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Wahlteil A2

Aufgaben
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2.
Ein Magier möchte für seine Show einen neuen Zaubertrick entwickeln. Dazu wird ein Kasten in Form eines quadratischen Pyramidenstumpfes benötigt.
In einem kartesischen Koordinatensystem haben die Eckpunkte des Pyramidenstumpfes folgende Koordinaten
$A\ (\ 0\ |\ 0\ |\ 0)$, $B\ (\ 80\ |\ 0\ |\ 0)$, $C\ (\ 80\ |\ 80\ |\ 0)$, $D\ (\ 0\ |\ 80\ |\ 0)$, $E\ (\ 10\ |\ 10\ |\ 140)$,
$F\ (\ 70\ |\ 10\ |\ 140)$, $G\ (\ 70\ |\ 70\ |\ 140)$ und $H\ (\ 10\ |\ 70\ |\ 140)$.$\quad$ ($\text{1 LE}$ = $1cm$)
2.1
Stelle den Pyramidenstumpf in einem geeigneten Koordinatensystem grafisch dar.
2.2
Ermittle eine Koordinatengleichung der Ebene, welche die Punkte $C$, $D$ und $G$ enthält.
Zeige, dass der Punkt H in dieser Ebene liegt.
Bestimme die Größe des Winkels zwischen der Grundfläche $ABCD$ und der Seitenfläche $CDHG$.
2.3
Prüfe, ob die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte von Grund- und Deckfläche als Höhe des Pyramidenstumpfes angesehen werden kann.
2.4
Eine Seitenfläche des Pyramidenstumpfes soll mit Blattsilber belegt werden. Blattsilber wird in Packungen zu je 25 Blatt der Größe 95 mm $\times$ 95 mm angeboten.
Berechne die Kosten, wenn eine Packung $20,15\, €$ kostet, nur ganze Packungen verkauft werden und kein Verschnitt entsteht.
2.5
Während der Show platziert der Magier eine Person so im Kasten, dass der Kopf aus einer kreisrunden Öffnung der Deckfläche herausschaut. Dann sticht der Magier mehrere Degen durch vorbereitete Öffnungen in den Seitenflächen des Kastens.
Einer dieser Degen durchsticht die Seitenfläche $ABFE$ im Punkt $R\ (\ 30\ |\ 5\ |\ 70)$, verläuft geradlinig in Richtung des Vektors $\quad$$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{r} 5\\ 17\\ 7\\ \end{array}\right)$ und trifft die Seitenfläche $CDHG$ im Punkt $S$.
Berechne die Koordinaten des Punktes $S$ sowie die Größe des Winkels zwischen Degen und Seitenfläche $CDHG$.
Der Magier möchte einen Sportdegen mit einer Klingenlänge von 90 cm verwenden.
Prüfe rechnerisch, ob nach dem Durchstoßen des Kastens von $R$ zu $S$ noch mindestens $10\, \text{cm}$ der Klinge von außen zu sehen sind.
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Tipps
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2.1
$\blacktriangleright$  Pyramidenstumpf grafisch darstellen
Du hast die Punkte $A-H$ gegeben und sollst sie in einem Koordinatensystem zu einem quadratischen Pyramidenstumpf verbinden. Trage dazu die gegebenen Punkte in ein kartesisches Koordinatensystem ein.
2.2
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung der Ebene ermitteln
Es soll eine Koordinatengleichung der Ebenen ermittelt werden, die die Punkte $C$, $D$ und $G$ enthält.
Eine Ebene im dreidimensionalen Raum kann durch eine lineare Gleichung beschrieben werden. Für eine solche Ebenengleichung in Koordinatenform werden vier Parameter benötigt:
$E: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d $
$E: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 $=$ d $
Hierbei versteht man unter
  • $n_1,\;n_2,\;n_3$ die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene $E$,
  • $d$ einen Parameter, der mit Hilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten eines Punktes aus der Ebene ermittelt werden kann.
Du hast anstelle des Normalenvektors $\overrightarrow{n}$ drei Punkte $C$, $D$ und $G$ gegeben. Nun musst du mit Hilfe dieser Punkte die Spannvektoren $\overrightarrow{CD}$ und $\overrightarrow{CG}$ der Ebene bestimmen und anschließend einen Normalenvektor aufstellen. Den Parameter $d$ bestimmst du, indem du den Normalenvektor und die Koordinaten eines Punktes in die Ebenengleichung einsetzt. Zur Ermittlung des Normalenvektors berechnest du das Kreuzprodukt.
$\blacktriangleright$  Größe des Winkels bestimmen
Den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen zwei Ebenen $E:\vec{x}$ und $F:\vec{x}$ kannst du mit der Cosinus- Formel berechnen:
$\cos\alpha= \dfrac{\left|\vec{n_E}\cdot\vec{n_F}\right|}{\left|\vec{n_E}\right|\cdot\left|\vec{n_F}\right|}$
$\cos\alpha= \dfrac{\left|\vec{n_E}\cdot\vec{n_F}\right|}{\left|\vec{n_E}\right|\cdot\left|\vec{n_F}\right|}$
Du brauchst jeweils einen Normalvektor der Ebenen. Einen Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}= \pmatrix{0 \\ 14 \\ 1}$ hast du bereits bestimmt. Einen Normalenvektor der zweiten Ebene $F$, die durch Die Punkte $A,B,C$ und $D$ beschrieben wird, musst du zunächst berechnen.
2.3
$\blacktriangleright$  Verbindungsstrecke der Mittelpunkte als Höhe überprüfen
Du sollst überprüfen, ob die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte von Grund- und Deckfläche als Höhe angesehen werden kann. Dazu musst du in mehreren Schritten vorgehen.
1. Schritt: Koordinaten der Mittelpunkte beider Flächen bestimmen.
2. Schritt: Verbindungsvektor der Mittelpunkte aufstellen.
3. Schritt: Überprüfen, ob der Verbindungsvektor der Punkte parallel zum Normalenvektor der Grund- und Deckflächen steht.
Wenn dies zutrifft, hast du gezeigt, dass die Verbindungslinie als Höhe angesehen werden kann.
