Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
HH, Stadtteilschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fach: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur eA (WTR)
Abitur gA (WTR)
Mittlerer Schulabschluss
Lernstandserhebung 8 E-Ku...
Lernstandserhebung 8 G-Ku...
Abitur gA (WT...
Prüfung
wechseln
Abitur eA (WTR)
Abitur gA (WTR)
Mittlerer Schulabschluss
Lernstandserhebung 8 E-Kurs
Lernstandserhebung 8 G-Kurs
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Analysis 2

Aufgaben
Download als Dokument:PDF

Rutsche

Ein bayrisches Erholungsgebiet hat seit vielen Jahren mit schwindenden Urlauberzahlen zu kämpfen. Um vor allem jüngeres Publikum anzulocken, will die Betreiberin eines Freibades als Marketingaktion eine fest installierte große Rutsche bauen, über die man in ein Schwimmbecken fliegen kann.
Das Seitenprofil der geplanten Rutsche kann mit der Funktion $f$ mit
$f(x) = 2\cdot e^{\frac{1}{8}x-\frac{9}{5}} $$+ 2\cdot e^{-\frac{1}{8}x+\frac{9}{5}}-3$, $x \in [0;20]$
beschrieben werden (siehe Abbildung 2 in der Anlage). Dabei ist $x$ die horizontale Entfernung vom Fußpunkt des Startpunktes der Rutsche in $m$ und $f(x)$ die Höhe der Rutsche in Metern über dem Erdboden bzw. der Wasseroberfläche des Schwimmbeckens.
Im Folgenden werden die Bauform und die Eigenschaften der Rutsche näher untersucht.
a)
Bestätige, dass die Rutsche an ihrem Startpunkt eine Höhe von $9,4\,\text{m}$ aufweist.
(4P)
#analysis
Das Rutschvergnügen hängt vom lokalen Gefälle der Rutsche ab. Gemäß der Planung soll die Rutsche an keiner Stelle mehr als $60^{\circ}$ bezogen auf die Horizontale abfallen.
b)
  • Bestätige, dass $f'(x)=\frac{1}{4}\cdot e^{\frac{1}{8}x-\frac{9}{5}}$$-{\frac{1}{4}\cdot e^{-\frac{1}{8}x+\frac{9}{5}}}$ die Ableitung von $f$ ist.
  • Bestimme die durchschnittliche Steigung vom Beginn der Rutsche bis zu deren niedrigsten Punkt.
  • Gib unter Betrachtung und Auswertung des Funktionsgraphen die Stelle mit dem größten Gefälle an.
    Untersuche, ob die Rutsche die Bedingung für den Steigungswinkel erfüllt.
  • Berechne den Winkel, den die Rutsche an ihrem Ende $(x=20)$ mit der Horizontalen bildet.
(13P)
#ableitung#extrempunkt
c)
Berechne, wie viel Werbefläche über die komplette Rutschenlänge von $20\,\text{m}$ zur Verfügung steht (siehe Abbildung 2 in der Anlage).
(7P)
#analysis
Die Planer gehen davon aus, dass sich nicht alle Besucher trauen, die Rutschpartie mit einem waghalsigen Flug abzuschließen.
Deshalb erwägen sie, eine zweite Rutsche mit einer etwas anderen Form neben der ersten zu errichten. Diese Rutsche soll für $x< 13$ das gleiche Profil wie die erste Rutsche haben. Sie soll aber für $x\geq 13$ lückenlos an $f$ anschließen und als Tangente nach unten in Richtung auf die Wasseroberfläche laufen, wo sie endet.
d)
  • Zeichne den veränderten Verlauf in der Abbildung 2 in der Anlage ein.
  • Bestimme die Geradengleichung der gesuchten Tangente.
    (Zur Kontrolle: Es ist $t(x)= -0,0879x + 2,2041$.)
  • Berechne die Länge des ebenen Rutschenteils.
(14P)
#tangente
Die erste Rutsche soll an ihrem unteren Ende etwas nach oben verlaufen (siehe Abbildung 2 in der Anlage). Hier werden die Badegäste zu einem Flug ansetzen. Der Flug durch die Luft lässt sich gut durch eine quadratische Funktion $g$ mit
$g(x) = ax^2 + bx + c$, $x \in [20;28]$
beschreiben (vgl. Abbildung 3 in der Anlage). Dabei ist $x$ die horizontale Entfernung vom Fußpunkt des Startpunktes der Rutsche in $m$ und $g(x)$ die Flughöhe über der Wasseroberfläche in $m$. Es sind $a, b, c \in \mathbb{R}$. Die fliegende Person kann vereinfacht als Punkt betrachtet werden. Die Flugweite und -höhe hängen unter anderem vom Winkel am Abflugpunkt am Rutschende ab. Dieser Winkel entspricht dem Steigungswinkel am Ende der nach oben gebogenen Rutsche.
e)
  • Ermittle die Funktionsgleichung der Funktion $g$, die den Flug einer Person, die von der Rutsche abfliegt und nach acht Metern $(x=28)$ ins Wasser eintaucht, beschreibt.
