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Analysis 1

Aufgaben
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Elefantengras

Das Elefantengras gewinnt aufgrund seines schnellen Wachstums zunehmend eine Bedeutung als erneuerbarer Energieträger. Die Pflanzen erreichen in Mitteleuropa während der Sommermonate eine Höhe zwischen drei und vier Metern. In den Wintermonaten wird die Pflanze bodennah abgeerntet, im folgenden Frühling findet dann ein erneutes Wachstum statt.
Um genauer analysieren zu können, wie der Ertrag von der Bodenbeschaffenheit, dem Klima und der Pflanzensorte abhängt, soll das Pflanzenwachstum durch entsprechende mathematische Modelle beschrieben werden. In den folgenden Modellierungen steht jeweils $t$ für die Zeit in Tagen, beginnend am 1. Mai um 12:00 Uhr $(t=0)$. Die Geschwindigkeit, mit der die Pflanzenhöhe $h$ wächst, wird jeweils durch $v$ beschrieben, wobei $h$ in cm und $v$ in $\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}$ angegeben ist. Die entsprechenden Funktionen in verschiedenen Modellierungen werden durch ihren Index unterschieden.
In einem Modell $A$ wird für $0\leq t\leq 140$ die Funktion $v_A$ verwendet mit
$\begin{array}[t]{rll} v_A(t)&=& 0,00001\cdot t^3-0,0028\cdot t^2+0,196\cdot t &\quad \scriptsize \; \end{array}$.
$v_A(t)$
a)
  • Bestätige, dass die Wachstumsgeschwindigkeit am 16. Mai um 12:00 Uhr im Modell $A$ etwa $2,3$ Zentimeter pro Tag beträgt.
  • Bestätige, dass das Elefantengras nach dem Modell $A$ zum Zeitpunkt $t=140$ nicht wächst.
  • Bestimme die maximale Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze im Modell $A$.
  • Bestimme den Zeitpunkt, an dem die Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze im Modell $A$ am stärksten abnimmt.
(18P)
#analysis
b)
Bestimme, ausgehend von der Funktion $v_A$, die Funktion $h_A$, die die Höhe des Elefantengrases zum Zeitpunkt $t$ beschreibt. Gehe dabei von einer Anfangshöhe von $0\,\text{cm}$ aus.
(Zur Kontrolle: $h_A(t)= \frac{1}{1.200.000}\cdot (3t^4 - 1.120t^3 + 117.600t^2)$)
(7P)
#analysis
Um beurteilen zu können, inwieweit Modell $A$ für ein bestimmtes Feld eine angemessene Beschreibung liefert, soll die jeweilige Pflanzenhöhe $h_A(t)$ zu verschiedenen Zeitpunkten $t$ mit Messwerten auf dem Feld verglichen werden. Auf dem Feld wurden folgende Messwerte ermittelt:
$t$ in Tagen ab 1. Mai um 12:00 Uhr01050140
gemessene Höhe $h$ in Zentimetern09142315
$t$ in Tagen ab 1. Mai um 12:00 Uhr010
gemessene Höhe $h$ in Zentimetern09
Das Modell $A$ wird als angemessen angesehen, wenn die berechnete Höhe nicht mehr als $4\%$ von der gemessenen Höhe abweicht.
c)
Bestätige, dass die Funktion $h_A$ eine angemessene Modellierung der Pflanzenhöhe darstellt.
(8P)
#analysis
Im Folgejahr soll das Wachstum durch Düngung gesteigert werden. Die Düngung erfolgt am 16. Mai um 12:00 Uhr. Die Höhe der Pflanze soll von diesem Zeitpunkt an bis zum Zeitpunkt $t=140$ durch eine andere ganzrationale Funktion vierten Grades $h_B$ beschrieben werden.
Folgende Bedingungen soll die Funktion $h_B$ erfüllen:
  1. Der Graph der Funktion $h_A$ soll zum Zeitpunkt der Düngergabe lückenlos und knickfrei in den Graphen der Funktion $h_B$ übergehen.