2.4
$\blacktriangleright$  Kosten für Blattsilber berechnen:
Die Kosten für Blattsilber sollen berechnet werden, wenn du davon ausgehst, dass kein Verschnitt entsteht. Berechne dazu zuerst den Flächeninhalt einer Seitenfläche, zum Beispiel $CDHG$:
Um den Flächeninhalt zu berechnen, musst du die Fläche unterteilen in ein Viereck, dass von den Seiten $\overrightarrow{GH}$ und $\overrightarrow{GC}$ eingeschlossen wird und in ein Dreieck. Das Dreieck bestimmst du, indem du die Länge der Strecke $\overrightarrow{GH}$ von der Länge der Strecke $\overrightarrow{CD}$ abziehst, somit erhältst du die Strecke $\overrightarrow{SD}$. Du kannst dann das Dreieck, das als Grundseite die Strecke $\overrightarrow{SD}$ hat und als Höhe die Strecke $\overrightarrow{CD}$, berechnen.
Wahlteil A2
Abb. 1: Seitenfläche
Wahlteil A2
Abb. 1: Seitenfläche
2.5
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes S bestimmen
Du sollst berechnen, in welchem Punkt der Degen die Seitenffläche $CDHG$ schneidet. Du hast den Einstichspunkt R$(30\;|\;5\;|\;70)$ als Stützvektor gegeben und die Richung in die der Degen eingestochen wird als Richtungsvektor. Du kannst mit diesen Bedingungen eine Geradengleichung aufstellen.
Wenn du diese Gerade mit der Ebenen, die die Punkte $CDHG$ enthält, schneidest, erhältst du den Schnittpunkt $S$. Du hast im Aufgabenteil $2.2$ bereits die Ebenengleichung für diese Seitenfläche aufgestellt: $E: 14\cdot x_2 + 1\cdot x_3 $=$ 1.120 $. Bestimme nun den Schnittpunkt von Gerade und Ebene.
Der Schnittpunkt einer Gerade mit einer Ebene, kannst du bestimmen, indem du die Koordinaten des allgemeinen Geradenpunkts in die Ebenengleichung einsetzt.
$\blacktriangleright$  Winkel zwischen Seitenfläche CDHG und Degen berechnen
Den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen der Ebene $E$ und der Geraden $g$ kannst du mit der Sinus-Formel berechnen:
$\sin\alpha= \dfrac{\left|\vec{n}\cdot\vec{v}\right|}{\left|\vec{n}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|}$
$\sin\alpha= \dfrac{\left|\vec{n}\cdot\vec{v}\right|}{\left|\vec{n}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|}$
Bei dem Vektor $\vec{n}$ handelt es sich um den Normalvektor der gegeben Ebene, den du ablesen kannst: $\vec{n}=\pmatrix{0 \\ 14 \\ 1}$ und bei $\vec{v}$ um den Richtungsvektor der Geraden, der gegeben ist mit $\vec{v}$=$\pmatrix{5 \\ 17 \\ 7}$.
$\blacktriangleright$  Länge des von außen zu sehenden Degens berechnen
Es ist gefragt, ob mindestens $10\,\text{cm}$ eines $90\;\text{cm}$ Degens außerhalb des Kastens zu sehen sind. Dazu berechnest du den Abstand zwischen den Punkten $R$ und $S$, denn $R$ stellt den Einstichspunkt dar, $S$ den Punkt an dem der Degen den Kasten wieder verlässt. Wenn diese Strecke kleiner oder gleich $80\;\text{cm}$ ist, schaut der Degen noch mindestens $10\;\text{cm}$ raus.
Berechne also zuerst den Vektor $\overrightarrow{RS}$.
Um nun den Abstand der Punkte zu bestimmen, kannst du den Betrag bilden.
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen TI
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2.1
$\blacktriangleright$  Pyramidenstumpf grafisch darstellen
Du hast die Punkte $A-H$ gegeben und sollst sie in einem Koordinatensystem zu einem quadratischen Pyramidenstumpf verbinden. Trage dazu die gegebenen Punkte in ein kartesisches Koordinatensystem ein. Du erhältst folgende Abbildung:
Wahlteil A2
Abb. 1: quadratischer Pyramidenstumpf
Wahlteil A2
Abb. 1: quadratischer Pyramidenstumpf
2.2
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung der Ebene ermitteln
Es soll eine Koordinatengleichung der Ebenen ermittelt werden, die die Punkte $C$, $D$ und $G$ enthält.
Eine Ebene im dreidimensionalen Raum kann durch eine lineare Gleichung beschrieben werden. Für eine solche Ebenengleichung in Koordinatenform werden vier Parameter benötigt:
$E: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d $
$E: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 $=$ d $
Hierbei versteht man unter
  • $n_1,\;n_2,\;n_3$ die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene $E$,
  • $d$ einen Parameter, der mit Hilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten eines Punktes aus der Ebene ermittelt werden kann.
Du hast anstelle des Normalenvektors $\overrightarrow{n}$ drei Punkte $C$, $D$ und $G$ gegeben. Nun musst du mit Hilfe dieser Punkte die Spannvektoren $\overrightarrow{CD}$ und $\overrightarrow{CG}$ der Ebene bestimmen und anschließend einen Normalenvektor aufstellen. Den Parameter $d$ bestimmst du, indem du den Normalenvektor und die Koordinaten eines Punkts in die Ebenengleichung einsetzt. Zur Ermittlung des Normalenvektors berechnest du das Kreuzprodukt.
1. Schritt: Spannvektoren berechnen:
$\overrightarrow{CD}=\pmatrix{0 \\ 80 \\ 0}-\pmatrix{80 \\ 80 \\ 0}=\pmatrix{-80 \\ 0 \\ 0}$
$\overrightarrow{CG}=\pmatrix{70 \\ 70 \\ 140}-\pmatrix{80 \\ 80 \\ 0}=\pmatrix{-10 \\ -10 \\ 140}$
$\overrightarrow{CD}=\pmatrix{-80 \\ 0 \\ 0}$
$\overrightarrow{CG}=\pmatrix{-10 \\ -10 \\ 140}$
2. Schritt: Normalenvektor bestimmen:
Um den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ zu bestimmen, kannst du das Kreuzprodukt der Spannvektoren berechnen:
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Rechnerische Lösung
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2 \cdot b_3-a_3 \cdot b_2\\a_3 \cdot b_1-a_1 \cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-a_2 \cdot b_1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \times …$
$\begin{pmatrix}-80\\0\\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}(-10)\\(-10)\\140 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \cdot 140-0 \cdot (-10)\\0 \cdot (-10)-(-80) \cdot 140\\(-80) \cdot (-10)-0 \cdot (-10) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0 \\11.200\\800 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0 \\14\\1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}-80\\0\\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}(-10)\\(-10)\\140 \end{pmatrix}= …$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Lösung mit CAS
Du kannst das Kreuzprodukt auch mit dem CAS berechnen. Dazu benutzt du den crossP-Befehl und setzt die beiden Vektoren ein.
