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Stochastik

Aufgaben
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Vollkaskoversicherung

Ein Vollkaskotarif deckt Unfallschäden am eigenen Auto ab, die nicht fremdverschuldet sind. Bei der Kreisversicherung haben 5.400 Personen eine solche Vollkaskoversicherung. Die langjährige Auswertung der Schadensfälle zeigt, dass bei dieser Versicherung allgemein im Schnitt $16,7\%$ aller Versicherten im Jahr (1. Januar bis 31. Dezember) einen Schaden melden. Mehr als eine Schadensmeldung pro Person pro Jahr tritt so selten auf, dass als Vereinfachung dieser Fall unberücksichtigt bleiben soll. Die relativen Häufigkeiten sollen als Wahrscheinlichkeiten gedeutet werden.
Ein Sachbearbeiter ist für $78$ Versicherte zuständig. Im Schnitt melden $2\%$ seiner Versicherten einen Totalschaden. Die Totalschäden sind binomialverteilt.
a)
Berechne für die $78$ Versicherten die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ergebnisse:
  • Während eines durchschnittlichen Jahres meldet keiner der Versicherten einen Totalschaden.
  • Während eines durchschnittlichen Jahres werden $3$ bis $5$ Totalschäden gemeldet.
  • Während eines durchschnittlichen Jahres werden genau $3$ Totalschäden und im nächsten Jahr weniger als $3$ gemeldet.
(9P)
#wahrscheinlichkeit
Die mittlere Schadenssumme pro Schadensfall lag bei dieser Versicherung im letzten Jahr bei $2.850 €$. Bei einem Durchschnittsjahr ist, wie oben angegeben, mit $16,7\%$ Schadensmeldungen der Versicherten zu rechnen.
(Hinweis: Für die Bearbeitung dieses Aufgabenteils kannst du die Tabellen in der Anlage verwenden.)
b)
  • Berechne unter diesen Voraussetzungen den Erwartungswert und die Standardabweichung der zu erwartenden jährlichen Anzahl von Schadensmeldungen für die $5.400$ Versicherungen sowie die zu erwartende auszuzahlende Gesamtsumme.
  • Bestimme unter dieser Modellannahme die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Jahr $905$ bis $907$ Schadensfälle eintreten.
  • Die Versicherungsgesellschaft rechnet damit, dass sich die mittlere Schadenssumme deutlich erhöhen wird. Ab einer Anzahl von $935$ Schadensmeldungen im Jahr würde sie dann die Versicherungstarife erhöhen müssen.
    Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten dieser Situation.
(10P)
#erwartungswert#standardabweichung
Eine bei Kfz-Versicherungen besonders auffällige Risikogruppe sind die jungen Fahrer bis 24 Jahre, bezeichnet mit $U24$. Die älteren Versicherten bilden die Gruppe $24+$. Bei der Kreisversicherung gehören $1.250$ Verträge einer Vollkaskoversicherung zu Fahrern der Gruppe $U24$.
Der Versicherungsmathematiker der Gesellschaft erwägt die folgende Entscheidungsregel zu nutzen:
Die Nullhypothese „Auch bei der Risikogruppe beträgt die Schadenswahrscheinlichkeit nicht mehr als $16,7\%$ “ $(H_0 : p \leq 0,167)$ wird abgelehnt, wenn aus dieser Gruppe pro Jahr mehr als $208$ Schadensfälle gemeldet werden.
Hinweis: Für die Bearbeitung dieses Aufgabenteils kannst du die Tabellen in der Anlage verwenden.
c)
  • Bestätige folgende Aussage:
    Wenn die Schadenswahrscheinlichkeit in der betrachteten Gruppe nicht erhöht sein sollte, würde der Mathematiker die Nullhypothese aufgrund seiner Entscheidungsregel dennoch mit einer Wahrscheinlichkeit von über $50\%$ verwerfen.
  • Begründe, dass der angegebene Ablehungsbereich keinen größeren Erkenntniswert hat als ein Münzwurf.
  • Ermittle eine neue Entscheidungsregel, nach der die Nullhypothese auf dem $5\%$-Niveau verworfen werden muss, und begründe deine Wahl.
(14P)
#hypothesentest
Um die Risiken in der Gruppe $U24$ genauer zu analysieren, überprüft der Versicherungsmathematiker die Schadensmeldungen dieser Gruppe in den letzten drei Jahren. Dabei stellt er fest, dass im Durchschnitt $18,9\%$ der $U24$-Fahrer pro Jahr einen Schaden gemeldet haben.
d)
  • Bestätige, dass nunmehr gefolgert werden kann, dass ein Mitglied der Gruppe $24+$ ein geringeres Schadenrisiko hat, da er nur mit einer Wahrscheinlichkeit von $16,0\%$ pro Jahr einen Schaden meldet.
