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Analytische Geometrie

Aufgaben
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Kunstmuseum

$A(-8 \mid -4\mid 0)$, $B(8 \mid 2\mid 0)$, $C(12 \mid 12\mid 0)$, $D(-5 \mid 14\mid 0)$, $E(8 \mid 12\mid 8)$, $F(-10 \mid 14\mid 10)$, $G(4 \mid 0\mid 12)$.
Die Längeneinheit beträgt für alle drei Koordinatenachsen $1\,\text{m}$.
a)
  • Vervollständige die Abbildung 2 in der Anlage mit den gegebenen Punkten $B$, $C$ und $D$ und zeichne die fehlenden Kanten ein.
  • Bestätige, dass das Viereck $ABCD$, das den Boden des Raumes bildet, kein Tapez ist.
  • Berechne, wie lang die Fußleiste entlang der Kante $\overline{CD}$ sein muss.
(10P)
#kartesischeskoordinatensystem#trapez
Es ist geplant, in den Raum temperaturempfindliche Kunstwerke auszustellen. Daher soll der Eingang $BCEG$ geschlossen werden. Eine Idee ist, den Eingang durch eine Glaswand mit Durchgangsmöglichkeit zu schließen. Dies wäre aber nur möglich, wenn es sich um eine ebene Fläche handeln würde.
b)
  • Gib eine Parametergleichung der Ebene an, welche die Punkte $B$, $C$ und $E$ enthält.
  • Begründe, dass der Eingang $BCEG$ nicht durch eine ebene Glaswand geschlossen werden kann.
(8P)
#ebenengleichung
Bei der Gestaltung des Raumes mit weiteren Kunstwerken spielt die Wand $ADF$ eine besondere Rolle.
c)
  • Bestätige, dass $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}12\\[2pt]-2\\[2pt]6\end{pmatrix}$ ein Normalenvektor der Ebene $E_{ADF}$ ist, in der die Wand $ADF$ liegt.
  • Leite die Koordinatengleichung $E_{ADF}$$: -6x_1 + x_2 - 3x_3 $$= 44$ her.
(8P)
#normalenvektor#ebenengleichung#koordinatenform
Es soll ein Kunstwerk aufgestellt werden, das die Form einer dünnen Säule hat. Das Kunstwerk wird als Strecke modelliert. Der Säulenfußpunkt ist im Punkt $S(4 \mid 4 \mid 0)$ geplant und die Säulenspitze im Punkt $T(4 \mid 4 \mid 1,5)$. Diese Säule soll durch eine punktförmige Lichtquelle vom Punkt $B$ aus angestrahlt werden. Dadurch entsteht eine Schattenfigur auf der dreieckigen Wand $ADF$. Der Schatten von $T$ auf der Wand $ADF$ liegt ungefähr bei $T'(-8,74 \mid 10,37 \mid 6,28)$.
d)
  • $S'$ sei der Schatten von $S$ auf der Wand $ADF$.
    Ermittle die Koordinaten des Punktes $S'$ auf zwei Nachkommastellen genau.
    (Ersatzlösung: $S'(-5,80 \mid 8,95 \mid 0)$)
  • Ermittle, um welchen Faktor der Schatten auf der Wand $ADF$ im Vergleich zur Säule verlängert ist.
(9P)
#vektoren
Die Künstlerin möchte eine zweite dünne Säule senkrecht zur Grundfläche im Raum aufstellen. Diese weist eine Höhe von $8\,\text{m}$ auf. Es ist geplant, diese Säule am Ort $P$ $(4\mid 10 \mid 0)$ auszustellen.
e)
Untersuche, ob die Raumdecke oberhalb von $P$ hoch genug ist, um diese Säule aufzustellen.
(7P)
#abstand
Besondere Kunstobjekte sollen einzeln geschützt werden. So soll ein Kunstwerk in einem $3\,\text{m}$ hohen Glasquader auf dem Boden $ABCD$ aufgestellt werden. Eine Kante des Quaders soll parallel zur Kante $\overline{CD}$ möglichst dicht an die Kante $\overline{CD}$ gerückt werden. Da die Wand $CDFE$ etwas in den Raum hineingeneigt ist, kann der Glasquader nicht direkt an die Kante $\overline{CD}$ gerückt werden.