Wahlteil A2
Abb. 2: Kreuzprodukt
Wahlteil A2
Abb. 2: Kreuzprodukt
Wenn du das Ergebnis kürzt, erhältst du den Normalenvektor $n=\begin{pmatrix}0 \\14\\1 \end{pmatrix}$.
3. Schritt: Parameter d bestimmen:
Um den Parameter $d$ zu bestimmen, setzt du den Normalenvektor und die Koordinaten eines bekannten Punkts, zum Beispiel $D$, in die allgemeine Ebenengleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} d&=& n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3&\quad \scriptsize \\[5pt] d&=& 0\cdot 0 + 14\cdot 80 + 1\cdot 0&\quad \scriptsize \\[5pt] d&=& 1.120&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} d&=& 1.120&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Wenn du den berechneten Parameter $d$ und den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ in die Ebenengleichung einsetzt, erhältst du die gesuchte Koordinatengleichung:
$E: 14\cdot x_2 + 1\cdot x_3 \;=\; 1.120 $
$\blacktriangleright$  Überprüfen, ob Punkt H in der Ebene enthalten ist
Du sollst überprüfen, ob der Punkt $H$ in der Ebene enthalten ist. Setze dazu die Koordinaten des Punktes $H$ in die Ebenengleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} E: 14\cdot x_2 + 1\cdot x_3 &=& 1.120 \\[5pt] 14\cdot 70 + 1\cdot 140&=& 1.120 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} E: …&=& 1.120 \end{array}$
Du hast gezeigt, dass die Gleichung erfüllt ist und somit, dass $H$ in der Ebene liegt.
$\blacktriangleright$  Größe des Winkels bestimmen
Den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen zwei Ebenen $E:\vec{x}$ und $F:\vec{x}$ kannst du mit der Cosinus- Formel berechnen:
$\cos\alpha= \dfrac{\left|\vec{n_E}\cdot\vec{n_F}\right|}{\left|\vec{n_E}\right|\cdot\left|\vec{n_F}\right|}$
$\cos\alpha= \dfrac{\left|\vec{n_E}\cdot\vec{n_F}\right|}{\left|\vec{n_E}\right|\cdot\left|\vec{n_F}\right|}$
Du brauchst jeweils einen Normalvektor der Ebenen. Einen Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}= \pmatrix{0 \\ 14 \\ 1}$ hast du bereits bestimmt. Einen Normalenvektor der zweiten Ebene $F$, die durch Die Punkte $A,B,C$ und $D$ beschrieben wird, musst du zunächst berechnen.
1. Schritt: Normalenvektor bestimmen:
Wenn du dir die Koordinaten der gegebenen Punkte anschaust, sollte dir auffallen, dass die $z$-Koordinate überall Null ist, also ist $F$ die $x$-$y$-Ebene. Diese hat folgende Ebenengleichung:
$F: z $=$ 0 $
Den Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}=$ $\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}$ kannst du direkt ablesen.
2. Schritt: Winkel berechnen:
Wenn du die Normalvektoren bestimmt hast, kannst du den Schnittwinkel durch Einsetzen in die obere Formel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \cos\alpha&=&\dfrac{\left|\vec{n_E}\cdot\vec{n_F}\right|}{\left|\vec{n_E}\right|\cdot\left|\vec{n_F}\right|} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos\alpha&=&\dfrac{\left|\pmatrix{0 \\ 14 \\ 1}\cdot\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}\right|}{\left|\pmatrix{0 \\ 14 \\ 1}\right|\cdot\left|\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}\right|} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos\alpha&=&\dfrac{1}{\sqrt{0^2+14^2+1^2}\cdot\sqrt{0^2+0^2+1^2}}&\quad \scriptsize \ \\[5pt] \cos\alpha&=&\dfrac{1}{\sqrt{196+1}\cdot\sqrt{1}}&\quad \scriptsize \ \\[5pt] \cos\alpha&=&\dfrac{1}{\sqrt{197}}&\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha&\approx& 85,91°&\quad \scriptsize \ \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha \approx 85,91° $
Der Winkel zwischen den Ebenen $E$ und $F$ ist also ca. $86°$ groß.
2.3
$\blacktriangleright$  Verbindungsstrecke der Mittelpunkte als Höhe überprüfen
Du sollst überprüfen, ob die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte von Grund- und Deckfläche als Höhe angesehen werden kann. Dazu musst du in mehreren Schritten vorgehen.
1. Schritt: Koordinaten der Mittelpunkte beider Flächen bestimmen.
2. Schritt: Verbindungsvektor der Mittelpunkte aufstellen.
3. Schritt: Überprüfen, ob der Verbindungsvektor der Punkte parallel zum Normalenvektor der Grund- und Deckflächen steht.
Wenn dies zutrifft, hast du gezeigt, dass die Verbindungslinie als Höhe angesehen werden kann.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Rechnerische Lösung
Bestimmung der Koordinaten des Mittelpunkts der Grundfläche:
Du weißt, dass es sich bei der Grund- und Deckfläche um Quadrate handelt. Deswegen kannst du die Formel zur Berechnung des Mittelpunkts einer Diagonalen verwenden.
$\overrightarrow{0M}=\frac{1}{2}\cdot(\overrightarrow{0A}+\overrightarrow{0C})$
$\overrightarrow{0M}=\frac{1}{2}\cdot(\overrightarrow{0A}+\overrightarrow{0C})$
Wähle dazu zwei Eckpunkte des Quadrats, zum Beispiel $A$ und $C$.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{0M}&=&\frac{1}{2}\cdot\left(\pmatrix{0 \\ 0 \\ 0}+\pmatrix{80 \\ 80 \\ 0}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{0M}&=&\pmatrix{40 \\ 40 \\ 0} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{0M}&=&\pmatrix{40 \\ 40 \\ 0} \end{array}$
Du erhältst als Mittelpunkt der Grundfläche $M_G= (40\;|\; 40\;|\; 0)$.
