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Stochastik

Aufgaben
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Vollkaskoversicherung

Ein Vollkaskotarif deckt Unfallschäden am eigenen Auto ab, die nicht fremdverschuldet sind. Bei der Kreisversicherung haben 5.400 Personen eine solche Vollkaskoversicherung. Die langjährige Auswertung der Schadensfälle zeigt, dass bei dieser Versicherung allgemein im Schnitt $16,7\%$ aller Versicherten im Jahr (1. Januar bis 31. Dezember) einen Schaden melden. Mehr als eine Schadensmeldung pro Person pro Jahr tritt so selten auf, dass als Vereinfachung dieser Fall unberücksichtigt bleiben soll. Die relativen Häufigkeiten sollen als Wahrscheinlichkeiten gedeutet werden.
Ein Sachbearbeiter ist für $78$ Versicherte zuständig. Im Schnitt melden $2\%$ seiner Versicherten einen Totalschaden. Die Totalschäden sind binomialverteilt.
a)
Berechne für die $78$ Versicherten die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ergebnisse:
  • Während eines durchschnittlichen Jahres meldet keiner der Versicherten einen Totalschaden.
  • Während eines durchschnittlichen Jahres werden $3$ bis $5$ Totalschäden gemeldet.
  • Während eines durchschnittlichen Jahres werden genau $3$ Totalschäden und im nächsten Jahr weniger als $3$ gemeldet.
(7P)
#wahrscheinlichkeit#binomialverteilung
Die Auswertung der ausgezahlten Schadenssummen der gemeldeten Schäden aller Versicherten ergab, dass sich diese Schadenssummen gut durch eine Normalverteilung modellieren lassen. Die mittlere Schadenssumme pro Schadensfall lag im letzten Jahr bei $2.850€$. Dieser Wert soll als Erwartungswert für die betrachtete Normalverteilung dienen. Die Standardabweichung liegt bei $1.330€$. Schäden ab $4.600€$ gelten als schwere Schäden.
b)
  • Berechne die im letzten Jahr ausgezahlte Gesamtsumme unter der Annahme, dass es ein durschnittliches Jahr war.
  • Bestätige, dass im letzten Jahr etwa $9,3\%$ aller Schadensfälle in die Gruppe der schweren Schäden fielen.
  • In einem Jahr stieg der Anteil der schweren Schäden auf $15,9\%$. Die Schadenssummen waren weiterhin durch eine Normalverteilung modellierbar, und auch die Standardabweichung hatte sich nicht geändert.
    Bestätige, dass die mittlere Schadenssumme auf $3.272€$ gestiegen ist.
(9P)
#erwartungswert#standardabweichung
Eine bei Kfz-Versicherungen besonders auffällige Risikogruppe sind die jungen Fahrer bis 24 Jahre, bezeichnet mit $U24$. Die älteren Versicherten bilden die Gruppe $24+$. Bei der Kreisversicherung gehören $1.250$ Verträge einer Vollkaskoversicherung zu Fahrern der Gruppe $U24$.
Der Versicherungsmathematiker der Gesellschaft erwägt die folgende Entscheidungsregel zu nutzen:
Die Nullhypothese „Auch bei der Risikogruppe beträgt die Schadenswahrscheinlichkeit nicht mehr als $16,7\%$ “ $(H_0 : p \leq 0,167)$ wird abgelehnt, wenn aus dieser Gruppe pro Jahr mehr als $215$ Schadensfälle gemeldet werden. Arbeite im folgenden Aufgabenteil weiter mit der Annahme, dass die Anzahl der Schadensmeldungen pro Jahr binomialverteilt ist.
Hinweis: Für die Bearbeitung dieses Aufgabenteils kannst du die Tabelle 1 in der Anlage verwenden.
c)
  • Bestätige folgende Aussage:
    Wenn die Schadenswahrscheinlichkeit in der betrachteten Gruppe nicht erhöht sein sollte, würde der Mathematiker die Nullhypothese aufgrund seiner Entscheidungsregel dennoch mit einer Wahrscheinlichkeit von über $30\%$ verwerfen.
  • Ermittle eine neue Entscheidungsregel, nach der die Nullhypothese auf dem $5\%$-Niveau verworfen werden muss.
(10P)
#hypothesentest
Um die Risiken in der Gruppe $U24$ genauer zu analysieren, überprüft der Versicherungsmathematiker die Schadensmeldungen dieser Gruppe in den letzten drei Jahren. Dabei stellt er fest, dass im Durchschnitt $18,9\%$ der $U24$-Fahrer pro Jahr einen Schaden gemeldet haben.
d)
  • Bestätige, dass nunmehr gefolgert werden kann, dass ein Mitglied der Gruppe $24+$ ein geringeres Schadenrisiko hat, da er nur mit einer Wahrscheinlichkeit von $16,0\%$ pro Jahr einen Schaden meldet.
  • Ermittle, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein neu eingehender Schadensfall zu einem Versicherten aus der Gruppe $24+$ gehört.