Die Ebene, in der die Wand $CDFE$ liegt, kann durch die Gleichung $E_{CDFE}: 2x_1 + 17x_2 + x_3 = 228$ beschrieben werden.
f)
  • Bestimme die Größe des Winkels $\alpha$ zwischen dem Boden des Raumes und der Wand $CDFE$.
    (Ersatzlösung: $\alpha_{Ersatz} = 85^{\circ}$)
  • Ermittle, welcher horizontale Abstand zwischen der Kante des Glasquaders und der Kante $\overline{CD}$ auf dem Fußboden mindestens eingehalten werden muss.
(8P)
#ebenengleichung#abstand

Anlage zur Aufgabe „Kunstmuseum“

Bildnachweise [nach oben]
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a)
$\blacktriangleright$Abbildung vervollständigen
In dieser Aufgabe sollst du die fehlenden Ecken $B(8\;|\;2\;|\;0)$, $C(12\;|\;12\;|\;0)$ und $D(-5\;|\;14\;|\;0)$ und die fehlenden Kanten in die Abbildung 2 einzeichnen.
$\blacktriangleright$Bestätigen, dass das Viereck ABCD kein Trapez ist
In dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass der Boden des Kunstmuseums der durch die Ecken $A(-8\;|\;-4\;|\;0)$, $B(8\;|\;2\;|\;0)$, $C(12\;|\;12\;|\;0)$ und $D(-5\;|\;14\;|\;0)$ festgelegt ist, kein Trapez ist.
Bei einem Viereck handelt es sich um ein Trapez, wenn zwei der vier Seiten parallel sind. Das bedeutet, dass zwei Verbindungsvektoren zwischen den Eckpunkten linear abhängig sind. Da nur die gegenüberliegenden Seiten parallel sein können, musst du nur überprüfen, ob die Seiten $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{CD}$ und die Seiten $\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{AD}$ linear abhängig oder unabhängig sind.
$\blacktriangleright$  Berechnen, wie lange die Fußleiste entlang der Kante $\boldsymbol{\overline{CD}}$ sein soll
In dieser Aufgabe sollst du die Länge des Vektors $\overrightarrow{CD}$ berechnen. Den Verbindungsvektor hast du im vorherigen Aufgabenteil schon berechnet. Die Läneg eines Vektors ist gerade der Betrag des Vektors. Die Formel lautet:
$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.$
$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.$
b)
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung $\boldsymbol{E_{BCE}}$ berechnen
Wählen einen Ortsvektor der zu einem der drei Punkte zeigt als Stützvektor der Ebene und berechne anschließend die beiden Richtungsvektoren.
$\blacktriangleright$Begründen, dass der Eingang nicht durch eine ebene Glaswand geschlossen werden kann
Um zu überprüfen, ob es sich beim Eingang $\text{BCFG}$ um eine ebene Fläche handelt, musst du überprüfen, ob die vier Eckpunkte eine Ebene aufspannen. Dazu bildest du mit Hilfe von drei Punkten eine Ebene H und überprüfst mit der Punktprobe ob der vierte Punkt in der Ebene H liegt.
c)
$\blacktriangleright$Bestätigen, dass $\boldsymbol{\overrightarrow{n}}$ der Normalenvektor der Ebene $\boldsymbol{E_{ADF}}$ ist.
In dieser Aufgabe sollst du bestätigen, dass der Vektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{12 \\ -2 \\ 6}$ der Normalenvektor der Ebene ADF ist. Berechne dazu als erstes die Ebenengleichung in Parameterform und berechne mit dem Vektor-(Kreuz-)Produkt den Normalenvektor der Ebene.
$\blacktriangleright$Koordinatengleichung $\boldsymbol{E_{ADF}}$ herleiten
In dem vorherigen Aufgabenteil hast du bereits den Normalenvektor der Ebene berechnet. Wenn du diesen nun noch mit -2 kürzt, erhälst du
$\overrightarrow{n}=\pmatrix{-6 \\1\\ -3}$
Die Ebenengleichung lautet dann:
$E_{ADF}:\;-6x_1+x_2-3x_3 = c $
c kannst du nun berechnen, indem du die Koordinaten des Punktes A in die Ebenengleichung einsetzt.
d)
$\blacktriangleright$Koordinaten des Punktes S' berechnen
Um die Koordinaten des Schattenpunktes $S'$ zu berechnen musst du als erstes die Gerade h berechnen die durch die Punkte B und S geht und anschließen berechnest du den Schnittpunkt der Geraden h mit der Ebene $E_{ADF}$.
