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Wahlteil B1

Aufgaben
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1.1
GraphFunktionsgleichungDefinitionsbereich
Reflektor, außenA$a(x)\ =\ 5\sqrt{x-20}$$25\leq x \leq 45$
Reflektor, innenR$r(x)\ =\ 5\sqrt{x-24}$$24\leq x \leq 45$
SockelS$s(x)$$0\leq x \leq 25$
Graph
Reflektor, außenA
Reflektor, innenR
SockelS
Der Graph $S$ der linearen Funktion $s$ verläuft durch die Punkte $P\ (\ 0\ |\ 10\ )$ und $Q\ (\ 25\ |\ a(25)\ )$.
1.1.1
Berechne den Durchmesser des Sockels an der Stelle $x\ =\ 10$.
1.1.2
Dieser Glühlampenrohling wird aus Glas mit einer Dichte von $2,2\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ hergestellt. Berechne die Masse des Rohlings.
1.1.3
Die innere Fläche des Reflektors wird mit einer silberfarbigen Schicht versehen. Berechne den Inhalt dieser Fläche.
1.1.4
Eine zur Abszissenachse parallele Gerade $g$ mit dem Abstand $20$ schneidet den Graphen $R$ im Punkt $D$. Auf der Gerade $g$ liegt der Punkt $E\ (\ 50\ |\ 20\ )$.
Der Strahl $DE$ wird an der Normalen zum Graphen $R$ im Punkt $D$ gespiegelt.
Der gespiegelte Strahl schneidet die Abszissenachse im Punkt $F$.
Berechne mithilfe der Beschreibung die Koordinaten der Punkte $D$ und $F$.
1.2
Bei der Produktion des Rohlings treten Fehler bei der Herstellung des Glaskörpers mit einer Wahrscheinlichkeit von $2 \,\%$ und Fehler in der Beschichtung auf. Weitere Fehler gibt es nicht.
Der Rohling ist mit einer Wahrscheinlichkeit von $93,1\, \%$ fehlerfrei und weist mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,4\, \%$ beide Fehler auf.
Überprüfe, ob die Fehler unabhängig voneinander auftreten.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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1.1.1
$\blacktriangleright$Durchmesser des Sockels berechnen
Der Aufgabenstellung kannst du die verschiedenen Funktionsgleichungen entnehmen, welche den Glühlampenrohling beschreiben. Wichtig sind hierbei auch die Definitionsbereiche, welche Auskunft darüber geben, in welchen Bereichen der Rohling durch welche der Funktionen beschrieben wird. Um den Durchmesser des Sockels an der Stelle $x=10$ zu berechnen, benötigst du zuerst die Funktion $s$.
Du hast die Punkte $P(0 \mid 10)$ und $Q(25 \mid a(25))$ gegeben. Berechne zuerst den Wert $a(25)$.
Du weißt, dass $s$ eine linerare Funktion ist. Der Funktionsterm einer linearen Funktion ist allgemein:
$s(x)=m\cdot x +c$
In diese allgemeine Form setzt du jetzt die Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ ein und erhältst damit ein Gleichungssystem.
Nachdem du den Funktionsterm bestimmt hast kannst du $s(10)$ berechnen. Damit bekommst du den Radius des Sockels an der Stelle $10$.
1.1.2
$\blacktriangleright$ Masse des Rohlings berechnen
Du hast die Dichte des Rohlings von $2,2 \frac{\text{g}}{\text{cm}^2}$ angegeben und sollst die Masse berechnen. Du kennst die folgende Gleichung:
$\text{Dichte}=\dfrac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}$
Diese Gleichung kannst du nach der Masse auflösen und erhältst:
$\text{Masse}=\text{Dichte} \cdot\text{Volumen}$
Um die Masse zu berechnen, benötigst du also das Volumen der Rohlinge. Das Volumen des Rohlings ist das Rotationsvolumen, welches entsteht, wenn die drei Funktionen in den angegebenen Definitionsbereichen um die $x$- Achse rotieren.
Die Formel, mit der du ein Rotationsvolumen ausrechnen kannst ist:
$V= \pi \displaystyle\int_{a}^{b} \big(f(x)\big)^2 \;\mathrm dx$
$V= \pi \displaystyle\int_{a}^{b} \big(f(x)\big)^2 \;\mathrm dx$
Das Rotationsvolumen kannst du also berechnen, indem du zuerst die Rotationsvolumen von $s$ zwischen $0$ und $25$ und von $a$ zwischen $25$ und $45$ berechnest und anschließend das Rotationsvolumen von $r$ abziehst. Die Definitionsbereiche geben dir die Integrationsgrenzen an.