(9P)
#bedingtewahrscheinlichkeit#wahrscheinlichkeit
Der Versicherungsmathematiker findet bei weiterer Analyse der Daten heraus, dass der Mittelwert der täglichen Schadensmeldungen (bei $365$ Tagen im Jahr) bei $2,47$ liegt. Diesen Wert möchte er verwenden und für Wahrscheinlichkeitsberechnungen zur Tages-Schadensbetrachtung die Poissonverteilung als Näherung für die Binomialverteilung nutzen.
e)
  • Begründe, dass unter diesen Annahmen die Poissonverteilung als Näherung angemessen ist.
  • Berechne mit der Näherungsformel von Poisson, an wie vielen Tagen mit genau sechs Schadensfällen zu rechnen ist.
  • Der Versicherungsmathematiker findet $24$ Tage, an denen genau sechs Schadensfälle gemeldet wurden, also viel mehr als die durchschnittliche Zahl von $2,47$.
    Begründe aus dem Sachkontext, warum die Anzahl der täglichen Schadensmeldungen nicht sinnvoll durch eine Binomialverteilung (und damit auch nicht durch die Näherung mit einer Poissonverteilung) beschrieben wird.
(8P)
#poissonverteilung#binomialverteilung
f)
Von einer poissonverteilten Zufallsgröße $X$ ist bekannt: $P_{Poi}(X = 3) \approx 0,08$ und $p = 0,02$.
Ermittle durch systematisches Probieren mögliche Werte für die Größe $n$ im Intervall $[0; 400]$.
Dabei muss $n$ ganzzahlig sein.
(7P)
#binomialverteilung

Anlage zur Aufgabe „Vollkaskoversicherung“

$k$$P(X=k)$$P(X\leq k)$$k$$P(X=k)$$P(X\leq k)$
2000,02460,26752210,01930,8334
2010,02580,29332220,01800,8513
2020,02680,32012230,01660,8679
2030,02780,34792240,01530,8832
2040,02860,37652250,01390,8971
2050,02920,40572260,01270,9098
2060,02970,43552270,01150,9213
2070,03010,46562280,01030,9316
2080,03020,49582290,00920,9408
2090,03020,52602300,00820,9491
2100,03000,55612310,00730,9563
2110,02970,58572320,00640,9627
2120,02920,61492330,00560,9683
2130,02850,64342340,00490,9732
2140,02770,67112350,00420,9775
2150,02670,69782360,00370,9811
2160,02570,72352370,00310,9843
2170,02450,74802380,00270,9869
2180,02330,77132390,00230,9892
2190,02200,79332400,00190,9911
2200,02070,81402410,00160,9927
Tab. 1: Einfache und kumulierte Binomialverteilung mit $n=1.250$ und $p=0,167$
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Tipps
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ereignisse berechnen. Du benötigst dabei die Binomialverteilung. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist hierbei
$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
$P(X=k) $$= \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
In diesem Fall ist $n$ die Anzahl der Versicherten ($n=78$), $X$ die Anzahl der Versicherten, die einen Totalschaden melden und $p$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Versicherter einen Totalschaden meldet ($p = 2 \,\%$).
1. Kein gemeldeter Totalschaden
Keiner der $78$ Versicherten meldet einen Totalschaden, also setzt du $k=0$.
2. Drei bis fünf gemeldete Totalschäden
Gesucht ist $P(3 \leq X \leq 5)$, d.h. du suchst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den $78$ Versicherten in einem Jahr $3$ bis $5$ einen Totalschaden melden. $P(3 \leq X \leq 5)$ kannst du umschreiben in
$P(3 \leq X \leq 5) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)$.
$P(3 \leq X \leq 5) = … $
Somit musst du $P(X=3)$, $P(X=4)$ und $P(X=5)$ berechnen. 3. Im 1. Jahr werden genau drei und im 2. Jahr weniger als $3$ Totalschäden gemeldet
Die Wahrscheinlichkeit dafür ist gesucht, dass im ersten Jahr genau $3$ und im zweiten Jahr weniger als $3$ Totalschäden gemeldet werden. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(1. \& 2. \text{ Jahr})$ berechnet sich deshalb aus den Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Jahre wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(1. \& 2. \text{ Jahr}) &=& P(1. \text{ Jahr}) \cdot P(2. \text{ Jahr})\\[5pt] &=& P(X=3) \cdot P(X < 3). \end{array}$
$P(1. \& 2. \text{ Jahr}) = … $
b)
$\blacktriangleright$  Ausgezahlte Gesamtsumme berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die ausgezahlte Gesamtsumme im letzten Jahr berechnen. Da es sich hierbei um ein durchschnittliches Jahr handeln soll, ist bekannt, dass $p=16,7 \,\%$ aller Versicherten im 1. Jahr einen Schaden melden. Da insgesamt $n=5.400$ Personen bei der Kreisversicherung eine Vollkaskoversicherung abgeschlossen haben, kannst du nun die Anzahl der Versicherten $n_{Schaden}$ berechnen, die einen Schadensfall meldeten. Außerdem hast du den Erwartungswert, also die mittlere Schadenssumme pro Schadensfall mit $\mu=2.850 €$ gegeben.