  • Ermittle, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein neu eingehender Schadensfall zu einem Versicherten aus der Gruppe $24+$ gehört.
(10P)
#wahrscheinlichkeit
Bei den Versicherten über 24 Jahren nimmt die Wahrscheinlichkeit für einen gemeldeten Schaden pro Jahr ab. Unter anderem führt dies zur Einrichtung von Rabatten, sogenannten Schadensfreiheitsklassen. Es soll hierbei angenommen werden, dass durch diese Regelung der eigene Versicherungsbeitrag pro Jahr, in dem für diese Versicherung kein Schaden gemeldet wird, um $7\% $ sinkt.
e)
Der Beitrag soll keinen weiteren Veränderungen unterliegen. Bestimme die Mindestanzahl der schadensfreien Jahre, nach denen ein Versicherter höchstens $50\%$ des anfänglichen Beitrags zahlen muss.
(7P)

Anlage zur Aufgabe „Vollkaskoversicherung“

$k$$P(X=k)$$P(X\leq k)$$k$$P(X=k)$$P(X\leq k)$
2000,02460,26752210,01930,8334
2010,02580,29332220,01800,8513
2020,02680,32012230,01660,8679
2030,02780,34792240,01530,8832
2040,02860,37652250,01390,8971
2050,02920,40572260,01270,9098
2060,02970,43552270,01150,9213
2070,03010,46562280,01030,9316
2080,03020,49582290,00920,9408
2090,03020,52602300,00820,9491
2100,03000,55612310,00730,9563
2110,02970,58572320,00640,9627
2120,02920,61492330,00560,9683
2130,02850,64342340,00490,9732
2140,02770,67112350,00420,9775
2150,02670,69782360,00370,9811
2160,02570,72352370,00310,9843
2170,02450,74802380,00270,9869
2180,02330,77132390,00230,9892
2190,02200,79332400,00190,9911
2200,02070,81402410,00160,9927
Tab. 1: Einfache und kumulierte Binomialverteilung mit $n=1.250$ und $p=0,167$
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ereignisse berechnen. Du benötigst dabei die Binomialverteilung. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist hierbei
$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
$P(X=k) $$= \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
In diesem Fall ist $n$ die Anzahl der Versicherten ($n=78$), $X$ die Anzahl der Versicherten, die einen Totalschaden melden und $p$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Versicherter einen Totalschaden meldet ($p = 2 \,\%$).
1. Kein gemeldeter Totalschaden
Keiner der $78$ Versicherten meldet einen Totalschaden, also setzt du $k=0$.
2. Drei bis fünf gemeldete Totalschäden
Gesucht ist $P(3 \leq X \leq 5)$, d.h. du suchst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den $78$ Versicherten in einem Jahr $3$ bis $5$ einen Totalschaden melden. $P(3 \leq X \leq 5)$ kannst du umschreiben in
$P(3 \leq X \leq 5) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)$.
$P(3 \leq X \leq 5) = … $
Somit musst du $P(X=3)$, $P(X=4)$ und $P(X=5)$ berechnen.
3. Im 1. Jahr werden genau drei und im 2. Jahr weniger als $3$ Totalschäden gemeldet
Die Wahrscheinlichkeit dafür ist gesucht, dass im ersten Jahr genau $3$ und im zweiten Jahr weniger als $3$ Totalschäden gemeldet werden. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(1. \& 2. \text{ Jahr})$ berechnet sich deshalb aus den Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Jahre wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(1. \& 2. \text{ Jahr}) &=& P(1. \text{ Jahr}) \cdot P(2. \text{ Jahr})\\[5pt] &=& P(X=3) \cdot P(X < 3) \end{array}$
$P(1. \& 2. \text{ Jahr}) = … $
$P(X < 3)$ kannst du erneut umschreiben in
$P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$.