Die einzelnen Integrale kannst du im Calculator Menü deines Taschenrechners berechnen.
1.1.3
$\blacktriangleright$ Inhalt der Fläche berechnen
Um den Inhalt dieser Fläche zu berechnen verwendest du die Formel für die Mantelfläche des Rotationskörpers
$M= 2 \pi \int_a^b f(x) \sqrt{1+f'(x)^2} \text{d}x$
$M= 2 \pi \int_a^b r(x) \sqrt{1+r'(x)^2} \text{d}x$
Du benötigst also zuerst die Ableitung der Funktion
$\begin{array}[t]{rll} r(x)&=&5\cdot \sqrt{x-24} \\[5pt] &=&5\cdot (x-24)^{\frac{1}{2}} \end{array}$
1.1.4
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{D}$ bestimmen
Die zur Abszissenachse parallele Gerade $g$, mit Abstand $20$ hat die Funktionsgleichung
$g(x)=20$.
Der Punkt $D$ ist der Schnittpunkt der Graphen R und G. Diesen Schnittpunkt kannst du mit dem Taschenrechner bestimmen. $\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{F}$
Zur Veranschaulichung kannst du dir in diesem Aufgabenteil eine Skizze erstellen. Zeichne zuerst die Geraden $g$ und $r$ und die Punkte $D$ und $E$ ein. Zeichne anschließend die Normale zu $r$ durch den Punkt $D$ und den Spiegelpunkt $E'$. Zeichne einen Strahl, der seinen Anfangspunkt in $E$ hat und durch $E'$ verläuft. Der Schnittpunkt von dem Strahl und der $x$-Achse ist der gesuchte Punkt $F$.
Bei der Berechnung der Koordinaten von $F$ gehst du wie folgt vor:
Der Strahl, der durch $E$ und $E'$ verläuft, ist senkrecht zu der Normalen zum Graphen $R$ im Punkt $D$ und damit parallel zur Tangente am Graphen $R$ im Punkt $D$. Eine Gerade durch die Punkte $E$ und $E'$ hat also die gleiche Steigung, wie $r(x)$ im Punkt $D$. Um die Koordinaten von $F$ zu bestimmen, gehst du also wie folgt vor:
  1. Bestimme die Gerade $h(x)$, die durch E verläuft und die Steigung $r'(40)$ hat
  2. Berechne die Nullstelle der Gerade $h(x)$ und damit die $x$-Koordinate des Punktes $F$
1.2
$\blacktriangleright$ Unabhängigkeit der Fehler überprüfen
Du sollst überprüfen, ob die Ereignisse:
$G:= \text{Fehlerhafter Glaskörper}$
$B:= \text{Fehlerhafte Beschädigung}$
Stochastisch unabhängig sind. Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn die folgende Gleichung erfüllt ist:
$P(B \cap G)= P(B) \cdot P(G)$
$P(B \cup G)= P(B) \cdot P(G)$
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1.1.1
$\blacktriangleright$Durchmesser des Sockels berechnen
Der Aufgabenstellung kannst du die verschiedenen Funktionsgleichungen entnehmen, welche den Glühlampenrohling beschreiben. Wichtig sind hierbei auch die Definitionsbereiche, welche Auskunft darüber geben, in welchen Bereichen der Rohling durch welche der Funktionen beschrieben wird. Um den Durchmesser des Sockels an der Stelle $x=10$ zu berechnen, benötigst du zuerst die Funktion $s$.
Du hast die Punkte $P(0 \mid 10)$ und $Q(25 \mid a(25))$ gegeben. Berechne als Erstes den Wert $a(25)$:
$a(25)=5\cdot \sqrt{25-20} $$= 5\cdot \sqrt{5}$
Du weißt, dass $s$ eine linerare Funktion ist. Der Funktionsterm einer linearen Funktion ist allgemein:
$s(x)=m\cdot x +c$
In diese allgemeine Form setzt du jetzt die Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ ein und erhältst damit ein Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&s(0)&=&m \cdot 0 +c&\quad \\ \text{II}\quad&s(25)&=&m \cdot 25 +c\quad\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&s(0)&=& … \\ \text{II}\quad&s(25)&=& …\\ \end{array}$
Für $s(0)$ und $s(25)$ kannst du im nächsten Schritt die $y$ - Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ einsetzen.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 10 &=&c&\quad \\ \text{II}\quad&5 \cdot \sqrt{5}&=& 25\cdot m +c\quad\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad& …\\ \text{II}\quad&…\\ \end{array}$
Du siehst also direkt, dass $c=10$ ist. Setzte $c=10$ in die zweite Gleichung ein und löse nach $m$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 25 \cdot m + 10&=& 5 \cdot \sqrt{5} &\quad \scriptsize \mid\; -10 \\[5pt] 25 \cdot m&=& 5 \cdot \sqrt{5} -10 &\quad \scriptsize \mid\; : 25 \\[5pt] m&=& \dfrac{5 \cdot \sqrt{5} -10}{25} \\[5pt] \end{array}$
$ m=\dfrac{5 \cdot \sqrt{5} -10}{25}$
Die Funktion $s$ hat also den Funktionterm:
$s(x)= \dfrac{5 \cdot \sqrt{5} -10}{25} \cdot x +10$
Jetzt musst du $s(10)$ berechnen. Damit bekommst du den Radius des Sockels an der Stelle $10$.