$\blacktriangleright$  Anteil von etwa $\boldsymbol{9,3 \,\%}$ der schweren Schäden bestätigen
In dieser Teilaufgabe sollst du den Anteil von etwa $9,3\,\%$ der schweren Schäden bestätigen. Du hast hierbei den Erwartungswert mit $\mu=2.850 \, €$ und die Standardabweichung $\sigma = 1.330\,€$ gegeben. Außerdem weißt du, dass Schäden ab $4.600$ € als schwere Schäden gelten sollen, daher gilt $k=4.600\,€$.
$\blacktriangleright$  Mittlere Schadenssumme bestätigen
In dieser Teilaufgabe sollst du bestätigen, dass wenn der Anteil der schweren Schäden auf $15,9 \,\%$ gestiegen ist, die mittlere Schadenssumme auf $3.272$ € steigt. Die Schadenssumme ist weiterhin durch eine Normalverteilung modellierbar und für die Standardabweichung gilt weiterhin $\sigma=1.330\,€$.
c)
$\blacktriangleright$  Aussage bestätigen
In dieser Teilaufgabe sollst du bestätigen, dass wenn die Schadenswahrscheinlichkeit in der Gruppe der jungen Fahrer bis $24$ Jahre nicht erhöht sein sollte, die gegebene Nullhypothese zutrifft, der Mathematiker die Nullhypothese aufgrund seiner Entscheidungsregel aber mit einer Wahrscheinlichkeit von über $30 \,\%$ dennoch verwirft. Gesucht ist somit in dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art, da du die Wahrscheinlichkeit bestätigen sollst, dass die Nullhypothese verworfen wird, obwohl sie in Wahrheit zutrifft.
Um die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art zu bestimmen musst du den Ablehnungsbereich betrachten, der in der Aufgabe gegeben ist. In der Aufgabe ist gegeben, dass die Nullhypothese abgelehnt wird, wenn aus dieser Gruppe pro Jahr mehr als $215$ Schadensfälle gemeldet werden.
$\blacktriangleright$  Entscheidungsregel ermitteln
In dieser Teilaufgabe sollst du eine neue Entscheidungsregel ermitteln, nach der die Nullhypothese auf dem $5 \,\%$-Niveau verworfen werden soll. Das bedeutet, dass nun für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art $P(\text{Fehler 1. Art})\leq0,05$ gelten muss. Somit musst du den Ablehnungsbereich der Nullhypothese bestimmen. Also für welche Anzahl $n$ an Schadensfällen die Nullhypothese abgelehnt wird. Aus der ersten Teilaufgabe weißt du bereits, dass sich die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art durch $P(\overline{A})= P(X\geq n)$ bestimmmen lässt.
d)
$\blacktriangleright$  Folgerung bestätigen
In dieser Teilaufgabe ist beschrieben, dass im Durchschnitt $18,9 \,\%$ der $U24$ Fahrer pro Jahr einen Schaden gemeldet haben. Nun sollst du die Folgerung bestätigen, dass somit ein Mitglied der Gruppe $24+$ ein geringeres Schadenrisiko besitzt, da er nur mit einer Wahrscheinlichkeit von $16 \,\%$ pro Jahr einen Schaden meldet. Du hast außerdem bereits gegeben, dass bei der Kreisversicherung 1.250 Verträge zu Fahrern der Gruppe $U24$ gehören. Da insgesamt $5.400$ Personen eine Vollkaskoversicherung bei der Kreisversicherung abgeschlossen haben, folgt für die Anzahl der Mitglieder der Gruppe $24+$ $n_{24+}$
$n_{24+}=5.400-1.250 = 4.150$.
Außerdem weißt du, dass alle Versicherten mit einer Wahrscheinlichkeit von $16,7 \,\%$ einen Schadensfall melden. Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Gruppen in Abhängigkeit vom Anteil der gesamten Anzahl der Versicherten berechnen.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit ermitteln
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln, dass ein neu eingehender Schadensfall zu einem Versicherten aus der Gruppe $24+$ gehört. Das bedeutet, dass du die Wahrscheinlichkeit dafür suchst, dass ein Versicherter, der einen Schadensfall meldet, ein Mitglied der Gruppe $24+$ ist. Es handelt sich hierbei um eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
Du kannst die Zugehörigkeit zur Gruppe $24+$ als Ereignis $A$ und dass der Versicherte einen Schadensfall meldet mit Ereignis $B$ bezeichnen. Somit suchen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ereignis $A$ eintritt, wenn Ereignis $B$ bereits eingetroffen ist. Du weißt hierbei bereits, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Versicherter einen Schadensfall meldet, bei $16,0 \,\%$ liegt, wenn er Mitglied der Gruppe $24+$ ist. Dies entspricht genau der Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ereignis $B$ eintritt, wenn $A$ bereits eingetroffen ist. Also der bedingten Wahrscheinlichkeit $P_A(B)$. Außerdem kennst du bereits die Waherscheinlichkeiten dafür, dass ein Versicherter Mitglied der Gruppe $24+$ ist mit $P(A)=\dfrac{4150}{5400}$ und dass ein Versicherter einen Schadensfall meldet mit $P(B)=16,,7 \,\%$. Nun suchst du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein neu eingehender Schadensfall zu einem Versicherten aus der Gruppe $24+$ gehört. Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ gesucht. Diese kannst du mit dem Satz von Bayes berechnen. Der Satz von Bayes lautet:
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
e)
$\blacktriangleright$  Poissonverteilung als Näherung begründen
Die Poissonverteilung kannst du verwenden, wenn du die Häufigkeit eines Ereignisses über eine gewisse Zeit betrachten möchtest.
