale Entfernung vom Fußpunkt des Startpunkts angibt, beginnt die Rutsche gerade bei $x=0$. Also ergibt sich die Höhe der Rutsche am Startpunkt als $f(0)$.
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=&2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot 0-\frac{9}{5}} +2\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot 0+\frac{9}{5}}-3 \\[5pt] &\approx& 9,4 \\[5pt] \end{array}$
$ f(0)\approx 9,4 $
Also besitzt die Rutsche an ihrem Startpunkt eine Höhe von ca. $9,4\,\text{m}$.
#exponentialfunktion
b)
$\blacktriangleright$  Ableitungsfunktion bestätigen
Um die gegebene Ableitungsfunktion zu bestätigen, leite $f$ einmal ab und vergleiche beide Ergebnisse miteinander. Du kannst dazu die Kettenregel verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot x-\frac{9}{5}} +2\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{9}{5}}-3 \\[10pt] f'(x)&=& 2\cdot \frac{1}{8}\cdot\mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot x-\frac{9}{5}} -2\cdot\frac{1}{8}\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{9}{5}} \\[5pt] &=& \frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot x-\frac{9}{5}}-\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{9}{5}} \\[5pt] \end{array}$
$ f'(x)= … $
Also ist $f'(x)= \frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot x -\frac{9}{5}} $$-\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{9}{5}}$ die Ableitung von $f$.
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Steigung bestimmen
Die durchschnittliche Steigung vom Beginn der Rutsche bis zu deren niedrigsten Punkt kannst du über die durchschnittliche Änderungsrate des Graphen von $f$ im Intervall $[0,x_T]$ berechnen. Dabei ist $x_T$ die Stelle mit dem niedrigsten Punkt. Die durchschnittliche Änderungsrate $\overline{m}$ des Graphen einer Funktion $f$ im Intervall $[a,b]$ kannst du über folgende Formel berechnen:
$\overline{m}= \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
$\overline{m}= \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
$x_T$ ist die globale Minimalstelle des betrachteten Intervalls $[0,20]$. Berechne dazu zunächst die lokale Minimalstelle $x_M$, mit Hilfe der beiden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x_M)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f''(x_M)> 0$
Anschließend musst du noch die Intervallgrenzen auf Randextrema überprüfen, indem du den Funktionswert in $x_M$ mit denen in den Intervallgrenzen vergleichst und den kleinsten auswählst.
1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Bestimme mit Hilfe der ersten Ableitung $f'$ mögliche lokale Extremstellen von $f$:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&0 \\[5pt] \frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot x-\frac{9}{5}}-\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{9}{5}}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 4\\[5pt] \mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot x-\frac{9}{5}}-\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{9}{5}}&=& 0 \\[5pt] \dfrac{\mathrm e^{\frac{1}{8}x}}{\mathrm e^{\frac{9}{5}}} -\dfrac{\mathrm e^{\frac{9}{5}}}{\mathrm e^{\frac{1}{8}x}}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \mathrm e^{\frac{9}{5}} \\[5pt] \mathrm e^{\frac{1}{8}x}-\dfrac{\mathrm e^{\frac{18}{5}}}{\mathrm e^{\frac{1}{8}x}}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;\cdot \mathrm e^{\frac{1}{8}x} \\[5pt] \mathrm e^{\frac{2}{8}x}-\mathrm e^{\frac{18}{5}}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +\mathrm e^{\frac{18}{5}}\\[5pt] \mathrm e^{\frac{1}{4}x}&=& \mathrm e^{\frac{18}{5}}&\quad \scriptsize \mid\; \ln\\[5pt] \frac{1}{4}x&=& \frac{18}{5}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 4\\[5pt] x&=& \frac{72}{5}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&0 \\[5pt] x&=& \frac{72}{5}\\[5pt] \end{array}$
Bei $x=\frac{72}{5}$ liegt also eine mögliche lokale Extremstelle von $f$ vor.
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um eine Minimalstelle handelt, benötigst du die zweite Ableitung von $f$, die du wie oben mit der Kettenregel bilden kannst.