Bei der Deckfläche kannst du nach dem gleichen Prinzip vorgehen.
Bestimmung des Mittelpunkts der Deckfläche:
$\overrightarrow{0M}=\frac{1}{2}\cdot(\overrightarrow{0E}+\overrightarrow{0G})$
$\overrightarrow{0M}=\frac{1}{2}\cdot(\overrightarrow{0E}+\overrightarrow{0G})$
Du kannst als Eckpunkte zum Beispiel $E$ und $G$ auswählen.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{0M}&=&\frac{1}{2}\cdot\left(\pmatrix{10 \\ 10 \\ 140}+\pmatrix{70 \\ 70 \\ 140}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{0M}&=&\pmatrix{40 \\ 40 \\ 140} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{0M}&=&\pmatrix{40 \\ 40 \\ 140} \end{array}$
Der Mittelpunkt der Deckfläche ist $M_D$=$(40\;|\; 40 \;|\; 140)$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Lösen durch Ablesen
Du kannst alternativ den Mittelpunkt der Grund- und Deeckfläche auch direkt an den gegebenen Koordinaten ablesen, denn es handelt sich um einen quadratischen Pyramidenstumpf. Du erhältst dann durch Ablesen auf die Mittelpunkte $M_G$ $(40\;|\; 40\;|\; 0)$ und $M_D$=$(40\;|\; 40 \;|\; 140)$.
2. Verbindungsstrecke der Mittelpunkte aufstellen:
Du hast bereits die beiden Mittelpunkte $M_G$ und $M_D$ berechnet. Du kannst nun einen Verbindungsvektor der beiden Punkte aufstellen.
$\overrightarrow{M_DM_G}= \pmatrix{40-40 \\ 40-40 \\ 0-140}$
$\overrightarrow{M_DM_G}= \pmatrix{0 \\ 0 \\ -140}$
3. Orthogonalität von Ebene und Gerade überprüfen:
Die Grundfläche liegt in der $x-y$-Ebene und hat somit als Ebenengleichung $F$:$z=0$. Die Deckfläche ist um $140 \;LE$ nach oben verschoben. Somit ist die Ebenengleichung $D$:$z=140$
Du kannst die Normalenvektoren der Ebenengleichungen ablesen. Für beide gilt $n$=$\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}$. Der Normalenvektor steht immer senkrecht zur Ebenen. Wenn also der Verbindungsvektor der Mittelpunkte ein Vielfaches des Normalenvekors ist, stehen Verbindungsvektor und Ebene senkrecht. Dies kannst du direkt durch Ablesen erkennen. Die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte entspricht also der Höhe.
2.4
$\blacktriangleright$  Kosten für Blattsilber berechnen:
Die Kosten für Blattsilber sollen berechnet werden, wenn du davon ausgehst, dass kein Verschnitt entsteht. Berechne dazu zuerst den Flächeninhalt einer Seitenfläche, zum Beispiel $CDHG.$
1. Schritt: Flächeninhalt einer Seitenfläche berechnen
Um den Flächeninhalt zu berechnen, kannst du die Fläche in zwei Dreiecke unterteilen.
Der Flächeninhalt eines Dreiecks, das von zwei Vektoren aufgespannt wird, kann mithilfe des Kreusprodukts berechnet werden:
$A_{ABC} = \frac{1}{2}\cdot \left| \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \right|$
$A_{ABC} = \frac{1}{2}\cdot \left| \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \right|$
Verwende beispielsweise die beiden Dreiecke $CHG$ und $CDH.$ Anhand der Koordinaten der Eckpunkte kannst du die benötigten Verbindungsvektoren bilden.
$\begin{array}[t]{rll} A_{CHG}&=&\frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{CH}\times \overrightarrow{CG} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{-70\\-10\\140}\times \pmatrix{-10\\-10\\140} \right|&\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &=& 4.210,70\, \text{[FE]} \\[10pt] A_{CDH}&=&\frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{CD}\times \overrightarrow{CH} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{-80\\0\\0}\times \pmatrix{-70\\-10\\140} \right|&\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &=& 5.614,27\, \text{[FE]} \\[10pt] \end{array}$
Der Gesamtflächeninhalt der Seitenfläche ergibt sich dann zu:
$4.210,70\, \text{[FE]} + 5.614,27\, \text{[FE]} \approx 9.825\,\text{FE} = 9.825\,\text{cm}^2$
2. Schritt: Flächeninhalt einer Packung Blattsilber berechnen
Ein Blatt der Packung ist quadratisch und hat die Seitenlänge $95\,\text{mm}= 9,5\,\text{cm}.$ Der Flächeninhalt eines Blattes ist also:
$9,5\,\text{cm}\cdot 9,5\,\text{cm} = 90,25\,\text{cm}^2$
Eine Packung Blattsilber enthält demnach:
$25\cdot 90,25\,\text{cm}^2 = 2.256,25\,\text{cm}^2$
3. Schritt: Benötigte Anzahl Packungen berechnen
In einer Packung Blattsilber sind $2.256,25\,\text{cm}^2$ enthalten. Es werden $9.825\,\text{cm}^2$ Blattsilber benötigt.
$9.825\,\text{cm}^2 : 2.256,25\,\text{cm}^2 \approx 4,35 $
Es werden also fünf Packungen Blattsilber benötigt. Jede Packung kostet $20,15\,€.$
$5\cdot 20,15\,€ = 100,75\,€$
Für die Verkleidung einer Seitenfläche mit Blattsilber entstehen Kosten in Höhe von $100,75\,€.$
2.5
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes S bestimmen
Du sollst berechnen, in welchem Punkt der Degen die Seitenffläche $CDHG$ schneidet. Du hast den Einstichspunkt R$(30\;|\;5\;|\;70)$ als Stützvektor gegeben und die Richung in die der Degen eingestochen wird als Richtungsvektor. Du kannst mit diesen Bedingungen eine Geradengleichung aufstellen:
$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{30 \\ 5 \\ 70}+r\cdot\pmatrix{5 \\ 17 \\ 7}$
Wenn du diese Gerade mit der Ebenen, die die Punkte $CDHG$ enthält, schneidest, erhältst du den Schnittpunkt $S$. Du hast im Aufgabenteil $2.2$ bereits die Ebenengleichung für diese Seitenfläche aufgestellt: $E: 14\cdot x_2 + 1\cdot x_3 $=$ 1.120 $. Bestimme nun den Schnittpunkt von Gerade und Ebene.