  2. Die Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze beträgt am 31. Mai $(t=30)$ durch die Düngergabe $10\%$ mehr als im Modell $A$.
  3. Die Wachstumsgeschwindigkeit ist bei $t=140$ gleich $0$.
d)
  • Gib die obigen Bedingungen in Form von Gleichungen an, welche die Funktion $h_B$ erfüllen muss.
  • Begründe, dass die Bedingungen nicht ausreichen, um die Funktion $h_B$ eindeutig zu bestimmen.
  • Zusätzlich wird folgende Annahme getroffen: $h_B(140) = h_A(140)+6$.
  • Interpretiere diese Annahme im Sachkontext.
(10P)
#ganzrationalefunktion
Ein Landwirt erwägt das Anpflanzen von Elefantengras. Zur Auswahl steht neben der oben modellierten Sorte eine neue Züchtung, deren Wachstumsgeschwindigkeit näherungsweise durch die Funktion $v_C$ mit
$v_C (t) = -0,00136\cdot (t^2 - 140\cdot t)\cdot e^{-\frac{t}{140}}$
$v_C (t) = …$
beschrieben werden kann. Da diese Pflanze etwas temperaturempfindlicher ist, endet das Wachstum schon nach $120$ Tagen.
e)
  • Weise nach, dass
    $V_C$ mit $V_C(t) = 0,1904\cdot (t^2 + 140\cdot t +19.600)\cdot e^{-\frac{t}{140}}- 3.731,84$
    $V_C$ mit $V_C(t) = …$
    eine Stammfunktion der Funktion $v_C$ ist.
  • Die Größe
    $R =\frac{\displaystyle\int_{60}^{120} v_C(t) \;\mathrm dt- \displaystyle\int_{60}^{140} v_A(t) \;\mathrm dt}{\displaystyle\int_{60}^{140} v_A(t)\;\mathrm dt}$
    $R = …$
    dient dazu, das Wachstum der neuen Sorte mit dem der alten Sorte zu vergleichen.
    Berechne den Wert von $R$ und interpretiere ihn.
  • Die Größe $R$ dient dazu, das Wachstum der neuen Sorte mit dem der alten Sorte zu vergleichen.
    Berechne den Wert von $R$ und interpretiere ihn.
(7P)
#stammfunktion#integral
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Tipps
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a)
$\blacktriangleright$  Wachstumsgeschwindigkeit am 16. Mai um 12:00 Uhr bestätigen
Für das Modell A wird in der Zeit $0\leq t\leq 140$ die Wachstumsgeschwindigkeit beschrieben durch:
$\begin{array}[t]{rll} v_A(t)&=& 0,00001\cdot t^3-0,0028\cdot t^2+0,196\cdot t &\quad \scriptsize \; \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} v_A(t)&=&… \end{array}$
Um auf die Wachstumsgeschwindigkeit am 16. Mai zu schließen, betrachtest du $t=15$, denn $t=0$ ist der 1. Mai.
$\blacktriangleright$  Kein Wachstum zum Zeitpunk $\boldsymbol{t=140}$ bestätigen
Kein Wachstum bedeutet, dass die Wachstumsgeschwindigkeit 0 ist. Durch Einsetzen kannst du dies überprüfen. $\blacktriangleright$  Maximale Wachstumsgeschwindigkeit bestimmen
Du hast die Funktion $v_A$ gegeben und sollst deren Graph auf einen Hochpunkt untersuchen. Für einen Hochpunkt $t_H$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, v_A'(t_H)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $\, v_A''(t_H)< 0$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $v_A'$ und $v_A''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $v_A'(t)=0$ setzt und nach $t$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $v_A''(t)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $v_A$ an der Maximalstelle.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt des maximalen Rückgangs der Wachstumsgeschwindigkeit bestimmen
Du suchst den Zeitpunkt $t_W$, bei welchem die Wachstumsgeschwindigkeit am schnellsten fällt. Du suchst also eine Minimalstelle des Graphen von $v_A'(t)$ oder eine Wendestelle des Graphen von $v_A(t)$. Für eine Wendestelle $t_W$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, v_A''(t_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $\, v_A'''(t_W)\neq 0$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten drei Ableitungsfunktionen $v_A'$, $v_A''$ und $v_A'''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $v_A''(t)=0$ setzt und nach $t$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $v_A'''(t)$ einsetzt.