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& \frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot x-\frac{9}{5}}-\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{9}{5}} \\[10pt] f''(x)&=& \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{8}\cdot\mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot x-\frac{9}{5}}+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{8}\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{9}{5}} \\[5pt] &=& \frac{1}{32}\cdot\mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot x-\frac{9}{5}}+ \frac{1}{32}\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{9}{5}} \\[5pt] \end{array}$
$ f''(x)= … $
Setze nun die berechnete mögliche Extremstelle in $f''(x)$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} f''\left(\frac{72}{5}\right)&=&\frac{1}{32}\cdot\mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot \frac{72}{5} -\frac{9}{5}}+ \frac{1}{32}\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot \frac{72}{5}+\frac{9}{5}} \\[5pt] &=& \frac{1}{32}\cdot\mathrm e^0+\frac{1}{32}\cdot\mathrm e^0 \\[5pt] &=& \frac{1}{16} \quad > 0 \end{array}$
$ f''\left(\frac{72}{5}\right) = \frac{1}{16} \quad > 0$
Also liegt bei $x_M=\frac{72}{5}$ ein lokales Minimum von $f$.
3. Schritt: Intervallgrenzen auf Randextrema überprüfen
Berechne nun noch $f(0)$, $f\left(\frac{72}{5}\right)$ und $f(20)$, um zu überprüfen, ob der tiefste Punkt der Rutsche tatsächlich der lokale Tiefpunkt ist.
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=&2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot 0-\frac{9}{5}} +2\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot 0+\frac{9}{5}}-3 \\[5pt] &=& 2\cdot \mathrm e^{-\frac{9}{5}} +2\cdot\mathrm e^{\frac{9}{5}}-3 \\[5pt] &\approx& 9,43 \\[10pt] f\left(\frac{72}{5}\right)&=& 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot\frac{72}{5} -\frac{9}{5}} +2\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot \frac{72}{5}+\frac{9}{5}}-3 \\[5pt] &=&2\cdot \mathrm e^0 +2\cdot \mathrm e^0-3 \\[5pt] &=& 1\\[10pt] f(20)&=& 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot 20-\frac{9}{5}} +2\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot 20+\frac{9}{5}}-3 \\[5pt] &=&2\cdot \mathrm e^{\frac{7}{10}} + 2\cdot\mathrm e^{-\frac{7}{10}} -3 \\[5pt] &\approx& 2,02\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&\approx& 9,43 \\[5pt] f\left(\frac{72}{5}\right)&=& 1\\[5pt] f(20)&\approx& 2,02\\[5pt] \end{array}$
Im lokalen Tiefpunkt $T\left(\frac{72}{5}\mid 1\right)$ befindet sich auch das globale Minimum des Intervalls $[0,20]$. Dies ist also der tiefste Punkt der Rutsche.
4. Schritt: Durchschnittliche Steigung berechnen
Gesucht ist die durchschnittliche Änderungsrate von $f$ zwischen $x=0$ und $x=\frac{72}{5}$. Setze also in die Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{m}&=& \dfrac{f\left(\frac{72}{5}\right)-f(0)}{\frac{72}{5}-0}\\[5pt] &=&\dfrac{1-9,43 }{\frac{72}{5}} \\[5pt] &\approx& -0,59 \\[5pt] \end{array}$
Die durchschnittliche Steigung vom Beginn der Rutsche bis zu ihrem niedrigsten Punkt beträgt ca. $-0,59$.
$\blacktriangleright$  Bestätigen, dass es keinen Wendepunkt gibt
Untersuche den Graphen von $f$ auf Wendepunkte mit Hilfe der beiden Kriterien für eine Wendestelle $x_W$:
  • Notwendiges Kriterium: $f''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f'''(x_W)\neq 0$
Wende also zunächst das notwendige Kriterium an, indem du $f''(x)=0$ setzt und nach $x$ löst. Überprüfe anschließend, ob es sich dabei tatsächlich um eine Wendestelle handelt, indem du das hinreichende Kriterium überprüfst.