$\blacktriangleright$  Anzahl der Tage berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Anzahl der Tage bestimmen, an denen mit genau sechs Schadensfällen gerechnet werden muss. Die Poissonverteilung gibt nun für eine bestimmte Anzahl $k$ eines Ereignisses die entsprechende Wahrscheinlichkeit an. Bestimme also zuerst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau sechs Schadensfälle an einem Tag auftreten. Anschließend kannst du mit der bereits bestimmten Wahrscheinlichkeit, die Anzahl der Tage in einem Jahr bestimmen, an denen sechs Schadensfälle auftreten. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du mit der folgenden Formel für die Poisson-Verteilung bestimmen.
$P(X=k)=\dfrac{\mu^k}{k!}\cdot \exp^{-\mu}$
$P(X=k)=\dfrac{\mu^k}{k!}\cdot \exp^{-\mu}$
Somit kannst du nun für $\mu=2,47$ und für $k=6$ einsetzen und erhälst dadurch die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau sechs Schadensfälle an einem Tag auftreten.
$\blacktriangleright$  Aus dem Sachkontext begründen
Überlege dir, ob die Ereignisse voneinander unabhängig sind.
f)
$\blacktriangleright$  Mögliche Werte für $\boldsymbol{n}$ ermitteln
In dieser Teilaufgabe ist bekannt, dass die Zufallsgröße $X$ poissonverteilt ist mit $P_{Poi}(X=3)\approx 0,08$ und $p=0,02$. Nun sollst du durch systematisches Probieren mögliche Werte für die Größe $n$ im Intervall $[0;400]$ finden, sodass die Binomialverteilung ungefähr der Poissonverteilung entspricht.
Die Formel für die Binomialverteilung lautet:
$P_{Bin}(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
$P_{Bin}(X=k) $=$ \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ereignisse berechnen. Du benötigst dabei die Binomialverteilung. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist hierbei
$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
$P(X=k) $$= \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
In diesem Fall ist $n$ die Anzahl der Versicherten ($n=78$), $X$ die Anzahl der Versicherten, die einen Totalschaden melden und $p$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Versicherter einen Totalschaden meldet ($p = 2 \,\%$).
1. Kein gemeldeter Totalschaden
Keiner der $78$ Versicherten meldet einen Totalschaden, also setzt du $k=0$.
$\begin{array}[t]{rll} P(X=0) &=& \binom{78}{0} \cdot 0,02^0 \cdot (1-0,02)^{78-0} \\[5pt] &=& 1 \cdot 1 \cdot 0,98^{78} \\[5pt] &\approx& 0,207 \\[5pt] &=& 20,7 \,\%. \end{array}$
$P(X=0) = … $
D.h. dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $78$ Versicherten kein Versicherter einen Unfall meldet, bei etwa $20,7 \,\%$ liegt.
2. Drei bis fünf gemeldete Totalschäden
Gesucht ist $P(3 \leq X \leq 5)$, d.h. du suchst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den $78$ Versicherten in einem Jahr $3$ bis $5$ einen Totalschaden melden. $P(3 \leq X \leq 5)$ kannst du umschreiben in
$P(3 \leq X \leq 5) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)$.
$P(3 \leq X \leq 5) = … $
Somit musst du $P(X=3)$, $P(X=4)$ und $P(X=5)$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} P(X=3) &=& \binom{78}{3} \cdot 0,02^3 \cdot (1-0,02)^{78-3} \\[5pt] &=& \binom{78}{3} \cdot 0,02^3 \cdot (0,98)^{75} \\[5pt] &\approx& 0,134 \end{array}$
$P(X=3) = … $
$\begin{array}[t]{rll} P(X=4) &=& \binom{78}{4} \cdot 0,02^4 \cdot (1-0,02)^{78-4} \\[5pt] &=& \binom{78}{4} \cdot 0,02^4 \cdot (0,98)^{74} \\[5pt] &\approx& 0,051 \end{array}$
$P(X=4) = … $
$\begin{array}[t]{rll} P(X=5) &=& \binom{78}{5} \cdot 0,02^5 \cdot (1-0,02)^{78-5} \\[5pt] &=& \binom{78}{5} \cdot 0,02^5 \cdot (0,98)^{73} \\[5pt] &\approx& 0,0155 \end{array}$
$P(X=5) = … $
Dadurch ist $P(3 \leq X \leq 5)$ gegeben durch
$\begin{array}[t]{rll} P(3 \leq X \leq 5) &=& P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)\\[5pt] &=& 0,134 + 0,051 + 0,0155 \\[5pt] &\approx& 0,20 \\[5pt] &=& 20,1 \,\% \end{array}$
$P(3 \leq X \leq 5) = … $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den $78$ Versicherten $3$ bis $5$ einen Totalschaden melden, beträgt ungefähr $20,1 \,\%.$
3. Im 1. Jahr werden genau drei und im 2. Jahr weniger als $3$ Totalschäden gemeldet
Die Wahrscheinlichkeit dafür ist gesucht, dass im ersten Jahr genau $3$ und im zweiten Jahr weniger als $3$ Totalschäden gemeldet werden. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(1. \& 2. \text{ Jahr})$ berechnet sich deshalb aus den Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Jahre wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(1. \& 2. \text{ Jahr}) &=& P(1. \text{ Jahr}) \cdot P(2. \text{ Jahr})\\[5pt] &=& P(X=3) \cdot P(X < 3) \end{array}$
$P(1. \& 2. \text{ Jahr}) = … $
$P(X < 3)$ kannst du erneut umschreiben in
$P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$.