    Gib die Koeffizienten mit einer Genauigkeit von vier Nachkommastellen an.
    (Zur Kontrolle: Es ist $g(x)\approx -0,079x^2 + 3,5387x - 37,1597$. Je nach Lösungsverfahren kann es bei den Koeffizienten zu Abweichungen kommen.)
  • Bestimme die maximale Flughöhe, die von dieser Person nach dem Abflug erreicht wird.
(12P)
#quadratischefunktion#extrempunkt

Anlage zur Aufgabe „Rutsche“

Analysis 2
Abb. 2: Seitenansicht der Rutsche
Analysis 2
Abb. 2: Seitenansicht der Rutsche
Analysis 2
Abb. 3: Flug von der Rutsche
Analysis 2
Abb. 3: Flug von der Rutsche
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
[3]
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF
a)
$\blacktriangleright$  Höhe der Rutsche bestätigen
Die Höhe der Rutsche über dem Erdboden bzw. der Wasseroberfläche wird durch die Funktion $f$ beschrieben. Da $x$ die horizontale Entfernung vom Fußpunkt des Startpunkts angibt, beginnt die Rutsche gerade bei $x=0$. Also ergibt sich die Höhe der Rutsche am Startpunkt als $f(0)$.
b)
$\blacktriangleright$  Ableitungsfunktion bestätigen
Um die gegebene Ableitungsfunktion zu bestätigen, leite $f$ einmal ab und vergleiche beide Ergebnisse miteinander. Du kannst dazu die Kettenregel verwenden.
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Steigung bestimmen
Die durchschnittliche Steigung vom Beginn der Rutsche bis zu deren niedrigsten Punkt kannst du über die durchschnittliche Änderungsrate des Graphen von $f$ im Intervall $[0,x_T]$ berechnen. Dabei ist $x_T$ die Stelle mit dem niedrigsten Punkt. Die durchschnittliche Änderungsrate $\overline{m}$ des Graphen einer Funktion $f$ im Intervall $[a,b]$ kannst du über folgende Formel berechnen:
$\overline{m}= \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
$\overline{m}= \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
$x_T$ ist die globale Minimalstelle des betrachteten Intervalls $[0,20]$. Berechne dazu zunächst die lokale Minimalstelle $x_M$, mit Hilfe der beiden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x_M)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f''(x_M)> 0$
Anschließend musst du noch die Intervallgrenzen auf Randextrema überprüfen, indem du den Funktionswert in $x_M$ mit denen in den Intervallgrenzen vergleichst und den kleinsten auswählst.
$\blacktriangleright$  Stelle mit dem größten Gefälle angeben
Du sollst mit Hilfe des Funktionsgraphen von $f$ die Stelle mit dem steilsten Gefälle bestimmen.
Du weißt bereits, dass sich an der Stelle $x= \frac{72}{5}$ ein Tiefpunkt befindet. Abgesehen davon kannst du in Abbildung 2 erkennen, dass der Graph nach dem Tiefpunkt nur noch ansteigt. Die Stelle mit dem stärksten Gefälle muss also vor dem tiefsten Punkt liegen. Betrachte also dieses Intervall genauer.
$\blacktriangleright$  Bedingung für den Steigungswinkel überprüfen
Du sollst überprüfen, ob die Rutsche tatsächlich an keiner Stelle mehr als $60^{\circ}$ abfällt. Berechne dazu den Steigungswinkel an der Stelle mit dem steilsten Gefälle. Du hast oben bereits gezeigt, dass die Rutsche am Anfang am steilsten abfällt. Berechne also den Winkel $\alpha$, den $f$ an der Stelle $x=0$ mit der Horizontalen einschließt. Dazu kannst du folgende Formel verwenden:
$m = \tan(\alpha)$
$m = \tan(\alpha)$
$m$ bezeichnet dabei die Steigung des Graphen an der betrachteten Stelle, also ist $m=f'(0)$ in diesem Fall. Setze in die Formel ein.