Der Schnittpunkt einer Gerade mit einer Ebene, kannst du bestimmen, indem du die Koordinaten des allgemeinen Geradenpunkts in die Ebenengleichung einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} 14\cdot (5+ 17r) + 1\cdot (70+7r)&=& 1.120 &\quad \scriptsize \\[5pt] 70+238r+70+7r&=&1.120&\quad \scriptsize \mid\;-70 \mid\;-70\\[5pt] 245r&=&980&\quad \scriptsize \mid\;:245\\[5pt] r&=&\frac{980}{245}&\quad \scriptsize \\[5pt] r&=&4&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$r=4$
Wenn du nun das erhaltene $r$ in die Geradengleichung einsetzt, erhältst du den Schnittpunkt:
$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{30 \\ 5 \\ 70}+4\cdot\pmatrix{5 \\ 17 \\ 7}\;\;\;$ $S=(50 \;|\; 73 \;|\; 98)$
Der Degen schneidet die Seitenfläche $CDHG$ im Schnittpunkt $S=(50 \;|\; 73 \;|\; 98)$.
$\blacktriangleright$  Winkel zwischen Seitenfläche CDHG und Degen berechnen
Den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen der Ebene $E$ und der Geraden $g$ kannst du mit der Sinus-Formel berechnen:
$\sin\alpha= \dfrac{\left|\vec{n}\cdot\vec{v}\right|}{\left|\vec{n}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|}$
$\sin\alpha= \dfrac{\left|\vec{n}\cdot\vec{v}\right|}{\left|\vec{n}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|}$
Bei dem Vektor $\vec{n}$ handelt es sich um den Normalvektor der gegeben Ebene, den du ablesen kannst: $\vec{n}=\pmatrix{0 \\ 14 \\ 1}$ und bei $\vec{v}$ um den Richtungsvektor der Geraden, der gegeben ist mit $\vec{v}$=$\pmatrix{5 \\ 17 \\ 7}$.
Setzte $\vec{v}$ und $\vec{n}$ nun in die gegebene Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} \sin\alpha&=&\dfrac{\left|\vec{n}\cdot\vec{v}\right|}{\left|\vec{n}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|} &\quad \scriptsize \\[5pt] \sin\alpha&=&\dfrac{\left|\pmatrix{0 \\ 14 \\ 1}\cdot\pmatrix{5 \\ 17 \\ 7}\right|}{\left|\pmatrix{0 \\ 14 \\ 1}\right|\cdot\left|\pmatrix{5 \\ 17 \\ 7}\right|} &\quad \scriptsize \\[5pt] \sin\alpha&=&\frac{|238+7|}{\sqrt{0^2+14^2+1^2}\cdot\sqrt{5^2+17^2+7^2}}&\quad \scriptsize \\[5pt] \sin\alpha&=&\frac{|45|}{\sqrt{197}\cdot\sqrt{363}}&\quad \scriptsize \\[5pt] \sin\alpha&\approx&0,92&\quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx&66,35°&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\alpha \approx 66,35°$
Der Winkel zwischen dem Degen und der Seitenfläche beträgt also ca. $66,35°$.
$\blacktriangleright$  Länge des von außen zu sehenden Degens berechnen
Es ist gefragt, ob mindestens $10\,\text{cm}$ eines $90\;\text{cm}$ Degens außerhalb des Kastens zu sehen sind. Dazu berechnest du den Abstand zwischen den Punkten $R$ und $S$, denn $R$ stellt den Einstichspunkt dar, $S$ den Punkt an dem der Degen den Kasten wieder verlässt. Wenn diese Strecke kleiner oder gleich $80\;\text{cm}$ ist, schaut der Degen noch mindestens $10\;\text{cm}$ raus.
Berechne also zuerst den Vektor $\overrightarrow{RS}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{RS}&=& \pmatrix{50 \\ 73 \\ 98}-\pmatrix{30 \\ 5 \\ 70} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{RS}&=&\pmatrix{20 \\ 68 \\ 28}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Um nun den Abstand der Punkte zu bestimmen, kannst du den Betrag bilden:
$\overrightarrow{|RS|}$$=\sqrt{20^2+68^2+28^2}$$\approx76,21$
Du hast in der Aufgabenstellung gegeben, dass eine Längeneinheit einem Zentimeter entspricht. Der Abstand der Punkte $R$ und $S$ beträgt also ca. $76\;\text{cm}$. Da der Degen $90\;\text{cm}$ lang ist, kannst du noch mehr als $10\;\text{cm}$ außerhalb des Kastens sehen.
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2.1
$\blacktriangleright$  Pyramidenstumpf grafisch darstellen
Du hast die Punkte $A-H$ gegeben und sollst sie in einem Koordinatensystem zu einem quadratischen Pyramidenstumpf verbinden. Trage dazu die gegebenen Punkte in ein kartesisches Koordinatensystem ein. Du erhältst folgende Abbildung:
Wahlteil A2
Abb. 1: quadratischer Pyramidenstumpf
Wahlteil A2
Abb. 1: quadratischer Pyramidenstumpf
2.2
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung der Ebene ermitteln
Es soll eine Koordinatengleichung der Ebenen ermittelt werden, die die Punkte $C$, $D$ und $G$ enthält.
Eine Ebene im dreidimensionalen Raum kann durch eine lineare Gleichung beschrieben werden. Für eine solche Ebenengleichung in Koordinatenform werden vier Parameter benötigt:
$E: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d $
$E: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 $=$ d $
Hierbei versteht man unter
  • $n_1,\;n_2,\;n_3$ die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene $E$,
  • $d$ einen Parameter, der mit Hilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten eines Punktes aus der Ebene ermittelt werden kann.