$s(10)=\dfrac{5 \cdot \sqrt{5} -10}{25} \cdot 10 +10 \approx 10,472$
$ s(10)\approx 10,472 $
Jetzt kannst du den Durchmesser berechnen:
$d=2 \cdot s(10) $$= 2 \cdot 10,0472 $$=20,0944$
Der Sockel hat also einen Durchmesser von ungefähr $20,1\text{ mm}$.
1.1.2
$\blacktriangleright$ Masse des Rohlings berechnen
Du hast die Dichte des Rohlings von $2,2 \frac{\text{g}}{\text{cm}^2}$ angegeben und sollst die Masse berechnen. Du kennst die folgende Gleichung:
$\text{Dichte}=\dfrac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}$
Diese Gleichung kannst du nach der Masse auflösen und erhältst:
$\text{Masse}=\text{Dichte} \cdot\text{Volumen}$
Um die Masse zu berechnen, benötigst du also das Volumen der Rohlinge. Das Volumen des Rohlings ist das Rotationsvolumen, welches entsteht, wenn die drei Funktionen in den angegebenen Definitionsbereichen um die $x$- Achse rotieren.
Die Formel, mit der du ein Rotationsvolumen ausrechnen kannst ist:
$V= \pi \displaystyle\int_{a}^{b} \big(f(x)\big)^2 \;\mathrm dx$
$V= \pi \displaystyle\int_{a}^{b} \big(f(x)\big)^2 \;\mathrm dx$
Das Rotationsvolumen kannst du also berechnen, indem du zuerst die Rotationsvolumen von $s$ zwischen $0$ und $25$ und von $a$ zwischen $25$ und $45$ berechnest und anschließend das Rotationsvolumen von $r$ abziehst. Die Definitionsbereiche geben dir die Integrationsgrenzen an:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \pi \displaystyle\int_{0}^{25}s(x)^2\; \mathrm dx + \pi\displaystyle\int_{25}^{45}a(x)^2\;\mathrm dx - \pi\displaystyle\int_{24}^{45} r(x)^2\;\mathrm dx\\[5pt] &=& 8.817,49+ 2.3561,9 - 1.7318 \\ &=& 15.061,4 \end{array}$
$V=15.061,4$
Die einzelnen Integrale kannst du im Calculator Menü deines Taschenrechners berechnen. Gehe dazu wie folgt vor:
menu $\rightarrow$ 4: Analysis $\rightarrow$ 3:Integral
menu $\rightarrow$ 4: Analysis $\rightarrow$ 3:Integral
Anschließend musst du alle Werte deines Integrals eingeben. Im Folgenden ist dieses Vorgehen am Beispiel des ersten Integrals aus der Summe von oben gezeigt:
Wahlteil B1
Abb. 1: Integralberechnung mit dem Taschenrechner
Wahlteil B1
Abb. 1: Integralberechnung mit dem Taschenrechner
Da $1$ LE $=1$ mm ist, haben die Rohlinge ein Volumen von $15.061,4$ $\text{mm}^3$. Da die Dichte in Gramm pro $\text{cm}^2$angegeben ist, muss auch das Volumen in $\text{cm}^2$ umgerechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} 15.061,4 \text{mm}^3&=& 15,0614 \text{cm}^3 \\[5pt] &\approx& 15,06 \text{cm}^3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 15.061,4 \text{mm}^3… \end{array}$
Jetzt kannst du mit Dichte und Volumen die Masse berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Masse}&=& 2,2 \frac{\text{g}}{\text{cm}^2} \cdot 15,06 \text{cm}^3 \\[5pt] &=&33,132\, g \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{Masse}&=&33,132\, g \end{array}$
Die Rohlinge haben also eine Masse von $33,132$ g.