$P(X < 3) = … $
b)
$\blacktriangleright$  Standardabweichung und zu erwartende auszuzahlende Gesamtsumme berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du den Erwartungswert, die Standardabweichung und die zu erwartende auszuzahlende Gesamtsumme berechnen. Da es sich hierbei, um ein durchschnittliches Jahr handeln soll, ist bekannt, dass $p=16,7 \,\%$ aller Versicherten im 1. Jahr einen Schaden melden. Außerdem weißt du, dass insgesamt $n=5.400$ Personen bei der Kreisversicherung eine Vollkaskoversicherung abgeschlossen haben. Den Erwartungswert hast du bereits durch die mittlere Schadenssumme pro Schadensfall mit $\mu=2.850 €$ gegeben. Da die Anzahl der Schadensfällen pro Jahr unter den Versicherten binomialverteilt ist kannst du die Standardabweichung $\sigma$ mit der folgenden Formel berechnen:
$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$
$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass in einem Jahr $905$ bis $907$ Schadensfälle eintreten. Da die Anzahl der Schadensfälle pro Jahr unter den Versicherten binomialverteilt ist, kannst du nun die Wahrscheinlichkeiten aus der beiliegenden Anlage entnehmen.
Nun ist die Wahrscheinlichkeit $P(905 \leq X \leq 907)$ gesucht. Die Wahrscheinlichkeit kannst du wie folgt umschreiben:
$P(905 \leq X \leq 907) $$= P(X\leq 907)-P(X\leq 904)$
Die Wahrscheinlichkeiten $P(X\leq 907)$ und $P(X\leq 904)$ kannst du nun anhand der gegebenen Tabelle ablesen.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass die Versicherung ihre Versicherungstarife erhöht, also dass es mehr als $934$ Schadensmeldungen im Jahr gibt. Also ist die Wahrscheinlichkeit $P(X\geq 935)$ gesucht. Diese Wahrscheinlichkeit kannst du nun erneut umschreiben in
$P(X\geq 935)=1-P(X\leq 934)$.
Nun kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle ablesen.
c)
$\blacktriangleright$  Aussage bestätigen
In dieser Teilaufgabe sollst du bestätigen, dass wenn die Schadenswahrscheinlichkeit in der Gruppe der jungen Fahrer bis $24$ Jahre nicht erhöht sein sollte, die gegebene Nullhypothese zutrifft, der Mathematiker die Nullhypothese aufgrund seiner Entscheidungsregel aber mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $50 \,\%$ dennoch verwirft. Gesucht ist somit in dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art, da du die Wahrscheinlichkeit bestätigen sollst, dass die Nullhypothese verworfen wird, obwohl sie in Wahrheit zutrifft.
Um die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art zu bestimmen musst du den Ablehnungsbereich betrachten, der in der Aufgabe gegeben ist. In der Aufgabe ist gegeben, dass die Nullhypothese abgelehnt wird, wenn aus dieser Gruppe pro Jahr mehr als $208$ Schadensfälle gemeldet werden.
$\blacktriangleright$  Aussage begründen
In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass der angegebene Ablehungsbereich keinen größeren Erkenntniswert hat, als ein Münzwurf. Da der Fehler 1. Art etwa $50\,\$$ beträgt bedeutet dies, dass der Mathematiker die Nullhypothese fälschlicherweise mit einer Wahrscheinlichkeit $50\,\%$ verwirft.
$\blacktriangleright$  Entscheidungsregel ermitteln
In dieser Teilaufgabe sollst du eine neue Entscheidungsregel ermitteln, nach der die Nullhypothese auf dem $5 \,\%$-Niveau verworfen werden soll. Das bedeutet, dass nun für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art $P(\text{Fehler 1. Art})\leq0,05$ gelten muss. Somit musst du nun den Ablehnungsbereich der Nullhypothese bestimmen. Also für welche Anzahl $n$ an Schadensfällen die Nullhypothese abgelehnt wird.