$\blacktriangleright$Ermitteln, um welchen Faktor der Schatten verlängert wurde
Um zu ermittel, um welchen Faktor der Schatten verlängert wurde, musst du als erstes die Längen des Vektors $\overrightarrow{ST}$ und die Länge des Vektors $\overrightarrow{S'T'}$ berechnen und anschließend die beiden Längen vergleichen.
e)
$\blacktriangleright$Untersuchen, ob die Raumdecke hoch genug ist.
In dieser Aufgabe sollst du berechnen, on das Kunstmuseum für die Säule hoch genug ist. Berechne dazu als erstes die Ebenengleichung der Decke und berechne anschließend des Abstand zwischen dem Punkt P und der Ebene mit der Hesseschen Normalenform:
HNF: $\dfrac{\left|n_1\cdot x_1+ n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3-c\right|}{\left|\vec{n}\right|}=c.$
HNF
f)
$\blacktriangleright$Winkel berechnen
In dieser Aufgabe sollst du den Winkel $\alpha$ zwischen dem Boden des Raumes und der Wand CDEF berechnen. Da es sich bei der Wand und dem Boden um zwei Ebenen handelt, kannst du den Schnittwinkel berechnen:
$\cos(\alpha)=\dfrac{|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|} $
$\cos(\alpha)=\dfrac{\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|} $
Den Normalenvektor der Wand kannst du aus der Aufgabestellung ablesen. Den Normalenvektor des Bodens musst du noch berechnen, da du die Ebene bisher nur in Parameterform berechnet hast. Mit dieser Formel kannst du einen Normalenvektor der Ebene berechnen:
$\overrightarrow{n}=\pmatrix{a_2b_3-a_3b_2\\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1}$
$\overrightarrow{n}=\pmatrix{a_2b_3-a_3b_2\\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1}$
Berechne also als erstes den Normalenvektor des Bodens und setze die beiden Normalenvektoren anschließend in die Formel, mit dem du den Schnittwinkel berechnest, ein.
$\blacktriangleright$Mindestabstand zwischen Quader und Kante $\boldsymbol{\overline{CD}}$ berechnen
Analytische Geometrie
Abb. 1: Skizze Glasquader und Wand.
Analytische Geometrie
Abb. 1: Skizze Glasquader und Wand.
$\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} $
Tipp
$\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} $
Gesucht ist also die Länge der Ankathete. Der Winkel $\alpha$ und die Länge der Gegenkathete sind gegeben.
Bildnachweise [nach oben]
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a)
$\blacktriangleright$Abbildung vervollständigen
In dieser Aufgabe sollst du die fehlenden Ecken $B(8\;|\;2\;|\;0)$, $C(12\;|\;12\;|\;0)$ und $D(-5\;|\;14\;|\;0)$ und die fehlenden Kanten in die Abbildung 2 einzeichnen.
$\blacktriangleright$Bestätigen, dass das Viereck ABCD kein Trapez ist
In dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass der Boden des Kunstmuseums der durch die Ecken $A(-8\;|\;-4\;|\;0)$, $B(8\;|\;2\;|\;0)$, $C(12\;|\;12\;|\;0)$ und $D(-5\;|\;14\;|\;0)$ festgelegt ist, kein Trapez ist.
Bei einem Viereck handelt es sich um ein Trapez, wenn zwei der vier Seiten parallel sind. Das bedeutet, dass zwei Verbindungsvektoren zwischen den Eckpunkten linear abhängig sind. Da nur die gegenüberliegenden Seiten parallel sein können, musst du nur überprüfen, ob die Seiten $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{CD}$ und die Seiten $\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{AD}$ linear abhängig oder unabhängig sind.
Bestimmt als erstes die Verbindungvektoren.