1.1.3
$\blacktriangleright$ Inhalt der Fläche berechnen
Um den Inhalt dieser Fläche zu berechnen verwendest du die Formel für die Mantelfläche des Rotationskörpers
$M= 2 \pi \int_a^b f(x) \sqrt{1+f'(x)^2} \text{d}x$
$M= 2 \pi \int_a^b r(x) \sqrt{1+r'(x)^2} \text{d}x$
Du benötigst also zuerst die Ableitung der Funktion
$r(x)=5\cdot \sqrt{x-24}$$=5\cdot (x-24)^{\frac{1}{2}}$
Mit der Kettenregel erhältst du:
$r'(x)=\frac{5}{2}\cdot (x-24)^{-\frac{1}{2}}$
Die Ableitung kannst du auch mit deinem Taschenrechner bestimmen:
Wahlteil B1
Abb. 2: Ableitung mit Taschenrechner bestimmen
Wahlteil B1
Abb. 2: Ableitung mit Taschenrechner bestimmen
Jetzt kannst du die Mantelfläche berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} M&=&2 \pi \int_{24}^{45} 5\cdot \sqrt{x-24} \cdot \sqrt{1+\big(\frac{5}{2}\cdot (x-24)^{-\frac{1}{2}}\big)^2} \text{d}x \\[5pt] &=& 2\cdot \pi \cdot 422,081\\ &=& 2.652,01 \end{array}$
$M=2.652,01$
Der Inhalt der Fläche beträgt also $2.652,01\,\text{mm}^2$ oder $26,5201\,\text{cm}^2$.
1.1.4
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{D}$ bestimmen
Die zur Abszissenachse parallele Gerade $g$, mit Abstand $20$ hat die Funktionsgleichung
$g(x)=20$.
Der Punkt $D$ ist der Schnittpunkt der Graphen R und G. Diesen Schnittpunkt kannst du mit dem Taschenrechner bestimmen. Gehe dazu wie folgt vor:
2: Graph $\rightarrow$ menu $\rightarrow$ 6: Graph analysieren $\rightarrow$ 4: Schnittpunkte
2: Graph $\rightarrow$ menu $\rightarrow$ 6: Graph analysieren $\rightarrow$ 4: Schnittpunkte
Wähle eine untere und eine obere Schranke.
Wahlteil B1
Abb. 4: Schnittpunkt bestimmen
Wahlteil B1
Abb. 4: Schnittpunkt bestimmen
Der Punkt $D$ hat also die Koordinatien $D(40 \mid 20)$.
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{F}$
Zur Veranschaulichung kannst du dir in diesem Aufgabenteil eine Skizze erstellen. Zeichne zuerst die Geraden $g$ und $r$ und die Punkte $D$ und $E$ ein. Zeichne anschließend die Normale zu $r$ durch den Punkt $D$ und den Spiegelpunkt $E'$. Zeichne einen Strahl, der seinen Anfangspunkt in $E$ hat und durch $E'$ verläuft. Der Schnittpunkt von dem Strahl und der $x$-Achse ist der gesuchte Punkt $F$.
Wahlteil B1
Abb. 5: Skizze zur Aufgabenstellung
Wahlteil B1
Abb. 5: Skizze zur Aufgabenstellung
Bei der Berechnung der Koordinaten von $F$ gehst du wie folgt vor:
Der Strahl, der durch $E$ und $E'$ verläuft, ist senkrecht zu der Normalen zum Graphen $R$ im Punkt $D$ und damit parallel zur Tangente am Graphen $R$ im Punkt $D$. Eine Gerade durch die Punkte $E$ und $E'$ hat also die gleiche Steigung, wie $r(x)$ im Punkt $D$. Um die Koordinaten von $F$ zu bestimmen, gehst du also wie folgt vor:
  1. Bestimme die Gerade $h(x)$, die durch E verläuft und die Steigung $r'(40)$ hat
  2. Berechne die Nullstelle der Gerade $h(x)$ und damit die $x$-Koordinate des Punktes $F$
Schritt 1: Aufstellen der Geradengleichung von $\boldsymbol{h}$
Die Steigung $m$ der Geraden ist:
$m=r'(40)=\frac{5}{8}$
Setzte $m$ und den Punkt $E(50 \mid 20)$ in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $c$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=&\dfrac{5}{8} \cdot x +c & \\[5pt] 20 &=&\dfrac{5}{8} \cdot 50 +c & \\[5pt] 20 &=& \dfrac{125}{4} +c &\quad \scriptsize \mid\; -25 \\[5pt] c &=& 20-\dfrac{125}{4} \\[5pt] &=& -\frac{45}{4} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} c &=& -\frac{45}{4} \end{array}$
Die Gleichung der Geraden ist also:
$h(x)=\frac{5}{8} \cdot x -\frac{45}{4}$
Schritt 2: Nullstelle berechnen
Um die Nullstelle zu berechnen, setzt du $h(x)$ mit Null gleich und löst nach $x$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& 0 &\\[5pt] \dfrac{5}{8} \cdot x -\dfrac{45}{4}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{45}{4}\\[5pt] \dfrac{5}{8} \cdot x &=& \dfrac{45}{4} &\quad \scriptsize \mid\; : \dfrac{5}{8}\\[5pt] x &=& 18 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& 0 &\\[5pt] x &=& 18 \end{array}$
Der Punkt $F$ hat also die Koordinaten $F(0 \mid 18)$.