b)
$\blacktriangleright$  Höhenfunktion des Pflanzenwachstums bestimmen
Du sollst eine Funktion für die aktuelle Höhe der Pflanze aufstellen. Diese Höhe entspricht dem Flächeninhalt unter der Wachstumsgeschwindigkeitskurve. Du integrierst dementsprechend vom Startzeitpunkt $0$ bis zur Variablen $t$, um zu jedem Zeitpunkt, die Höhe bestimmen zu können.
c)
$\blacktriangleright$  Modellierung überprüfen
Du sollst kontrollieren, ob die Modellierung des Wachstums aus der Aufgabenstellung korrekt ist oder einen zu großen Fehler aufweist. Hierzu benötigst du die prozentuale Abweichung $\frac{h_A(t)-h(t)}{h(t)}=\frac{h_A(t)}{h(t)}-1$. Dabei setzt du $h_A$ ins Verhältnis zum „korrekten“ Wert $h$.
d)
$\blacktriangleright$  Bedinungen für die Modellierung mit Dünger angeben
Du sollst eine Funktion $h_B$ angeben, welche das Wachstum nach dem Düngen am 16. Mai ($t=15$) modelliert. Aus der Aufgabenstellung weißt du die Graphen gehen lückenlos und knickfrei ineinander über. Sie weisen zum Zeitpunkt $t=15$ einen Berührpunkt auf. Auch hast du Angaben zu Funktionswerten an den Stellen $t=30$ und $t=140$ gegeben.
$\blacktriangleright$  Unbestimmtheit von $\boldsymbol{h_B}$ begürden
Bei $h_B$ handelt es sich um eine ganzrationale Funktion vierten Grades. Sie ist also von der Form
$\begin{array}[t]{rll} h_B(t)&=& a_4\cdot t^4 +a_3 \cdot t^3 +a_2\cdot t^2+a_1\cdot t+a_0. &\quad \scriptsize \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h_B(t)&=& \end{array}$
$\blacktriangleright$  Interpretation im Sachzusammenhang
Überlege dir was der Unterschied zwischen der gedüngten und der nicht gedüngten Pflanze laut Funktionsgleichungs ist.
e)
$\blacktriangleright$  Nachweisen einer Stammfunktion
Du sollst zeigen, dass
$V_C(t)=0,1904\cdot (t^2+140\cdot t+19600 )\cdot e^{-\frac{t}{140}}-3731,84$
$V_C(t)=$
eine Stammfunktion von
$v_C(t)=-0,00136\cdot (t^2-140\cdot t)\cdot e^{-\frac{t}{140}}$
$v_C(t)=$
ist. Hierzu berechnest du mit der Produkt- und Kettenregel die Ableitung von $V_C$.
$\blacktriangleright$  Berechnung der Größe $\boldsymbol{R}$
Du sollst die Größe $R$ nach der Fomel auf dem Aufgabenblatt bestimmen und im Sachzusammenhang interpretieren. Obwohl die Formel auf dem Blatt kompliziert aussieht, kannst du sie vereinfachen, da du zu beiden Integralen bereits Stammfunktionen bestimmt hast. Das Integral über $v_A$ kommt aus Aufgabenteil a) und das über $v_C$ hast du gerade eben bestimmt.