d)
$\blacktriangleright$  Folgerung bestätigen
In dieser Teilaufgabe ist beschrieben, dass im Durchschnitt $18,9 \,\%$ der $U24$ Fahrer pro Jahr einen Schaden gemeldet haben. Nun sollst du die Folgerung bestätigen, dass somit ein Mitglied der Gruppe $24+$ ein geringeres Schadenrisiko besitzt, da er nur mit einer Wahrscheinlichkeit von $16 \,\%$ pro Jahr einen Schaden meldet. Du hast außerdem bereits gegeben, dass bei der Kreisversicherung 1.250 Verträge zu Fahrern der Gruppe $U24$ gehören. Da insgesamt $5.400$ Personen eine Vollkaskoversicherung bei der Kreisversicherung abgeschlossen haben, folgt für die Anzahl der Mitglieder der Gruppe $24+$ $n_{24+}$
$n_{24+}=5.400-1.250 = 4.150$.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit ermitteln
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln, dass ein neu eingehender Schadensfall zu einem Versicherten aus der Gruppe $24+$ gehört. Das bedeutet, dass du die Wahrscheinlichkeit dafür suchst, dass ein Versicherter, der einen Schadensfall meldet, ein Mitglied der Gruppe $24+$ ist. Es handelt sich hierbei um eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
Du kannst die Zugehörigkeit zur Gruppe $24+$ als Ereignis $A$ und dass der Versicherte einen Schadensfall meldet mit Ereignis $B$ bezeichnen. Somit suchen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ereignis $A$ eintritt, wenn Ereignis $B$ bereits eingetroffen ist. Du weißt hierbei bereits, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Versicherter einen Schadensfall meldet, bei $16,0 \,\%$ liegt, wenn er Mitglied der Gruppe $24+$ ist. Dies entspricht genau der Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ereignis $B$ eintritt, wenn $A$ bereits eingetroffen ist. Also der bedingten Wahrscheinlichkeit $P_A(B)$. Außerdem kennst du bereits die Waherscheinlichkeiten dafür, dass ein Versicherter Mitglied der Gruppe $24+$ ist mit $P(A)=\dfrac{4150}{5400}$ und dass ein Versicherter einen Schadensfall meldet mit $P(B)=16,,7 \,\%$. Nun suchst du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein neu eingehender Schadensfall zu einem Versicherten aus der Gruppe $24+$ gehört. Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ gesucht. Diese kannst du mit dem Satz von Bayes berechnen. Der Satz von Bayes lautet:
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
e)
$\blacktriangleright$  Mindestanzahl der schadensfreien Jahre bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Mindestanzahl an schadensfreien Jahren bestimmmen, sodass der Versicherte nur noch $50\,\%$ seines anfänglichen Beitrags bezahlen muss. Hierbei gilt für den Versicherten, dass pro Jahr, indem kein Schaden gemeldet wird, der eigene Versicherungsbeitrag um $7\,\%$ sinkt.
Nun musst du eine Gleichung bestimmen mit der du den Beitrag in Abhängigkeit der schadensfreien Jahre $n_{frei}$ und dem anfänglichen Beitrag $B_Anf$ bestimmen kann. Du weißt, dass der Versicherungsbeitrag pro Jahr um $7\,\%$ sinkt, deshalb beträgt der Versicherungsbeitrag nach dem 1. Jahr nur noch $93\,\%$ des anfänglichen Betrags.
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ereignisse berechnen. Du benötigst dabei die Binomialverteilung. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist hierbei
$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
$P(X=k) $$= \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
In diesem Fall ist $n$ die Anzahl der Versicherten ($n=78$), $X$ die Anzahl der Versicherten, die einen Totalschaden melden und $p$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Versicherter einen Totalschaden meldet ($p = 2 \,\%$).
1. Keinen gemeldeten Totalschaden
Keiner der $78$ Versicherten meldet einen Totalschaden, also setzt du $k=0$.
$\begin{array}[t]{rll} P(X=0) &=& \binom{78}{0} \cdot 0,02^0 \cdot (1-0,02)^{78-0} \\[5pt] &=& 1 \cdot 1 \cdot 0,98^{78} \\[5pt] &\approx& 0,207 \\[5pt] &=& 20,7 \,\% \end{array}$
$P(X=0) = … $
D.h. dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $78$ Versicherten kein Versicherter einen Unfall meldet, bei etwa $20,7 \,\%$ liegt.
2. Drei bis fünf gemeldete Totalschäden
Gesucht ist $P(3 \leq X \leq 5)$, d.h. du suchst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den $78$ Versicherten in einem Jahr $3$ bis $5$ einen Totalschaden melden. $P(3 \leq X \leq 5)$ kannst du umschreiben in
$P(3 \leq X \leq 5) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)$.
