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Aufgabe 4

Aufgaben
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Fahrraddiebe

Im Jahr 2017 wurden in Hamburg $14 \,506$ Fahrraddiebstähle gemeldet.
a)
Berechne die Anzahl der Fahrräder, die durchschnittlich pro Tag im Jahr 2017 in Hamburg gestohlen wurden.
(2 P)
b)
Nur $3,3\,\%$ dieser Fahrraddiebstähle wurden aufgeklärt.
Bestimme die Anzahl der Fahrraddiebstähle, die im Jahr 2017 aufgeklärt wurden.
(3 P)
c)
Einige Stadtteile Hamburgs sind besonders betroffen.
In der Tabelle wird dargestellt, wie viele Fahrräder dort im Jahr 2017 als gestohlen gemeldet wurden.
StadtteilBarmbek-Nord
(B)
Eimsbüttel (E)Winterhude (W)
Anzahl gestohlener Fahrräder$544$$968 $$ 601$
$x$$y$
$ $$ $
$ $$ $
$ $$ $
$ $$ $
$ $$ $
Elif hat versucht diesen Sachverhalt in einem Säulendiagramm darzustellen.
Leider fehlen sämtliche Beschriftungen.
Ergänze die fehlenden Beschriftungen im Säulendiagramm.
(4 P)
Säulendiagramm
Auch Elifs Fahrrad wurde gestohlen.
In einem Fahrradgeschäft entdeckt sie das folgende Gewinnspiel:
"Aus einem Beutel mit $18$ weißen ($W$) und $2$ blauen ($B$) Kugeln dürfen nacheinander zwei Kugeln zufällig ohne Zurücklegen gezogen werden.
Sind beide Kugeln blau, gewinnt man ein Fahrrad seiner Wahl.
Jede Person darf an diesem Gewinnspiel nur einmal teilnehmen."
d)
Elif zeichnet zu dem Gewinnspiel ein Baumdiagramm.
  • Gib beim folgenden Baumdiagramm die fehlenden Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten an.
  • Bestätige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Elif gewinnt, nur etwa $0,5 \,\%$ beträgt.
(7 P)
Baumdiagramm
---------------------------Abbildung Baumdiagramm--------------------
e)
Da Elif mit einer Gewinn-Wahrscheinlichkeit von nur etwa $0,5 \,\%$ kein Glück hatte, bittet sie fünf Freundinnen um Mithilfe.
Alle Freundinnen nehmen an dem Gewinnspiel teil.
  • Bestimme die Wahrscheinlichkeit in Prozent, dass mindestens eine Freundin gewinnt.
  • Bestimme die Wahrscheinlichkeit in Prozent, dass alle Freundinnen gewinnen.
(6 P)
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Anzahl Fahrräder pro Tag berechnen
Da das Jahr 2017 insgesamt $365$ Tage hat, muss die Gesamtanzahl der Fahrraddiebstähle durch die Anzahl der Tage geteilt werden, um die Anzahl der Diebe pro Tag zu ermitteln.
$\begin{array}[t]{rll} 14.506 \, \, \text {Diebstähle gesamt}:365 \, \, \text {Tage}&=& 39,74 \, \, \text {Diebstähle pro Tag} \\[5pt] \end{array}$
Somit werden durchschnittlich pro Tag im Jahr 2017 in Hamburg $40$ Fahrräder gestohlen.
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl aufgeklärter Fahrraddiebstähle berechnen
Um die Anzahl der aufgeklärten Diebstähle zu berechnen wird die Gesamtanzahl an Diebstählen mit dem prozentualen Anteil der aufgeklärten Diebstähle multipliziert.
$\begin{array}[t]{rll} 14.506 \cdot \dfrac{3,3}{100}&=& 478,7 \approx 479 \\[5pt] \end{array}$

Somit beträgt die Anzahl der aufgeklärten Diebstähle in 2017 insgesamt $479$.
c)
$\blacktriangleright$  Beschriftungen ergänzen
Aus der Tabelle ist zu entnehmen, dass in Eimsbüttel (E) am meisten Fahrräder gestohlen wurden. Daher stellt dies die erste Säule im Diagramm dar, da sie am höchsten ist. Danach folgt Winterhude (W) und Barmbek-Nord (B).
Die $x$-Achse stellt somit die Stadtteile dar. Die $y$-Achse muss in $100$er Schritten beschriftet werden, da Eimsbüttel (B), welches knapp $1.000$ Fahrraddiebstähle aufzeigt, am höchsten geht.
Säulendiagramm
d)
$\blacktriangleright$  Fehlende Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten eintragen
Da das Gewinnspiel ohne Zurücklegen ist, wird nach jeder Ziehung die Gesamtanzahl an Kugeln weniger.
Da es $18$ weiße und $2$ blaue Kugeln gibt, sind es insgesamt $20$ Kugeln. Somit sind es nach der ersten Ziehung nur noch insgesamt $19$.
Baumdiagramm
Baumdiagramm
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für Gewinn berechnen
Um die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn zu berechnen, müssen die Wahrscheinlichkeiten für zweimal hintereinander blau miteinander multipliziert werden.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2}{20}\cdot \dfrac{1}{19}&=& \dfrac{2}{380}&=& \dfrac{1}{190} &=& 0,005 &=& 0,5\,\%\\[5pt] \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen, dass mindestens eine Freundin gewinnt
Hierfür muss die Pfadmultiplikationsregel angewandt werden. Das Gegenereignis dazu, dass mindestens eine Freundin gewinnt ist, dass keine gewinnt.
$\begin{array}[t]{rll} 1- 0,995^5&=& 0,025 \\[5pt] 0,025&=& 2,5 \,\% \end{array}$
Somit beträgt die Gewinnchance $2,5 \,\%$ und Elif so ihre Gewinnchance verfünffacht.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit, dass alle Freundinnen gewinnen
$\begin{array}[t]{rll} 0,5 \,\%^5&=& 0,005^5 & = 0,000000000003125 \\[5pt] \end{array}$
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