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Wachstumsgeschwindigkeit am 16. Mai um 12:00 Uhr bestätigen
Für das Modell A wird in der Zeit $0\leq t\leq 140$ die Wachstumsgeschwindigkeit beschrieben durch:
$\begin{array}[t]{rll} v_A(t)&=& 0,00001\cdot t^3-0,0028\cdot t^2+0,196\cdot t &\quad \scriptsize \; \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} v_A(t)&=& … \end{array}$
Um auf die Wachstumsgeschwindigkeit am 16. Mai zu schließen, betrachtest du $t=15$, denn $t=0$ ist der 1. Mai.
$\begin{array}[t]{rll} v_A(15)&=& 0,00001\cdot 15^3-0,0028\cdot 15^2+0,196\cdot 15 \\[5pt] &=& 2,344\approx 2,3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} v_A(15)&=& 2,344 \end{array}$
Du hast hiermit bestätigt, dass die Wachstumsgeschwindigkeit am 16. Mai ungefähr $2,3\, \frac{\text{cm}}{\text{Tag}}$ beträgt.
$\blacktriangleright$  Kein Wachstum zum Zeitpunk $\boldsymbol{t=140}$ bestätigen
Kein Wachstum bedeutet, dass die Wachstumsgeschwindigkeit 0 ist. Durch Einsetzen kannst du dies überprüfen.
$\begin{array}[t]{rll} v_A(140)&=& 0,00001\cdot 140^3-0,0028\cdot 140^2+0,196\cdot 140 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} v_A(140)&=& 0 \end{array}$
$\blacktriangleright$  Maximale Wachstumsgeschwindigkeit bestimmen
Du hast die Funktion $v_A$ gegeben und sollst deren Graph auf einen Hochpunkt untersuchen. Für einen Hochpunkt $t_H$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, v_A'(t_H)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $\, v_A''(t_H)< 0$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $v_A'$ und $v_A''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $v_A'(t)=0$ setzt und nach $t$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $v_A''(t)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $v_A$ an der Maximalstelle.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} v_A(t)&=& 0,00001\cdot t^3-0,0028\cdot t^2+0,196\cdot t &\quad \scriptsize \; \\[10pt] v_A'(t)&=& 0,00003\cdot t^2-0,0056\cdot t+0,196 &\quad \scriptsize \; \\[10pt] v_A''(t)&=& 0,00006\cdot t-0,0056 &\quad \scriptsize \; \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} v_A(t)&=& … \\[10pt] v_A'(t)&=& …\\[10pt] v_A''(t)&=& … \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $v_A'(t)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} v_A'(t)&=&0 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] 0&=& 0,00003\cdot t^2-0,0056\cdot t+0,196 &\quad \scriptsize \mid \text{pq- oder abc-Formel}\; \\[5pt] t_{1}&=& \frac{140}{3} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] t_{2}&=& 140 &\quad \scriptsize \; \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_{1}&=& \frac{140}{3} \\[5pt] t_{2}&=& 140 \end{array}$
Du erhälst zwei Lösungen, welche du nun in die zweite Ableitung einsetzt.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} v_A''(\frac{140}{3})&=& 0,00006\cdot \frac{140}{3}-0,0056 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& -\frac{7}{2500} \\[5pt] v_A''(140)&=& 0,00006\cdot 140-0,0056 \\[5pt] &=& \frac{7}{2500} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} v_A''(\frac{140}{3})&=& -\frac{7}{2500} \\[5pt] v_A''(140)&=& \frac{7}{2500} \end{array}$
Da $t_2=140$ nicht das hinreichende Kriterium erfüllt, handelt es sich dabei nicht um einen Hochpunktstelle, genauer liegt an dieser Stelle ein Tiefpunkt vor.