$P(3 \leq X \leq 5) = … $
Somit musst du $P(X=3)$, $P(X=4)$ und $P(X=5)$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} P(X=3) &=& \binom{78}{3} \cdot 0,02^3 \cdot (1-0,02)^{78-3} \\[5pt] &=& \binom{78}{3} \cdot 0,02^3 \cdot (0,98)^{75} \\[5pt] &\approx& 0,134 \end{array}$
$P(X=3) = … $
$\begin{array}[t]{rll} P(X=4) &=& \binom{78}{4} \cdot 0,02^4 \cdot (1-0,02)^{78-4} \\[5pt] &=& \binom{78}{4} \cdot 0,02^4 \cdot (0,98)^{74} \\[5pt] &\approx& 0,051 \end{array}$
$P(X=4) = … $
$\begin{array}[t]{rll} P(X=5) &=& \binom{78}{5} \cdot 0,02^5 \cdot (1-0,02)^{78-5} \\[5pt] &=& \binom{78}{5} \cdot 0,02^5 \cdot (0,98)^{73} \\[5pt] &\approx& 0,0155 \end{array}$
$P(X=5) = … $
Dadurch ist $P(3 \leq X \leq 5)$ gegeben durch
$\begin{array}[t]{rll} P(3 \leq X \leq 5) &=& P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)\\[5pt] &=& 0,134 + 0,051 + 0,0155 \\[5pt] &\approx& 0,20 \\[5pt] &=& 20,1 \,\% \end{array}$
$P(3 \leq X \leq 5) = … $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den $78$ Versicherten $3$ bis $5$ Totalschäden gemeldet werden, beträgt ungefähr $20,1 \,\%.$
3. Im 1. Jahr werden genau drei und im 2. Jahr weniger als $3$ Totalschäden gemeldet
Die Wahrscheinlichkeit dafür ist gesucht, dass im ersten Jahr genau $3$ und im zweiten Jahr weniger als $3$ Totalschäden gemeldet werden. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(1. \& 2. \text{ Jahr})$ berechnet sich deshalb aus den Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Jahre wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(1. \& 2. \text{ Jahr}) &=& P(1. \text{ Jahr}) \cdot P(2. \text{ Jahr})\\[5pt] &=& P(X=3) \cdot P(X < 3) \end{array}$
$P(1. \& 2. \text{ Jahr}) = … $
$P(X < 3)$ kannst du erneut umschreiben in
$P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$.
$P(X < 3) = … $
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$\begin{array}[t]{rll} P(1. \& 2. \text{ Jahr}) &=& P(X=3) \cdot P(X < 3)\\[5pt] &=& P(X=3) \cdot (P(X = 0) + P(X=1)+P(X=2)) \end{array}$
$P(1. \& 2. \text{ Jahr}) = … $
Deshalb musst du $P(X=1)$ und $P(X=2)$ berechnen, $P(X=0)$ und $P(X=3)$ ist aus dem ersten Teil der Aufgabe bekannt.
$\begin{array}[t]{rll} P(X=1) &=& \binom{78}{1} \cdot 0,02^1 \cdot (1-0,02)^{78-1} \\[5pt] &=& 78 \cdot 0,02 \cdot (0,98)^{77} \\[5pt] &\approx& 0,329 \end{array}$
$P(X=1) = … $
$\begin{array}[t]{rll} P(X=2) &=& \binom{78}{2} \cdot 0,02^2 \cdot (1-0,02)^{78-2} \\[5pt] &=& \binom{78}{2} \cdot 0,02^2 \cdot (0,98)^{76} \\[5pt] &\approx& 0,259 \end{array}$
$P(X=2) = … $
Für $P(1. \& 2. \text{ Jahr})$ gilt daher:
$\begin{array}[t]{rll} P(1. \& 2. \text{ Jahr}) &=& P(X=3) \cdot (P(X = 0) + P(X=1)+P(X=2))\\[5pt] &=& 0,134 \cdot (0,207 + 0,329 + 0,259 )\\[5pt] &\approx& 0,107 \\[5pt] &=& 10,7 \,\% \end{array}$
$P(1. \& 2. \text{ Jahr}) = … $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im 1. Jahr genau $3$ und im 2. Jahr weniger als $3$ Totalschäden gemeldet werden beträgt ungefähr $10,7 \,\%.$
#binomialverteilung
b)
$\blacktriangleright$  Standardabweichung und zu erwartende auszuzahlende Gesamtsumme berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du den Erwartungswert, die Standardabweichung und die zu erwartende auszuzahlende Gesamtsumme berechnen. Da es sich hierbei, um ein durchschnittliches Jahr handeln soll, ist bekannt, dass $p=16,7 \,\%$ aller Versicherten im 1. Jahr einen Schaden melden. Außerdem weißt du, dass insgesamt $n=5.400$ Personen bei der Kreisversicherung eine Vollkaskoversicherung abgeschlossen haben. Den Erwartungswert hast du bereits durch die mittlere Schadenssumme pro Schadensfall mit $\mu=2.850 €$ gegeben. Da die Anzahl der Schadensfällen pro Jahr unter den Versicherten binomialverteilt ist kannst du die Standardabweichung $\sigma$ mit der folgenden Formel berechnen:
$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$
$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$
Durch Einsetzen der gegebenen Werte erhältst du somit:
$\begin{array}[t]{rll} \sigma&=& \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\\[5pt] &=& \sqrt{5.400 \cdot 0,167 \cdot (1-0,167)}\\[5pt] &\approx& 751,2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \sigma&\approx& 751,2 \end{array}$
Die Standardabweichung beträgt ungefähr $751,2$.