1.2
$\blacktriangleright$ Unabhängigkeit der Fehler überprüfen
Du sollst überprüfen, ob die Ereignisse:
$G:= \text{Fehlerhafter Glaskörper}$
$B:= \text{Fehlerhafte Beschädigung}$
stochastisch unabhängig sind. Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn die folgende Gleichung erfüllt ist:
$P(B \cap G)= P(B) \cdot P(G)$
$P(B \cup G)= P(B) \cdot P(G)$
Der Aufgabenstellung kannst du verschiedene Wahrscheinlichkeiten entnehmen:
$P(G)=0,002$
$P(B \cap G)=0,004$
Außerdem weißt du, dass der Rohling mit einer Wahrscheinlichkeit von $93,1 \%$ keinen der beiden Fehler aufweist. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Rohling mindestens einen der beiden Fehler aufweist ist deswegen:
$1-0,931=0,069$
Diese Wahrscheinlichkeit entspricht der Wahrscheinlichkeit für die Vereinigung der Ereignisse $B$ und $G$.
$P(G \cup B)= 0,069$
Um die beiden Ereignisse auf Unabhängigkeit zu überprüfen, fehlt dir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $B$. Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit der Formel des Ein- und Ausschließens bestimmen:
$P(B \cup G)= P(B) + P(G) -P(B \cap G)$
$P(B \cup G) $$= P(B) + P(G) -P(B \cap G)$
Diese Formel kannst du nach $P(B)$ umstellen und die bekannten Wahrscheinlichkeiten einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=&P(B \cup G)- P(G) +P(B \cap G) & \\[5pt] &=& 0,069 -0,002+0,004\\[5pt] &=& 0,071 \end{array}$
$P(B)=0,071$
Jetzt kannst du überprüfen, ob die beiden Ereignisse unabhängig sind, indem du das Produkt der Wahrscheinlichkeiten bildest:
$P(B) \cdot P(G)= 0,071 \cdot 0,002 = 0,000142$
$P(B) \cdot P(G)=0,000142$
Die Wahrscheinlichkeit für den Schnitt der Ereignisse ist oben bereits angegeben:
$P(B \cap G)=0,004$
Du hast also folgende Ungleichung nachgewiesen:
$P(B \cup G) \neq P(B) \cdot P(G)$
Deswegen treten die beiden Fehler nicht unabhängig voneinander auf.
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1.1.1
$\blacktriangleright$ Durchmesser des Sockels berechnen
Der Aufgabenstellung kannst du die verschiedenen Funktionsgleichungen entnehmen, welche den Glühlampenrohling beschreiben. Wichtig sind hierbei auch die Definitionsbereiche, welche Auskunft darüber geben, in welchen Bereichen der Rohling durch welche der Funktionen beschrieben wird. Um den Durchmesser des Sockels an der Stelle $x=10$ zu berechnen, benötigst du zuerst die Funktion $s$.