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=&0 \\[5pt] \frac{1}{32}\cdot\mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot x-\frac{9}{5}}+ \frac{1}{32}\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{9}{5}} &=& 0&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 32 \\[5pt] \mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot x-\frac{9}{5}}+ \mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{9}{5}}&=& 0 \\[5pt] \dfrac{\mathrm e^{\frac{1}{8}x}}{\mathrm e^{\frac{9}{5}}} +\dfrac{\mathrm e^{\frac{9}{5}}}{\mathrm e^{\frac{1}{8}x}}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \mathrm e^{\frac{9}{5}}\cdot \mathrm e^{\frac{1}{8}x} \\[5pt] \mathrm e^{\frac{2}{8}x}+\mathrm e^{\frac{18}{5}}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; -\mathrm e^{\frac{18}{5}}\\[5pt] \mathrm e^{\frac{2}{8}x}&=& -\mathrm e^{\frac{18}{5}} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=&0 \\[5pt] \mathrm e^{\frac{2}{8}x}&=& -\mathrm e^{\frac{18}{5}} \\[5pt] \end{array}$
Du weißt, dass die $\mathrm e$-Funktion nicht negativ werden kann. Um die obige Gleichung zu erfüllen, müsste aber einer der beiden Ausdrücke mit $\mathrm e$ negativ sein. Also gibt es hierfür keine Lösung und erfüllt $f$ an keiner Stelle das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Daher besitzt der Graph von $f$ keinen Wendepunkt.
$\blacktriangleright$  Lage der Stelle mit dem größten Gefälle begründen
Du sollst begründen, dass die Rutsche am Startpunkt das steilste Gefälle aufweist. Dazu sollst du deine bisherigen Ergebnisse und den Funktionsgraphen von $f$ verwenden. Überlege dir also, wie man den Punkt mit dem stärksten Gefälle charakterisieren kann und wie du deine bisherigen Erkenntnisse dazu verwenden kannst. Schließe dadurch auf die Stelle, an der der Graph von $f$ im Intervall $[0,20]$ am stärksten fällt.
Die Steigung eines Graphen wird durch die erste Ableitung beschrieben. Also ist die Stelle mit dem steilsten Gefälle eine Minimalstelle der ersten Ableitung $f'$. Da hier ein abgeschlossenes Intervall betrachtet wird, ist also eine globale Minimalstelle von $f'$ in diesem Intervall gesucht. Diese ist entweder eine lokale Minimalstelle oder eine der beiden Intervallgrenzen. Im ersten Fall, wäre dies gleichzeitig eine Wendestelle von $f$.
Du hast aber oben bereits berechnet, dass $f$ keine Wendestelle besitzt. Damit liegt der Punkt mit dem steilsten Gefälle entweder am Anfang oder Ende der Rutsche. Abgesehen davon, kannst du der Abbildung 2 entnehmen, dass der Graph bei $x=0$ abfällt und bei $x=20$ ansteigt. Am Ende der Rutsche befindet sich demnach nicht der Punkt mit dem steilsten Gefälle, es bleibt also nur der Anfang der Rutsche, hier befindet sich der Punkt mit dem steilsten Gefälle.
$\blacktriangleright$  Bedingung für den Steigungswinkel überprüfen
Du sollst überprüfen, ob die Rutsche tatsächlich an keiner Stelle mehr als $60^{\circ}$ abfällt. Berechne dazu den Steigungswinkel an der Stelle mit dem steilsten Gefälle. Du hast oben bereits gezeigt, dass die Rutsche am Anfang am steilsten abfällt. Berechne also den Winkel $\alpha$, den $f$ an der Stelle $x=0$ mit der Horizontalen einschließt. Dazu kannst du folgende Formel verwenden:
$m = \tan(\alpha)$
$m = \tan(\alpha)$
$m$ bezeichnet dabei die Steigung des Graphen an der betrachteten Stelle, also ist $m=f'(0)$ in diesem Fall. Setze in die Formel ein.