Jetzt musst du noch die zu erwartende auszuzahlende Gesamtsumme berechnen. Diese kannst du berechnen, indem du zuerst die Anzahl $n_{Schaden}$ der Verischerten bestimmst, die einen Schaden melden und anschließend diese Anzahl mit der mittleren Schadenssumme pro Schadensfall multiplizierst.
Nun kannst du also zuerst die Anzahl der Versicherten, die einen Schadensfall meldeten, wie folgt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} n_{Schaden}&=& n \cdot p\\[5pt] &=& 5.400 \cdot 0,167\\[5pt] &\approx& 901,8 \end{array}$
Anschließend kannst du mit Hilfe des Erwartungswertes $\mu=2.850 €$ und der Anzahl der Versicherten, die einen Schaden meldeten $n_{Schaden}\approx 901,8$, die gesamte Schadenssumme $S_{ges}$ bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} S_{ges}&=& n_{Schaden} \cdot \mu\\[5pt] &=& 901,8 \cdot 2.850 €\\[5pt] &=& 2.570.130 € \end{array}$
Somit beträgt die zu erwartende auszuzahlende gesamte Gesamtsumme $2.570.130$ €.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass in einem Jahr $905$ bis $907$ Schadensfälle eintreten. Da die Anzahl der Schadensfälle pro Jahr unter den Versicherten binomialverteilt ist, kannst du nun die Wahrscheinlichkeiten aus der beiliegenden Anlage entnehmen.
Nun ist die Wahrscheinlichkeit $P(905 \leq X \leq 907)$ gesucht. Die Wahrscheinlichkeit kannst du wie folgt umschreiben:
$P(905 \leq X \leq 907) $$= P(X\leq 907)-P(X\leq 904)$
Die Wahrscheinlichkeiten $P(X\leq 907)$ und $P(X\leq 904)$ kannst du nun anhand der gegebenen Tabelle ablesen. Dadurch gilt:
$\begin{array}[t]{rll} P(905 \leq X \leq 907)&=& P(X\leq 907)-P(X\leq 904)\\[5pt] &=& 0,584 - 0,541\\[5pt] &=& 0,043\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(905 \leq X \leq 907)&=… \end{array}$
Somit besträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Jahr $905$ bis $907$ Schadensfälle eintreten $4,3\,\%$.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass die Versicherung ihre Versicherungstarife erhöht, also dass es mehr als $934$ Schadensmeldungen im Jahr gibt. Also ist die Wahrscheinlichkeit $P(X\geq 935)$ gesucht. Diese Wahrscheinlichkeit kannst du nun erneut umschreiben in
$P(X\geq 935)=1-P(X\leq 934)$.
Nun kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle ablesen. Dadurch folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq 935)&=& 1-P(X\leq 934)\\[5pt] &=& 1- 0,883 \\[5pt] &=& 0,117\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq 935)&=& 0,117\\[5pt] \end{array}$
Somit erhöht die Versicherung ihre Versicherungstarife mit einer Wahrscheinlichkeit von $11,7\,\%$.
#erwartungswert#standardabweichung
c)
$\blacktriangleright$  Aussage bestätigen
In dieser Teilaufgabe sollst du bestätigen, dass wenn die Schadenswahrscheinlichkeit in der Gruppe der jungen Fahrer bis $24$ Jahre nicht erhöht sein sollte, die gegebene Nullhypothese zutrifft, der Mathematiker die Nullhypothese aufgrund seiner Entscheidungsregel aber mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $50 \,\%$ dennoch verwirft. Gesucht ist somit in dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art, da du die Wahrscheinlichkeit bestätigen sollst, dass die Nullhypothese verworfen wird, obwohl sie in Wahrheit zutrifft.
Um die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art zu bestimmen musst du den Ablehnungsbereich betrachten, der in der Aufgabe gegeben ist. In der Aufgabe ist gegeben, dass die Nullhypothese abgelehnt wird, wenn aus dieser Gruppe pro Jahr mehr als $208$ Schadensfälle gemeldet werden. Somit lautet der Ablehnungsbereich
$\overline{A}=\left\{209;210;…1250\right\}$.