$\blacktriangleright$  Steigungswinkel am Rutschenende berechnen
Hier kannst du die gleiche Formel wie oben verwenden. Du benötigst dazu $f'(20)$.
c)
$\blacktriangleright$  Größe der Werbeflächen berechnen
Die Größe einer Seitenfläche $A_s$ ergibt sich aus der Größe der Fläche unterhalb des Graphen von $f$ im Intervall $[0,20]$ und kann daher über ein Integral berechnet werden.
d)
$\blacktriangleright$ Veränderten Ablauf einzeichnen
Beachte beim Einzeichnen, dass sich der Verlauf ab $x=13$ ändert. Das veränderte Ende der Rutsche soll als Tangente an $f$ nach unten in Richtung Wasser laufen. Der Verlauf wird also durch eine Gerade beschrieben.
$\blacktriangleright$  Geradengleichung der Tangente bestimmen
Du sollst die Tangentengleichung $t(x)= mx+b$ bestimmen. Diese soll an der Stelle $x =13$ tangential zum Graphen von $f$ verlaufen:
  • Die Steigung von $t$ muss der von $f$ an der Stelle $x=13$ entsprechen: $\quad m =f'(13)$
  • $t$ muss an der Stelle $x=13$ denselben Funktionswert besitzen wie $f$: $\quad t(13)=f(13)$
Berechne also zunächst $m=f'(13)$ und $f(13)$. Anschließend kannst du dies in $t(x)$ einsetzen und so noch $b$ berechnen.
$\blacktriangleright$  Ende der Rutsche ermitteln
Da die Wasseroberfläche auf Höhe der $x$-Achse liegt, ist die gesuchte Stelle gerade die Nullstelle von $t$.
Setze also $t(x)=0$.
$\blacktriangleright$  Länge des ebenen Rutschenteils berechnen
Die Länge des ebenen Rutschenteils ergibt sich aus dem Abstand zwischen dem Anfangspunkt $A$ bei $x=13$ und dem Endpunkt $E$ bei $x =25,0751$.
Den Abstand zwischen zwei Punkten kannst du mit folgender Formel berechnen:
$d(P,Q)=$$\sqrt{(y_Q-y_P)^2+(x_Q-x_P)^2}$
$d(P,Q)=$$\sqrt{(y_Q-y_P)^2+(x_Q-x_P)^2}$
Setze also die Koordinaten der beiden Punkte $A(13\mid 1,0614)$ und $E(25,0751 \mid 0)$ in diese Formel ein.
e)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung ermitteln
Du sollst eine Funktionsgleichung ermitteln, die die Flugbahn eines Rutschenden beschreibt. Diese hat folgende Form:
$g(x)= ax^2 +bx +c$
$g(x)= ax^2 +bx +c$
Du benötigst also drei Bedingungen, aus denen du ein lineares Gleichungssystem aufstellen kannst. Dies kannst du dann nach $a$ ,$b$ und $c$ lösen. Die Bedingungen erhältst du aus dem Aufgabentext.
  • $8$ Meter nach dem Ende der Rutsche trifft der Rutschende auf die Wasseroberfläche, $g$ hat also bei $x=28$ eine Nullstelle.
  • Der Graph von $g$ schließt sich direkt an den Graphen von $f$ an, beide müssen also in $x=20$ denselben Funktionswert besitzen.
  • Die Flugbahn soll im selben Winkel starten, wie die Rutsche endet, die Steigung von $g$ bei $x=20$ ist also die gleiche wie von $f$.
$\blacktriangleright$  Maximale Flughöhe bestimmen
Die maximale Flughöhe ergibt sich aus dem Maximum von $g$. Bestimme also die Stelle mit dem größten Funktionswert von $g$ mit Hilfe der beiden Kriterien für eine Maximalstelle $x_H$ und berechne anschließend den Funktionswert an dieser Stelle.
  • Notwendiges Kriterium: $g'(x_H)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $g''(x_H) < 0$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
a)
$\blacktriangleright$  Höhe der Rutsche bestätigen
Die Höhe der Rutsche über dem Erdboden bzw. der Wasseroberfläche wird durch die Funktion $f$ beschrieben. Da $x$ die horizontale Entfernung vom Fußpunkt des Startpunkts angibt, beginnt die Rutsche gerade bei $x=0$. Also ergibt sich die Höhe der Rutsche am Startpunkt als $f(0)$.