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\tan(\alpha) \\[5pt] f'(0)&=& \tan(\alpha)\\[5pt] \frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot 0-\frac{9}{5}}-\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot 0+\frac{9}{5}}&=&\tan(\alpha) \\[5pt] \frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-\frac{9}{5}}-\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{9}{5}}&=& \tan(\alpha)&\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] -55,79^{\circ}&\approx& \alpha \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\tan(\alpha) \\[5pt] f'(0)&=& \tan(\alpha)\\[5pt] -55,79^{\circ}&\approx& \alpha \\[5pt] \end{array}$
Da die Steigung hier negativ ist, ist das Ergebnis für den Winkel auch negativ. Der Steigungswinkel der Rutsche mit dem stärksten Gefälle besitzt eine Größe von ca. $55,79^{\circ}$. Demnach ist die Bedingung für den Steigungswinkel erfüllt.
#extrempunkt#ableitung#wendepunkt#tangens#kettenregel
c)
$\blacktriangleright$  Größe der Werbeflächen berechnen
Es gibt vier verschiedene Werbeflächen, die du auf unterschiedliche Weisen berechnen kannst:
  • $A_s$: Die beiden Seitenflächen sind gleich groß.
  • $A_a$: Die Stirnfläche am Anfang der Rutsche ist ein Rechteck.
  • $A_e$: Die Stirnfläche am Ende der Rutsche ist ebenfalls ein Rechteck, aber mit anderen Maßen.
Die Größe einer Seitenfläche ergibt sich aus der Größe der Fläche unterhalb des Graphen von $f$ im Intervall $[0,20]$ und kann daher über ein Integral berechnet werden.
Die beiden Stirnflächen haben eine Breite von $4$ Metern. Die jeweilige Höhe ergibt sich über die Höhe der Rutsche an den beiden Endpunkten, also über den Funktionswert an den Stellen $x=0$ und $x=20$.
Für eine Seitenfläche erhältst du also folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} A_s&=& \displaystyle\int_{0}^{20}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{20}\left(2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot x-\frac{9}{5}} +2\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{9}{5}}-3\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[ 2\cdot 8\cdot \mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot x-\frac{9}{5}} -2\cdot 8\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{9}{5}}-3x \right]_0^{20} \\[5pt] &=& 16\cdot \mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot 20-\frac{9}{5}}-16\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot 20+\frac{9}{5}}-3\cdot 20- \left(16\cdot \mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot 0-\frac{9}{5}}-16\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot 0+\frac{9}{5}}-3\cdot 0\right) \\[5pt] &=& 16\cdot \mathrm e^{\frac{7}{10}}-16\cdot \mathrm e^{-\frac{7}{10}}-60- 16\cdot \mathrm e^{-\frac{9}{5}}+16\cdot \mathrm e^{\frac{9}{5}} \\[5pt] &\approx& 58,42\, [\text{FE}]\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_s&=& \displaystyle\int_{0}^{20}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &\approx& 58,42\, [\text{FE}]\\[5pt] \end{array}$
Eine Seitenfläche ist ca. $58,42\,\text{m}^2$ groß. Die Höhe der Rutsche am Anfang hast du bereits in a) berechnet. Also ist die Stirnseite am Anfang der Rutsche ca. $9,4\,\text{m}$ hoch. Damit ergibt sich die Größe dieser Fläche wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A_a&=& \text{Höhe} \cdot \text{Breite} \\[5pt] &=& 9,4\, \text{m}\cdot 4\,\text{m} \\[5pt] &=& 37,6\,\text{m}^2 \end{array}$
Die Stirnseite am Anfang der Rutsche besitzt eine Größe von ca. $37,6\,\text{m}^2$. $f(20)$, also die Höhe der Rutsche am Ende hast du ebenfalls bereits berechnet:
$\begin{array}[t]{rll} f(20)&\approx& 2,02\,\text{m} \\[5pt] \end{array}$
Damit ergibt sich für die Größe der zweiten Stirnfläche:
$\begin{array}[t]{rll} A_e&=&4\,\text{m} \cdot 2,02\,\text{m} \\[5pt] &=&8,08\,\text{m}^2 \end{array}$
Insgesamt ergibt sich folgende Gesamtgröße aller Werbeflächen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 2\cdot A_s+ A_e+A_a \\[5pt] &=& 2\cdot 58,42 \,\text{m}^2 + 37,6\,\text{m}^2 + 8,08\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 162,52 \,\text{m}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 2\cdot A_s+ A_e+A_a \\[5pt] &=& 162,52 \,\text{m}^2 \end{array}$
Insgesamt stehen ca. $162,52 \,\text{m}^2$ Werbefläche zur Verfügung.