Du hast die Punkte $P(0 \mid 10)$ und $Q(25 \mid a(25))$ gegeben. Berechne als Erstes den Wert $a(25)$:
$a(25)=5\cdot \sqrt{25-20} $$= 5\cdot \sqrt{5}$
Du weißt, dass $s$ eine linerare Funktion ist. Der Funktionsterm einer linearen Funktion ist allgemein:
$s(x)=m\cdot x +c$
In diese allgemeine Form setzt du jetzt die Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ ein und erhältst damit ein Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&s(0)&=&m \cdot 0 +c&\quad \\ \text{II}\quad&s(25)&=&m \cdot 25 +c\quad\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&s(0)&=&… \\ \text{II}\quad&s(25)&=&…\\ \end{array}$
Für $s(0)$ und $s(25)$ kannst du im nächsten Schritt die $y$ - Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ einsetzen.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 10 &=&c&\quad \\ \text{II}\quad&5 \cdot \sqrt{5}&=& 25\cdot m +c\quad\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad& … \\ \text{II}\quad&…\\ \end{array}$
Du siehst also direkt, dass $c=10$ ist. Setzte $c=10$ in die zweite Gleichung ein und löse nach $m$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 25 \cdot m + 10&=& 5 \cdot \sqrt{5} &\quad \scriptsize \mid\; -10 \\[5pt] 25 \cdot m&=& 5 \cdot \sqrt{5} -10 &\quad \scriptsize \mid\; : 25 \\[5pt] m&=& \dfrac{5 \cdot \sqrt{5} -10}{25} &\quad \scriptsize \mid\; \\[5pt] \end{array}$
$m=\dfrac{5 \cdot \sqrt{5} -10}{25} $
Die Funktion $s$ hat also den Funktionterm:
$s(x)= \dfrac{5 \cdot \sqrt{5} -10}{25} \cdot x +10$
Jetzt musst du $s(10)$ berechnen. Damit bekommst du den Radius des Sockels an der Stelle $10$.
$s(10)=\dfrac{5 \cdot \sqrt{5} -10}{25} \cdot 10 +10 \approx 10,0472$
$s(10)\approx 10,0472$
Jetzt kannst du den Durchmesser berechnen:
$d=2 \cdot s(10) $$= 2 \cdot 10,0472 $$=20,0944$
Der Sockel hat also einen Durchmesser von ungefähr $20,1\text{ mm}$.
1.1.2
$\blacktriangleright$ Masse des Rohlings berechnen
Du hast die Dichte des Rohlings von $2,2 \frac{\text{g}}{\text{cm}^2}$ angegeben und sollst die Masse berechnen. Du kennst die folgende Gleichung:
$\text{Dichte}=\dfrac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}$
Diese Gleichung kannst du nach der Masse auflösen und erhältst:
$\text{Masse}=\text{Dichte} \cdot\text{Volumen}$
Um die Masse zu berechnen, benötigst du also das Volumen der Rohlinge. Das Volumen des Rohlings ist das Rotationsvolumen, welches entseht, wenn die drei Funktionen in den angegebenen Definitionsbereichen um die $x$- Achse rotieren.
Die Formel, mit der du ein Rotationsvolumen ausrechnen kannst ist:
$V= \pi \displaystyle\int_{a}^{b} \big(f(x)\big)^2 \;\mathrm dx$
$V= \pi \displaystyle\int_{a}^{b} \big(f(x)\big)^2 \;\mathrm dx$
Das Rotationsvolumen kannst du also berechnen, indem du zuerst die Rotationsvolumen von $s$ zwischen $0$ und $25$ und von $a$ zwischen $25$ und $45$ berechnest und anschließend das Rotationsvolumen von $r$ abziehst. Die Definitionsbereiche geben dir die Integrationsgrenzen an:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \pi \displaystyle\int_{0}^{25}s(x)^2 \;\mathrm dx + \pi\displaystyle\int_{25}^{45}a(x)^2\;\mathrm dx - \pi\displaystyle\int_{24}^{45} r(x)^2\;\mathrm dx\\[5pt] &=& 8.817,49+ 2.3561,9 - 17.318 \\ &=& 15.061,4 \end{array}$
$ V=15.061,4$
Die einzelnen Integrale kannst du deinem Taschenrechners berechnen. Gehe dazu wie folgt vor:
$\text{Keyboard}$$\rightarrow$$\text{Math2}$$\rightarrow$$\text{Integraltaste}$
$\text{Keyboard}$$\rightarrow$$\text{Math2}$$\rightarrow$$\text{Integraltaste}$
Anschließend musst du alle Werte deines Integrals eingeben. Im Folgenden ist dieses Vorgehen am Beispiel des ersten Integrals aus der Summe von oben gezeigt:
Wahlteil B1
Abb. 1: Integralberechnung mit dem Taschenrechner
Wahlteil B1
Abb. 1: Integralberechnung mit dem Taschenrechner
Da $1$ LE $=1$ mm ist, haben die Rohlinge ein Volumen von $15.061,4$ $\text{mm}^3$. Da die Dichte in Gramm pro $\text{cm}^2$angegeben ist, muss auch das Volumen in $\text{cm}^2$ umgerechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} 15.061,4 \text{mm}^3&=& 15,0614 \text{cm}^3 \\[5pt] &\approx& 15,06 \text{cm}^3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 15.061,4 \text{mm}^3=… \end{array}$
Jetzt kannst du mit Dichte und Volumen die Masse berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Masse}&=& 2,2 \frac{\text{g}}{\text{cm}^2} \cdot 15,06 \text{cm}^3 \\[5pt] &=&33,132\, g \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{Masse}&=&33,132\, g \end{array}$
Die Rohlinge haben also eine Masse von $33,132$ g.