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=&2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot 0-\frac{9}{5}} +2\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot 0+\frac{9}{5}}-3 \\[5pt] &\approx& 9,4 \\[5pt] \end{array}$
$ f(0)\approx 9,4 $
Also besitzt die Rutsche an ihrem Startpunkt eine Höhe von ca. $9,4\,\text{m}$.
b)
$\blacktriangleright$  Ableitungsfunktion bestätigen
Um die gegebene Ableitungsfunktion zu bestätigen, leite $f$ einmal ab und vergleiche beide Ergebnisse miteinander. Du kannst dazu die Kettenregel verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot x-\frac{9}{5}} +2\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{9}{5}}-3 \\[10pt] f'(x)&=& 2\cdot \frac{1}{8}\cdot\mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot x-\frac{9}{5}} -2\cdot\frac{1}{8}\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{9}{5}} \\[5pt] &=& \frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot x-\frac{9}{5}}-\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{9}{5}} \\[5pt] \end{array}$
$ f'(x)= … $
Also ist
$f'(x)= \frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot x -\frac{9}{5}}-\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{9}{5}}$
$f'(x)= …$
die Ableitung von $f$.
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Steigung bestimmen
Die durchschnittliche Steigung vom Beginn der Rutsche bis zu deren niedrigsten Punkt kannst du über die durchschnittliche Änderungsrate des Graphen von $f$ im Intervall $[0,x_T]$ berechnen. Dabei ist $x_T$ die Stelle mit dem niedrigsten Punkt. Die durchschnittliche Änderungsrate $\overline{m}$ des Graphen einer Funktion $f$ im Intervall $[a,b]$ kannst du über folgende Formel berechnen:
$\overline{m}= \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
$\overline{m}= \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
$x_T$ ist die globale Minimalstelle des betrachteten Intervalls $[0,20]$. Berechne dazu zunächst die lokale Minimalstelle $x_M$, mit Hilfe der beiden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x_M)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f''(x_M)> 0$
Anschließend musst du noch die Intervallgrenzen auf Randextrema überprüfen, indem du den Funktionswert in $x_M$ mit denen in den Intervallgrenzen vergleichst und den kleinsten auswählst.
1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Bestimme mit Hilfe der ersten Ableitung $f'$ mögliche lokale Extremstellen von $f$:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&0 \\[5pt] \frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot x-\frac{9}{5}}-\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{9}{5}}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 4\\[5pt] \mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot x-\frac{9}{5}}-\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{9}{5}}&=& 0 \\[5pt] \dfrac{\mathrm e^{\frac{1}{8}x}}{\mathrm e^{\frac{9}{5}}} -\dfrac{\mathrm e^{\frac{9}{5}}}{\mathrm e^{\frac{1}{8}x}}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \mathrm e^{\frac{9}{5}} \\[5pt] \mathrm e^{\frac{1}{8}x}-\dfrac{\mathrm e^{\frac{18}{5}}}{\mathrm e^{\frac{1}{8}x}}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;\cdot \mathrm e^{\frac{1}{8}x} \\[5pt] \mathrm e^{\frac{2}{8}x}-\mathrm e^{\frac{18}{5}}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +\mathrm e^{\frac{18}{5}}\\[5pt] \mathrm e^{\frac{1}{4}x}&=& \mathrm e^{\frac{18}{5}}&\quad \scriptsize \mid\; \ln\\[5pt] \frac{1}{4}x&=& \frac{18}{5}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 4\\[5pt] x&=& \frac{72}{5}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&0 \\[5pt] x&=& \frac{72}{5}\\[5pt] \end{array}$
Bei $x=\frac{72}{5}$ liegt also eine mögliche lokale Extremstelle von $f$ vor.
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um eine Minimalstelle handelt, benötigst du die zweite Ableitung von $f$, die du wie oben mit der Kettenregel bilden kannst.
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& \frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot x-\frac{9}{5}}-\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{9}{5}} \\[10pt] f''(x)&=& \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{8}\cdot\mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot x-\frac{9}{5}}+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{8}\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{9}{5}} \\[5pt] &=& \frac{1}{32}\cdot\mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot x-\frac{9}{5}}+ \frac{1}{32}\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{9}{5}} \\[5pt] \end{array}$
$ f''(x)= … $
Setze nun die berechnete mögliche Extremstelle in $f''(x)$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} f''\left(\frac{72}{5}\right)&=&\frac{1}{32}\cdot\mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot \frac{72}{5} -\frac{9}{5}}+ \frac{1}{32}\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot \frac{72}{5}+\frac{9}{5}} \\[5pt] &=& \frac{1}{32}\cdot\mathrm e^0+\frac{1}{32}\cdot\mathrm e^0 \\[5pt] &=& \frac{1}{16} \quad > 0 \end{array}$
$ f''\left(\frac{72}{5}\right) = \frac{1}{16} \quad > 0$
Also liegt bei $x_M=\frac{72}{5}$ ein lokales Minimum von $f$.
3. Schritt: Intervallgrenzen auf Randextrema überprüfen
Berechne nun noch $f(0)$, $f\left(\frac{72}{5}\right)$ und $f(20)$, um zu überprüfen, ob der tiefste Punkt der Rutsche tatsächlich der lokale Tiefpunkt ist.