4. Schritt: Funktionswerte berechnen
Um die maximale Wachstumsgeschwindigkeit zu berechnen setzt du nun $t_H=\frac{140}{3}$ in $v_A$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} v_A(\frac{140}{3})&=& 0,00001\cdot \frac{140}{3}^3-0,0028\cdot \frac{140}{3}^2+0,196\cdot \frac{140}{3} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 4,065 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} v_A(\frac{140}{3})&=& 4,065 \end{array}$
Die Pflanze wächst also maximal $4,065\, \frac{\text{cm}}{\text{Tag}}$.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt des maximalen Rückgangs der Wachstumsgeschwindigkeit bestimmen
Du suchst den Zeitpunkt $t_W$, bei welchem die Wachstumsgeschwindigkeit am schnellsten fällt. Du suchst also eine Minimalstelle des Graphen von $v_A'(t)$ oder eine Wendestelle des Graphen von $v_A(t)$. Für eine Wendestelle $t_W$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, v_A''(t_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $\, v_A'''(t_W)\neq 0$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten drei Ableitungsfunktionen $v_A'$, $v_A''$ und $v_A'''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $v_A''(t)=0$ setzt und nach $t$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $v_A'''(t)$ einsetzt.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} v_A(t)&=& 0,00001\cdot t^3-0,0028\cdot t^2+0,196\cdot t &\quad \scriptsize \; \\[10pt] v_A'(t)&=& 0,00003\cdot t^2-0,0056\cdot t+0,196 &\quad \scriptsize \; \\[10pt] v_A''(t)&=& 0,00006\cdot t-0,0056 &\quad \scriptsize \; \\[10pt] v_A'''(t)&=& 0,00006\neq 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} v_A(t)&=& … \\[10pt] v_A'(t)&=& … \\[10pt] v_A''(t)&=&… \\[10pt] v_A'''(t)&=& 0,00006 \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $v_A''(t)$ mit Null, erhältst du mögliche Wendestellen:
$\begin{array}[t]{rll} v_A''(t)&=& 0 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] 0 &=& 0,00006\cdot t_W-0,0056 &\quad \scriptsize \mid\; +0,0056 \mid\; :0,00006 \\[5pt] t_W&=& \frac{280}{3}\approx 93,3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_W&=& \frac{280}{3}\approx 93,3 \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Die dritte Ableitung ist konstant und nicht null, also ist jede Nullstelle der zweiten Ableitung eine Wendestelle des Graphen von $v_A$. Somit fällt $v_A$ nach ca. 93 Tagen maximal ab.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt des maximalen Rückgangs der Wachstumsgeschwindigkeit bestimmen
Du suchst den Zeitpunkt $t_W$, bei welchem die Wachstumsgeschwindigkeit am schnellsten fällt. Du suchst also einen Tiefpunkt von $v_A'(t)$ oder einen Wendepunkt von $v_A(t)$. Für Wendepunkte einer Funktion $f$ an der Stelle $x_W$ gilt
  • $f''(x_W)=0$
  • $f'''(x_W)\neq 0$
Du benötigst also die zweite und dritte Ableitung von $v_A(t)$. Die zweite hast du oben bereits bestimmt und für die dritte gilt
$\begin{array}[t]{rll} v_A'''(t)&=& 0,00006\neq 0 &\quad \scriptsize \end{array}$
Die dritte Ableitung ist konstant und nicht null, also ist jede Nullstelle der zweiten Ableitung eine Wendepunkt von $v_A$. Da $v_A''(t)$ eine Gerade ist, besitzt sie lediglich eine Nullstelle $t_W$.
$\begin{array}[t]{rll} v_A''(t_W)&=& 0 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] 0&=& 0,00006\cdot t_W-0,0056 &\quad \scriptsize \mid\; +0,0056 \mid\; :0,00006 \\[5pt] t_W&=& \frac{280}{3} \end{array}$
Somit fällt $v_A$ nach ca. 93 Tagen maximal ab.
#wendepunkt#extrempunkt
b)
$\blacktriangleright$  Höhenfunktion des Pflanzenwachstums bestimmen
Du sollst eine Funktion für die aktuelle Höhe der Pflanze aufstellen. Diese Höhe entspricht dem Flächeninhalt unter der Wachstumsgeschwindigkeitskurve. Du integrierst dementsprechend vom Startzeitpunkt $0$ bis zur Variablen $t$, um zu jedem Zeitpunkt, die Höhe bestimmen zu können.