#integral
d)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung ermitteln
Du sollst eine Funktionsgleichung ermitteln, die die Flugbahn eines Rutschenden beschreibt. Diese hat folgende Form:
$g(x)= ax^2 +bx +c$
$g(x)= ax^2 +bx +c$
Du benötigst also drei Bedingungen, aus denen du ein lineares Gleichungssystem aufstellen kannst. Dies kannst du dann nach $a$ ,$b$ und $c$ lösen. Die Bedingungen erhältst du aus dem Aufgabentext.
  • $8$ Meter nach dem Ende der Rutsche trifft der Rutschende auf die Wasseroberfläche, $g$ hat also bei $x=28$ eine Nullstelle.
  • Der Graph von $g$ schließt sich direkt an den Graphen von $f$ an, beide müssen also in $x=20$ denselben Funktionswert besitzen.
  • Die Flugbahn soll im selben Winkel starten, wie die Rutsche endet, die Steigung von $g$ bei $x=20$ ist also die gleiche wie von $f$.
In Gleichungen kannst du das wie folgt ausdrücken:
  • $g(28)=0$
  • $g(20)=f(20) = 2,02$
  • $g'(20)=f'(20)$
Du benötigst also die erste Ableitungsfunktion von $g$, sowie $f'(20)$.
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& ax^2+bx+c \\[10pt] g'(x)&=&2ax +b \\[10pt] f'(20)&=&\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot 20-\frac{9}{5}}-\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot 20+\frac{9}{5}} \\[5pt] &=& \frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{7}{10}}-\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-\frac{7}{10}}\\[5pt] &\approx& 0,3793 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& ax^2+bx+c \\[10pt] g'(x)&=&2ax +b \\[10pt] f'(20)&\approx& 0,3793 \\[5pt] \end{array}$
Du erhältst folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&0&=&\quad 28^2a+28b+c \\ \text{II}\quad&2,02&=&\quad 20^2a+20b+c\\ \text{III}\quad&0,3793&=&\quad 2\cdot 20 a + b\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&0&=& … \\ \text{II}\quad&2,02&=& …\\ \text{III}\quad&0,3793&=& …\\ \end{array}$
Du siehst, dass du die dritte Gleichung direkt nach $b$ umstellen kannst:
$\begin{array}[t]{lrll} \text{III}&\quad 0,3793&=& 40a + b&\quad \scriptsize \mid\; -40a\\[5pt] \text{IIIa}&\quad 0,3793 -40a&=&b \end{array}$
$\begin{array}[t]{lrll} \text{IIIa}& … \end{array}$
Dies kannst du jetzt in $\text{I}$ einsetzen und nach $c$ umstellen:
$\begin{array}[t]{lrll} \text{I}&\quad 784a +28b +c&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; b =0,3793 -40a\\[5pt] &784a +28\cdot (0,3793 -40a) +c&=&0 \\[5pt] &-336a+10,6204+c&=&0 \\[5pt] \text{Ia}& 336a-10,6204&=& c \end{array}$
$\begin{array}[t]{lrll} \text{Ia}& … \end{array}$
Nun kannst du $\text{IIIa}$ und $\text{Ia}$ in $\text{II}$ einsetzen und so eine Lösung für $a$ berechnen:
$\begin{array}[t]{lrll} \text{II}&400a +20b +c&=& 2,02 \\[5pt] &400a +20\cdot (0,3793 -40a) + 336a-10,6204&=& 2,02 \\[5pt] &-64a-3,0344&=&2,02 &\quad \scriptsize \mid\; +3,0344\\[5pt] &-64a&=& 5,0544&\quad \scriptsize \mid\; :(-64)\\[5pt] &a&\approx& -0,0790 \\[5pt] \end{array}$
$ a\approx -0,0790 $