Für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art gilt:
$P(\text{Fehler 1. Art})=P(\overline{A})$
$P(\text{Fehler 1. Art})=P(\overline{A})$
Nun folgt für den Fehler 1. Art:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})&=& P(X>208) \\[5pt] &=& 1- P(X\leq 208)\\[5pt] &=& 1- 0,4958\\[5pt] &=& 0,5042\\[5pt] \end{array}$
Somit tritt ein Fehler 1. Art mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $50 \,\%$ auf und die Aussage ist deshalb bestätigt.
$\blacktriangleright$  Aussage begründen
In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass der angegebene Ablehungsbereich keinen größeren Erkenntniswert hat, als ein Münzwurf. Da der Fehler 1. Art etwa $50\,\$$ beträgt bedeutet dies, dass der Mathematiker die Nullhypothese fälschlicherweise mit einer Wahrscheinlichkeit $50\,\%$ verwirft. Das bedeutet, dass man auch einen Münze werfen könnte, um zu überprüfen, ob die Nullhypothese angenommen oder abgelehnt wird, da die Nullhypothese sowieso mit einer Wahrscheinlichkeit von $50\,\%$ fälschlicherweise verworfen wird.
$\blacktriangleright$  Entscheidungsregel ermitteln
In dieser Teilaufgabe sollst du eine neue Entscheidungsregel ermitteln, nach der die Nullhypothese auf dem $5 \,\%$-Niveau verworfen werden soll. Das bedeutet, dass nun für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art $P(\text{Fehler 1. Art})\leq0,05$ gelten muss. Somit musst du nun den Ablehnungsbereich der Nullhypothese bestimmen. Also für welche Anzahl $n$ an Schadensfällen die Nullhypothese abgelehnt wird. Aus der ersten Teilaufgabe weißt du bereits, dass sich die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art durch $P(\overline{A})= P(X\geq n)$ bestimmmen lässt. Dies kannst du nun wie folgt umformen:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})&=& P(X\geq n) \\[5pt] &=& 1- P(X\leq n-1)\\[5pt] \end{array}$
Somit kannst du anhand der beigefügten Tabelle den gesuchten Wert $n$ ermitteln. Mit der Tabelle gilt:
$P(X\leq230)=0,9491$
$P(X\leq231)=0,9563$
Dadurch folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})&=& 1- P(X\leq 231) \\[5pt] &=& 1- 0,9563\\[5pt] &=& 0,0437\\[5pt] \end{array}$
Somit gilt für die Entscheidungsregel, dass die Nullhypothese für $230$ oder mehr Schadensfälle abgelehnt wird.
#hypothesentest
d)
$\blacktriangleright$  Folgerung bestätigen
In dieser Teilaufgabe ist beschrieben, dass im Durchschnitt $18,9 \,\%$ der $U24$ Fahrer pro Jahr einen Schaden gemeldet haben. Nun sollst du die Folgerung bestätigen, dass somit ein Mitglied der Gruppe $24+$ ein geringeres Schadenrisiko besitzt, da er nur mit einer Wahrscheinlichkeit von $16 \,\%$ pro Jahr einen Schaden meldet. Du hast außerdem bereits gegeben, dass bei der Kreisversicherung 1.250 Verträge zu Fahrern der Gruppe $U24$ gehören. Da insgesamt $5.400$ Personen eine Vollkaskoversicherung bei der Kreisversicherung abgeschlossen haben, folgt für die Anzahl der Mitglieder der Gruppe $24+$ $n_{24+}$
$n_{24+}=5.400-1.250 = 4.150$.
