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Hilfsmittelfreier Prüfungsteil

Aufgaben
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I.1 Analysis

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)= -2x^2+4x$, wobei $x \in \mathbb{R}$ gilt.
a)
Berechne die Nullstellen von $f$.
(2P)
b)
Sei nun $a>0$.
Bestimme denjenigen Wert von $a$, für den $\int_0^a f(x) \text{ dx} = 0$ gilt.
(3P)
#nullstelle#integral

I.2 Analytische Geometrie

Betrachtet wird der abgebildete Würfel $ABCDEFGH$. Die Eckpunkte $D$, $E$, $F$ und $H$ dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten:
$D$ $(0\mid 0\mid -2)$, $E$ $(2\mid 0\mid 0)$, $F$ $(2\mid 2\mid 0)$ und $H$ $(0\mid 0\mid 0)$.
a)
Zeichne in die Abbildung 1 die Koordinatenachsen ein und bezeichne diese.
Gib die Koordinaten des Punktes $A$ an.
(2P)
b)
Zeige, dass der Punkt $P$ $(1,5\mid 1,5\mid -0,5)$ auf der Geraden liegt, welche durch die Punkte $F$ und $D$ geht.
(3P)
#kartesischeskoordinatensystem#vektoren#geradengleichung#zentraleraufgabenpool

I.3 Stochastik

a)
Ermittle mithilfe der Abbildung 2 einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Basketballspieler mindestens $8$-mal trifft.
(2P)
b)
In der Abbildung 2 sieht es so aus, als wäre $P(X=2)=0$.
Begründe, dass dies nicht der Fall ist.
(3P)
#zentraleraufgabenpool#wahrscheinlichkeit

I.4 Analytische Geometrie

Gegeben sind die Vektoren $\overrightarrow{a}= \begin{pmatrix}-2\\[2pt]1\\[2pt]4\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{b}= \begin{pmatrix}-4\\[2pt]0\\[2pt]6\end{pmatrix}$.
Für die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ gilt:
$2\cdot \overrightarrow{a} + r\cdot \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}-6\\[2pt]2\\[2pt]11\end{pmatrix}$, $r \in \mathbb{R}$
a)
Bestimme $r$.
(2P)
b)
Gegeben sind die Punkte $A$ $(-2\mid 1\mid 4)$,$B$ $(-4\mid 0\mid 6)$ und $C$ $(3\mid -10\mid 8)$ im kartesischen Koordinatensystem.
Zeige, dass das Dreieck $ABC$ rechtwinklig ist mit rechtem Winkel in $B$.
(3P)
#vektoren
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
#hilfsmittelfreieaufgaben
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Tipps
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I.1 Analysis

a)
$\blacktriangleright$ Nullstellen von $\boldsymbol{f}$ bestimmen
Um die Nullstellen der Funktion $f(x) = -2x^2 + 4x$ zu bestimmen, kannst du die a-b-c-Formel (wenn du die Funktion entsprechend anpasst, auch die p-q-Formel) verwenden.
Eine bessere Alternative ist, gleiche Faktoren auszuklammern, um sich anschließend die Frage zu stellen, unter welchen Bedingungen die Funktion null wird.
Ein Produkt wird genau dann null, wenn ein Faktor null wird.
Ein Produkt wird genau dann null, wenn ein Faktor null wird.
b)
$\blacktriangleright$ Wert von $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Das Integral $\int_0^a f(x) \text{ dx}$ soll $0$ sein. Du berechnest also den Wert des Integrals $\int_0^a f(x) \text{ dx}$, um anschließend das Ergebnis mit $0$ gleichzusetzen, um $a$ zu bestimmen.