$P(X < 3) = … $
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$\begin{array}[t]{rll} P(1. \& 2. \text{ Jahr}) &=& P(X=3) \cdot P(X < 3)\\[5pt] &=& P(X=3) \cdot (P(X = 0) + P(X=1)+P(X=2)) \end{array}$
$P(1. \& 2. \text{ Jahr}) = … $
Deshalb musst du $P(X=1)$ und $P(X=2)$ berechnen, $P(X=0)$ und $P(X=3)$ ist aus dem ersten Teil der Aufgabe bekannt.
$\begin{array}[t]{rll} P(X=1) &=& \binom{78}{1} \cdot 0,02^1 \cdot (1-0,02)^{78-1} \\[5pt] &=& 78 \cdot 0,02 \cdot (0,98)^{77} \\[5pt] &\approx& 0,329 \end{array}$
$P(X=1) = … $
$\begin{array}[t]{rll} P(X=2) &=& \binom{78}{2} \cdot 0,02^2 \cdot (1-0,02)^{78-2} \\[5pt] &=& \binom{78}{2} \cdot 0,02^2 \cdot (0,98)^{76} \\[5pt] &\approx& 0,259 \end{array}$
$P(X=2) = … $
Für $P(1. \& 2. \text{ Jahr})$ gilt daher:
$\begin{array}[t]{rll} P(1. \& 2. \text{ Jahr}) &=& P(X=3) \cdot (P(X = 0) + P(X=1)+P(X=2))\\[5pt] &=& 0,134 \cdot (0,207 + 0,329 + 0,259 )\\[5pt] &\approx& 0,107 \\[5pt] &=& 10,7 \,\% \end{array}$
$P(1. \& 2. \text{ Jahr}) = … $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im 1. Jahr genau $3$ und im 2. Jahr weniger als $3$ Totalschäden gemeldet werden beträgt ungefähr $10,7 \,\%.$
#wahrscheinlichkeit#binomialverteilung
b)
$\blacktriangleright$  Ausgezahlte Gesamtsumme berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die ausgezahlte Gesamtsumme im letzten Jahr berechnen. Da es sich hierbei um ein durchschnittliches Jahr handeln soll, ist bekannt, dass $p=16,7 \,\%$ aller Versicherten im 1. Jahr einen Schaden melden. Da insgesamt $n=5.400$ Personen bei der Kreisversicherung eine Vollkaskoversicherung abgeschlossen haben, kannst du nun die Anzahl der Versicherten $n_{Schaden}$ berechnen, die einen Schadensfall meldeten. Außerdem hast du den Erwartungswert, also die mittlere Schadenssumme pro Schadensfall mit $\mu=2.850 €$ gegeben.
Nun kannst du also zuerst die Anzahl der Versicherten, die einen Schadensfall meldeten, wie folgt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} n_{Schaden}&=& n \cdot p\\[5pt] &=& 5.400 \cdot 0,167\\[5pt] &\approx& 901,8 \end{array}$
Anschließend kannst du mit Hilfe des Erwartungswertes $\mu=2.850 €$ und der Anzahl der Versicherten, die einen Schaden meldeten $n_{Schaden}\approx 901,8$, die gesamte Schadenssumme $S_{ges}$ bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} S_{ges}&=& n_{Schaden} \cdot \mu\\[5pt] &=& 901,8 \cdot 2.850 €\\[5pt] &=& 2.570.130 € \end{array}$
Somit beträgt die gesamte Schadenssumme $2.570.130$ €.