Dies kannst du wiederum in $\text{IIIa}$ und $\text{Ia}$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} b&=& 0,3793 -40a \\[5pt] &=& 0,3793 -40\cdot (-0,0790) \\[5pt] &\approx& 3,5393\\[10pt] c&=& 336a-10,6204 \\[5pt] &=& 336\cdot (-0,0790)-10,6204 \\[5pt] &\approx&-37,1644 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} b&=& 0,3793 -40a \\[5pt] &\approx& 3,5393\\[10pt] c&=& 336a-10,6204 \\[5pt] &\approx&-37,1644 \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich wie folgt:
$g(x)\approx -0,0790x^2 +3,5393x -37,1644$
$ g(x)\approx … $
$\blacktriangleright$  Maximale Flughöhe bestimmen
Die maximale Flughöhe ergibt sich aus dem Maximum von $g$. Bestimme also die Stelle mit dem größten Funktionswert von $g$ mit Hilfe der beiden Kriterien für eine Maximalstelle $x_H$ und berechne anschließend den Funktionswert an dieser Stelle.
  • Notwendiges Kriterium: $g'(x_H)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $g''(x_H) < 0$
1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Bilde zunächst die erste Ableitung $g'$ und setze den Funktionsterm gleich Null:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&-0,0790x^2 +3,5393x -37,1644 \\[10pt] g'(x)&=&-2\cdot 0,0790x+3,5393 \\[5pt] &=&-0,158x+3,5393 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g'(x)&=&…\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen ergibt nun:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&g'(x) \\[5pt] 0&=&-0,158x+3,5393 &\quad \scriptsize \mid\; -3,5393\\[5pt] -3,5393&=& -0,158x&\quad \scriptsize \mid\;:( -0,158) \\[5pt] 22,401&\approx&x \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&g'(x) \\[5pt] 22,401&\approx&x \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Anstatt die zweite Ableitungsfunktion zu bestimmen und das hinreichende Kriterium zu überprüfen, kannst du auch wie folgt argumentieren:
Bei $g$ handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel. Diese besitzt genau einen Extrempunkt, welcher ein Hochpunkt ist. Daher befindet sich bei $x\approx 22,401$ der höchste Punkt der Parabel.
3. Schritt: Funktionswert berechnen
Die maximale Flughöhe ergibt sich aus dem Funktionswert des Hochpunkts der Parabel. Setze also $x= 22,401$ in $g(x)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} g(22,401)&=&-0,0790\cdot 22,401^2 +3,5393\cdot 22,401 -37,1644 \\[5pt] &\approx& 2,4769 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g(22,401)&\approx& 2,4769 \\[5pt] \end{array}$
Die maximale Flughöhe beträgt ca. $2,48\,\text{m}$.
#gleichungssystem#gleichung#extrempunkt
e)
$\blacktriangleright$ Veränderten Ablauf einzeichnen
Beachte beim Einzeichnen, dass sich der Verlauf ab $x=13$ ändert. Das veränderte Ende der Rutsche soll als Tangente an $f$ nach unten in Richtung Wasser laufen. Der Verlauf wird also durch eine Gerade beschrieben. Du erhältst dann in etwa folgenden Verlauf:
Analysis 2
Abb. 1: Neuer Verlauf der Rutsche
Analysis 2
Abb. 1: Neuer Verlauf der Rutsche
$\blacktriangleright$  Horizontalen Abstand ermitteln
Gesucht ist der horizontale Abstand zwischen dem Startpunkt und dem Punkt, in dem die ebene Rutsche auf die Wasseroberfläche trifft. Da der Startpunkt bei $x=0$ liegt, ergibt sich der Abstand gerade aus der Nullstelle der Tangente, die das ebene Ende der Rutsche modelliert.