$\begin{array}[t]{rll} h_A(t)&=& \int_0^t v_A(T)\; dT &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \int_0^t 0,00001\cdot T^3-0,0028\cdot T^2+0,196\cdot T \; dT \\[5pt] &=& \left[ \frac{0,00001}{4}\cdot T^4-\frac{0,0028}{3}\cdot T^3+\frac{0,196}{2}\cdot T^2+c \right]_0^t \\[5pt] &=& \frac{1}{400.000}\cdot t^4-\frac{7}{7.500}\cdot t^3+\frac{49}{500}\cdot t^2 \\[5pt] &=& \frac{1}{1.200.000}\cdot \left( 3\cdot t^4-1120\cdot t^3+117.600\cdot t^2 \right) \end{array}$
$h_A(t)=\frac{1}{1.200.000}\cdot \left( 3\cdot t^4-1120\cdot t^3+117.600\cdot t^2 \right)$
$\begin{array}[t]{rll} h_A(t)&=&… \end{array}$
beschreibt die Höhe der Pflanze zum Zeitpunkt $t$.
#integral
c)
$\blacktriangleright$  Modellierung überprüfen
Du sollst kontrollieren, ob die Modellierung des Wachstums aus der Aufgabenstellung korrekt ist oder einen zu großen Fehler aufweist. Hierzu benötigst du die prozentuale Abweichung $\frac{h_A(t)-h(t)}{h(t)}=\frac{h_A(t)}{h(t)}-1$. Dabei setzt du $h_A$ ins Verhältnis zum „korrekten“ Wert $h$.
$t$ in TagenGemessene Höhe $h$ in cmBerechnete Höhe $h_A$ in cmAbweichung in %
0000
1098,89-1,22%
50142143,961,38%
140315320,131,63%
$t$ in TagenGemessene Höhe $h$ in cm
00
109
50142
140315
Du erkennst, dass die Abweichung bei jeder Messung unterhalb von $4\%$ liegt, das Modell ist somit aussagekräftig.
#prozentrechnen
d)
$\blacktriangleright$  Bedinungen für die Modellierung mit Dünger angeben
Du sollst eine Funktion $h_B$ angeben, welche das Wachstum nach dem Düngen am 16. Mai ($t=15$) modelliert. Aus der Aufgabenstellung weißt du die Graphen gehen lückenlos und knickfrei ineinander über. Sie weisen zum Zeitpunkt $t=15$ einen Berührpunkt auf. Auch hast du Angaben zu Funktionswerten an den Stellen $t=30$ und $t=140$ gegeben.
1. Bedingung: $\boldsymbol{h_A}$ geht lückenlos und knickfrei in $\boldsymbol{h_B}$ über - Berührpunktbedingung
Für einen lückenlosen Übergang sind die Funktionswerte an der Stelle des Übergangs gleich, für einen knickfreien, die Ableitungen.
$\begin{array}[t]{rll} v_B(15)&=& v_A(15) \\[5pt] &=& 2,34 \end{array}$
2. Bedingung: Wachstumsgeschwindigkeit am 31. Mai ist $\boldsymbol{10\,\%}$ höher
$v_B(t)$ soll zum Zeitpunkt $t=30$ $10\%$ größer sein als $v_A(t)$.
$\begin{array}[t]{rll} v_B(30)&=& 1,1\cdot v_A(30) &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 3,99 \end{array}$
3. Bedingung: Nullstelle der Wachstumsgeschwindigkeit
Zum Zeitpunkt $t=140$ soll $v_B$ eine Nullstelle besitzen.