1.1.3
$\blacktriangleright$ Inhalt der Fläche berechnen
Um den Inhalt dieser Fläche zu berechnen verwendest du die Formel für die Mantelfläche des Rotationskörpers
$M= 2 \pi \int_a^b f(x) \sqrt{1+f'(x)^2} \text{d}x$
$M= 2 \pi \int_a^b r(x) \sqrt{1+r'(x)^2} \text{d}x$
Du benötigst also zuerst die Ableitung der Funktion
$r(x)=5\cdot \sqrt{x-20}$$=5\cdot (x-20)^{\frac{1}{2}}$
Mit der Kettenregel erhältst du:
$r'(x)=\frac{5}{2}\cdot (x-20)^{-\frac{1}{2}}$
Die Ableitung kannst du auch mit deinem Taschenrechner bestimmen:
$\text{Keyboard}$$\rightarrow$$\text{Math2}$$\rightarrow$$\text{Taste für die Ableitung}$
$\text{Keyboard}$$\rightarrow$$\text{Math2}$$\rightarrow$$\text{Taste für die Ableitung}$
Wahlteil B1
Abb. 2: Ableitung mit Taschenrechner bestimmen
Wahlteil B1
Abb. 2: Ableitung mit Taschenrechner bestimmen
Mit deinem Taschenrechner kannst du jetzt die Mantelfläche berechnen:
Wahlteil B1
Abb. 3: Integralberechnung mit dem Taschenrechner
Wahlteil B1
Abb. 3: Integralberechnung mit dem Taschenrechner
$\begin{array}[t]{rll} M&=&2 \pi \int_{24}^{45} 5\cdot \sqrt{x-20} \cdot \sqrt{1+\big(\frac{5}{2}\cdot (x-20)^{-\frac{1}{2}}\big)^2} \text{d}x \\[5pt] &=& 2\cdot \pi \cdot 472,923\\ &=& 2971,46 \end{array}$
$ M=2971,46$
Der Inhalt der Fläche beträgt also $2.971,46\,\text{mm}^2$ oder $29,7146\,\text{cm}^2$.
1.1.4
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{D}$ bestimmen
Die zur Abszissenachse parallele Gerade $g$, mit Abstand $20$ hat die Funktionsgleichung
$g(x)=20$.
Der Punkt $D$ ist der Schnittpunkt der Graphen R und G. Diesen Schnittpunkt kannst du mit dem Taschenrechner bestimmen. Gehe dazu wie folgt vor:
2: Graph $\rightarrow$ menu $\rightarrow$ 6: Graph analysieren $\rightarrow$ 4: Schnittpunkte
2: Graph $\rightarrow$ menu $\rightarrow$ 6: Graph analysieren $\rightarrow$ 4: Schnittpunkte
Wähle eine untere und eine obere Schranke.
Wahlteil B1
Abb. 4: Schnittpunkt bestimmen
Wahlteil B1
Abb. 4: Schnittpunkt bestimmen
Der Punkt $D$ hat also die Koordinatien $D(40 \mid 20)$.
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{F}$
Zur Veranschaulichung kannst du dir in diesem Aufgabenteil eine Skizze erstellen. Zeichne zuerst die Geraden $g$ und $r$ und die Punkte $D$ und $E$ ein. Zeichne anschließend die Normale zu $r$ durch den Punkt $D$ und den Spiegelpunkt $E'$. Zeichne einen Strahl, der seinen Anfangspunkt in $E$ hat und durch $E'$ verläuft. Der Schnittpunkt von dem Strahl und der $x$-Achse ist der gesuchte Punkt $F$.
