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Wahlaufgabe 3

Aufgaben
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3.1
Für ein Gesellschaftsspiel werden fünfseitige Spielwürfel verwendet. Auf den Seitenflächen dieser Würfel befinden sich folgende Symbole: Sonne, Kleeblatt, Wolke, Glücksschwein und Blume. Die Wahrscheinlichkeiten für das Würfeln dieser Symbole sind unterschiedlich groß.
3.1.1
Während eines Spiels wurde $500$ mal mit folgenden Ergebnissen gewürfelt.
SymbolSonneKleeblattWolkeGlücksschweinBlume
Anzahl$ 62$$67 $$ 248$$64 $$x $
SymbolAnzahl
Sonne$ 62$
Kleebllatt$67 $
Wolke$248 $
Glücksschwein$64 $
Blume$x $
Bestimme jeweils die relative Häufigkeit für das Würfeln der $5$ Symbole. Gebe diese in Prozent mit einer Dezimalstelle an.
3.1.2
Die Hersteller dieses Spiels geben an, dass zur Erhöhung der Spannung die Bauweise des Spielwürfels so gewählt wurde, dass die Wahrscheinlichkeit für das Würfeln der Wolke $50~\%$ beträgt. Die Wahrscheinlichkeiten ein anderes Symbol zu würfeln sind gleichgroß.
3.1.2.1
Ermittle die Wahrscheinlichkeit für das Würfeln eines Kleeblatts.
3.1.2.2
Zu den Regeln des Speils gehört es, dass an zunächst zweimal hintereinander würfelt. Erhält man hierbei keine Wolke, aber mindestens einmal das Glücksschwein, so darf man ein drittes Mal würfeln.
  • Ermittle alle Varianten, dass ein drittes Mal gewürfelt werden darf.
  • Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit für jede Variante $\dfrac{1}{64}$ beträgt.
  • Berechne de Wahrscheinlichkeit, dass ein drittes Mal gewürfelt werden darf.
#prozent#würfel#wahrscheinlichkeit
Boxplot
Abb. 1: Boxplot
Boxplot
Abb. 1: Boxplot
#boxplot
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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3.1
3.1.1
$\blacktriangleright$  Relative Häufigkeit angeben
Es wurden insgesamt $500$ Mal gewürfelt, davon waren $62$ Sonnen. Den Anteil für Sonnen kannst du also angeben als:
$P(\text{Sonne})=\dfrac{62}{500}=0,124=12,4~\%$
$ P(\text{Sonne})=12,4~\% $
Gehe genauso für die verbleibenden Symbole vor:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Kleeblatt})&=&\dfrac{67}{500}=0,134=13,4~\% \\[5pt] P(\text{Wolke})&=&\dfrac{248}{500}=0,496=49,6~\% \\[5pt] P(\text{Glücksschwein})&=&\dfrac{64}{500}=0,128=12,8~\% \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} P(\text{Klee})&=&13,4~\% \\[5pt] P(\text{Wolke})&=&49,6~\% \\[5pt] P(\text{Schwein})&=&12,8~\% \end{array}$
Für die Blume musst du zunächst berechnen, wie oft diese gewürfelt wurde:
$500-62-67-248-64=59$
Damit kannst du die Wahrschienlichkeit für die Blume berechnen:
$P(\text{Blume})=\dfrac{59}{500}=0,118=11,8~\%$
$ P(\text{Blume})=11,8~\% $
3.1.2
3.1.2.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für ein Kleeblatt ermitteln
Da das Würfeln einer Wolke die Wahrscheinlichkeit von $50~\%$ hat und alle anderen Symbole gleich wahrscheinlich sind, müssen sich die anderen $50~\%$ auf die restlichen $4$ Symbole aufteilen. Für die $4$ anderen Symbole, wie dem Kleeblatt, gilt also:
$P(\text{Kleeblatt})=\dfrac{50~\%}{4}=12,5~\%$
3.1.2.2
$\blacktriangleright$  Varianten ermittleln
Schreibe alle Varianten auf, bei denen keine Wolke aber mindestens ein Glücksschwein vorkommt:
  • Glücksschwein, dann Sonne
  • Sonne, dann Glücksschwein
  • Glücksschwein, dann Kleeblatt
  • Kleeblatt, dann Glücksschwein
  • Glücksschwein, dann Glücksschwein
  • Glücksschwein, dann Blume
  • Blume, dann Glücksschwein
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit begründen
Jedes des Symbole (Sonne, Kleeblatt, Glücksschwein und Blume) hat eine Wahrscheinlichkeit von $12,5~\%=\dfrac{1}{8}$. Mit der Pfadmultiplikationsregel gilt für die Wahrscheinlichkeit einer Variante:
$P(\text{Variante})=\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{64}$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Da jede der $7$ Variante eine Wahrscheinlichkeit von $P=\dfrac{1}{64}$ hat, kannst du die Gesamtwahrscheinlichkeit aller Varianten mit der Pfadadditionsregel berechnen:
$P(\text{drittes Mal würfeln})=7\cdot \dfrac{1}{64}\approx 0,110 =11~\%$
$ P(\text{drittes Mal würfeln})\approx 11~\%$
#pfadregeln
3.2
3.2.1
$\blacktriangleright$  Zentralwert, Sannweite und Quartile bestimmen
Du kannst den Zentralwert im Diagramm ablesen als $30~€$.
Für das untere Quartil kannst du $25~€$ und für das obere $50~€$ ablesen.
Für die Spannweite gilt $Maximum-Minimum$. Auch diese Werte kannst du ablesen und erhältst für die Spannweite:
$80~€-15~€=65~€$
3.2.2
$\blacktriangleright$  Stellung nehemen
Da $30~€$ gerade dem Zentralwert entsprechen, bekommen $50~\%$ der Schüler weniger und $50~\%$ der Schüler mehr Tashcengeld als $30~€$. Die Aussage, dass die meisten schüler mehr als $30~€$ im Monat bekommen ist demnach falsch.
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