Um diese Nullstelle zu bestimmen, musst du zunächst die Tangentengleichung $t(x)= mx+b$ bestimmen. Diese soll an der Stelle $x =13$ tangential zum Graphen von $f$ verlaufen:
  • Die Steigung von $t$ muss der von $f$ an der Stelle $x=13$ entsprechen: $\quad m =f'(13)$
  • $t$ muss an der Stelle $x=13$ denselben Funktionswert besitzen wie $f$: $\quad t(13)=f(13)$
Berechne also zunächst $m=f'(13)$ und $f(13)$. Anschließend kannst du dies in $t(x)$ einsetzen und so noch $b$ berechnen. Zum Schluss kannst du dann die Nullstelle und so auch den gesuchten Abstand berechnen.
1. Schritt: Benötigte Werte berechnen
$\begin{array}[t]{rll} m&=&f'(13)\\[5pt] &=&\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot 13-\frac{9}{5}}-\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot 13+\frac{9}{5}} \\[5pt] &=& \frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-\frac{7}{40}}-\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{7}{40}}\\[5pt] &\approx& -0,0879 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m&=&f'(13)\\[5pt] &\approx& -0,0879 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(13)&=&2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot 13-\frac{9}{5}}+2\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot 13+\frac{9}{5}}-3 \\[5pt] &=& 2\cdot \mathrm e^{-\frac{7}{40}}+ 2\cdot \mathrm e^{\frac{7}{40}}\\[5pt] &\approx& 1,0614 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(13)&\approx& 1,0614 \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Tangentengleichung aufstellen
Setze die oben berechneten Werte in die Tangentengleichung ein und löse nach $b$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} t(x)&=& -0,0879x+b \\[5pt] 1,0614&=&-0,0879\cdot 13 +b &\quad \scriptsize \mid\;+0,0879\cdot 13 \\[5pt] 2,2041&=&b \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 2,2041&=&b \\[5pt] \end{array}$
Damit hat die Funktionsgleichung der Tangente folgende Form:
$t(x)= -0,0879x+ 2,2041$
3. Schritt: Nullstelle berechnen
Setze $t(x)=0$ und berechne so die Nullstelle von $t$:
$\begin{array}[t]{rll} t(x)&=&0 \\[5pt] -0,0879x+ 2,2041&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -2,2041 \\[5pt] -0,0879x&=& -2,2041&\quad \scriptsize \mid\;:(-0,0879) \\[5pt] x&\approx& 25,0751 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t(x)&=&0 \\[5pt] x&\approx& 25,0751 \end{array}$
Der Punkt, in dem die ebene Rutsche auf die Wasseroberfläche trifft, ist ca. $25,08\,\text{m}$ auf der Horizontalen vom Startpunkt entfernt.
$\blacktriangleright$  Entscheiden, ob ein Krümmungssprung vorliegt
Du sollst entscheiden, ob an der Übergangsstelle $x=13$ ein Krümmungssprung vorliegt, also ob $t$ und $f$ an dieser Stelle die gleiche Krümmung besitzen. Die Krümmung einer Geraden ist immer Null. Überlege also, wann die Krümmung von $f$ auch Null ist und, ob dies an der Stelle $x=13$ der Fall ist.
Die Krümmung eines Graphen, der keine Gerade ist, ist nur Null, wenn es sich um einen Wendepunkt handelt. Du hast in Aufgabenteil b) aber bereits gezeigt, dass der Graph von $f$ keinen Wendepunkt besitzt. Also ist die Krümmung an keiner Stelle, inbesondere nicht an der Übergangsstelle zur Gerade, Null. Es liegt demnach ein Krümmungssprung bei $x=13$ vor.
#tangente#krümmung#abstand
f)
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Du sollst beurteilen, ob bei einer Verkleinerung von $q$ die Rutschenhöhe am Startpunkt gleichbleibt und der Abflugwinkel am Ende zunimmt.