I.2 Analytische Geometrie

a)
$\blacktriangleright$ Koordinatenachsen zeichnen
Der Punkt $H$ hat die Koordinaten $(0 \mid 0 \mid 0)$, d.h. der Ursprung des Koordinatensystems liegt in $H$. Bestimme nun die $x$-, $y$- und $z$-Achse, indem du die Koordinaten der Punkte betrachtest. Wenn zwei Koordinaten eines Punkts gleich null sind und eine ungleich null, kannst du sofort daraus folgern, dass eine Koordinatenachse durch diesen Punkt geht. In welche Richtung diese Achse verläuft, siehst du am Vorzeichen des Eintrags ungleich null.
b)
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass der Punkt $\boldsymbol{P}$ auf der Geraden $\boldsymbol{FD}$ liegt
Um zu zeigen, dass der Punkt $P$ auf der Geraden $FD$ liegt, musst du zuerst die Geradengleichung der Geraden $FD$ aufstellen. Dafür berechnest du den Vektor $\overrightarrow{DF}$ und benutzt als Aufpunkt den Punkt $D$.

I.3 Stochastik

a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für mindestens $\boldsymbol{8}$ Treffer bestimmen
Du sollst in diesem Aufgabenteil anhand der Abbildung die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass der Basketballer mindestens $8$-mal trifft, d.h. $P(X \geq 8)$ ist gesucht. Mit $X$ bezeichnet man die Anzahl der Treffer. Dafür addierst du einfach die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass der Basketballer $8$, $9$ oder $10$ Treffer landet. Die Wahrscheinlichkeiten dafür kannst du in der Abbildung ablesen.
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für $\boldsymbol{X=2}$ begründen
Anhand von einer Abbildung kannst du oft nicht den exakten Wert für bestimmte $X$ ablesen.

I.4 Analytische Geometrie

a)
$\blacktriangleright$ Skalar $\boldsymbol{r}$ bestimmen
Gesucht ist ein Skalar $r$, das die Gleichung $2 \cdot \vec{a} + r \cdot \vec{b} = \pmatrix{-6 \\ 2 \\ 11}$ erfüllt. Setze also die entsprechenden Werte für $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ein und löse die Gleichung nach $r \cdot \vec{b}$ auf.
b)
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass bei $\boldsymbol{B}$ ein rechter Winkel ist
Du musst zeigen, dass bei $B$ ein rechter Winkel vorliegt, d.h., dass die Gerade, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft, orthogonal zur Geraden ist, die durch $B$ und $C$ geht. Mathematisch bedeutet das also, dass das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ gleich null ist.
Bestimme also die beiden Vektoren und weise nach, dass deren Skalarprodukt gleich null ist.
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I.1 Analysis

a)
$\blacktriangleright$ Nullstellen von $\boldsymbol{f}$ bestimmen
Um die Nullstellen der Funktion $f(x) = -2x^2 + 4x$ zu bestimmen, kannst du die a-b-c-Formel (wenn du die Funktion entsprechend anpasst, auch die p-q-Formel) verwenden.
Eine bessere Alternative ist, gleiche Faktoren auszuklammern, um sich anschließend die Frage zu stellen, unter welchen Bedingungen die Funktion null wird.
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& -2x^2 + 4x \\[5pt] &=& 2x \cdot (-x + 2).\\[5pt] \end{array}$
Die Funktion $f$ ist also ein Produkt aus den zwei Faktoren $2x$ und $(-x + 2)$.
Ein Produkt wird genau dann null, wenn ein Faktor null wird.
TEin Produkt wird genau dann null, wenn ein Faktor null wird.
Somit musst du bestimmen für welche $x$ die beiden Faktoren $2x$ und $(-x + 2)$ null werden.
Der erste Faktor wird genau dann null, wenn $x=0$ ist.
Der zweite Faktor ist genau dann null, wenn $x=2$ ist.
Somit hat die Funktion $f$ die Nullstellen $x_1 = 0$ und $x_2 = 2$.
b)
$\blacktriangleright$ Wert von $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Das Integral $\int_0^a f(x) \text{ dx}$ soll $0$ sein. Du berechnest also den Wert des Integrals $\int_0^a f(x) \text{ dx}$, um anschließend das Ergebnis mit $0$ gleichzusetzen, um $a$ zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} \int_0^a f(x) \text{ dx} &=& \int_0^a -2x^2 + 4x \text{ dx} \\[5pt] &=& 2 \cdot \int_0^a -x^2 + 2x \text{ dx} \\[5pt] &=& 2 \cdot \mathop{\big|}\limits_0^a - \dfrac{1}{3} x^3 + x^2 \\[5pt] &=& 2 \cdot (-\dfrac{1}{3} a^3 + a^2) - 0 \\[5pt] &=& 2a^2 \cdot (1- \dfrac{1}{3}a). \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \int_0^a f(x) \text{ dx} &=& … \end{array}$
Das Integral $\int_0^a f(x) \text{ dx}$ wird genau dann null, wenn einer der beiden Faktoren von $2a^2 \cdot (1- \dfrac{1}{3}a)$ null wird. Da nach Voraussetzung $a > 0$ gilt, darf $a=0$ nicht gelten.
Somit ist $a=3$ die einzige Lösung für die Gleichung $\int_0^a f(x) \text{ dx} = 0.$
#nullstelle#integral#satzvomnullprodukt#pq-formel