$\overrightarrow{AB}=\pmatrix{8 \\ 2 \\ 0}-\pmatrix{-8 \\ -4 \\ 0}=\pmatrix{16 \\6\\ 0}$
$\overrightarrow{BC}=\pmatrix{12 \\ 12 \\ 0}-\pmatrix{-5 \\ 14 \\ 0}=\pmatrix{17 \\2\\ 0}$
$\overrightarrow{CD}=\pmatrix{-5 \\ 14 \\ 0}-\pmatrix{12 \\ 12 \\ 0}=\pmatrix{-17 \\2\\ 0}$
$\overrightarrow{DA}=\pmatrix{-8 \\ -4 \\ 0}-\pmatrix{-5 \\ 14 \\ 0}=\pmatrix{-3 \\-18\\ 0}$
$ \overrightarrow{AB}=\pmatrix{16 \\6\\ 0}$
$\overrightarrow{BC}=\pmatrix{17 \\2\\ 0}$
$\overrightarrow{CD}=\pmatrix{-17 \\2\\ 0}$
$\overrightarrow{DA}=\pmatrix{-3 \\-18\\ 0} $
Überprüfe nun ob die Vektoren linear abhängig oder unabhäng sind. Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie ein Vielfaches voneinander sind.
$\pmatrix{16 \\ 6 \\ 0} \stackrel{!}{=} k\cdot \pmatrix{-17 \\ 2 \\ 0} \;\;\;\;\;$ und $\;\;\;\;\;\pmatrix{17 \\ 2 \\ 0} \stackrel{!}{=} l\cdot \pmatrix{-3 \\ -18 \\ 0} $
In der zweiten Zeile siehst du, dass $k=3$ sein muss, da $3\cdot 2=6$. Wenn du dies nun in die erste Zeile einsetzt folgt $16=3\cdot (-17)$. Da diese Gleichung nicht erfüllt ist, sind die beiden Vektoren linear unabhängig.
Wenn du in der zweiten Gleichung in die zweite Zeile für $k=-9$ einsetzt, ist diese Gleichung erfüllt. Setzt du $k=-9$ in die erste Zeile ein ist die Gleichung nicht erfüllt, somit sind auch diese Vektoren linear unabhängig.
Somit hast du gezeigt, dass der Boden des Kunstmusemus kein Trapez ist.
$\blacktriangleright$  Berechnen, wie lange die Fußleiste entlang der Kante $\boldsymbol{\overline{CD}}$ sein soll
In dieser Aufgabe sollst du die Länge des Vektors $\overrightarrow{CD}$ berechnen. Den Verbindungsvektor hast du im vorherigen Aufgabenteil schon berechnet. Die Läneg eines Vektors ist gerade der Betrag des Vektors. Die Formel lautet:
$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
Setze die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{CD}$ in die Formel ein.
$\left|\overrightarrow{CD}\right|=\sqrt{(-17)^2+2^2+0^2}=\sqrt{293}=17,12$
$\left|\overrightarrow{CD}\right|=17,12$
Die Fußleiste muss $17,12\;\text{m}$ lang sein.
#vektoren#trapez#lineareabhängigkeit
b)
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung $\boldsymbol{E_{BCE}}$ berechnen
Wählen einen Ortsvektor der zu einem der drei Punkte zeigt als Stützvektor der Ebene und berechne anschließend die beiden Richtungsvektoren.
$E_{BCE}:\; \overrightarrow{x}=\pmatrix{8 \\ 2 \\ 0}+ r\cdot\pmatrix{4 \\ 10 \\ 0}+s\cdot \pmatrix{0 \\ 10 \\ 8} $
Die Ebenengleichugn in Parameterform der Ebene $E_{BCE}$ lautet $E_{BCE}:\; \overrightarrow{x}=\pmatrix{8 \\ 2 \\ 0}+ r\cdot\pmatrix{4 \\ 10 \\ 0}+s\cdot \pmatrix{0 \\ 10 \\ 8} $
$E_{BCE}:… $
Die Ebenengleichugn in Parameterform der Ebene $E_{BCE}$ lautet $E_{BCE}:\; \overrightarrow{x}=…$
$\blacktriangleright$Begründen, dass der Eingang nicht durch eine ebene Glaswand geschlossen werden kann
Um zu überprüfen, ob es sich beim Eingang $\text{BCFG}$ um eine ebene Fläche handelt, musst du überprüfen, ob die vier Eckpunkte eine Ebene aufspannen. Dazu bildest du mit Hilfe von drei Punkten eine Ebene H und überprüfst mit der Punktprobe ob der vierte Punkt in der Ebene H liegt.