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=&2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot 0-\frac{9}{5}} +2\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot 0+\frac{9}{5}}-3 \\[5pt] &=& 2\cdot \mathrm e^{-\frac{9}{5}} +2\cdot\mathrm e^{\frac{9}{5}}-3 \\[5pt] &\approx& 9,43 \\[10pt] f\left(\frac{72}{5}\right)&=& 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot\frac{72}{5} -\frac{9}{5}} +2\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot \frac{72}{5}+\frac{9}{5}}-3 \\[5pt] &=&2\cdot \mathrm e^0 +2\cdot \mathrm e^0-3 \\[5pt] &=& 1\\[10pt] f(20)&=& 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot 20-\frac{9}{5}} +2\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot 20+\frac{9}{5}}-3 \\[5pt] &=&2\cdot \mathrm e^{\frac{7}{10}} + 2\cdot\mathrm e^{-\frac{7}{10}} -3 \\[5pt] &\approx& 2,02\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&\approx& 9,43 \\[5pt] f\left(\frac{72}{5}\right)&=& 1\\[5pt] f(20)&\approx& 2,02\\[5pt] \end{array}$
Im lokalen Tiefpunkt $T\left(\frac{72}{5}\mid 1\right)$ befindet sich auch das globale Minimum des Intervalls $[0,20]$. Dies ist also der tiefste Punkt der Rutsche.
4. Schritt: Durchschnittliche Steigung berechnen
Gesucht ist die durchschnittliche Änderungsrate von $f$ zwischen $x=0$ und $x=\frac{72}{5}$. Setze also in die Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{m}&=& \dfrac{f\left(\frac{72}{5}\right)-f(0)}{\frac{72}{5}-0}\\[5pt] &=&\dfrac{1-9,43 }{\frac{72}{5}} \\[5pt] &\approx& -0,59 \\[5pt] \end{array}$
Die durchschnittliche Steigung vom Beginn der Rutsche bis zu ihrem niedrigsten Punkt beträgt ca. $-0,59$.
$\blacktriangleright$  Stelle mit dem größten Gefälle angeben
Du sollst mit Hilfe des Funktionsgraphen von $f$ die Stelle mit dem steilsten Gefälle bestimmen.
Du weißt bereits, dass sich an der Stelle $x= \frac{72}{5}$ ein Tiefpunkt befindet. Abgesehen davon kannst du in Abbildung 2 erkennen, dass der Graph nach dem Tiefpunkt nur noch ansteigt. Die Stelle mit dem stärksten Gefälle muss also vor dem tiefsten Punkt liegen.
Betrachtest du das Intervall von $x=0$ bis zum Tiefpunkt, kannst du erkennen, dass der Graph immer flacher abfällt. Außerdem befindet er sich durchgehend in einer Linkskrümmung das bedeutet, dass die Änderungsrate der Steigung positiv ist. Die Steigung des Graphen wird also für größerwerdende $x$-Werte größer. Damit muss der Punkt mit der niedrigsten Steigung, also der mit dem größten Gefälle am Anfang des Intervalls liegen.
Das stäkste Gefälle befindet sich im Startpunkt der Rutsche.
$\blacktriangleright$  Bedingung für den Steigungswinkel überprüfen
Du sollst überprüfen, ob die Rutsche tatsächlich an keiner Stelle mehr als $60^{\circ}$ abfällt. Berechne dazu den Steigungswinkel an der Stelle mit dem steilsten Gefälle. Du hast oben bereits gezeigt, dass die Rutsche am Anfang am steilsten abfällt. Berechne also den Winkel $\alpha$, den $f$ an der Stelle $x=0$ mit der Horizontalen einschließt. Dazu kannst du folgende Formel verwenden:
$m = \tan(\alpha)$
$m = \tan(\alpha)$
$m$ bezeichnet dabei die Steigung des Graphen an der betrachteten Stelle, also ist $m=f'(0)$ in diesem Fall. Setze in die Formel ein.
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\tan(\alpha) \\[5pt] f'(0)&=& \tan(\alpha)\\[5pt] \frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot 0-\frac{9}{5}}-\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot 0+\frac{9}{5}}&=&\tan(\alpha) \\[5pt] \frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-\frac{9}{5}}-\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{9}{5}}&=& \tan(\alpha)&\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] -55,79^{\circ}&\approx& \alpha \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\tan(\alpha) \\[5pt] f'(0)&=& \tan(\alpha)\\[5pt] -55,79^{\circ}&\approx& \alpha \\[5pt] \end{array}$
Da die Steigung hier negativ ist, ist das Ergebnis für den Winkel auch negativ. Der Steigungswinkel der Rutsche mit dem stärksten Gefälle besitzt eine Größe von ca. $55,79^{\circ}$. Demnach ist die Bedingung für den Steigungswinkel erfüllt.