$\begin{array}[t]{rll} v_B(140)&=& 0 &\quad \scriptsize \end{array}$
$\blacktriangleright$  Unbestimmtheit von $\boldsymbol{h_B}$ begürden
Bei $h_B$ handelt es sich um eine ganzrationale Funktion vierten Grades. Sie ist also von der Form
$\begin{array}[t]{rll} h_B(t)&=& a_4\cdot t^4 +a_3 \cdot t^3 +a_2\cdot t^2+a_1\cdot t+a_0 &\quad \scriptsize \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h_B(t)&=& … \end{array}$
Da die Funktion fünf unbekannte Faktoren $a_0,\cdots,a_4$ enthält benötigst du ebenfalls fünf Bedingungen. Die Aufgabenstellung gibt allerdings nur vier vor, somit ist $h_B$ nicht eindeutig bestimmbar.
$\blacktriangleright$  Interpretation im Sachzusammenhang
Die Höhe $h_B(140)=h_A(140)+6$ gibt an, dass die gedüngte Pflanze nach $140$ Tagen $6\,$cm größer ist.
#ganzrationalefunktion
e)
$\blacktriangleright$  Nachweisen einer Stammfunktion
Du sollst zeigen, dass
$V_C(t)=0,1904\cdot (t^2+140\cdot t+19600 )\cdot e^{-\frac{t}{140}}-3731,84$
$V_C(t)=…$
eine Stammfunktion von
$v_C(t)=-0,00136\cdot (t^2-140\cdot t)\cdot e^{-\frac{t}{140}}$
$v_C(t)=…$
ist. Hierzu berechnest du mit der Produkt- und Kettenregel die Ableitung von $V_C$.
$\begin{array}[t]{rll} V_C'(t)&=& 0,1904\cdot ( 2\cdot t+140 ) \cdot e^{-\frac{t}{140}}+0,1904\cdot (t^2+140\cdot t+19600)\cdot \left( - \frac{1}{140} \right) \cdot e^{-\frac{t}{140}} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 0,1904\cdot e^{-\frac{t}{140}}\cdot \left( 2\cdot t+140 - \frac{1}{140} \left( t^2+140\cdot t+19600 \right) \right) \\[5pt] &=& -\frac{0,1904}{140}\cdot (t^2-140\cdot t)\cdot e^{-\frac{t}{140}} \\[5pt] v_C(t)&=& -0,00136\cdot (t^2-140\cdot t)\cdot e^{-\frac{t}{140}} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V_C'(t)&=& … \end{array}$
Du erhältst durch ableiten genau $v_C(t)$ und hast dadurch nachgewiesen, dass $V_C$ Stammfunktion von $v_C$ ist.
$\blacktriangleright$  Berechnung der Größe $\boldsymbol{R}$
Du sollst die Größe $R$ nach der Fomel auf dem Aufgabenblatt bestimmen und im Sachzusammenhang interpretieren. Obwohl die Formel auf dem Blatt kompliziert aussieht, kannst du sie vereinfachen, da du zu beiden Integralen bereits Stammfunktionen bestimmt hast. Das Integral über $v_A$ kommt aus Aufgabenteil a) und das über $v_C$ hast du gerade eben bestimmt. Somit kannst du schreiben:
$\begin{array}[t]{rll} R&=& \dfrac{\int_{0}^{120} v_C(t) \, dt-\int_{0}^{140} v_A(t) \, dt}{\int_{0}^{140} v_A(t) \, dt} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \dfrac{V_C(120)-V_C(0)-(h_A(140)-h_A(0))}{h_A(140)-h_A(0)} \\[5pt] &=& \dfrac{V_C(120)-h_A(140)}{h_A(140)} \\[5pt] &\approx & 0,1646=16,46\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} R&\approx & 0,1646=16,46\% \end{array}$
Im Zähler steht die Differenz der beiden Höhen der beiden Sorten zum Ende des Wachstums und im Nenner die Höhe im Modell A. $R$ gibt also einen prozentualen Unterschied der beiden Höhen bei der Ernte an. Daraus kannst du schließen, dass eine Pflanze der neuen Sorte C um $16,46\%$ größer wird, als eine Pflanze der alten Sorte A und dies wegen dem Klima in 20 Tagen weniger erreicht.
#stammfunktion#integral
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