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Pflichtaufgaben

Aufgaben
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2.
Nach Angaben des Statistischen Amtes meldeten die Beherbergungsstätten des Landes Mecklenburg-Vorpommern $5,2$ Millionen Übernachtungen im Juli $2013$, im Juli $2014$ insgesamt $4,6$ Millionen Übernachtungen. Im gleichen Monat $2015$ waren es $400~00$ Übernachtungen mehr als im Juli $2014$.
2.1
Um wie viel Prozent stieg die Anzahl der Übernachtungen von Juli $2014$ auf Juli $2015$?
2.2
Stelle die Übernachtungszahlen für die drei Jahre in einem Säulendiagramm dar.
2.3
Ermittle, mit wie vielen Übernachtungen man im Juli des Jahres $2016$ rechnen konnte, wenn vom gleichen prozentuale Anstieg der Übernachtungszahlen von Juli $2014$ zu Juli $2015$ ausgegangen wurde.
2.4
Eine Pension hat $12$ Zweibettzimmer. Jedes Zimmer kostet mit Frühstück $75~€$. Nach einem Umbau stehen nur noch $10$ Zimmer zur Verfügung. Berechne den neuen Zimmerpreis, um bei voller Belegung die gleichen Einnahmen zu erzielen.
#prozent
3.
3.1
Gegeben ist die folgende Gleichung: $12-2(x+5)=x-28$
Überprüfe rechnerisch, ob $x=5$ Lösung der Gleichung ist.
3.2
Vermehrt man $12$ um das Dreifache einer gedachten Zahl, so erhält man das Fünffache dieser gedachten Zahl.
Stelle eine Gleichung auf und löse das Zahlentätsel rechnerisch.
3.3
In einem Rechteck ist die eine Seite um $2~\text{cm}$ länger als die andere. Der Umfang des Rechtecks beträgt $40~\text{cm}$.
3.3.1
Gebe an, welche der beiden folgenden Gleichungen diesen Sachverhalt darstellt.
$B:\qquad 2x+2=40$
$B:\qquad 2x+2=40$
3.3.2
Berechne die Länge der beiden Rechteckseiten.
#gleichung
4.
Gegeben ist ein Dreieck $ABC$ mit $a=12,6~\text{cm}$; $c=10,8~\text{cm}$ und $\alpha=75^{\circ}$.
4.1
Zeichne das Dreieck $ABC$.
4.2
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$.
4.3
Gebe die Seitenlänge für ein Flächengleiches Quadrat an.
#dreieck
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Lösungen
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2.
2.1
$\blacktriangleright$  Prozentualen Anstieg berechnen
Im Juli $2015$ gab es $400~000$ Übernachtungen mehr als in $2015$. Berechne den prozentualen Anteil der $400~000$ Übernachtungen von $4,6$ Millionen aus dem Vorjahr. Du kannst dies mithilfe eines Dreisatzes berechnen:
$:460$
$\begin{array}{rrcll} &4~600~000&\mathrel{\widehat{=}}&100~\%\\[5pt] &100~000&\mathrel{\widehat{=}}&2,1739 ~\%\\[5pt] &400~000&\mathrel{\widehat{=}}&8,70~\%& \end{array}$
$:460$
$\cdot 4$
$\cdot 4$
$\begin{array}{rrcll} &4~600~000&\mathrel{\widehat{=}}&100~\%\\[5pt] &400~000&\mathrel{\widehat{=}}&8,70~\% \end{array}$
Oder als Bruch:
$\dfrac{400~000}{4~600~000}\approx 0,0870=8,7~\%$
Die Anzahl der Übernachtungen ist um ca. $8,7~\%$ gestiegen.
2.2
$\blacktriangleright$  Übernachtungszahlen darstellen
Berechne zunächst die Übernachtungszahlen im Jahr $2015$:
$4~600~000+400~000=5~000~000=5~ \text{Millionen}$
$5~ \text{Millionen} $
Zeichne jetzt ein Balkendiagramm für die Jahre $2013$, $2014$ und $2015$:
Diagramm
Abb. 1: Balkendiagramm
Diagramm
Abb. 1: Balkendiagramm
2.3
$\blacktriangleright$  Übernachtungen in 2016 berechnen
Benutze deine Ergebnisse aus Aufgabenteil 2.1 und 2.2. Im Jahr $2016$ gibt es demnach $108,7~\%$ der Übernachtungen von $5$ Millionen aus dem Vorjahr. Also gilt für die Übernachtungen:
$5~\text{Millionen}\cdot 108,7~\%=5~\text{Millionen}\cdot 1,087=5,435~\text{Millionen}$
$ 5,435~\text{Millionen}$
Man könnte demnach mit ca. $5,4$ Millionen Übernachtungen rechnen.
2.4
$\blacktriangleright$  Zimmerpreis berechnen
Vor der Renovierung kannst du die Einnahmen der Pension berechnen:
$12\cdot 75~€=900~€$
Nach dem Umbau soll der Gewinn von $900~€$ beibehalten werden. Stelle eine Gleichung für den Zimmerpreis $x$ auf und löse diese:
$\begin{array}[t]{rll} 900~€&=&10\cdot x &\quad \scriptsize \mid\;:10 \\[5pt] 90~€&=&x \end{array}$
Der Zimmerpreis muss $90~€$ betragen, damit die Einnahmen gleich bleiben.