Damit die Rutschenhöhe gleichbleibt, muss $h(0)$ bei festem $d$ für jedes $q$ identisch sein. Du kannst $a(q)=h(0)$ als Funktion von $q$ auffassen. Überprüfe also, ob es sich bei $a$ um eine konstante Funktion handelt. Dies ist der Fall, wenn $a'(q)=0$ ist für alle $q$, da dann die Änderungsrate immer Null ist.
Dass der Steigungswinkel am Ende der Rutsche für kleineres $q$ größer werden soll bedeutet, dass die Steigung für größer werdende $q$ kleiner wird. Es soll also $h'(20)$ für größere $q$ immer kleiner werden. Auch dies kannst du als Funktion von $q$ auffassen: $w(q)=h'(20)$. Überprüfe also, ob $w$ streng monoton fallend ist. Dazu kannst du folgendes verwenden:
Ist $f'(x) < 0$, dann ist $f$ streng monoton fallend.
Ist $f'(x) < 0$, dann ist $f$ streng monoton fallend.
1. Schritt: Höhe am Rutschenanfang überprüfen
Für die Höhe am Rutschenanfang ergibt sich in Abhängigkeit von $q$ folgende Funktion:
$\begin{array}[t]{rll} a(q)&=& h(0) \\[5pt] &=&2\cdot \mathrm e^{d\cdot 0-q} +2\cdot \mathrm e^{-d\cdot 0+q}-3 \\[5pt] &=& 2\cdot \mathrm e^{-q} +2\cdot \mathrm e^{q}-3 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} a(q)&=& h(0) \\[5pt] \end{array}$
Für die Änderungsrate von $a$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} a'(q)&=& -2\cdot \mathrm e^{-q} +2\cdot \mathrm e^{q} \\[5pt] \end{array}$
Setze nun $a'(q)=0$ und löse nach $q$ auf. So bestimmst du alle $q$, für die die Änderungsrate Null ist. Damit die Höhe der Rutsche für alle $q$ Null ist, muss hier jedes $q$ eine Lösung sein.
$\begin{array}[t]{rll} a'(q)&=& 0 \\[5pt] -2\cdot \mathrm e^{-q} +2\cdot \mathrm e^{q}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] -\mathrm e^{-q}+\mathrm e^{q}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +\mathrm e^{-q}\\[5pt] \mathrm e^{q}&=& \mathrm e^{-q}&\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] q&=& -q\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} a'(q)&=& 0 \\[5pt] q&=& -q\\[5pt] \end{array}$
Diese Gleichung ist nur erfüllt, wenn $q=0$ ist. Also ist die Funktion $a$ nicht konstant und damit ist die Höhe der Rutsche am Startpunkt nicht für alle $q$ gleich. Dieser Teil der Aussage stimmt demnach nicht.
2. Schritt: Steigung am Rutschenende untersuchen
Um die Funktion $w$ zu erhalten, musst du zunächst $h'(x)$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& 2 \mathrm e^{dx-q}+2 \mathrm e^{-dx+q}-3 \\[10pt] h'(x)&=& 2 d \mathrm e^{dx-q} -2 d \mathrm e^{-dx+q} \\[10pt] w(q)&=& h'(20) \\[5pt] &=&2d\cdot \mathrm e^{d\cdot 20-q}-2d\cdot \mathrm e^{-d\cdot 20+q}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} w(q)&=& h'(20) \\[5pt] \end{array}$
Bestimme nun noch $w'(q)$ und überprüfe, ob diese Funktion immer kleiner Null ist.
$w'(q)=-2d\cdot \underbrace{\mathrm e^{20d-q}}_{> 0}-2d\cdot \underbrace{\mathrm e^{-20d+q}}_{> 0} $
$w'(q)= …$
Die $\mathrm e$-Funtion ist immer positiv, $d$ ist ebenfalls laut Aufgabenstellung positiv. Insgesamt sind daher beide Summanden immer negativ und damit auch die gesamte Funktion. $w$ ist also streng monoton fallend und damit stimmt der zweite Teil der Aussage.
Insgesamt stimmt also der erste Teil der Aussage nicht, während der zweite Teil aber wahr ist.
#exponentialfunktion#winkel
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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