Außerdem weißt du, dass alle Versicherten mit einer Wahrscheinlichkeit von $16,7 \,\%$ einen Schadensfall melden. Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Gruppen in Abhängigkeit vom Anteil der gesamten Anzahl der Versicherten berechnen. Somit folgt für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitglied der Gruppe $24+$ einen Schadensfall meldet folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} p_{ges}&=&\dfrac{n_{U24}}{n_{ges}}\cdot p_{U24}+ \dfrac{n_{24+}}{n_{ges}}\cdot p_{24+} &\mid \quad -\dfrac{n_{U24}}{n_{ges}}\cdot p_{U24}\\[5pt] p_{ges}-\dfrac{n_{U24}}{n_{ges}}\cdot p_{U24}&=& \dfrac{n_{24+}}{n_{ges}}\cdot p_{24+} &\mid \quad \cdot \dfrac{n_{ges}}{n_{24+}} \\[5pt] \dfrac{n_{ges}}{n_{24+}}\cdot (p_{ges}-\dfrac{n_{U24}}{n_{ges}}\cdot p_{U24})&=& p_{24+}\\[5pt] \dfrac{5.400}{4.150}\cdot (16,9 \,\%-\dfrac{1.250}{5.400}\cdot 18,9 \,\%)&=& p_{24+}\\[5pt] p_{24+}&=& 16,0 \,\% \end{array}$
$p_{24+}= 16,0 \,\%$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitglied der Gruppe $24+$ einen Unfall meldet $p_{24+}=16,0 \,\%$ und die Folgerung ist bestätigt.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit ermitteln
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln, dass ein neu eingehender Schadensfall zu einem Versicherten aus der Gruppe $24+$ gehört. Das bedeutet, dass du die Wahrscheinlichkeit dafür suchst, dass ein Versicherter, der einen Schadensfall meldet, ein Mitglied der Gruppe $24+$ ist. Es handelt sich hierbei um eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
Du kannst die Zugehörigkeit zur Gruppe $24+$ als Ereignis $A$ und dass der Versicherte einen Schadensfall meldet mit Ereignis $B$ bezeichnen. Somit suchen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ereignis $A$ eintritt, wenn Ereignis $B$ bereits eingetroffen ist. Du weißt hierbei bereits, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Versicherter einen Schadensfall meldet, bei $16,0 \,\%$ liegt, wenn er Mitglied der Gruppe $24+$ ist. Dies entspricht genau der Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ereignis $B$ eintritt, wenn $A$ bereits eingetroffen ist. Also der bedingten Wahrscheinlichkeit $P_A(B)$. Außerdem kennst du bereits die Waherscheinlichkeiten dafür, dass ein Versicherter Mitglied der Gruppe $24+$ ist mit $P(A)=\dfrac{4150}{5400}$ und dass ein Versicherter einen Schadensfall meldet mit $P(B)=16,,7 \,\%$. Nun suchst du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein neu eingehender Schadensfall zu einem Versicherten aus der Gruppe $24+$ gehört. Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ gesucht. Diese kannst du mit dem Satz von Bayes berechnen. Der Satz von Bayes lautet:
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
Nun kannst du die Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ wie folgt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} P_B(A)&=&\dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}\\[5pt] &=& \dfrac{0,16 \cdot \frac{4150}{5400}}{0,167}\\[5pt] &\approx& 0,736 \end{array}$
Somit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein neu eingehender Schadensfall zu einem Versicherten aus der Gruppe $24+$ gehört mit $P_B(A)\approx 73,6 \,\%$ gegeben.
#satzvonbayes#bedingtewahrscheinlichkeit
e)
$\blacktriangleright$  Mindestanzahl der schadensfreien Jahre bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Mindestanzahl an schadensfreien Jahren bestimmmen, sodass der Versicherte nur noch $50\,\%$ seines anfänglichen Beitrags bezahlen muss. Hierbei gilt für den Versicherten, dass pro Jahr, indem kein Schaden gemeldet wird, der eigene Versicherungsbeitrag um $7\,\%$ sinkt.
Nun musst du eine Gleichung bestimmen mit der du den Beitrag in Abhängigkeit der schadensfreien Jahre $n_{frei}$ und dem anfänglichen Beitrag $B_Anf$ bestimmen kann. Du weißt, dass der Versicherungsbeitrag pro Jahr um $7\,\%$ sinkt, deshalb beträgt der Versicherungsbeitrag nach dem 1. Jahr nur noch $93\,\%$ des anfänglichen Betrags. Die Gleichung für den Beitrag nach $n$ schadensfrei Jahre kannst du nun folgendermaßen aufstellen:
$B=B_{Anf} \cdot (0,93)^n$
Nun ist gesucht nach wie vielen schadensfreien Jahren der Beitrag noch $50\,\%$ des ursprünglichen Beitrags beträgt. Somit gilt für $B=\dfrac{B_Anf}{2}$. Nun kannst du $B$ in die Gleichung einsetzen und nach $n$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} B&=& B_{Anf} \cdot (0,93)^n\\[5pt] \dfrac{B_{Anf}}{2}&=& B_{Anf} \cdot (0,93)^n & \quad \mid :B_{Anf}\\[5pt] \dfrac{1}{2}&=& (0,93)^n & \quad \mid log_{0,93}()\\[5pt] log_{0,93}\left(\frac{1}{2}\right)&=& n\\[5pt] n&\approx& 9,55 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} n&\approx& 9,55 \end{array}$
Somit muss ein Versicherter mindestens $10$ Jahre schadensfrei sein, damit er noch höchstens $50\,\%$ seines Beitrages bezahlt.
#wahrscheinlichkeit
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