Du hast anstelle des Normalenvektors $\overrightarrow{n}$ drei Punkte $C$, $D$ und $G$ gegeben. Nun musst du mit Hilfe dieser Punkte die Spannvektoren $\overrightarrow{CD}$ und $\overrightarrow{CG}$ der Ebene bestimmen und anschließend einen Normalenvektor aufstellen. Den Parameter $d$ bestimmst du, indem du den Normalenvektor und die Koordinaten eines Punkts in die Ebenengleichung einsetzt. Zur Ermittlung des Normalenvektors berechnest du das Kreuzprodukt.
1. Schritt: Spannvektoren berechnen:
$\overrightarrow{CD}=\pmatrix{0 \\ 80 \\ 0}-\pmatrix{80 \\ 80 \\ 0}=\pmatrix{-80 \\ 0 \\ 0}$
$\overrightarrow{CG}=\pmatrix{70 \\ 70 \\ 140}-\pmatrix{80 \\ 80 \\ 0}=\pmatrix{-10 \\ -10 \\ 140}$
$\overrightarrow{CD}=\pmatrix{-80 \\ 0 \\ 0}$
$\overrightarrow{CG}=\pmatrix{-10 \\ -10 \\ 140}$
2. Schritt: Normalenvektor bestimmen:
Um den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ zu bestimmen, kannst du das Kreuzprodukt der Spannvektoren berechnen:
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Rechnerische Lösung
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2 \cdot b_3-a_3 \cdot b_2\\a_3 \cdot b_1-a_1 \cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-a_2 \cdot b_1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = $$…$
$\begin{pmatrix}-80\\0\\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}(-10)\\(-10)\\140 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \cdot 140-0 \cdot (-10)\\0 \cdot (-10)-(-80) \cdot 140\\(-80) \cdot (-10)-0 \cdot (-10) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0 \\11.200\\800 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0 \\14\\1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}-80\\0\\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}(-10)\\(-10)\\140 \end{pmatrix}=…$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Lösung mit CASIO
Du kannst das Kreuzprodukt auch mit dem CASIO berechnen. Dazu benutzt du den crossP-Befehl und setzt die beiden Vektoren ein.
Wahlteil A2
Abb. 2: Kreuzprodukt
Wahlteil A2
Abb. 2: Kreuzprodukt
Wenn du das Ergebnis kürzt, erhältst du den Normalenvektor $n=\begin{pmatrix}0 \\14\\1 \end{pmatrix}$.
3. Schritt: Parameter d bestimmen:
Um den Parameter $d$ zu bestimmen, setzt du den Normalenvektor und die Koordinaten eines bekannten Punkts, zum Beispiel $D$, in die allgemeine Ebenengleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} d&=& n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3&\quad \scriptsize \\[5pt] d&=& 0\cdot 0 + 14\cdot 80 + 1\cdot 0&\quad \scriptsize \\[5pt] d&=& 1.120&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} d&=& 1.120&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Wenn du den berechneten Parameter $d$ und den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ in die Ebenengleichung einsetzt, erhältst du die gesuchte Koordinatengleichung:
$E: 14\cdot x_2 + 1\cdot x_3 \;=\; 1.120 $
$\blacktriangleright$  Überprüfen, ob Punkt H in der Ebene enthalten ist
Du sollst überprüfen, ob der Punkt $H$ in der Ebene enthalten ist. Setze dazu die Koordinaten des Punktes $H$ in die Ebenengleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} E: 14\cdot x_2 + 1\cdot x_3 &=& 1.120 &\quad \scriptsize \\[5pt] 14\cdot 70 + 1\cdot 140&=& 1.120 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} E: …=& 1.120 \end{array}$
Du hast gezeigt, dass die Gleichung erfüllt ist und somit, dass $H$ in der Ebene liegt.
$\blacktriangleright$  Größe des Winkels bestimmen
Den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen zwei Ebenen $E:\vec{x}$ und $F:\vec{x}$ kannst du mit der Cosinus- Formel berechnen:
$\cos\alpha= \dfrac{\left|\vec{n_E}\cdot\vec{n_F}\right|}{\left|\vec{n_E}\right|\cdot\left|\vec{n_F}\right|}$
$\cos\alpha= \dfrac{\left|\vec{n_E}\cdot\vec{n_F}\right|}{\left|\vec{n_E}\right|\cdot\left|\vec{n_F}\right|}$
Du brauchst jeweils einen Normalvektor der Ebenen. Einen Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}= \pmatrix{0 \\ 14 \\ 1}$ hast du bereits bestimmt. Einen Normalenvektor der zweiten Ebene $F$, die durch Die Punkte $A,B,C$ und $D$ beschrieben wird, musst du zunächst berechnen.
1. Schritt: Normalenvektor bestimmen:
Wenn du dir die Koordinaten der gegebenen Punkte anschaust, sollte dir auffallen, dass die $z$-Koordinate überall Null ist, also ist $F$ die $x$-$y$-Ebene. Diese hat folgende Ebenengleichung:
$F: z $=$ 0 $
Den Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}=$ $\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}$ kannst du direkt ablesen.
2. Schritt: Winkel berechnen:
Wenn du die Normalvektoren bestimmt hast, kannst du den Schnittwinkel durch Einsetzen in die obere Formel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \cos\alpha&=&\dfrac{\left|\vec{n_E}\cdot\vec{n_F}\right|}{\left|\vec{n_E}\right|\cdot\left|\vec{n_F}\right|} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos\alpha&=&\dfrac{\left|\pmatrix{0 \\ 14 \\ 1}\cdot\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}\right|}{\left|\pmatrix{0 \\ 14 \\ 1}\right|\cdot\left|\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}\right|} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos\alpha&=&\dfrac{1}{\sqrt{0^2+14^2+1^2}\cdot\sqrt{0^2+0^2+1^2}}&\quad \scriptsize \ \\[5pt] \cos\alpha&=&\dfrac{1}{\sqrt{196+1}\cdot\sqrt{1}}&\quad \scriptsize \ \\[5pt] \cos\alpha&=&\dfrac{1}{\sqrt{197}}&\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha&\approx& 85,91°&\quad \scriptsize \ \\[5pt] \end{array}$
$\alpha \approx 85,91°$
Der Winkel zwischen den Ebenen $E$ und $F$ ist also ca. $86°$ groß.
2.3
$\blacktriangleright$  Verbindungsstrecke der Mittelpunkte als Höhe überprüfen
Du sollst überprüfen, ob die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte von Grund- und Deckfläche als Höhe angesehen werden kann. Dazu musst du in mehreren Schritten vorgehen.