$H: \;\overrightarrow{x}= \overrightarrow{OB} + r\cdot\overrightarrow{BC} +s\cdot\overrightarrow{BG} $
$H:\;\overrightarrow{x}=\pmatrix{8 \\ 2 \\ 0}+ r\cdot\pmatrix{4 \\ 10 \\ 0} +s\cdot\pmatrix{-4 \\ -2 \\ 12} $
$H: \;\overrightarrow{x}=… $
$H:\;\overrightarrow{x}=… $
Setze nun den Ortsvektor der zum Punkt E zeigt in die Ebenengleichug ein. Du erhälst ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten. Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, liegt der Punkt E in der Ebene H.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&8&=&8+4r-4s\quad \\ \text{II}\quad&12&=&2+10r-2s\quad \\ \text{III}\quad&8&=&12s\quad& \\ \end{array}$
$ \begin{array}{} \text{I}\quad&8&=&8+… \\ \text{II}\quad&12&=&2+… \\ \text{III}\quad&8&=&12s \\ \end{array} $
Löse $\text{III}$ als erstes nach s auf und setze das Ergebnis in $\text{I}$ ein.
$s=\frac{8}{12}= \frac{2}{3}$
$\begin{array}[t]{rll} 8&=&8 +4r -4\cdot \frac{2}{3} &\quad \scriptsize \mid\;-8\; \;\mid\;+\frac{8}{3} \\[5pt] \frac{8}{3}&=&4r &\quad \scriptsize \mid\; : 4 \\[5pt] r&=&\frac{2}{3} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} r&=&\frac{2}{3} \end{array}$
Setze nun die Werte von r und s in $\text{II}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} 12&=&2+10\cdot \frac{2}{3}-2\cdot\frac{2}{3} \\[5pt] 12&=&\frac{22}{3} \end{array}$
Da das lineare Gleichungssystem nicht lösbar ist, kann der Eingang nicht durch eine ebene Glaswand geschlossen werden.
#ebenengleichung
c)
$\blacktriangleright$Bestätigen, dass $\boldsymbol{\overrightarrow{n}}$ der Normalenvektor der Ebene $\boldsymbol{E_{ADF}}$ ist.
In dieser Aufgabe sollst du bestätigen, dass der Vektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{12 \\ -2 \\ 6}$ der Normalenvektor der Ebene ADF ist. Berechne dazu als erstes die Ebenengleichung in Parameterform und berechne mit dem Vektor-(Kreuz-)Produkt den Normalenvektor der Ebene.
$E_{ADF}:\;\overrightarrow{x}= \overrightarrow{OA}+u\cdot\overrightarrow{AD}+ v\cdot \overrightarrow{AF}$
$E_{ADF}:\;\overrightarrow{x}= \pmatrix{-8 \\ -4 \\ 0}+u\cdot \pmatrix{3 \\ 18 \\ 0}+v\cdot\pmatrix{-2\\ 18 \\ 10}$
$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{AF} = \pmatrix{18\cdot10-0\cdot18 \\ 0\cdot(-2)-3\cdot10 \\ 3\cdot 18-18\cdot(-2)} = \pmatrix{180 \\ -30 \\ 90}$
$E_{ADF}: …$
$E_{ADF}: …$
$\overrightarrow{n}= \pmatrix{180 \\ -30 \\ 90}$
Wenn du den berechneten Vektor mit 15 kürzt, erhälst du gerade $\overrightarrow{n}=\pmatrix{12 \\ -2 \\ 6}$. Somit hast du gezeigt, dass der Normalenvektor der Ebene $E_{ADF}$ der Vektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{12 \\ -2 \\ 6}$ ist.
$\blacktriangleright$Koordinatengleichung $\boldsymbol{E_{ADF}}$ herleiten
In dem vorherigen Aufgabenteil hast du bereits den Normalenvektor der Ebene berechnet. Wenn du diesen nun noch mit -2 kürzt, erhälst du
$\overrightarrow{n}=\pmatrix{-6 \\1\\ -3}$
Die Ebenengleichung lautet dann:
$E_{ADF}:\;-6x_1+x_2-3x_3 = c $
c kannst du nun berechnen, indem du die Koordinaten des Punktes A in die Ebenengleichung einsetzt.