$\blacktriangleright$  Anteil von etwa $\boldsymbol{9,3 \,\%}$ der schweren Schäden bestätigen
In dieser Teilaufgabe sollst du den Anteil von etwa $9,3\,\%$ der schweren Schäden bestätigen. Du hast hierbei den Erwartungswert mit $\mu=2.850 \, €$ und die Standardabweichung $\sigma = 1.330\,€$ gegeben. Außerdem weißt du, dass Schäden ab $4.600$ € als schwere Schäden gelten sollen, daher gilt $k=4.600\,€$. Da es sich hierbei durch eine Normalverteilung modellieren lassen soll, gilt folgende Gleichung:
$P(X>k)=1-P(X \leq k)=1- \Phi\left(\dfrac{k-\mu}{\sigma}\right)$
$P(X>k)=1-P(X \leq k)$
Somit kannst du den Anteil von schweren Schäden durch die Tabelle der Normalverteilung(siehe Formelsammlung) folgendermaßen bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} P(X>k)&=& 1-P(X \leq k)\\[5pt] &=& 1- \Phi\left(\dfrac{k-\mu}{\sigma}\right)\\[5pt] &=& 1- \Phi\left(\dfrac{4600 \,€ -2.850 \,€}{1.330 \,€}\right)\\[5pt] &\approx& 1- \Phi(1,32)\\[5pt] &\approx& 1- 0,907\\[5pt] &=& 0,093\\[5pt] \end{array}$
$ P(X>k)\approx0,093$
Somit ist der Anteil von etwa $9,3\,\%$ der schweren Schäden bestätigt.
$\blacktriangleright$  Mittlere Schadenssumme bestätigen
In dieser Teilaufgabe sollst du bestätigen, dass wenn der Anteil der schweren Schäden auf $15,9 \,\%$ gestiegen ist, die mittlere Schadenssumme auf $3.272$ € steigt. Die Schadenssumme ist weiterhin durch eine Normalverteilung modellierbar und für die Standardabweichung gilt weiterhin $\sigma=1.330\,€$. Somit gilt folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} 1- \Phi\left(\dfrac{k-\mu}{\sigma}\right)&=& 0,159 &\quad \mid +\Phi\left(\dfrac{k-\mu}{\sigma}\right)&\quad \mid -0,159\\[5pt] \Phi\left(\dfrac{k-\mu}{\sigma}\right)&=& 0,841 \end{array}$
$\Phi\left(\dfrac{k-\mu}{\sigma}\right)=0,841$
Nun musst du mit Hilfe der Tabelle zur Normalverteilung den entsprechenden Wert für $\dfrac{k-\mu}{\sigma}$ bestimmen. Da anhand der Tabelle
$\Phi(1,00)= 0,841$ gilt, muss nun für $\dfrac{k-\mu}{\sigma}$ folgendes gelten:
$\dfrac{k-\mu}{\sigma}= 1,00$
Jetzt kannst du nach dem gesuchten Erwartungswert auflösen und die entsprechenden Werte für $k$ und $\sigma$ aus der Aufgabenstellung einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{k-\mu}{\sigma}&=& 1,00 &\quad \mid \cdot \sigma&\quad \mid -k &\quad \mid \cdot (-1) \\[5pt] \mu&=& -\sigma + k\\[5pt] &=& -1.330 \,€ + 4.600 \,€\\[5pt] &=& 3.270 \,€\\[5pt] \end{array}$
$\mu=3.270 \,€$
Somit ist die Behauptung für die mittlere Schadenssumme bestätigt und sie steigt auf ungefähr $3.270$ €.
#erwartungswert#normalverteilung#standardabweichung
c)
$\blacktriangleright$  Aussage bestätigen
In dieser Teilaufgabe sollst du bestätigen, dass wenn die Schadenswahrscheinlichkeit in der Gruppe der jungen Fahrer bis $24$ Jahre nicht erhöht sein sollte, die gegebene Nullhypothese zutrifft, der Mathematiker die Nullhypothese aufgrund seiner Entscheidungsregel aber mit einer Wahrscheinlichkeit von über $30 \,\%$ dennoch verwirft. Gesucht ist somit in dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art, da du die Wahrscheinlichkeit bestätigen sollst, dass die Nullhypothese verworfen wird, obwohl sie in Wahrheit zutrifft.
Um die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art zu bestimmen musst du den Ablehnungsbereich betrachten, der in der Aufgabe gegeben ist. In der Aufgabe ist gegeben, dass die Nullhypothese abgelehnt wird, wenn aus dieser Gruppe pro Jahr mehr als $215$ Schadensfälle gemeldet werden. Somit lautet der Ablehnungsbereich
$\overline{A}=\left\{216;217;…1250\right\}$.
Für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art gilt:
$P(\text{Fehler 1. Art})=P(\overline{A})$
$P(\text{Fehler 1. Art})=P(\overline{A})$
Nun folgt für den Fehler 1. Art:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})&=& P(X\geq216) \\[5pt] &=& 1- P(X\leq215)\\[5pt] &=& 1- 0,6978\\[5pt] &=& 0,3022\\[5pt] \end{array}$
Somit tritt ein Fehler 1. Art mit einer Wahrscheinlichkeit von $30,22 \,\%$ auf und die Aussage ist deshalb bestätigt.