1. Schritt: Koordinaten der Mittelpunkte beider Flächen bestimmen.
2. Schritt: Verbindungsvektor der Mittelpunkte aufstellen.
3. Schritt: Überprüfen, ob der Verbindungsvektor der Punkte parallel zum Normalenvektor der Grund- und Deckflächen steht.
Wenn dies zutrifft, hast du gezeigt, dass die Verbindungslinie als Höhe angesehen werden kann.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Rechnerische Lösung
Bestimmung der Koordinaten des Mittelpunkts der Grundfläche:
Du weißt, dass es sich bei der Grund- und Deckfläche um Quadrate handelt. Deswegen kannst du die Formel zur Berechnung des Mittelpunkts einer Diagonalen verwenden.
$\overrightarrow{0M}=\frac{1}{2}\cdot(\overrightarrow{0A}+\overrightarrow{0C})$
$\overrightarrow{0M}=\frac{1}{2}\cdot(\overrightarrow{0A}+\overrightarrow{0C})$
Wähle dazu zwei Eckpunkte des Quadrats, zum Beispiel $A$ und $C$.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{0M}&=&\frac{1}{2}\cdot\left(\pmatrix{0 \\ 0 \\ 0}+\pmatrix{80 \\ 80 \\ 0}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{0M}&=&\pmatrix{40 \\ 40 \\ 0} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{0M}&=&\pmatrix{40 \\ 40 \\ 0} \end{array}$
Du erhältst als Mittelpunkt der Grundfläche $M_G= (40\;|\; 40\;|\; 0)$.
Bei der Deckfläche kannst du nach dem gleichen Prinzip vorgehen.
Bestimmung des Mittelpunkts der Deckfläche:
$\overrightarrow{0M}=\frac{1}{2}\cdot(\overrightarrow{0E}+\overrightarrow{0G})$
$\overrightarrow{0M}=\frac{1}{2}\cdot(\overrightarrow{0E}+\overrightarrow{0G})$
Du kannst als Eckpunkte zum Beispiel $E$ und $G$ auswählen.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{0M}&=&\frac{1}{2}\cdot\left(\pmatrix{10 \\ 10 \\ 140}+\pmatrix{70 \\ 70 \\ 140}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{0M}&=&\pmatrix{40 \\ 40 \\ 140} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{0M}&=&\pmatrix{40 \\ 40 \\ 140} \end{array}$
Der Mittelpunkt der Deckfläche ist $M_D$=$(40\;|\; 40 \;|\; 140)$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Lösen durch Ablesen
Du kannst alternativ den Mittelpunkt der Grund- und Deeckfläche auch direkt an den gegebenen Koordinaten ablesen, denn es handelt sich um einen quadratischen Pyramidenstumpf. Du erhältst dann durch Ablesen auf die Mittelpunkte $M_G$ $(40\;|\; 40\;|\; 0)$ und $M_D$=$(40\;|\; 40 \;|\; 140)$.
2. Verbindungsstrecke der Mittelpunkte aufstellen:
Du hast bereits die beiden Mittelpunkte $M_G$ und $M_D$ berechnet. Du kannst nun einen Verbindungsvektor der beiden Punkte aufstellen.
$\overrightarrow{M_DM_G}= \pmatrix{40-40 \\ 40-40 \\ 0-140}$
$\overrightarrow{M_DM_G}= \pmatrix{0 \\ 0 \\ -140}$
3. Orthogonalität von Ebene und Gerade überprüfen:
Die Grundfläche liegt in der $x-y$-Ebene und hat somit als Ebenengleichung $F$:$z=0$. Die Deckfläche ist um $140 \;LE$ nach oben verschoben. Somit ist die Ebenengleichung $D$:$z=140$
Du kannst die Normalenvektoren der Ebenengleichungen ablesen. Für beide gilt $n$=$\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}$. Der Normalenvektor steht immer senkrecht zur Ebenen. Wenn also der Verbindungsvektor der Mittelpunkte ein Vielfaches des Normalenvekors ist, stehen Verbindungsvektor und Ebene senkrecht. Dies kannst du direkt durch Ablesen erkennen. Die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte entspricht also der Höhe.
2.4
$\blacktriangleright$  Kosten für Blattsilber berechnen:
Die Kosten für Blattsilber sollen berechnet werden, wenn du davon ausgehst, dass kein Verschnitt entsteht. Berechne dazu zuerst den Flächeninhalt einer Seitenfläche, zum Beispiel $CDHG.$
1. Schritt: Flächeninhalt einer Seitenfläche berechnen
Um den Flächeninhalt zu berechnen, kannst du die Fläche in zwei Dreiecke unterteilen.
Der Flächeninhalt eines Dreiecks, das von zwei Vektoren aufgespannt wird, kann mithilfe des Kreusprodukts berechnet werden:
$A_{ABC} = \frac{1}{2}\cdot \left| \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \right|$
$A_{ABC} = \frac{1}{2}\cdot \left| \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \right|$
Verwende beispielsweise die beiden Dreiecke $CHG$ und $CDH.$ Anhand der Koordinaten der Eckpunkte kannst du die benötigten Verbindungsvektoren bilden.
$\begin{array}[t]{rll} A_{CHG}&=&\frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{CH}\times \overrightarrow{CG} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{-70\\-10\\140}\times \pmatrix{-10\\-10\\140} \right|&\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &=& 4.210,70\, \text{[FE]} \\[10pt] A_{CDH}&=&\frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{CD}\times \overrightarrow{CH} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{-80\\0\\0}\times \pmatrix{-70\\-10\\140} \right|&\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &=& 5.614,27\, \text{[FE]} \\[10pt] \end{array}$
Der Gesamtflächeninhalt der Seitenfläche ergibt sich dann zu:
$4.210,70\, \text{[FE]} + 5.614,27\, \text{[FE]} \approx 9.825\,\text{FE} = 9.825\,\text{cm}^2$
2. Schritt: Flächeninhalt einer Packung Blattsilber berechnen
Ein Blatt der Packung ist quadratisch und hat die Seitenlänge $95\,\text{mm}= 9,5\,\text{cm}.$ Der Flächeninhalt eines Blattes ist also:
$9,5\,\text{cm}\cdot 9,5\,\text{cm} = 90,25\,\text{cm}^2$
Eine Packung Blattsilber enthält demnach:
$25\cdot 90,25\,\text{cm}^2 = 2.256,25\,\text{cm}^2$
3. Schritt: Benötigte Anzahl Packungen berechnen
In einer Packung Blattsilber sind $2.256,25\,\text{cm}^2$ enthalten. Es werden $9.825\,\text{cm}^2$ Blattsilber benötigt.