I.2 Analytische Geometrie

a)
$\blacktriangleright$ Koordinatenachsen zeichnen
Der Punkt $H$ hat die Koordinaten $(0 \mid 0 \mid 0)$, d.h. der Ursprung des Koordinatensystems liegt in $H$. Da der Punkt $E$ als erste Koordinate eine positive Zahl hat und die restlichen Koordinaten gleich null sind, ist die $x$-Achse die Gerade $EH$. Die Richtung der $x$-Achse ist dabei die Richtung des Vektors $\overrightarrow{HE}$. Das Vorgehen bei der $y$-Achse ist analog. Da der Punkt $G$ als zweite Koordinate eine positive Zahl hat und die restlichen Koordinaten gleich null sind, ist die $y$-Achse die Gerade $GH$. Die Richtung der $y$-Achse ist dabei die Richtung des Vektors $\overrightarrow{HG}$. Der Punkt $D$ hat als letzte Koordinate eine negative Zahl (die restlichen Koordinaten sind gleich null), das bedeutet, dass die $z$-Achse die Gerade $DH$ ist. Die Richtung ist dieses Mal allerdings die Richtung des Vektors $\overrightarrow{DH}$.
Somit ergibt sich folgendes Koordinatensystem:
Hilfsmittelfreier Prüfungsteil
Abb. 1: Würfel im Koordinatensystem
Hilfsmittelfreier Prüfungsteil
Abb. 1: Würfel im Koordinatensystem
Der Punkt $A$ hat demnach die Koordinaten $(2 \mid 0 \mid -2).$
b)
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass der Punkt $\boldsymbol{P}$ auf der Geraden $\boldsymbol{FD}$ liegt
Um zu zeigen, dass der Punkt $P$ auf der Geraden $FD$ liegt, musst du zuerst die Geradengleichung der Geraden $FD$ aufstellen. Dafür berechnest du den Vektor $\overrightarrow{DF}$ und benutzt als Aufpunkt den Punkt $D$.
$\overrightarrow{DF} = \pmatrix{2 - 0 \\ 2 - 0 \\ 0 - (-2) } = \pmatrix{2 \\ 2 \\ 2 }.$
Somit lautet die Geradengleichung
$\overrightarrow{OD} + \lambda \cdot \pmatrix{2 \\ 2 \\ 2 } = \pmatrix{0 \\ 0 \\ -2 } + \lambda \cdot \pmatrix{2 \\ 2 \\ 2 }.$
$\overrightarrow{OD} + \lambda \cdot \pmatrix{2 \\ 2 \\ 2 } = …$
Um zu zeigen, dass $P$ auf dieser Geraden liegt, musst du die Geradengleichung mit dem Ortsvektor von $P$ gleichsetzen und ein passendes $\lambda$ bestimmen, sodass alle drei Gleichungen erfüllt sind.
$\overrightarrow{OP} = \pmatrix{1,5 \\ 1,5 \\ -0,5 } = \pmatrix{0 \\ 0 \\ -2 } + \lambda \cdot \pmatrix{2 \\ 2 \\ 2 }.$
$\overrightarrow{OP} =…$
Der Skalar $\lambda = \dfrac{3}{4}$ erfüllt alle drei Gleichungen, sodass du gezeigt hast, dass $P$ auf der Geraden $\overline{FD}$ liegt.
#kartesischeskoordinatensystem#geradengleichung#ortsvektor