$\blacktriangleright$  Entscheidungsregel ermitteln
In dieser Teilaufgabe sollst du eine neue Entscheidungsregel ermitteln, nach der die Nullhypothese auf dem $5 \,\%$-Niveau verworfen werden soll. Das bedeutet, dass nun für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art $P(\text{Fehler 1. Art})\leq0,05$ gelten muss. Somit musst du den Ablehnungsbereich der Nullhypothese bestimmen. Also für welche Anzahl $n$ an Schadensfällen die Nullhypothese abgelehnt wird. Aus der ersten Teilaufgabe weißt du bereits, dass sich die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art durch $P(\overline{A})= P(X\geq n)$ bestimmmen lässt. Dies kannst du wie folgt umformen:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})&=& P(X\geq n) \\[5pt] &=& 1- P(X\leq n-1)\\[5pt] \end{array}$
Somit kannst du anhand der beigefügten Tabelle den gesuchten Wert $n$ ermitteln. Mit der Tabelle gilt:
$P(X\leq230)=0,9491$
$P(X\leq231)=0,9563$
Dadurch folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})&=& 1- P(X\leq 231) \\[5pt] &=& 1- 0,9563\\[5pt] &=& 0,0437\\[5pt] \end{array}$
Somit gilt für die Entscheidungsregel, dass die Nullhypothese für $230$ oder mehr Schadensfälle abgelehnt wird.
#hypothesentest
d)
$\blacktriangleright$  Folgerung bestätigen
In dieser Teilaufgabe ist beschrieben, dass im Durchschnitt $18,9 \,\%$ der $U24$ Fahrer pro Jahr einen Schaden gemeldet haben. Nun sollst du die Folgerung bestätigen, dass somit ein Mitglied der Gruppe $24+$ ein geringeres Schadenrisiko besitzt, da er nur mit einer Wahrscheinlichkeit von $16 \,\%$ pro Jahr einen Schaden meldet. Du hast außerdem bereits gegeben, dass bei der Kreisversicherung 1.250 Verträge zu Fahrern der Gruppe $U24$ gehören. Da insgesamt $5.400$ Personen eine Vollkaskoversicherung bei der Kreisversicherung abgeschlossen haben, folgt für die Anzahl der Mitglieder der Gruppe $24+$ $n_{24+}$
$n_{24+}=5.400-1.250 = 4.150$.
Außerdem weißt du, dass alle Versicherten mit einer Wahrscheinlichkeit von $16,7 \,\%$ einen Schadensfall melden. Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Gruppen in Abhängigkeit vom Anteil der gesamten Anzahl der Versicherten berechnen. Somit folgt für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitglied der Gruppe $24+$ einen Schadensfall meldet folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} p_{ges}&=&\dfrac{n_{U24}}{n_{ges}}\cdot p_{U24}+ \dfrac{n_{24+}}{n_{ges}}\cdot p_{24+} &\mid \quad -\dfrac{n_{U24}}{n_{ges}}\cdot p_{U24}\\[5pt] p_{ges}-\dfrac{n_{U24}}{n_{ges}}\cdot p_{U24}&=& \dfrac{n_{24+}}{n_{ges}}\cdot p_{24+} &\mid \quad \cdot \dfrac{n_{ges}}{n_{24+}} \\[5pt] \dfrac{n_{ges}}{n_{24+}}\cdot (p_{ges}-\dfrac{n_{U24}}{n_{ges}}\cdot p_{U24})&=& p_{24+}\\[5pt] \dfrac{5.400}{4.150}\cdot (16,9 \,\%-\dfrac{1.250}{5.400}\cdot 18,9 \,\%)&=& p_{24+}\\[5pt] p_{24+}&=& 16,0 \,\% \end{array}$
$p_{24+}= 16,0 \,\%$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitglied der Gruppe $24+$ einen Unfall meldet $p_{24+}=16,0 \,\%$ und die Folgerung ist bestätigt.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit ermitteln
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln, dass ein neu eingehender Schadensfall zu einem Versicherten aus der Gruppe $24+$ gehört. Das bedeutet, dass du die Wahrscheinlichkeit dafür suchst, dass ein Versicherter, der einen Schadensfall meldet, ein Mitglied der Gruppe $24+$ ist. Es handelt sich hierbei um eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
Du kannst die Zugehörigkeit zur Gruppe $24+$ als Ereignis $A$ und dass der Versicherte einen Schadensfall meldet mit Ereignis $B$ bezeichnen. Somit suchen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ereignis $A$ eintritt, wenn Ereignis $B$ bereits eingetroffen ist. Du weißt hierbei bereits, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Versicherter einen Schadensfall meldet, bei $16,0 \,\%$ liegt, wenn er Mitglied der Gruppe $24+$ ist. Dies entspricht genau der Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ereignis $B$ eintritt, wenn $A$ bereits eingetroffen ist. Also der bedingten Wahrscheinlichkeit $P_A(B)$. Außerdem kennst du bereits die Waherscheinlichkeiten dafür, dass ein Versicherter Mitglied der Gruppe $24+$ ist mit $P(A)=\dfrac{4150}{5400}$ und dass ein Versicherter einen Schadensfall meldet mit $P(B)=16,,7 \,\%$. Nun suchst du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein neu eingehender Schadensfall zu einem Versicherten aus der Gruppe $24+$ gehört. Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ gesucht. Diese kannst du mit dem Satz von Bayes berechnen. Der Satz von Bayes lautet:
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
Nun kannst du die Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ wie folgt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} P_B(A)&=&\dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}\\[5pt] &=& \dfrac{0,16 \cdot \frac{4150}{5400}}{0,167}\\[5pt] &\approx& 0,736 \end{array}$
Somit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein neu eingehender Schadensfall zu einem Versicherten aus der Gruppe $24+$ gehört mit $P_B(A)\approx 73,6 \,\%$ gegeben.