$9.825\,\text{cm}^2 : 2.256,25\,\text{cm}^2 \approx 4,35 $
Es werden also fünf Packungen Blattsilber benötigt. Jede Packung kostet $20,15\,€.$
$5\cdot 20,15\,€ = 100,75\,€$
Für die Verkleidung einer Seitenfläche mit Blattsilber entstehen Kosten in Höhe von $100,75\,€.$
2.5
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes S bestimmen
Du sollst berechnen, in welchem Punkt der Degen die Seitenffläche $CDHG$ schneidet. Du hast den Einstichspunkt R$(30\;|\;5\;|\;70)$ als Stützvektor gegeben und die Richung in die der Degen eingestochen wird als Richtungsvektor. Du kannst mit diesen Bedingungen eine Geradengleichung aufstellen:
$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{30 \\ 5 \\ 70}+r\cdot\pmatrix{5 \\ 17 \\ 7}$
Wenn du diese Gerade mit der Ebenen, die die Punkte $CDHG$ enthält, schneidest, erhältst du den Schnittpunkt $S$. Du hast im Aufgabenteil $2.2$ bereits die Ebenengleichung für diese Seitenfläche aufgestellt: $E: 14\cdot x_2 + 1\cdot x_3 $=$ 1.120 $. Bestimme nun den Schnittpunkt von Gerade und Ebene.
Der Schnittpunkt einer Gerade mit einer Ebene, kannst du bestimmen, indem du die Koordinaten des allgemeinen Geradenpunkts in die Ebenengleichung einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} 14\cdot (5+ 17r) + 1\cdot (70+7r)&=& 1.120 &\quad \scriptsize \\[5pt] 70+238r+70+7r&=&1.120&\quad \scriptsize \mid\;-70 \mid\;-70\\[5pt] 245r&=&980&\quad \scriptsize \mid\;:245\\[5pt] r&=&\frac{980}{245}&\quad \scriptsize \\[5pt] r&=&4&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$r=4span>
Wenn du nun das erhaltene $r$ in die Geradengleichung einsetzt, erhältst du den Schnittpunkt:
$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{30 \\ 5 \\ 70}+4\cdot\pmatrix{5 \\ 17 \\ 7}\;\;\;$ $S=(50 \;|\; 73 \;|\; 98)$
Der Degen schneidet die Seitenfläche $CDHG$ im Schnittpunkt $S=(50 \;|\; 73 \;|\; 98)$.
$\blacktriangleright$  Winkel zwischen Seitenfläche CDHG und Degen berechnen
Den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen der Ebene $E$ und der Geraden $g$ kannst du mit der Sinus-Formel berechnen:
$\sin\alpha= \dfrac{\left|\vec{n}\cdot\vec{v}\right|}{\left|\vec{n}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|}$
$\sin\alpha= \dfrac{\left|\vec{n}\cdot\vec{v}\right|}{\left|\vec{n}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|}$
Bei dem Vektor $\vec{n}$ handelt es sich um den Normalvektor der gegeben Ebene, den du ablesen kannst: $\vec{n}=\pmatrix{0 \\ 14 \\ 1}$ und bei $\vec{v}$ um den Richtungsvektor der Geraden, der gegeben ist mit $\vec{v}$=$\pmatrix{5 \\ 17 \\ 7}$.
Setzte $\vec{v}$ und $\vec{n}$ nun in die gegebene Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} \sin\alpha&=&\dfrac{\left|\vec{n}\cdot\vec{v}\right|}{\left|\vec{n}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|} &\quad \scriptsize \\[5pt] \sin\alpha&=&\dfrac{\left|\pmatrix{0 \\ 14 \\ 1}\cdot\pmatrix{5 \\ 17 \\ 7}\right|}{\left|\pmatrix{0 \\ 14 \\ 1}\right|\cdot\left|\pmatrix{5 \\ 17 \\ 7}\right|} &\quad \scriptsize \\[5pt] \sin\alpha&=&\frac{|238+7|}{\sqrt{0^2+14^2+1^2}\cdot\sqrt{5^2+17^2+7^2}}&\quad \scriptsize \\[5pt] \sin\alpha&=&\frac{|45|}{\sqrt{197}\cdot\sqrt{363}}&\quad \scriptsize \\[5pt] \sin\alpha&\approx&0,92&\quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx&66,35°&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\alpha \approx 66,35°$
Der Winkel zwischen dem Degen und der Seitenfläche beträgt also ca. $66,35°$.
$\blacktriangleright$  Länge des von außen zu sehenden Degens berechnen
Es ist gefragt, ob mindestens $10\,\text{cm}$ eines $90\;\text{cm}$ Degens außerhalb des Kastens zu sehen sind. Dazu berechnest du den Abstand zwischen den Punkten $R$ und $S$, denn $R$ stellt den Einstichspunkt dar, $S$ den Punkt an dem der Degen den Kasten wieder verlässt. Wenn diese Strecke kleiner oder gleich $80\;\text{cm}$ ist, schaut der Degen noch mindestens $10\;\text{cm}$ raus.
Berechne also zuerst den Vektor $\overrightarrow{RS}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{RS}&=& \pmatrix{50 \\ 73 \\ 98}-\pmatrix{30 \\ 5 \\ 70} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{RS}&=&\pmatrix{20 \\ 68 \\ 28}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Um nun den Abstand der Punkte zu bestimmen, kannst du den Betrag bilden:
$\overrightarrow{|RS|}=\sqrt{20^2+68^2+28^2}\approx76,21$
$\overrightarrow{|RS|}\approx76,21$
Du hast in der Aufgabenstellung gegeben, dass eine Längeneinheit einem Zentimeter entspricht. Der Abstand der Punkte $R$ und $S$ beträgt also ca. $76\;\text{cm}$. Da der Degen $90\;\text{cm}$ lang ist, kannst du noch mehr als $10\;\text{cm}$ außerhalb des Kastens sehen.
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