I.3 Stochastik

a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für mindestens $\boldsymbol{8}$ Treffer bestimmen
Du sollst in diesem Aufgabenteil anhand der Abbildung die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass der Basketballer mindestens $8$-mal trifft, d.h. $P(X \geq 8)$ ist gesucht. Mit $X$ bezeichnet man die Anzahl der Treffer. Dafür addierst du einfach die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass der Basketballer $8$, $9$ oder $10$ Treffer landet. Die Wahrscheinlichkeiten dafür kannst du in der Abbildung ablesen.
$\begin{array}[t]{rll} P(X \geq 8)&=& P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) \\[5pt] &\approx& 0,3 + 0,27 + 0,11 \\[5pt] &=& 0,68 \\[5pt] &=& 68 \%. \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X \geq 8)&=& 68 \% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Basketballer mindestens $8$-mal trifft, liegt also bei ca. $68 \%$.
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für $\boldsymbol{X=2}$ begründen
Anhand von einer Abbildung kannst du oft nicht den exakten Wert für bestimmte $X$ ablesen. $X$ ist in dieser Aufgabe binomialverteilt, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass der Basketballer genau $2$ Treffer landet, ist zwar sehr klein, aber trotzdem ungleich null.
#wahrscheinlichkeit#binomialverteilung

I.4 Analytische Geometrie

a)
$\blacktriangleright$ Skalar $\boldsymbol{r}$ bestimmen
Gesucht ist ein Skalar $r$, das die Gleichung $2 \cdot \vec{a} + r \cdot \vec{b} = \pmatrix{-6 \\ 2 \\ 11}$ erfüllt. Setze also die entsprechenden Werte für $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ein und löse die Gleichung nach $r \cdot \vec{b}$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-6 \\ 2 \\ 11} &=& 2 \cdot \vec{a} + r \cdot \vec{b} \\[5pt] &=& 2 \cdot \pmatrix{-2 \\ 1 \\ 4} + r \cdot \pmatrix{-4 \\ 0 \\ 6} \\[5pt] r \cdot \pmatrix{-4 \\ 0 \\ 6} &=& \pmatrix{-6 \\ 2 \\ 11} - 2 \cdot \pmatrix{-2 \\ 1 \\ 4} \\[5pt] r \cdot \pmatrix{-4 \\ 0 \\ 6} &=& \pmatrix{-2 \\ 0 \\ 3 } \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} r \cdot \pmatrix{-4 \\ 0 \\ 6} &=& \pmatrix{-2 \\ 0 \\ 3 } \\[5pt] \end{array}$
Demnach erfüllt der Skalar $r = 0,5$ alle drei Gleichungen.
b)
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass bei $\boldsymbol{B}$ ein rechter Winkel ist
Du musst zeigen, dass bei $B$ ein rechter Winkel vorliegt, d.h., dass die Gerade, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft, orthogonal zur Geraden ist, die durch $B$ und $C$ geht. Mathematisch bedeutet das also, dass das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ gleich null ist.
Bestimme also die beiden Vektoren und weise nach, dass deren Skalarprodukt gleich null ist.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \pmatrix{-4 \\ 0 \\ 6} - \pmatrix{-2 \\ 1 \\ 4} = \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2}$
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = \pmatrix{3 \\ -10 \\ 8} - \pmatrix{-4 \\ 0 \\ 6} = \pmatrix{7 \\ -10 \\ 2}$
$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2}$
$\overrightarrow{BC} = \pmatrix{7 \\ -10 \\ 2}$
Berechne im nächsten Schritt das Skalarprodukt der beiden Vektoren.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BC} &=& \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2} \circ \pmatrix{7 \\ -10 \\ 2} \\[5pt] &=& -2 \cdot 7 + (-1) \cdot (-10) + 2 \cdot 2 \\[5pt] &=& -14 + 10 + 4 \\[5pt] &=& 0. \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BC}&=& 0 \end{array}$
Somit hast du nachgewiesen, dass die beiden Geraden $AB$ und $BC$ orthogonal sind und demnach liegt bei $B$ ein rechter Winkel vor.
#vektoren#orthogonal#skalarprodukt
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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