$\blacktriangleright$  Steigungswinkel am Rutschenende berechnen
Hier kannst du die gleiche Formel wie oben verwenden. Du benötigst dazu $f'(20)$.
$\begin{array}[t]{rll} f'(20)&=& \frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot 20-\frac{9}{5}}-\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot 20+\frac{9}{5}}\\[5pt] &=& \frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{7}{10}}-\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-\frac{7}{10}}\\[5pt] &\approx& 0,3793\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(20)&\approx& 0,3793\\[5pt] \end{array}$
Setze dieses Ergebnis nun in die Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} f'(20)&=&\tan(\beta) \\[5pt] 0,3793&=& \tan(\beta) \\[5pt] \tan^{-1}(0,3793)&=& \beta \\[5pt] 20,77^{\circ}&\approx&\beta \\[5pt] \end{array}$
De Rutsche schließt am Ende mit der Horizontalen einen Winkel von ca. $20,77^{\circ}$ ein.
#tangens#kettenregel#ableitung#extrempunkt
c)
$\blacktriangleright$  Größe der Werbeflächen berechnen
Die Größe einer Seitenfläche $A_s$ ergibt sich aus der Größe der Fläche unterhalb des Graphen von $f$ im Intervall $[0,20]$ und kann daher über ein Integral berechnet werden. Für eine Seitenfläche erhältst du also folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} A_s&=& \displaystyle\int_{0}^{20}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{20}\left(2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot x-\frac{9}{5}} +2\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{9}{5}}-3\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[ 2\cdot 8\cdot \mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot x-\frac{9}{5}} -2\cdot 8\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{9}{5}}-3x \right]_0^{20} \\[5pt] &=& 16\cdot \mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot 20-\frac{9}{5}}-16\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot 20+\frac{9}{5}}-3\cdot 20- \left(16\cdot \mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot 0-\frac{9}{5}}-16\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot 0+\frac{9}{5}}-3\cdot 0\right) \\[5pt] &=& 16\cdot \mathrm e^{\frac{7}{10}}-16\cdot \mathrm e^{-\frac{7}{10}}-60- 16\cdot \mathrm e^{-\frac{9}{5}}+16\cdot \mathrm e^{\frac{9}{5}} \\[5pt] &\approx& 58,42\, [\text{FE}]\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_s&=& \displaystyle\int_{0}^{20}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &\approx& 58,42\, [\text{FE}]\\[5pt] \end{array}$
Eine Seitenfläche ist ca. $58,42\,\text{m}^2$ groß. Da beide Seitenflächen zur Verfügung stehen, muss die Größe der Fläche verdoppelt werden, um die Gesamtgröße zu berechnen: Insgesamt ergibt sich folgende Gesamtgröße aller Werbeflächen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 2\cdot A_s \\[5pt] &=& 2\cdot 58,42 \,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 116,84 \,\text{m}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 2\cdot A_s \\[5pt] &=& 116,84 \,\text{m}^2 \end{array}$
Insgesamt stehen ca. $116,84 \,\text{m}^2$ Werbefläche zur Verfügung.
#integral
d)
$\blacktriangleright$ Veränderten Ablauf einzeichnen
Beachte beim Einzeichnen, dass sich der Verlauf ab $x=13$ ändert. Das veränderte Ende der Rutsche soll als Tangente an $f$ nach unten in Richtung Wasser laufen. Der Verlauf wird also durch eine Gerade beschrieben. Du erhältst dann in etwa folgenden Verlauf:
Analysis 2
Abb. 1: Neuer Verlauf der Rutsche
Analysis 2
Abb. 1: Neuer Verlauf der Rutsche
$\blacktriangleright$  Geradengleichung der Tangente bestimmen
Du sollst die Tangentengleichung $t(x)= mx+b$ bestimmen. Diese soll an der Stelle $x =13$ tangential zum Graphen von $f$ verlaufen:
  • Die Steigung von $t$ muss der von $f$ an der Stelle $x=13$ entsprechen: $\quad m =f'(13)$
  • $t$ muss an der Stelle $x=13$ denselben Funktionswert besitzen wie $f$: $\quad t(13)=f(13)$
Berechne also zunächst $m=f'(13)$ und $f(13)$. Anschließend kannst du dies in $t(x)$ einsetzen und so noch $b$ berechnen.