$E_{ADF}:\;-6\cdot(-8)+1\cdot(-4)-3\cdot 0 = 44$
$E_{ADF}:\;-6x_1+x_2-3x_3 = 44$
$E_{ADF}: …$
$E_{ADF}: …$
Somit hast du die Koordinatengleichung der Ebene $E_{ADF}$ hergeleitet.
#kreuzprodukt#normalenvektor
d)
$\blacktriangleright$Koordinaten des Punktes S' berechnen
Um die Koordinaten des Schattenpunktes $S'$ zu berechnen musst du als erstes die Gerade h berechnen die durch die Punkte B und S geht und anschließen berechnest du den Schnittpunkt der Geraden h mit der Ebene $E_{ADF}$.
$h:\;\overrightarrow{x}=\pmatrix{8 \\2 \\ 0}+t\cdot \pmatrix{-4 \\ 2 \\ 0}$
Setze als nächstes den allgemeinen Punkt der Geraden h in die Ebenengleichung in Koordinatenform ein und löse die Gleichung nach $t$ auf.
$H(8-4t\;|\;2+2t\;|\;0)$
$\begin{array}[t]{rll} -6\cdot (8-4t) +1\cdot(2+2t)&=&44 \\[5pt] -48+22+24t+2t&=&44 \\[5pt] -46+26t&=&44 &\quad \scriptsize \mid\; +46 \mid\;26 \\[5pt] t&=&3,46 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t&=&3,46 \end{array}$
Setze $t=3,46$ in den Punkt H ein. Du erhältst die Koordinaten des Schattenpunktes S'.
$S'(-5,85\;|\;8,92\;|\,0)$
Der Schattenpunkt S' hat die Koordinaten $S'(-5,85\;|\;8,92\;|\,0)$
$\blacktriangleright$Ermitteln, um welchen Faktor der Schatten verlängert wurde
Um zu ermittel, um welchen Faktor der Schatten verlängert wurde, musst du als erstes die Längen des Vektors $\overrightarrow{ST}$ und die Länge des Vektors $\overrightarrow{S'T'}$ berechnen und anschließend die beiden Längen vergleichen.
$|\overrightarrow{ST}|=\left|\pmatrix{0 \\ 0 \\ -1,5}\right|=\sqrt{1,5^2}=1,5$
$ |\overrightarrow{ST}|=1,5 $
$|\overrightarrow{S'T'}|=\left|\pmatrix{-2,91 \\ 1,46\\ 6,29}\right|=\sqrt{-2,91)^2+1,46^2+6,29^2}=7,08$
$ |\overrightarrow{S'T'}|=7,08 $
$\frac{7,08}{1,5}=4,72$
Der Schatten der Säule wurde um den Faktor $4,72$ im Vergleich zur Säule verlängert.
e)
$\blacktriangleright$Untersuchen, ob die Raumdecke hoch genug ist.
In dieser Aufgabe sollst du berechnen, on das Kunstmuseum für die Säule hoch genug ist. Berechne dazu als erstes die Ebenengleichung der Decke und berechne anschließend des Abstand zwischen dem Punkt P und der Ebene mit der Hesseschen Normalenform:
HNF: $\dfrac{\left|n_1\cdot x_1+ n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3-c\right|}{\left|\vec{n}\right|}=c$
HNF
$\overrightarrow{n}=\pmatrix{2\cdot4-2\cdot(-12) \\ 2\cdot(-4)-(-18)\cdot4 \\ -18\cdot(-12)-2\cdot(-4)}=\pmatrix{32 \\ 64 \\ 224}$
$ \overrightarrow{n}=\pmatrix{32 \\ 64 \\ 224} $
Diesen Vektor kannst du noch mit 32 kürzen und du erhältst $\overrightarrow{n}=\pmatrix{1 \\ 2 \\ 7}$
$E_{EFG}:\; x_12x_2+7x_3=d$
$ E_{EFG}:\; … $
Setze den Stützvektor der Ebene in die Gleichung ein.