#dreisatz
3.
3.1
$\blacktriangleright$  Lösung überprüfen
Setze $x=5$ in die Gleichung ein. Falls die Gleichung aufgeht, ist $x=5$ eine Lösung, anderenfalls nicht.
$\begin{array}[t]{rll} 12-2(5+5)&=&5-28 \\[5pt] 12-2\cdot 10&=&-23 \\[5pt] 12-20&=&-23 \\[5pt] -8&=&-23 \quad \text{↯} \end{array}$
$x=5$ ist keine Lösung der Gleichung.
3.2
$\blacktriangleright$  Zahlenrätsel lösen
Das dreifache einer gedachten Zahl kannst du als $3\cdot x$ schreiben. Das Vermeren von $12$ um das dreifach der gesuchten Zahl kannst du achreiben als: $12+3x$.
Dies soll gleich dem Fünffachem der Zahl sein: $5\cdot x$.
Schreibe dies als Gleichung und löse diese:
$\begin{array}[t]{rll} 12+3x&=&5x &\quad \scriptsize \mid\;-3x \\[5pt] 12&=&2x &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] 6&=&x \end{array}$
Die gesuchte Zahl ist $6$.
3.3
3.3.1
$\blacktriangleright$  Gleichung angeben
Für den Flächeninhalt eines Rechteckes mit Seiten $x$ und $y$ gilt:
$40=2x+ 2y$
Da eine Seite um $2~\text{cm}$ länger ist, als die andere. Kannst du schreiben:
$y=x+2$
Setzt du dies in die Formel für den Umfang ein erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} 40&=&2x+2(x+2) \\[5pt] 40&=&2x+2x+4 \\[5pt] 40&=&4x+4 \end{array}$
Gleichung $A$ ist demnach die richtige Gleichung.
3.3.2
$\blacktriangleright$  Längen bestimmen
Löse die Gleichung, um die Seitenlängen zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} 40&=&4x+4 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] 36&=&4x &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] 9&=&x \end{array}$
Für die Seite $y$ gilt also:
$y=x+2=9+2=11$
Die Seiten des Rechtecks sind $9~\text{cm}$ und $11~\text{cm}$.
4.
4.1
$\blacktriangleright$  Dreieck zeichnen
Starte mit der Seite $c=10,8~\text{cm}$, die zwischen den Punkten $A$ und $B$ liegt. An den Punkt $A$ kannst duen den Winkel $\alpha$ auftragen und eine Linie zeichnen. Suche jetzt eine Verbindung zwischen Punkt $B$ un der gerade gezeichneten Linie, die genau $a=12,6~\text{cm}$ lang ist. Benenne zum Schluss den entstandenen Punkt $C$.
Skizze
Abb. 2: Dreieck $ABC$
Skizze
Abb. 2: Dreieck $ABC$
4.2
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Skizze
Abb. 3: Skizze des Dreiecks $ABC$ mit Höhe $h_b$
Skizze
Abb. 3: Skizze des Dreiecks $ABC$ mit Höhe $h_b$
$\begin{array}[t]{rll} (10,8~\text{cm})^2&=&(10,43~\text{cm})^2+b_1^2 &\quad \scriptsize \mid\; -(10,43~\text{cm})^2 \\[5pt] (10,8~\text{cm})^2-(10,43~\text{cm})^2&=&b_1^2&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{} \\[5pt] \sqrt{(10,8~\text{cm})^2-(10,43~\text{cm})^2}&=&b_1&\quad \scriptsize \\[5pt] 2,8~\text{cm}&\approx& b_1 \end{array}$
$ b_1\approx 2,8~\text{cm} $
Und für $b_2$:
$\begin{array}[t]{rll} (12,6~\text{cm})^2&=&(10,43~\text{cm})^2+b_2^2 &\quad \scriptsize \mid\; -(10,43~\text{cm})^2 \\[5pt] (12,6~\text{cm})^2-(10,43~\text{cm})^2&=&b_2^2&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{} \\[5pt] \sqrt{(12,6~\text{cm})^2-(~\text{cm}10,43)^2}&=&b_2&\quad \scriptsize \\[5pt] 7,07~\text{cm}&\approx& b_2 \end{array}$
$ b_2\approx 7,07~\text{cm} $
Jetzt kannst du den Flächeninhalt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot h_b &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot (2,8~\text{cm}+7,07~\text{cm})\cdot 10,43~\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&51,47~\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot h_b &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&51,47~\text{cm}^2 \end{array} $
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist $51,47~\text{cm}^2$.
4.3
$\blacktriangleright$  Seitenlängen angeben
Für ein Quadrat mit Flächeninhalt $A=51,47~\text{cm}^2$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 51,47~\text{cm}^2&=& a^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{} \\[5pt] \sqrt{51,47~\text{cm}^2}&=&a \\[5pt] 7,17~\text{cm}&\approx& a \end{array}$
Die Seitenlänge des Quadrates ist $a=7,17~\text{cm}$.
#flächeninhalt#satzdespythagoras#sinus
Bildnachweise [nach oben]
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