1. Schritt: Benötigte Werte berechnen
$\begin{array}[t]{rll} m&=&f'(13)\\[5pt] &=&\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot 13-\frac{9}{5}}-\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot 13+\frac{9}{5}} \\[5pt] &=& \frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-\frac{7}{40}}-\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{7}{40}}\\[5pt] &\approx& -0,0879 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m&=&f'(13)\\[5pt] &\approx& -0,0879 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(13)&=&2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{8}\cdot 13-\frac{9}{5}}+2\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot 13+\frac{9}{5}}-3 \\[5pt] &=& 2\cdot \mathrm e^{-\frac{7}{40}}+ 2\cdot \mathrm e^{\frac{7}{40}}\\[5pt] &\approx& 1,0614 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(13)&\approx& 1,0614 \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Tangentengleichung aufstellen
Setze die oben berechneten Werte in die Tangentengleichung ein und löse nach $b$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} t(x)&=& -0,0879x+b \\[5pt] 1,0614&=&-0,0879\cdot 13 +b &\quad \scriptsize \mid\;+0,0879\cdot 13 \\[5pt] 2,2041&=&b \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t(x)&=& -0,0879x+b \\[5pt] 2,2041&=&b \\[5pt] \end{array}$
Damit hat die Funktionsgleichung der Tangente folgende Form:
$t(x)= -0,0879x+ 2,2041$
$\blacktriangleright$  Ende der Rutsche ermitteln
Da die Wasseroberfläche auf Höhe der $x$-Achse liegt, ist die gesuchte Stelle gerade die Nullstelle von $t$.
Setze also $t(x)=0$.
$\begin{array}[t]{rll} t(x)&=&0 \\[5pt] -0,0879x+ 2,2041&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -2,2041 \\[5pt] -0,0879x&=& -2,2041&\quad \scriptsize \mid\;:(-0,0879) \\[5pt] x&\approx& 25,0751 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t(x)&=&0 \\[5pt] x&\approx& 25,0751 \end{array}$
Die ebene Rutsche trifft ca. $25,08\,\text{m}$ nach dem Startpunkt auf die Wasseroberfläche.
$\blacktriangleright$  Länge des ebenen Rutschenteils berechnen
Die Länge des ebenen Rutschenteils ergibt sich aus dem Abstand zwischen dem Anfangspunkt $A$ bei $x=13$ und dem Endpunkt $E$ bei $x =25,0751$.
Den Abstand zwischen zwei Punkten kannst du mit folgender Formel berechnen:
$d(P,Q)=$$\sqrt{(y_Q-y_P)^2+(x_Q-x_P)^2}$
$d(P,Q)=$$\sqrt{(y_Q-y_P)^2+(x_Q-x_P)^2}$
Setze also die Koordinaten der beiden Punkte $A(13\mid 1,0614)$ und $E(25,0751 \mid 0)$ in diese Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} d(A,E)&=&\sqrt{(0-1,064)^2+(25,0751-13)^2} \\[5pt] &\approx& \sqrt{146,94} \\[5pt] &\approx& 12,12 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} d(A,E)&\approx& 12,12 \end{array}$
Der ebene Teil der Rutsche ist ca. $12,12\,\text{m}$ lang.
#tangente
e)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung ermitteln
Du sollst eine Funktionsgleichung ermitteln, die die Flugbahn eines Rutschenden beschreibt. Diese hat folgende Form:
$g(x)= ax^2 +bx +c$
$g(x)= ax^2 +bx +c$
Du benötigst also drei Bedingungen, aus denen du ein lineares Gleichungssystem aufstellen kannst. Dies kannst du dann nach $a$ ,$b$ und $c$ lösen. Die Bedingungen erhältst du aus dem Aufgabentext.
  • $8$ Meter nach dem Ende der Rutsche trifft der Rutschende auf die Wasseroberfläche, $g$ hat also bei $x=28$ eine Nullstelle.
  • Der Graph von $g$ schließt sich direkt an den Graphen von $f$ an, beide müssen also in $x=20$ denselben Funktionswert besitzen.
  • Die Flugbahn soll im selben Winkel starten, wie die Rutsche endet, die Steigung von $g$ bei $x=20$ ist also die gleiche wie von $f$.
In Gleichungen kannst du das wie folgt ausdrücken:
  • $g(28)=0$
  • $g(20)=f(20) = 2,02$
  • $g'(20)=f'(20) = 0,3793$
Du benötigst also die erste Ableitungsfunktion von $g$, sowie $f'(20)$.