#satzvonbayes#bedingtewahrscheinlichkeit#wahrscheinlichkeit
e)
$\blacktriangleright$  Poissonverteilung als Näherung begründen
Die Poissonverteilung kannst du verwenden, wenn du die Häufigkeit eines Ereignisses über eine gewisse Zeit betrachten möchtest. Diese Ereignisse treten bei konstanter mittlerer Rate auf. In unserem Fall können hierbei die Schadensmeldungen als poissonverteilt angenommen werden. Der Mittelwert der täglichen Schadensmeldungen bezeichnen wir hierbei mit $p$.
$\blacktriangleright$  Anzahl der Tage berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Anzahl der Tage bestimmen, an denen mit genau sechs Schadensfällen gerechnet werden muss. Die Poissonverteilung gibt nun für eine bestimmte Anzahl $k$ eines Ereignisses die entsprechende Wahrscheinlichkeit an. Bestimme also zuerst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau sechs Schadensfälle an einem Tag auftreten. Anschließend kannst du mit der bereits bestimmten Wahrscheinlichkeit, die Anzahl der Tage in einem Jahr bestimmen, an denen sechs Schadensfälle auftreten. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du mit der folgenden Formel für die Poisson-Verteilung bestimmen.
$P(X=k)=\dfrac{\mu^k}{k!}\cdot \exp^{-\mu}$
$P(X=k)=\dfrac{\mu^k}{k!}\cdot \exp^{-\mu}$
Somit kannst du nun für $\mu=2,47$ und für $k=6$ einsetzen und erhälst dadurch die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau sechs Schadensfälle an einem Tag auftreten.
$\begin{array}[t]{rll} P(X=k)&=&\dfrac{\mu^k}{k!}\cdot \exp^{-\mu}\\[5pt] P(X=6)&=& \dfrac{2,47^6}{6!}\cdot \exp^{-2,47}\\[5pt] &\approx& 0,0267 \end{array}$
Anschließend kannst du die Anzahl der Tage $n_6$ in einem Jahr $n_J$ bestimmen an denen genau sechs Schadensfälle auftreten.
$\begin{array}[t]{rll} n_6&=& P(6) \cdot n_J\\[5pt] &=& 0,0267 \cdot 365\\[5pt] &\approx& 9,74 \end{array}$
Somit beträgt die Anzahl der Tage in einem Jahr, an denen genau sechs Schadensfällen auftreten, ungefähr $10$ Tage.
$\blacktriangleright$  Aus dem Sachkontext begründen
In dieser Teilaufgabe sollst du aus dem Sachkontext begründen, warum die Anzahl der täglichen Schadensmeldungen nicht sinnvoll durch eine Binomialverteilung und damit auch durch eine Poissonverteilung beschrieben werden kann. Dies liegt daran, dass die einzelnen Ereignisse hierbei nicht unabhängig voneinander sind, da bei einem Autounfall meist mehrere Autos verwickelt sind und beispielsweise bei einem gtrößeren Unfall deutlich mehr Schadensmeldungen eingehen, wobei die einzelnen Schäden nicht unabhängig voneinander entstanden sind.
#poissonverteilung
f)
$\blacktriangleright$  Mögliche Werte für $\boldsymbol{n}$ ermitteln
In dieser Teilaufgabe ist bekannt, dass die Zufallsgröße $X$ poissonverteilt ist mit $P_{Poi}(X=3)\approx 0,08$ und $p=0,02$. Nun sollst du durch systematisches Probieren mögliche Werte für die Größe $n$ im Intervall $[0;400]$ finden, sodass die Binomialverteilung ungefähr der Poissonverteilung entspricht.
Die Formel für die Binomialverteilung lautet:
$P_{Bin}(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$P_{Bin}(X=k) $=$ \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
Nun sollst du durch systematisches Probieren einen Wert für $n$ finden, sodass $P_{Bin}(X=3)\approx P_{Poi}(X=3)$ gilt. Durch Einsetzen erhälst du nun folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} P_{Poi}(X=3)&\approx& P_{Bin}(X=3)\\[5pt] 0,08 &=& \binom{n}{3}\cdot 0,02^3 \cdot (1-0,02)^{n-3}\\[5pt] \end{array}$
$0,08 \approx P_{Bin}(X=3)$
Durch systematisches Probieren erhältst du folgende Werte für verscheidene $n$:
Für $n=200$ gilt: $P_{Bin}(X=3)\approx 0,2$
Für $n=300$ gilt: $P_{Bin}(X=3)\approx 0,088$
Für $n=309$ gilt: $P_{Bin}(X=3)\approx 0,0805$
Für $n=310$ gilt: $P_{Bin}(X=3)\approx 0,0797$
Dadurch folgt, dass für $n=310$ $P_{Bin}(X=3)\approx P_{Poi}(X=3)$ gilt und somit ist der gesuchte Wert $n=310$.
#binomialverteilung
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