$E_{EFG}:\; 8\cdot1+2\cdot12+7\cdot8=88$
$ E_{EFG}:\; … $
$E_{EFG}:\; x_1+2x_2+7x_3=88$
$ E_{EFG}:\; … $
Setze den Punkt P in die Hessesche Normalenform ein:
$\begin{array}[t]{rll} c&=&\dfrac{|\;1\cdot4+2\cdot10+7\cdot0-88\;|}{\sqrt{1^2+2^2+7^2}} \\[5pt] c&=&\dfrac{|\;-64\;|}{\sqrt{54}}\\[5pt] c&\approx& 8,71 \end{array}$
$ c\approx 8,71 $
Der Punkt P hat vom Dach des Museums einen Abstand von $8,71\;\text{m}$. Da die Säule $8\;\text{m}$ hoch werden soll, ist die Raumdecke oberhalb von $P$ hoch genug.
#hesseschenormalform
f)
$\blacktriangleright$Winkel berechnen
In dieser Aufgabe sollst du den Winkel $\alpha$ zwischen dem Boden des Raumes und der Wand CDEF berechnen. Da es sich bei der Wand und dem Boden um zwei Ebenen handelt, kannst du den Schnittwinkel berechnen:
$\cos(\alpha)=\dfrac{|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|} $
$\cos(\alpha)=\dfrac{\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|} $
Den Normalenvektor der Wand kannst du aus der Aufgabestellung ablesen. Den Normalenvektor des Bodens musst du noch berechnen. Dazu kannst du das Kreuzprodukt zweier Vektoren bilden, die in der Ebene liegen:
$\overrightarrow{n}=\pmatrix{a_2b_3-a_3b_2\\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1}$
$\overrightarrow{n}=\pmatrix{a_2b_3-a_3b_2\\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1}$
Berechne also als erstes den Normalenvektor des Bodens und setze die beiden Normalenvektoren anschließend in die Formel, mit dem du den Schnittwinkel berechnest, ein.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}_{ABCD}&=& \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD} \\[5pt] &=& \pmatrix{16\\6\\0} \times \pmatrix{-17\\2\\0}\\[5pt] &=& \pmatrix{6\cdot 0 -0\cdot 2\\ 0\cdot (-17)-16\cdot 0\\ 16\cdot 2 -6\cdot (-17)}\\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\134}\\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{n}_{ABCD}= \pmatrix{0\\0 \\ 134} $
Den Normalenvektor $\overrightarrow{n}_{ABCD}$ kannst du noch mit 134 kürzen.
$\overrightarrow{n}_{ABCD}= \pmatrix{0 \\0\\ 1}$
$\overrightarrow{n}_{CDEF}= \pmatrix{2 \\ 17\\ 1}$
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left|\overrightarrow{n}_{ABCD} \cdot\overrightarrow{n}_{CDEF}\right|} {\left|\overrightarrow{n}_{ABCD}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n}_{CDEF}\right|} \\[5pt] &=&\dfrac{\left|\pmatrix{0 \\0 \\ 1}\cdot\pmatrix{2 \\ 17 \\ 1}\right|}{\left|\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}\right|\cdot \left|\pmatrix{2 \\ 17 \\ 1} \right| } \\[5pt] &=&\dfrac{|1|}{1\cdot 7\sqrt{6}} &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{ 7\sqrt{6}}\right) \\[5pt] &\approx&86,66° \end{array}$
$ \alpha\approx 86,66°$
Der Winkel zwischen dem Boden und der Wand CDEF beträgt $86,66°$.
$\blacktriangleright$Mindestabstand zwischen Quader und Kante $\boldsymbol{\overline{CD}}$ berechnen
Analytische Geometrie
Abb. 2: Skizze Glasquader und Wand.
Analytische Geometrie
Abb. 2: Skizze Glasquader und Wand.
$\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} $
Tipp
$\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} $
Gesucht ist also die Länge der Ankathete. Der Winkel $\alpha$ und die Länge der Gegenkathete sind gegeben.
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\frac{g}{a} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot a \\[5pt] a\cdot\tan(\alpha) &=& g &\quad \scriptsize \mid\; : \tan(\alpha)\\[5pt] a&=&\frac{g}{\tan(\alpha)} \\[5pt] a&\approx&\frac{3}{\tan(86,66°)}\\[5pt] a&\approx&0,18 \end{array}$
$ a\approx0,18 $
Der horizontale Abstand zwischen der Kante des Glasquaders und der Kante $\overline{CD}$ auf dem Fußboden muss mindestens $0,18\;\text{m}$ groß sein.
#tangens#normalenvektor
Bildnachweise [nach oben]
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