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& ax^2+bx+c \\[10pt] g'(x)&=&2ax +b \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& ax^2+bx+c \\[10pt] g'(x)&=&2ax +b \\[10pt] \end{array}$
Du erhältst folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&0&=&\quad 28^2a+28b+c \\ \text{II}\quad&2,02&=&\quad 20^2a+20b+c\\ \text{III}\quad&0,3793&=&\quad 2\cdot 20 a + b\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&0&=& … \\ \text{II}\quad&2,02&=& …\\ \text{III}\quad&0,3793&=& …\\ \end{array}$
Du siehst, dass du die dritte Gleichung direkt nach $b$ umstellen kannst:
$\begin{array}[t]{lrll} \text{III}&\quad 0,3793&=& 40a + b&\quad \scriptsize \mid\; -40a\\[5pt] \text{IIIa}&\quad 0,3793 -40a&=&b \end{array}$
$\begin{array}[t]{lrll} \text{IIIa}& 0,3793 -40a&=&b \end{array}$
Dies kannst du jetzt in $\text{I}$ einsetzen und nach $c$ umstellen:
$\begin{array}[t]{lrll} \text{I}&\quad 784a +28b +c&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; b =0,3793 -40a\\[5pt] &784a +28\cdot (0,3793 -40a) +c&=&0 \\[5pt] &-336a+10,6204+c&=&0 \\[5pt] \text{Ia}& 336a-10,6204&=& c \end{array}$
$\begin{array}[t]{lrll} \text{Ia}& … \end{array}$
Nun kannst du $\text{IIIa}$ und $\text{Ia}$ in $\text{II}$ einsetzen und so eine Lösung für $a$ berechnen:
$\begin{array}[t]{lrll} \text{II}&400a +20b +c&=& 2,02 \\[5pt] &400a +20\cdot (0,3793 -40a) + 336a-10,6204&=& 2,02 \\[5pt] &-64a-3,0344&=&2,02 &\quad \scriptsize \mid\; +3,0344\\[5pt] &-64a&=& 5,0544&\quad \scriptsize \mid\; :(-64)\\[5pt] &a&\approx& -0,0790 \\[5pt] \end{array}$
$ a\approx -0,0790 $
Dies kannst du wiederum in $\text{IIIa}$ und $\text{Ia}$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} b&=& 0,3793 -40a \\[5pt] &=& 0,3793 -40\cdot (-0,0790) \\[5pt] &\approx& 3,5393\\[10pt] c&=& 336a-10,6204 \\[5pt] &=& 336\cdot (-0,0790)-10,6204 \\[5pt] &\approx&-37,1644 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} b&=& 0,3793 -40a \\[5pt] &\approx& 3,5393\\[10pt] c&=& 336a-10,6204 \\[5pt] &\approx&-37,1644 \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich wie folgt:
$g(x)\approx -0,0790x^2 +3,5393x -37,1644$
$ g(x)\approx … $
.
$\blacktriangleright$  Maximale Flughöhe bestimmen
Die maximale Flughöhe ergibt sich aus dem Maximum von $g$. Bestimme also die Stelle mit dem größten Funktionswert von $g$ mit Hilfe der beiden Kriterien für eine Maximalstelle $x_H$ und berechne anschließend den Funktionswert an dieser Stelle.
  • Notwendiges Kriterium: $g'(x_H)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $g''(x_H) < 0$
1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Bilde zunächst die erste Ableitung $g'$ und setze den Funktionsterm gleich Null:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&-0,0790x^2 +3,5393x -37,1644 \\[10pt] g'(x)&=&-2\cdot 0,0790x+3,5393 \\[5pt] &=&-0,158x+3,5393 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g'(x)&=& … \\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen ergibt nun:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&g'(x) \\[5pt] 0&=&-0,158x+3,5393 &\quad \scriptsize \mid\; -3,5393\\[5pt] -3,5393&=& -0,158x&\quad \scriptsize \mid\;:( -0,158) \\[5pt] 22,401&\approx&x \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&g'(x) \\[5pt] 22,401&\approx&x \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Anstatt die zweite Ableitungsfunktion zu bestimmen und das hinreichende Kriterium zu überprüfen, kannst du auch wie folgt argumentieren:
Bei $g$ handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel. Diese besitzt genau einen Extrempunkt, welcher ein Hochpunkt ist. Daher befindet sich bei $x\approx 22,401$ der höchste Punkt der Parabel.
3. Schritt: Funktionswert berechnen
Die maximale Flughöhe ergibt sich aus dem Funktionswert des Hochpunkts der Parabel. Setze also $x= 22,401$ in $g(x)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} g(22,401)&=&-0,0790\cdot 22,401^2 +3,5393\cdot 22,401 -37,1644 \\[5pt] &\approx& 2,4769 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g(22,401)&\approx& 2,4769 \\[5pt] \end{array}$
Die maximale Flughöhe beträgt ca. $2,48\,\text{m}$.
#extrempunkt
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App