Wahlteil B1
Abb. 5: Skizze zur Aufgabenstellung
Wahlteil B1
Abb. 5: Skizze zur Aufgabenstellung
Bei der Berechnung der Koordinaten von $F$ gehst du wie folgt vor:
Der Strahl, der durch $E$ und $E'$ verläuft, ist senkrecht zu der Normalen zum Graphen $R$ im Punkt $D$ und damit parallel zur Tangente am Graphen $R$ im Punkt $D$. Eine Gerade durch die Punkte $E$ und $E'$ hat also die gleiche Steigung, wie $r(x)$ im Punkt $D$. Um die Koordinaten von $F$ zu bestimmen, gehst du also wie folgt vor:
  1. Bestimme die Gerade $h(x)$, die durch E verläuft und die Steigung $r'(40)$ hat
  2. Berechne die Nullstelle der Gerade $h(x)$ und damit die $x$-Koordinate des Punktes $F$
Schritt 1: Aufstellen der Geradengleichung von $\boldsymbol{h}$
Die Steigung $m$ der Geraden ist:
$m=r'(40)=\frac{5}{8}$
Setzte $m$ und den Punkt $E(50 \mid 20)$ in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $c$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=&\dfrac{5}{8} \cdot x +c & \\[5pt] 20 &=&\dfrac{5}{8} \cdot 50 +c & \\[5pt] 20 &=& \dfrac{125}{4} +c &\quad \scriptsize \mid\; -25 \\[5pt] c &=& 20-\dfrac{125}{4} \\[5pt] &=& -\frac{45}{4} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=&\dfrac{5}{8} \cdot x +c & \\[5pt] c &=& -\frac{45}{4} \end{array}$
Die Gleichung der Geraden ist also:
$h(x)=\frac{5}{8} \cdot x -\frac{45}{4}$
Schritt 2: Nullstelle berechnen
Um die Nullstelle zu berechnen, setzt du $h(x)$ mit Null gleich und löst nach $x$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& 0 &\\[5pt] \dfrac{5}{8} \cdot x -\dfrac{45}{4}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{45}{4}\\[5pt] \dfrac{5}{8} \cdot x &=& \dfrac{45}{4} &\quad \scriptsize \mid\; : \dfrac{5}{8}\\[5pt] x &=& 18 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& 0 &\\[5pt] x &=& 18 \end{array}$
Der Punkt $F$ hat also die Koordinaten $F(0 \mid 18)$.
1.2
$\blacktriangleright$ Unabhängigkeit der Fehler überprüfen
Du sollst überprüfen, ob die Ereignisse:
$G:= \text{Fehlerhafter Glaskörper}$
$B:= \text{Fehlerhafte Beschädigung}$
stochastisch unabhängig sind. Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn die folgende Gleichung erfüllt ist:
$P(B \cap G)= P(B) \cdot P(G)$
$P(B \cup G)= P(B) \cdot P(G)$
Der Aufgabenstellung kannst du verschiedene Wahrscheinlichkeiten entnehmen:
$P(G)=0,002$
$P(B \cap G)=0,004$
Außerdem weißt du, dass der Rohling mit einer Wahrscheinlichkeit von $93,1 \%$ keinen der beiden Fehler aufweist. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Rohling mindestens einen der beiden Fehler aufweist ist deswegen:
$1-0,931=0,069$
Diese Wahrscheinlichkeit entspricht der Wahrscheinlichkeit für die Vereinigung der Ereignisse $B$ und $G$.
$P(G \cup B)= 0,069$
Um die beiden Ereignisse auf Unabhängigkeit zu überprüfen, fehlt dir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $B$. Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit der Formel des Ein- und Ausschließens bestimmen:
$P(B \cup G)= P(B) + P(G) -P(B \cap G)$
$P(B \cup G) $$= P(B) + P(G) -P(B \cap G)$
Diese Formel kannst du nach $P(B)$ umstellen und die bekannten Wahrscheinlichkeiten einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=&P(B \cup G)- P(G) +P(B \cap G) & \\[5pt] &=& 0,069 -0,002+0,004\\[5pt] &=& 0,071 \end{array}$
$P(B)=0,071$
Jetzt kannst du überprüfen, ob die beiden Ereignisse unabhängig sind, indem du das Produkt der Wahrscheinlichkeiten bildest:
$P(B) \cdot P(G)= 0,071 \cdot 0,002 = 0,000142$
$P(B) = 0,000142 $
Die Wahrscheinlichkeit für den Schnitt der Ereignisse ist oben bereits angegeben:
$P(B \cap G)=0,004$
Du hast also folgende Ungleichung nachgewiesen:
$P(B \cup G) \neq P(B) \cdot P(G)$
Deswegen treten die beiden Fehler nicht unabhängig voneinander auf.
Bildnachweise [nach oben]
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